高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版学案第八章

第二章 基本初等函数第6讲 函数的概念及其表示方法A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·北京一模)已知函数f (x )＝x 3－2x ,则f (3)等于( )A. 1B. 19C. 21D. 352. (2019·石家庄二模)设集合M ＝{x |0≤x ≤2},N ＝{y |0≤y ≤2},给出如下四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是( )A BCD3. (2019·厦门质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫12x ，x >0， 则f (f (log 23))等于( ) A. －9 B. －1C. －13D. －1274. (2019·河南名校段测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f （x －4），x ＞9，则f (13)＋2f ⎝⎛⎭⎫13 的值为( ) A. 1 B. 0 C. －2 D. 25. (2019·河北衡水)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4 ,则实数m的取值范围是( )A. (0,4]B. ⎣⎡⎦⎤32，4C. ⎝⎛⎭⎫32，＋∞D. ⎣⎡⎦⎤32，3二、 解答题6. (1) 已知f (x )是二次函数且f (0)＝2,f (x ＋1)－f (x )＝x －1,求f (x )的解析式．(2) 已知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1,求f (x )的解析式．7. 已知f (x )＝x 2－1,g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1) 求f (g (2))和g (f (2))的值；(2) 求f (g (x ))和g (f (x ))的表达式．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4 ,则函数y ＝f (x )的定义域为________,函数y ＝f (2x ＋1)的定义域为________．2. (2019·南京三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f （x －2），x ＞0， 则f (log 23)＝________． 3. (2018·南阳一模)已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋3x ,则f (x )的解析式为________．4. (2018·郴州质量监测)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x ＞0，则使f (a )＝－1成立的a 值是________．二、 解答题5. (1) 已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1,求f (x ).(2) 已知定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1),求f (x ).6. 对于每个实数x ,设f (x )取y ＝4x ＋1,y ＝x ＋2,y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值,用分段函数写出f (x )的解析式,并求f (x )的最大值．第7讲 函数的单调性与最值A 组 应知应会一、 选择题1. (多选)已知f (x )是定义在[0,＋∞)上的函数,根据下列条件可以断定f (x )为增函数的是( )A. 对任意x ≥0,都有f (x ＋1)＞f (x )B. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≥x 2,都有f (x 1)≥f (x 2)C. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1－x 2<0,都有f (x 1)－f (x 2)<0D. 对任意x 1,x 2∈[0,＋∞),且x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0 2. 下列函数中,在区间(－1,1)上为减函数的是( )A. y ＝11－xB. y ＝cos xC. y ＝ln (x ＋1)D. y ＝2－x 3. 若函数y ＝2－x x ＋1,x ∈(m ,n ]的最小值为0,则m 的取值范围是( ) A. (1,2) B. (－1,2) C. [1,2) D. [－1,2)4. (2019·郑州调研)若函数f (x )＝x －1x 2 在x ∈[1,4]上的最大值为M ,最小值为m ,则M －m 的值是( )A. 3116B. 2C. 94D. 1145. (2019·武汉质检)若函数y ＝log 12(x 2－ax ＋3a )在区间(2,＋∞)上是减函数,则a 的取值范围为( )A. (－∞,－4)∪[2,＋∞)B. (－4,4]C. [－4,4)D. [－4,4]二、 解答题6. 已知f (x )＝x x 2＋1,判断并证明函数f (x )在区间[－1,0]上的单调性．7. 求下列函数的值域．(1) f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x，x >1； (2) y ＝x －x .B 巩固提升一、填空题1. 函数f (x )＝1－2x ＋1的单调增区间是________． 2. (2019·太原期末)已知函数f (x )＝x ＋1x －1,x ∈[2,5],则f (x )的最大值是________． 3. (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________．4. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1 满足对任意x 1≠x 2,都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2 ＞0成立,那么实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0,x ＞0). (1) 求证：f (x )在(0,＋∞)上是增函数；(2) 若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ,求a 的值．6. 已知函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2).(1) 求f (1)的值；(2) 判断f (x )的奇偶性并证明；(3) 如果f (4)＝1,f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3,且f (x )在(0,＋∞)上是增函数,求x 的取值范围．第8讲 函数的奇偶性与周期性课时1 函数奇偶性判定与周期性A 组 应知应会一、 选择题1. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,＋∞)上单调递减的函数是( )A. y ＝x 3B. y ＝ln 1|x |C. y ＝2|x |D. y ＝cos x 2. (2019·济宁二模)已知f (x )是定义在R 上的周期为4的奇函数,当x ∈(0,2)时,f (x )＝x 2＋ln x ,则f (2 019)等于( )A. －1B. 0C. 1D. 23. (2019·烟台一模)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数,f ⎝⎛⎭⎫14 ＝1,当x <0时,f (x )＝log 2(－x )＋m ,则实数m 等于( )A. －1B. 0C. 1D. 24. 已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x ＋4)＝f (x ),当x ∈(－2,0)时,f (x )＝2x 2,则f (2 019)等于( )A. －2B. 2C. －98D. 985. (多选)设函数f (x )的定义域为R,且f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝0,f (0)≠0,若对于任意实数x ,y ,恒有f (x )＋f (y )＝2f ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2 ·f ⎝⎛⎭⎫x －y 2 ,则下列说法正确的是( )A. f (0)＝1B. f (x )＝f (－x )C. f (x ＋2π)＝f (x )D. f (2x )＝2f (x )－1二、 解答题6. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(－∞,0)时,f (x )＝－x lg (2－x ),求函数f (x )的解析式．7. 已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数,且f (1)＝1,若a ,b ∈[－1,1],且a ＋b ≠0时,有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0恒成立． (1) 用定义证明函数f (x )在[－1,1]上是增函数；(2) 解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12 <f (1－x ).B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·日照一模)若函数f (x )＝x 2＋(3－a )x ＋1为偶函数,则a ＝________．2. 设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )＝log 2(x ＋1),则当x ∈[1,2]时,f (x )＝________．3. (2019·苏州期初调查)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0 为奇函数,则实数a 的值为________．4. (2019·南通、泰州、扬州一调)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时,f (x )＝x 3－ax ＋1,则实数a 的值为________．二、 解答题5. 设f (x )是(－∞,＋∞)上的奇函数,f (x ＋2)＝－f (x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝x .(1) 求f (π)的值；(2) 当－4≤x ≤4时,求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x ),当x ∈[0,2]时,f (x )＝2x －x 2.(1) 求证：f (x )是周期函数；(2) 当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式；(3) 计算f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)的值．课时2 函数性质的应用A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·山西考前训练)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,1)内是增函数的是( )A. y ＝x ln xB. y ＝x 2＋xC. y ＝sin 2xD. y ＝e x －e －x2. (2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2,则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于 ( )A. －50B. 0C. 2D. 503. (2019·九江二模)已知函数f (x )满足：①对任意x ∈R,f (x )＋f (－x )＝0,f (x ＋4)＋f (－x )＝0成立；②当x ∈(0,2]时,f (x )＝x (x －2),则f (2 019)等于( )A. 1B. 0C. 2D. －14. (多选)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )和偶函数y ＝g (x )满足f (x )＋g (x )＝4x ,下列结论正确的有( )A. f (x )＝4x －4－x 2,且0<f (1)<f (2) B. ∀x ∈R,总有[g (x )]2－[f (x )]2＝1C. ∀x ∈R,总有f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝0D. ∃x 0∈R,使得f (2x 0)＞2f (x 0)g (x 0)5. (2019·临沂一模)已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数,当x ＞0时,函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称,则g (－1)＋g (－2)等于( )A. －7B. －9C. －11D. －13二、 解答题6. 若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数,且x ∈[0,1)时f (x )为增函数,求不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12 ＜0的解集．7. 已知函数f (x )是(－∞,＋∞)上的偶函数,若对于x ≥0,都有f (x ＋2)＝－f (x ),且当x ∈[0,2)时,f (x )＝log 2(x ＋1).(1) 求f (0)与f (2)的值；(2) 求f (3)的值；(3) 求f (2 021)＋f (－2 022)的值．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )同时满足条件：①偶函数；②值域为[0,＋∞)；③周期为2 020,请写出f (x )的一个解析式：______________．2. 已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1),b ＝g (20.8),c ＝g (3),则a ,b ,c 的大小关系是________．3. 设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2,则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________． 4. 函数f (x )＝x 3－3x 2的对称中心是________．二、 解答题5. 若f (x )和g (x )都是奇函数,且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0,＋∞)上有最大值8,求F (x )在(－∞,0)上的最小值．6. 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1) 证明：y ＝f (x )是周期函数,并指出其周期；(2) 若f (1)＝2,求f (2)＋f (3)的值；(3) 若g (x )＝x 2＋ax ＋3,且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数,求实数a 的值．第9讲二次函数与幂函数A组应知应会一、选择题1. 若a＝3221⎪⎭⎫⎝⎛,b＝3251⎪⎭⎫⎝⎛,c＝3121⎪⎭⎫⎝⎛,则a,b,c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. b<a<c2. 若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y＝f(x)的大致图象是()A BC D3. (2019·安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a,x∈[0,1],若f(x)有最小值－2,则f(x)的最大值为()A. 1B. 0C. －1D. 24. 将进价为40元的商品按50元一件销售,一个月恰好卖500件,而价格每提高1元,就会少卖10个,商店为使该商品利润最大,应将每件商品定价为()A. 50元B. 60元C. 70元D. 100元5. (多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R),给出下列命题,其中是真命题的是()A. 若a2－b≤0,则f(x)在区间[a,＋∞)上是增函数B. 存在a∈R,使得f(x)为偶函数C. 若f(0)＝f(2),则f(x)的图象关于x＝1对称D. 若a2－b－2＞0,则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点二、解答题6. 已知二次函数f(x)同时满足条件：①对称轴方程是x＝1；②f(x)的最大值为15；③f(x)＝0的两根立方和等于17.求f(x)的解析式．7. 已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在(－∞,1]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[0,t＋1],总有|f(x1)－f(x2)|≤2,求实数t的取值范围．B 组 能力提升一、 填空题1. 已知函数f (x )＝ax 2－2x －3在区间为(－∞,4)上单调递减,则a 的取值范围是________．2. 若二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1,一个零点大于3,则实数a 的取值范围是________．3. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，－2≤x <0，x 2－2x －3，0≤x ≤3 的值域是________． 4. 已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c ＋1(a ≠0)的值域为(－∞,1],则1a ＋4c的最大值是________．二、 解答题5. (1) 已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上具有单调性,求实数k 的取值范围．(2) 已知关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－kx ＋3.(1) 若f (x )在[－2,2]上存在单调减区间,求k 的取值范围；(2) 从下面三个函数中：①g (x )＝mx ＋5－m ；②h (x )＝2x －m ；③r (x )＝log 2(3－x )－m ,任选一个函数补充在下列问题中,若m 存在,求m 的取值范围；若不存在,请说明理由．问题：当k ＝0时,若对任意的x 1∈[1,2],总存在x 2∈[－1,2],使得f (2x 1)＝k (x 2)成立．(其中k (x )是你选择的函数)第10讲 指数式与指数函数A 组 应知应会一、 选择题1. (多选)下列结论中不正确的是( )A. 函数f (x )＝x x -⎪⎭⎫⎝⎛221的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，12 B. 函数f (x )＝2x －12x ＋1为奇函数 C. 函数y ＝1x ＋1的单调减区间是(－∞,1)和(1,＋∞) D. 1x＞1是x <1的必要不充分条件 2. 已知a ＝243 ,b ＝425 ,c ＝2513,则( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b3. 若3x ＝a ,5x ＝b ,则45x 等于( )A. a 2bB. ab 2C. a 2＋bD. a 2＋b 24. (2019·东北三校联考)已知函数f (x )＝a x －1(a ＞0,a ≠1)的图象恒过点A ,下列函数中图象不经过点A 的是( )A. y ＝1－xB. y ＝|x －2|C. y ＝2x －1D. y ＝log 2(2x )5. (多选)已知函数f (x )＝e x －e －x 2 ,g (x )＝e x ＋e －x 2,则f (x ),g (x )满足( ) A. f (－x )＝－f (x ),g (－x )＝g (x )B. f (－2)<f (3)C. f (2x )＝2f (x )g (x )D. [f (x )]2－[g (x )]2＝1二、 解答题6. 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 ax ,a 为常数,且函数的图象过点(－1,2).(1) 求a 的值；(2) 若g (x )＝4－x －2,且g (x )＝f (x ),求满足条件的x 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )＝2x －1.(1) 求f (3)＋f (－1)；(2) 求f (x )在R 上的解析式；(3) 求不等式－7≤f (x )≤3的解集．B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·菏泽九校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间(－∞,0)上单调递增．若实数a 满足f (32a －1)≥f (－3 ),则a 的最大值是________．2. (2019·石家庄二模)若函数f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数,且满足f (x )＋2g (x )＝e x ,则g (－1),f (－2),f (－3)从大到小的顺序是________．3. (2018·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x ，x <1，x ＋4x，x ≥1 (e 是自然对数的底).若函数y ＝f (x )的最小值是4,则实数a 的取值范围为________．4. (2019·聊城一模)设函数f (x )＝1e x －1＋a ,若f (x )为奇函数,则不等式f (x )＞1的解集为________．二、解答题5. 已知函数f (x )＝b ·a x (a ＞0,且a ≠1,b ∈R)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1) 设g (x )＝1f （x ）＋3 －16,确定函数g (x )的奇偶性； (2) 若对任意x ∈(－∞,1],不等式⎝⎛⎭⎫a b x≥2m ＋1恒成立,求实数m 的取值范围．6. 设f (x )＝a x ＋a －x 2 ,g (x )＝a x －a －x 2,其中a 为常数,且a ＞0,a ≠1. (1) 求证：g (5)＝g (2)f (3)＋f (2)g (3)；(2) 试写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式,使得第(1)问的结论是这个等式的一个特例,并证明它在f (x )和g (x )的公共定义域R 上恒成立；(3) 试再写出一个f (x )和g (x )的函数值满足的等式．第11讲 对数与对数函数A 组 应知应会一、 选择题1. (2019·全国卷Ⅰ) 已知a ＝log 20.2,b ＝20.2,c ＝0.20.3,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a2. (多选)已知函数f (x )＝ax 3－1x＋b (a ＞0,b ∈Z),选取a ,b 的一组值计算f (lg a )和f ⎝⎛⎭⎫lg 1a 所得出的结果可以是( )A. 3和4B. －2和5C. 6和2D. －2和23. (2019·枣庄一模)已知2x ＝5y ＝t ,1x ＋1y＝2,则t 等于( ) A. 110 B. 1100C. 10D. 100 4. (2019·汕头一模)已知当0<x ≤12时,不等式log a x <－2恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A. (2 ,2) B. (1,2 )C. ⎝⎛⎭⎫22，1 D. (0,2 ) 5. (2019·肇庆二模)已知f (x )＝lg (10＋x )＋lg (10－x ),则( )A. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是增函数B. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是增函数C. f (x )是奇函数,且在(0,10)上是减函数D. f (x )是偶函数,且在(0,10)上是减函数二、 解答题6. 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3).(1) 若f (1)＝1,求f (x )的单调区间；(2) 若f (x )的最小值为0,求a 的值．7. 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (0)＝0,当x ＞0时,f (x )＝log 12x . (1) 求函数f (x )的解析式；(2) 解不等式f (x 2－1)＞－2.B 组 能力提升一、 填空题1. (2019·南京、盐城一模)已知y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数,且当x ＞0时,f (x )＝e x ＋1,则f (－ln 2)的值为________．2. (2019·孝义二模)若函数y ＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________．3. 若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a ＞0,a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 内恒有f (x )＞0,则f (x )的单调增区间为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12 ＝________, 方程f (f (x ))＝1的解集是________． 二、 解答题5. 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞0,a ≠1)在区间[1,7]上的最大值比最小值大12,求a 的值．6. 已知函数f (x )＝ln (1＋x )＋ln (a －x )为偶函数,a ∈R ．(1) 求a 的值,并讨论f (x )的单调性；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫12 <f (lg x ),求x 的取值范围．第12讲函数的图象课时1图象变换及识别A组应知应会一、选择题1. (2019·黄山一模)已知图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x),则图(2)中的图象对应的函数为()(第1题)A. y＝f(|x|)B. y＝f(－|x|)C. y＝|f(x)|D. y＝－f(|x|)2. (2019·厦门质检)函数y＝cos x＋ln (|x|＋1)(x∈[－2π,2π])的图象大致为()A BC D3. (2019·泉州质检)函数f(x)＝e|x|2x的部分图象大致为()A BC D4. (2019·长沙月考)函数f(x)＝ln (x－1)＋ln (x＋1)＋cos x的大致图象是()A BC D5. (2019·济南一模)若函数f (x )＝a x －a －x (a ＞0)在R 上为减函数,则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )A BC D二、解答题6. 如图,定义在[－1,＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,求f (x )的解析式．(第6题)7. 已知函数f (x )＝1＋|x |－x 2(－2<x ≤2). (1) 用分段函数的形式表示该函数；(2) 画出该函数的图象；(3) 写出该函数的值域．B 组 能力提升一、 填空题1. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ＜1，－x ＋3，x ≥1， 使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________． 2. 已知函数f (x )＝1x,则y ＝f (x －1)＋1的单调减区间为________． 3. 若函数f (x )＝|2x －4|－a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为________．4. (2019·龙岩质检)已知定义在R 上的可导函数f (x ),g (x )满足f (x )＋f (－x )＝6x 2＋3,f (1)－g (1)＝3,g ′(x )＝f ′(x )－6x ,如果g (x )的最大值为M ,最小值为N ,则M ＋N ＝________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝|x |(x －a ),a ＞0.(1) 作出函数f (x )的图象；(2) 写出函数f (x )的单调区间；(3) 当x ∈[0,1]时,由图象写出f (x )的最小值．6. 设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ,b 为常数),且方程f (x )＝32 x 的两个实根分别为x 1＝－1,x 2＝2.(1) 求y ＝f (x )的解析式；(2) 证明：函数y ＝f (x )的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心．课时2以函数图象为背景的问题A组应知应会一、选择题1. (2019·合肥质检)函数f(x)＝x2＋x sin x的图象大致为()A BC D2. (2019·芜湖期末)函数f(x)＝ln |x＋1|x＋1的部分图象大致为()A BC D3. (2019·广州一模)如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h ＝f(t)的图象大致是()(第3题)ABCD4. (多选)函数f (x )＝|x |＋ax2 (其中a ∈R)的图象可能是( )ABCD二、 填空题5. 已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm＝________．6. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1 的图象如图所示,则f (－3)＝________．(第6题)7. 若函数f (x )＝x ＋1x 的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝________．8. (2019·长沙统测)已知f (x )＝|e x －1|＋1,若函数g (x )＝[f (x )]2＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点,则实数a 的取值范围是________．9. 不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －log 12x <0的整数解的个数为________．B 组 能力提升一、 选择题 1. (2019·潍坊模拟)函数y ＝4cos x －e |x |的图象可能是( )ABCD2. (2019·河南省六市联考)设实数a ,b ,c 分别满足a ＝5－12 ,b ln b ＝1,3c 3＋c ＝1,则a ,b ,c 的大小关系为( )A. c ＞b ＞aB. b ＞c ＞aC. b ＞a ＞cD. a ＞b ＞c3. 已知函数f (2x ＋1)是奇函数,则函数y ＝f (2x )的图象成中心对称的点为( )A. (1,0)B. (－1,0)C. ⎝⎛⎭⎫12，0D. ⎝⎛⎭⎫－12，04. 若函数f (x )＝（2－m ）xx 2＋m的图象如图所示,则m 的取值范围为( )(第4题)A. (－∞,－1)B. (－1,2)C. (0,2)D. (1,2)二、 填空题 5. (2019·新余模拟)若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1),则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．6. (2019·荆州三模)已知偶函数f (x )和奇函数g (x )的图象如图所示,若关于x 的方程f (g (x ))＝1,g (f (x ))＝2的实根个数分别为m ,n ,则m ＋n ＝________．(第6题)7. 已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)和函数g (x )＝sin π2 x ,若f (x )与g (x )的图象有且只有3个交点,则a 的取值范围是________．8. 已知函数f (x )对于任意实数x ∈[a ,b ],当a ≤x 0≤b 时,记|f (x )－f (x 0)|的最大值为D [a ,b ](x 0). (1) 若f (x )＝(x －1)2,则D [0,3](2)＝________；(2) 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0， 则D [a ,a ＋2](－1)的取值范围是________．第13讲 函数与方程A 组 应知应会一、 选择题1. 若函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )A. (1,3)B. (1,2)C. (0,3)D. (0,2)2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1， 则函数f (x )的零点为( )A. 12 ,0B. －2,0C. 12D. 0 3. 已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1,g (x )＝log 2x ＋x ＋1,h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ,b ,c ,则( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c4. 已知函数y ＝f (x )的周期为2,当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2,那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A. 10个B. 9个C. 8个D. 1个 5. (2019·九江模拟)已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a ＞0)的最小值为8,则实数a 的取值范围是( )A. (5,6)B. (7,8)C. (8,9)D. (9,10) 二、 解答题6. 若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a 的取值范围．7. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2,a ∈R ．(1) 若不等式f (x )≤0的解集为[1,2],求不等式f (x )≥1－x 2 的解集；(2) 若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点,求实数a 的取值范围．B 组 能力提升一、 填空题1. 方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解集为________．2. 设f (x )是定义在R 上的偶函数,满足f (x )＝f (2－x ),当0≤x ≤1时,f (x )＝－x 2＋1,方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12 |x |在区间[－5,5]内实根的个数为________．3. 在平面直角坐标系xOy 中,若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点,则a 的值为________．4. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x <1，π（x －3a ）（x －2a ），x ≥1， 若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数,当x ∈[0,＋∞)时,f (x )＝x 2－2x . (1) 求函数y ＝f (x )的解析式；(2) 若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解,求a 的取值范围．6. (2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ,f ′(x )为f (x )的导数． (1) 求证：f ′(x )在区间(0,π)上存在唯一零点； (2) 若x ∈[0,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围．第14讲数学建模——函数的模型及其应用A组应知应会一、选择题1. 国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元,则这个人的稿费为()A. 3 000元B. 3 800元C. 3 818元D. 5 600元2. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年3. (2019·三明联考)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3 010)()A. 3B. 4C. 5D. 64. (2019·安庆二模)设甲、乙两地的距离为a(a＞0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20 min,在乙地休息10 min后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 min,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()A BC D5. (多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况,则下列叙述不正确的是()(第5题)A. 消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少C. 甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油D. 某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油二、解答题6. 网店销售某一品牌的商品,购买人数n是商品标价x的一次函数,标价越高,购买人数越少．已知标价为每件300元时,购买人数为零；标价为每件225元时,购买人数为75人．若这种商品的成本价是100元/件,网店以高于成本价的相同价格(标价)出售．(1) 网店要获取最大利润,商品的标价应定为每件多少元？(2) 通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果网店要获得最大利润的75%,那么商品的标价为每件多少元？7. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：kg)与销售价格x(单位：元/kg)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2,其中3<x<6,a为常数．已知销售价格为5元/kg时,每日可售出该商品11 kg.(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为3元/kg,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．B组能力提升一、填空题1. (2019·唐山联考)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A (a为常数),广告效应为D＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为________．(用常数a表示)2. (2019·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(kg)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿________kg.(第2题）3. 某公司一年购买某种货物600 t,每次购买x t,运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________．4. 根据相关规定,机动车驾驶员血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升时属于醉酒驾车．假设饮酒后,血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升,经过x h,酒精含量降为p毫克/100毫升,且满足关系式p＝p0·e rx(r为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升,2 h后,测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升,则此人饮酒后需经过________h方可驾车．(精确到h)二、解答题5. 某创业团队拟生产A、B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图(1)),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图(2)).(注：利润与投资额的单位均为万元)(1) 分别将A、B两种产品的利润f(x)、g(x)表示为投资额x的函数；(2) 该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A、B两种产品的生产,问：当B产品的投资额为多少万元时,生产A、B两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？图(1)图(2)(第5题)6. 某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝1600x 2＋x ＋150(万元). (1) 若使每台机器人的平均成本最低,则应买多少台？(2) 现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m 人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧815m （60－m ），1≤m ≤30，480，m ＞30(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问：引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之多少？(第6题)微难点2 分段函数的研究一、 选择题1. (2019·湖北四地联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，log 2（x ＋1），x ≥0， 若f (a )<1,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,－3)∪[0,1)B. (－3,0)∪(－1,1)C. (－3,1)D. (1,＋∞)2. (2019·开封一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2， 若f (a )≥1,则a 的取值范围是( )A. [1,2)B. [1,＋∞)C. [2,＋∞)D. (－∞,－2]3. (2019·廊坊三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e 2x －2x ＋a ，x >0，ax ＋3a －2，x ≤0 在(－∞,＋∞)上是单调函数,且f (x )存在负的零点,则a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫23，1B. ⎝⎛⎦⎤23，32C. ⎝⎛⎦⎤0，32D. ⎝⎛⎭⎫23，＋∞4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，13x 2－103x ＋8，x ≥3， 若存在实数a ,b ,c ,d ,满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d ),其中d ＞c ＞b ＞a ＞0,则abcd 的取值范围是( )A. (21,25)B. (21,24)C. (20,24)D. (20,25)5. (2019·驻马店期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋2，x ≤0，e ax x >0 在[－2,2]上的最大值为3,则实数a 的取值范围是( )A. (ln 3,＋∞)B. ⎣⎡⎦⎤0，12ln 3C. ⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 3 D. (－∞,ln 3]二、 填空题6. (2019·佛山二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0，－x 2＋2x ＋1，x <0 (其中e 是自然对数的底数),且函数y＝|f (x )|－mx 有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是________．7. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x，x ≤1，log a x ＋13，x >1. 若存在x 1,x 2∈R,x 1≠x 2,使得f (x 1)＝f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是________．8. (2019·滨州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≤0，|log 2x |，x >0.若方程f (x )＝a 恰有4个不同的实根x 1,x 2,x 3,x 4,且x 1<x 2<x 3<x 4,则x 3(x 1＋x 2)＋1x 23 x 4的取值范围为________．微难点3 由函数的性质求参数范围一、 填空题1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x 2，x <0， 若f (a －1)＋f (a )＞0,则实数a 的取值范围是________．2. 若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是________．3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－mx ，x >1，⎝⎛⎭⎫4－m 2x ＋2，x ≤1 是R 上的增函数,则实数m 的取值范围是________．4. 若函数f (x )＝ax 2＋x ＋a ＋1在(－2,＋∞)上单调递增,则a 的取值范围是________．5. 已知f (x )＝log a (8－3ax )在[－1,2]上是减函数,则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2 在区间(－2,＋∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是________．7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0， 若f (2－a 2)<f (a ),则实数a 的取值范围是________．二、解答题8. 设定义在[－2,2]上的函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,且f(1－m)＜f(3m).(1) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是奇函数,求实数m的取值范围；(2) 若函数f(x)在区间[－2,2]上是偶函数,求实数m的取值范围．。

§8.3圆的方程圆的定义与方程概念方法微思考1.二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.2.点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种.已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,点M (x 0,y 0), (1)点在圆上:(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外:(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2； (3)点在圆内:(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(√)(2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)若点M(x0,y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外,则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.(×)题组二教材改编2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2答案 D解析因为圆心为(1,1)且过原点,所以该圆的半径r＝12＋12＝2,则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.3.以点(3,－1)为圆心,并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝1B.(x－3)2＋(y－1)2＝1C.(x＋3)2＋(y－1)2＝1D.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案 A4.圆C的圆心在x轴上,并且过点A(－1,1)和B(1,3),则圆C的方程为______________.答案(x－2)2＋y2＝10解析设圆心坐标为C(a,0),∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上,∴CA ＝CB , 即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9,解得a ＝2, ∴圆心为C (2,0),半径CA ＝(2＋1)2＋1＝10, ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 题组三 易错自纠5.若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆,则m 的取值范围是( ) A.(－∞,－2)∪(2,＋∞) B.(－∞,－22)∪(22,＋∞) C.(－∞,－3)∪(3,＋∞) D.(－∞,－23)∪(23,＋∞) 答案 B 解析 将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2. 由其表示圆可得m 24－2＞0,解得m ＜－22或m ＞2 2.6.半径为3,圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为_____________. 答案 (x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9解析 由题意知圆心坐标为(3,3)或(－3,－3),故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝9.7.已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0,则x －2y 的最大值是________,最小值是________. 答案 10 0解析 原方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5,表示以(1,－2)为圆心,5为半径的圆.设x －2y ＝b ,即x －2y －b ＝0,作出圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝5与一组平行线x －2y －b ＝0,如图所示,当直线x －2y －b ＝0与圆相切时,在y 轴上的截距－12b 取得最大值或最小值,此时圆心到直线的距离d ＝|1－2×(－2)－b |1＋4＝5,解得b ＝10或b ＝0,所以x －2y 的最大值为10,最小值为0.圆的方程1.(2019·西安模拟)已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x－7y＋8＝0上,则圆C的方程为________________. 答案 (x －3)2＋(y －2)2＝13 解析 方法一 (几何法)k AB ＝5－01－6＝－1, 则AB 的垂直平分线方程为y －52＝x －72,即x －y －1＝0,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －7y ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，r ＝(6－3)2＋(0－2)2＝13,故圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心) 方法二 (待定系数法)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ (6－a )2＋(0－b )2＝r 2，(1－a )2＋(5－b )2＝r 2，2a －7b ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，r 2＝13，故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13.2.已知圆心在x 轴上,半径为5的圆位于y 轴右侧,且截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2,则圆的方程为__________. 答案 (x －25)2＋y 2＝5解析 根据题意,设圆的圆心坐标为(a ,0)(a ＞0),则圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝5(a ＞0),则圆心到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|a ＋2×0|12＋22＝55a .又该圆截直线x ＋2y ＝0所得弦的长为2,所以可得12＋⎝⎛⎭⎫55a 2＝5,解得a ＝2 5.故圆的方程为(x －25)2＋y 2＝5.3.若不同的四点A (5,0),B (－1,0),C (－3,3),D (a ,3)共圆,则a 的值是________. 答案 7解析 四点共圆,设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 则⎩⎪⎨⎪⎧25＋0＋5D ＋0＋F ＝0，1＋0－D ＋0＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0,将D (a,3)代入得a 2－4a －21＝0. 解得a ＝7或a ＝－3(舍).思维升华 (1)直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ,b )和半径r 有关,则设圆的标准方程,求出a ,b ,r 的值； ②选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D ,E ,F 的方程组,进而求出D ,E ,F 的值.与圆有关的轨迹问题例1 已知Rt △ABC 的斜边为AB ,且A (－1,0),B (3,0).求: (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程.解 (1)方法一 设C (x ,y ),因为A ,B ,C 三点不共线,所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ,且BC ,AC 斜率均存在, 所以k AC ·k BC ＝－1,又k AC ＝y x ＋1,k BC ＝y x －3,所以y x ＋1·y x －3＝－1,化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此,直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0).方法二 设AB 的中点为D ,由中点坐标公式得D (1,0),由直角三角形的性质知CD ＝12AB ＝2.由圆的定义知,动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A ,B ,C 三点不共线,所以应除去与x 轴的交点).所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0).(2)设M (x ,y ),C (x 0,y 0),因为B (3,0),M 是线段BC 的中点,由中点坐标公式得x ＝x 0＋32,y ＝y 0＋02,所以x 0＝2x －3,y 0＝2y .由(1)知,点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0), 将x 0＝2x －3,y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4, 即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0).思维升华 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: ①直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法:根据圆、直线等定义列方程. ③几何法:利用圆的几何性质列方程.④相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.跟踪训练1 设定点M (－3,4),动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动,以OM ,ON 为两边作平行四边形MONP ,求点P 的轨迹方程. 解 如图,设P (x ,y ),N (x 0,y 0),则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2, 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分, 所以x 2＝x 0－32,y 2＝y 0＋42,整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4，又点N (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝4上, 所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心,2为半径的圆,直线OM 与轨迹相交于两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285,不符合题意,舍去,所以点P 的轨迹为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4,除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285. 与圆有关的最值问题例2 (1)(2020·保定质检)已知A (0,2),点P 在直线x ＋y ＋2＝0上,点Q 在圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＝0上,则P A ＋PQ 的最小值是________. 答案 2 5解析 因为圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＝0, 故圆C 是以C (2,1)为圆心,半径r ＝5的圆.设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ,n ), 故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4,－2).连结A ′C 交圆C 于Q ,由对称性可知 P A ＋PQ ＝A ′P ＋PQ ≥A ′Q ＝A ′C －r ＝2 5.(2)已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0,求yx 的最大值和最小值.解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3, 表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设yx＝k ,即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时,斜率k 取最大值和最小值, 此时|2k －0|k 2＋1＝3,解得k ＝±3.所以yx的最大值为3,最小值为－ 3.本例(2)中,求y －x 的最大值和最小值.解 y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距,当直线y ＝x ＋b 与圆相切时,直线在y 轴上的截距b 取得最大值和最小值,此时|2－0＋b |2＝3,解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6,最小值为－2－ 6.本例(2)中,求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2, 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43, x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x ,y )有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u ＝y －b x －a型的最值问题,可转化为过点(a ,b )和点(x ,y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题,可转化为动点到定点(a ,b )的距离的平方的最值问题.跟踪训练2 已知M (x ,y )为圆C :x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点,且点Q (－2,3).(1)求MQ 的最大值和最小值；(2)求y －3x ＋2的最大值和最小值； (3)求y －x 的最大值和最小值.解 (1)由圆C :x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0,可得(x －2)2＋(y －7)2＝8,∴圆心C 的坐标为(2,7),半径r ＝2 2.又QC ＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42,∴MQ max ＝42＋22＝62,MQ min ＝42－22＝2 2.(2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2),即kx －y ＋2k ＋3＝0.∵直线MQ 与圆C 有交点, ∴|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22, 可得2－3≤k ≤2＋3,∴y －3x ＋2的最大值为2＋3,最小值为2－ 3. (3)设y －x ＝b ,则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时,截距b 取到最值, ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22,∴b ＝9或b ＝1.∴y －x 的最大值为9,最小值为1.1.圆M :x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0的圆心坐标为( ) A.(1,3)B.(1,－3)C.(－1,3)D.(－1,－3)答案 D解析 圆M 的圆心坐标为x ＝－D 2＝－1. y ＝－E 2＝－ 3.故选D. 2.已知圆C :x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0,那么与圆C 有相同的圆心,且经过点(－2,2)的圆的方程是( )A.(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B.(x －1)2＋(y ＋2)2＝25C.(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D.(x ＋1)2＋(y －2)2＝25答案 B解析 圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝4,圆心C (1,－2),故排除C,D,代入(－2,2)点,只有B 项经过此点.也可以设出要求的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝r 2,再代入点(－2,2),可以求得圆的半径为5.故选B.3.已知圆C :x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,则“E ＝F ＝0且D ＜0”是“圆C 与y 轴相切于原点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 圆C 与y 轴相切于原点⇔圆C 的圆心在x 轴上(设坐标为(a,0)),且半径r ＝|a |.∴当E ＝F＝0且D ＜0时,圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，0,半径为|D |2,圆C 与y 轴相切于原点；圆(x ＋1)2＋y 2＝1与y 轴相切于原点,但D ＝2＞0,故选A.4.(2019·贵阳模拟)圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于A ,B 两点,且AB ＝2,则圆C 的标准方程为( )A.(x －1)2＋(y －2)2＝2B.(x －1)2＋(y －2)2＝2C.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D.(x －1)2＋(y －2)2＝4答案 A解析 由题意得,圆C 的半径为1＋1＝2,圆心坐标为(1,2),∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2,故选A.5.已知圆C 1:(x ＋1)2＋(y －1)2＝4,圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称,则圆C 2的方程为( )A.(x ＋2)2＋(y －2)2＝4B.(x －2)2＋(y ＋2)2＝4C.(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4D.(x －2)2＋(y －2)2＝4答案 B解析 根据题意,设圆C 2的圆心为(a ,b ),圆C 1:(x ＋1)2＋(y －1)2＝4,其圆心为(－1,1),半径为2,若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称,则圆C 1与C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称,且圆C 2的半径为2,则有⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2， 则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4.6.点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析 设圆上任意一点为(x 1,y 1),中点为(x ,y ),则⎩⎨⎧ x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2. 代入x 2＋y 2＝4得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4,化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.7.(多选)设有一组圆C :(x －1)2＋(y －k )2＝k 4(k ∈N *),下列四个命题正确的是( )A.存在k ,使圆与x 轴相切B.存在一条直线与所有的圆均相交C.存在一条直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点答案 ABD解析 对于A,存在k ,使圆与x 轴相切⇔k ＝k 2(k ∈N *)有正整数解⇔k ＝1,故A 正确； 对于B,因为圆心(1,k )恒在直线 x ＝1上,故B 正确；对于C,当k 取无穷大的正数时,半径k 2也无穷大,因此所有直线与圆都相交,故C 不正确；对于D,将(0,0)代入得1＋k 2＝k 4,即1＝k 2(k 2－1),因为右边是两个相邻整数相乘为偶数,而左边为奇数,故方程恒不成立,故D 正确.故选ABD.8.已知a ∈R ,方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆,则圆心坐标是____________,半径是________.答案 (－2,－4) 5解析 由已知方程表示圆,则a 2＝a ＋2,解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.当a ＝－1时,原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0,化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25,表示以(－2,－4)为圆心,5为半径的圆.9.(2020·长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________.答案 1＋ 2解析 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2,故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1. 10.如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点,则实数a 的取值范围是________________.答案 [－3,－1]∪[1,3]解析 圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ,a )到原点的距离为|2a |,半径r ＝22,由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2,得22－2≤|2a |≤22＋2,∴1≤|a |≤3,解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值范围是[－3,－1]∪[1,3].11.已知点(x ,y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上.(1)求x ＋y 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值.解 (1)设t ＝x ＋y ,则y ＝－x ＋t ,t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距,∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在y 轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, 即|2＋(－3)－t |2＝1,解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1,最小值为－2－1.(2)x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2,求它的最值可视为求点(x ,y )到定点(－1,2)的距离的最值,可转化为求圆心(2,－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(－1,2)的距离为34,∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1,最小值为34－1.12.已知点A (－3,0),B (3,0),动点P 满足P A ＝2PB .(1)若点P 的轨迹为曲线C ,求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1:x ＋y ＋3＝0上,直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ,求QM 的最小值.解 (1)设点P 的坐标为(x ,y ), 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2,化简可得(x －5)2＋y 2＝16,此方程即为所求.(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图所示.由题意知直线l 2是此圆的切线,连结CQ ,则QM ＝CQ 2－CM 2 ＝CQ 2－16,当QM 最小时,CQ 最小,此时CQ ⊥l 1,CQ ＝|5＋3|2＝42, 则QM 的最小值为32－16＝4.13.已知圆C :(x －3)2＋(y －4)2＝1,设点P 是圆C 上的动点.记d ＝PB 2＋P A 2,其中A (0,1),B (0,－1),则d 的最大值为________.答案 74解析 设P (x 0,y 0),d ＝PB 2＋P A 2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方,∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36,∴d max ＝74.14.(2019·大同模拟)已知点P 为圆C :x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0上任意一点,A ,B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两动点,且AB ＝2,则△ABP 的面积的取值范围是________.答案 [1,5]解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4,圆心C (2,1),半径R ＝2,圆心C 到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|32＋42＝3, 设P 到直线AB 的距离为h ,则S △ABP ＝12·AB ·h ＝h , ∵d －R ≤h ≤d ＋R ,∴1≤h ≤5,∴S △ABP ∈[1,5],即△ABP 的面积的取值范围为[1,5].15.(2020·烟台模拟)圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a ＞0,b ＞0)对称,则2a ＋6b的最小值是( ) A.2 3B.203C.323D.163答案 C解析 由圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0知,其标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝39,∵圆x 2＋y 2＋4x －12y ＋1＝0关于直线ax －by ＋6＝0(a ＞0,b ＞0)对称,∴该直线经过圆心(－2,6),即－2a －6b ＋6＝0,∴a ＋3b ＝3(a ＞0,b ＞0),∴2a ＋6b ＝23(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝23⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥23⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝323, 当且仅当3b a ＝3a b,即a ＝b 时取等号,故选C. 16.在平面直角坐标系中,已知圆心在直线x －2y ＝0上,圆C 经过点A (4,0),但不经过坐标原点,并且直线4x －3y ＝0与圆C 相交所得的弦长为4.(1)求圆C 的一般方程；(2)若从点M (－4,1)发出的光线经过x 轴反射,反射光线刚好通过圆C 的圆心,求反射光线所在直线的方程(用一般式表达).解 (1)设圆C :(x －a )2＋(y －b )2＝r 2,因为圆心C 在直线x －2y ＝0上,所以a －2b ＝0,①又因为圆C 经过点A (4,0),所以(4－a )2＋b 2＝r 2,②而圆心到直线4x －3y ＝0的距离d ＝|4a －3b |42＋(－3)2＝|4a －3b |5,易得d ＝r 2－22, 即|4a －3b |5＝r 2－22,③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝3，r ＝13， 又因为(x －2)2＋(y －1)2＝5经过坐标原点, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，舍去.r ＝5 故圆C 的标准方程为(x －6)2＋(y －3)2＝13,化为一般方程为x 2＋y 2－12x －6y ＋32＝0.(2)点M (－4,1)关于x 轴对称的点为N (－4,－1),反射光线所在的直线即为NC 所在的直线,又因为C (6,3).所以反射光线所在直线的方程为y ＋1x ＋4＝3＋16＋4, 所以反射光线所在直线的一般式方程为2x －5y ＋3＝0.。

姓名，年级：时间：第五讲椭圆ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F 2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．注：若集合P＝｛M||MF1｜＋｜MF2|＝2a｝，|F1F2｜＝2c，其中a＞0,c＞0,且a、c为常数，则有如下结论：（1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；（2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;(3)若a＜c，则集合P为__空集__．知识点二椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1（－a,0），A2(a,0)B1(0，－b)，B2（0，b）A1（0,－a）,A2(0，a）B1(－b,0),B2(b,0)轴长轴A1A2的长为__2a__；错误!错误!错误!错误!1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB｜＝错误!，称为通径．3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．4．e＝错误!．5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a〉b>0）的弦，A(x1，y1)，B（x2,y2）,弦中点M（x0，y0)，则（1)弦长l＝1＋k2｜x1－x2|＝错误!|y1－y2|;(2)直线AB的斜率k AB＝－b2xa2y．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．（多选题)下列结论正确的是（CD )A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆B．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆C．方程mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）表示的曲线是椭圆D．错误!＋错误!＝1(a>b〉0)与错误!＋错误!＝1(a>b>0)的焦距相同题组二走进教材2．（必修2P42T4）椭圆x210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m等于（ C )A．4 B．8 C．4或8 D．12［解析] 当焦点在x轴上时，10－m〉m－2〉0，10－m－（m－2)＝4,∴m＝4．当焦点在y轴上时,m－2〉10－m>0，m－2－(10－m）＝4,∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A组T3)过点A（3，－2）且与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点的椭圆的方程为（ A )A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1题组三考题再现4．(2019·湖南郴州二模）已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为错误!，则椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1 ．[解析］∵椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c,∴a－c＝2错误!－2，∵离心率e＝错误!，∴错误!＝错误!，解得a＝2错误!，c＝2,则b2＝a2－c2＝4，∴椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1．5．(2018·课标全国Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( D )A．1－错误!B．2－错误!C．错误!D．错误!－1[解析] 设｜PF2|＝x,则｜PF1|＝错误!x，|F1F2｜＝2x，故2a＝｜PF1｜＋｜PF｜＝(1＋错误!）x，2c＝|F1F2|＝2x,于是离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!2－1．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一椭圆的定义及应用——自主练透例1 （1)(2019·泉州模拟）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是( B ) A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点,A(1,1）是一定点．则|PA｜＋|PF｜的最大值和最小值分别为6＋错误!，6－错误!．（3）已知F1，F2是椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面积为33，则b＝__3__．[解析］（1）如图所示，由题知|PF1|＋｜PF2｜＝2a，设椭圆方程：错误!＋错误!＝1（其中a>b〉0)．连接MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO｜＝a（a>|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．(2）如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋｜PF1|＝6．∴｜PA｜＋|PF｜＝｜PA｜－|PF1|＋6．由椭圆方程错误!＋错误!＝1知c＝错误!＝2，∴F1（2，0），∴|AF1|＝2．利用－｜AF1｜≤｜PA|－|PF1｜≤｜AF1｜（当P、A、F1共线时等号成立)．∴｜PA|＋|PF|≤6＋错误!,|PA|＋｜PF｜≥6－错误!．故｜PA｜＋｜PF｜的最大值为6＋错误!，最小值为6－错误!．(3）｜PF1|＋｜PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1｜2＋｜PF2|2－2|PF1｜｜PF2｜cos60°＝｜F1F2｜2,即（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1|｜PF2｜＝4c2，所以3|PF1｜｜PF2｜＝4a2－4c2＝4b2，所以｜PF1｜｜PF2｜＝错误!b2，又因为S△PF1F2＝错误!|PF1||PF2|sin60°＝错误!×错误!b2×错误!＝错误!b2＝3错误!，所以b＝3.故填3．名师点拨☞(1)椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．（2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|｜PF2|;通过整体代入可求其面积等．〔变式训练1〕(1）(2019·大庆模拟）已知点M（错误!，0），椭圆错误!＋y2＝1与直线y＝k（x＋错误!)交于点A、B，则△ABM的周长为__8__．(2)(2020·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆错误!＋错误!＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6，4）,则｜PM|－|PF1｜的最小值为__－5__．[解析］(1)直线y＝k(x＋错误!)过定点N(－错误!，0）．而M、N恰为椭圆错误!＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．(2）由题意可知F2(3,0)，由椭圆定义可知｜PF1|＝2a－｜PF2｜.∴｜PM|－｜PF1|＝｜PM|－(2a－|PF2｜)＝|PM|＋|PF2｜－2a≥|MF2｜－2a，当且仅当M,P，F三点共线时取得等号，又｜MF2|＝6－32＋4－02＝5，2a＝10，2∴｜PM｜－｜PF2｜≥5－10＝－5，即｜PM｜－|PF1｜的最小值为－5．考点二求椭圆的标准方程-—师生共研例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1）长轴是短轴的3倍且经过点A（3，0）；(2）短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为错误!；(3)经过点P（－2错误!，1）,Q（错误!，－2）两点；（4)与椭圆错误!＋错误!＝1有相同离心率，且经过点（2,－错误!）．［解析] （1）若焦点在x轴上，设方程为x2a2＋错误!＝1(a>b〉0）．∵椭圆过点A（3,0），∴错误!＝1，∴a＝3。

第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
考向二 圆的切线与弦长问题[互动讲练型] [例 2] (2016·课标全国Ⅲ，16,5 分)已知直线 l：mx＋y＋3m － 3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的 垂线与 x 轴交于 C，D 两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝________.
a＋12＋a－3－22＝ 2a2－8a＋26＝ 2a－22＋18.所以当 a ＝ 2 时 ， d 取 最 小 值 18 ＝ 3 2 ， 此 时 切 线 长 最 小 ， 为
3 22－ 22＝ 16＝4，所以选 C. 答案：C
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
4．(2017·揭阳一模)已知直线 x＋y－k＝0(k＞0)与圆 x2＋y2 ＝4 交于不同的两点 A，B，O 为坐标原点，且|O→A＋O→B|≥ 33|A→B |，则 k 的取值范围是( )
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[悟·技法]—— 圆与圆的位置关系的求解策略
(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两 圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程是公共弦长， 只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直 线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
＋1＝0 垂直，则其斜率为 1，故直线 l 的方程为 y＝x＋3.选 D. 答案：D
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．(2016·课标全国Ⅱ，4,5 分)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的 圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝( )
A．－43 B．－34 C. 3 D．2

对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点坐标：
顶点 性
y≤ -a 或 y≥ a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标：
渐近线
离心率 质
实虚轴
线段
叫做双曲线的实轴，它的长
叫做双曲线的虚轴，它的长
的实半轴长，：离心率越大，双曲线的“开口”越大。 3．等轴双曲线
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方 y2 2 px( p 0) y2
程
2 px( p 0) x2
2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
图
形
性对
称 x轴
x轴
轴
y轴
y轴
焦
点 质坐
标
p F ( ,0)
2
准
线
p
x
方
2
程
焦
p
半 | PF | x0
径
2
范
x0
围
顶
O (0,0)
点
离
心
e1
率
e
【要点名师解析】
1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线
C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解
建立了如下关系：
（ 1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。
（ 2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线
叫做方程的曲线。
注：如果中满足第（ 2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点
（ 3）理解数形结合的思想。
2．热点提示
（ 1）双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；双曲线与其他圆
锥曲线的交汇命题是热点。

第1讲 集合及其运算A 应知应会一、 选择题 1. (2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＞0},B ＝{x |x －1<0},则A ∩B 等于( ) A. (－∞,1) B. (－2,1) C. (－3,－1) D. (3,＋∞) 2. (2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1,0,1,2},B ＝{x |x 2≤1},则A ∩B 等于( ) A. {－1,0,1} B. {0,1} C. {－1,1} D. {0,1,2} 3. (2019·宁德质检)已知集合A ＝{x |x ≥1},B ＝{x |x 2－2x －3<0},则A ∪B 等于( ) A. {x |1≤x <3} B. {x |x ＞－1} C. {x |1<x <3} D. {x |x ≥1}4. (多选)设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0},B ＝{x |ax －1＝0},若A ∩B ＝B ,则实数a 的值可以为( )A. 15B. 0C. 3D. 135. (多选)给出下列关系,其中正确的选项是( ) A. ∈{{}} B. ⊆{{}} C. ∈{} D. ⊆{}二、 解答题6. 已知M ＝{2,a ,b },N ＝{2a ,2,b 2},且M ＝N ,求实数a ,b 的值．7. 若A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0},B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0},C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1) 若A ＝B ,求a 的值；(2) 若B ∩A ≠,C ∩A ＝,求a 的值．∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅B 巩固提升一、 填空题 1. (2018·南通模拟)已知集合A ＝{0,e x },B ＝{－1,0,1},若A ∪B ＝B ,则x ＝________． 2. (2018·青岛模拟)设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0},B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≤14 ,则(∁R A )∩B ＝________．3. (2019·张家口期末)已知全集U ＝Z,A ＝{x |x ＝3n －1,n ∈Z},B ＝{x ||x |＞3,x ∈Z},则A ∩(∁U B )中元素的个数为________．4. (2019·深圳调研)已知集合M ＝{x |x ＞0},N ＝{x |x 2－4≥0},则M ∪N ＝________． 二、 解答题5. 设集合U ＝{2,3,a 2＋2a －3},A ＝{|2a －1|,2},∁U A ＝{5},求实数a 的值．6. 已知全集S ＝{1,3,x 3＋3x 2＋2x },A ＝{1,|2x －1|},如果∁S A ＝{0},则这样的实数x 是否存在？若存在,请说明理由．第2讲 充分条件与必要条件A 应知应会一、 选择题1. 设a ,b ,c ,d 是非零实数,则“ad ＝bc ”是“a ,b ,c ,d 成等比数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. (2019·淄博诊断)若a ,b ∈R,则“|a |＋|b |＞1”是“|a ＋b |＞1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知直线b 和平面α,则“b α”是b 与α平行的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. (2019·江西九校联考)已知命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0 ,命题q ：B ＝{x |x －a <0},若命题p 是命题q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( )A. (2,＋∞)B. [2,＋∞)C. (－∞,1)D. (－∞,1]5. “a ＝b ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. (2019·烟台一模)已知a ,b ∈R,则“ab ＞0”是“b a ＋ab ＞2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. (2019·济宁一模)将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π6 个单位长度后,得到函数g (x )的图象,则“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8. (2019·枣庄一模)设a ,b 都是不等于1的正数,则“0<b <a <1”是“log a 3<log b 3”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件二、 解答题9. 已知p ：(x －m )2＞3(x －m ),q ：x 2＋3x －4<0.若p 是q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围．⊂B巩固提升一、填空题1. (2019·合肥质检)若“x＞2”是“x＞m”的必要不充分条件,则m的取值范围是________．2. “|x|<3”是“x2－x－6<0”的________条件．3. 设a∈R ,则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2 ：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．4. (2019·郴州三模)已知p：x2－3x－4≤0；q：x2－6x＋9－m2≤0,若非q是非p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________．二、解答题5. (2020·江苏八校联考)已知集合A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9),x∈R},B＝{x||x－m|≥1,x∈R}．(1) 求集合A；(2) 若p：x∈A,q：x∈B,且p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围．6. 已知数列{a n}的前n项和S n＝3n＋t(n∈N*).求证：数列{a n}是等比数列的充要条件是t＝－1.第3讲全称量词和存在量词A应知应会一、选择题1. (多选)下列命题中是全称命题并且是假命题的是()A. π是无理数B. 若2x为偶数,则任意x∈NC. 对任意x∈R,x2＋2x＋1＞0D. 所有菱形的四条边都相等2. (2019·南昌调研)下列命题中的假命题是( ) A. 存在x 0∈R,lg x 0＝1 B. 存在x 0∈R,sin x 0＝0 C. 任意x ∈R,x 3＞0 D. 任意x ∈R,2x ＞03. 命题“任意n ∈N *,f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A. 任意n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )＞n B. 任意n ∈N *,f (n )N *或f (n )＞n C. 存在n 0∈N *,f (n 0)N *且f (n 0)＞n 0 D. 存在n 0∈N *,f (n 0)N *或f (n 0)＞n 04. (2019·中原名校联盟)已知命题“x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14 ≤0”是假命题,则实数a 的取值范围为( )A. (－∞,0)B. [0,4]C. [4,＋∞)D. (0,4)5. 若命题p ：x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ,sin 2x 0＋cos 2x 0<a 是假命题,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,1]B. (－∞,2 ]C. [1,＋∞)D. [2 ,＋∞) 二、 解答题6. 判断下列命题的真假．(1) 已知a ,b ,c ,d ∈R,若a ≠c 或b ≠d ,则a ＋b ≠c ＋d ； (2) ∀x ∈N,x 3＞x 2；(3) 若m ＞1,则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根； (4) 存在一个三角形没有外接圆．7. 已知命题“∀x ∈R,x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题,求实数a 的取值范围．∉∉∉∃∃B 巩固提升一、 填空题1. 若命题p ：x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 ,使得2x 2－λx ＋1<0成立,则非p 为_______________． 2. 若命题p 的否定是“对所有正数x ,x ＞x ＋1”,则命题p 可写为________________． 3. 若命题“t ∈R, t 2－2t －a <0”是假命题,则实数a 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x ＋4x ,g (x )＝2x ＋a ,若任意x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1 ,存在x 2∈[2,3],使得f (x 1)≤g (x 2),则实数a 的取值范围是________． 二、 解答题5. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1).若f (x )在区间(－∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a ＋1],总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4,求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1,g (x )＝ax,其中a ＞0,x ≠0.(1) 对任意x ∈[1,2],都有f (x )＞g (x )恒成立,求实数a 的取值范围；(2) 对任意x 1∈[1,2],x 2∈[2,4],都有f (x 1)＞g (x 2)恒成立,求实数a 的取值范围．∃∃第4讲 不等式的性质、一元二次不等式一、 选择题1. (2019·南昌模拟)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb (a ＞b ＞c ＞0)；③a ＋m b ＋m＞ab(a ,b ,m ＞0且a <b ),恒成立的个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 02. (多选)已知a ,b ,c ,d 均为实数,则下列命题中正确的是( ) A. 若ab ＞0,bc －ad ＞0,则c a －db ＞0B. 若ab ＞0,c a －db ＞0,则bc －ad ＞0C. 若bc －ad ＞0,c a －db＞0,则ab ＞0D. 若a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,则ac ＞bd3. (多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0),下列判断正确的是( ) A. 若不等式的解集为{x |x <－3或x ＞－2},则k ＝－25B. 若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠1k ,则k ＝66C. 若不等式的解集为R,则k <－66 D. 若不等式的解集为,则k ≥664. (2019·黄冈联考)若关于x 的不等式ax ＋b ＞0的解集是(1,＋∞),则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A. (－∞,1)∪(2,＋∞)B. (－1,2)C. (1,2)D. (－∞,－1)∪(2,＋∞)5. (2019·合肥模拟)若不等式2kx 2＋kx －38 <0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A. (－3,0)B. [－3,0)C. [－3,0]D. (－3,0] 二、 解答题6. 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2<x <3},求不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集．7. 若对于满足0≤p ≤3的任意实数p ,不等式x 2＋2px ＞4x ＋p －3恒成立,求x 的取值范围．∅B 巩固提升一、 填空题1. 不等式4x －2x ＋2＞0的解集为________．2. 若关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8<0的解集为空集,则实数k 的取值范围为________．3. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ＞0时,f (x )＝x 2－4x ,则不等式f (x )＞x 的解集为________．4. 已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ,a ∈R},∃a ∈R,使得集合A 中所有整数的元素和为28,则a 的取值范围是________．二、 解答题5. 若不等式ax 2＋5x －2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <2 .(1) 求实数a 的值；(2) 求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集．6. 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R),当x ∈[－1,＋∞)时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围．第5讲 基本不等式一、 选择题1. (多选)有下面四个不等式,其中恒成立的有( ) A.a ＋b2≥ab B. a (1－a )≤14C. a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋caD. b a ＋ab≥2 2. (多选)下列四个函数中,最小值为2的是( ) A. y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π2 B. y ＝ln x ＋1ln x (x ＞0,x ≠1)C. y ＝x 2＋6x 2＋5D. y ＝4x ＋4－x3. 已知a ＞0,b ＞0,若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立,则m 的最大值为( )A. 9B. 12C. 18D. 244. (2019·豫南九校一联)若a ＞0,b ＞0,且2a ＋b ＝4,则1ab 的最小值为( )A. 2B. 12C. 4D. 145. (2019·济宁期末)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过定点(a ,b ),且点P 在直线mx －ny －2＝0上,则mn 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，14B. ⎝⎛⎦⎤0，14C. ⎝⎛⎭⎫－∞，14D. ⎝⎛⎦⎤－∞，14 二、 解答题6. (2019·黄山质检)已知f (x )＝x 2＋3x ＋6x ＋1 (x ＞0),求f (x )的最小值．7. 已知lg 3x ＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1). (1) 求xy 的最小值； (2) 求x ＋y 的最小值．B 巩固提升一、 填空题1. (2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0,b ＞0)过点(1,2),则2a ＋b 的最小值为________．2. (2017·天津卷)若a ,b ∈R,ab ＞0,则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．3. 若a ＞0,b ＞0,且12a ＋b ＋1b ＋1＝1,则a ＋2b 的最小值为________．4. 已知a ,b 均为正数,且ab －a －2b ＝0,则a 2 ＋b 的最小值为________,a 24 －2a ＋b 2－1b的最小值为________．二、 解答题5. (1) 设x 为正实数,且x 2＋y 22＝1,求x 1＋y 2 的最大值． (2) 若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝10,求lg a ·lg b 的最大值．6. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m ．设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角为θ(弧度).(1) 求y 关于x 的函数关系式；(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ,求y 关于x 的函数关系式,并求出x 为何值时,y 取得最大值．(第6题)微难点1 “三个二次”关系一、 选择题1. 若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点,则实数a 的取值范围是( )A. (－∞,1)B. (1,＋∞)C. (－∞,1]D. [1,＋∞)2. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f (x )( )A. 在(－∞,2]上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增B. 在(－∞,3)上单调递增C. 在[1,3]上单调递增D. 单调性不能确定二、 填空题3. (2019·南昌质检)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0,则a ＋4b 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x 2＋abx ＋a ＋2b .若f (0)＝4,则f (1)的最大值为________．5. 已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0,＋∞),则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．6. 已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋4的定义域为[a ,b ],其中a <b ,值域为[3a ,3b ],则满足条件的数组(a ,b )为________．三、 解答题7. 对任意a ∈[－1,1],函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零,求x 的取值范围．8. 已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的零点为－13 ,12. (1) 试求a ＋c 的值；(2) 解不等式－cx 2＋2x －a ＞0.9. 设a ∈R,关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实数根x 1,x 2,且0<x 1<1<x 2<2,求a 的取值范围．10. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ,b ∈R 且a ≠0),x ∈R ．(1) 若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0,求f (x )的解析式,并写出单调区间；(2) 在(1)的条件下,f (x )＞x ＋k 在区间[－3,－1]上恒成立,试求k 的取值范围．。

第六页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
——[悟·技法]—— 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示 变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关．
第七页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[通·一类]—— 3．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝x42与
直线 l：y＝kx＋a(a＞0)交于 M，N 两点． (1)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在PM＝∠OPN，所以点 P(0，－a)符合题意．
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－27k，
第五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
由①，得 3＋4k2－m2＞0， 当 m1＝－2k 时，l 的方程为 y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)， 与已知矛盾． 当 m2＝－27k时，l 的方程为 y＝kx－27，直线过定点27，0 ∴直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线 MH 的方程为 y－t＝2ptx，即 x＝2pt(y－t)． 代入 y2＝2px 得 y2－4ty＋4t2＝0，解得 y1＝y2＝2t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有共 他公共点．
从而|AN|＝|2－xN|＝2＋y0x－0 1. 所以|AN|·|BM|＝2＋y0x－0 1·1＋x02－y02 ＝x20＋4yx200＋y04－x0xy00－－24yx00＋－28y0＋4 ＝4xx00yy00－－4x0x－0－28y0y＋0＋28 ＝4. 当 x0＝0 时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4. 综上，|AN|·|BM|为定值．

§8.1直线的方程1.直线的倾斜角(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角,并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)范围:直线l倾斜角的范围是0°≤α＜180°.2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上且x1≠x2,则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3.直线方程的五种形式概念方法微思考1.直线都有倾斜角,是不是直线都有斜率？倾斜角越大,斜率k 就越大吗？提示 倾斜角α∈[0,π),当α＝π2时,斜率k 不存在；因为k ＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2.当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,α越大,斜率k 就越大,同样α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时也是如此,但当α∈(0,π)且α≠π2时就不是了. 2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(4)经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示.( × ) 题组二 教材改编2.若过点M (－2,m ),N (m ,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 答案 A解析 由题意得m －4－2－m＝1,解得m ＝1.3.已知直线斜率的绝对值等于1,则直线的倾斜角为________. 答案 π4或3π4解析 由|k |＝|tan α|＝1知tan α＝±1, ∴α＝π4或3π4.题组三 易错自纠4.已知两点A (－1,2),B (m ,3),且m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1,则直线AB 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π6，π2B.⎝⎛⎦⎤π2，2π3 C.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3D.⎣⎡⎦⎤π6，2π3答案 D解析 ①当m ＝－1时,α＝π2；②当m ≠－1时,∵k ＝1m ＋1∈(－∞,－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞,∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知直线AB 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 5.(多选)下列说法正确的是( ) A.有的直线斜率不存在B.若直线l 的倾斜角为α,且α≠90°,则它的斜率k ＝tan αC.若直线l 的斜率为1,则它的倾斜角为3π4D.截距可以为负值 答案 ABD6.过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时,直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时,设直线方程为x a ＋ya＝1,则2a ＋3a＝1,解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0. 7.直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段总有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是________.答案 (－∞,－ 3 ]∪[1,＋∞) 解析 如图所示,当直线l 过点B 时,k 1＝3－00－1＝－ 3.当直线l 过点A 时,k 2＝1－02－1＝1,∴要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是(－∞,－ 3 ]∪[1,＋∞).直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α, 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3,所以12≤cos α≤32, 因此k ＝2cos α∈[1, 3 ].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1, 3 ]. 又θ∈[0,π),所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3, 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)(2020·安阳模拟)已知点A (1,3),B (－2,－1).若直线l :y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交,则k 的取值范围是( ) A.k ≥12B.k ≤－2C.k ≥12或k ≤－2D.－2≤k ≤12答案 D解析 直线l :y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1), ∵k P A ＝3－11－2＝－2,k PB ＝－1－1－2－2＝12, 又直线l :y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交,∴－2≤k ≤12.本例(2)直线l 改为y ＝kx ,若l 与线段AB 恒相交,则k 的取值范围是________________. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12∪[3,＋∞) 解析 直线l 过定点P (0,0), ∴k P A ＝3,k PB ＝12,∴k ≥3或k ≤12.思维升华 (1)倾斜角α与斜率k 的关系 ①当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时,k ∈[0,＋∞). ②当α＝π2时,斜率k 不存在.③当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时,k ∈(－∞,0). (2)斜率的两种求法①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k ＝tan α求斜率. ②公式法:若已知直线上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率.(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时,要充分利用y ＝tan α的单调性.跟踪训练1 (1)(2020·石家庄模拟)若A (4,3),B (5,a ),C (6,5)三点共线,则a 的值为________. 答案 4解析 由题意知k AB ＝k AC , 即a －35－4＝5－36－4＝1,解得a ＝4.(2)若直线l 经过A (3,1),B (2,－m 2)(m ∈R )两点,则直线l 的倾斜角α的取值范围是______________. 答案 ⎣⎡⎭⎫π4，π2解析 直线l 的斜率k ＝1＋m 23－2＝1＋m 2≥1,所以k ＝tan α≥1.又y ＝tan α在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数, 因此π4≤α＜π2.求直线的方程1.已知点M 是直线l :2x －y －4＝0与x 轴的交点,将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是( ) A.x ＋y －3＝0 B.x －3y －2＝0 C.3x －y ＋6＝0 D.3x ＋y －6＝0答案 D解析 设直线l 的倾斜角为α,则tan α＝k ＝2,直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°,所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3,又点M (2,0),所以y ＝－3(x －2),即3x ＋y －6＝0. 2.直线过点(－4,0),倾斜角的正弦值为1010的直线方程为________. 答案 x ±3y ＋4＝0解析 由题意知,直线的斜率存在,设倾斜角为α,则sin α＝1010(α∈[0,π)), 从而cos α＝±31010,则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4),即x ±3y ＋4＝0.3.过点A (－1,－3),斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________________.答案 3x ＋4y ＋15＝0解析 设所求直线的斜率为k ,依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1,－3),因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1),即3x ＋4y ＋15＝0.4.过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________________. 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3,或a ＝4,b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 思维升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法:①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程.②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线方程,方程中含有待定的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程.(2)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件,特别是对于点斜式、截距式方程,使用时要注意分类讨论思想的运用.直线方程的综合应用例2 已知直线l 过点M (2,1),且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ,B 两点,O 为原点,当△AOB 面积最小时,求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2), 则可得A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0,B (0,1－2k ).∵与x 轴,y 轴正半轴分别交于A ,B 两点, ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k >0，1－2k >0⇒k ＜0.于是 S △AOB ＝12·OA ·OB ＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k )＝4. 当且仅当－1k ＝－4k ,即k ＝－12时,△AOB 面积有最小值为4,此时,直线l 的方程为y －1＝－12(x－2),即x ＋2y －4＝0.方法二 设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0,b ＞0),则2a ＋1b ＝1.又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4,当且仅当2a ＝1b ＝12,即a ＝4,b ＝2时,△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时,直线l 的方程是x 4＋y2＝1.本例中,当MA ·MB 取得最小值时,求直线l 的方程.解 方法一 由例2知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0,B (0,1－2k )(k ＜0).∴MA ·MB ＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝21＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤(－k )＋1(－k )≥4.当且仅当－k ＝－1k ,即k ＝－1时取等号.此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二 由例2知A (a ,0),B (0,b ),a ＞0,b ＞0,2a ＋1b ＝1.∴MA ·MB ＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2,－1)·(－2,b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋ab ≥4, 当且仅当a ＝b ＝3时取等号,此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.思维升华 (1)求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再利用基本不等式(或函数)求解最值.(2)求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中x ,y 的关系,将问题转化为关于x (或y )的函数,借助函数的性质解决问题.跟踪训练2 已知直线l 1:ax －2y ＝2a －4,l 2:2x ＋a 2y ＝2a 2＋4,当0＜a ＜2时,直线l 1,l 2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a 的值.解 由题意知直线l 1,l 2恒过定点P (2,2),直线l 1在y 轴上的截距为2－a ,直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2,所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154,当a ＝12时,四边形的面积最小.1.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案 B解析 设直线的倾斜角为α,斜率为k , 化直线方程为y ＝3x ＋a ,∴k ＝tan α＝ 3. ∵0°≤α＜180°,∴α＝60°.2.过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为( ) A.3x －3y ＋6＋3＝0B.3x －3y －6＋3＝0C.3x ＋3y ＋6＋3＝0D.3x ＋3y －6＋3＝0 答案 D解析 ∵k ＝tan 150°＝－33, ∴直线方程为y －2＝－33(x ＋1), 即3x ＋3y －6＋3＝0.3.如图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则 ( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1＜0,直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3,所以0＜k 3＜k 2, 因此k 1＜k 3＜k 2,故选D.4.已知直线l :ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等,则a 的值是( ) A.1 B.－1 C.－2或－1 D.－2或1 答案 D解析 令x ＝0,y ＝2＋a , 令y ＝0,x ＝2＋aa,则2＋a ＝2＋aa .即(a ＋2)(a －1)＝0, ∴a ＝－2或a ＝1.5.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1,又－1≤－1a 2＋1＜0,所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 6.(2020·保定模拟)已知直线l 的斜率为3,在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数,则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2 答案 A解析 直线x －2y －4＝0的斜率为12,∴直线l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝3x＋2.7.(多选)在下列四个命题中,错误的有( ) A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B.直线倾斜角的取值范围是[0,π]C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α 答案 ABCD解析 对于A,当直线与x 轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,∴A 错误； 对于B,直线倾斜角的取值范围是[0,π),∴B 错误；对于C,一条直线的斜率为tan α,此直线的倾斜角不一定为α,∴C 错误； 对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan α或不存在,D 错误. 故选ABCD.8.(多选)若直线过点A (1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l 的方程可能为( ) A.x －y ＋1＝0 B.x ＋y －3＝0 C.2x －y ＝0D.x －y －1＝0答案 ABC解析 当直线经过原点时,斜率为k ＝2－01－0＝2,所求的直线方程为y ＝2x ,即2x －y ＝0；当直线不过原点时,设所求的直线方程为x ±y ＝k ,把点A (1,2)代入可得1－2＝k ,或1＋2＝k , 求得k ＝－1,或k ＝3,故所求的直线方程为x －y ＋1＝0,或x ＋y －3＝0. 综上知,所求的直线方程为 2x －y ＝0,x －y ＋1＝0,或x ＋y －3＝0. 故选ABC.9.直线kx ＋y ＋2＝－k ,当k 变化时,所有的直线都过定点______________. 答案 (－1,－2)解析 kx ＋y ＋2＝－k 可化为y ＋2＝－k (x ＋1),根据直线方程的点斜式可知,此类直线恒过定点(－1,－2).10.(2019·福州模拟)若直线ax ＋by ＝ab (a ＞0,b ＞0)过点(1,1),则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为________. 答案 4解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a ＞0,b ＞0)过点(1,1), ∴a ＋b ＝ab ,即1a ＋1b＝1,∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4, 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4. 11.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上截距相等,求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限,求实数a 的取值范围.解 (1)当直线过原点时,该直线在x 轴和y 轴上的截距为零,∴a ＝2,方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时,截距存在且均不为0, ∴a －2a ＋1＝a －2,即a ＋1＝1. ∴a ＝0,即方程为x ＋y ＋2＝0.综上,l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞,－1]. 12.已知直线l :kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明:直线l 过定点；(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A ,交y 轴正半轴于点B ,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S ,求S 的最小值及此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1, 故无论k 取何值,直线l 总过定点(－2,1). (2)解 依题意,直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ,在y 轴上的截距为1＋2k ,且k ＞0, 所以A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0,B (0,1＋2k ),故S ＝12OA ·OB ＝12×1＋2kk ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(4＋4)＝4, 当且仅当4k ＝1k ,即k ＝12时取等号,故S 的最小值为4,此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.13.已知P (－3,2),Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点),则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－73，－13 解析 直线l :ax ＋y ＋3＝0是过点A (0,－3)的直线系,斜率为参变数－a ,易知PQ ,QA ,l 的斜率分别为:k PQ ＝13,k AQ ＝73,k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交,由图可知k PQ ＜k l ＜k AQ ,解得－73＜a ＜－13.14.已知动直线l 0:ax ＋by ＋c －3＝0(a ＞0,c ＞0)恒过点P (1,m ),且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3,则12a ＋2c 的最小值为________.答案 32解析 ∵动直线l 0:ax ＋by ＋c －3＝0(a ＞0,c ＞0)恒过点P (1,m ), ∴a ＋bm ＋c －3＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3, ∴(4－1)2＋m 2＝3,解得m ＝0.∴a ＋c ＝3. 则12a ＋2c ＝13(a ＋c )⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝13⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥13⎝⎛⎭⎫52＋2c 2a ·2a c ＝32, 当且仅当c ＝2a ＝2时取等号.15.已知方程kx ＋3－2k ＝4－x 2有两个不同的解,则实数k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，34 B.⎝⎛⎦⎤512，34 C.⎝⎛⎦⎤512，1 D.⎝⎛⎭⎫512，34 答案 B解析 由题意得,半圆y ＝4－x 2与直线y ＝kx ＋3－2k 有两个交点,又直线y ＝kx ＋3－2k ⇒y －3＝k (x －2)过定点C (2,3),如图所示,又点A (－2,0),B (2,0),当直线在AC 位置时,斜率k ＝3－02＋2＝34.当直线和半圆相切时,由2＝|0－0－2k ＋3|k 2＋1,解得k ＝512,故实数k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤512，34.16.如图,射线OA ,OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角,过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ,OB 于A ,B 两点,当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时,求直线AB 的方程.解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1,k OB ＝tan(180°－30°)＝－33, 所以直线l OA :y ＝x ,l OB :y ＝－33x . 设A (m ,m ),B (－3n ,n ), 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2,由点C 在直线y ＝12x 上,且A ,P ,B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，(m －0)·(－3n －1)＝(n －0)·(m －1)，解得m ＝3,所以A (3,3). 又P (1,0),所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32,所以l AB :y ＝3＋32(x －1), 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

又e= 解得a=2, c 1，
所以ba2=2a2-c2=3.
所以所求椭圆C的方程为 =1. x2 y2 43
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
y
kx
m,
消去 xy42得 y(332 + 14, k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,
Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,化为3+4k2>m2.
(2)若l过点 (m ,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB 3
能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率,若不能,说明 理由.
【解题导引】(1)将直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0)联立,结合根与系数的关系及中 点坐标公式证明.(2)由四边形OAPB为平行四边形当且 仅当线段AB与线段OP互相平分求解证明.
【变式训练】(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中, 曲线C:y= x2 与直线y=kx+a(a>0)交于M,N两点, (1)当k=0时4,分别求C在点M和N处的切线方程. (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM= ∠OPN?说明理由.
【解题提示】(1)先求出M,N的坐标,再利用导数求出 在M,N处切线的斜率,进而得到切线方程.(2)先作出判 定,再将y=kx+a代入曲线C的方程整理成关于x的一元 二次方程,设出M,N的坐标和P点坐标,利用设而不求思 想,将直线PM,PN的斜率之和用a表示出来,利用直线 PM,PN的斜率之和为0,即可求出a,b关系,从而找出适 合条件的P点坐标.
1k2 m. k
因为 1 1 3 , PM PN PQ

§8.7双曲线1.双曲线的概念平面内到两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a},F1F2＝2c＞2a,其中a,c为常数且a＞0,c＞0.2.双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0),离心率e ＝2 ,渐近线方程为y ＝±x .4.双曲线的第二定义平面内动点P 到定点F 的距离和它到定直线l (点F 不在直线l 上)的距离的比是常数e (e ＞1)的点的轨迹是双曲线.定点F 是焦点,定直线l 是准线,常数e 是离心率.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b＞0)的准线方程为x ＝±a 2c ,双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的准线方程为y ＝±a 2c.概念方法微思考1.平面内与两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定.当2a＝F1F2时,动点的轨迹是两条射线；当2a＞F1F2时,动点的轨迹不存在；当2a＝0时,动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.与椭圆标准方程相比较,双曲线标准方程中,a,b只限制a＞0,b＞0,二者没有大小要求,若a＞b ＞0,a＝b＞0,0＜a＜b,双曲线哪些性质受影响？提示离心率受到影响.∵e＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫ba2,故当a＞b＞0时,1＜e＜2；当a＝b＞0时,e＝2(亦称等轴双曲线)；当0＜a＜b时,e＞ 2.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4),F 2(0,－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0,n ＞0,λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0,即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √ ) 题组二 教材改编2.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )A. 5B.5C. 2D.2 答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长,双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0,即bx ±ay＝0, ∴2a ＝bca 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2,∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5,∴e ＝ 5. 3.已知a ＞b ＞0,椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1,双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0C.x ±2y ＝0D.2x ±y ＝0答案 A解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ,双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ,所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32,即a 4＝4b 4,所以a ＝2b ,所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ,即x ±2y ＝0.4.经过点A (4,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________. 答案 x 215－y 215＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a ＞0),把点A (4,1)代入,得a 2＝15(舍负), 故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三 易错自纠5.(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程x 23－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ,则下面四个命题中错误的是( ) A.若C 为椭圆,则1＜t ＜3 B.若C 为双曲线,则t ＞3或t ＜1 C.曲线C 可能是圆D.若C 为椭圆,且长轴在y 轴上,则1＜t ＜2 答案 AD解析 若t ＞3,则方程可变形为y 2t －1－x 2t －3＝1,它表示焦点在y 轴上的双曲线；若t ＜1,则方程可变形为x 23－t －y 21－t ＝1,它表示焦点在x 轴上的双曲线；若2＜t ＜3,则0＜3－t ＜t －1,故方程x 23－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；若1＜t ＜2,则0＜t －1＜3－t ,故方程x 23－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆；若t ＝2,方程x 23－t ＋y 2t －1＝1即为x 2＋y 2＝1,它表示圆,综上,选AD.6.已知双曲线的实轴长为8,离心率为2,则双曲线的标准方程为__________________. 答案 x 216－y 248＝1或y 216－x 248＝1解析 由题意知a ＝4,e ＝ca ＝2,∴c ＝8,∴b 2＝c 2－a 2＝64－16＝48.∵双曲线的焦点位置不确定,故所求双曲线的标准方程为x 216－y 248＝1或y 216－x 248＝1.7.P 是双曲线x 216－y 281＝1上任意一点,F 1,F 2分别是它的左、右焦点,且PF 1＝9,则PF 2＝________.答案 17解析 由题意知a ＝4,b ＝9, c ＝a 2＋b 2＝97,由于PF 1＝9＜a ＋c ＝4＋97,故点P 只能在左支上, ∴PF 2－PF 1＝2a ＝8,∴PF 2＝PF 1＋8＝17.双曲线的定义例1 (1)已知圆C 1:(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2:(x －3)2＋y 2＝9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为________________. 答案x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析 如图所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件, 根据两圆外切的条件, 得MC 1－AC 1＝MA , MC 2－BC 2＝MB , 因为MA ＝MB ,所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2, 即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2,所以点M 到两定点C 2,C 1的距离的差是常数且小于C 1C 2＝6.又根据双曲线的定义,得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大,与C 1的距离小), 其中a ＝1,c ＝3,则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1). (2)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2－y 2＝2的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2＝60°,则△F 1PF 2的面积为______. 答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上, 则PF 1－PF 2＝2a ＝22, 在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝12,∴PF 1·PF 2＝8,∴12F PF S △＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝2 3.本例(2)中,“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”,则△F 1PF 2的面积为________. 答案 2解析 不妨设点P 在双曲线的右支上, 则PF 1－PF 2＝2a ＝22, ∵PF 1→·PF 2→＝0,∴PF 1→⊥PF 2→,∴在△F 1PF 2中,有PF 21＋PF 22＝F 1F 22, 即PF 21＋PF 22＝16,∴PF 1·PF 2＝4,∴12F PF S △＝12PF 1·PF 2＝2.思维升华 在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合|PF 1－PF 2|＝2a ,运用平方的方法,建立与PF 1·PF 2的联系.跟踪训练1 (1)(2020·广东普宁华侨中学期末)过双曲线x 2－y 24＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ,Q 两点,若PQ ＝4,F 2是双曲线的右焦点,则△PF 2Q 的周长是________. 答案 12解析 由题意,得PF 2－PF 1＝2,QF 2－QF 1＝2. ∵PF 1＋QF 1＝PQ ＝4, ∴PF 2＋QF 2－4＝4, ∴PF 2＋QF 2＝8.∴△PF 2Q 的周长是PF 2＋QF 2＋PQ ＝8＋4＝12.(2)已知F 1,F 2为双曲线C :x 2－y 2＝2的左、右焦点,点P 在C 上,PF 1＝2PF 2,则cos ∠F 1PF 2＝________.答案 34解析 ∵由双曲线的定义得 PF 1－PF 2＝PF 2＝2a ＝22, ∴PF 1＝2PF 2＝42,则cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.双曲线的标准方程1.(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为y ＝±22x ,实轴长为4,则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 22＝1 B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1 答案 D解析 设双曲线方程为x 22m －y 2m ＝1(m ≠0),又2a ＝4,∴a 2＝4, 当m ＞0时,2m ＝4,m ＝2； 当m ＜0时,－m ＝4,m ＝－4.故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.2.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ,且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点,则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ,可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0),(－3,0),可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4,b 2＝5.所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.3.过双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ,b ),c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4,解得a 2＝4,b 2＝12,因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.4.经过点P (－3,27)和点Q (－62,－7)的双曲线方程为________. 答案 y 225－x 275＝1解析 设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0),∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125，∴双曲线方程为y 225－x 275＝1.思维升华 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a ,2b 或2c ,从而求出a 2,b 2,写出双曲线方程.(2)待定系数法:先确定焦点在x 轴还是y 轴,设出标准方程,再由条件确定a 2,b 2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0),其中当m ＞0,n ＞0,且m ≠n 时表示椭圆；当mn ＜0时表示双曲线,合理使用这种形式可避免讨论. ②常见双曲线设法(i)已知a ＝b 的双曲线可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)； (ii)已知过两点的双曲线可设为Ax 2－By 2＝1(AB ＞0)；(iii)已知渐近线为x m ±y n ＝0的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0).双曲线的几何性质命题点1 渐近线例2 (1)已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15,则m 等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 D解析 由已知,取顶点⎝⎛⎭⎫0，13,渐近线3y －mx ＝0,则顶点到渐近线的距离为132＋m 2＝15,解得m ＝4.(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是____________. 答案 y ＝±2x解析 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3,4),所以9－16b2＝1,得b ＝2,所以该双曲线的渐近线方程是y ＝±2x . 命题点2 离心率例3 (1)(2019·浙江)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22B.1C. 2D.2 答案 C解析 因为双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0,所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上,都满足a ＝b ,所以c ＝2a ,所以双曲线的离心率e ＝ca＝ 2.(2)(2019·唐山模拟)设双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两条渐近线的夹角为α,且cos α＝13,则C的离心率为( ) A.52 B.62 C.72D.2 答案 B解析 ∵a ＞b ＞0,∴渐近线y ＝ba x 的斜率小于1,∵两条渐近线的夹角为α,cos α＝13.∴cos 2α2＝23,sin 2α2＝13,tan 2α2＝12,∴b 2a 2＝12,∴c 2－a 2a 2＝12, ∴e 2＝32,∴e ＝62.(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( ) A.2sin 40° B.2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得－ba ＝tan 130°,所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.(4)(2019·全国Ⅱ)设F 为双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ,Q 两点.若PQ ＝OF ,则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 答案 A解析 如图,由题意知,以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c 24,①将x 2＋y 2＝a 2,② ①－②得x ＝a 2c,则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c,所以PQ ＝2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2. 由PQ ＝OF ,得2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝c , 整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0,即e 4－4e 2＋4＝0, 解得e ＝2,故选A.思维升华 求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法 ①求a ,b ,c 的值,由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ,b ,c 的等式(或不等式),借助于b 2＝c 2－a 2消去b ,然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解.(2)焦点在x 轴上的双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系:k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a 2－1＝e 2－1.跟踪训练2 (1)(2019·汉中模拟)若双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的焦点到渐近线的距离是4,则m 的值是( ) A.2 B. 2 C.1 D.4 答案 D 解析 双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的焦点设为(c ,0), 当双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1时,渐近线方程设为bx －ay ＝0,可得焦点到渐近线的距离 d ＝|bc |b 2＋a 2＝b , 故由题意可得b ＝m ＝4.(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)上一点,则其离心率的取值范围是( ) A.()1，5 B.⎝⎛⎭⎫1，52 C.()5，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 答案 C解析 已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)上一点,得1a 2－4b 2＝1,即b 2a 2＝b 2＋4, 所以e ＝ca＝1＋b 2a2＝b 2＋5＞5,所以e ＞ 5. (3)(2019·天津)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且AB ＝4OF (O 为原点),则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 答案 D解析 由题意,可得F (1,0),直线l 的方程为x ＝－1,双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ,得y ＝±b a ,所以点A ,B 的纵坐标的绝对值均为b a .由AB ＝4OF 可得2ba ＝4,即b ＝2a ,b 2＝4a 2,故双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5.1.(2020·衡水质检)对于实数m ,“1＜m ＜2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 C解析 若方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线,则(m －1)(m －2)＜0,得1＜m ＜2,则“1＜m ＜2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的充要条件.2.(2019·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率是5,则a 等于( )A. 6B.4C.2D.12答案 D解析 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1,得b 2＝1,∴c 2＝a 2＋1. ∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2. 结合a ＞0,解得a ＝12.3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为( )A.x ±y ＝0B.x ±3y ＝0C.3x ±y ＝0D.2x ±y ＝0答案 C解析 ∵双曲线的方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0),∴双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .又∵离心率e ＝ca ＝2,∴c ＝2a ,∴b ＝c 2－a 2＝3a . 由此可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3aa x ＝±3x , 即3x ±y ＝0.故选C.4.(2020·西南大学附中月考)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(0＜a ＜2)的两条渐近线的夹角为π3,则双曲线的离心率为( ) A.233 B.263 C. 3 D.2答案 D解析 由双曲线方程可知渐近线方程为y ＝±2a x ,由两条渐近线夹角为π3,0＜a ＜2,可知其中一条渐近线的倾斜角为π3,∴2a ＝3,∴a ＝63,c ＝a 2＋b 2＝263,∴e ＝ca ＝26363＝2.5.(2019·全国Ⅲ)已知F 是双曲线C :x 24－y 25＝1的一个焦点,点P 在C 上,O 为坐标原点.若OP ＝OF ,则△OPF 的面积为( ) A.32 B.52 C.72 D.92 答案 B解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点,知OF ＝3,所以OP ＝OF ＝3.不妨设点P 在第一象限,P (x 0,y 0),x 0＞0,y 0＞0,则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎨⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝⎛⎭⎫2143，53,所以S △OPF ＝12OF ·y 0＝12×3×53＝52.6.已知离心率为52的双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,M 是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM ⊥MF 2,O 为坐标原点,若2OMF S △＝16,则双曲线的实轴长是( ) A.32 B.16 C.84 D.4 答案 B解析 由题意知F 2(c,0),不妨令点M 在渐近线y ＝b a x 上,由题意可知F 2M ＝bca 2＋b 2＝b ,所以OM＝c 2－b 2＝a .由2OMF S △＝16,可得12ab ＝16,即ab ＝32,又a 2＋b 2＝c 2,c a ＝52,所以a ＝8,b ＝4,c ＝45,所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7.(多选)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距,且一条渐近线方程为x －2y ＝0,则双曲线C 的方程可能为( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝1 答案 AD解析 在椭圆x 29＋y 24＝1中,c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距,且一条渐近线方程为x －2y ＝0, 所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0),化为标准方程为x 24λ－y 2λ＝1.当λ＞0时,c ＝λ＋4λ＝5,解得λ＝1, 则双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1；当λ＜0时,c ＝－λ－4λ＝5,解得λ＝－1, 则双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1. 综上,双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1,故选AD.8.(多选)已知F 1,F 2分别是双曲线C :y 2－x 2＝1的上、下焦点,点P 是其一条渐近线上一点,且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ,则( ) A.双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x B.以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1 C.点P 的横坐标为±1 D.△PF 1F 2的面积为 2 答案 ACD解析 等轴双曲线C :y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ,故A 正确； 由双曲线的方程可知F 1F 2＝22,所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2,故B 错误； 点P (x 0,y 0)在圆x 2＋y 2＝2上, 不妨设点P (x 0,y 0)在直线y ＝x 上,所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x 0|＝1,则点P 的横坐标为±1,故C 正确；由上述分析可得△PF 1F 2的面积为12×22×1＝2,故D 正确.故选ACD.9.(2019·华中师大附中月考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0,b ＞0)的右焦点F 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为________. 答案2解析 由题意知ba ＝1,∴e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.10.(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F 1,F 2的双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线与直线l :x －2y ＝0相互垂直,点P 在双曲线C 上,且PF 1－PF 2＝3,则双曲线C 的焦距为________. 答案 3 5解析 双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的渐近线为y ＝±ba x ,一条渐近线与直线l :x －2y ＝0相互垂直,可得ba ＝2,即b ＝2a ,由双曲线的定义可得2a ＝PF 1－PF 2＝3, 可得a ＝32,b ＝3,即有c ＝a 2＋b 2＝94＋9＝352, 即焦距为2c ＝3 5.11.如图,F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,以OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F 2AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为________.答案3＋1解析 设F 1F 2＝2c ,连接AF 1,∵△F 2AB 是等边三角形,且F 1F 2是⊙O 的直径, ∴∠AF 2F 1＝30°,∠F 1AF 2＝90°, ∴AF 1＝c ,AF 2＝3c ,2a ＝3c －c ,e ＝c a ＝23－1＝3＋1.12.(2020·临川一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)中,A 1,A 2是左、右顶点,F 是右焦点,B是虚轴的上端点.若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1,2),使得P i A 1—→·P i A 2—→＝0,则双曲线离心率的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 解析 设c 为半焦距,则F (c ,0),又B (0,b ), 所以BF :bx ＋cy －bc ＝0,以A 1A 2为直径的圆的方程为⊙O :x 2＋y 2＝a 2, 因为P i A 1—→·P i A 2—→＝0,i ＝1,2,所以⊙O 与线段BF 有两个交点(不含端点), 所以⎩⎪⎨⎪⎧bc b 2＋c 2<a ，b >a ，即⎩⎪⎨⎪⎧c 4－3a 2c 2＋a 4<0，c 2>2a 2， 故⎩⎪⎨⎪⎧e 4－3e 2＋1<0，e 2>2，解得2＜e ＜5＋12.13.(2020·长沙模拟)已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0),若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ,B 两点,且AF →＝3BF →,则双曲线离心率的最小值为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.2 2答案 C解析 因为过右焦点的直线与双曲线C 相交于A ,B 两点,且AF →＝3BF →,故直线与双曲线相交只能交于左、右两支,即点A 在左支,点B 在右支,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),右焦点F (c ,0),因为AF →＝3BF →,所以c －x 1＝3(c －x 2),3x 2－x 1＝2c ,因为x 1≤－a ,x 2≥a ,所以－x 1≥a ,3x 2≥3a ,故3x 2－x 1≥4a ,即2c ≥4a ,c a≥2,即e ≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.14.(2019·江南十校联考)已知双曲线C 1,C 2的焦点分别在x 轴,y 轴上,渐近线方程都为y ＝±1ax (a ＞0),离心率分别为e 1,e 2,则e 1＋e 2的最小值为________.答案 2 2解析 由题意得双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2＝t (a ＞0,t ＞0), 双曲线C 2的方程为y 2－x 2a 2＝λ(a ＞0,λ＞0), 所以e 1＝t ＋a 2t a t ＝a 2＋1a ,e 2＝λ＋a 2λλ＝a 2＋1, 所以e 1＋e 2＝a 2＋1a ＋a 2＋1≥2a 2＋1a ＝2a ＋1a≥22(当且仅当a ＝1时等号成立).15.(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的左焦点F (－c ,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线,切点为E ,延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ,O 为坐标原点,若OE →＝12(OF →＋OP →),则双曲线的离心率为( ) A.1＋52B.52C.1＋32D. 5答案 A解析 ∵OF ＝c ,OE ＝a ,OE ⊥EF ,∴EF ＝c 2－a 2＝b ,∵OE →＝12(OF →＋OP →), ∴E 为PF 的中点,OP ＝OF ＝c ,PF ＝2b ,设F ′(c,0)为双曲线的右焦点,也为抛物线的焦点,则EO 为△PFF ′的中位线,则PF ′＝2OE ＝2a ,可设P 的坐标为(m ,n ),则有n 2＝4cm ,由抛物线的定义可得PF ′＝m ＋c ＝2a ,m ＝2a －c ,n 2＝4c (2a －c ),又OP ＝c ,即有c 2＝(2a －c )2＋4c (2a －c ),化简可得,c 2－ac －a 2＝0,即e 2－e －1＝0,由于e ＞1,解得e ＝5＋12.16.(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C:x2－y28＝1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,66),当△APF周长最小时,则点P的坐标为________.答案(－2,26)解析如图,由双曲线C的方程可知a2＝1,b2＝8,∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9,∴c＝3,∴左焦点E(－3,0),右焦点F(3,0),∵AF＝32＋(66)2＝15,∴当△APF的周长最小时,P A＋PF最小.由双曲线的性质得PF－PE＝2a＝2,∴PF＝PE＋2,又PE＋P A≥AE＝AF＝15,当且仅当A,P,E三点共线且点P在线段AE上时,等号成立, ∴△APF的周长为AF＋AP＋PF＝15＋PE＋AP＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66,将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0,解得x＝－7(舍)或x＝－2,由x＝－2,得y＝26(负值已舍),∴点P的坐标为(－2,26).。

解析
直线 l 经过定点 Q(0， －3)， 如图所示． 由图知，
当 PQ⊥ l 时，点 P(2,1)到直线 l 的距离取得最大值 |PQ|＝ 2－ 02＋ 1＋ 32＝ 2 5，所以点 P(2,1)到直线 l 的最大距 离为 2 5.
8．[2017· 江西八校联考 ] 已知点 P(x，y)到 A(0,4)和 B(－
解析
a－ 2 1 由 l1∥ l2，得－ ＝－ ，解得 a＝3 或 a＝－ 1， 3 a
验证当 a＝ 3 时，l1，l2 的方程分别为 x＋3y＋ 6＝0，x＋3y＋ 6 ＝ 0， l1 与 l2 重合．∴a＝－1，故选 B.
3．[2017· 温州模拟] 直线 l1：kx＋ (1－k)y－ 3＝0 和 l2：(k －1)x＋ (2k＋3)y－2 ＝0 互相垂直，则 k＝( A．－3 或－1 C．－3 或 1 B ．3 或 1 D．－1 或 3 )
解析
1 D ．0 或 2 |3m＋ 5| |－ m＋ 7| 2 依题意，得 ＝ . 化简得 8 m ＋ 44m 2 2 m ＋1 m ＋1
2
1 － 24＝ 0，所以 2m ＋11m－ 6＝ 0.所以 m＝ 或 m＝－ 6，故选 2 B.
6．两条平行直线 l1：3x＋4y－4＝0 与 l2：ax＋8y＋2＝0 1 之间的距离是________ ．
9．已知两条直线 l1：ax－by＋4＝0 和 l2 ：(a－1)x＋y ＋b＝0，求满足下列条件的 a，b 的值： (1)l1⊥ l2，且 l1 过点(－3，－1)； (2)l1∥ l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解 (1)由已知可得 l2 的斜率存在，且 k2＝1－ a.
若 k2＝ 0，则 1－ a＝ 0， a＝ 1. ∵ l1⊥ l2，∴直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b＝0.

第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
法二：因为 A(0，－6)，B(1，－5)， 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为12，－121， 直线 AB 的斜率 kAB＝－51－－0－6＝1， 因此线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是 y＋121＝－x－12， 即 x＋y＋5＝0.
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三分。
又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2， 所以 x2＋y2 的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3，x2＋y2 的最小值 是(2－ 3)2＝7－4 3.
第二十九页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
[拓展练]——(着眼于迁移应用) 5．(2017·太原一模)已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，C 为圆 心，若等边三角形 PAB 的一边 AB 为圆 C 的一条弦，则|PC|的最 大值为( ) A. 2 B．2 C．2 2 D．4
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的 最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到 定点的距离的平方的最值问题．
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。
——[通·一类]——
[变式练]——(着眼于举一反三) 3．已知点 P(x，y)在圆 x2＋(y－1)2＝1 上运动，则yx－－12的最 大值与最小值分别为________．
解析：设yx－ －12＝k，则 k 表示点 P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当
该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．
由
k|22＋k| 1＝1，解得
k＝±
3 3.
答案：
33，－
3 3
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十三 分。

课时分层训练(四十九) 椭 圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) 【导学号：31222312】A ．4B ．3C ．2D ．5A [由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( )【导学号：31222313】A.13B.33C.22D.12B [原方程化为x 2m 2＋y 2m3＝1(m >0)，∴a 2＝m2，b 2＝m 3，则c 2＝a 2－b 2＝m6，则e 2＝13，∴e ＝33.]3．(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )【导学号：31222314】A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 D [设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16， ∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1，故选D.]4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.]5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1A [∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43， ∴4a ＝43，∴a ＝3，∴b ＝2， ∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1.]二、填空题6．已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为__________．441 [∵a >5，∴椭圆的焦点在x 轴上．∵|F 1F 2|＝8，∴c ＝4， ∴a 2＝25＋c 2＝41，则a ＝41.由椭圆定义，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ， ∴△ABF 2的周长为4a ＝441.]7．(2017·湖南长沙一中月考)如图8­5­3，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图8­5­3x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ， ∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，则a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.]8．(2016·江苏高考)如图8­5­4，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.图8­5­463 [将y ＝b 2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b 2＝1， 所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2. 又因为F (c,0)，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．]三、解答题9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．【导学号：31222315】(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.3分∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.5分(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.8分 ∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3.10分∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.12分10．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .[解] (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，2分又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.5分(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.8分又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2).10分由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2D ．4C [圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 又直线l 过椭圆C 的左焦点，且垂直于x 轴， ∴直线l 的方程为x ＝－c . 又∵直线l 与圆M 相切， ∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.]2．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是__________.【导学号：31222316】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 [如图所示，|AF 2|＝a ＋c ， |BF 2|＝a 2－c 2a，∴k ＝tan ∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c＝a －ca＝1－e . 又∵13<k <12，∴13<1－e <12，解得12<e <23.] 3．(2017·西安调研)如图8­5­5，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.图8­5­5(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.[解] (1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.3分 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.7分由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2，x 1x 2＝2kk －1＋2k2.9分从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2.12分。