高三数学一轮复习学案：函数的概念及其表示

第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。

教学计划：《函数的概念及其表示》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解并掌握函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数定义域和值域。

o学生能够识别函数关系，并用不同的方式（如解析式、表格、图像）表示函数。

o学生能够区分函数与非函数关系，理解函数关系的唯一对应性。

2.过程与方法：o通过实例分析，引导学生从具体到抽象地理解函数概念。

o运用对比、归纳等方法，帮助学生掌握函数的不同表示方法。

o通过小组合作探究，培养学生的合作学习能力和问题解决能力。

3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，培养探究数学规律的精神。

o引导学生认识到函数在现实生活中的应用价值，增强数学应用的意识。

o通过解决问题，培养学生的耐心、细致和严谨的科学态度。

二、教学重点和难点●重点：函数的基本概念及其三种表示方法（解析式、表格、图像）。

●难点：理解函数关系的唯一对应性，区分函数与非函数关系；灵活运用不同方式表示函数。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）●生活实例引入：通过日常生活中的实例（如气温随时间变化、汽车速度与行驶时间的关系等），引导学生思考这些关系中是否存在一个变量随另一个变量变化而变化的规律。

●提出问题：这些关系中的两个变量之间是如何相互影响的？能否用数学语言来描述这种关系？●明确目标：引出函数的概念，并说明本节课将要学习的内容。

2. 概念讲解（15分钟）●函数定义：详细讲解函数的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系以及定义域和值域的概念。

●实例分析：结合生活实例，分析哪些关系可以构成函数，哪些不能，强调函数关系的唯一对应性。

●表示方法：介绍函数的三种表示方法（解析式、表格、图像），并举例说明每种方法的应用场景。

3. 案例分析（10分钟）●典型例题：选取几道具有代表性的例题，通过分析题目中的变量关系，引导学生判断是否为函数关系，并尝试用不同方式表示该函数。

●师生互动：在例题讲解过程中，适时提问引导学生思考，鼓励学生尝试自己解答或提出疑问。

课时规范练6 函数的概念及其表示基础巩固组1.(2021辽宁大连高三期末)已知函数f (x )={3x -1x+3(x ≠−3),a(x =−3)的定义域与值域相同，则常数a=( )A.3B.-3C.13D.-132.(2021四川达州高三二模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1-x )+2f (x )=x 2+1，则f (1)=( ) A.-1 B.1C.-13D.133.(2021湖南师大附中高三月考)已知函数f (x )的定义域为[-1，0]，若g (x )=f (x+a )-f (x-a )有定义，则实数a 的取值范围是( ) A.-12，0 B.-1，-12 C.0，12D.-12,124.(2021北京西城高三月考)若函数y=f (x )的值域是[1，3]，则函数F (x )=1-f (x+3)的值域是( ) A.[-8，-3] B.[-5，-1] C.[-2，0]D.[1，3]5.已知函数f (x )的定义域为(1，+∞)，值域为R ，则( ) A.函数f (x 2+1)的定义域为RB.函数f (x 2+1)-1的值域为(-∞，-1)∪(-1，+∞)C.函数fe x +1e x的定义域和值域都是RD.函数f (f (x ))的定义域和值域都是R6.已知函数f (x )=x+1x ，g (x )={2x ,x <0,log 2x,x >0,则下列选项错误的是( )A.f (g (2))=2B.g (f (1))=1C.当x<0时，f (g (x ))的最小值为2D.当x>0时，g (f (x ))的最小值为17.(2021江苏南通高三月考)已知f2x+1=lg x ，则f (x )的解析式为 .8.(2021山东日照高三月考)已知函数f (x )={sinπx6,x ≤0,log 3x,x >0,则f f13= .9.(2021山西晋中高三月考)已知f (x+1)的定义域为[0，2]，则f(2x)x -1的定义域为 .综合提升组10.(2021山东泰安高三期中)已知定义在R 上的函数f (x )满足:∀x ，y ∈R ，f (x+y )=f (x )·f (y )，且f (1)=2，则f (0)+f (2)=( ) A.4B.5C.6D.711.(2021云南昆明高三二模)已知函数f (x )={3x +1,x ≤1,x 2-1,x >1,若n>m ，且f (n )=f (m )，设t=n-m ，则( ) A.t 没有最小值B.t 的最小值为√5-1C.t 的最小值为43D.t 的最小值为171212.已知函数f (x )=x1+x 2，x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)，则下列等式成立的是( ) A.f (x )=f 1x B.-f (x )=f1xC.1f(x)=f 1xD.f (-x )=f (x )13.(2021广东惠州高三月考)已知定义在R 上的函数f (x )满足:对于任意的实数x ，y ，都有f (x-y )=f (x )+y (y-2x+1)，且f (-1)=3，则函数f (x )的解析式为 .14.(2021江苏扬州高三月考)已知实数a ≠0，函数f (x )={2x +a,x <1,-x -2a,x ≥1,若f (1-a )=f (1+a )，则实数a 的值为 .创新应用组15.(2021安徽蚌埠高三模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x+1)=2f (x-1)，且当x ∈(-1，1]时，f (x )=2x-1，则f (2 020)=( )A.22 019B.22 018C.21 010D.21 00916.(2021浙江宁波高三月考)已知函数f (x )={-x 2-2x,x ≤a,-x +2,x >a,若存在实数x 0，使得对于任意的实数x都有f (x )≤f (x 0)成立，则实数a 的取值范围是 .17.(2021广东汕头高三月考)存在函数f (x )，对于任意x ∈R 都成立的下列等式的序号是 .①f (sin 3x )=sin x ;②f (sin 3x )=x 3+x 2+x ;③f (x 2+2)=|x+2|;④f (x 2+4x )=|x+2|.课时规范练6 函数的概念及其表示1.A 解析:显然f (x )={3x -1x+3(x ≠−3),a(x =−3)的定义域为R ，故值域为R ，又因为y=3x -1x+3=3-10x+3的值域为{y|y ≠3}，故a=3.2.B 解析:∵定义在R 上的函数f (x )满足f (1-x )+2f (x )=x 2+1，∴当x=0时，f (1)+2f (0)=1， ① 当x=1时，f (0)+2f (1)=2，②②×2-①，得3f (1)=3，解得f (1)=1，故选B . 3.D 解析:由题意可得{-1≤x +a ≤0,-1≤x -a ≤0,解得{-1-a ≤x ≤−a,a -1≤x ≤a.因为g (x )有定义，所以当a<0时，由-1-a ≤a ，得-12≤a<0;当a>0时，由a-1≤-a ，得0<a ≤12;当a=0时，-1≤x ≤0，恒成立.综上，实数a 的取值范围是-12,12，故选D .4.C 解析:∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x+3)≤3，-3≤-f (x+3)≤-1，∴-2≤1-f (x+3)≤0，故F (x )的值域为[-2，0]，故选C .5.C 解析:对于A ，令x 2+1>1可得x ≠0，所以f (x 2+1)的定义域为{x|x ≠0}，故A 不正确;对于B ，因为f (x )值域为R ，x 2+1≥1，所以f (x 2+1)的值域为R ，可得f (x 2+1)-1的值域为R ，故B 不正确;对于C ，e x +1e x=1+1e x >1，因为e x >0，所以1>0恒成立，所以fe x +1e x的定义域为R ，因为e x +1e x>1，所以fe x +1e x的值域为R ，故C 正确;对于D ，若函数f (f (x ))的值域是R ，则f (x )>1，此时无法判断其定义域是否为R ，故D 不正确.6.C 解析:由题意g (2)=log 22=1，f (g (2))=f (1)=2，故A 正确;g (f (1))=g (2)=1，故B 正确;当x<0时，g (x )=2x∈(0，1)，当t ∈(0，1)时，f (t )=t+1t 单调递减，f (t )∈(2，+∞)，无最小值，故C 错误;当x>0时，f (x )=x+1x≥2(当且仅当x=1时，等号成立)，令t=f (x )=x+1x，则t ≥2，g (t )=log 2t≥1，所以此时g (f (x ))的最小值为1，故D 正确.故选C . 7.f (x )=lg 2x -1(x>1) 解析:由f2x+1=lg x ，可知x>0，令t=2x +1，t>1，则x=2t -1，故f (t )=lg 2t -1，t>1，即f (x )=lg 2x -1(x>1).8.-12 解析:∵函数f (x )={sin πx6,x ≤0,log 3x,x >0,∴f13=log 313=-1，∴f f 13=f (-1)=sin -π6=-12.9.12，1∪1，32 解析:∵函数f (x+1)的定义域为[0，2]， ∴0≤x ≤2，∴1≤x+1≤3，∴f (x )的定义域为[1，3]. 在f(2x)x -1中，需满足{1≤2x ≤3,x -1≠0,解得12≤x<1且1<x ≤32，∴函数f(2x)x -1的定义域为12，1∪1，32. 10.B 解析:∀x ，y ∈R ，f (x+y )=f (x )·f (y )，且f (1)=2，取x=0，y=1有f (1+0)=f (1)·f (0)，则f (0)=1，取x=y=1有f (1+1)=f (1)·f (1)=4，所以f (0)+f (2)=5，故选B . 11.B 解析:如图，作出函数f (x )的图象， ∵f (n )=f (m )且n>m ，∴m ≤1，且n>1， ∴3m+1=n 2-1，即m=n 2-23，∴n-m=n-n 2-23=-13(n 2-3n-2)=-13n-322+1712.由{n >1,0<n 2-1≤4,解得1<n ≤√5，又对称轴为n=32， ∴当n=√5时，(n-m )min =√5-1，故选B . 12.A 解析:因为f (x )=x 1+x 2，所以f 1x =1x 1+(1x) 2=x 1+x 2，所以f (x )=f1x.因为1f(x)=1+x 2x=x+1x ，所以1f(x)=f1x不成立.因为f (-x )=-x1+(−x)2=-x1+x 2，所以f (-x )=-f (x ).故A 正确，B ，C ，D 错误.13.f (x )=x 2-x+1 解析:令x-y=-1，则y=x+1，所以由f (x-y )=f (x )+y (y-2x+1)，可得f (-1)=f (x )+(x+1)(x+1-2x+1).因为f (-1)=3，所以f (x )=-(x+1)(2-x )+3=x 2-x+1.14.-34 解析:当a>0时，1-a<1，1+a>1，有2(1-a )+a=-(1+a )-2a ，解得a=-32<0，不满足，舍去;当a<0时，1-a>1，1+a<1，有-(1-a )-2a=2(1+a )+a ，解得a=-34<0，满足.15.D解析:由f(x+1)=2f(x-1)，得f(x+2)=2f(x)，于是f(2020)=f(2020-2+2)=2f(2020-2)=22f(2020-2×2)=23f(2020-2×3)=…=21010f(2020-2×1010)=21010f(0).又当x∈(-1，1]时，f(x)=2x-1，所以f(0)=2-1，所以f(2020)=21010f(0)=21010×2-1=21009，故选D.16.[1，+∞)解析:分别作出y=-x2-2x，y=-x+2的图象如图所示，由图可以看出当a≥1时，f(x)有确定的最大值f(-1)=1，所以这时存在x0，使得对于任意x都有f(x)≤f(x0).17.④解析:①当x=0时，f(0)=0;当x=π3时，f(0)=√32，与函数定义矛盾，不符合;②当x=0时，f(0)=0;当x=π3时，f(0)=π33+π32+π3，与函数定义矛盾，不符合;③当x=-2时，f(6)=0;当x=2时，f(6)=4，与函数定义矛盾，不符合;④令x+2=t，所以f(t2-4)=|t|，令t2-4=m∈[-4，+∞)，所以t=±√m+4，所以f(m)=|±√m+4|=√m+4(m∈[-4，+∞))，所以f(x)=√x+4(x∈[-4，+∞))，符合.。

第6讲 函数的概念及其表示方法)激活思维1. 下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A. A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数的平方 B. A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数求平方根 C. A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D. A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值2. 函数f (x )＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，＋∞ B. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，1 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，13 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－133. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x2，x<0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为( )A. －1B. 1C. －1或1D. －1或－134. (多选)下列各组函数是同一函数的是( ) A. f (x )＝x 2－2x －1与g (s )＝s 2－2s －1 B. f (x )＝－x3与g (x )＝x －xC. f(x)＝xx与g(x)＝1x0D. f(x)＝x与g(x)＝x25. 若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是( )A. [0,1)B. [0,1]C. [0,1)∪(1,4]D. (0,1)知识聚焦1. 函数的概念(1)设A，B是两个________的数集，如果按某个确定的________，使对于集合A中的_____ ___元素x，在集合B中都有________的元素y和它对应，那么称________为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的________，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的________．函数的定义含有三个要素，即________、________和___ _____．(2)函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．2. 常用的函数的表示方法(1)解析法：就是把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；(2) 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的函数关系；(3) 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．3. 分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数称为分段函数．4. 求复合函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．(2) 若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．分类解密目标1 函数定义域的求解 (2020·江南十校检测)函数y ＝－x2＋2x ＋3lg (x ＋1)的定义域为( )A. (－1,3]B. (－1,0)∪(0,3]C. [－1,3]D. [－1,0)∪(0,3](2) (2020·济南质检)已知函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＋8－2x的定义域为( )A. [0,3]B. [0,2]C. [1,2]D. [1,3](1) 设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f (f (x ))的定义域为( )A. (－9，＋∞)B. (－9,1)C. [－9，＋∞)D. [－9,1)(2) 若函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________.目标2 求函数的解析式根据下列条件求各函数的解析式． (1) 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )； (2) 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )； (3) 若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )．若定义在(0，＋∞)内的函数f (x )满足2f (x )－f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝lgx ，则f (x )＝____________.目标3 分段函数(2021·郑州联考)(1) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x ≥1，11－x ，x<1，则不等式f (x )≤1的解集为( )A. (－∞，2]B. (－∞，0]∪(1,2]C. [0,2]D. (－∞，0]∪[1,2](2) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x>0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．课堂评价1. 函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x的定义域为( ) A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2]2.若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( )A. g (x )＝2x 2－3xB. g (x )＝3x 2－2xC. g (x )＝3x 2＋2xD. g (x )＝－3x 2－2x3.(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (－x )，x <0，e x －1，x ≥0.)若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A. 1B. －1C. 10D. －104.(多选)已知函数f (x )＝x 1＋x2，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )A. f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1xB. －f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1xC. 1f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x D. f (－x )＝－f (x )5. (2021·济南调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ≥1，1－x ，x ＜1，则f (f (0))＝________；若f (m )＞1，则实数m 的取值范围是________．。

函数的概念与表示(教案)一、知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、 函数 （1）、函数的定义： （2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式： 自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、 映射映射的定义： 函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用多个不同的解析式来表示该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。

4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．二、题型探究探究一：求函数的定义域1.(郑州模拟)函数0()A.{x|x<0}B.{x|x>0}C.{x|x<0且x ≠-1}D.{x|x ≠0且x ≠-1,x ∈R} 解析:依题意有x+1≠0|x|-x>0,解得x<0且x ≠-1,故定义域是{x|x<0且x ≠-1}.答案:C2、若函数f(x+1)的定义域是[1,2],则函数)的定义域为________.解析:∵f(x+1)的定义域是[1,2],∴f(x)的定义域为[2,3],对于函数)满足23,∴4≤x ≤9.∴的定义域为[4,9]. 答案:[4,9] 3、函数y=253x x --的值域是{y|y ≤0或y ≥4},则此函数的定义域为________. 解析:∵y ≤0或y ≥4,∴253x x --≤0或253x x --≥4.∴52≤x<3或3<x ≤72. 答案:52≤x<3或3<x ≤72.探究二：求函数的解析式 例2．（1）已知3311(f x x xx +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()(3f x f x x+=，求()f x ．解：（1）∵3331111()(3()f x x x x x x x x+=+=+-+，∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）．（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1f x x x =>-． （3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)3332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+， ∴2a =，7b =，∴()27f x x =+．（4）12()()3f x f x x += ①， 把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x+=②，①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-．注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．三、方法提升1、判断一个对应是否为映射关键在于是否“取值任意性，成象唯一性；判断是否为函数“一看是否为映射，二看A ，B 是否为非空的数集”2、函数是中学最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方法，由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使函数有意义的x 有取值范围；求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合； （2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．四、 反思感悟五、课时作业课时训练 函数的解析式与定义域【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分） 1.（2010江苏南京一模，2）函数y=322--x x +log 2(x+2)的定义域为（ ）A.（-∞,-1）∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪［3,+∞）C.(-2,-1]D.(-2,-1］∪［3,+∞) 答案：D解析：⎩⎨⎧->-≤⇒⎩⎨⎧>+≥--,2,1,02,0322x x x x x 或x ≥3⇒-2<x ≤-1或x ≥3.2.若f(x+1)=21f(x),则下列函数中f(x)为（ ） A.2x B.x+21C.2-xD.21log x 答案：C3.g(x)=1-2x,f ［g(x)］=221x x -(x ≠0),则f(21)等于（ ）A.1B.3C.15D.30答案：C解析：令g(x)=21,则x=41,∴f(21)=22)41()41(1-=15. 4.设函数f(x)=lgx,g(x)=4x -2x+1-3,则函数f ［g(x)］的定义域是（ ） A.（-∞,2） B.(2,+∞) C.(log 23,+∞) D.(-∞,log 23) 答案：C解析：f ［g(x)］=lg ［g(x)］=lg(4x -2x+1-3),由4x -2x+1-3>0,得（2x +1）(2x -3)>0,又2x +1>0,∴2x >3,即x>log 23,故选C.把上表反映的数据关系，用一个函数来近似地表达出，其中数据最接近的一个是（ ） A.S=1+2t-3 B.S=23log 2t C.S=21(t 2-1) D.S=-2t+5.5 答案：B解析：分别取近似数对（2，1.5）,(3,2),(4,3),(8,4.5)代入验证即可选B. 6.已知函数y=f(x)的图象如下图,那么f(x)等于（ ）A.122+-x x B.1||22+-x x C.|x 2-1|D.x 2-2|x|+1 答案：B解析：C 、D 表示二次函数故首先排除.又∵f(-1)=0,故排除A ，故选B. 7.（2010全国大联，8）已知函数y=f(2x )的定义域是［-1，1］，则函数y=f(log 2x)的定义域是（ ）A.（0,+∞）B.(0,1)C.［1，2］D.［2，4］ 答案：D解析：∵x ∈［-1，1］，∴2x ∈［21，2］，故log 2x ∈［21，2］，∴x ∈［2，4］. 二、填空题（每小题5分，共15分） 8.函数f(x)=xx -++211的定义域为_______________. 答案：［-1，2）∪（2，+∞） 解析：∵⎩⎨⎧≠-≥+.02,01x x ∴x ≥-1且x ≠2.9.已知f(x+1)的定义域是［1，2］，那么函数f(x )的定义域为___________________.答案：［4，9］解析：∵x ∈［1，2］，∴x+1∈［2，3］. ∴f(x )中的x 满足2≤x ≤3，即4≤x ≤9.10.设函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),函数g(x)=-x 2+bx+c 且f(2+2)-f(2+1)=21,g(x)的图象过点A （4，-5）及B （-2，-5），则a=____________;函数f ［g(x)］的定义域为_______________. 答案：2 -1<x<3解析：log a (2+2)-log a (2+1)=21⇒log a 2=21,a=2. 由g(4)=g(-2)=-5,知g(x)+5=-(x-4)(x+2),故⎩⎨⎧==.3,2c b∴f ［g(x)］=log 2(-x 2+2x+3),由-x 2+2x+3>0，得-1<x<3.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分） 11.已知函数f(x+a)=|x-2|-|x+2|,且f ［f(a)］=3,求a 的值. 解析：令x=0，f(a)=|-2|-|2|=0. ∴f ［f(a)］=f(0)=|-a-2|-|-a+2|=3. ∴|a+2|-|a-2|=3.当a>2时，有a+2-(a-2)=3无解； 当-2≤a ≤2时，有a+2+(a-2)=3⇒a=23； 当a ≤-2时，有-(a+2)+(a-2)=3无解. ∴a=23. 12.已知函数f(x)=34723++-ax ax x 的定义域为R ,求a 的取值范围.解析：当a=0时，函数定义域为R . 当a ≠0时，要使ax 2+4ax+3≠0对一切x ∈R 恒成立，其充要条件是Δ<0,即16a 2-12a<0,∴0<a<43.因此a 的取值范围为［0，43）. 13.如下图，用长为l 的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计?解析：设半圆的半径为x,则窗户的面积y=21πx 2+2x ·)26(26ππ+-=--x x l x 2+l x, 由⎪⎩⎪⎨⎧>-->,026,0x x l x π解得0<x<π+6l .∴y=-(6+2π)x 2+lx(0<x<π+6l ).当x=π+12l 时y 有最大值.这时半圆的直径为π+122l ,大矩形的另一边长为π+123l.14.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数). （1）写出函数f(x)的定义域和值域；（2）当x ∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t 的取值范围; （3）当x ∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t 的取值范围. 解析：（1）函数f(x)的定义域为（-1，+∞），值域为R . （2）∵2x+t>0,x ∈［0，1］,∴t>0. （3）当0≤x ≤1时，f(x)≤g(x)⇔⎩⎨⎧+≤+>+⇔,21,02t x x t x t ≥1+x -2x(0≤x ≤1)⇔t ≥(1+x -2x)max . 设U=-+1x 2x,m=1+x ,则1≤m ≤2,x=m 2-1, ∴U=m-2(m 2-1)=-2m 2+m+2=-2(m-41)2+81+2. ∴当m=1(x=0)时，U max =1.∴t ≥1.附加题：1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)xf 的定义域为(,0]-∞．2．函数1sin 21sin 2xy x +=-的定义域为{|(1),}6k x x k k Z ππ≠+-∈． 3、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a3m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3m 付b 元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．解：设每月用水量为x 3m ，支付费用为y 元，则有8,0(1)8(),(2)c x ay b x a c x a+≤≤⎧=⎨+-+>⎩由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量153m ，223m 均大于最低限量a 3m ，于是就有198(15)338(22)b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩，解之得2b =，从而219 (3)a c =+再考虑一月份的用水量是否超过最低限量a 3m ，不妨设9a >，将9x =代入（2）式，得982(9)a c =+-+，即217a c =+，这与（3）矛盾．∴9a ≤． 从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有89c +=，得1c =． 故10a =，2b =，1c =．4．（2010山东理）(11)函数y =2x-的图像大致是2x5．山东卷理)函数的图像大致为 ( ).答案 A解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.x xx xe e y e e--+=-0xxe e--≠{}0|≠x x 22212111x x x x x x x e e e y e e e e --++===+---0x >A。

§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。

专题3.1函数的概念及其表示练基础1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（）A ．1-B ．1C ．13-D ．132．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩则(3)f =（）A ．7B ．2C ．10D ．123．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（）A ．16B ．18C ．21D ．244．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（）A ．1B ．3C ．3-D ．1或35．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为().A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]6．（广东高考真题）函数()f x x=的定义域是______．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.练提升1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（）A ．t 没有最小值B ．t 51-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为17122．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.9.（2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）10.（2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.练真题1.（山东高考真题）设=s 0<<12−1,≥1,若=+1,则=（）A．2B．4C．6D．82.（2018上海卷）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，1的可能取值只能是（）A．3D．03.（2018年新课标I 卷文）设函数=2−，≤01，>0，则满足+1<2的x 的取值范围是（）A.−∞，−1B.0，+∞C.−1，0D.−∞，04.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．5.（2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．。

第二章 函 数高考导航 考试要求重难点击 命题展望1.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单运用.4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质.6.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.7.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点.8.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.9.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点.10.了解指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax (a ＞0且a≠1)互为反函数.11.了解幂函数的概念，结合函数y ＝x ， y ＝x2， y ＝x3 ,y ＝x 1， y ＝21x 的图象，了解它们的变化情况.12.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数.13.根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 本章重点：1.函数的概念及其三要素； 2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义；3.函数的最大(小)值；4.指数函数与对数函数的概念和性质；5.函数的图象及其变换；6.函数的零点与方程的根之间的关系；7.函数模型的建立及其应用. 本章难点：1.函数概念的理解；2.函数单调性的判断；3.函数图象的变换及其应用；4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用；5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系；6.函数模型的建立及求解.高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.知识网络2.1函数的概念及表示法典例精析题型一 求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x ＋1)＝x2＋x ＋1，求f(x)的表达式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，求f(x)的表达式. 【解析】(1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入得f(x)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t2－t ＋1，所以f(x)＝x2－x ＋1. (2)由f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f(－x)＋2 f(x)＝3x2－5x ＋3，解得f(x)＝x2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f(x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f(x x+-11)＝2211x x +-，求f(x)的解析式.【解析】设x x +-11＝t ，则x ＝t t +-11，所以f(t)＝22)11(1)11(1t t t t +-++--＝212t t +， 所以f(x)＝212x x+(x≠－1).题型二 求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只需要⎩⎨⎧>->-,09,0222x x x 即⎩⎨⎧<<-<>,33,02x x x 或解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3). (2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4]. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待. 【变式训练2】已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.【解析】因为y ＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y ＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y ＝f(log2x)的定义域为[2，4].题型三 由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝2l －2πx －x ，半圆的半径为x ， 所以y ＝22πx ＋(2l －π2x －x)·2x ＝－(2＋π2)x2＋lx.由实际意义知2l －π2x －x ＞0，因x ＞0，解得0＜x ＜π+2l.即函数y ＝－(2＋π2)x2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜π+2l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y ＝f(x)，则y ＝f(x)的图象是( ) 【解析】由题意得y ＝10x(2≤x≤10)，选A. 题型四 分段函数【例4】 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧≥+<+).0(1),0(32x x x x(1)求f(1)＋f(－1)的值； (2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4. (2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a ＝0.所以a ＝－2或a ＝0. (3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0； 当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x ＞1. 所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【解析】不妨设a ＜b ＜c ，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a ＜1＜b ＜10＜c ＜12，所以－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，所以ab ＝1，所以abc 的范围为(10,12)，故选C.总结提高1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.。

函 数一、函数及其表示自主梳理1．函数的基本概念 (1)函数定义设A ，B 是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 ,在集合B 中 ，称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，x 的取值范围A 叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域．(2)函数的三要素__________、________和____________． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________. (4)函数相等如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据． (5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________． 2．映射的概念 (1)映射的定义设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B中 确定的元素y 与之对应，那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的 .（2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A 、B 必须是 数集.自我检测1．(2011·佛山模拟)设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．(2010·湖北)函数y ＝1log 0.5x －的定义域为( )A ．(34，1)B ．(34，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(34，1)∪(1，＋∞)3．(2010·湖北)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x， x ≤0，则f(f (19))等于( )A ．4 B.14C ．－4D ．－144．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝(x )2C ．y ＝lg 10xD ．y ＝2log 2x5．(2011·衡水月考)函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．探究点一 函数与映射的概念例1 (教材改编)下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；（2）P ={-1,1,-2,2}，Q ={1，4}，对应关系:f :x →y =x 2,x ∈P ,y ∈Q ;(3)P ={三角形}，Q ={x |x >0}，对应关系f :对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应.变式迁移1 已知映射f :A →B .其中B ．其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是 ( )A ．k >1B ．k ≥1C ．k <1D ．k ≤1 探究点二 求函数的定义域例2 (1)求函数y ＝x ＋1＋x －0－x的定义域；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f x 21＋x ＋的定义域是________________________________________________________________________．探究点三 求函数的解析式例3 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x )．变式迁移3 (2011·武汉模拟)给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．探究点四 分段函数的应用例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4变式迁移4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围是________________．1．与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 2．解析式的求法求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( )(1)y 1＝x ＋3x －5x ＋3，y 2＝x －5；(2)y 1＝x ＋1x －1，y 2＝x ＋1x －1；(3)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(4)f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3x －1；(5)f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(4)D ．(3)(5)2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是 ( ) A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或23．(2011·洛阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ≤－，x 2－1<x，2x x，若f (x )＝3，则x 的值是 ( )A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3D. 34．(2009·江西)函数y ＝x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为 ( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]5.（2011·台州模拟）设f :x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ={1，2}，则A ∩B 为 ( )A ．∅B ．{1} C6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y ＝2x (x∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2，x <0的图象是抛物线．其中正确的命题个数是________．7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1 xx 2x，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2x x，则f [g (3)]＝________，g [f (－12)]＝________.8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝______.三、解答题(共38分)9．(12分)(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式； (3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．10．(12分)已知f (x )＝x 2＋2x －3，用图象法表示函数g (x )＝f x ＋|f x2，并写出g (x )的解析式．11．(14分)(2011·湛江模拟)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，10.2， x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律： (1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？一、函数及其表示答案 自主梳理 1．(1)数集 任意一个数x 都有唯一确定的数f(x)和它对应 定义域 函数值的集合{f(x)|x∈A} (2)定义域 值域 对应关系 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应关系 (5)定义域 对应关系 并集 并集 2.(1)都有唯一 一个映射 (2)函数 非空自我检测1．B [对于题图(1)：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；对于题图(2)：M 中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数关系；对于题图(3)：符合M 到N 的函数关系；对于题图(4)：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．]2．A 3.B 4.C5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，即ax 2－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；②当a ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， ∴0<a <4.综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．(2)解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．变式迁移1 A [由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．]例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？解 (1)要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1.所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)， ∴1<2x ＋1<3，所以f (x )的定义域是(1,3)．变式迁移2 (－1，－910)∪(－910，2]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤2x ＋1>01＋x ＋得－1<x ≤2且x ≠－910. 即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．例3 解题导引 函数解析式的类型与求法(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f (1x)等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)2f (x )＋f (1x)＝3x ， ①把①中的x 换成1x，得学案5 函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间D 上是______________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是________．(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．(4)函数y ＝x ＋a x(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上是单调________；在(－a ，0)，(0，a )上是单调______________；函数y ＝x ＋a x(a <0)在______________上单调递增．2．最值 一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的____________．自我检测1．(2011·杭州模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是 ( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有 ( )A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)>f (a )3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( ) A ．y ＝1－2x B ．y ＝x －1C ．y ＝－x 2＋2x D ．y ＝54．(2011·合肥月考)设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是 ( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为 ( )A ．[c,55＋c ]B ．[－43＋c ，c ]C ．[－43＋c,55＋c ] D ．[c,20＋c ]探究点一 函数单调性的判定及证明例1 设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋1f x，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．探究点二 函数的单调性与最值例2 (2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三 抽象函数的单调性例3 (2011·厦门模拟)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.分类讨论及数形结合思想例 (12分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 【答题模板】解 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .(1) 当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[3分](2)当0≤a <1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[6分](3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.[9分](4)当a >2时，由图④可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1. 综上，(1)当a <0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ；(2)当0≤a <1时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝3－4a ；(3)当1<a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝－1； (4)当a >2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1.[12分] 【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x ＝a ，而a 的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a <0,0≤a ≤2，a >2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f (0)，也有可能是f (2)．1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．2．若函数f (x )，g (x )在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质： (1)f (x )与f (x )＋C 具有相同的单调性．(2)f (x )与af (x )，当a >0时，具有相同的单调性，当a <0时，具有相反的单调性．(3)当f (x )恒不等于零时，f (x )与1f x具有相反的单调性．(4)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )＋g (x )是增(减)函数．(5)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )·g (x )当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·泉州模拟)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2009·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．(2009·宁夏，海南)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．(2011·丹东月考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]5．(2011·葫芦岛模拟)已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数； ④y ＝|f (x )|是增函数．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·湖州模拟)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．10．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)(2011·鞍山模拟)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．答案 自主梳理1．(1)增函数(减函数) (2)增函数 减函数 (3)单调区间 (4)递增 递减 (－∞，0)，(0，＋∞) 2.最大(小)值自我检测 1．B [由已知得a <0，b <0.所以二次函数对称轴为直线x ＝－b2a<0，且图象开口向下．]2．D [∵a 2＋1>a ，f (x )在R 上单调递增，∴f (a 2＋1)>f (a )．]3．C [常数函数不具有单调性．]4．D [在本题中，x 1，x 2不在同一单调区间内，故无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小．]5．C [∵f (x )＝3(x －23)2－43＋c ，x ∈[0,5]，∴当x ＝23时，f (x )min ＝－43＋c ；当x ＝5时，f (x )max ＝55＋c .]课堂活动区例1 解题导引 对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解 在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2， 则Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝x 2＋a x 1＋b －x 2＋b x 1＋a x 1＋b x 2＋b＝b －a x 2－x 1x 1＋b x 2＋b.∵a >b >0，∴b －a <0，∴(b －a )(x 2－x 1)<0， 又∵x ∈(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)，∴只有当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即Δy <0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1 解 在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)>f (x 1)，F (x 2)－F (x 1)＝[f (x 2)＋1f x 2]－[f (x 1)＋1f x 1]＝[f (x 2)－f (x 1)][1－1f x 1f x 2]，∵f (x )是R 上的增函数，且f (5)＝1，∴当x <5时，0<f (x )<1，而当x >5时f (x )>1； ①若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1，∴0<f (x 1)f (x 2)<1，∴1－1f x 1f x 2<0，∴F (x 2)<F (x 1)；②若x 2>x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1，∴f (x 1)·f (x 2)>1，∴1－1f x 1f x 2>0，∴F (x 2)>F (x 1)．综上，F (x )在(－∞，5)为减函数，在(5，＋∞)为增函数．例2 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，设x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵1<x 1<x 2，∴1－12x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2) ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)方法一 在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)， y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )恒成立， 故a >－3.方法二 f (x )＝x ＋a x＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，满足题意，当a <0时，函数f (x )递增；当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3.方法三 在区间[1，＋∞)上f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．即a >－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a >－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值．∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1.当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3. 变式迁移2 解 设1<x 1<x 2.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－(x 2－a x 2＋a2)＝(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0.又∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2恒成立．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，－x 1x 2<－1.∴a ≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．例3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f (x )为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．(1)证明 设x 1>x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)又∵x >0时，f (x )<0.而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1) ∴f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式迁移3 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0，∴f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴当x >0时，由f (|x |)<－2，得f (x )<f (9)，∴x >9； 当x <0时，由f (|x |)<－2，得f (－x )<f (9)， ∴－x >9，故x <－9，∴不等式的解集为{x |x >9或x <－9}． 课后练习区1．A [f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．]2．C [由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1.]3．C [由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．]4．D [f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.]5．A [∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0， ∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)， f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)， f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.]6．[0，32]解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －x xx －x x.画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．7．③解析 举例：设f (x )＝x ，易知①②④均不正确． 8．4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x －x ，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4.9．(1)证明 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.………………………………………………………………………(5分)∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………………………………………………………(6分)(2)解 由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．……………………………………………………………………………………………(8分)∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．…………………………………………………………(10分) 故a ≤h (1)，即a ≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(12分) 10．解 设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0， 由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．……………………………………………………………(4分)(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.……………………………………………………………(8分) (3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.………………………………………………(12分) 11．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)，由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分) (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1分∴－32≤x <－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1.…………………………………………………………………(10分)问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2.……………………………………………………(14分) 2f (1x )＋f (x )＝3x， ②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x.变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应关系． ③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．C [方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋b －＋c ＝c ，－2＋b －＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．]变式迁移4 (－1，2－1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0的图象如图所示：f (1－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x1－x 2>0，解得－1<x <2－1.课后练习区1．C [(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应关系不同；(4)定义域相同，且对应关系相同；(5)定义域不同．]2．C [有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．]3．D [该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.]4．C5．D [由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，故A ∩B ＝∅或{1}．] 6．1解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．7．7 31168．29．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3.………………………………………………………………………………………………(4分)(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)即有⎩⎪⎨⎪⎧2f x －f －x ＝x ＋12f －x －f x ＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.……………………………………………………(8分)(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b －1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，…(10分)又∵方程有唯一解， ∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.……………………………………………………………………………(12分)10．解 函数f (x )的图象如图所示，……………………………………(6分) g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3 x ≤－3或x 0 －3<x …………………………………………………(12分)11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.………………………………………………(4分)(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，得1<x <7，所以1<x ≤5.………………………………………………………………(8分) 当x >5时，有8.2－x >0， 得x <8.2，所以5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．……………………………………………………………………………………(10分)(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6.故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.…………………………………………………………(12分) 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品售价为R4＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．……………………………………………………………………………(14分)学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有______________，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有____________，则称f (x )为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____； f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于_____ ___ 对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性． 3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝________，则称f (x )为________函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________________．(2)性质： ①f (x ＋T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T2)．②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2011·茂名月考)如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是 ( )A ．增函数且最小值是－5B ．增函数且最大值是－5C ．减函数且最大值是－5D ．减函数且最小值是－53．函数y ＝x －1x的图象 ( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称4．(2009·江西改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为 ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．25．(2011·开封模拟)设函数f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，则a ＝________.探究点一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ；(2)f (x )＝x (12x －1＋12)； (3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ，x >0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－x 3；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．变式迁移2 (2011·承德模拟)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．探究点三 函数性质的综合应用例3 (2009·山东)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.变式迁移3 定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例 (12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 【答题模板】解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.[2分] (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.[4分]令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．[6分] (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，[7分] ∵f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)[8分] ∵f (x )为偶函数，∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[10分]又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )的定义域为D. ∴0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.[11分]解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.∴x 的取值范围为{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}．[12分]【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x ))≤f (a )的形式，但思维障碍在于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，g (x )是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x )是偶函数的结论，则有f (g (x ))＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x )的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0<|g (x )|≤a ，解之得x 的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x )，若有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 为常数且a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·吉林模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为( )A ．－13 B.13C.12 D ．－122．(2010·银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x )为偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，若f (－3)＝0，则f xx<0的解集为 ( ) A ．(－3,0)∪(0,3) B ．(－∞，－3)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－3,0)∪(3，＋∞)3．(2011·鞍山月考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)等于 ( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.54．(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于 ( )A ．3B ．1C ．－1D ．－35．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)大小关系是 ( )A ．f (－1)>f (2)B ．f (－1)<f (2)C6．(2010·辽宁部分重点中学5月联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，a ， x ＝0，x ＋b ，x <0是奇函数，则a ＋b ＝________.7．(2011·咸阳月考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且f (1)>1，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·汕头模拟)已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的表达式．10．(12分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3) (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．11．(14分)(2011·舟山调研)已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．答案 自主梳理1．f (－x )＝－f (x ) f (－x )＝f(x ) 2．(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反3．(1)f(x ) 周期 最小正周期 (2)③2a 自我检测1．B [因为f(x )为偶函数，所以奇次项系数为0，即m －2＝0，m ＝2.] 2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．] 3．A [由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]4．C [f (－2 012)＋f (2 011)＝f (2 012)＋f (2 011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.] 5．－1解析 ∵f (－1)＝0，∴f (1)＝2(a ＋1)＝0，∴a ＝－1.代入检验f(x)＝xx 12-是奇函数，故a ＝－1.课堂活动区例1 解题导引 判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x )为偶函数． (3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解 (1)定义域要求xx+-11≥0且x ≠－1， ∴－1<x ≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x )是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x )＝－x )21121(+--x＝－x )21212(+-x x ＝)21122(--x x x ＝)21121(+-xx ＝f(x)． ∴f(x )是偶函数． (3)函数定义域为R .∵f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1) ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f (－1)＝2，f (1)＝0，f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，从而函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|≠3得，f (x )定义域为[－2,0)∪(0,2]．∴定义域关于原点对称，又f (x )＝4－x 2x，f (－x )＝－4－x2x∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数．例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反． 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增， 且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －12xx －12即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.。