2019-2020学年山东省枣庄市滕州市第一中学高一上学期10月阶段性检测数学试题(解析版)

2019-2020学年山东省枣庄市滕州市第一中学高一上学期10月阶段性检测数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（ ） A ．{1,2},{2,1}是两个集合 B ．{(0,2)}中有两个元素C ．6|x Q N x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集 D ．{}2|20x Q x x ∈++=且是空集【答案】D【解析】根据集合的定义判断． 【详解】由集合元素的无序性A 错；(0,2)作为一个有序数对，是集合中的一个元素，B 错；当1,*x n N n =∈时，6N x∈，因此x 有无数个C 错；222(1)10x x x ++=++=无实数解，更加无有理数解，集合{}2|20x Q x x ∈++=且是空集，D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查集合的定义，考查集合元素的性质，属于基础题．2．设集合{|91}A x Z x =∈-<<，{|32}B x x =-<<，则A B =I （ ） A ．{|92}x x -<< B ．{0} C ．{|31}x x -<<D ．{2,1,0}--【答案】D【解析】确定集合A 中的元素，然后根据交集定义求解． 【详解】由题意{8,7,6,5,4,3,2,1,0}A =--------，所以{2,1,0}A B =--I ． 故选：D ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素． 3．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数 【答案】D【解析】试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D ． 【考点】命题的否定．4．不等式2320x x -+->的解集是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(2,)+∞C ．(1,2)D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】C【解析】先化不等式的二次项系数为正，因式分解确定对应方程的根，然后结合二次函数性质写出解集． 【详解】原不等式可化为：2320x x -+<，即(1)(2)0x x --<，12x <<， 所以原不等式解集为(1,2)． 故选：C ． 【点睛】本题考查解一元二次不等式，解题关键是化二次项系数为正．5．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞⋃+∞D ．[)64,+∞【答案】C【解析】试题分析：二次函数对称轴为8k x =，函数在区间[5,8]上单调，所以88k≥或58k≤64k ∴≥或40k ≤ 【考点】二次函数单调性6．集合{1,4,}A x =，{}2,1B x =，且A B B =I ，则满足条件的实数x 的值为（ ）A ．1或0B ．1，0或2C ．0，2或-2D ．0，-1，2或-2【答案】C【解析】由A B B =I 得B A ⊆，再由集合包含关系求解． 【详解】由A B B =I 得B A ⊆，所以2x A ∈，若24x =，2x =±，均符合题意，若2x x =，则0x =或1x =（舍去）． 所以0,2,2x =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的包含关系，掌握子集的定义是解题关键． 7．对于函数(),y f x x R =∈,“()y f x =的图象关于轴对称”是“=()f x 是奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】【详解】由奇函数，偶函数的定义,容易得选项B 正确.8．若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．13【答案】C【解析】由x y xy +=得1xy x =-（1x >），代入4x y +后变形，换元后用对勾函数的单调性求解． 【详解】因为正数x 、y 满足x y xy +=，所以1xy x =-（1x >），所以441x x y x x +=+-441x x =++-，令1t x =-，0t >， 44455x y t t t t+=++=++， 由对勾函数4()f t t t=+在(0,2]上单调递减，在[2,)+∞上单调递增，所以min ()(2)4f t f ==，所以4x y +的最小值为9，此时33,2x y ==． 故选：C ． 【点睛】本题考查用对勾函数的单调性求最值，解题关键是用代入法化二元函数为一元函数，构造对勾函数．变形时一定注意新元取值范围．9．已知函数()f x =若()()222544f a a f a a -+<++，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,(2,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UB ．[2,6)C ．10,[2,6)2⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D ．(0,6)【答案】C【解析】确定函数()f x 的定义域和单调性，利用单调性解不等式． 【详解】易知函数()f x =的定义域是[2,)+∞，在定义域内单调递增，所以由()()222544f a a f a a -+<++得2222544a a a a ≤-+<++， 解得102a <≤或26a ≤<． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的单调性，利用单调性解函数不等式是常用方法．10．定义在[]1,1-的函数()f x 满足下列两个条件：①任意的[]1,1x ∈-都有()()f x f x -=-；②任意的[],0,1m n ∈，当m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-，则不等式(13)(1)f x f x -<-的解集是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】满足①()f x 为奇函数，满足②()f x 在[]0,1是减函数，根据对称性和函数的连续性，可得()f x 在[]1,1-是减函数，将不等式等价转化为自变量关系，即可求解. 【详解】任意的[]1,1x ∈-都有()()f x f x -=-,()f x 为奇函数，任意的[],0,1m n ∈，设m n >，()()()()()()(),0,0f m f n f m f n f m f n m n m n m n m n---=--><--，()(),()f m f n f x ∴<∴在[]0,1是减函数，()f x 为奇函数，所以()f x 在[]1,0-是减函数，()f x 在0x =处连续， ()f x 在[]1,1-是减函数，(13)(1)f x f x -<-等价于，13111131x x x x -≤⎧⎪-≥-⎨⎪->-⎩，解得102x ≤<， 所以不等式的解集为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选:A. 【点睛】本题考查抽象函数的不等式，注意函数性质的应用，属于中档题. 11．下列函数中，对任意x ，不满足()()22f x f x =的是（ ） A ．()f x x = B ．()2f x x =- C ．()f x x x =- D ．()1f x x =-【答案】D【解析】对于每个选项中的函数()y f x =，验证是否满足等式()()22f x f x =，即可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，()22f x x =，()222f x x x ==，等式()()22f x f x =成立； 对于B 选项，()()2224f x x x =⨯-=-，()2224f x x x =-⨯=-，等式()()22f x f x =成立；对于C 选项，()()2222f x x x x x =-=-，()22222f x x x x x =-=-，等式()()22f x f x =成立；对于D 选项，()()22122f x x x =-=-，()221f x x =-，等式()()22f x f x =不成立. 故选：D. 【点睛】本题考查函数解析式，考查函数解析式是否满足等式，一般利用验证法，考查计算能力，属于基础题.二、多选题12．当一个非空数集F 满足条件“若,a b F ∈，则+a b ，-a b ，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈”时，称F 为一个数域，以下四个关于数域的命题：其中，真命题为（ ） A ．0是任何数域的元素B ．若数域F 有非零元素，则2019F ∈C ．集合{|3,}P x x k k ==∈Z 为数域D ．有理数集为数域【答案】ABD【解析】根据新概念数域的定义判断． 【详解】若a F ∈，则0a a F -=∈，A 正确；若a F ∈且0a ≠，则1aF a=∈，由此211F =+∈，312F =+∈，依次类推2019F ∈，B 正确；{|33,}P x k k Z ==∈，3,6P P ∈∈，但36P ∉，P 不是数域，C 错误；,a b 是两个有理数，则,,,aa b a b ab b+-（0b ≠）都是有理数，所以有理数集是数域，D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查新定义，解题关键是正确理解新定义数域，即数域中任意两个元素的和、差、积、商（分母不为0）仍然属于数域．13．下列四个命题：其中不正确．．．命题的是（ ） A ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0]-∞上单调递增，则()f x 在R 上是增函数 B ．若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a > C ．当a b c >>时，则有ab ac >成立D ．1y x =+和2(1)y x =+表示同一个函数 【答案】ABCD【解析】根据函数的性质，不等式的性质，函数的定义对各个选项进行判断，错误命题也可通过举反例说明． 【详解】,0()ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，满足在(0,)+∞上单调递增，在(,0]-∞上单调递增，但()f x 在R上不是增函数，A 错；0a b ==时，()2f x =，它的图象与x 轴无交点，不满足280b a -<且0a >，B 错； 当a b c >>，但0c =时，ac bc =，不等式ab ac >不成立，C 错；2(1)y x =+1x =+，与1y x =+的对应法则不相同，值域也不相同，不是同一函数，D 错． 故选：ABCD ． 【点睛】本题考查判断命题的真假，考查函数的性质，不等式的性质，函数的定义等，对一个假命题可以通过举反例说明其为假．三、填空题14．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()f x 在R 上的表达式是________．【答案】222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩【解析】根据奇函数定义求出0x <时的解析式，再写出R 上的解析式即可． 【详解】0x <时，0x ->，22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=---⨯-=--， 所以222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩．故答案为：222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．15．若关于x 的不等式210mx mx +->的解集为∅，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】[4,0]-【解析】试题分析：当0m =时，不等式变形为10->，解集为∅，符合题意；当0m ≠时，依题意可得2{4040m m m m <⇒-≤<∆=+≤， 综上可得40m -≤≤． 【考点】一元二次不等式．【易错点睛】本题主要考查不等式中的一元二次不等式问题，难度一般．有很多同学做此题时直接考虑为一元二次不等式，其二次函数应开口向下且与x 轴至多有一个交点，而忽略二次项系数为0时的情况导致出现错误．当二次项系数含参数时一定要讨论是否为0，否则极易出错．16．设函数1,02()21,0,2x x f x x x x ⎧-<<⎪=⎨--≤≥⎪⎩或，则函数()y f x =与12y =的图象的交点个数是________． 【答案】4【解析】直接解方程1()2f x =即可得． 【详解】 解方程1()2f x =， 当02x <<时，112x -=，112x -=±，12x =或32x =，当0x <或2x >时，1212x --=，312x -=，312x -=±，12x =-或52x =，所以方程1()2f x =有4个解，即函数()y f x =与12y =的图象有4个交点． 故答案为：4 【点睛】本题考查函数图象交点个数问题，解题方法是最基本的方法：解方程，方程()()f x g x =的解就是函数()y f x =和()y g x =的图象交点的横坐标．17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时2()f x x =，若对任意的[1,1]x a a ∈-+，恒有()22()f x a a f x +>，则实数a 的取值范围为________．【答案】(,1)(0,)2-∞--+∞U 【解析】先求出()f x 的解析式，判断单调性，确定函数性质：0a >时，2()()a f x f ax =，0a <时，2()()a f x f ax =-，然后利用单调性化简不等式，由不等式恒成立求参数范围． 【详解】由于()f x 是奇函数，所以当0x <时，22()()()f x f x x x =--=--=-，即22,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，易知函数()f x 在R 上是增函数，（1）若0a =，则命题为[1,1]x ∈-时，2()0f x >恒成立，但此时(0)0f =，不合题意；（2）若0a >，则2()()a f x f ax =，不等式()22()f x a a f x +>为2()()f x a f ax +>，所以2x a ax +>，即20x ax a -+>对[1,1]x a a ∈-+恒成立，令2224()()24a a a g x x ax a x -=-+=-+，22211(1)(1)(1)2212()022g a a a a a a a a -=-+-+=-+=-+>，22(1)2412(1)10g a a a a +=++=+->，当112a a a -<<+，即02a <<时，2min 4(4)()044a a a a g x --==>，满足题意，显然2a ≥时，12aa ≤-，min ()(1)0g x g a =->，满足题意， 因此0a >满足题意．（3）若0a <，2()()a f x f ax =-，不等式()22()f x a a f x +>为2()()f x a f ax +>-，所以2x a ax +>-，即20x ax a ++>对[1,1]x a a ∈-+恒成立，2224()()24a a a h x x ax a x -=++=++，当112a a a -<-<+，即203a -<<时，2min 4(4)()044a a a a g x --==<，不满足题意， 当23a ≤-时，12a a -≥+，22min ()(1)2412(1)10g x g a a a a =+=++=+->，解得21a <--， 综上a 的取值范围是2(,1)(0,)2-∞--+∞U ． 故答案为：2(,1)(0,)2-∞--+∞U ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查不等式恒成立问题．解题关键是用分类讨论思想，转化2(),0()(),0f ax a a f x f ax a ≥⎧=⎨-<⎩，然后根据函数单调性转化问题为二次不等式恒成立，再利用二次函数知识求出相应的二次函数最小值，由最小值大于0得届结论．四、解答题18．已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，C ＝{x |x ＞a }，U ＝R. (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ； (2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围． 【答案】(1)；；（2）.【解析】【详解】试题分析：(1)根据数轴表示集合的交集，并集，和补集；交集就是两个集合的公共元素组成的集合，并集就是两个集合的所有元素组成的集合，补集就是属于全集，但不属于此集合的元素组成的集合；（2）同样是利用数轴，表示集合A 和C,若有公共元素，表示端点值. 试题解析：解 (1)A ∪B ＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}． ∵C U A ＝{x|x<2或x>8}， ∴(C U A)∩B ＝{x|1<x<2}． (2)∵A∩C≠∅，∴a<8． 【考点】集合的运算19． 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1118a b ab++≥；(2)11(1)(1)9a b++≥.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析.【解析】试题分析：（1）1的代换，将不等式左边化为齐次：()2a b a b a b a b ab+++++,再根据基本不等式求最小值为8，证得结论（2）左边展开得1111a b ab+++，再根据（1）得证试题解析：证明：(1)∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴＋＋＝＋＋ ＝2＝2＝2＋4≥4＋4＝8(当且仅当a ＝b ＝时，等号成立)， ∴＋＋≥8.(2)∵ ＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8. ∴≥9.20．已知函数2()(2)2()f x x a x a a R =-++∈. （1）求不等式()0f x <的解集；（2）若当x ∈R 时，()4f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) []2,6a ∈-【解析】（1）不等式()0f x <可化为：(2)()0x x a --<，比较a 与2的大小，进而求出解集．（2）()4f x ≥-恒成立即2(2)240x a x a -+++≥恒成立，则2(2)4(24)0a a ∆=+-+≤，进而求得答案．【详解】解：（1）不等式()0f x <可化为：(2)()0x x a --<，①当2a =时，不等()0f x <无解；②当2a >时，不等式()0f x <的解集为{}2x x a <<； ③当2a <时，不等式()0f x <的解集为{}2x a x <<.（2）由()4f x ≥-可化为：2(2)240x a x a -+++≥，必有：2(2)4(24)0a a ∆=+-+≤，化为24120a a --≤， 解得：[]2,6a ∈-. 【点睛】本题考查含参不等式的解法以及恒成立问题，属于一般题．21．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资额成正比，设比例系数为1k ，其关系如图1；B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为2k ，其关系如图2．（注：利润与投资额单位是万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出1,k 2k 的值，写出它们的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元． 【答案】（1）114k =，254k =．1(),4f x x =(0)x ≥，5(),4g x x =(0)x ≥．（2）A产品投入3．75万元，B 产品投入6．25万元时，企业获得最大利润为65(4.0625)16万元．【解析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据可得；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业的利润为y 万元．则有()(10)y f x g x =+-，(010)x ≤≤，用换元法转化为求二次函数在给定区间上最值问题． 【详解】解析：（1）设投资额为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元，由题设1()f x k x =，()g x k =． 由图知1(1)4f =，所以114k =，又5(4)2g =，所以254k =．所以1(),4f x x =(0)x ≥，()g x =(0)x ≥． （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业的利润为y 万元．1()(10)4y f x g x x =+-=+(010)x ≤≤，t =，则221051565,444216t y t t -⎛⎫=+=--+ ⎪⎝⎭(0t ≤≤．所以当52t =时，max 6516y =，此时251510 3.7544x =-==． ∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为6516即4.0625万元． 【点睛】本题考查函数模型的应用．已知函数模型，直接设出解析式形式代入已知数据即可得函数解析式．换元法是求得最大值的关键．22．已知()f x 是二次函数，且满足(0)2,(1)()23f f x f x x =+-=+ （1）求函数()f x 的解析式（2）设()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求函数()h x 的最小值【答案】（1）2()22f x x x =++（2）()2min 52,(2)21,(2)t t h x t t t -≤⎧=⎨-++⎩＞ 【解析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，利用()02f =可取c ，利用恒等式(1)()23f x f x x +-=+可求,a b ，从而得到()f x 的解析式.（2）由（1）可得2()2(1)2h x x t x =+-+，分2t ≤和2t >两种情况讨论即可. 【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，∵(0)2,(1)()23f f x f x x =+-=+，∴()()2221123c a x b x c ax bx c x =⎧⎪⎨⎡⎤++++-++=+⎪⎣⎦⎩， 即2223c ax a b x =⎧⎨++=+⎩，所以2223c a a b =⎧⎪=⎨⎪+=⎩， 解得212c a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴2()22f x x x =++.（2）由题意得2()2(1)2h x x t x =+-+，对称轴为直线1x t =-，①当11t -≤即2t ≤时，函数在[1,)+∞单调递增()min (1)52h x h t ==-； ②当11t ->即2t >时，函数在[1,1]t -单调递减，在[1,)t -+∞单调递增，()2min (1)21h x h t t t =-=-++，综上：()2min 52,(2)21,(2)t t h x t t t -≤⎧=⎨-++>⎩【点睛】求二次函数的解析式，应根据题设条件设出合理的解析式的形式（如一般式、双根式、顶点式），二次函数在给定范围的最值问题，应该根据开口方向和最值的类型选择合理的分类方法.23．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数,x y 都满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明； （2）判断函数()f x 的单调性，并证明； （3）解不等式()2(22)0f x ax f x a -+-<．【答案】（1）()f x 为奇函数．证明见解析（2）()f x 在R 上为增函数．证明见解析（3）当2a <-时不等式的解集是{|2}x a x <<-．当2a >-时不等式的解集是{|2}x x a -<<．当2a =-时不等式的解集是∅．【解析】（1）用赋值法求出(0)0f =，然后令y x =-可得奇偶性； （2）利用单调性的定义证明单调性；（3）由奇函数性质化不等式为2()(22)f x ax f a x -<-，由单调性转化为二次不等式，再分类得出解集． 【详解】（1）解：()f x 为奇函数．证明：因为()()()f x y f x f y +=+，令0y =，得(0)()(0)f x f x f +=+对任意的x 都成立，所以(0)0f =． 又令y x =-，则()()()0f x x f x f x -=+-=， 所以()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数． （2）解：()f x 在R 上为增函数．证明：12,x x R ∀∈，且使12x x >由()f x 是奇函数， 得()()()()()121212f x f x f x f x f x x -=+-=-． 因为当0x >时，()0f x >， 而120x x ->，所以()120f x x ->，所以()()12f x f x >，所以()f x 在R 上为增函数．（3）解：由()2(22)0f x ax f x a -+-<，得()2(22)f x ax f x a -<--．因为()f x 是奇函数，所以()2(22)f x ax f x a -<-+．又()f x 在R 上为增函数，所以222x ax x a -<-+． 即2(2)20x a x a +--<，所以()(2)0x a x -+<．所以当2a <-时不等式的解集是{|2}x a x <<-． 当2a >-时不等式的解集是{|2}x x a -<<． 当2a =-时不等式的解集是∅． 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查利用奇偶性和单调性解函数不等式及分类讨论解二次不等式．掌握奇偶性与单调性的定义是解题关键．解抽象函数的基础是掌握赋值法．。