高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版学案第二章

§2.5指数与对数1.根式(1)根式的概念(2)两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a (n 为奇数)，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0)(n 为偶数)；②(na )n ＝a (注意a 必须使na 有意义). 2.有理指数幂 (1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是m na ＝na m (a ＞0,m ,n ∈N *,n ＞1)； ②正数的负分数指数幂是mn a-＝1m na＝1na m(a ＞0,m ,n ∈N *,n ＞1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质 ①a s a t ＝a s ＋t (a ＞0,t ,s ∈Q )； ②(a s )t ＝a st (a ＞0,t ,s ∈Q )； ③(ab )t ＝a t b t (a ＞0,b ＞0,t ∈Q ). 3.对数的概念 (1)对数的定义①一般地,如果a (a ＞0,a ≠1)的b 次幂等于N ,即a b ＝N ,那么称b 是以a 为底N 的对数,记作b ＝log a N ,其中,a 叫做对数的底数,N 叫做真数.②底数的对数是1,即log a a ＝1,1的对数是0,即log a 1＝0. (2)几种常见对数4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①log a Na＝N (a ＞0且a ≠1,N ＞0)；②log a a N ＝N (a ＞0且a ≠1). (2)对数的重要公式①换底公式:log b N ＝log a Nlog a b(a ,b 均大于零且不等于1,N ＞0)；②log a b ＝1log b a(a ,b 均大于零且不等于1). (3)对数的运算法则如果a ＞0且a ≠1,M ＞0,N ＞0,那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log m na M ＝n mlog a M .概念方法微思考根据对数的换底公式,(1)思考log a b 与log b a 的关系； (2)化简log m na b .提示 (1)log a b ·log b a ＝1； (2)log m na b ＝n m log a b .题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a (n ∈N *).( × )(2)分数指数幂mna 可以理解为mn 个a 相乘.( × )(3)2a ·2b ＝2ab .( × )(4)若MN ＞0,则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (5)若lg x 2＝1,则x ＝10.( × ) 题组二 教材改编2.计算:1294⎛⎫⎪⎝⎭＋(－9.6)0－23278-⎛⎫ ⎪⎝⎭×⎝⎛⎭⎫322＝________. 答案 323.计算:(lg 5)2＋lg 2×lg 50＝________. 答案 14.已知lg 6＝a ,lg 12＝b ,那么用a ,b 表示lg 24＝________. 答案 2b －a 题组三 易错自纠5.计算:3(1＋2)3＋4(1－2)4＝________. 答案 2 2 6.下列各式:①na n ＝a ；②(a 2－2a －3)0＝1；③3－3＝6(－3)2；④log 318－log 32＝2. 其中正确的是________.(填序号) 答案 ④ 解析na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数，①错误；当a 2－2a －3≠0时,(a 2－2a －3)0＝1,②错误；3－3＝－33,6(－3)2＝632＝33,③错误；log 318－log 32＝log 39＝2,④正确.7.(多选)下列运算结果中,一定正确的是( ) A.a 3a 4＝a 7 B.(－a 2)3＝a 6 C.8a 8＝a D.5(－π)5＝－π答案 AD解析 a 3a 4＝a 3＋4＝a 7,故A 正确； 当a ＝1时,显然不成立,故B 不正确；8a 8＝|a |,故C 不正确； 5(－π)5＝－π,D 正确.指数幂的运算1.a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________.答案 1710a 解析a 3a ·5a 4＝34152·a a a＝14325a--＝1710a.2.计算23×31.5×612＝________. 答案 6解析 原式＝111362323122⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1111133632=233232-⨯⨯⨯⨯⨯11111236332326.++-+⨯⨯＝＝3.12133214(0.1)()a b --⎛⎫⎪⎝⎭⋅⋅________. 答案 85解析 原式＝33322233222410a b a b--⋅＝85. 4.若1122+=3x x -,则33222232x x x x --+-+-＝________. 答案 13解析 由1122+=3x x-,两边平方,得x ＋x －1＝7,再平方得x 2＋x －2＝47. ∴x 2＋x －2－2＝45.3322+x x -＝11113312222()+()=(+)(1+)x x x x x x ----＝3×(7－1)＝18.33222231=23x x x x --+-.+-∴思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加； ②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.对数的运算1.设2a ＝5b ＝m ,且1a ＋1b ＝2,则m ＝________.答案10解析 由已知,得a ＝log 2m ,b ＝log 5m ,则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.2.计算:⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷12100-＝________.答案 －20解析 原式＝(lg 2－2－lg 52)×12100＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.3.计算:(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1 解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4.(2019·北京)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2).已知太阳的星等是－26.7,天狼星的星等是－1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10－10.1答案 A解析 两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2,令m 2＝－1.45,m 1＝－26.7,lg E 1E 2＝25·(m 2－m 1)＝25(－1.45＋26.7)＝10.1, 所以E 1E 2＝1010.1.思维升华 对数运算的一般思路(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.(2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.指数与对数的综合运算例 (1)已知均不为1的正数a ,b ,c 满足a x ＝b y ＝c z ,且1x ＋1y ＋1z ＝0,求abc 的值.解 令a x ＝b y ＝c z ＝k . 由已知k ＞0且k ≠1, 于是x lg a ＝y lg b ＝z lg c ＝lg k , 故1x ＝lg a lg k ,1y ＝lg b lg k ,1z ＝lg c lg k . 因为1x ＋1y ＋1z＝0,所以lg a ＋lg b ＋lg c lg k ＝0,即lg (abc )lg k＝0. 故lg(abc )＝0,得abc ＝1.(2)设log a C ,log b C 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根,求log a bC 的值.解 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧log a C ＋log b C ＝3，log a C ·log b C ＝1，即⎩⎨⎧1log Ca ＋1log Cb ＝3，1log Ca ·log Cb＝1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧log C a ＋log C b ＝3，log C a ·log C b ＝1，(log C a －log C b )2＝(log C a ＋log C b )2－4log C a ·log C b ＝32－4＝5,故log C a －log C b ＝±5.于是log a bC ＝⎝⎛⎭⎫log C a b －1＝1log C a －log C b＝±55. 思维升华 指数、对数的综合运算,要充分利用指数、对数的定义、运算性质、换底公式,建立已知条件和所求式子间的联系.跟踪训练 (1)(2019·南京模拟)若a log 23＝1,b log 35＝1,则9a ＋5b ＝________. 答案 7解析 a ＝log 32,b ＝log 53, 于是9a ＋5b ＝353log 2log 32log 29533＋＝＋＝3log 43＋3＝4＋3＝7.(2)方程33x －56＝3x －1的实数解为________.答案 x ＝log 32解析 原方程可化为2(3x )2＋5·3x －18＝0, 即(3x －2)(2·3x ＋9)＝0,3x ＝2(2·3x ＝－9舍去), 得x ＝log 32.(3)若log 2log 3x ＝log 3log 2y ＝log 2log 2z ＝1,则x 2,y 3,z 4从小到大的排列为________. 答案 x 2＜z 4＜y 3解析由题设得log3x＝2,log2y＝3,log2z＝2, 即x＝32,y＝23,z＝22,故x2＝34,y3＝29,z4＝28, 所以x2＜z4＜y3.1.设a＞0,将a2a3a2表示成指数幂的形式,其结果是()A.12a B.56a C.1 D.32a答案 C解析a2a3a2＝31222a--＝a0＝1.2.化简(a－1)2＋(1－a)2＋3(1－a)3的结果是()A.1－aB.2(1－a)C.a－1D.2(a－1)答案 C解析 ∵a －1有意义,∴a －1≥0,即a ≥1,∴(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3＝(a －1)＋(a －1)＋(1－a )＝a －1. 3.(2020·苏州模拟)若a ＋b ＝13m ,ab ＝2316m (m ＞0),则a 3＋b 3等于( ) A.0 B.m 2 C.－m 2 D.3m 2答案 B解析 a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b )[(a ＋b )2－3ab ] ＝1223331·=22mm m m ⎛⎫-. ⎪⎝⎭4.如果x ＝1＋2b ,y ＝1＋2－b ,那么用x 表示y ,则y 等于() A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1 D.xx －1答案 D解析 y ＝1＋2－b ＝1＋12b ＝1＋2b 2b ＝xx －1.5.若12log x ＝3,则x 等于( )A.18B.19C.8D.9答案 A解析 ∵12log x ＝3,∴x ＝⎝⎛⎭⎫123＝18.6.在b ＝log 3a －1(3－2a )中,实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞B.⎝⎛⎭⎫13，23∪⎝⎛⎭⎫23，32C.⎝⎛⎭⎫13，32D.⎝⎛⎭⎫23，32答案 B解析 要使式子b ＝log 3a －1(3－2a )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1>0，3a －1≠1，3－2a >0，解得13＜a ＜23或23＜a ＜32. 7.(2019·扬州期末)lg 2－lg 15－e ln 2－1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭＋(－2)2的值为( )A.－1B.12C.3D.－5 答案 A解析 原式＝lg 2＋lg 5－2－2＋2＝lg 10－2＝1－2＝－1.8.(多选)下列各式中正确的是( )A.lg(lg 10)＝0B.lg(ln e)＝0C.若10＝lg x ,则x ＝100D.若log 25x ＝12,则x ＝±5 答案 AB解析 对A,因为lg 10＝1,lg 1＝0,所以lg(lg 10)＝lg 1＝0,故A 正确；对B,因为ln e ＝1,lg 1＝0,所以lg(ln e)＝lg 1＝0,故B 正确；对C,因为10＝lg x ⇔1010＝x ,故C 错误；对D,因为log 25x ＝12⇔1225＝x ⇔x ＝5,故D 错误. 9.若3x ＝4y ＝36,则2x ＋1y＝________. 答案 1解析 3x ＝4y ＝36,两边取以6为底的对数,得x log 63＝y log 64＝2,∴2x ＝log 63,2y ＝log 64,即1y＝log 62, 故2x ＋1y ＝log 63＋log 62＝1.10.(2019·徐州、连云港、宿迁检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________. 答案 －2解析 因为f (－1)＝4－1＝14, 所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2. 11.化简下列各式:(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－3π0＋3748；解 (1)原式＝1223225164373+90.12748-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－ ＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2) ＝3a 2÷3a －2＝43a .12.若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ,求x y的值. 解 由已知得lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy ),则(x －y )(x ＋2y )＝2xy ,即x 2－xy －2y 2＝0,也即(x －2y )(x ＋y )＝0.因为x ＞0,y ＞0,所以x ＋y ＞0,于是有x ＝2y ,即x y ＝2.13.若a ＞1,b ＜0,且a b ＋a －b ＝22,则a b －a －b ＝________.答案 －2解析 ∵a ＞1,b ＜0,∴0＜a b ＜1,a －b ＞1.又(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a－2b ＋2＝8, ∴a 2b ＋a －2b＝6, ∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a－2b －2＝4,∴a b －a －b ＝－2. 14.已知log a 18＝p ,log a 24＝q ,用p ,q 表示log a 1.5.解 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ log a 18＝p ，log a 24＝q ，即⎩⎪⎨⎪⎧log a (2×32)＝p ，log a (23×3)＝q . 变形为⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＋2log a 3＝p ，3log a 2＋log a 3＝q ，解得⎩⎨⎧ log a 2＝2q －p 5，log a 3＝3p －q 5.所以log a 1.5＝log a 32＝log a 3－log a 2 ＝3p －q 5－2q －p 5＝4p －3q 5, 即log a 1.5＝4p －3q 5.15.(多选)若实数a ,b 满足log a 2＜log b 2,则下列关系中可能成立的是( )A.0＜b ＜a ＜1B.0＜a ＜1＜bC.a ＞b ＞1D.0＜b ＜1＜a 答案 ABC解析 根据题意,实数a ,b 满足log a 2＜log b 2,对于A,若a ,b 均大于0小于1,依题意,必有0＜b ＜a ＜1,故A 有可能成立； 对于B,若log b 2＞0＞log a 2,则有0＜a ＜1＜b ,故B 有可能成立； 对于C,若a ,b 均大于1,由log a 2＜log b 2,知必有a ＞b ＞1,故C 有可能成立； 对于D,当0＜b ＜1＜a 时,log a 2＞0,log b 2＜0,log a 2＜log b 2不能成立.16.已知m ,n 为正整数,a ＞0,a ≠1,且 log a (m ＋n )＝log a m ＋log a n ,求m ,n 的值. 解 log a (m ＋n )＝log a m ＋log a n ＝log a (mn ).比较真数得m ＋n ＝mn ,即(m －1)(n －1)＝1.∵m ,n 为正整数,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝2.。

第八章 解析几何第41讲 直线的斜率与方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·开封模拟)过点A (－1,－3),斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为( )A. 3x ＋4y ＋15＝0B. 3x ＋4y ＋6＝0C. 3x ＋y ＋6＝0D. 3x －4y ＋10＝02. 直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A. ⎣⎡⎦⎤π6，π3 B. ⎣⎡⎦⎤π4，π3 C. ⎣⎡⎦⎤π4，π2 D. ⎣⎡⎦⎤π4，2π33. (2019·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0,b ≠0),若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ,则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π44. 如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2019·张家口模拟)若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3 x －y ＝33 的倾斜角的2倍,则( )A. m ＝－3 ,n ＝1B. m ＝－3 ,n ＝－3C. m ＝3 ,n ＝－3D. m ＝3 ,n ＝1二、 解答题6. 求过点A (1,3),斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．7. 求适合下列条件的直线方程．(1) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等；(2) 求过点(2,1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程．B巩固提升一、填空题1. 直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是________．2. 过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．3. 已知直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0,则直线l恒过定点________．4. (2019·江苏姜堰中学)已知△ABC的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________．二、解答题5. (2019·启东检测)已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1) 求证：不论m为何实数,直线l过一定点M；(2) 过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程．6. 如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时,求直线AB的方程．(第6题)第42讲两条直线的位置关系A应知应会一、选择题1. 若直线2x＋3y－1＝0与直线4x＋my＋11＝0平行,则m的值为()A. 83 B. －83 C. －6 D. 62. 若直线l过点(3,1)且与直线2x－y－2＝0平行,则直线l的方程为()A. 2x－y－5＝0B. 2x－y＋1＝0C. x＋2y－7＝0D. x＋2y－5＝03. (2019·石家庄模拟)若直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上,则k 的值为()A. －24B. 24C. 6D. ±64. 若直线a1x＋b1y＝2和a2x＋b2y＝2交于点P(3,2),则过点A(a1,b1),B(a2,b2)的直线方程是()A. 2x＋3y－2＝0B. 3x＋2y－2＝0C. 3x＋2y＋2＝0D. 2x＋3y＋2＝05. 已知直线l1：(m－4)x－(2m＋4)y＋2m－4＝0与l2：(m－1)x＋(m＋2)y＋1＝0,则“m ＝－2”是“l1∥l2”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件二、解答题6. 已知三角形三边所在的直线方程分别为2x－y＋4＝0,x＋y－7＝0,2x－7y－14＝0,求边2x－7y－14＝0上的高所在的直线方程．7. 已知△ABC的顶点B(2,1),C(－6,3),其垂心为H(－3,2),求顶点A的坐标．B 巩固提升一、 填空题1. 若三条直线y ＝2x ,x ＋y ＝3,mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点,则m 的值为________．2. 如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行,则a ＝________．3. 已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ,若l 1⊥l 2,则a ＝________,此时点P 的坐标为________．4. (2019·南通中学)已知直线l 的倾斜角为3π4,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,－1),且l 1与l 垂直,直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行,则a ＋b ＝________．二、 解答题5. (2019·海门实验中学)已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0,求α的值,使得：(1) l 1∥l 2；(2) l 1⊥l 2.6. 已知点P (a ,b )在x ,y 轴上的射影分别为点A ,B .(1) 求直线AB 的方程；(2) 求过点P 且垂直于AB 的直线m 的方程．第43讲 距离公式与对称问题A 应知应会一、 选择题1. 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( )A. 25B. 55C. 5D. 2552. 两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )A. 235B. 2310C. 7D. 723. 已知坐标原点关于直线l 1：x －y ＋1＝0的对称点为A ,设直线l 2经过点A ,则当点B (2,－1)到直线l 2的距离最大时,直线l 2的方程为( )A. 2x ＋3y ＋5＝0B. 3x －2y ＋5＝0C. 3x ＋2y ＋5＝0D. 2x －3y ＋5＝04. 已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0,c ＞0)恒过点P (1,m ),且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3,则12a ＋2c的最小值为( ) A. 92 B. 94C. 1D. 9 5. (多选)在平面直角坐标系中,定义d (P ,Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)之间的“折线距离”,则下列命题中为真命题的是( )A. 若点A (－1,3),B (1,0),则有d (A ,B )＝5B. 到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆C. 若点C 在线段AB 上,则有d (A ,C )＋d (C ,B )＝d (A ,B )D. 到M (－1,0),N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x ＝0二、 解答题6. (2019·江苏启东中学)已知直线l ：y ＝12x －1. (1) 求点P (3,4)关于l 对称的点Q ；(2) 求l 关于点(2,3)对称的直线方程．7. 已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4).(1) 证明：直线l 过某定点,并求该定点的坐标；(2) 当点P 到直线l 的距离最大时,求直线l 的方程．B 巩固提升一、 填空题1. 已知点(a ,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a ＝________．2. 直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．3. 已知l 1,l 2是分别经过A (2,1),B (0,2)两点的两条平行直线,当l 1,l 2之间的距离最大时,直线l 1的方程是________．4. “c ＝5”是“点(2,1)到直线3x ＋4y ＋c ＝0的距离为3”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)二、 解答题5. 已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1) 若点A (5,0)到l 的距离为3,求l 的方程；(2) 求点A (5,0)到l 的距离的最大值．6. 已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0,且l 1与l 2间的距离是7510. (1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P ,使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2 ∶5 ？若能,求点P 的坐标；若不能,说明理由．第44讲 圆的方程A 应知应会一、 选择题1. (2019·太原模拟)若两条直线y ＝x ＋2a ,y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部,则实数a 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫－15，1B. ⎝⎛⎭⎫－∞，－15 ∪(1,＋∞) C. ⎣⎡⎭⎫－15，1 D. ⎝⎛⎦⎤－∞，－15 ∪[1,＋∞) 2. (2019·长沙模拟)已知三点A (1,0),B (0,3 ),C (2,3 ),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A. 53B. 213C. 253D. 433. 方程|x |－1＝1－（y －1）2 所表示的曲线是( )A. 一个圆B. 两个圆C. 半个圆D. 两个半圆4. (2019·邯郸一模)若x ,y 满足约束条件(x －1)2＋(y －1)2≤1,则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2 －1B. 3－22C. 2 ＋1D. 3＋225. (2019·黄冈调研)若长度为定值4的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动,P (x ,y )为△OAB 的外心轨迹上一点,则x ＋y 的最大值为( )A. 1B. 4C. 2D. 22二、 解答题6. 已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ,且CD ＝410 .(1) 求直线CD 的方程；(2) 求圆P 的方程．7. 已知圆经过点A (2,－3)和B (－2,－5).(1) 若圆的面积最小,求圆的方程；(2) 若圆心在直线x －2y －3＝0上,求圆的方程．B巩固提升一、填空题1. 若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心,则a＝________．2. 已知圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(－1,1),B(1,3),若M(m,6)在圆C内,则m的取值范围为________．3. (2019·南师附中)经过三点A(－1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S＝________．4. 已知点A(－2,0),B(0,2).若点M是圆x2＋y2－2x＋2y＝0上的动点,则△ABM面积的最小值为________．二、解答题5. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点．(1) 求线段AP中点的轨迹方程；(2) 若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．6. 如图,已知圆O的直径AB＝4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB,点P 是圆O上异于A,B的任意一点,直线P A,PB分别交l于M,N两点．(1) 若∠P AB＝30°,求以MN为直径的圆的方程；(2) 当点P变化时,求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．(第6题)第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系课时1直线与圆相关问题A应知应会一、选择题1. 以点(2,－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为()A. (x－2)2＋(y＋1)2＝3B. (x＋2)2＋(y－1)2＝3C. (x－2)2＋(y＋1)2＝9D. (x＋2)2＋(y－1)2＝92. (2019·湖南十四校二联)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A,B两点(O 为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为()A. 6或－6B. 5或－5C. 6D. 53. “a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知圆C：x2＋y2＝4,若点P(x0,y0)在圆C外,则直线l：x0x＋y0y＝4与圆C的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定5. (多选)(2019·合肥模拟)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|＝23,则直线l的方程为()A. 3x＋4y－12＝0B. 4x－3y＋9＝0C. x＝0D. 4x＋3y＋9＝0二、解答题6. (2019·启东模拟)已知直线l：kx－y＋k－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A,B两点,过A,B 分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|＝43,求|CD|.7. 已知圆C经过点A(2,－1),与直线x＋y＝1相切,且圆心在直线y＝－2x上．(1) 求圆C的方程；(2) 已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·衡水调研)过M (－3,1),N (0,a )两点的光线经y 轴反射后所在直线与圆x 2＋y 2＝1存在公共点,则实数a 的取值范围为________．2. (2019·扬州期末)已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ,Q 两点,则CP → ·CQ → ＝________．3. 已知过点P ⎝⎛⎭⎫32，32 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ,B 两点,当∠ACB 最小时,直线l 的方程为________,∠ACB ＝________．4. (2019·启东考前卷)如图,已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0),与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方),且|AB |＝2,则圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．(第4题)二、 解答题5. 已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0,点A (3,5).(1) 求过点A 的圆的切线方程；(2) 点O 是坐标原点,连接OA ,OC ,求△AOC 的面积S .6. 已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4,点O 是坐标原点,直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ,N 两点．(1) 求k 的取值范围；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能,求出直线l 的方程；若不能,请说明理由．课时2圆与圆的位置关系A应知应会一、选择题1. 圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为()A. 相交B. 外切C. 内切D. 外离2. 已知圆O1的方程为x2＋y2＝4,圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是()A. {1,－1}B. {3,－3}C. {1,－1,3,－3}D. {5,－5,3,－3}3. 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长,则a,b应满足的关系式是()A. a2－2a－2b－3＝0B. a2＋2a＋2b＋5＝0C. a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D. 3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝04. 两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r＞0)在交点处的切线互相垂直,则r等于()A. 5B. 4C. 3D. 225. 已知A＝{(x,y)|x2＋y2＝1},B＝{(x,y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4},则A∩B等于()A. ∅B. {(0,0)}C. {(5,5)}D. {(0,0),(5,5)}二、解答题6. 已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0,若圆B平分圆A的周长,且圆B的圆心在直线l：y ＝2x上,求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．7. 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4,圆O2的圆心坐标为(2,1).(1) 若圆O1与圆O2外切,求圆O2的方程；(2) 若圆O1与圆O2相交于A,B两点,且|AB|＝22,求圆O2的方程．B 巩固提升一、 填空题1. 若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切,则m ＝________．2. 已知线段AB 的长为2,动点C 满足CA → ·CB →＝λ(λ<0),且点C 总不在以点B 为圆心,12为半径的圆内,则负数λ的最大值是________．3. (2019·江苏天一中学)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长度是________．4. 如图,在平面四边形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,∠DAB ＝60°,AC ＝3BC ,则边CD 长的最小值为________．(第4题)二、 解答题 5. (2019·江苏准阴中学)已知点P (2,2),圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点．(1) 求M 的轨迹方程；(2) 当|OP |＝|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积．6. (2019·泰州中学)在平面直角坐标系xOy 中,过点P (0,1)且互相垂直的两条直线分別与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ,B ,与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ,D .(1) 若AB ＝327 ,求CD 的长；(2) 若CD 中点为E ,求△ABE 面积的取值范围．(第6题)第46讲 椭圆A 应知应会一、 选择题1. 过点A (3,－2)且与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A. x 215 ＋y 210 ＝1B. x 225 ＋y 220 ＝1 C. x 210 ＋y 215 ＝1 D. x 220 ＋y 215 ＝12. 设F 1,F 2分别是椭圆x 225 ＋y 216 ＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM |＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A. 4B. 3C. 2D. 53. (多选)已知P 为椭圆x 25 ＋y 24 ＝1上一点,以点P 及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积为S ,则( )A. 若S ＝1,则满足条件的点P 有4个B. 若S ＝2,则满足条件的点P 有2个C. 若S ＝5 ,则满足条件的点P 有2个D. 若S ＝12 ,则满足条件的点P 有4个4. 若中心为(0,0),一个焦点为F (0,52 )的椭圆,截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12,则该椭圆的方程是( ) A. 2x 275 ＋2y 225 ＝1 B. x 275 ＋y 225 ＝1C. x 225 ＋y 275 ＝1D. 2x 225 ＋2y 275 ＝15. 已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ,B ,左焦点为F .以原点O 为圆心的圆与直线BF 相切,且该圆与y 轴的正半轴交于点C ,过点C 的直线交椭圆于M ,N 两点．若四边形F AMN 是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )A. 35B. 12C. 23D. 34二、 解答题6 . 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1) 与椭圆x 24 ＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2,－3 )；(2) 已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P 到两焦点的距离分别为5,3.7. (2019·厦门期中)如图,已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ,B ,右焦点为F ,一条准线方程是x ＝－4,短轴一端点与两焦点构成等边三角形,点P ,Q 为椭圆C上异于A ,B 的两点,点R 为PQ 的中点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 直线PB 交直线x ＝－2于点M ,记直线P A 的斜率为k P A ,直线FM 的斜率为k FM ,求证：k FM ·k P A 为定值．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为32,且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为________．2. 已知F 1,F 2分别为椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的左、右焦点,点F 2关于直线y ＝x 的对称点Q 在椭圆上,则长轴长为________；若P 是椭圆上的一点,且PF 1·PF 2＝43 ,则S △F 1PF 2＝________．3. (2019·江苏海门中学)设F 1,F 2分别为椭圆x 24 ＋y 2＝1的左、右焦点,点P 在椭圆上,且|PF 1＋PF 2|＝23 ,则∠F 1PF 2＝________．4. (2019·淮北一模)在平面直角坐标系xOy 中,点P 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1(a ＞0)上一点,F为椭圆C 的右焦点,直线FP 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切于点Q ,若Q 恰为线段FP 的中点,则a ＝________．二、 解答题5. (2019·南昌一模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)经过点M (0,－1),长轴长是短轴长的2倍．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 经过点N (2,1)且与椭圆C 相交于A ,B 两点(异于点M ),记直线MA 的斜率为k 1,直线MB 的斜率为k 2,求证：k 1＋k 2为定值．6. (2019·揭阳二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ,右焦点为F ,直线AF 与圆M ：(x －3)2＋(y －1)2＝3相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,且AP → ·AQ →＝0,试探究：直线l 是否过定点？若是,求该定点的坐标；若不是,请说明理由．第47讲 双曲线 A 应知应会一、 选择题1. (多选)下列各条件下求得的双曲线标准方程,正确的是( )A. 与x 轴交于两点A (－2,0),B (2,0),c ＝3,则方程为x 24 －y 25 ＝1B. a ＝25 ,过点A (2,－5),焦点在y 轴上,则方程为y 220 －x 216＝1C. 与椭圆x 227 ＋y 236 ＝1有相同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4,则方程为y 24 －x 25＝1D. 过P 1⎝⎛⎭⎫－2，352 ,P 2⎝⎛⎭⎫473，4 两点,则方程是y 29 －x 216 ＝12. 若双曲线E ：x 29 －y 216 ＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|＝3,则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 33. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一个焦点为F (－2,0),且双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的方程为( )A. x 23 －y 2＝1B. x 26 －y 22＝1C. x 23 －y 2＝1或x 2－y 23 ＝1 D. x 2－y 23 ＝1或x 26 －y 22＝1 4. (2019·济宁期末)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为E ,线段EF 被双曲线C 2：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的顶点三等分,且两曲线C 1,C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ,则双曲线C 2的离心率为( )A. 2B.322 C. 113 D. 2225. (2019·秦皇岛模拟)已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y＝2x ＋10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A. x 25 －y 220 ＝1B. x 220 －y 25 ＝1C. 3x 225 －3y 2100 ＝1D. 3x 2100 －3y 225 ＝1二、 解答题6. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 虚轴长为12,离心率为54 ；(2) 焦距为26,且经过点M (0,12)；(3) 经过两点P (－3,27 )和Q (－62 ,－7).7. 根据下列条件,求双曲线的标准方程． (1) 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154 ,Q ⎝⎛⎭⎫－163，5 ； (2) c ＝6 ,经过点(－5,2),焦点在x 轴上．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2－y 2b2 ＝1(b ＞0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是________．2. (2019·晋中二模)过双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的下焦点F 1作y 轴的垂线,交双曲线于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点F 2,则双曲线的离心率为________．3. 已知M (x 0,y 0)是双曲线C ：x 22 －y 2＝1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点,若MF 1·MF 2<0,则y 0的取值范围是________．4. (2019·马鞍山一检)已知双曲线C ：x 24 －y 25 ＝1的焦点为F 1,F 2,P 为双曲线C 上的一点,且△F 1PF 2的内切圆半径为1,则△F 1PF 2的面积为________．二、 解答题5. 已知双曲线过点(3,－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1) 求双曲线的标准方程；(2) 若点M 在双曲线上,F 1,F 2为左、右焦点,且|MF 1|＋|MF 2|＝63 ,试判断△MF 1F 2的形状．6. 已知双曲线y 2a 2 －x 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的两个焦点分别为F 1,F 2,一条渐近线方程为2x ＋y＝0,且焦点到这条渐近线的距离为1.(1) 求此双曲线的方程；(2) 若点M ⎝⎛⎭⎫55，m 在双曲线上,求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上．第48讲 抛物线A 应知应会一、 选择题 1. (2019·南昌一模)已知抛物线方程为x 2＝－2y ,则其准线方程为( ) A. y ＝－1 B. y ＝1 C. y ＝12 D. y ＝－122. 过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( )A. 9B. 8C. 7D. 6 3. (2019·石家庄检测)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,过点F 和抛物线上一点M (2,22 )的直线l 交抛物线于另一点N ,则|NF |∶|FM |等于( )A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶2D. 1∶3 4. (2019·武汉调研)已知A ,B 为抛物线y 2＝4x 上两点,O 为坐标原点,且OA ⊥OB ,则|AB |的最小值为( )A. 42B. 22C. 8D. 825. (多选)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)上有A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)三点,F 是它的焦点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则( )A. x 1,x 2,x 3成等差数列B. x 1,x 2,x 3成等比数列C. y 21 ,y 22 ,y 23 成等差数列D. y 21 ,y 22 ,y 23 成等比数列 二、 解答题6. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0),过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ,B 两点,坐标原点为O ,且OA → ·OB → ＝12.(1) 求抛物线的方程；(2) 当以AB 为直径的圆与y 轴相切时,求直线l 的方程．7. 一种高脚酒杯的轴截面近似一条抛物线如图所示,已知杯口宽4 cm,杯深8 cm.若将一些大小不等的玻璃球放入酒杯中,试问：半径为多大时,玻璃球触及酒杯底部？(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 若直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0),且与抛物线C 交于A ,B 两点,则p ＝________,1AF ＋1BF＝________．2. (2019·河南六市二联)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,其准线为直线l ,过点M (5,25 )作直线l 的垂线,垂足为H ,则∠FMH 的平分线所在直线的斜率是________．3. (2019·福州一模)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ,且与抛物线交于A ,B 两点,若AF → ＝5FB →,则直线l 的斜率为________．4. (2019·深圳二调)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点F 和到点(2,0)的距离之和的最小值为3,过点F 作斜率为3 的直线l 与抛物线C 及其准线从上到下依次交于点A ,B ,M ,则|AF ||BF | ＋|AF ||MF |＝________．二、 解答题 5. (2019·唐山摸底)斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线y ＝x 2交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,O 为坐标原点．(1) 当x 1＋x 2＝2时,求k ；(2) 若OB ⊥l ,且|AB |＝3|OB |,求|AB |.6. (2019·合肥二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点M (m ,9)到其焦点F 的距离为10.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,且抛物线在A ,B 两点处的切线分别交x 轴于P ,Q 两点,求|AP |·|BQ |的取值范围．第49讲 解析几何的综合问题课时1 解析几何中的最值、范围问题A 应知应会一、 选择题1. 设A ,B 为椭圆C ：x 23 ＋y 2m＝1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°,则m 的取值范围是( )A. (0,1]∪[9,＋∞)B. (0,3 ]∪[9,＋∞)C. (0,1]∪[4,＋∞)D. (0,3 ]∪[4,＋∞)2. (2019·襄阳调研)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ,则离心率e 的取值范围是( ) A. [2 ,＋∞) B. (2 ,＋∞) C. (1,2 ) D. (1,2 ]3. (多选)已知O 是坐标原点,A ,B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点,OA ⊥OB ,则下列结论中正确的是( )A. OA ·OB ≥2B. OA ＋OB ≥22C. 直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点D. O 到直线AB 的距离小于等于1二、 解答题4. (2019·安庆二模)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且过点(2,2 ). (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A ,B 为椭圆C 的左、右顶点,过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M ,N 两点,分别记△ABM ,△ABN 的面积为S 1,S 2,求|S 1－S 2|的最大值．5. (2019·荆州二模)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为13,点P 在椭圆C 上,且△PF 1F 2的面积的最大值为22 . (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ,N ,若在x 轴上存在点G ,使得|GM |＝|GN |,求点G 的横坐标的取值范围．B 巩固提升一、 填空题1. (2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1,则双曲线x 2a 2 －y 2＝1的离心率的取值范围是________． 2. 已知线段|AB |＝4,|P A |＋|PB |＝6,M 是AB 的中点,当P 点在同一平面内运动时,PM 的长度的最小值为________．3. 已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P 满足PF 1·PF 2＝－a 2,则双曲线离心率的取值范围为________．二、 解答题4. (2019·新乡三模)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线与x 轴交于点K ,过点K 作圆C ：(x －5)2＋y 2＝9的两条切线,切点为M ,N ,|MN |＝33 .(1) 求抛物线E 的方程；(2) 若直线AB 是过定点Q (2,0)的一条直线,且与抛物线E 交于A ,B 两点,过定点Q 作AB 的垂线与抛物线交于G ,D 两点,求四边形AGBD 面积的最小值．5. (2019·江西质检)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22,过点A (－m ,0),B (m ,0)(m ＞0)分别作两平行直线l 1,l 2,l 1与椭圆C 相交于M ,N 两点,l 2与椭圆C 相交于P ,Q两点,且当直线l 2过右焦点和上顶点时,四边形MNQP 的面积为163. (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若四边形MNQP 是菱形,求正数m 的取值范围．课时2 解析几何中的定点、定值问题A 应知应会一、 选择题1. (2019·武汉模拟)曲线x 225 ＋y 29 ＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k ＜9)的( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等2. 已知直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若直线OA ,OB 的斜率k 1,k 2满足k 1k 2＝23,则l 一定过点( ) A. (－3,0) B. (3,0) C. (－1,3) D. (－2,0)3. (2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249 ＋y 224＝1上一点,F 1,F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,且△PF 1F 2的重心为点G ,若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4,那么△GPF 1的面积为( )A. 24B. 12C. 8D. 6二、 解答题4. (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ,N 两点．(1) 当k ＝0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2) y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．5. 已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1,圆O ：x 2＋y 2＝4上一点A (0,2). (1) 过点A 作两条直线l 1,l 2都与椭圆C 相切,求直线l 1,l 2的方程并判断其位置关系；(2) 同学甲：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终相互垂直； 同学乙：过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线l 1,l 2,则直线l 1,l 2始终不垂直． 请判定两个同学观点是否正确,并证明．B 巩固提升一、 填空题1. 过抛物线y 2＝8x 上的任意一点为圆心作与直线x ＋2＝0相切的圆,这些圆必过一定点,则定点的坐标是________．2. 设A (x 1,y 1),B ⎝⎛⎭⎫4，95 ,C (x 2,y 2)是右焦点为F 的椭圆x 225 ＋y 29 ＝1上三个不同的点,若AF ,BF ,CF 成等差数列,则x 1＋x 2＝________．二、 解答题3. (2019·烟台一模)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的动直线交抛物线C 于A ,B 两点．当直线与x 轴垂直时,|AB |＝4.(1) 求抛物线C 的方程；(2) 若直线AB 与抛物线的准线l 相交于点M ,在抛物线C 上是否存在点P ,使得直线P A ,PM ,PB 的斜率成等差数列？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,说明理由．4. (2019·池州期末)已知定点A (－3,0),B (3,0),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为－19,记动点M 的轨迹为曲线C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 过点T (1,0)的直线l 与曲线C 交于P ,Q 两点,是否存在定点S (s ,0),使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值？若存在,求出S 的坐标；若不存在,请说明理由．微难点10 解析几何运算中的常用技巧一、 选择题1. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3 x ,它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上,则双曲线的方程为( )A. x 236 －y 2108 ＝1B. x 29 －y 227＝1 C. x 2108 －y 236 ＝1 D. x 227 －y 29＝12. 已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的标准方程为( )A. x 245 ＋y 236 ＝1B. x 236 ＋y 227＝1 C. x 227 ＋y 218 ＝1 D. x 218 ＋y 29＝13. 已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0),F 2(c ,0),P 为双曲线上任一点,且PF 1·PF 2最小值的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34c 2，－12c 2 ,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A. (1,2 ] B. [2 ,2] C. (0,2 ] D. [2,＋∞)二、 填空题4. (2019·清江中学)已知F (2,0)为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点,过F 且垂直于x 轴的弦长为6,若A (－2,2 ),点M 为椭圆上任一点,则|MF |＋|MA |的最大值为________．5. 如图,已知椭圆C 的中心为原点O ,F (－25 ,0)为C 的左焦点,P 为C 上一点,满足OP ＝OF ,且PF ＝4,则椭圆C 的方程为________．(第5题)三、 解答题6. 已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)上的点到两个焦点的距离之和为23 ,短轴长为12,直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝125相切,求证：OM → ·ON → 为定值.7. 已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率e ＝12,且椭圆C 经过点P (2,3),过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于A ,B 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求△PF 1G 的面积S 的取值范围．8. 如图,O 为坐标原点,点F 为抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点,且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：x 2＋y 2＝1相切于点Q .(1) 当直线PQ 的方程为x －y －2 ＝0时,求抛物线C 1的方程；(2) 当正数p 变化时,记S 1 ,S 2分别为△FPQ ,△FOQ 的面积,求S 1S 2的最小值．(第8题)。

第三章 导数及其应用第15讲 导数的几何意义和四则运算A 应知应会一、 选择题1. 已知f (x )＝x (2 018＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 019,则x 0等于( )A. e 2B. 1C. ln 2D. e2. 若函数f (x )＝33x 3＋ln x －x ,则曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线的倾斜角是( ) A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π63. 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)·cos x －ax 在(0,f (0))处的切线倾斜角为45°,则a 等于( )A. －2B. －1C. 0D. 34. (2019·泰安一模)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 2 ＝x 3－3x ,则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率为( )A. 0B. 9C. 18D. 275. 已知曲线y ＝sin x 在点P (x 0,sin x 0)(0≤x 0≤π)处的切线为l ,则下列各点中不可能在直线l 上的是( )A. (－1,－1)B. (－2,0)C. (1,－2)D. (4,1)二、 解答题6. 求下列函数的导数．(1) y ＝5x 3 ； (2) y ＝1x4 ； (3) y ＝－2sin x 2 ⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .7. 已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0,且点P 0在第三象限．(1) 求P 0的坐标；(2) 若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．2. 已知函数f (x )满足满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2,则f (x )的解析式为________________.3. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y ＝ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(－e,－1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是________．4. (2019·厦门一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知x 21 －ln x 1－y 1＝0,x 2－y 2－2＝0,则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为________．二、 解答题5. 已知曲线y ＝(ax －1)e x 在点A (x 0,y 1)处的切线为l 1,曲线y ＝1－x e x 在点B (x 0,y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，32 ,使得l 1⊥l 2,求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11,g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9,且f ′(－1)＝0.(1) 求a 的值；(2) 是否存在k ,使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线,又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在,求出k 的值；如果不存在,请说明理由．第16讲 导数与函数的单调性A 应知应会一、 选择题1. (2019·福建四校二联)函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )A BC D2. 若函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,则下列判断中正确的是 ( )(第2题)A. 在区间(－3,1)内f (x )是增函数B. 在区间(1,3)内f (x )是增函数C. 在区间(5,6)内f (x )是增函数D. 在区间(－∞,1)内f (x )是增函数3. (2019·宣城二调)若函数f (x )＝43x 3－2ax 2－(a －2)x ＋5恰好有三个单调区间,则实数a 的取值范围为( )A. [－1,2]B. [－2,1]C. (－∞,－1)∪(2,＋∞)D. (－∞,－2)∪(1,＋∞)4. 若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ,a ＋1]上单调递增,则实数a 的最大值为( )A. －1＋52B. 1＋52C. 1－52D. －1－525. (多选)已知函数f (x )＝e x －1,对于满足0<x 1<x 2<e 的任意x 1,x 2,下列结论中正确的是( )A. (x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0B. x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)C. f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1D. f （x 1）＋f （x 2）2 ＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22二、 解答题 6. (2019·太原一模节选)已知函数f (x )＝x 3－32 ax 2(a ＞0),若函数h (x )＝f （x ）·e x x 在(0,1)上单调递减,求a 的取值范围．7. (2019·南昌一模)已知函数f (x )＝(x ＋a )e x (x ＞－3),其中a ∈R ．(1) 若曲线y ＝f (x )在点A (0,a )处的切线l 与直线y ＝|2a －2|x 平行,求直线l 的方程；(2) 讨论函数y ＝f (x )的单调性．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·泰州一模)已知函数f (x )＝2x 4＋4x 2,若f (a ＋3)＞f (a －1),则实数a 的取值范围为________．2. 已知函数f (x )的定义域为R,f (0)＝2,对任意x ∈R,都有f (x )＋f ′(x )＞1,则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为________．3. 已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ,t ＋1]上不单调,则t 的取值范围是________．4. (2019·盐城期中)已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R),若函数f (x )存在三个单调区间,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝x e x －a ⎝⎛⎭⎫x 22＋x (a ∈R),讨论函数f (x )的单调性．6. 已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R).(1) 若f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线y ＝1ex ＋1垂直,求a 的值； (2) 若f (x )在(0,＋∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围．第17讲 导数与函数的极值、最值A 应知应会一、 选择题1. 函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 32. (2019·安庆二模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e(e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( )A. 2e －1B. －1eC. 1D. 2ln 2 3. 若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ,6－a 2)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A. (－5 ,1)B. [－5 ,1)C. [－2,1)D. (－2,1)4. 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2,g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN |达到最小时t 的值是( )A. 1B. 12C. 52D. 225. (多选)设函数f (x )＝ax 22e－ln |ax |(a ＞0),若f (x )有4个零点,则a 的可能取值个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、 解答题6. 已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1) 求曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(2) 求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值．7. (2019·邵阳期末)已知a ∈R,函数f (x )＝a x＋ln x －1. (1) 当a ＝1时,求曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程；(2) 求f (x )在区间(0,e]上的最小值．B 巩固提升一、 填空题1. 若函数f (x )＝12x 2f ′(2)＋ln x ,则f (x )的极大值点为________,极大值为________． 2. 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1,若函数f (x )在(1,2)上有极值,则实数a 的取值范围为________．3. (2019·滁州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3－3x 2＋1，x ≥0，e ax ＋1，x <0 在[－2,2]上的最大值为5,则实数a 的取值范围是________．4. (2019·唐山一模)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点,则sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3 的最小值为________． 二、 解答题5. (2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1) 讨论f (x )的单调性；(2) 当0<a <3时,记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ,最小值为m ,求M －m 的取值范围．6. 解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向问题”．例如：原问题是“若矩形的边长为3和4,则其周长为14”,它的一个“逆向问题”是：“若矩形的周长为14,一边长为3,求另一边长”,也可以是“若矩形的周长为14,求其面积的最大值”等等．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1) 求f (x )在[－1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值； (2) 请对(1)提出两个“逆向问题”,并作解答．第18讲生活中的优化问题举例A应知应会一、解答题1. 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10－x)2万件．(1) 求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；(2) 当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大？并求出L的最大值．2. 如图所示是一个帐篷,它下部分的形状是一个正六棱柱,上部分的形状是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO＝3PO1.设PO1＝x.(1) 当x＝2 m,P A1＝4 m时,求搭建的帐篷的表面积；(2) 在P A1的长为定值l m的条件下,已知当且仅当x＝23m时,帐篷的容积V最大,求l的值．(第2题)B 巩固提升一、 解答题1. (2019·徐州期中)如图所示是一个半径为2 km,圆心角为π3的扇形游览区的平面示意图,点C 是半径OB 上一点,点D 是圆弧AB 上一点,且CD ∥OA .现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元,线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设∠AOD ＝x 弧度,广告位出租的总收入为y 元．(1) 求y 关于x 的函数解析式,并指出该函数的定义域；(2) 试问x 为何值时,广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．(第1题)2. (2019·盐城期中)某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品．根据以往的经验知道,该厂生产这种仪器次品率P 与日产量x (件)之间近似满足关系：P ＝⎩⎨⎧196－x ，1≤x ≤c ，x ∈N ，1≤c <96，23，x >c ，x ∈N (注：次品率P ＝次品数总生产量,如P ＝0.1表示每生产10件产品,约有1件为次品,其余为合格品).已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元,但每生产一件次品将亏损A 2元,故厂方希望定出合适的日产量． (1) 试将生产这种仪器每天的盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数；(2) 当日产量x 为多少时,可获得最大利润？微难点4 构造函数研究不等关系一、 选择题1. 当x ∈[－2,1]时,不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A. [－5,－3]B. ⎣⎡⎦⎤－6，－98 C. [－6,－2] D. [－4,－3] 2. (2019·上饶一模)已知函数f (x )＝ln x ＋a 的导数为f ′(x ),若方程f ′(x )＝f (x )的根x 0小于1,则实数a 的取值范围为( )A. (1,＋∞)B. (0,1)C. (1,2 )D. (1,3 )3. 已知函数f (x )＝x ＋1x 2 ,g (x )＝log 2x ＋m ,若对x 1∈[1,2],x 2∈[1,4],使得f (x 1)≥g (x 2),则m 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎦⎤－∞，－54B. (－∞,2]C. ⎝⎛⎦⎤－∞，34 D. (－∞,0] 二、 填空题4. 设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对任意的x ∈R,有f (－x )＋f (x )＝x 2,当x ∈(0, ＋∞)时,f ′(x )＜x .若f (4－m )－f (m )≥8－4m ,则实数m 的取值范围为________．5. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,其导函数为f ′(x ),若f ′(x )＜f (x ),且f (x ＋1)＝f (3－x ),f (2 019)＝2,则不等式f (x )＜2e x －1的解集为________．6. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )＞1,f (0)＝4,则不等式e x f (x )＞e x ＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．三、 解答题7. 已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ,若不等式f （x ）ex ＋7x －2＞k (x ln x －1)(k 为正整数)对任意正实数x 恒成立,求k 的最大值．(参考数据：ln 7≈1.95,ln 8≈2.08)8. 已知函数f (x )＝ln x －ax 3,g (x )＝a e xe. (1) 若直线y ＝x 与y ＝g (x )的图象相切,求实数a 的值；(2) 若存在x 0∈[1,e],使得f (x 0)＞(1－3a )x 0＋1成立,求实数a 的取值范围．微难点5 利用导数研究函数的零点一、 解答题1. 已知函数f (x )＝2e x ＋ax .(1) 求f (x )的单调区间；(2) 讨论f (x )在(0,＋∞)上的零点个数．2. (2019·抚州调研)已知函数f (x )＝a 6 x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝⎛⎭⎫4，103 . (1) 求函数f (x )的单调增区间；(2) 若函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有3个零点,求m 的取值范围．3. 已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝3x －2a 2x. (1) 求函数F (x )＝f (x )－x ＋2在x ∈[4,＋∞)上的最大值；(2) 若函数H (x )＝2f (x )－ln [g (x )]在区间⎣⎡⎦⎤12，1 上有零点,求实数a 的取值范围．4. 已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x (a ∈R,e 为自然对数的底数).(1) 当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2) 若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12 上无零点,求a 的最小值．。

[考案5]第五章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( D )A.a n ＝(－1)n·2n ＋12nB.a n ＝(－1)n ·2n ＋12nC.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n D.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n【试题解答】 该数列是分数形式，分子为奇数2n ＋1，分母是指数2n ，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D 选项正确.2.(2020·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( D )A.8B.2C.3D.7【试题解答】 由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，所以数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2 019＝4×504＋3，所以b 2 019的末位数字为7.故选D.3.(2020·贵州贵阳监测)如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( C ) A.14 B.21 C.28D.35【试题解答】 由题意得3a 4＝12，则a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.故选C.4.(2020·山东潍坊期末)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，则数列{a n }的公比为( B )A.2B.3C.12D.13【试题解答】 设数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1，因为S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，所以1＋q m ＝28，q m ＝2m ＋21m －2，所以m ＝3，q ＝3.故选B.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14＜0，则S n 取最大值时n 的值为( B ) A.6 B.7 C.8D.13【试题解答】 根据S 13>0，S 14＜0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8＜0.所以a 7>0，a 8＜0，则S n 取最大值时n 的值为7.故选B.6.(2020·江西南昌三中模拟)在等比数列{a n }中，已知对任意的正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( A )A.13(4n －1) B.2n －1 C.13(2n －1) D.4n －1【试题解答】 通解：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m 对任意的正整数n 均成立，∴a 1＝2＋m ，a 2＝2，a 3＝4.∵{a n }是等比数列，∴m ＝－1，a 1＝1，q ＝2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A. 优解：∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，∴当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2＋m ，满足上式，∴m ＝－1，即等比数列{a n }的首项为1，公比为2，∴a n ＝2n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A.7. (2020·河北六校第三次联考)“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光.”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A ，B ，C 为圆心，AC ，BA 1，CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，再以A 为圆心，AA 3为半径画弧，……如此画下去，则所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为( A )A.310πB.1103πC.58πD.110π【试题解答】 根据弧长公式知，弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －2A n －1，A n －1A n 的长度分别为23π，2×23π，3×23π，…，(n －1)×23π，n ×23π，该数列是首项为23π，公差为23π的等差数列，所以该数列的前n 项和S n ＝π3n (n ＋1)，所以所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为S 30＝π3×30×(30＋1)＝310π.故选A.8.(2020·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( B ) A.3 B.4 C.23－2D.92【试题解答】 由已知有a 23＝a 1a 13，所以有(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )，d ＝2(d ≠0)，数列{a n }通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，所以2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立.故选B. 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.等比数列{a n }的前三项和S 3＝14，若a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则公比q ＝( AD ) A.2 B.13 C.3D.12【试题解答】 由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，即2(1＋a 1q )＝a 1＋a 1q 2， 即a 1(q 2－2q ＋1)＝2，①又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝14，② ①÷②得：q 2－2q ＋11＋q ＋q 2＝214，解得q ＝2或q ＝12.另解：由2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，得3a 2＋2＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝14，解得a 2＝4， 则S 3＝4q ＋4＋4q ＝14，解得q ＝2或q ＝12.故选A 、D.10.若数列{a n }满足对任意n ≥2(n ∈N )都有(a n －a n －1－2)·(a n －2a n －1)＝0，则下面选项中正确的是( ABD )A.{a n }可以是等差数列B.{a n }可以是等比数列C.{a n }可以既是等差数列又是等比数列D.{a n }可以既不是等差数列又不是等比数列 【试题解答】 因为(a n －a n －1－2)(a n －2a n －1)＝0， 所以a n －a n －1－2＝0或a n －2a n －1＝0， 即a n －a n －1＝2或a n ＝2a n －1，当a n ≠0，a n －1≠0时，{a n }是等差数列或等比数列；当a n ＝0或a n －1＝0时，{a n }可以不是等差数列，也可以不是等比数列，比如数列，2,0,0,0，…….故选A 、B 、D.11.已知等比数列{x n }的公比为q ，若恒有|x n |>|x n ＋1|，且x 11＋q ＝12，则首项x 1的取值范围可以是( AC ) A.(12，1) B.(0,1) C.(0，12)D.(1,2)【试题解答】 由|x n |>|x n ＋1|，得1>|x n ＋1x n|＝|q |，故－1＜q ＜0或0＜q ＜1.0＜1＋q ＜1或1＜1＋q ＜2，又x 11＋q ＝12，所以x 1＝1＋q 2，所以x 1∈(0，12)∪(12，1).故选A 、C.12.(2020·山东十校联考)设数列{a n }和{b n }分别是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论不正确的是( BCD )A.a 2>b 2B.a 3＜b 3C.a 5>b 5D.a 6>b 6【试题解答】 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d ，q ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3d ＝1，4q 3＝1，解得⎩⎨⎧d ＝－1，q ＝314，则a 2－b 2＝3－316>3－327＝0；故A 正确.同理，其余都错，故选B 、C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·云南师大附中月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，则S 4＝__85__. 【试题解答】 a n ＋1＝3S n ＋1①，a n ＝3S n －1＋1(n ≥2)②，①－②得：a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3a 1＋1＝4，∴{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴S 4＝1－441－4＝85.或S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋4＋16＋64＝85.14.(2020·福建莆田月考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝__18__. 【试题解答】 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝__2n－1__.【试题解答】 因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ， 两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，所以a 2＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.故填2n －1.16.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意的n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为 [23，＋∞) .【试题解答】 因为数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，则a n ＝22n －1，a 1＝2也适合，所以1a n ＝122n －1，数列{1a n }是首项为12，公比为14的等比数列，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )＜23，则实数t 的取值范围为[23，＋∞).故填[23，＋∞). 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2，∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足. ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.18.(本小题满分12分)(2020·山东省济南第一中学期中考试)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n3n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .【试题解答】 (1)∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12， ∴3a 2＝12，所以a 2＝4， 又∵2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，∴a 22＝2a 1·(a 3＋1)，即a 22＝2(a 2－d )·(a 2＋d ＋1)， 解得，d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1，故a n ＝3n －2. (2)b n ＝a n 3n ＝3n －23n ＝(3n －2)·13n ，∴T n ＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n －2)×13n ，①①×13得13T n ＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n －5)×13n ＋(3n －2)×13n ＋1.②①－②得23T n ＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋…＋3×13n －(3n －2)×13n ＋1＝13＋3×132(1－13n －1)1－13－(3n －2)×13n ＋1＝56－12×13n －1－(3n －2)×13n ＋1，∴T n ＝54－14×13n －2－3n －22×13n ＝54－6n ＋54×13n .19.(本小题满分12分)(2020·河南洛阳孟津二中月考)在数列{a n }中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n (n ∈N *)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{3a n －1}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n ，得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1， ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝a n2n －1＝n ，∴a n ＝n ·2n－1,3a n －1＝3n ·2n －1－1.∴S n ＝3×1×20＋3×2×21＋3×3×22＋…＋3(n －1)×2n －2＋3n ×2n －1－n ， 两边同时乘以2，得2S n ＝3×1×21＋3×2×22＋…＋3(n －1)×2n －1＋3n ×2n －2n ，两式相减，得－S n ＝3×(1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n )＋n ＝3×(2n －1－n ×2n )＋n ＝3(1－n )2n －3＋n ， ∴S n ＝3(n －1)2n ＋3－n .20.(本小题满分12分)(2020·河北衡水模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列b n 的通项公式.【试题解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ， 易知a 1＝2满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，①a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ≥2).又a 1＝b 13＋1＝2，即b 1＝8，也满足上式，所以b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).21.(本小题满分12分)(2020·广东广州一测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【试题解答】 (1)因为数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列，所以S nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－2)－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝2a 1＝2.当n ≥2时，由a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，①得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)(12)n －1.② ①－②，得a n b n ＝(4n －3)(12)n .因为a n ＝4n －3，所以b n ＝4n －3(4n －3)(12)n＝2n (当n ＝1时也符合)，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.22.(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a 2n ＋2a n＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，若b n1－T n≤λ(n ＋4)－1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【试题解答】 (1)由已知得4S n ＝(a n ＋1)2，① 当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2.② ①－②得，4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2， 则(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n －13n ，则T n ＝1·13＋3·(13)2＋5·(13)3＋…＋(2n －3)·(13)n －1＋(2n －1)·(13)n .13T n ＝1·(13)2＋3·(13)3＋5·(13)4＋…＋(2n －3)·(13)n ＋(2n －1)·(13)n ＋1， 两式相减得23T n ＝13＋2[(13)2＋(13)3＋…＋(13)n ]－(2n －1)(13)n ＋1＝23－2n ＋23·(13)n ，所以T n ＝1－n ＋13n .(3)由b n1－T n≤λ(n ＋4)－1得， 则λ≥3n (n ＋1)(n ＋4)＝3n ＋4n ＋5，因为n ＋4n≥2n ·4n＝4， 所以当且仅当n ＝2时，3n ＋4n ＋5有最大值13，即λ≥13.。

§2.1函数及其表示1.函数2.函数的三要素(1)定义域在函数y＝f (x),x∈A中,x叫做自变量,所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域.(2)值域对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应.我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.(3)对应法则f:A→B.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.概念方法微思考1.分段函数f (x )的对应法则用两个式子表示,那么f (x )是两个函数吗？ 提示 分段函数是一个函数.2.请你概括一下求函数定义域的类型.提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型. 3.请思考以下常见函数的值域: (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域:当a ＞0时,值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a ＜0时,值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a .(3)y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}.(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是(0,＋∞).(5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的值域是R.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若A＝R,B＝{x|x＞0},f:x→y＝|x|,其对应是从A到B的函数.(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.(×)(3)已知f (x)＝5(x∈R),则f (x2)＝25.(×)(4)函数f (x)的图象与直线x＝1最多有一个交点.(√)题组二教材改编2.以下属于函数的有________.(填序号)①y＝±x；②y2＝x－1；③y＝x－2＋1－x；④y＝x2－2(x∈N).答案④3.函数y＝f (x)的图象如图所示,那么,f (x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________.答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]题组三易错自纠4.下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域,N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()答案 C解析 A 选项中的值域不满足,B 选项中的定义域不满足,D 选项不是函数的图象,由函数的定义可知选项C 正确.5.(多选)(2019·山东省济南市历城第二中学月考)下列各组函数是同一函数的是( ) A.f (x )＝x 2－2x －1与g (s )＝s 2－2s －1 B.f (x )＝－x 3与g (x )＝x －x C.f (x )＝x x 与g (x )＝1x 0D.f (x )＝x 与g (x )＝x 2 答案 AC6.函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________. 答案 [2,＋∞)7.已知f (x )＝x －1,则f (x )＝____________. 答案 x 2－1(x ≥0)解析 令t ＝x ,则t ≥0,x ＝t 2,所以f (t )＝t 2－1(t ≥0),即f (x )＝x 2－1(x ≥0).8.(2019·湖北黄石一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x －1，x >0，则f (f (0))的值为________；方程f (－x )＝1的解是________. 答案 1 0或－1解析 ∵f (0)＝1,∴f (f (0))＝f (1)＝1.当－x ≤0时,f (－x )＝－x ＋1＝1,解得x ＝0；当－x ＞0时,f (－x )＝2－x －1＝1,解得x ＝－1.第1课时函数的概念及表示法函数的概念1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中,y不是x的函数的是()答案 C2.(2019·武汉模拟)下列五组函数中,表示同一函数的是________.(填序号) ①f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－1x ＋1；②f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x ；③f (x )＝x ＋2,x ∈R 与g (x )＝x ＋2,x ∈Z ； ④f (u )＝1＋u1－u与f (v )＝1＋v1－v； ⑤y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1). 答案 ④3.已知A ＝{x |x ＝n 2,n ∈N },给出下列关系式:①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1,其中能够表示函数f :A →A 的是________. 答案 ①②③④解析 对于⑤,当x ＝1时,x 2＋1∉A ,故⑤错误,由函数定义可知①②③④均正确.思维升华 (1)函数的定义要求第一个数集A 中的任何一个元素在第二个数集B 中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中,定义域和对应法则相同,则值域一定相同.求函数的解析式例1 求下列函数的解析式:(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ,求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x4,求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17,求f (x )的解析式； (4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1),求f (x )的解析式. 解 (1)(换元法)设1－sin x ＝t ,t ∈[0,2], 则sin x ＝1－t ,∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x , ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2,t ∈[0,2]. 即f (x )＝2x －x 2,x ∈[0,2].(2)(配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2, ∴f (x )＝x 2－2,x ∈[2,＋∞).(3)(待定系数法)因为f (x )是一次函数, 可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0),∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17. 即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7. ∴f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7.(4)(消去法)当x ∈(－1,1)时,有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).①以－x 代替x 得,2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得,f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ),x ∈(－1,1).思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法:由已知条件f (g (x ))＝F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式.(4)消去法:已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).跟踪训练1 (1)(2020·济南月考)若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ,则当x ≠0,且x ≠1时,f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1).(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2,f (x ＋1)－f (x )＝x －1,则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 由f (0)＝2,得c ＝2,f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1,即2ax ＋a ＋b ＝x －1,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x －1,求f (x ). 解 已知2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x －1,①以1x 代替①中的x (x ≠0),得 2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x－1,② ①×2－②,得3f (x )＝6x －3x －1,故f (x )＝2x －1x －13(x ≠0).分段函数命题点1 求分段函数的函数值例2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x <2，x 2＋ax ，x ≥2，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝－6,则实数a 的值为________,f (2)＝________. 答案 －5 －6解析 由题意得,f ⎝⎛⎭⎫23＝3·23＋1＝3, 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (3)＝9＋3a ＝－6, 所以a ＝－5,f (2)＝4－5×2＝－6.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (2)＝________.答案 3解析 f (2)＝f (1)＋1＝f (0)＋2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2×0＋2＝1＋2＝3.命题点2 分段函数与方程、不等式问题例3 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知,若x ≤0,则2x ＝12,解得x ＝－1；若x ＞0,则|log 2x |＝12,解得x ＝122 或x ＝122-.故所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22. 本例中,则使f (x )＞12的x 的集合为________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪－1<x <22或x >2 解析 当x ≤0时,由2x ＞12得－1＜x ≤0；当x ＞0时,由|log 2x |＞12得0＜x ＜22或x ＞ 2.综上,所求x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪－1<x <22或x >2.思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值:当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值.②求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.跟踪训练2 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，12x ，x <0，则f (f (－1))＝________.答案 3解析 ∵f (－1)＝12－1＝2,∴f (f (－1))＝f (2)＝3.(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是________. 答案 (－∞,0)解析 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时,f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ,即－(x ＋1)＜－2x , 解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞,－1].②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时,不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时,f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ,解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x ＞0时,f (x ＋1)＝1,f (2x )＝1,不合题意.综上,不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞,0).方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知,当x ＋1≤0且2x ≤0时,函数f (x )为减函数,故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时,f (2x )＞1,f (x ＋1)＝1, 满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上,不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞,－1]∪(－1,0)＝(－∞,0).1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是()A.A＝{－1,0,1},B{－1,0,1},f:A中的数的平方B.A＝{0,1},B＝{－1,0,1},f:A中的数求平方根C.A＝Z,B＝Q,f:A中的数取倒数D.A＝R,B＝{正实数},f:A中的数取绝对值答案 A解析选项B中A中元素出现一对多的情况；选项C,D中均出现元素0无对应元素的情况.2.下列图象中不能作为函数图象的是()答案 B解析 B 项中的图象与垂直于x 轴的直线可能有两个交点,显然不满足函数的定义,故选B. 3.已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5,且f (a )＝6,则a 等于( ) A.－74 B.74 C.43 D.－43答案 B解析 令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2,所以f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1, 所以f (a )＝4a －1＝6,即a ＝74.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，1－log 2x ，x >0，则f (f (3))等于( )A.43B.23C.－43 D.－3 答案 A解析 因为f (3)＝1－log 23＝log 223＜0,所以f (f (3))＝f ⎝⎛⎭⎫log 223＝22log 132+＝432log 2＝43. 5.(2019·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3,则实数x 0的值为( )A.－1B.1C.－1或1D.－1或－13答案 C解析由条件可知,当x0≥0时,f(x0)＝2x0＋1＝3,所以x0＝1；当x0＜0时,f(x0)＝3x20＝3,所以x0＝－1.所以实数x0的值为－1或1.6.如图,△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形,平面图形OBD是四分之一圆的扇形,点P 在线段AB上,PQ⊥AB,且PQ交AD或交弧DB于点Q,设AP＝x(0＜x＜2),图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y,则函数y＝f (x)的大致图象是()答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为:(1)当0＜x ≤1时,y 随x 的增大而增大,而且增加的速度越来越快.(2)当1＜x ＜2时,y 随x 的增大而增大,而且增加的速度越来越慢.分析四个答案中的图象,只有选项A 符合条件.7.(多选)下列四组函数中,f (x )与g (x )相等的是( ) A.f (x )＝ln x 2,g (x )＝2ln x B.f (x )＝x ,g (x )＝(x )2 C.f (x )＝x ,g (x )＝3x 3D.f (x )＝x ,g (x )＝log a a x (a ＞0且a ≠1) 答案 CD解析 对于选项A,f (x )的定义域为{x |x ≠0},g (x )的定义域为{x |x ＞0},两个函数的定义域不相同,不是相等函数；对于选项B,f (x )的定义域为R ,g (x )的定义域为{x |x ≥0},两个函数的定义域不相同,不是相等函数；对于选项C,g (x )＝3x 3＝x ,两函数的定义域和对应法则相同,是相等函数； 对于选项D,g (x )＝log a a x ＝x ,x ∈R ,两个函数的定义域和对应法则相同,是相等函数. 8.(多选)函数f (x )＝x1＋x 2,x ∈(－∞,0)∪(0,＋∞),则下列等式成立的是( ) A.f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1xB.－f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1xC.1f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x D.f (－x )＝－f (x )答案 AD解析 根据题意得f (x )＝x 1＋x 2,所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x1＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x1＋x 2, 所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ；f (－x )＝－x 1＋(－x )2＝－x 1＋x 2＝－f (x ), 所以f (－x )＝－f (x ).9.已知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )＝3x ·f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1,则f (x )＝______________. 答案 －38x －18(x ＞0)解析 在f (x )＝3x ·f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1中,将x 换成1x ,则1x 换成x ,得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝31x·f (x )＋1,将该方程代入已知方程消去f ⎝⎛⎭⎫1x ,得f (x )＝－38x －18(x ＞0). 10.(2020·福州质检)函数 f (x )满足 f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R ),且在区间(－2,2]上,f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则 f (f (15))的值为________.答案22解析 由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R ),可知函数f (x )的周期是4,所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12,所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22.11.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1,则f (1)＝________. 答案 2解析 令x ＝1,得2f (1)－f (－1)＝4,① 令x ＝－1,得2f (－1)－f (1)＝－2,② 联立①②得,f (1)＝2.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，则不等式f (x )≤5的解集为________.答案 [－2,4]解析 由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋log 2x ，x >0，x 2－x －1，x ≤0，当x ＞0时,令3＋log 2x ≤5, 即log 2x ≤2＝log 24,解得0＜x ≤4； 当x ≤0时,令x 2－x －1≤5, 即(x －3)(x ＋2)≤0,解得－2≤x ≤3,∴－2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[－2,4].13.(2019·湖北宜昌一中模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4,则b 等于( ) A.1 B.78 C.34 D.12答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b , 当52－b ≥1,即b ≤32时,f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝5-22b , 即5-22b ＝4＝22,得到52－b ＝2,即b ＝12；当52－b ＜1,即b ＞32时,f ⎝⎛⎭⎫52－b ＝152－3b －b ＝152－4b ,即152－4b ＝4,得到b ＝78＜32,舍去. 综上,b ＝12,故选D.14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0，若f (f (－2))＞f (t ),则实数t 的取值范围是____________.答案 (－4,4)解析 f (－2)＝4,f (4)＝8,不等式f (f (－2))＞f (t )可化为f (t )＜8.当t ＜0时,－2t ＜8,得－4＜t ＜0；当t ≥0时,t 2－2t ＜8,即(t －1)2＜9,得0≤t ＜4.综上所述,t 的取值范围是(－4,4).15.已知具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数,我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数,下列函数: ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是____________.(填序号) 答案 ①③解析 对于①,f (x )＝x －1x ,f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x ),满足；对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x ),不满足；对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ),满足.综上,满足“倒负”变换的函数是①③.16.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,则c ＝________,A＝________. 答案 60 16解析 因为组装第A 件产品用时15分钟, 所以cA＝15,① 所以必有4＜A ,且c 4＝c2＝30,② 联立①②解得c ＝60,A ＝16.第2课时 函数的定义域与值域函数的定义域求下列函数的定义域: (1)y ＝12－|x |＋x 2－1；(2)y ＝25－x 2＋lg cos x ； (3)y ＝x －12x －log 2(4－x 2)； (4)y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x ≠±2}.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5. (3)要使函数有意义,必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，解得－2＜x ＜0或1≤x ＜2,∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2).(4)由⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x －2)>0，2x －5≠0得⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，x ≠52，∴函数的定义域为⎝⎛⎭⎫2，52∪⎝⎛⎭⎫52，3. 思维升华 (1)给定函数的解析式,求函数的定义域的依据是使解析式有意义,如分式的分母不等于零,偶次根式的被开方数为非负数,零指数幂的底数不为零,对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等.(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题.在解不等式组时要细心,取交集时可借助数轴,并且要注意端点值或边界值.函数的值域例1 (2019·长沙月考)求下列函数的值域: (1)y ＝x 2－2x ＋3,x ∈[0,3)； (2)y ＝2x ＋1x －3；(3)y ＝2x －x －1； (4)y ＝x ＋1＋x －1.解 (1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2, 由x ∈[0,3),再结合函数的图象(如图①所示),可得函数的值域为[2,6).(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3,显然7x －3≠0,∴y ≠2.故函数的值域为(－∞,2)∪(2,＋∞). (3)(换元法)设t ＝x －1,则x ＝t 2＋1,且t ≥0, ∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158, 由t ≥0,再结合函数的图象(如图②所示),可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞. (4)函数的定义域为[1,＋∞),∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1,＋∞)上均为增函数, ∴y ＝x ＋1＋x －1在[1,＋∞)上为单调递增函数, ∴当x ＝1时,y min ＝2,即函数的值域为[2,＋∞).结合本例(4)求函数y ＝x ＋1－x －1的值域.解 函数的定义域为[1,＋∞), y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1,由本例(4)知函数y ＝x ＋1＋x －1的值域为[2,＋∞), ∴0＜1x ＋1＋x －1≤22,∴0＜2x ＋1＋x －1≤2,∴函数的值域为(0,2].思维升华 求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法.跟踪训练1 求下列函数的值域: (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ； (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12. 解 (1)方法一 y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2,因为x 2≥0,所以x 2＋1≥1,所以0＜21＋x 2≤2.所以－1＜－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1,1].方法二 由y ＝1－x 21＋x 2,得x 2＝1－y 1＋y . 因为x 2≥0,所以1－y1＋y≥0.所以－1＜y ≤1,即函数的值域为(－1,1]. (2)设t ＝1－x ,t ≥0,则x ＝1－t 2,所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0), 所以y ≤5,所以原函数的值域为(－∞,5]. (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12,因为x ＞12,所以x －12＞0,所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2,当且仅当x －12＝12x －12,即x ＝1＋22时取等号.所以y ≥2＋12,即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞.定义域与值域的应用例2 (1)(2020·广州模拟)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a ＋b 的值为________. 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集.不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2},所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ＋ab ＋b ＝0，4a ＋2ab ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0,＋∞),求a 的取值范围.解 令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ,要使函数y ＝t 的值域为[0,＋∞),则说明[0,＋∞)⊆{y |y ＝g (x )},即二次函数的判别式Δ≥0,即a 2－4(2a －1)≥0,即a 2－8a ＋4≥0,解得a ≥4＋23或a ≤4－23,∴a 的取值范围是{a |a ≥4＋23或a ≤4－23}.思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题.可通过分析函数解析式的结构特征,结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组),然后求解.跟踪训练2 (1)若函数 f (x )＝ax －2 021在[2 021,＋∞)上有意义,则实数a 的取值范围为________. 答案 [1,＋∞)解析 由于函数f (x )＝ax －2 021在[2 021,＋∞)上有意义,即ax －2 021≥0在[2 021,＋∞)上恒成立,即a ≥2 021x 在[2 021,＋∞)上恒成立,而0＜2 021x ≤1,故a ≥1.(2)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1,b ](b ＞1),则实数b ＝________.答案 3解析 f (x )＝12(x －1)2＋1,x ∈[1,b ]且b ＞1,则f (1)＝1,f (b )＝12(b －1)2＋1,∵f (x )在[1,b ]上为增函数, ∴函数值域为⎣⎡⎦⎤1，12(b －1)2＋1. 由已知得12(b －1)2＋1＝b ,解得b ＝3或b ＝1(舍).我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,一般用y ＝f (x )表示,抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质,将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身,是考查函数的良好载体. 一、抽象函数的函数值例1 (1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0,＋∞),f (xy )＝f (x )＋f (y ),若f (8)＝3,则f (2)＝________. 答案 12解析 因为f (8)＝3,所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3,所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2),所以2f (2)＝1,所以f (2)＝12.(2)设函数f (x )的定义域为R ,对于任意实数x 1,x 2,都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22·f⎝⎛⎭⎫x 1－x 22,f (π)＝－1,则f (0)＝________. 答案 1解析 令x 1＝x 2＝π,则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0),∴f (0)＝1. 二、抽象函数的定义域例2 (1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x )＝ln(－x －x 2),则函数f (2x ＋1)的定义域为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析 由题意知,－x －x 2＞0,∴－1＜x ＜0,即f (x )的定义域为(－1,0). ∴－1＜2x ＋1＜0,则－1＜x ＜－12.(2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1],则f (log 2x )的定义域为________. 答案 [2,4]解析 对于函数y ＝f (2x ),－1≤x ≤1, ∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x ),2－1≤log 2x ≤2, ∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2,4].1.函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.(2,＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2,＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2,＋∞) 答案 C解析 由题意可知x 满足(log 2x )2－1＞0,即log 2x ＞1或log 2x ＜－1,解得x ＞2或0＜x ＜12,故所求函数的定义域是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2,＋∞). 2.下列函数中,与函数y ＝13x 定义域相同的函数为( ) A.y ＝1sin x B.y ＝ln x xC.y ＝x e xD.y ＝sin x x 答案 D解析 因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0},而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π,k ∈Z },y ＝ln x x 的定义域为{x |x ＞0},y ＝x e x 的定义域为R ,y ＝sin x x的定义域为{x |x ≠0},故D 正确. 3.函数y ＝x －1＋1的值域为( )A.(0,＋∞)B.(1,＋∞)C.[0,＋∞)D.[1,＋∞) 答案 D解析 函数y ＝x －1＋1,定义域为[1,＋∞),根据幂函数性质可知,该函数为增函数,当x ＝1时,该函数取得最小值1,故函数y ＝x －1＋1的值域为[1,＋∞).4.(2019·衡水中学调研)函数f (x )＝－x 2－3x ＋4lg (x ＋1)的定义域为( ) A.(－1,0)∪(0,1]B.(－1,1]C.(－4,－1)D.(－4,0)∪(0,1] 答案 A解析 要使函数f (x )有意义,应有⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0或0＜x ≤1,故选A.5.函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B.⎝⎛⎦⎤－∞，32 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 B解析 设1－2x ＝t ,则t ≥0,x ＝1－t 22,所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2,因为t ≥0,所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32,故选B. 6.(2019·佛山模拟)函数f (x )＝3x3x ＋2x的值域为( ) A.[1,＋∞)B.(1,＋∞)C.(0,1]D.(0,1)答案 D解析 f (x )＝3x3x ＋2x ＝11＋⎝⎛⎭⎫23x ,∵⎝⎛⎭⎫23x ＞0,∴1＋⎝⎛⎭⎫23x＞1,∴0＜11＋⎝⎛⎭⎫23x＜1.7.(多选)下列函数中值域为R 的有( )A.f (x )＝3x －1B.f (x )＝lg(x 2－2)C.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，0≤x ≤22x ，x >2D.f (x )＝x 3－1答案 ABD解析 A 项,f (x )＝3x －1为增函数,函数的值域为R ,满足条件；B 项,由x 2－2＞0得x ＞2或x ＜－2,此时f (x )＝lg(x 2－2)的值域为R ,满足条件；C 项,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，0≤x ≤2，2x ，x >2，当x ＞2时,f (x )＝2x ＞4,当0≤x ≤2时,f (x )＝x 2∈[0,4],所以f (x )≥0,即函数的值域为[0,＋∞),不满足条件；D 项,f (x )＝x 3－1是增函数,函数的值域为R ,满足条件.8.(多选)若函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0,m ],值域为[－8,－4],则实数m 的值可能为() A.2 B.3 C.4 D.5答案 ABC解析 函数y ＝x 2－4x －4的对称轴方程为x ＝2,当0≤m ≤2时,函数在[0,m ]上单调递减,x ＝0时,取最大值－4,x ＝m 时,有最小值m 2－4m －4＝－8,解得m ＝2.则当m ＞2时,最小值为－8,而f (0)＝－4,由对称性可知,m ≤4.∴实数m 的值可能为2,3,4.9.(2019·江苏)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________.答案 [－1,7]解析 要使函数有意义,则7＋6x －x 2≥0,解得－1≤x ≤7,则函数的定义域是[－1,7].10.函数f (x )＝3x ＋2x,x ∈[1,2]的值域为________. 答案 [5,7]解析 令g (x )＝3x ＋2x＝3⎝⎛⎭⎫x ＋23x ,x ＞0, 易证g (x )在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上是增函数, ∴f (x )在[1,2]上为增函数,从而得f (x )的值域为[5,7].11.(2020·石家庄模拟)若函数f (x )＝x －2＋2x ,则f (x )的定义域是________,值域是________. 答案 [2,＋∞) [4,＋∞)解析 x －2≥0⇒x ≥2,所以函数f (x )的定义域是[2,＋∞)；因为函数y ＝x －2,y ＝2x 都是[2,＋∞)上的单调递增函数,故函数f (x )＝x －2＋2x 也是[2,＋∞)上的单调递增函数,所以函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (2)＝4,故函数f (x )＝x －2＋2x 的值域为[4,＋∞).12.函数y ＝x 2＋2x ＋3x －1(x ＞1)的值域为________. 答案 [26＋4,＋∞)解析 令x －1＝t ＞0,∴x ＝t ＋1.∴y ＝(t ＋1)2＋2(t ＋1)＋3t ＝t 2＋4t ＋6t ＝t ＋6t＋4 ≥2 6＋4,当且仅当t ＝6t即t ＝6时等号成立. ∴函数的值域为[26＋4,＋∞).13.若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2],则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A.[0,1)B.[0,1]C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1) 答案 A解析 函数y ＝f (x )的定义域是[0,2],要使函数g (x )有意义,可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x ＜1,故选A.14.定义新运算“★”:当m ≥n 时,m ★n ＝m ；当m ＜n 时,m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x ),x ∈[1,4],则函数f (x )的值域为____________.答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]， 当x ∈[1,2]时,f (x )∈[－2,0]；当x ∈(2,4]时,f (x )∈(4,60],故当x ∈[1,4]时,f (x )∈[－2,0]∪(4,60].15.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，0≤x ≤5，1－⎝⎛⎭⎫14x ，a ≤x <0的值域为[－15,1],则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞,－2]B.[－2,0)C.[－2,－1]D.{－2} 答案 B解析 当0≤x ≤5时,f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1,所以－15≤f (x )≤1；当a ≤x ＜0时,f (x )＝1－⎝⎛⎭⎫14x 为增函数,所以1－⎝⎛⎭⎫14a ≤f (x )＜0,因为f (x )的值域为[－15,1],所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－⎝⎛⎭⎫14a ≥－15，a <0，故－2≤a ＜0,故选B. 16.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同,但定义域不相同,则称这些函数为“同值函数”,例如函数y ＝x 2,x ∈[1,2]与函数y ＝x 2,x ∈[－2,－1]即为“同值函数”,给出下面四个函数,其中能够被用来构造“同值函数”的是( )A.y ＝[x ]([x ]表示不超过x 的最大整数,例如[0.1]＝0)B.y ＝x ＋x ＋1C.y ＝1x－log 3x D.y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋1 答案 AD解析 根据题意,“同值函数”需满足:对于同一函数值,有不同的自变量与其对应.因此,能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.对于选项A,y ＝[x ],定义域为R ,在定义域内不是单调函数,有不同的自变量对应同一函数值,故A 可以构造“同值函数”；对于选项B,y ＝x ＋x ＋1,为定义在[－1,＋∞)上的单调增函数,故B 不可以构造“同值函数”；对于选项C,y ＝1x－log 3x ,为定义在(0,＋∞)上的单调减函数,故C 不可以构造“同值函数”； 对于选项D,y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋1,不是定义域上的单调函数,有不同的自变量对应同一函数值,故D 可以构造“同值函数”.所以能够被用来构造“同值函数”的是A,D.。

第七章立体几何第34讲空间几何体的表面积和体积A应知应会一、选择题1. 如图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的()(第1题)A B C D2. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A. 122πB. 12πC. 82πD. 10π3. 如图,一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°,腰和上底长均为2的等腰梯形,则这个平面图形的面积是()(第3题)A. 2＋2B. 1＋2C. 4＋22D. 8＋424. 已知正方体外接球的体积是323 π,那么正方体的棱长等于( )A. 22B.233 C. 423 D. 4335. (2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术：置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ＝136 l 2h ,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V ≈25942 l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )A.227 B. 258 C. 15750 D. 355113二、 解答题6. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位：cm 2 )7. 如图,四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径,∠ABD ＝60°,∠BDC ＝45°,△ADP ∽△BAD .(1) 求线段PD 的长；(2) 若PC ＝11 R ,求三棱锥P ABC 的体积．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 如图,一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球,水面高度恰好升高r,则Rr＝________．(第1题)2. (2019·通州、海门、启东期末)已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2,点D在棱AA1上,则三棱锥D BB1C1的体积为________．(第2题)3. 如图,已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.(第3题)4. 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确的命题是________．(填序号)二、解答题5. 已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S,求其内接正四棱柱的体积．6. 如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1) 求证：平面AEC⊥平面BED；(2) 若∠ABC＝120°,AE⊥EC,三棱锥E ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积．(第6题)第35讲空间点、线、面之间的位置关系A应知应会一、选择题1. 下列图形中不一定是平面图形的是()A. 三角形B. 菱形C. 梯形D. 四边相等的四边形2. 如图,ABCD A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()(第2题)A. A,M,O三点共线B. A,M,O,A1不共面C. A,M,C,O不共面D. B,B1,O,M共面3. 如图,平面α∩平面β＝l,A∈α,B∈α,AB∩l＝D,C∈β,C l,则平面ABC与平面β的交线是()(第3题)A. 直线ACB. 直线ABC. 直线CDD. 直线BC4. (多选)下列四个命题中正确的是()A. 存在与两条异面直线都平行的平面B. 过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行C. 过平面外一点可作无数条直线与该平面平行D. 过直线外一点可作无数个平面与该直线平行5. (2019·湖北八校联考)已知直三棱柱ABC A1B1C1中,∠ABC＝120°,AB＝2,BC＝CC1＝1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33二、解答题6. 如图,在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1) 画出l的位置；(2) 设l∩A1B1＝P,求PB1的长．(第6题)7. 如图,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点．(1) 求证：直线EF与BD是异面直线；(2) 若AC⊥BD,AC＝BD,求EF与BD所成的角．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 下列命题正确的是________．(填序号)①三个点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行直线确定一个平面．2. 已知l1,l2,l3是空间三条不同的直线,给出下列四个命题：①l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3；②l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3；③l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面；④l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面．其中正确的命题是________．(填序号)3. (2019·深圳调研)若P是两条异面直线l,m外的任意一点,给出四个命题：①过点P有且仅有一条直线与l,m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l,m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l,m都异面．其中正确的是________．(填序号)4. 设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,且AC＋BD＝a,AC·BD＝b,则EG2＋FH2＝________．二、解答题5. 已知a,b,c,d是不共点且两两相交的四条直线,求证：a,b,c,d共面．6. 已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2,A1在底面ABC内的射影O为底面三角形ABC的中心,如图所示．(1) 连接BC1,求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2) 连接A1C,A1B,求三棱锥C1-BCA1的体积．(第6题)第36讲直线、平面平行的判定与性质A应知应会一、选择题1. 已知平面α,β和直线m,若α⊥β,m⊥α,则()A. m⊥βB. m∥βC. m⊂βD. m∥β或m⊂β2. (2019·湘中名校联考)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,下列命题中正确的是()A. 若m∥α,n∥α,则m∥nB. 若m∥α,m∥β,则α∥βC. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βD. 若m⊥α,n⊥α,则m∥n3. (2019·泰安调研)已知α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线．给出下列命题：①若l上两点到α的距离相等,则l∥α；②若l⊥α,l∥β,则α⊥β；③若α∥β,lβ,且l∥α,则l∥β.其中正确的命题是()A. ①②B. ①②③C. ①③D. ②③4. 设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不重合的平面,给出下列三个命题：①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α；②若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,则l∥m∥n；③若α∩β＝m,β∩γ＝l,γ∩α＝n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 35. (2019·深圳调研)在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4.又H,G分别为BC,CD的中点,则()A. BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形B. EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C. HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形D. EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形二、解答题6. 如图,四棱锥P ABCD的底面为平行四边形,PD⊥平面ABCD,M为PC的中点．求证：AP∥平面MBD.(第6题)7. (2019·南昌模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,∠ABC＝∠ACD＝90°,∠BAC＝∠CAD ＝60°,P A⊥平面ABCD,P A＝2,AB＝1.设M,N分别为PD,AD的中点．(1) 求证：平面CMN∥平面P AB；(2) 求三棱锥P-ABM的体积．(第7题)B巩固提升一、填空题1. 若一直线上有相异的三个点A,B,C到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是________．2. 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB＝2,点E为AD的中点,点F在CD上．若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________．(第2题)3. 在空间中,用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列四个命题：①若a∥b,b∥c,则a∥c；②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c；③若a∥γ,b∥γ,则a∥b；④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题为________．(填序号)4. (2019·九江调研)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．(第4题)二、解答题5. 如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点．(1) 求证：BE∥平面DMF；(2) 求证：平面BDE∥平面MNG.(第5题)6. 如图,四棱锥P ABCD中,AB∥CD,AB＝2CD,E为PB的中点．(1) 求证：CE∥平面P AD；(2) 在线段AB上是否存在一点F,使得平面P AD∥平面CEF？若存在,证明你的结论,若不存在,请说明理由．(第6题)第37讲直线、平面垂直的判定与性质A应知应会一、选择题1. 已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m⊥n2. (2019·焦作期中)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,给出下列命题,正确的是()A. 若mβ,α⊥β,则m⊥αB. 若m∥α,m⊥β,则α⊥βC. 若α⊥β,α⊥γ,β⊥γD. 若α∩γ＝m,β∩γ＝n,m∥n,则α∥β3. (2019·合肥调研)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是()(第3题)A. MN与CC1垂直B. MN与AC垂直C. MN与BD平行D. MN与A1B1平行4. 如图,在斜三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC＝90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在()(第4题)A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. △ABC内部5. 如图,在四面体D ABC中,若AB＝CB,AD＝CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是()(第5题)A. 平面ABC⊥平面ABDB. 平面ABD⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED. 平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE二、解答题6. (2019·潍坊期末)如图,四棱锥E ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC＝60°,CD ＝2AD,EC⊥底面ABCD.(1) 求证：平面ADE⊥平面ACE；(2) 若AD＝CE＝2,求三棱锥C ADE的高．(第6题)7. (2019·蚌埠二模)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,P A⊥平面ABCD,E,F 分别是线段AD,PB的中点,P A＝AB＝1.(1) 求证：EF∥平面PDC；(2) 求点F到平面PDC的距离．(第7题)B巩固提升一、填空题1. (2019·青岛调研)已知P为△ABC所在平面外一点,且P A,PB,PC两两垂直,有下列结论：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的有________．(填序号)2. 如图,在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,则点P到直线CC1的距离的最小值为________．(第2题)3. (2019·武汉调研)在矩形ABCD中,AB＜BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论：①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直．其中正确的结论是________．(填序号)4. (2019·滨州期末)已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,点P是棱AA1的中点,则过点P且与直线BC1垂直的平面截正方体所得的截面的面积为________．二、解答题5. 如图,在正三棱柱ABC A1B1C1中,D为AB的中点．(1) 求证：BC1∥平面A1CD.(2) 请从图中所标点中,选择直线或平面将命题补充完整,并证明．求证：__________⊥平面ABB1A1.(第5题)6. (2019·漳州调研)在如图所示的五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠DAB＝60°,EA＝ED＝AB＝2EF＝2,EF∥AB,M为BC的中点．(1) 求证：FM∥平面BDE；(2) 若平面ADE⊥平面ABCD,求点F到平面BDE的距离．(第6题)第38讲直线、平面平行与垂直的综合问题A应知应会一、选择题1. 若直线a⊥b,且直线a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是()A. b⊂αB. b∥αC. b⊂α或b∥αD. b与α相交或b⊂α或b∥α2. 设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题：①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β；②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m；③若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 04. (2019·深圳调研)已知a,b,c是空间中三条不同的直线,α,β,γ为空间三个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A. 若α⊥β,aα,a⊥β,则a∥αB. 若α⊥β,且α∩β＝a,b⊥a,则b⊥αC. 若α∩β＝a,β∩γ＝b,α∩γ＝c,则a∥b∥cD. 若α∩β＝a,b∥a,则b∥α5. (多选)已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ＝m,β∩γ＝l,下列结论中一定正确的是()A. β⊥γB. l⊥αC. m⊥βD. α⊥β二、解答题6. 如图,在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中,DB＝BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点．(1) 求证：B1D1∥平面A1BD；(2) 求证：MD⊥AC；(3) 试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.(第6题)7. 如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别是A1C1,BC的中点．(1) 求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2) 求证：C1F∥平面ABE；(3) 求三棱锥E ABC的体积．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. (多选)如图,正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱的长度均相等,D 为AA 1的中点,M ,N 分别是线段BB 1和线段CC 1上的动点(含端点),且满足BM ＝C 1N ,当点M ,N 运动时,下列结论正确的是( )(第1题)A. 在△DMN 内总存在与平面ABC 平行的线段B. 平面DMN ⊥平面BCC 1B 1C. 三棱锥A 1 DMN 的体积为定值D. △DMN 可能为直角三角形2. (多选)如图,在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,P 为线段A 1B 上的动点,则下列结论中正确的是( )(第2题)A. 平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB. ∠APD 1的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2C. 三棱锥B 1 D 1PC 的体积为定值D. DC 1⊥D 1P3. (多选)如图,一张A4纸的长、宽分别为22 a ,2a ,A ,B ,C ,D 分别是其四条边的中点,现将其沿图中虚线折起,使得P 1,P 2,P 3,P 4四点重合为一点P ,从而得到一个多面体,下列关于该多面体的命题,正确的是( )(第3题)A. 该多面体是三棱锥B. 平面BAD⊥平面BCDC. 平面BAC⊥平面ACDD. 该多面体外接球的表面积为5πa2二、解答题4. 如图,在四棱锥P ABC中,P A⊥底面ABCD,AD∥BC,AB＝AD＝AC＝3,P A＝BC＝4,M 为线段AD上一点,AM＝2MD,N为PC的中点．(1) 求证：MN∥平面P AB；(2) 求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．(第4题)5. 如图(1),在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).(1) 求证：DE∥平面A1CB；(2) 求证：A1F⊥BE；(3) 线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由．图(1)图(2)(第5题)第39讲 用向量法解决空间中的位置关系A 应知应会一、 选择题1. 已知a ＝(2,1,－3),b ＝(－1,2,3),c ＝(7,6,λ),若a,b,c 三向量共面,则λ等于( ) A. 9 B. －9 C. －3 D. 32. 若平面α,β的法向量分别为n 1＝(2,－3,5),n 2＝(－3,1,－4),则( ) A. α∥β B. α⊥βC. α,β相交但不垂直D. 以上均不正确3. 在空间四边形ABCD 中,AB → ·CD → ＋AC → ·DB → ＋AD → ·BC →等于( )A. －1B. 0C. 1D. 不确定4. 已知平面α内有一点M (1,－1,2),平面α的一个法向量为n ＝(6,－3,6),则下列点P 中,在平面α内的是( )A. P (2,3,3)B. P (－2,0,1)C. P (－4,4,0)D. P (3,－3,4)5. 如图,F 是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点,E 是BB 1上一点,若D 1F ⊥DE ,则有( )(第5题)A. B 1E ＝EBB. B 1E ＝2EBC. B 1E ＝12EB D. E 与B 重合二、 解答题6. 已知a ＝(1,－3,2),b ＝(－2,1,1),A (－3,－1,4),B (－2,－2,2). (1) 求|2a ＋b|；(2) 在直线AB 上,是否存在一点E ,使得OE →⊥b(O 为原点)?7. (2019·江西调研)如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直,M 为AA 1的中点,N 为BC 1的中点．(1) 求证：MN ∥平面A 1B 1C 1；(2) 求证：平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知法向量为n ＝(1,－1,1)的平面σ过点M (1,2,－1),则平面σ上任意一点P 的坐标(x ,y ,z )满足的方程为________．2. 已知a ＝(x ,4,1),b ＝(－2,y ,－1),c ＝(3,－2,z ),若a ∥b,b ⊥c,则c ＝________．3. 已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点,且VA ＝VB ＝VC ＝VD ,VP →＝13 VC → ,VM → ＝23VB → ,VN →＝23VD → ,则VA 与平面PMN 的位置关系是________．4. (2019·丽水调研)如图,圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM ⊥MP ,则点P 形成的轨迹长度为________．(第4题)二、 解答题5. 如图,正方形ABCD 所在平面与四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,AB ＝AE ,F A ＝FE ,∠AEF ＝45°.(1) 求证：EF ⊥平面BCE ；(2) 设线段CD ,AE 的中点分别为P ,M ,求证：PM ∥平面BCE .(第5题)6. (2019·芜湖调研)如图,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AD ＝1,E 为CD 中点． (1) 求证：B 1E ⊥AD 1；(2) 在棱AA 1上是否存在一点P ,使得DP ∥平面B 1AE ？若存在,求AP 的长；若不存在,说明理由．(第6题)第40讲 空间角的计算课时1 线线角与线面角A 应知应会一、 选择题1. 已知A (－1,0,1),B (0,0,1),C (2,2,2),D (0,0,3),则sin 〈AB → ,CD →〉等于( ) A. －23 B. 23 C. 53 D. －532. (2019·江门调研)如图,在三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB ＝BC ＝AA 1,∠ABC＝90°,点E ,F 分别是棱AB ,BB 1的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是( )(第2题)A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5).若|a|＝3 ,且a 分别与AB → ,AC →垂直,则向量a 为( )A. (1,1,1)B. (－1,－1,－1)C. (1,1,1)或(－1,－1,－1)D. (1,－1,1)或(－1,1,－1) 4. (2019·日照调研)如图,已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ＝AA 1＝1,AB ＝3,E 为线段AB 上一点,且AE ＝13AB ,则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为( )A.33535 B. 277 C. 33 D. 24(第4题)5.如图,正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC ＝BC ＝2,∠ACB ＝90°,F ,G 分别是线段AE ,BC 的中点．则AD 与GF 所成角的余弦值为( )(第5题)A.36 B. －36 C.33 D. －33二、解答题6. 如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是矩形,P A⊥底面ABCD,E是PC的中点．已知AB＝2,AD＝22,P A＝2.求异面直线BC与AE所成的角的大小．(第6题)7. (2019·宿迁调研)如图,在四棱锥P ABCD中,P A⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,点E为棱PC的中点．(1) 求证：BE⊥DC；(2) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．(第7题)B 巩固提升一、 填空题1. 已知O 点为空间直角坐标系的原点,向量OA → ＝(1,2,3),OB → ＝(2,1,2),OP →＝(1,1,2),且点Q 在直线OP 上运动,当QA → ·QB → 取得最小值时,OQ →的坐标是________．2. 如图,已知正四面体ABCD 中,AE ＝14 AB ,CF ＝14 CD ,则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．(第2题)3. 在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ,则直线CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________．4. 如图,菱形ABCD 中,∠ABC ＝60°,AC 与BD 相交于点O ,AE ⊥平面ABCD ,CF ∥AE ,AB ＝2,CF ＝3.若直线OF 与平面BED 所成的角为45°,则AE ＝________．(第4题)二、解答题5. (2019·宁波调研)如图,在三棱锥P ABC中,P A⊥底面ABC,∠BAC＝90°.点D,E,N分别为棱P A,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,P A＝AC＝4,AB＝2.(1) 求证：MN∥平面BDE；(2) 已知点H在棱P A上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721,求线段AH的长．(第5题)6. (2019·洛阳二模)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD＝CD＝1,AA1＝AB＝2,E为棱AA1的中点．(1) 求证：B1C1⊥CE；(2) 设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为26,求线段AM的长．(第6题)课时2二面角A应知应会一、解答题1. (2019·保定期末)如图,正三棱柱(底面为正三角形,侧棱垂直于底面)ABC A1B1C1中,侧棱长AA1＝2,底面边长AB＝1,N是CC1的中点．(1) 求证：平面ANB1⊥平面AA1B1B；(2) 设M是线段AB1的中点,求直线C1M与平面ABC1所成的角的正弦值．(第1题)2. (2019·江苏天一中学)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB＝4,AC＝BC＝3,D为AB的中点．(1) 求点C到平面A1ABB1的距离；(2) 若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值．(第2题)3. (2019·临汾一模)在四棱锥P ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AD⊥PC且AB＝1,AD＝DC＝DP＝2,∠PDC＝120°.(1) 求证：AD⊥平面PDC；(2) 求二面角B-PD-C的余弦值．(第3题)4. (2019·如皋中学)如图,以正四棱锥V ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz ,其中Ox ∥BC ,Oy ∥AB ,E 为VC 的中点．正四棱锥V-ABCD 的底面边长为2a ,高为h ,且有cos 〈BE → ,DE →〉＝－1549.(1) 求ha的值；(2) 求二面角B-VC-D 的余弦值．(第4题)B 巩固提升一、 填空题1. 如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1＝BC ＝AB ＝2,AB ⊥BC ,则二面角B 1-A 1C-C 1的大小是________．(第1题)2. 如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,且PD ＝AD ＝1,AB ＝2,点E 是AB 上一点,当AE ＝________时,二面角P-EC- D 的平面角为π4.(第2题)二、 解答题3. 如图,四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,P A ⊥底面ABCD ,P A ＝3,AD ＝2,AB ＝4,∠ABC ＝60°.(1) 求证：BC ⊥平面P AC ；(2) 若E 是侧棱PB 上一点,记PEPB ＝λ(0<λ<1),且________,求λ的值．①二面角E-AD-B 为30°； ②二面角E-AD-P 为60°；③二面角E-AD-B 与E-AD-P 相等．请从上面三个条件中任选一个,填入横线处,并完成．(第3题)4. (2019·合肥调研)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝CB ＝1,∠BCD ＝2π3 ,四边形BFED 为矩形,平面BFED ⊥平面ABCD ,BF ＝1.(1) 求证：AD ⊥平面BFED ；(2) 点P 在线段EF 上运动,设平面P AB 与平面ADE 所成锐二面角为θ,试求θ的最小值．(第4题)微难点8翻折问题一、填空题1. 如图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有______对．(第1题)2.如图所示是一个正方体的表面展开图,A,B,C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB,CD所成角的余弦值为________．(第2题)3. 已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如图所示,则该凸多面体的体积V＝________．(第3题)4. 如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD 为正方形,E ,F 分为P A ,PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 是异面直线；②直线BE 与直线AF 是异面直线；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面P AD .其中正确的结论是________．(填序号)(第4题)二、 解答题5. 如图(1),四边形ABCD 为等腰梯形,AD ∥BC ,且AD ＝13 BC ＝a ,∠BAD ＝135°,AE ⊥BC于点E ,F 为BE 的中点．将△ABE 沿着AE 折起至△AB ′E 的位置,得到如图(2)所示的四棱锥B ′ ADCE .图(1)图(2) (第5题)(1) 求证：AF ∥平面B ′CD ；(2) 若平面AB ′E ⊥平面AECD ,求二面角B ′- CD-E 的余弦值．6. 如图,在平面四边形ABCD 中,△ABC 等边三角形,AC ⊥DC ,以AC 为折痕将△ABC 折起,使得平面ABC ⊥平面ACD .(1) 设E 为BC 的中点,求证：AE ⊥平面BCD .(2) 若BD 与平面ABC 所成角的正切值为32,求二面角A-BD-C 的余弦值．(第6题)7. 如图,已知等边三角形ABC 中,E ,F 分别为AB ,AC 边的中点,M 为EF 的中点,N 为BC 边上一点,且CN ＝14BC ,将△AEF 沿EF 折到△A ′EF 的位置,使平面A ′EF ⊥平面EFCB .(1) 求证：平面A ′MN ⊥平面A ′BF ； (2) 求二面角E-A ′F-B 的余弦值．(第7题)微难点9 球的相关问题一、 选择题1. 若球的表面积扩大为原来的2倍,则球的体积比原来增加了( )A. 2倍B. 4倍C. 2 2D. (2 2 －1)倍2. (2019·长沙调研)圆柱形容器的内壁底半径为5 cm,两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中,若取出这两个小球,则容器内水面将下降( )A. 53 cmB. 103 cmC. 403 cmD. 56cm3. 在四面体S ABC 中,SA ⊥平面ABC ,∠BAC ＝120°,SA ＝AC ＝2,AB ＝1,则该四面体的外接球的表面积为( )A. 11πB. 7πC.103 π D. 4034. 已知某球半径为R ,则该球内接长方体的表面积的最大值是( ) A. 8R 2 B. 6R 2 C. 4R 2 D. 2R 25. 两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切,若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( )A. (6－33 )πB. (8－43 )πC. (6＋33 )πD. (8＋43 )π二、 填空题6. 如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6,4,3,那么它的外接球的表面积是________．7. 将长、宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折起,得到四面体A BCD ,则四面体A BCD 的外接球的体积为________．8. 底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12 cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水________cm 3.9. 已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ,SA ＝AC ,SB ＝BC ,三棱锥S ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________．10. 已知一个四面体的一条边长为6 ,其余边长均为2,则此四面体的外接球的半径为________．三、解答题11. 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度．(第11题)。

§2.10函数模型及其应用1.几类函数模型2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤. 提示解函数应用题的步骤题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大.( × )(3)已知a ＞0且a ≠1,则不存在x 0,使0xa ＜x n0＜log a x 0.( × )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝ab x ＋c (a ≠0,b ＞0,b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )题组二 教材改编2.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为________. 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0＜x ＜6),矩形面积为y , 则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18,∴当x ＝3时,y 最大.3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为______万件. 答案 18解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142,当x ＝18时,L (x )有最大值.4.已知某物体的温度Q (单位:摄氏度)随时间t (单位:分钟)的变化规律为Q ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0,且m ＞0).若物体的温度总不低于2摄氏度,则m 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 由题意得,m ·2t ＋21－t ≥2恒成立(t ≥0,且m ＞0), 又m ·2t ＋21－t ≥22m ,∴22m ≥2,∴m ≥12.题组三 易错自纠5.(多选)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( ) A.6 B.9 C.8 D.7 答案 BC解析 设经过n 次过滤,产品达到市场要求, 则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000,即⎝⎛⎭⎫23n ≤120, 由n lg 23≤－lg 20,即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2),得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4,故选BC.6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________. 答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析 设年平均增长率为x ,则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q ), ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.7.已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到________只. 答案 200解析 由题意知100＝a log 3(2＋1), ∴a ＝100,∴y ＝100log 3(x ＋1). 当x ＝8时,y ＝100log 39＝200.用函数图象刻画变化过程1.(2019·武汉月考)高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时水的体积为v,则函数v＝f (h)的大致图象是()答案 B解析v＝f (h)是增函数,且曲线的斜率应该是先变大后变小,故选B.2.设甲、乙两地的距离为a(a＞0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B,故选D.3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)的影响.根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2,…,8)数据得到下面的散点图.则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A.y＝ax＋bB.y＝a＋b xC.y＝a·b xD.y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知,选择y＝a＋b x最适合.思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.已知函数模型的实际问题例 (1)(2020·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K 是单位产品数Q 的函数,K (Q )＝40Q －120Q 2,则总利润L (Q )的最大值是________万元. 答案 2 500解析 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.则当Q ＝300时,L (Q )取得最大值为2 500万元.(2)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后,y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:①从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________. ②据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室. 答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ,由图象知y ＝kt 过点(0.1,1), 则1＝k ×0.1,k ＝10,∴y ＝10t (0≤t ≤0.1). 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a 过点(0.1,1),得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a , 解得a ＝0.1,∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t ＞0.1). ②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14,得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室.思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关键点 (1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位:元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出,其中m ＞0,[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3,[3.7]＝3,[3.1]＝3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元. 答案 4.24解析 ∵m ＝6.5,∴[m ]＝6,则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q (单位:元/100 kg)与上市时间t (单位:天)的数据如下表:根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系: Q ＝at ＋b ,Q ＝at 2＋bt ＋c ,Q ＝a ·b t ,Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数,求:①西红柿种植成本最低时的上市天数是________； ②最低种植成本是________元/100 kg. 答案 ①120 ②80解析 因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ,即Q ＝a (t －120)2＋m 描述,将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧ a (60－120)2＋m ＝116，a (100－120)2＋m ＝84，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80， 所以Q ＝0.01(t －120)2＋80,故当上市天数为120时,种植成本取到最低值80元/100 kg.命题点1 构造二次函数模型例1 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R %(即每销售100元征税R 元),若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件,要使附加税不少于128万元,则R 的取值范围是( ) A.[4,8] B.[6,10] C.[4%,8%]D.[6%,10%]解析 根据题意,要使附加税不少于128万元,需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128, 整理得R 2－12R ＋32≤0,解得4≤R ≤8,即R ∈[4,8].命题点2 构造指数函数、对数函数模型例2 一片森林原来面积为a ,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0＜x ＜1), 则a (1－x )10＝12a ,即(1－x )10＝12,解得x ＝1－11012⎛⎫⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22, 则a (1－x )m ＝22a ,即11021122m⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即m 10＝12,解得m ＝5. 故到今年为止,该森林已砍伐了5年.若本例的条件不变,试计算:今后最多还能砍解 设从今年开始,以后砍了n 年, 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ,即(1－x )n ≥24, 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫⎪⎝⎭,即n 10≤32,解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年.命题点3 构造“对勾函数”模型例3 (1)(2019·福州月考)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段),则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为________.答案 5解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11, ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x , ∵x ＋25x ≥10,当且仅当x ＝5时等号成立.∴要使平均利润最大,客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9 3 平方米,且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为x 米,外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x ＝________米.答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x ＜6),∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x ＜6),即x ＝23时等号成立.命题点4 构造分段函数模型例4 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新,对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉,各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20 000元,每生产一辆新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0<x ≤400，80 000，x >400，其中x 是新样式单车的月产量(单位:辆),利润＝总收益－总成本. (1)试将自行车厂的利润y (单位:元)表示为关于月产量x 的函数； (2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)依题设知,总成本为(20 000＋100x )元,则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000，0<x ≤400，且x ∈N ，60 000－100x ，x >400，且x ∈N .(2)当0＜x ≤400时,y ＝－12(x －300)2＋25 000,故当x ＝300时,y max ＝25 000；当x＞400时,y＝60 000－100x是减函数,故y＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时,自行车厂的利润最大,最大利润为25 000元.素养提升数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题.函数模型的建立主要是理清变量间的关系,将它们用数学语言表示.1.(2019·厦门月考)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()答案 A解析 前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A,C 图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.2.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2B.y ＝12(x 2－1)C.y ＝log 2xD.y ＝12log x答案 B解析 由题表可知函数在(0,＋∞)上是增函数,且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快,分析选项可知B 符合,故选B.3.一种放射性元素的质量按每年10%衰减,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1,已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)( ) A.5.2 B.6.6 C.7.1 D.8.3 答案 B解析 设这种放射性元素的半衰期是x 年, 则(1－10%)x ＝12,化简得0.9x ＝12,即x ＝log 0.912＝lg 12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年).故选B.4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m 3的,按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元,则该职工这个月实际用水为( )A.13 m 3B.14 m 3C.18 m 3D.26 m 3 答案 A解析 设该职工用水x m 3时,缴纳的水费为y 元,由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋(x －10)·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ,解得x ＝13.5.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x ,y 应为( )A.x ＝15,y ＝12B.x ＝12,y ＝15C.x ＝14,y ＝10D.x ＝10,y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20,得x ＝54(24－y ),所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180,所以当y ＝12时,S 有最大值,此时x ＝15.检验符合题意.6.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案 B解析设该股民购进股票的资金为a,则交易结束后,所剩资金为a(1＋10%)n·(1－10%)n＝a·(1－0.01)n＝a·0.99n＜a.7.(多选)在一次社会实践活动中,某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位:千克)与时间x(单位:小时)的函数图象,则以下关于该产品生产状况的正确判断是()A.在前三小时内,每小时的产量逐步增加B.在前三小时内,每小时的产量逐步减少C.最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D.最后两小时内,该车间没有生产该产品答案BD解析由该车间5小时来某种产品的总产量y(千克)与时间x(小时)的函数图象,得前三小时的年产量逐步减少,故A错误,B正确；后两小时均没有生产,故C错误,D正确.8.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a A(a为常数),广告效应为D＝a A－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应,投入的广告费应为________.(用常数a表示)答案1 4a2解析 令t ＝A (t ≥0),则A ＝t 2, ∴D ＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋14a 2, ∴当t ＝12a ,即A ＝14a 2时,D 取得最大值.9.(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为________. 答案 3解析 为使花钱总数最少,需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”,即每张订单打折前原金额不少于500元.由于每件原价48元,因此每张订单至少11件,又42＝11×3＋9,所以最少需要下的订单张数为3.10.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资,假设以v km/h 的速度直达灾区,已知某市到灾区公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202 km,那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h.(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h,由题意可知,t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间, 因此,t ＝36×⎝⎛⎭⎫v202＋400v ＝36v 400＋400v ≥236v 400×400v＝12, 当且仅当36v 400＝400v ,即v ＝2003时取等号.故这些汽车以2003km/h 的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为12 h.11.(2019·咸宁质检)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v (单位:千克/年)是养殖密度x (单位:尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时,v 的值为2千克/年；当4＜x ≤20时,v 是x 的一次函数,当x 达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v 的值为0千克/年. (1)当0＜x ≤20时,求v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 解 (1)由题意得当0＜x ≤4时,v ＝2；当4≤x ≤20时,设v ＝ax ＋b ,a ≠0, 显然v ＝ax ＋b 在[4,20]内是减函数,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52,故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，x ∈N *－18x ＋52，4<x ≤20，x ∈N *.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米,依题意并由(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20.当0＜x ≤4时,f (x )为增函数,故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4＜x ≤20时,f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252,f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0＜x ≤20时,f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米. 12.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y (ppm)与排气时间t (分钟)之间存在函数关系y ＝c ⎝⎛⎭⎫12mt(c ,m 为常数). (1)求c ,m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm 为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解 (1)由题意可列方程组⎩⎨⎧64＝c ⎝⎛⎭⎫124m ，32＝c ⎝⎛⎭⎫128m ，两式相除,解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝128，m ＝14. (2)由题意可列不等式1411282t ⎛⎫⎪⎝⎭≤0.5, 所以1411282t ⎛⎫⎪⎝⎭≤⎝⎛⎭⎫128,即14t ≥8,解得t ≥32.故至少排气32分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.13.为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资60万元建了一个蔬菜生产基地,第一年支出各种费用8万元,以后每年支出的费用比上一年多2万元,每年销售蔬菜的收入为26万元.设f (n )表示前n 年的纯利润,则从第________年开始盈利.[f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总费用支出－投资额]答案 5解析 由题意知f (n )＝26n －⎣⎡⎦⎤8n ＋n (n －1)2×2－60＝－n 2＋19n －60. 令f (n )＞0,即－n 2＋19n －60＞0,解得4＜n ＜15,所以从第5年开始盈利.14.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t (单位:min)后的温度是T ,则T －T a ＝(T 0－T a )12t h⎛⎫ ⎪⎝⎭,其中T a 称为环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡,放在21 ℃的房间中,如果咖啡降到37 ℃需要16 min,那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃,还需要________ min.答案 8解析 由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃,T ＝37 ℃,得37－21＝(85－21)·1612h⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴h ＝8. 令T 0＝37 ℃,T ＝29 ℃,则29－21＝(37－21)·812t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴t ＝8.15.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a ,最高销售限价b (b ＞a )以及实数x (0＜x ＜1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里,x 被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得,最佳乐观系数x ＝________.答案 5－12解析 由题意得x ＝c －a b －a,(c －a )2＝(b －c )(b －a ), ∵b －c ＝(b －a )－(c －a ),∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a ),两边同除以(b －a )2,得x 2＋x －1＝0,解得x ＝－1±52.∵0＜x ＜1,∴x ＝5－12. 16.某书商为提高某套丛书的销售量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x 元时,销售量可达到(15－0.1x )万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格,问:(1)每套丛书售价定为100元时,书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为100元时,销售量为15－0.1×100＝5(万套),此时每套供货价格为30＋105＝32(元),书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元). (2)每套丛书售价定为x 元时,由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0， 解得0＜x ＜150.依题意,单套丛书利润P ＝x －⎝⎛⎭⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x－30, 所以P ＝－⎣⎡⎦⎤(150－x )＋100150－x ＋120. 因为0＜x ＜150,所以150－x ＞0,则(150－x )＋100150－x≥2(150－x )·100150－x＝2×10＝20, 当且仅当150－x ＝100150－x,即x ＝140时等号成立, 此时,P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时,单套丛书的利润最大,最大值为100元.。