2020届高三数学复习《概率与统计》巩固训练学案

《高三数学复习教案：概率与统计分析》高三数学复习教案：概率与统计分析概率与统计分析是高中数学复习中重要的一部分，也是考试中常见的考点。

通过掌握概率与统计分析的基本概念、运算方法和实际应用，能够帮助同学们提高解题能力，提升数学成绩。

一、基本概念1. 概率的定义和性质：概率是指某种事件发生的可能性大小。

在数学上，可以用一个介于0与1之间的实数表示概率。

当某个事件必然发生时，其概率为1；当某个事件不可能发生时，其概率为0。

概率具有加法法则、乘法法则和互斥事件等性质。

2. 随机变量和概率分布：随机变量是随机试验结果的函数。

离散随机变量取有限或可列无穷多个可能值，而连续随机变量则取无限多个可能值。

随机变量的概率分布由它取各个可能值及其对应的概率所构成。

二、运算方法1. 排列组合：在排列组合问题中，我们经常需要计算某些事件出现的可能性。

排列是指从n个不同元素中选取m个元素进行排序，可以用数学公式P(n,m)表示；组合是指从n个不同元素中选取m个元素，不考虑其顺序，可以用数学公式C(n,m)表示。

2. 概率计算方法：a. 事件的概率为发生该事件的样本数与总样本空间的大小之比。

b. 随机变量的期望值是每种可能取值乘以相应概率后求和得到的。

c. 随机变量的方差是每种可能取值与期望值之差的平方乘以相应概率后求和得到的。

三、实际应用1. 排列组合在实际问题中的应用：在日常生活和工作中，排列组合思想经常被用到。

比如，在组织活动时需要确定座位安排，则可以通过计算排列或组合的方法来得到不同座位安排方式的数量。

2. 概率在实际问题中的应用：概率理论广泛应用于金融、保险、医疗等领域。

比如，在投资决策中，通过对某只股票未来走势进行概率分析，可以帮助投资者做出更明智的决策。

3. 统计分析的应用：统计分析是对大量数据进行整理、分析和解释的过程。

在日常生活中，通过统计分析可以了解人口结构、收入水平、消费习惯等信息，从而为社会制定相关政策提供参考。

高中数学:第3章概率[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]用频率估计概率表：射击次数n 102050100200500击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假设该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？[解] (1)由表可知，击中靶心的频率在0.9附近，故击中靶心的概率大约是0.9.(2)击中靶心的次数大约是300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．最后一次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．概率是一个常数，但除了特殊几类概型，概率并不易知，故可以用频率来估计.[跟进训练]1．对一批U 盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a 50 100 200 300 400 500次品件数b 3 4 5 5 8 9次品频率ba(2)从这批U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U 盘，至少需进货多少个U 盘？[解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a 越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x 个U 盘，为保证其中有2 000个正品U 盘，则x (1－0.02)≥2 000，因为x 是正整数，所以x ≥2 041，即至少需进货2 041个U 盘．互斥事件与对立事件的概率券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)抽取1张奖券中奖的概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．[解] 由题意事件A 、B 、C 为互斥事件．(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，∴P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. (2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D ，则P (D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11 000＋1100＋120＝611 000. (3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E ，则P (E )＝1－P (A )－P (B )＝1－11 000－1100＝9891 000.]求复杂事件的概率通常有两种方法一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A 与B 互为对立事件，则利用公式P A ＝1－P B 求解.[跟进训练]2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．[解] 记A 表示事件：该车主购买甲种保险；B 表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，又C ＝A ∪B ，所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D 与C 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2.古典概型 12不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？[解] (1)每次取一件，取出后不放回，则连续取两次的所有基本事件共有6个，分别是(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则A 包含的基本事件是(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．因为A 中的基本事件的个数为4，所以P (A )＝46＝23. (2)有放回地连续取出两件，则所有的基本事件共有9个，分别是(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，b )．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则B 包含的基本事件是(a 1，b )，(a 2，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)．因为B 中的基本事件的个数为4，所以P (B )＝49.古典概型求解需注意的问题解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性．另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数．这就是我们常说的穷举法．在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏．[跟进训练]3．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．甲先抽，乙后抽，各抽一张，抽到的牌不放回．(1)设(i ，j )表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．[解] (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，红桃2、红桃3、红桃4分别用2,3,4表示)为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种情况．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2或4或4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙抽到的牌的牌面数字大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，所以甲胜的概率为p1＝512，乙胜的概率为p2＝1－p1＝712.因为512<712，所以此游戏不公平．几何概型【例4】在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？思路点拨：密切注意题目条件，搞清几何概型的“测度”类型．[解] 在圆上随机地取两点，可以看成先取定一点后，再随机地取另一点，如图所示，△BCD为单位圆O的内接等边三角形，在圆O上可取定点B，当另一点E取在劣弧CD上时，BE>BC.记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，劣弧CD的弧长是圆周长的13，所以由几何概型的概率计算公式得P(A)＝13.1．过半径为1的圆内一条直径上的任意一点作垂直于该直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．[解] 记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，不妨在过圆内接等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD时等于边长，弦长大于CD的条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是12.2.以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．[解] 记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，作圆内接等边三角形BCD的内切圆，当以内切圆(小圆)上任一点为中点作弦时，弦长等于圆(大圆)内接等边三角形BCD的边长，所以弦长超过圆(大圆)内接等边三角形的边长时，弦的中点在小圆内，易得小圆半径为12，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝14，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.几何概型问题的解题方法1由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P A ＝mn求解，因此需转化为几何度量如长度、面积、体积等的比值求解.2在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题.。

《随机事件的概率与古典概型》学案最新考纲1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式． 知 识 梳 理1． 事件的分类: 必然事件，不可能事件，随机事件 2．频率和概率： 34．古典概型（1）古典概型的两个特点 （2）古典概型的概率公式()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数．基础自测：1．（2018新课标Ⅲ）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.72、在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数为51，则“正面朝上”的频率为（ ）A ．49B ．0.5C ．0.51D ．0.493．（2019山西联考）从集合{}1,3,5,7,9A =和集合{}2,4,6,8B =中各取一个数，那么这两个数之和除3余1的概率是（ ） A ．13 B ．15 C ．25 D ．310考点一 随机事件的频率与概率【例1】（2018郑州质检）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求()P A的估计值；（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”．求()P B的估计值；（3）求续保人本年度的平均保费估计值．考点二互斥事件、对立事件的概率【例2】 (2018中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( ) A．① B．②④ C．③ D．①③【变式2】.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有二个红球考点三古典概型【例3】（2018新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．112B．114C．115D．118【例4】一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率： (1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的选取是有放回的．【变式3】(2018深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（ ）A ．12 B ．14 C ．13 D ．16【变式4】(2019洛阳质检)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________．课后巩固1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.互斥但不对立事件 C.不可能事件D.以上都不对2.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是( )A.56B.23C.12D.133.(2015·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A.134石B.169石C.338石D.1 365石4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个.5.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________.6.(2016·北京西城区模拟)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( ) A.112B.512C.712D.567.连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量(m ，n )与向量(－1，1)的夹角θ>90°的概率是( ) A.512B.712C.13D.128.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________.9.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答). 10.先后掷一枚质地均匀的骰子，分别记向上的点数为a ，b .事件A ：点(a ，b )落在圆x 2＋y 2＝12内；事件B ：f (a )＜0，其中函数f (x )＝x 2－2x ＋34.(1)求事件A 发生的概率； (2)求事件A 、B 同时发生的概率.11.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率.第75课 几何概型班级：高三（ ）班 姓名： 成绩：最新考纲1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义．知 识 梳 理1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积、体积 ，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点 ①无限性每次试验的基本事件个数是 的． ②等可能性每个事件发生的概率是 的． 3．几何概型的计算公式()A P A =构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．基础自测：1．（2018贵阳一中）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A ．710 B ．58 C ．38 D ．3102．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14 B ．π8 C ．π8 D ．π43、(2018济南模拟)如图，长方体1111ABCD A B C D -中，有一动 点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥1A A BD -内的 概率为________．考点一 与长度（角度）有关的几何概型D 1A 1C 1D CB AB 1【例1-1】(2017广州二模)在区间[1,5]-上随机取一个实数a ，则方程22430x ax a -+-=有两个正根的概率是（ ） A ．23 B ．21 C ．38 D ．13【例1-2】（2018襄阳联考）在Rt ABC ∆中，60B ∠=过直角顶点A 在BAC ∠内随机作射线AD ，交斜边BC 于点D ，则BD BA >的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D【变式1】．（2017深圳二模）设实数(0,1)a ∈，则函数22()(21)1f x x a x a =-+++有零点的概率为（ ） A ．34 B ．23 C ．13 D ．14考点二 与面积有关的几何概型 【例2-1】（2018株洲质检）在面积为1的等边三角形ABC 内任取一点P ，使三角形ABP ∆，ACP ∆，BCP ∆的面积都小于12的概率为（ ）A ．16B ．12C ．13D ．14【例2-2】（2016山西八校）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ） A ．425 B ．825 C ．2425 D ．1625【变式2】．在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________.考点三 与体积有关的几何概型【例3】.(2016·西宁复习检测)已知球O 内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为________.【变式3】．（2018南昌模拟）一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）课后巩固：1.在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2πC.12D.232.(2016·东北三省三校联考)实数m 是[0，6]上的随机数，则关于x 的方程x 2－mx ＋4＝0有实根的概率为( ) A.14B.13C.12D.233.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( ) A.16B.13C.23D.454. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π85.(2016·武汉部分学校质检)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) A.117 B.217 C.317 D.4176.如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.7.如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.8.(2016·辽宁五校联考)设k 是一个正整数，已知⎝⎛⎭⎫1＋xk k的展开式中第四项的系数为116，函数y ＝x 2与y ＝kx 的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x ∈[0，4]，y ∈[0，16]，则点(x ，y )恰好落在阴影部分内的概率为( ) A.1796 B.532C.16D.7489.设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从区间[0，3]任取的一个数，b 是从区间[0，2]任取的一个数，求方程有实根的概率.10.已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(x ，y ).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，求满足a ·b <0的概率.第76课 离散型随机变量及其分布列班级：高三（ ）班 姓名： 成绩： 最新考纲1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念． 2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 知 识 梳 理1．离散型随机变量⑴离散型随机变量的分布列随机变量X 可能取的值为12,,,n x x x ，X 取每一个值(1,2,,)i x i n =的概率()i i P X x p ==，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列．⑵离散型随机变量的性质①i p ≥_____________ ； ②121nin i pp p p ==+++=∑_____．2．两点分布 3．超几何分布在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：()P X k ==,0,1,2,,k n k M N MnNC C k m C --=，（其中min{,}m M n =，*,,,N n N M N n M ≤≤∈），则称分布列为超几何分布列．基础自测：1.设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16B.13C.14D.1122.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( ) A.0B.12C.13D.233.从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为___ _.考点一 离散型随机变量分布列的性质 【例1】 设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1【训练1】 随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P 考点二 离散型随机变量的分布列【例2】若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列.考点三 超几何分布【例3】 (2015·天津卷节选)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列.课后巩固：1随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P (ξ＝k )＝ak (k ＝1，2，…，10)，则a 值为( ) A.1110B.155C.110D.552.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A.P (X ＝2)B.P (X ≤2)C.P (X ＝4)D.P (X ≤4)3.抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________. 4、 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列.5、PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2013年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列.6.(2016·西安调研)在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；(2)求随机变量X的分布列.第77课二项分布及正态分布班级：高三（）班姓名：成绩：最新考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.知识梳理1.条件概率(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立. 3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A i(i＝1，2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝.(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.4.正态分布(1)正态分布的定义：如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)bφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).＝⎠⎛a(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为；②曲线是单峰的，它关于直线对称；(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682__6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__4.基础自测：1.已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.310B.13C.38D.292.(2015·全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3123.(2016·郑州调研)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝( ) A.0.6 B.0.4C.0.3D.0.2考点一 条件概率【例1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18B.14C.25D.12【变式1】如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.考点二 相互独立事件的概率【例2】 (2016·唐山质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.考点三 独立重复试验与二项分布【例3】 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率.考点四 正态分布及应用(2)(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)( ) A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%课后巩固：1.(2014·新课标全国Ⅱ卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8B.0.75C.0.6D.0.452.(2016·济南模拟)设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于( ) A.516B.316C.58D.383.设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫5，12，则函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( ) A.56 B.45 C.3132 D.124.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________.5、(2016·威海模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝()A.0.158 8B.0.158 7C.0.158 6D.0.158 56、在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求事件“X≥2”的概率.7、(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列.第78课 离散型随机变量的均值与方差班级：高三（ ）班 姓名： 成绩： 最新考纲1．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 知 识 梳 理1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝ 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 .(2)方差： 称D (X )＝ 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差. 2.均值与方差的性质(1)E (aX ＋b )＝ (2)D (aX ＋b )＝ (a ，b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝ (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝ ，D (X )＝诊 断 自 测 1.已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A.73B.4C.－1D.12.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2，4，6，8，10)，则D (X )等于( )A.5B.8C.10D.163.已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.考点一 离散型随机变量的均值与方差【例1】 根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工程延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率.考点二 与二项分布有关的均值、方差【例2】 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【训练2】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X).考点三期望与方差在决策中的应用【例3】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？课后巩固：1.(2015·茂名模拟)若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A.2B.2或12C.12D.12.设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A.1＋a ，4B.1＋a ，4＋aC.1，4D.1，4＋a3.已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A.n ＝4，p ＝0.6B.n ＝6，p ＝0.4C.n ＝8，p ＝0.3D.n ＝24，p ＝0.14、已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望).。

概率与统计复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固概率与统计的基本概念、原理和方法。

2. 提高学生运用概率与统计解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 概率的基本概念：必然事件、不可能事件、随机事件。

2. 概率的计算：古典概率、条件概率、独立事件的概率。

3. 统计的基本概念：平均数、中位数、众数、方差、标准差。

4. 数据的收集与处理：调查方法、数据整理、数据可视化。

5. 概率与统计在实际应用中的例子。

三、教学方法1. 讲授法：讲解概率与统计的基本概念、原理和方法。

2. 案例分析法：分析实际应用中的例子，引导学生运用概率与统计解决实际问题。

3. 小组讨论法：分组讨论问题，培养学生的团队协作能力。

4. 练习法：布置课后作业，巩固所学知识。

四、教学准备1. 教学PPT：制作包含概率与统计基本概念、原理和方法的PPT。

2. 案例材料：收集实际应用中的概率与统计例子。

3. 作业题目：准备课后作业，涵盖本节课的主要内容。

五、教学过程1. 导入：回顾上节课的内容，引导学生进入本节课的学习。

2. 讲解概率的基本概念：必然事件、不可能事件、随机事件。

3. 讲解概率的计算：古典概率、条件概率、独立事件的概率。

4. 案例分析：分析实际应用中的例子，让学生体会概率与统计在生活中的应用。

5. 讲解统计的基本概念：平均数、中位数、众数、方差、标准差。

6. 讲解数据的收集与处理：调查方法、数据整理、数据可视化。

7. 小组讨论：分组讨论问题，培养学生的团队协作能力。

8. 课堂练习：布置课后作业，巩固所学知识。

9. 总结：对本节课的主要内容进行总结，提醒学生注意重点知识点。

10. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对概率与统计概念的理解程度。

2. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，评估他们的团队协作能力和问题解决能力。

3. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估他们对课堂所学知识的掌握程度。

《高三数学复习教案：概率与统计分析》一、引言在高三阶段，数学成为了学生们备战高考的重中之重。

而在数学中，概率与统计分析是一个重要而复杂的知识点。

本文旨在为高三学生提供一份完善的数学复习教案，帮助他们系统地复习概率与统计分析，提高解题能力和应试水平。

二、概率与统计的基本概念1. 概率的基本概念概率是指某个事件在相同条件下重复进行的随机试验中出现的可能性大小。

介绍概率的基本概念时，可从试验、样本空间、随机事件等方面入手，明确概率的定义和性质。

2. 随机事件与事件的运算随机事件是样本空间的一个子集，对随机事件的求解可运用集合论中的交、并、差等运算。

在此基础上，还需要介绍和讲解事件的概率，并给出概率计算的相关方法。

三、概率的计算方法1. 古典概型古典概型是指在条件相同、等可能性假设成立的情况下，通过数学方法计算概率的一种方法。

介绍古典概型时，需具体讲解排列与组合的概念和应用，以及计算概率的具体步骤和公式。

2. 几何概型几何概型是指通过几何方法计算概率的一种方法。

介绍几何概型时，需重点讲解面积计算和几何概率的计算公式，以及在实际问题中的应用。

3. 条件概率和事件独立性条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

在介绍条件概率时，需着重讲解条件概率的定义和计算公式，并给出实际问题的例子。

同时，还需介绍事件的独立性，以及如何判断和计算独立事件的概率。

4. 概率的推断与应用概率的推断是指通过已知的概率信息，推断未知概率的一种方法。

介绍概率的推断时，可讲解频率与概率的关系，最大似然估计等相关概念，以及常见的推断问题和解题方法。

四、统计的基本概念1. 统计的基本概念统计是指对大量数据进行收集、整理、分析和解释的一门科学。

在介绍统计的基本概念时，需包括数据的收集和分类，以及统计推断的目的和意义。

2. 数据的表示与整理数据的表示和整理是统计的基础工作，对各种图表和统计量的应用有助于更好地理解数据。

在介绍数据的表示与整理时，可包括频数分布表、直方图、折线图、散点图等，以及相关统计量的计算和应用。

回扣10 概率与统计1．牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数m基本事件总数n；②互斥事件的概率计算公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；③对立事件的概率计算公式P (A )＝1－P (A )；④几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为n N；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．(3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数； ③平均数：样本数据的算术平均数， 即x ＝1n(x 1＋x 2＋…x n )；④方差与标准差方差：s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差：s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].(4)八组公式①离散型随机变量的分布列的两个性质(ⅰ)p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；(ⅱ)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②期望公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .③期望的性质(ⅰ)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； (ⅱ)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； (ⅲ)若X 服从两点分布，则E (X )＝p . ④方差公式D (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差为D (X ).⑤方差的性质(ⅰ)D (aX ＋b )＝a 2D (X )；(ⅱ)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )； (ⅲ)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． ⑥独立事件同时发生的概率计算公式P (AB )＝P (A )P (B )．⑦独立重复试验的概率计算公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k. ⑧条件概率公式P (B |A )＝P (AB )P (A ).2．活用定理与结论 (1)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(2)线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定过样本点的中心(x ，y )．(3)利用随机变量K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．如果K 2的观测值k 越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越大． (4)如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2)．满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．5．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的期望和方差公式计算致误．1．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法答案 D解析总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法，故选D.2．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为( )A．62,62.5 B．65,62C ．65,63.5D ．65,65答案 D解析 选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横坐标即为中位数．最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65；前两个矩形的面积为(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，则0.20.4×10＝5，所以中位数为60＋5＝65.故选D.3．同时投掷两枚硬币一次，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有1个正面朝上”，“都是反面朝上” B ．“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上” C ．“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上” D ．“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上” 答案 C解析 同时投掷两枚硬币一次，在A 中，“至少有1个正面朝上”和“都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1个正面朝上”不发生时，“都是反面朝上”一定发生，故A 中两个事件是对立事件；在B 中，当两枚硬币恰好一枚正面朝上，一枚反面朝上时，“至少有1个正面朝上”，“至少有1个反面朝上”能同时发生，故B 中两个事件不是互斥事件；在C 中，“恰有1个正面朝上”，“恰有2个正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C 中的两个事件是互斥而不对立的两个事件；在D 中，当两枚硬币同时反面朝上时，“至少有1个反面朝上”，“都是反面朝上”能同时发生，故D 中两个事件不是互斥事件．故选C.4．采用系统抽样方法从学号为1到50的50名学生中选取5名参加测试，，则所选5名学生的学号可能是( )A ．1,2,3,4,5B ．5,26,27,38,49C ．2,4,6,8,10D ．5,15,25,35,45 答案 D解析 采用系统抽样的方法时，即将总体分成均衡的若干部分，分段的间隔要求相等，间隔一般为总体的个数除以样本容量，据此即可得到答案．采用系统抽样间隔为505＝10，只有D答案中的编号间隔为10.故选D.5．道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为( ) A ．0.95 B ．0.05C ．0.47D ．0.48 答案 D解析 由题意得小张路过该路口不等待的概率为4848＋47＋5＝0.48.6．A 是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A ，B 两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( ) A.23 B.14 C.56 D.12 答案 A解析 在圆上其他位置任取一点B ，设圆的半径为R ，则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR ，其中满足条件AB 的长度大于等于半径长度的对应的弧长为23·2πR ，则弦AB的长度大于等于半径长度的概率P ＝23·2πR 2πR ＝23.故选A.7．有5张卡片，上面分别写有数字1,2,3,4,5.从这5张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之积为偶数的概率为( ) A.13B.23 C.710 D.310 答案 C解析 从5张卡片中随机抽2张的结果有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，2张卡片上的数字之积为偶数有7种，故所求概率P ＝710.8．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.18B.38C.14D.78 答案 B解析 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮事件D ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以P (D )＝P (ABC ∪AB C ∪A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝12×12×12＋12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38，故选B.9．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表根据上表可得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝0.76，a ^＝y －b ^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元 答案 B解析 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．10．设X ～N (1，σ2)，其正态分布密度曲线(随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)如图所示，且P (X ≥3)＝0.022 8，那么向正方形OABC 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )A ．6 038B ．6 587C ．7 028D ．7 539 答案 B解析 由题意知，P (0<X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，则落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×(1－0.341 3)＝6 587.故选B.11．如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．答案2e2 解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等， 由e x＝e ，得x ＝1，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|1＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.12．样本容量为 1 000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[6,14)内的频数为________．答案 680解析 根据给定的频率分布直方图可知，4×(0.02＋0.08＋x ＋0.03＋0.03)＝1⇒x ＝0.09，则在[6,14)之间的频率为4×(0.08＋0.09)＝0.68，所以在[6,14)之间的频数为1 000×0.68＝680.13．已知x ，y 的取值如表所示.从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝________. 答案 2.6解析 根据表中数据得x ＝2，y ＝4.5，又由线性回归方程知，其斜率为0.95，∴截距a ^＝4.5－0.95×2＝2.6.14．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的期望E (η)＞74，则p 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞74，解得p ＞52或p <12，又p ∈(0,1)，所以p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 15．某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1)按编号用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； (2)计算(1)中样本的平均值x 和方差s 2；(3)求这36名工人中年龄在(x －s ，x ＋s )内的人数所占的百分比． 解 (1)根据系统抽样的方法，抽取容量为9的样本，应分为9组，每组4人． 由题意可知，抽取的样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34， 对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由(1)，得x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋379＝40，s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝1009. (3)由(2)，得x ＝40，s ＝103，∴x －s ＝3623，x ＋s ＝4313，由表可知，这36名工人中年龄在(x －s ，x ＋s )内的共有23人， 所占的百分比为2336×100%≈63.89%.16．某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响．(1)求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；(2)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和期望． 解 (1)由题意知，乙每局获胜的概率皆为1－23＝13.比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即前两局乙胜一局，3,4局连胜，则P ＝C 12·13·23·13·13＝481. (2)由题意知，ξ的取值为2,4,6，则P (ξ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59，P (ξ＝4)＝C 12·13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12·13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝2081， P (ξ＝6)＝⎝⎛⎭⎪⎫C 12·13·232＝1681，所以随机变量ξ的分布列为则E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.。

2020届高三数学复习《概率与统计》巩固训练学案第1讲概率与统计1. (2019·石家庄检测)甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如图所示，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是()(第1题)A. 21，22.5B. 23，22.5C. 21，22D. 23，222. (2019·厦门一模)如图所示是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是()(第2题)A. 2018年3月的销售任务是400台B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台C. 2018年第一季度总销售量为830台D. 2018年月销售量最大的是6月份3. (2019·南昌一模)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率等于__________．4. (2019·深圳二模)某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如图所示的频率分布直方图. 若从每周使用时间在[15，20)，[20，25)，[25，30]三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25)内的学生中选取的人数为________．(第4题)5. (2019·芜湖三模)19世纪德国工程师勒洛发现了一种神奇“三角形”能够像圆一样当作轮子用，并将其命名为勒洛三角形．这种三角形是三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图所示．现从图中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于______________．（第5题）6. (2019·南昌一模)市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5 000 h．经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如图所示的频率分布直方图．某商家因原店面重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年. 新店面只需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业．经了解，A 型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装. 已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面一年周转期的照明时间为3 600 h，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换．(用频率估计概率)(1) 根据频率分布直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；(2) 根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支．若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的支数；(3) 若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯？请说明理由．(第6题)7. (2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．(1) 分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2) 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附：74≈8.602.8. (2019·青岛二模)鲤鱼是中国五千年文化传承的载体之一，它既是拼搏进取、敢于突破自我、敢于冒险奋进精神的载体，又是富裕、吉庆、幸运的美好象征．某水产养殖研究所为发扬传统文化，准备进行“中国红鲤”和“中华彩鲤”杂交育种实验，研究所对200尾中国红鲤和160尾中华彩鲤幼苗进行2个月培育后，将根据体长分别选择生长快的10尾中国红鲤和8尾中华彩鲤作为种鱼进一步培育．为了解培育2个月后全体幼鱼的体长情况，按照品种进行分层抽样，其中共抽取40尾中国红鲤的体长数据(单位：cm)如下：(1) 根据以上样本数据推断，若某尾中国红鲤的体长为8.3 cm，它能否被选为种鱼？请说明理由；(2) 通过计算得到中国红鲤样本数据平均值为5.1 cm，中华彩鲤样本数据平均值为4.875 cm，求所有样本数据的平均值；(3) 如果将8尾中华彩鲤种鱼随机两两组合，求体长最长的2尾组合到一起的概率．9. (2019·洛阳一模)某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图(图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(图(2)).已知图(1)中身高在170～175 cm的男生有16人．(第9题(1)) （第9题（2））(1) 试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？(2) 根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大(百分之几)的把握认为“身高与性别有关”？(3) 在上述100名学生中，从身高在175～185 cm之间的男生和身高在170～175 cm之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2 人中恰好有一名女生的概率．参考公式：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.参考数据：10. (2019·安庆期末)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)(单位：g)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1) 估计这组数据的平均数；(2) 现按分层抽样的方法从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；(3) 某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总计，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以9元/千克收购；方案②：对质量低于250 g的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250 g的芒果以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．(第10题)第2讲统计案例1. (2019·惠州调研)某商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y^＝b^x＋a^中的b^＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为()A. 38件B. 40件C. 46件D. 58件2. (2019·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计表：根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.59，a^＝y－b^ x，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为()A. 2.555万元B. 1.945万元C. 1.915万元D. 1.795万元3. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：A. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”4. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：则y关于t的回归方程是____________．附：回归方程y^＝b^t＋a^，b^＝∑i＝1nt i y i－nt y∑i＝1nt2i－nt2，a^＝y－b^t .5. (2019·西安八校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名．为了研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．25周岁以上（含25周岁）组25周岁以下组,(第5题))(1) 根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图，求25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数)；(2) 从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(3) 规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？6. (2019·临汾期末)如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(第6题)注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.(1) 由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请求出相关系数r，并用相关系数的大小说明y 与t相关性的强弱；(2) 建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．7. (2019·广州一模)某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数、客户性别等进行统计，整理得到下表．(1) 根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位)；(2) 从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率；(3) 将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关．8. 某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出，广告费支出x(万元)和销售量y(万台)的数据如下：(1) 若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程；(2) 若用y ＝c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y^＝1.63＋0.99x ，经计算线性回归模型和该模型的R 2分别约为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3) 已知利润z 与x ，y 的关系为z ＝200y －x.根据(2)的结果，求当广告费x ＝20时，销售量及利润的预报值．参考公式：回归直线y^＝a^＋b^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑i ＝1nx i y i －nx y∑i ＝1nx 2i －nx2＝∑i ＝1n（x i －x ）（y i －y ）∑i ＝1n（x i －x ）2，a ^＝y －b ^ x ．参考数据： 5 ≈2.24.9. (2019·益阳二模)房价收入比，是指住房价格与城市居民家庭年收入之比．幸福是人们对生活满意程度的一种主观感受．幸福指数是衡量人们这种感受具体程度的主观指标数．幸福指数由若干指标综合而成．下表是10所城市的“房价收入比”和“幸福指数”．(1) 填写以下列联表，并计算有没有85%的把握认为幸福指数高(大于89)低与房价收入比高(大于1.7)低有关；(2) 已知城市宜居指数y ＝幸福指数房价收入比，x 表示房价收入比的排名序号，建立y 关于x 的线性回归方程，并估算排名11的城市的宜居指数．参考公式和数据：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.P(K 2≥k),0.15,0.10,0.05,0.025,0.010,0.005,0.001k,2.072,2.706,3.841,5.024,6.635,7.879,10.828回归直线y ^＝b ^x＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －nx y∑i ＝1nx 2i －nx2＝∑i ＝1n（x i －x ）（y i －y ）∑i ＝1n（x i －x ）2，a ^＝y －b ^x ，x y ≈300.96，∑i ＝110xi y i ≈3 411.60，∑i ＝110x 2i＝385，y ≈54.72.。

高考大题增分课六 概率与统计中的高考热点问题[命题解读]　1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力．2．概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析与独立性检验的考查．3．离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查数据处理能力，分析问题、解决问题的能力．【例1】　(2018·全国卷Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．[解]　(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可)[律方规法]　1.在求两变量相关系数和两变量的回归方程时，由于r和b的公式组成比较复杂，求它们的值计算量比较大，为了计算准确，可将其分成几个部分分别计算，这样等同于分散难点，各个攻破，提高了计算的准确度．2．有关独立性检验的问题的解题步骤：(1)作出2×2列联表；(2)计算随机变量K2的值；(3)查临界值，检验作答．科技扶贫是精准扶贫的一项重要措施，某科研机构将自己研发的一项葡萄种植技术提供给某山区果农．为验证该技术的效果，该果农选择40株葡萄树进行试验，其中20株不进行任何处理，记为对照组，另外20株采用新技术培养，记为实验组．葡萄成熟收割后，该果农统计了这40株葡萄树的年产量数据(单位：kg)．对照1215212326243535343251524946435344616343 组实验2332343642415159464343455267656562565558组(1)根据数据完成对照组和试验组葡萄产量的茎叶图，并通过茎叶图比较对照组和实验组葡萄产量的平均值和方差的大小(不要求计算出具体值，得出结论即可)；(2)若每株葡萄树的年产量不低于45 kg ，则认为“产量高”，否则认为“产量一般”．请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关；对照组实验组合计产量高产量一般合计(3)从“产量高”的数据中随意抽取3株做进一步科学研究中，计算恰好有2株来自实验组的概率．附：χ2＝，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋dP (χ2≥k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解]　(1)实验组的葡萄平均产量要高于对照组的葡萄平均产量；实验组的葡萄产量的方差要小于对照组葡萄产量的方差．(2)完成2×2列联表如下表所示：对照组实验组合计产量高71219产量一般13821合计202040所以χ2的观测值k ＝≈2.506＜3.841.40× 7×8－12×13 220×20×19×21所以没有95%的把握认为产量的提高与使用新技术有关．(3)记事件A 为“这3株中恰好有2株来自实验组”，则P (A )＝＝.C 212C 17C 319154323所以恰好有2株来自实验组的概率为.154323离散型随机变量的分布列、均值和方差的应用离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习时应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心．【例2】　(本题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.①现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在柱状图：三年使用期内更换的易损零件数，得如图所示的②以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，③n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；P X≤n ≥0.5，(2)若要求④确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？[信息提取]　看到①这种条件，想到解题时可能要分类求解；看到②想到频数与频率间的关系，想到横轴中的取值含义；看到③想到X的所有可能取值；看到④想到X和n的含义，想到(1)中的分布列．[规范解答]　(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. ·················1分由题意可知X的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.····································4分所以X的分布列为X16171819202122 P0.040.160.240.240.20.080.04·····························································6分(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19. ···········································7分(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝ 4 040；···································9分当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝ 4 080. ··························································11分可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. ·······················································12分[易错与防范]易错点防范措施忽视X的实际含义导致取值错误，进而导致概率计算错误.细心审题，把握题干中的重要字眼，关键处加标记，同时理解X取每个值的含义.忽视P(X≤n)≥0.5的含义，导致不会求解.结合(1)中的分布列及n的含义，推理求解便可.忽视n＝19与n＝20的含义导致无法解题.本题中购买零件所需费用包含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.[通性通法]　解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和均值、方差公式求解．某校首届安琪杯教职工运动会上有一个扑克小游戏，游戏规则如下：甲、乙双方每局比赛均从5张扑克牌(3张红桃A,2张黑桃A)中轮流抽取1张，抽取到第2张黑桃A 的人获胜，并结束该局比赛．每三局比赛为一轮．(1)若在第一局比赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率；(2)若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人下一局比赛先抽，每一局比赛先抽牌并获胜的人得1分，后抽牌并获胜的人得2分，未获胜的人得0分．求此轮比赛中甲得分X 的概率分布列及其数学期望E (X )．[解]　(1)设“在第一局比赛中甲先抽牌，甲获胜”为事件M ，甲先抽牌，甲获胜等价于把这5张牌进行排序，第二张黑桃A 排在3号位置或5号位置，共有2＋4＝6(种)，而2张黑桃A 的位置共有C ＝10(种)．25所以P (M )＝＝.2＋41035(2)甲得分X 的所有可能取值为0,1,2,3,5.由(1)知在一局比赛中，先抽牌并获胜(后抽牌并输)的概率为，35则后抽牌并获胜(先抽牌并输)的概率为.25当X ＝0时，即三局甲都输，P (X ＝0)＝××＝；2525258125当X ＝1时，即第一局甲胜，二、三局甲输或第二局甲胜，一、三局甲输或第三局甲胜，一、二局甲输，P (X ＝1)＝××＋××＋××＝；当X ＝2时，即第一局甲胜，35352525353525253548125第二局甲输，第三局甲胜，P (X ＝2)＝××＝；35353527125当X ＝3时，即第一局甲输，二、三两局甲都胜或者第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲输，P (X ＝3)＝××＋××＝＝；25352535253530125625当X ＝5时，即三局甲都胜，P (X ＝5)＝××＝.35252512125所以此轮比赛中甲得分X 的概率分布列为X 01235P 8125481252712562512125E (X )＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝.8125481252712562512125252125概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．【例3】　(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区x －间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2.x －①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：≈12.2.150若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.[解]　(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s 2分别为＝170×0.02＋x x 180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8＜Z ＜212.2)＝P (200－12.2＜Z ＜200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100,0.682 6)，所以E (X )＝100×0.682 6＝68.26.[律方规法]　统计与概率的综合应用(1)正态分布：若变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ为样本的均值，正态分布曲线的对称轴为x ＝μ；σ为样本数据的标准差，体现了数据的稳定性．(2)二项分布：若变量X ～B (n ，p )，则X 的期望E (X )＝np ，方差D (X )＝np (1－p )．某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图．(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N (μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数．参考数据：≈5.66，≈5.68，≈5.70.3232.2532.5正态总体N (μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954.[解]　(1)μ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，18σ2＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.所以σ≈5.68.18所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.(2)由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率P (X ≥26)≈[1－P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)]≈(1－0.954)＝0.023，1212设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y ，则Y ～B (82,0.023)．Y 的均值E (Y )＝82×0.023≈2.由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数约为2.[大题增分专训]1．某县响应中央的号召，积极开展了建设社会主义新农村的活动，实行以奖代补，并组织有关部门围绕新农村建设中的五个方面(新房舍、新设施、新环境、新农民、新风尚)对各个村进行综合评分，高分(大于等于88分)的村先给予5万元的基础奖励，然后比88分每高1分，奖励增加5千元，低分(小于等于75分)的村给予通报，取消5万元的基础奖励，且比75分每低1分，还要扣款1万元，并要求重新整改建设，分数在(75,88)之间的只享受5万元的基础奖励，下表是甲、乙两个乡镇各10个村的得分数据(单位：分)：甲：62,74,86,68,97,75,88,98,76,99；乙：71,81,72,86,91,77,85,78,83,84.(1)根据上述数据完成以下茎叶图，并通过茎叶图比较两个乡镇各10个村的得分的平均值及分散程度(不要求计算具体的数值，只给出结论即可)；(2)为继续做好社会主义新农村的建设工作，某部门决定在这两个乡镇中各任意抽取一个进行工作总结，求抽取的2个村中至少有一个得分是低分的概率；(3)从获取奖励的角度看，甲、乙两个乡镇哪个获取的奖励多？[解]　(1)茎叶图：通过茎叶图可以看出，甲乡镇10个村的平均得分比乙乡镇10个村的平均得分高，甲乡镇10个村的得分比较分散，乙乡镇10个村的得分比较集中．(2)由茎叶图可知甲乡镇10个村中低分的有4个，乙乡镇10个村中低分的有2个，所以从甲乡镇10个村中随机抽取1个，得分是低分的概率为＝，从乙乡镇10个村中随机抽取141025个，得分是低分的概率为＝，故抽取的2个村中至少有一个得分是低分的概率为×＋×21015254535＋×＝.1525151325(3)由茎叶图可知甲乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有4个，分别是88分、97分、98分、99分，奖励分共9＋10＋11＝30分，低分(小于等于75分)有4个，分别是75分、74分、68分、62分，扣款分共1＋7十13＝21分，分数在(75,88)之间的有2个，故甲乡镇所获奖励为6×5＋30×0.5－21×1＝30＋15－21＝24万元．由茎叶图可知乙乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有1个，为91分，奖励分共3分，低分(小于等于75分)有2个，分别是71分、72分，扣款分共4＋3＝7分，分数在(75,88)之间的有7个，故乙乡镇所获奖励为8×5＋3×0.5－7×1＝40＋1.5－7＝34.5万元．故从获取奖励的角度看，乙乡镇获取的奖励多．2．(2018·太原二模)按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲、乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测．甲套设备的样本频数分布表和乙套设备的样本频率分布直方图如下所示．甲套设备的样本频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数14192051乙套设备的样本频率分布直方图(1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计(2)根据以上数据，对甲、乙两套设备的优劣进行比较；(3)将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X ，求X 的数学期望E (X )．附：P (χ2≥k 0)0.150.100.050.0250.01k 02.0722.7063.8415.0246.635χ2＝.n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d[解]　(1)根据题中数据填写列联表如下：甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100由列联表得χ2＝≈3.053.100× 48×7－2×43 250×50×91×9∵3.053＞2.706，∴有90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关．(2)根据题中数据可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的4850概率约为，并且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，乙套设备生4350产的产品的质量指标值与甲套设备的相比，较为分散．因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备．(3)由题知，X ～B ，(3，125)∴E (X )＝3×＝.1253253．(2018·石家庄二模)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的具体数据．月份12345678促销费用x 2361013211518产品销量y11233.5544.5(1)根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程y ＝bx ＋a (系数精确到0.01)；(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z (单位：件)表示日销量，z ∈[1 800,2 000)，则每位员工每日奖励100元；z ∈[2 000,2 100)，则每位员工每日奖励150元；z ∈[2 100，＋∞)，则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量z 服从正态分布N (2 000,10 000)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约为多少元．(当月奖励金额总数精确到百分位)参考数据：x i y i ＝338.5，x ＝1 308，其中x i ，y i 分别为第i 个月的促销费用和产∑8i ＝1∑8i ＝12i 品销量，i ＝1,2,3， (8)参考公式：①对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ＝，a ＝－b .∑ni ＝1x i y i －n xy∑ni ＝1x 2i －nx 2y x ②若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ，μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ，μ＋2σ)＝0.954 5.[解]　(1)由题可得＝11，＝3，x y将数据代入得b ＝∑8i ＝1x i y i －8xy∑8i ＝1x 2i －8x 2＝338.5－8×11×31 308－8×11×11＝≈0.219，74.5340a ＝－b ≈3－0.219×11≈0.59，y x 所以y 关于x 的回归方程y ＝0.22x ＋0.59.(2)由题知该网站6月份日销量z 服从正态分布N (2 000,10 000)，则日销量在[1 800,2 000)上的概率为＝0.477 25，0.954 52日销量在[2 000,2 100)上的概率为＝0.341 35 ，0.682 72日销量在[2 100，＋∞)上的概率为＝0.158 65，1－0.682 72所以某位员工当月奖励金额的总数为(100×0.477 25＋150×0.341 35＋200×0.158 65)×30＝3 919.725≈3 919.73(元)．。