§3.1.2 空间向量的数乘运算（一） 班级：二年级 组名：数学 设计人： 审核人： 领导审批：
学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问
题．
学习过程
一、课前准备（由学生完成）
（预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处）
复习1：化简：⑴ 5（32a b -）+4（23b a -）；
⑵ ()()63a b c a b c -+--+-.
2：在平面上，什么叫做两个向量平行？
在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件
是
二、新课导学 学习探究（由学生完成）
一：空间向量的共线
问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关
系？
新知：空间向量的共线：
1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
2. 空间向量共线：
定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠）， //a b 的充要条件是存在唯一 实数λ，使得
推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向
量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的
充要条件是
反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向
量与任何向量共线.
知识应用：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共
线.
精讲例题 例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，
试判断A,B,P 三点是否共线？
变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝
例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .
变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式：⑴ 'AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222
AD AB A A +-
变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得：
⑴22OP OA AB AC =++
⑵
32OQ OA AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+-
⑷23OS OA AB AC =+-.
小结（由学生完成）空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.
※ 动手试试（由学生完成）
练1. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；
B. 任意两个共线向量不一定是共线向量；
C. 任意两个共线向量相等；
D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=.
2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++，0a ≠，若//a b ，求实数.x
三、总结提升
※ 学习小结
1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；
2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.
知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列说法正确的是（ ）
A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线
B. 任意两个相等向量不一定共线
C. 任意两个共线向量相等
D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=
2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD y AB z AA =++,
则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .
3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP OA + OB .
4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO
5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ） A. 1122a b c -++； B. 1122
a b c ++； C.
11a b c -+； D. 1122a b c --+.
