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分析:依题意画出图形(如图)
直觉巨响点的位置情况.
只要能把巨响点满足的两个曲线 方程求出来.那么解方程组就可以确 定巨响点的位置.
要求曲线的方程,恰当的建立坐标系是一个关键.
解：如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.
设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，则 A(－1020,0），
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A、B两点在x轴上，并
且点O与线段AB的中点重合
y
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则 PA PB 340 2 680
P
即 2a=680，a=340 AB 800 2c 800, c 400, b2 c2 a2 44400
Ao
800 PA PB 680 0 , x 0x2
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
巩固练习 写出适合下列条件的双曲线的标准方程
1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
3.a=4,过点(1, 4 10 )
3
例题讲评
例2:如果方程 x2 y2 1 表示双曲线，求m的取值范围.
2m m1
解:由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1
∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
思考：
方程
x2 y2 1 2m m1
表示焦点在y轴双曲线时,则m的取值范围.
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450 距中心 680 10m 处.
巩固练习
1.已知在 △ABC 中, B(5, 0) , C(5, 0) ,点 A 运动时满足 sin B sin C 3 sin A , 5
求点 A 的轨迹方程.
解: 在△ABC中,|BC|=10，
由 正 弦 定 理 得 AC AB
课后作业 课本P127习题第2题
课后作业
2. 已知动圆 ⊙P 与 ⊙F1 : ( x 5)2 y2 36 内切,且
过点 F2(5, 0) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程.
x2 y2 1 ( x 3)
9 16
选做作业:
1 1.设
F1 , F2
是双曲线
x2 4
y2
1 的两个焦点,点
P
在双曲线上,
m 2
例题讲评 例3.(课本第120页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比
在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地
与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的 双曲线在靠近B处的一支上.
课堂小结
本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并 运用双曲线的定义及其标准方程解决问题, 体会双曲线在实 际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例 2 这个原理来定位的.
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考 方向.即把不熟悉的问题往熟悉的方向转化,定义模型是最原 始,也是最容易想到的地方.
sin B
sin C
3 sin
A
3
BC
3 10
6
5 10
,
5
5
故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支
又因c=5，a=3，则b=4
则顶点A的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x 3) 9 16
新知讲评
r 课本第127页第5题如图,圆O的半径为定长r,A是圆O外一定点,P是圆上任意一点,线AP 的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为, 什么?
3.2.1双曲线及其标准方程
复习引入
1.
椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离的
和
等于常数
Y
2a ( 2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题：
O
F1 c, 0
Mx, y
F2 c, 0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的的点差等于常数的轨迹是什么呢？
双曲线的标准方程 求曲线方程的步骤：
1.建系. 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原 点建立直角坐标系
2.设点．设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.找限制条件 |MF1| - |MF2|=±2a
4.代入 即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y
M
F
1
OF
2
x
5.化简
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
b2 c2 a2
新知学习
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
2
2
(x c)2 y 2 2a (x c)2 y 2
cx a 2 a (x c)2 y 2
(c2 a 2 )x2 a 2 y 2 a 2 (c2 a 2 )
变式训练 2:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是双曲线的一支(右支),
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设双曲线方程为:
人 ： 邢
9 16
启 强
9
巩固练习 变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2(5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 , PF1 PF2 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线,轨迹方程为 y 0( x ≥ 5或x ≤ 5) .
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
说明 （1）2a<2c ； （2）2a >0 ；
M
思考：
(1)若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线 (2)若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹
F
1
oF
2
(3)若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的一支上，
依题意得 a = 680, c = 1020，b2 c2 a2 10202 6802 5 3402
∴双曲线的方程为 x2 6802
y2 5 3402
1
用 y=－x 代入上式，得 x 680 5 ，∵|PB|>|PA|,
x 680 5, y 680 5,即P(680 5, 680 5), 故PO 680 10
y2
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
1( x 0)
115600 44400
Bx
新知讲评
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确 定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中 为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆 炸点的准确位置呢?
且满足 F1PF2 90 ,那么 △F1PF2 的面积是_______.
2.已知点 A(0, 7) , B(0, 7) , C(12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、
B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆的另一焦点 F 的轨迹方程.
y2 x2 1( y ≤ 1) 48
B(1020,0），C(0,1020）.设 P（x,y）为巨响点，
由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
由双曲线定义知
P
点在以
A、B
c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
此即为 焦点在x 轴上的 双曲线 的标准
方程
新知学习 若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M
F1 O F2 x
y M
F2
x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
(a 0，b 0)
y2 x2 1 a2 b2
思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
新知学习 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?
椭圆
双曲线
定义
方程 焦点 a.b.c的关系
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
F(±c,0)
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
F(0,±c)
a>b>0，a2=b2+c2
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
讲 课
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 .
