高三数学二轮学案(三角函数综合)

高三数学第二轮专题复习系列(4)三角函数一、本章知识结构：二、高考要求1.理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

2.掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）3.能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

4.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A 、ω、 的物理意义。

5. 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示角。

三、热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。

3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 四、复习建议应用同角三角函数的基本关任意角的概念 任意角的三角诱导公式 三角函数的图象与计算与化简 证明恒等式 已知三角函数值求和角公式 倍角公式 差角公式 弧长与扇形面积公角度制与弧度应用应用 应用应用本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1)首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。

第2讲 三角恒等变换与解三角形[做真题]题型一 三角恒等变换1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B ．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin 2α＋1，即2sin αcosα＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B ． 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89 B ．79 C ．－79D ．－89解析：选B ．cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A ．725 B ．15 C ．－15D ．－725解析：选D ．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D ．题型二 三角形中的边角计算问题1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A ．因为cos C2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A ．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．解析：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21133．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sinC )2＝sin 2A －sin B sin C ．(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C ．解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. 题型三 与三角形面积有关的问题1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C ．根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．解析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.答案：6 33．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得 sin A sinA ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin(120°－C )sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32. [明考情]1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上．3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．三角恒等变换与求值[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋ 3 C ．2－ 3D ．2＋ 3解析：选D ．由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D ．2．(一题多解)(2019·福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15 B ．－15C ．725D ．－725解析：选C ．法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．法三：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cosα＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，得sin 2α＝725.故选C ．3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________． 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2， 所以sin α＝255，cos α＝55，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫255＋55＝31010. 答案：310104．(2019·江西七校第一次联考)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝33，则cos(2α＋β)＝________． 解析：因为0<α<π2，所以π4<α＋π4<3π4，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝429， cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－79. 因为－π2<β<0，所以0<β2＋π4<π4，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝63，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝223， cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝13. 所以cos(2α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝2327.答案：2327三角恒等变换要遵循的“三看”原则一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二看“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．三角形的基本量的计算[典型例题]命题角度一 求解三角形中的角(1)(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝a (cos C ＋33sin C )，a ＝2，c ＝263，则角C ＝( ) A ．3π4B ．π3C ．π6D ．π4(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＋b sin C ＝a . ①求角B 的大小；②若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值．【解】 (1)选D ．由b ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C ，得sin B ＝sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C . 因为sin B ＝sin []π－(A ＋C )＝sin(A ＋C )， 所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋33sin A sin C (sin C ≠0)，即cos A ＝33sin A ，所以tan A ＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝22.因为0<C <2π3，所以C ＝π4.故选D ．(2)①由b cos C ＋b sin C ＝a ， 得sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin A . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 因为sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4. ②设BC 边上的高为AD ，则AD ＝14a .因为B ＝π4，所以BD ＝AD ＝14a ，所以CD ＝34a ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝104a ，AB ＝24a . 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－55.利用正、余弦定理求三角形角的方法(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角． (2)已知三边，直接由余弦定理求角．(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角．[技能] 利用正、余弦定理求角时的两个失分点：(1)已知两边及其中一边的对角求其他角时，有一解、两解的情况，容易把握不准而出错；(2)在变形时，直接两边约去公因式，没有移项后提公因式，产生漏解．命题角度二 求解三角形中的边与面积如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD ＝1，E 为AC 的中点，AE ＝32，cos B ＝277，∠ADB ＝2π3.(1)求AD 的长； (2)求△ADE 的面积．【解】 (1)在△ABD 中，因为cos B ＝277，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，所以sin ∠BAD ＝sin(B ＋∠ADB )＝217×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋277×32＝2114. 由正弦定理知AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，得AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝1×2172114＝2.(2)由(1)知AD ＝2，依题意得AC ＝2AE ＝3，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ，即9＝4＋DC 2－2×2×DC cos π3，所以DC 2－2DC －5＝0，解得DC ＝1＋6(负值舍去)，所以S △ACD ＝12AD ·DC sin ∠ADC ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322，从而S △ADE ＝12S △ACD ＝3＋324.利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解．[技能] 三角形的面积主要是利用S ＝12ab sin C 求解，有时可以直接利用余弦定理求出ab 的整体值再求面积，而不必分别求出a ，b 的值．[对点训练]1．(一题多解)(2019·广州市综合检测一)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ．(1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积． 解：(1)法一：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，所以由正弦定理得sin C cos B ＝(3sin A －sin B )cos C ， 即sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ， 所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A ， 则sin A ＝3sin A cos C ．因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.法二：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.(2)法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24，即(a －b )2＋43ab ＝24.因为b －a ＝2，所以ab ＝15.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24.又b －a ＝2， 所以a ＝3，b ＝5.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.2．(2019·郑州市第一次质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B ＝b 24S.(1)求sin A sin C ；(2)若4cos A cos C ＝3，b ＝15，求△ABC 的周长．解：(1)由三角形的面积公式可得S ＝12bc sin A ，又sin B ＝b 24S，所以2bc sin A sin B ＝b 2，即2c sin A sin B ＝b ，由正弦定理可得2sin C sin A sin B ＝sin B ， 因为sin B ≠0，所以sin A sin C ＝12.(2)因为4cos A cos C ＝3，所以cos A cos C ＝34，所以cos A cos C －sin A sin C ＝34－12＝14，即cos(A ＋C )＝14，所以cos B ＝－14，因为0<B <π，所以sin B ＝154， 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝15154＝4，所以sin A sin C ＝ac 16＝12，所以ac ＝8，因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 所以(a ＋c )2＝15＋12＝27，所以a ＋c ＝3 3. 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝33＋15.解三角形的综合问题[典型例题]命题角度一 以平面几何为载体的解三角形问题(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3(2＋3)2.(1)求CD ； (2)求∠ABC .【解】 (1)在△BCD 中，S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝3(2＋3)2，因为BC ＝23，BD ＝3＋6， 所以sin ∠CBD ＝12.因为∠ABC 为锐角，所以∠CBD ＝30°.在△BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos ∠CBD ＝(23)2＋(3＋6)2－2×23×(3＋6)×32＝9，所以CD ＝3. (2)在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，即23sin ∠BDC ＝3sin 30°，解得sin ∠BDC ＝33.因为BC <BD ，所以∠BDC 为锐角，所以cos ∠BDC ＝63. 在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，即ACcos ∠BDC ＝3sin ∠CAD.①在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ，即ACsin ∠ABC ＝23sin ∠BAC.②因为AC 平分∠BAD ，所以∠CAD ＝∠BAC . 由①②得sin ∠ABC cos ∠BDC ＝323，解得sin ∠ABC ＝22.因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC ＝45°.解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于π3)确定角或边的范围．命题角度二 三角形中的最值或范围问题(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan Atan B＝2c －bb，则△ABC 面积的最大值为________．(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________．【解析】 (1)因为tan A tan B ＝2c －b b ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin Bcos B，由正弦定理得sin B sinA cosB ＝(2sinC －sin B )sin B cos A ，又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ，所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32.设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.所以△ABC 面积的最大值为334.(2)由sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C 及正弦定理，可知a cos B ＋b cos A ＝c ，则由(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝12，则C ＝π3，B ＝2π3－A ， 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得asin A＝bsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝csinπ3，又a ＋b ＝2，所以c sin A32＋c sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A 32＝2，即c ＝3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，则c ∈[1，2)．【答案】 (1)334(2)[1，2)解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．[对点训练]1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连接CE ，DE .CB ＝2，BE ＝1，∠B ＝∠CED ＝2π3.(1)求sin ∠AED 的值； (2)若AB ∥CD ，求CD 的长．解：(1)在△BEC 中，由余弦定理得，CE ＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE cos ∠B ＝7， 又BEsin ∠BCE ＝CE sin ∠B ，所以sin ∠BCE ＝2114，因为∠B ＝∠CED ，所以sin ∠AED ＝sin ∠BCE ＝2114. (2)因为AB ∥CD ，所以∠CDE ＝∠AED ， 所以sin ∠CDE ＝sin ∠AED ＝2114， 在△CDE 中，CD sin ∠CED ＝CE sin ∠CDE ，所以CD ＝CE sin ∠CEDsin ∠CDE＝7×322114＝7.2．(2019·福建五校第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cosC ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A . 又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ，所以bc ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故△ABC 面积的最大值为2＋ 3.[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋1，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B ．f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin(2x ＋π6)＋2，则f (x )的最小正周期为2π2＝π，最大值为2＋2＝4.故选B ．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A ．由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3c 22bc ＝－14，得b c＝6.故选A ． 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sinC ，则sin B 为( )A ．74 B ．34 C ．73D ．13解析：选A ．由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34， 所以sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A ．32 B ．233C ．33D ． 3解析：选B ．由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sinC ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C＝233.故选B ． 5．(一题多解)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选A ．法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABCBC ＝2×323＝1，故选A ．法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A ．6.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A ．223B ．24 C ．64D ．63解析：选C ．依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BCsin ∠BDC＝BDsin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________． 解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.答案：－788．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝(4－b )(4＋b )16(4－b )＝4＋b16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210.答案：(42，210)9．(一题多解)(2019·合肥市第一次质检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC 至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．解析：法一：由题意知b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ①，又由已知，得cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝12，可得cos A cos C ＝14 ②，②－①，得14－sin 2B ＝－cos B ，所以cos 2B＋cos B －34＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝－32(舍去)，所以B ＝60°，再由题得cos(A －C )＝1，则A －C ＝0，即A ＝C ，则a ＝c ，所以△ABC 为正三角形，则∠ACD ＝120°，AC ＝b ，CD ＝2－b ，故S △ACD ＝12×b ×(2－b )×32≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2－b 22＝34，当且仅当b ＝2－b ，即b ＝1时取等号．故填34. 法二：由题意知b 2＝ac ，且cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝12，即cos A cos C ＋sin A sin C ＋cos A cos C －sin A sin C ＝12，即cos A cos C ＝14，由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ·b 2＋a 2－c 22ab ＝14，整理得b 4－(a 2－c 2)2＝b 4，所以a 2－c 2＝0，即a ＝c ，又b 2＝ac ，所以a ＝b ＝c ，即△ABC 为正三角形，所以S △ACD ＝S △ABD －S △ABC ＝12×2×c ×32－34c 2＝－34(c －1)2＋34≤34，当c ＝1时取等号，故填34. 答案：34三、解答题10．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ．(1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积． 解：(1)因为a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ，所以由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ，又a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B ，由正弦定理，得 2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ， 又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)由tan C ＝32，C ∈(0，π)，得sin C ＝217，cos C ＝277， 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B ＝27×3211432＝6，所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×6×27×217＝6 3.11．(2019·武汉模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，cos B ＝255. (1)求sin C 的值；(2)若角A 的平分线AD 的长为5，求b 的值． 解：(1)由cos B ＝255及0<B <π，得sin B ＝55，又A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×55×255＝45， cos A ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝35.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×255＋35×55＝11525.(2)由题意得，∠ADC ＝B ＋12∠BAC ＝∠BAC (如图)，所以sin ∠ADC ＝45.在△ADC 中，AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，即511525＝AC 45，AC ＝2011，故b ＝2011.12．(2019·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sinC ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.[B 组 大题增分专练]1．(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a (sinA －sinB )＝(c －b )(sinC ＋sin B )．(1)求角C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由(1)知a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7， 又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，所以ab ＝6，所以(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 2．(一题多解)(2019·福州模拟)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，cos ∠BAM ＝5714，cos ∠AMC ＝－277.(1)求∠B 的大小；(2)若AM ＝21，求△AMC 的面积．解：(1)由cos ∠BAM ＝5714， 得sin ∠BAM ＝2114， 由cos ∠AMC ＝－277，得sin ∠AMC ＝217. 又∠AMC ＝∠BAM ＋∠B ，所以cos ∠B ＝cos (∠AMC －∠BAM )＝cos∠AMC cos ∠BAM ＋sin ∠AMC sin ∠BAM＝－277×5714＋217×2114＝－12， 又∠B ∈(0，π)，所以∠B ＝2π3. (2)法一：由(1)知∠B ＝2π3， 在△ABM 中，由正弦定理AM sin ∠B ＝BM sin ∠BAM， 得BM ＝AM sin ∠BAM sin ∠B ＝21×211432＝ 3.因为M 是边BC 的中点，所以MC ＝ 3.故S △AMC ＝12AM ·MC ·sin ∠AMC ＝12×21×3×217＝332. 法二：由(1)知∠B ＝2π3， 在△ABM 中，由正弦定理AM sin ∠B ＝BM sin ∠BAM， 得BM ＝AM sin ∠BAM sin ∠B ＝21×211432＝ 3.因为M 是边BC 的中点，所以S △AMC ＝S △ABM ，所以S △AMC ＝S △ABM ＝12AM ·BM ·sin ∠BMA ＝12×21×3×217＝332. 3．(2019·昆明市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2(c －a cos B )＝3b .(1)求角A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由2(c －a cos B )＝3b 及正弦定理得2(sin C －sin A cos B )＝3sin B ， 所以2sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝3sin B ，即2cos A sin B ＝3sin B ， 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，又0<A <π，所以A ＝π6. (2)因为a ＝2，由正弦定理得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝14bc ， 所以S △ABC ＝4sin B sin C ，因为C ＝π－(A ＋B )＝5π6－B ，所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ， 所以S △ABC ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ＝4sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos B ＋32sin B ， 即S △ABC ＝2sin B cos B ＋23sin 2B＝sin 2B －3cos 2B ＋ 3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＋ 3. 因为0<B <5π6，所以－π3<2B －π3<4π3，所以－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3≤1， 所以0<S △ABC ≤2＋ 3.即△ABC 面积的取值范围为(0，2＋3]．4．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝23c . (1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，求角C 的正弦值； (2)若C ＝π4，M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab ，求M 的值． 解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35， 所以sin A ＝45，tan A ＝43， 所以AD ＝c 2，BD ＝AB －AD ＝c 2， 所以BC ＝CD 2＋BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝5c 6， 由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB sin A BC ＝c ×455c 6＝2425. (2)因为S △ABC ＝12c ×23c ＝12ab sin ∠ACB ＝24ab ， 所以c 2＝324ab ， 又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝2ab ，所以a 2＋b 2＝2ab ＋c 2，所以a 2＋b 2＋13c 2＝2ab ＋43c 2＝2ab ＋43×324ab ＝22ab ， 所以M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab ＝22ab ab ＝2 2.。

高三数学第二轮复习教案第4讲三角问题的题型与方法（3课时）一、考试内容角的概念的推广，弧度制；任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式：sin2a+cos2a=1，sin a/cos a=tan a，tan a cot a=1，正弦、余弦的诱导公式；两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切；正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期函数，函数y=Asi n(ωx+ψ)的图象，正切函数的图象和性质，已知三角函数值求角；正弦定理，余弦定理，斜三角形解法举例。

二、考试要求1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义。

6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x表示。

7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。

三、复习目标1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等．2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明．3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．4．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．5．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、6．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．四、双基透视（一）三角变换公式的使用特点1．同角三角函数关系式(1)理解公式中“同角”的含义．(2)明确公式成立的条件。

三角函数第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念【学习目标】1.了解任意角的概念会用公式求扇形弧长、面积；2.会用三角函数定义求值，能判断三角函数在各象限的符号. 【教学过程】 一、基础自测1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z )C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )2.一扇形的圆心角α＝︒60，半径R ＝10 cm ，该扇形的面积为 .3.若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则sin α－cos α＋tan α＝________.4.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[必备知识] 1.角的概念(1)定义： .(2)分类： (3)终边相同的角： . 2.弧度制的定义和公式(1)定义： .(2)公式： . 3.设角α终边上异于原点的任意一点P (x ，y )，r ＝x 2＋y 2.三角函数 定义 定义域第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号sin αcos αtan α角度 ︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180弧度 sin αcos α tan α二、典例精讲例1（1）已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则cos α＝________，tan α＝________. （2）若α为第二象限角，则cos 2α，cos α2，1sin 2α中，其值必为正的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个归纳：巩固练习1:（1）已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A.－12B.－32C.12D.32（2）设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角例2.扇形周长为20 cm ，这个扇形的面积最大时，扇形的圆心角α为 弧度归纳：巩固练习2（多选）已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2三、达标检测1.若扇形的面积为3π8、半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2B.3π4C.3π8D.3π162.已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α等于( )A.－15B.3715C.3720D.13153.(多选)角α的终边在第一象限，则sinα2⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2⎪⎪⎪⎪cos α2＋tan α2⎪⎪⎪⎪tan α2的值为( )A.－1B.1C.－3D.34.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.5.已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M ),53(m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值.思维导图 三角 函数任意角与弧度制任意角的三角函数角定义弧度制符号角度与弧度互化 特殊角弧度数 扇形弧长、面积三角函数第2课时同角三角函数基本关系与诱导公式【学习目标】1.会用同角基本关系式解决给值求值问题；2.熟记诱导公式并会用诱导公式化简求值. 【教学过程】 二、基础自测1.若sin α＝55，π2<α<π，则αcos = tan α=2.若sin(π＋α)＝12，α∈02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则tan(π－α)等于( ) A ．－12B 3C 3D 33．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan α-=（ ）A ．–2B ．2C ．13- D ．134．sin 1 050°等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 [必备知识]1.同角三角函数的基本关系平方关系： 商数关系： 2.公式 角 正弦 余弦 正切 口诀① 2k π＋α(k ∈Z )奇变偶不变，符号看象限② －α ③ π－α ④ π＋α⑤ π2－α⑥ π2＋α⑦ 32π＋α⑧ 32π－α三、典例精讲例1（1）已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α等于( )A.54 B ．－54 C.53 D ．－53（2）已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈)4,0(π，则sin θ－cos θ的值为 ．归纳：巩固练习1:（1）已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．（2）已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则sin θ－cos θ= ，tan θ＝ . 例2.（1）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3,4)，则sin )22021(πα-等于( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45（2）已知sin )3(απ+＝1213，则cos )6(απ-等于( )A.513B.1213 C ．－513 D ．－1213 归纳：巩固练习2：（1）已知α∈(0，π)，且cos α＝－1517，则sin )2(απ+·tan(π＋α)等于( )A ．－1517 B.1517 C ．－817 D.817（2）sin )12(πα-＝13，则cos )1271(πα+＝ .四、达标检测1.已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517 B ．－1517 C.817 D ．－8172.已知(0,)απ∈，若2cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭5sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．14B 2C ．2D 143.(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sin B ＋C 2＝cos A2 C ．tan(A ＋B )＝－tan C )2(π≠C D ．cos(A ＋B )＝cos C4.sin 4π3·cos 5π6·tan )34(π-的值是 ．5.已知－π2<α<0，且函数f (α)＝cos )23(απ+－sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)； (2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．思维导图三角函数第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【学习目标】1.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简求值；2.会用辅助角公式化简求值. 【教学过程】 三、基础自测1.(多选)下面各式中，正确的是( )A.cos π12＝cos π3－cos π4B.cos 5π12＝22sin π3－cos π4cos π3C.cos )12(π-＝cos π4cos π3＋64 D.3sin α＋cos α＝2sin )3(πα+2.已知tan θ＝2，则tan )4(πθ-＝ .3.cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝4.tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝ . [必备知识]两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C α－β：cos(α－β)＝ ；(2)公式C α＋β：cos(α＋β)＝ ； (3)公式S α＋β：sin(α＋β)＝ ；(4)公式S α－β：sin(α－β)＝ ； (5)公式T α＋β：tan(α＋β)＝ ；(6)公式T α－β：tan(α－β)＝ . (7)(辅助角公式)a sin α＋b cos α＝ .五、典例精讲例1（1）若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin )4(πα+等于( )A.－210B.210C.－7210D.7210（2）已知534cos 23sin 23=+αα，则4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．23B 23C ．45-D ．45归纳：巩固练习1:（1）已知sin α＝35，α∈),2(ππ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A.－211B.211C.112D.－112（2）若3sin s 2a a +=，则tan()πα+=（ ）A 3B 2C 2D 3例2.已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6归纳：巩固练习2：已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝ ..六、达标检测1.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( ) A.12 B.33 C.22 D.322.已知α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，tan α，tan β是方程x 2＋12x ＋10＝0的两根，则tan(α＋β)等于( ) A.43 B.－2或12 C.12D.－2 3.（多选）已知3cos α－3sin α＝23cos(α＋φ)，则φ的值可能为（ ）A.π6 B.613π C. 6π- D.611π 4.已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3cos α，tan β＝33，则tan(α＋β)＝ . 5.已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值.思维导图 辅助角公式 a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2三角函数第4课时 三角恒等变换【学习目标】1.熟记正弦、余弦、正切倍角公式；2.会用正弦、余弦、正切倍角公式、半角公式化简求值. 【教学过程】 四、基础自测1.sin 15°cos 15°等于( )A.－14B.14C.－12D.122.已知α，β为锐角，tan α＝43，则cos 2α等于( )A.725B.－725C.2425D.－24253.计算：4tanπ123tan 2π12－3等于( )A.233B.－233C.239D.－239[必备知识]二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝ .(2)公式C 2α：cos 2α＝ ＝ ＝ . (3)公式T 2α：tan 2α＝ .(4)(降幂公式)sin 2α＝ ，cos 2α＝ . (5)(半角公式)=2sinα，=2cosα.七、典例精讲例1（1）(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( )A.53B.23C.13D.59正用、逆用公式变形正弦：正余余正符号同余弦：余余正正符号异（2）已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ .归纳：巩固练习1:（1）(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255（2）已知()5sin 26cos 0απα+-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cos 24απ⎛⎫ +⎪⎝⎭=（ ）A ．15-B ．15C ．35D ．45例2.若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于 . 归纳：巩固练习2：若1010)6cos(=+πθ，则)322cos(πθ- 等于 . 八、达标检测1.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( )A.－79B.－29C.29D.792.计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( )A.22B.12C.32D.－223.(多选)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14，则f (x )的值不可能是( ) A.－12 B.12C.－2D.24.若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010，则tan 2α＝ . 5.已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值思维导图。

三角函数中的整体换元法【教学目标】1、掌握三角函数的基本性质；2、能灵活使用整体换元法；3、体会用几何直观和代数运算的方法研究三角函数性质，提高直观想象，逻辑推理、数学抽象的数学素养。

【重点】掌握三角函数的基本性质并学会利用整体换元法研究三角函数基本性质。

【难点】解决ω取值范围问题【内容分析】三角函数是高考考查重点，也作为难点之一。

2024年春考第17题，2024年高考第14题，2023年第15题，2022年第19题，2021年第15题，2020年的第18题等。

基本考点是围绕着三角函数的基本性质的综合运用，整体换元法是三角函数解题的重要思想，将ϕω+x 代换成新元t ，可将()ϕω+=x A y sin 的问题转换为t A y sin =的问题，化繁为简。

【学情分析】学生已经基本掌握三角函数的性质，需要加强其综合运用。

所以，在整体换元法思想下，再次加强基本性质的应用。

我校学生只会在x y sin =下的性质，比较难理解()ϕω+=x A y sin 的性质，需要渗透整体换元法来帮助学生理解其性质。

同时，整体思想也能提升学生的数学抽象、逻辑推理的数学素养。

【教学过程】例1、已知正弦函数x y 2sin =（1）求单调增区间；（2）求函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，的单调增区间； （3）求函数的最大值和最小值，并求出取到最大值、最小值时x 的取值；（4）求函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡63-ππ，上的值域； （5）求方程()21=x f 在[]π20，上的解； （6）求函数的零点。

提问：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=32,3,sin ππx x y 的值域是？设计意图：用简单的正弦型函数体验整体法的基本应用，以此为基础进步解决解决较难问题。

例2、（2024春考）已知()0,3sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f （1）若1=ω，当[]π,0∈x 时，求()x f y =值域；（2）已知实数πα>，且()x f 的最小正周期为π，当()x f y =在[]απ,∈x 上恰有三个零点时，求α取值范围设计题图：由例1的基础上加强训练，引导学生用t y sin =图像解决问题。

第3讲 三角变换与解三角形考点1 三角恒等变换1．三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．[例1] (1)[2019·全国卷Ⅱ]已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A.15B.55 C.33 D.255(2)[2019·天津南开大学附属中学月考]已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，则α＋β为( )A.π4B.π4或3π4 C.3π4 D.π3【解析】 (1)本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B. (2)∵sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，∴cos α＝255，cos β＝31010，∴cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝22，又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4.故选A.【答案】 (1)B (2)A化简三角函数式的规律规律 解读一角一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式二名二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“弦切互化”三结构三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等温馨 提醒(1)常用技巧：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换等．(2)根式的化简常常需要升幂去根号，在化简过程中注意角的范围，以确定三角函数值的正负『对接训练』1．[2019·山东济南长清月考]若2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin2θ＝( )A.13B.23 C ．－23 D ．－13解析：通解 ∵2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ，∴22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π2，∴23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－3＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－66，∴sin 2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝－23.故选C.优解 ∵2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ，∴2(cos 2θ－sin 2θ)22(cos θ－sin θ)＝3sin 2θ，∴2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ，∴3sin 22θ－4sin 2θ－4＝0，得sin 2θ＝－23.故选C.答案：C2．[2019·全国高考信息卷]若α为第二象限角，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos(π－α)，则2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值为( )A ．－15 B.15C.43 D ．－43解析：∵sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos(π－α)，∴2sin αcos α＝－cos 2α，∵α是第二象限角，∴cos α≠0,2sin α＝－cos α，∴4sin 2α＝cos 2α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝15，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4＝cos 2α＋sin 2α＝cos 2α－sin 2α＋2sin αcos α＝－sin 2α＝－15.故选A. 答案：A考点2 利用正、余弦定理解三角形1．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A＝a2R，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C 等． 2．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.3．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .[例2] (1)[2019·全国卷Ⅱ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________；(2)[2019·江西南昌段考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin B cosC ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则B 等于( )A.5π6B.π3C.2π3 D.π6【解析】 (1)本题主要考查余弦定理、三角形的面积公式，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查方程思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．解法一 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.解法二 因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.(2)因为a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，所以由正弦定理得sin A sin B cos C ＋sin C sinB cos A ＝12sin B ，又sin B ≠0，所以sin A cosC ＋cos A sin C ＝12，即sin(A ＋C )＝12，因为A ＋C ＝π－B ，所以sin(π－B )＝12，即sin B ＝12.又a >b ，所以A >B ，所以B 为锐角，所以B＝π6.故选D. 【答案】 (1)6 3 (2)D(1)正、余弦定理的适用条件①“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． ②“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．(2)三角形面积公式的应用原则①对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．②与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.『对接训练』3．[2019·广西南宁摸底联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，C ＝π3，sin B ＝2sin A ，则△ABC 的周长是( )A ．3 3B ．2＋ 3C ．3＋ 3D ．4＋ 3解析：因为sin B ＝2sin A ，所以由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，又c ＝3，所以a ＝1，b ＝2.故△ABC 的周长是3＋ 3.故选C.答案：C4．[2019·福建泉州阶段检测]已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosC ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B．8π C ．9π D．36π解析：由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2，即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c ＝2，得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13.设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得2R ＝csin C＝6，得R ＝3，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.故选C.答案：C考点3 正、余弦定理的综合应用[例3] [2019·全国卷Ⅲ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．【解析】 本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．(1)由题设与正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12.又B 是三角形内角，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.1．注意利用第(1)问中的结果：在题设条件下，如果第(1)问中的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问中的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问中的基础上求解．2．写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不得分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分.『对接训练』5．[2019·湖南长沙调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2. (1)若A ＝π3，b ＝3，求sin C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝3sin C ，且△ABC 的面积S ＝252sin C ，求a 和b 的值．解析：(1)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9＋4－2×3×2×12＝7，解得a ＝7.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝217.(2)由已知得sin A ×1＋cos B 2＋sin B ×1＋cos A 2＝3sin C ，sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝6sin C ， sin A ＋sin B ＋sin(A ＋B )＝6sin C ， sin A ＋sin B ＝5sin C ，所以由正弦定理得a ＋b ＝5c ＝10， ① 又S ＝12ab sin C ＝252sin C ，所以ab ＝25 ②由①②得a ＝b ＝5.考点4 与解三角形有关的交汇问题[交汇创新]解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点．[例4] [2019·石家庄质量检测]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若c cos B ＋b cos C ＝2a cos A ，AM →＝23AB →＋13AC →，且AM ＝1，则b ＋2c 的最大值是________．【解析】 通解 ∵c cos B ＋b cos C ＝2a cos A ，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＝2sin A cosA ，∴sin(C ＋B )＝2sin A cos A ，∴sin A ＝2sin A cos A ．∵0＜A ＜π，∴sin A ≠0，∴cos A＝12，∴A ＝π3.∵AM →＝23AB →＋13AC →，且AM ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →2＝1，∴49c 2＋29bc ＋19b 2＝1，即4c 2＋2bc ＋b 2＝9.∵2bc ≤(b ＋2c )24，∴9＝4c 2＋2bc ＋b 2＝(b ＋2c )2－2bc ≥34(b ＋2c )2，∴b ＋2c ≤23，当且仅当b ＝2c ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝32时等号成立，∴b ＋2c 的最大值为2 3.优解 ∵c cos B ＋b cos C ＝2a cos A ，∴a 2＋c 2－b 22a ＋a 2＋b 2－c 22a＝2a cos A ，a ＝2a cos A ，∴cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.∵AM →＝23AB →＋13AC →，且AM ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →2＝1，∴49c 2＋29bc ＋19b 2＝1，即4c 2＋2bc ＋b 2＝9.∵2bc ≤(b ＋2c )24，∴9＝4c 2＋2bc ＋b 2＝(b ＋2c )2－2bc ≥34(b＋2c )2，∴b ＋2c ≤23，当且仅当b ＝2c ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝32时等号成立，∴b ＋2c 的最大值为2 3.利用解三角形的知识解决平面向量问题是高考在知识的交汇处命制试题的一个热点．解决这类试题的基本方法是根据正、余弦定理求出平面向量的模和夹角，从而达到利用解三角形求解平面向量数量积的目的.『对接训练』6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，数列{a n }满足a n ＝(n 2＋2n )sin(2n －1)C ，则数列{a n }的前100项和S 100＝________.解析：由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得 sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ∴sin(A ＋B )＝sin 2C ∴sin C ＝sin 2C ，又∵0＜C ＜π，sin C ≠0，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，∴a n ＝(n 2＋2n )sin (2n －1)π2，即a n ＝[(n ＋1)2－1]sin (2n －1)π2，从而S 100＝(22－1)－(32－1)＋(42－1)－(52－1)＋…＋(1002－1)－(1012－1)＝22－32＋42－52＋…＋1002－1012＝－(2＋3＋4＋5＋…＋100＋101)＝－5 150.答案：－5 150课时作业8 三角变换与解三角形1．[2019·河南开封定位考试]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－13，则cos 2α的值为( ) A ．－79 B.79C ．－223 D.13解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－13，所以sin α＝13，则cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选B. 答案：B2．[2019·河北省级示范性高中联合体联考]已知tan α＝2，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝m tan 2α，则m ＝( )A ．－49B ．－94C.49D.94解析：依题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sin α＋cos α)22(sin α－cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43，所以3＝－43m ，解得m ＝－94.故选B. 答案：B3．[2019·山东青岛一中月考]在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析：∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，∴a 2＋b 2＜c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，又0°＜C ＜180°，∴C 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形，故选C.答案：C4．[2019·黑龙江牡丹江一中月考]满足条件a ＝4，b ＝32，A ＝45°的三角形的个数是( )A ．1B ．2C ．无数个D ．不存在 解析：由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝34，∵22＜34＜32，∴45°＜B ＜60°或120°＜B ＜135°，均满足A ＋B ＜180°，∴B 有两解，满足条件的三角形的个数是2，故选B.答案：B5．[2019·宁夏银川月考]已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，则sin β的值为( )A.255B.55 C.2525 D.525解析：∵α是锐角，β是锐角，cos α＝255，sin(α－β)＝－35，∴sin α＝55，cos(α－β)＝45，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝55×45－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝255.故选A.答案：A6．[2019·广西两校第一次联考]已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan βtan α12＝( )A ．－1B ．－2 C.12D ．2 解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，则sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan βtan α＝15，于是log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan βtan α12＝ ⎛⎭⎪⎫1512＝log 55－1＝－1.故选A. 答案：A7．[2019·云南曲靖月考]一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里解析：画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．故选A.答案：A8．[2019·河北省级示范性高中联合体联考]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin A ＝2sin C ，b ＝5，cos C ＝－13，则a ＝( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：因为3sin A ＝2sin C ，由正弦定理得3a ＝2c ，设a ＝2k (k ＞0)，则c ＝3k .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25－5k 220k ＝－13，解得k ＝3或k ＝－53(舍去)，从而a ＝6.故选C.答案：C9．[2019·广东仲元中学期中]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32 B.22C.12 D ．－12解析：∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b 时取等号，∴cos C 的最小值为12，故选C.答案：C10．[2019·河北五校第二次联考]已知tan 2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f (x )≥0恒成立，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35解析：由tan 2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，求得tan α＝13或tan α＝－3.又对任意的实数x ，f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2sin α·(cos x －1)≥0恒成立，所以sinα≤0，则α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，所以tanα＝－3，sin α＝－310，cos α＝110.于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos α sin π4＝－310×22－110×22＝－255.故选A.答案：A11．[2019·安徽五校联盟第二次质检]若α是锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝________.解析：因为0＜α＜π2，所以π6＜α＋π6＜2π3，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：43－31012．[2019·陕西咸阳一中月考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝7，b ＝2，A ＝π3，则△ABC 的面积为________．解析：由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2sinπ37＝217，∵b ＜a ，∴B ＜A ，∴cos B ＝277，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32114，∴△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.答案：33213．[2019·陕西西安五中综合卷]已知tan(α＋β)＝13，tan β＝12，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析：∵tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝－17，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝34.答案：3414．[2019·湖南重点高中大联考]已知a ，b ，c 分别为锐角三角形ABC 内角A ，B ，C 的对边，ab sin C ＝c 2－(a －b )2，若锐角三角形ABC 的面积为4，则c 的最小值为________．解析：由已知条件及余弦定理，可得ab sin C ＝a 2＋b 2－2ab cos C －(a 2－2ab ＋b 2)＝2ab －2ab cos C ，即2cos C ＝2－sin C ，两边平方，得4(1－sin 2C )＝4－4sin C ＋sin 2C ，因为0°＜C ＜90°，所以可得sin C ＝45，则cos C ＝35.所以12ab ×45＝4，得ab ＝10，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－2ab ×35≥2ab －65ab ＝45ab ＝8，当且仅当a ＝b 时取等号，所以c ≥22，即c 的最小值为2 2.答案：2 215．[2019·江苏宜兴月考]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求cos α；(2)求f (x )＝cos 2x ＋52sin αsin x 的最值．解析：(1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－210，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝－210×22＋7210×22＝35.(2)由(1)得cos α＝35，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α＝45， ∴f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin2x ＋2sin x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，∴当sin x ＝12时，f (x )取得最大值32，当sin x ＝－1时，f (x )取得最小值－3.16．[2019·辽宁六校协作体期中]设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c ·cos C 是a ·cos B 与b ·cos A 的等差中项．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，求△ABC 的周长的最大值．解析：(1)由题意得a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，即sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，解得cos C ＝12，C 是三角形内角，所以C ＝60°.(2)方法一 由余弦定理得c 2＝4＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥(a ＋b )2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝(a ＋b )24，得a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故△ABC 周长的最大值为6.方法二 由正弦定理得asin A＝bsin B＝csin C ＝433，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝433(sin A ＋sin B )＋2＝433[sin A ＋sin(A ＋60°)]＋2＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin A ＋32cos A ＋2＝4sin(A ＋30°)＋2.∵A ∈(0,120°)，∴当A ＝60°时，△ABC 周长的最大值为6.17．[2019·湖北武汉部分重点中学第二次联考]已知函数f (x )＝cos 2x ＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋x －sin 2x .(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值；(2)若f (θ)＝65，求tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ的值．解析：(1)依题意，知f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，则－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤2， 于是当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝2. (2)因为f (θ)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝35，于是tan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝1－351＋35＝14.18．[2019·福州市质量检测]在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，BC 上，CD ＝5，CE ＝3，且△EDC 的面积为3 6.(1)求边DE 的长；(2)若AD ＝3，求sin A 的值．解析：(1)如图所示，在△ECD 中，S △ECD ＝12CE ·CD sin∠DCE ＝12×3×5×sin∠DCE ＝36，所以sin∠DCE ＝265，因为0°＜∠DCE ＜90°， 所以cos∠DCE ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2652＝15， 所以DE 2＝CE 2＋CD 2－2·CE ·CD ·cos∠DCE ＝9＋25－2×3×5×15＝28，所以DE ＝27.(2)因为∠ACB ＝90°，所以sin∠ACD ＝sin(90°－∠DCE )＝cos∠DCE ＝15，在△ADC 中，AD sin∠ACD ＝CDsin A ，即315＝5sin A ， 所以sin A ＝13.。

人教版高中数学 教案+学案 综合汇编第4章 三角函数第19教时教材：两角和与差的正弦、余弦、正切的综合练习⑵目的：通过例题的讲解，增强学生利用公式解决具体问题的灵活性。

过程：一、公式的应用例一 在斜三角形△ABC 中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA •tanB •tanC证一：在△ABC 中，∵A+B+C=π ∴A+B=π-C从而有 tan(A+B)=tan(π-C) 即：C B A B A tan tan tan 1tan tan -=-+ ∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC即：tanA+tanB+tanC=tanA •tanB •tanC证二：左边= tan(A+B)(1-tanAtanB) +tanC=tan(π-C) (1-tanAtanB) +tanC=-tanC+ tanAtanBtanC+tanC=tanAtanBtanC=右边例二 求(1+tan1︒)(1+tan2︒)(1+tan3︒)……(1+tan44︒)解： (1+tan1︒)(1+tan44︒)=1+tan1︒+tan44︒+tan1︒tan44︒=1+tan45︒(1- tan1︒tan44︒)+ tan1︒tan44︒=2同理：(1+tan2︒)(1+tan43︒)=2 (1+tan3︒)(1+tan42︒)=2 …… ∴原式=222例三 《教学与测试》P 113例一 （略）口答例四 《教学与测试》P 113例二 已知tan θ和)4tan(θπ-是方程02=++q px x的两个根，证明：p -q+1=0证：由韦达定理：tan θ+)4tan(θπ-=-p ，tan θ•)4tan(θπ-=q∴q p --=-⋅--+=-+==1)4tan(tan 1)4tan(tan )]4(tan[4tan 1ϑπθϑπθθπθπ ∴p -q+1=0例五 《教学与测试》 例三 已知tan α=)1(3m +，tan(-β)=3(tan αtan β+m)又α,β都是钝角，求α+β的值解：∵两式作差，得：tan α+tan β=3(1-tan αtan β即：3tan tan 1tan tan =-+βαβα ∴3)tan(=+βα又：α,β都是钝角 ∴π<α+β<2π ∴α+β34π=二、关于求值、求范围例六 已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2+px+2=0的两实根，求)cos()sin(βαβα-+的值。

高三数学二轮复习教学案（解三角形）班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=4bsinA ，则cosB=_________．2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若bc b a 322=-，B C sin 32sin =，则A=______________．3．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=c=26+， 且∠A=75°，则b=__________4．据新华社报道，强台风“康森”在海南三亚登陆，台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少椰子树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是______m ．5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且acosB —bcosA=53c ， 则tan(A －B)的最大值是__________________．6．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3min ．若此人步行的速度为每分钟50 m ，则该扇形的半径为_____________m ．7．在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若C b a a b cos 6=+， 求BC A C tan tan tan tan +的值．8．已知在斜三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且AA C A ac c a b cos sin )cos(222+=--（1）求角A（2）若2cos sin >C B，求角C 的取值范围．9．如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，在水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC=0.1 km ，试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，并求出B 、D 的距离．高三数学二轮复习教学案（平面向量）班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________1．在四边形ABCD 中，“DC AB 2=”是“四边形ABCD 为梯形’’的______________条件．2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2BC =16，||||AC AB AC AB -=+ ，则|AM |=_____________3．已知平面向量),0(,βααβα≠≠满足1||=β，且α与αβ-的夹角为120°，则||α的取值范围是_________________4．设向量)cos 3,2(),3,sin 4(αα==b a ，且b a //，则锐角α为____________5．在△ABC 中，已知2π=C ，AC=1，BC=2，则|)1(2|)(CB CA f λλλ-+=的最小值是___________6．如图，在△ABC 中，已知AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若BC AB AM μλ+=，则μλ+=____________7．已知A )0,22(，B )22,0(，M )sin ,(cos αα，点N 满足)1(=++=μλμλON OB OA ，则||MN 的最小值是_______________8．已知)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos θθθθ-==b a ，且]3,0[πθ∈ （1||b a b a +（2）是否存在实数k ，使||3||b k a b a k -=+？若存在，求出实数k 的值，若不存在，请说明理由。

芯衣州星海市涌泉学校赣榆县智贤中学高三数学总复习专题二第1讲三角函数〔1〕教学案教学内容：三角函数的图象与性质〔1〕教学目的：1三角函数的图象与解析式2.利用三角函数的图象与解析式教学重点：1.求三角函数的解析式；教学难点：三角函数的图象与解析式教学过程：一、知识点复习：1．必记的概念与定理(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.(2)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限〞．(3)三角函数的图象及常用性质函数y＝sinx y＝cosx y＝tanx图象单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(，0)(k∈Z)2.记住几个常用的公式与结论对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)要记住下面几个常用结论：(1)定义域：R.(2)值域：[－A，A]．当x＝(k∈Z)时，y取最大值A；当x＝(k∈Z)时，y取最小值－A.(3)周期性：周期函数，周期为.(4)单调性：单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z).(5)对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即对称中心是(，0)，对称轴与函数图象的交点纵坐标是函数的最值，即对称轴是直线x＝，其中k∈Z.(6)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A影响函数图象的最高点和最低点，即函数的最值；ω影响函数图象每隔多少重复出现，即函数的周期；φ影响函数的初相．(7)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或者者两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．复备栏3．需要关注的易错易混点三角函数图象平移问题(1)看平移要求：拿到这类问题，首先要看题目要求由哪个函数平移到哪个函数，这是判断挪动方向的关键点．(2)看挪动方向：在学习中，挪动的方向一般我们会记为“正向左，负向右〞，其实，这样不理解的记忆是很危险的．上述规那么不是简单地看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正负，而是和它的平移要求有关．正确地理解应该是：平移变换中，将x变换为x＋φ，这时才是“正向左，负向右〞．(3)看挪动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相位，再经过ω的压缩，最后挪动的单位是||.二、根底训练：1．函数y＝tan的定义域是________．解析：∵x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋，k∈Z.答案：2．(2021·模拟)函数f(x)＝sinxcosx的最小正周期是________．解析：由题知f(x)＝sin2x，所以T＝＝π.答案：π3．将函数y＝2sinx的图象上每一点向右平移1个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标保持不变)，得函数y＝f(x)的图象，那么f(x)的解析式为________．解析：函数y＝2sinx向右平移1个单位得y＝2sin(x－1)＝2sin，将所得图象上每一点的横坐标扩大为原来的倍(纵坐标保持不变)，那么y＝2sin，即y＝2sin.答案：y＝2sin4．(2021·模拟)函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调增区间为________．解析：当x－∈，k∈Z时，f(x)单调递增，又因为x∈[－π，0],故取k＝0得x∈.答案：1三、例题教学：例1、(2021·模拟)假设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如下列图，这个函数的解析式为________．[解析]由题意知：周期T＝2(－)＝π，ω＝＝2，设f(x)＝Asin(2x＋φ)，点(，0)为五点作图中的第三点，所以2×＋φ＝π，即φ＝.设f(x)＝Asin(2x＋)，因为点(0，)在原函数的图象上，故Asin＝，所以A＝，综上知：f(x)＝sin(2x＋)．[答案]f(x)＝sin(2x＋)变式训练：1．(2021·高考卷)函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，那么φ的值是________．解析：由题意，得sin＝cos，因为0≤φ<π，所以φ＝.答案：例2、2021·模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的图象如下列图，直线x＝，x ＝是其两条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；(2)假设f(α)＝，且<α<，求f(＋α)的值．[解](1)由题意，＝－＝，∴T＝π，又ω>0，故ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，由f()＝2sin(＋φ)＝2，解得φ＝2kπ－(k∈Z)，又－<φ<，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin(2x－)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)知，kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)，∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)依题意得：2sin(2α－)＝，即sin(2α－)＝，∵<α<，∴0<2α－<，∴cos(2α－)＝＝＝，f(＋α)＝2sin[(2α－)＋]，∵sin[(2α－)＋]＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝(＋)＝，∴f(＋α)＝.稳固练习：完成专题强化训练。

专题06 三角函数的图像与性质1.三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)( A >0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．2.备考时应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象与性质，并熟练掌握函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．1．任意角和弧度制(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (3)弧长公式：l ＝|α|r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． (2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 3．诱导公式公式一sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α公式二sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α公式三sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α4.同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)．5．正弦、余弦、正切函数的性质对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．对称轴：x ＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)． 对称轴：x ＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0、π2、π、3π2、2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点连线可得．考点一 三角函数图象及其变换例1、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3【答案】A且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.优解：代入特殊点检验排除． 当x ＝π3，y ＝2时，排除B ，D.当x ＝－π6，y ＝－2时，排除C ，故选A.(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．【答案】23π【解析】通解：化简后平移函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．【方法规律】1．已知图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的方法 (1)求A ，B ，已知函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，已知函数的周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω，B 已知)，或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点中距原点最近的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.2．三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点； (2)看左右移动方向，左“＋”右“－”；(3)看移动单位：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x 轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.【变式探究】1．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z，故选D.考点二 三角函数性质及应用例2、(1)(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z) 【答案】B【解析】通解：写出解析式求对称轴．函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，令2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以所求对称轴的方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，故选B.优解：由对称轴平移得对称轴．y ＝2sin 2x 的对称轴为x ＝π4＋k 2π，向左平移π12个单位长度得x ＝π4－π12＋k 2π＝k π2＋π6.(k ∈Z)，故选B.(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5【答案】B【方法技巧】 求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧 1．求单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断对称中心与对称轴：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．三角函数的周期的求法 (1)定义法；(2)公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. (3)利用图象．【变式探究】设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增考点三 三角函数的图象与性质的综合应用例3、已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，32. (1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期；(2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝536，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3的值．解：(1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6cos ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＋32【方法技巧】三角函数解析式化简的基本思路1．将“sin x cos x ”化为12sin 2x ，将sin 2x 或cos 2x 降幂．2．函数解析式成为“a sin x ＋b cos x ”后，利用辅助角公式化为a 2＋b 2sin(x ＋φ)，⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2.3．利用整体思想，对于a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的三角函数． 视“ωx ＋φ”为整体，利用sin x 的性质来求解．【变式探究】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调增区间．(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b ＞0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋1112π＝5912π.1．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15【解析】选A.解法一：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝110sin x ＋310cos x ＋32cos x ＋12sin x ＝35sin x ＋335cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴当x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值65.故选A.解法二：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A.2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ）A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65.所以选A.1.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A ）31010 （B ）1010（C ）1010 （D ）31010【答案】C2.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.3.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.【2016年高考四川文数】22cossin 88ππ-= .【答案】2【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π5.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 6.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B7.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 8.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =-的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 9.【2016高考浙江文数】设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ） A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B10.【2016高考山东文数】函数f （x ）=3sin x +cos x ）3x –sin x ）的最小正周期是（ ） （A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 11.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 12.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）（A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B13.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）A.12t =，s 的最小值为6πB.32t = ，s 的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =⨯-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1(,)122，此时min πππ4126s ==-，故选A. 14.【2016高考新课标3文数】函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】因为sin 32sin()3y x x x π=+=+，sin 32sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin 3y x x =的图像可由函数sin 3y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到． 15.【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A 310 （B 10（C ）1010 （D ）31010【答案】C16.【2016高考新课标2文数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725- 【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.17.【2016高考新课标3文数】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【2015高考新课标1，文2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ）3-（B 3（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =osin30=12，故选D. 【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 【2015高考福建，文19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x 的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,．（1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos )1.5m ( 【答案】(Ⅰ) f()2sin x x ，(kZ).2xk；(Ⅱ)（1）(5,5)；（2）详见解析．【解析】解法一：(1)将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到当1m<5时，+=2(),2();2当5<m<1时, 3+=2(),32();2所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m m (【2015高考山东，文16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）ABC ∆ 23+ 【解析】（I ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【2015高考重庆，文9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C . 【2015高考山东，文3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【2015高考新课标1，文8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π= 【答案】A【考点定位】三角函数图像、辅助角公式2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .【答案】6π 【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．【考点】三角函数图象的交点与已知三角函数值求角． 3. 【2014辽宁高考文第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B【考点定位】函数sin()yA x ωϕ=+的性质.4. 【2014四川高考文第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移12个单位.选A.【考点定位】三角函数图象的变换.5. 【2014全国1高考文第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）POAM【答案】CPOAMD POAM D【考点定位】解直角三角形、三角函数的图象．6. 【2014高考北卷文第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 .【答案】π【解析】由)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且)6()2(ππf f -=知，函数)(x f 的对称中心为)0,3(π，由)32()2(ππf f =知函数)(x f 的对称轴为直线127)322(21πππ=+=x ，设函数)(x f 的最小正周期为T ，所以，6221ππ-≥T ，即32π≥T ，所以43127T =-ππ，解得π=T . 【考点定位】函数)sin()(ϕω+=x A x f 的对称性、周期性， 7. 【2014高考安徽卷文第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.【答案】83π【考点定位】三角函数的平移、三角函数恒等变换与图象性质.8. 【2014浙江高考文第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】Ｄ【解析】sin 3cos3234y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故只需将23y x =向左平移4π个单位．【考点定位】三角函数化简,图像平移.9. 【2014陕西高考文第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】B【解析】由周期公式2T w π=，又2w =,所以函数()cos(2)6f x x π=-的周期22T ππ==，故选B . 【考点定位】三角函数的最小正周期.10. 【2014大纲高考文第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .【答案】(],2-∞．【解析】()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫'=-+=-+=-+∈ ⎪⎝⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【考点定位】三角函数的单调性11. 【2014高考江西文第16题】已知函数()sin()cos(2)f xx a x θθ=+++，其中,(,)22a R ππθ∈∈-（1）当4a πθ==时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；（2）若()0,()12f f ππ==，求,a θ的值.【答案】（1最小值为-1. （2）1.6a πθ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩【考点定位】三角函数性质12. (2014·福建卷)已知函数f(x)＝2cos x(sin x ＋cos x)． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间．【解析】思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f(x)＝2sin xcos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.[]由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得k π－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.13. (2014·北京卷)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0、y 0的值； (2)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．。

高三数学第二轮专题复习 三角函数 班级 姓名1.cos300︒=( )A.312 C .1232.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B 3C ．22D 33.设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是A ．23 B. 43 C . 32D. 3 4.已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=A.5- B .19- C.1955.为了得到函数的图像，只需把函数的图像 A.向左平移个长度单位 B .向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位6.下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 A.sin(2)2y x π=+B.cos(2)2y x π=+C.sin()2y x π=+D.cos()2y x π=+ 7.已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则A. ω=1 ϕ= 6πB. ω=1 ϕ=- 6πC. ω=2 ϕ= 6π D . ω=2 ϕ= -6π8.观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=( )A.()f xB.()f x -C. ()g x D .()g x -9.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A=A .030 B.060 C.0120 D.0150sin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+4π4π2π2π10.函数2()sin(2)4f x x x π=--的最小正周期是__________________ .11.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =,sin cos B B +=则角A 的大小为 .12.已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .13.在ABC ∆中，4π=A ，1010cos =B .（Ⅰ）求C cos ；（Ⅱ）设5=BC ，求CB CA ⋅的值.14.在ABC ∆中，AB =1BC =，3cos 4C =.（1）求sin A 的值； （2）求CA BC ⋅的值.15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =． （1）求b 的值； （2）求sinC 的值．16,已知向量(cos sin ,sin )a x x x =+，(cos sin ,2cos )b x x x =-， 设()f x a b =⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期. （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及最小17.已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈.求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；(II) 函数()f x 的单调增区间.18.已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期. (II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。

二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）若a，b，c成等差数列，求cos B的值；（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在，请说明理由．2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C﹣c sin A＝b．（1）求A；（2）若c＝2，且BC边上的中线长为，求b．3．设函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）最小正周期为2π，且f（x）的图象过坐标原点．（1）求ω、φ的值；（2）在△ABC中，若2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），且三边a、b、c所对的角依次为A、B、C，试求的值．4．已知在△ABC中，sin（A+B）＝1+2sin2．（1）求角C的大小；（2）若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC的外接圆半径为2，求△ABI周长的最大值．5．已知f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x，x∈R．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c cos B+b cos C＝1且f（A）＝0，求△ABC的面积的最大值．6.已知函数的最小值为﹣2，其图象经过点（0，﹣1），且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围，并求出x1+x2的值．7．已知函数21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++--． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3(),32B f b ==，求cos cos a B b C -的取值范围．8．已知函数f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1（0＜φ＜π，ω＞0）的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． （Ⅰ）求函数y ＝f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，π]时，函数g （x ）＝f （x ）﹣b 有两个不同的零点x 1，x 2，求b 的取值范围及x 1+x 2的值．二轮大题专练6—三角函数与解三角形（综合练习二）答案1.解：（1）若a ，b ，c 成等差数列，所以a +c ＝2b ，由于．所以cos B ＝＝，由于，所以．（2）假设B为直角，则sin B＝1，sin C＝cos A，由于，根据正弦定理（sin A+sin C）sin B＝，即sin A+cos A＝，上式两边平方得：，所以（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0，由于0＜sin2A≤1，所以9sin2A+5＞0，4sin2A﹣5＜0，与（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0矛盾，故不存在△ABC满足B为直角．2.解：（1）因为a cos C﹣c sin A＝b，由正弦定理可得sin A cos C﹣sin C sin A＝sin B，因为B＝π﹣A﹣C，所以sin A cos C﹣sin C sin A＝sin A cos C+cos A sin C，可得﹣sin C sin A＝cos A sin C，因为sin C≠0，所以sin A＝﹣cos A，可得tan A＝﹣，又因为A∈（0，π），可得A＝．（2）由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+4+2b，①又在△ABC中，cos B＝＝，设BC的中点为D，在△ABD中，cos B＝＝，可得＝，可得a2+4﹣2b2＝0，②由①②可得b2﹣2b﹣8＝0，解得b＝4．3.解：（1）依题意，得，ω＝1．故f（x）＝sin（x+φ）．因为f（x）的图象过坐标原点，所以f（0）＝0，即sinφ＝0，∵﹣＜φ＜，∴φ＝0．（2）由（1）知f（x）＝sin x，因为2f2（B）+3f2（C）＝2f（A）•f（B）•f（C）+f2（4），所以2sin2B+3sin2C＝2sin A sin B sin C+sin2A，由正弦定理可得：2b2+3c2＝2sin A•bc+a2，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴＝，又，∴sin A﹣cos A＝，且b＝，∴A＝．∴＝＝．4.解：（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，∴sin C＝1+1﹣cos C＝2﹣cos C，即sin C+cos C＝2，∴2sin（C+）＝2．∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．（2）∵△ABC的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，设∠ABI＝θ，则∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，∴△ABI的周长为2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴当θ+＝，即时，△ABI的周长取得最大值，为4+2，故△ABI的周长的最大值为4+2．5.解：（1）f（x）＝cos2x﹣1+sin x cos x＝cos2x﹣+sin2x＝sin（2x+）﹣，令2x+∈[+2kπ，+2kπ]，k∈Z，则x∈[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z．（2）∵f（A）＝sin（2A+）﹣＝0，∴sin（2A+）＝，∵A∈（0，π），∴A＝，∵c cos B+b cos C＝1，∴c•+b•＝1，即a2＝a，∵a≠0，∴a＝1，由正弦定理知，＝＝＝＝，∴b＝sin B，c＝sin C，∴bc＝sin B sin C＝sin B sin（+B）＝sin B（cos B+sin B）＝sin2B﹣cos2B+＝sin（2B﹣）+，∵B∈（0，），∴2B﹣∈（﹣，），sin（2B﹣）∈（，1]，∴bc≤1，∴△ABC的面积S＝bc sin A≤×1×sin＝，故△ABC的面积的最大值为．6.解：（Ⅰ）由题意，得A＝2，．∴T＝π，．∴f（x）＝2sin（2x+φ）．又函数f（x）的图象经过点（0，﹣1），则2sinφ＝﹣1．由，得．∴．（Ⅱ）由题意，关于x的方程f（x）﹣k＝0在上有且仅有两个实数根x1，x2，即函数y＝f（x）与y＝k的图象在上有且仅有两个交点．由（Ⅰ）知．令，则y＝2sin t．∵，∴．则y∈[﹣2，2]．其函数图象如图所示．由图可知，实数k的取值范围为．①当k ∈[1，2）时，t 1，t 2，关于对称，则． 解得．②当时，t 1，t 2关于对称，则． 解得．综上，实数k 的取值范围为，x 1+x 2的值为或．7.解：（1）由题意可得21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++-- 311sin (cos )cos(2)226x x x x π++- 3(1cos2)131sin 2sin 244x x x x -=++ 13sin 22x =+， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==， 令322222k x k ππππ++，k Z ∈，解得344k x k ππππ++，k Z ∈， 故函数()f x 的单调递减区间为[4k ππ+，3]4k ππ+，k Z ∈．（2）由（1）知133()sin 22B f B =+=，解得3sin B =， 因为(0,)2B π∈，所以3B π=， 由正弦定理可知32sin sin sin 3a b c A B C ====，则2sin a A =，2sin c C =， 所以3331cos cos 3cos sin 3cos()sin 3cos()sin cos sin cos sin cos()233226a a B b C C A A A A A A A A A A ππππ-=-=---=++=+-=-=+，在锐角ABC ∆中，可得230,202A C A C πππ+=⎧⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎩可得62A ππ<<， 因此2363A πππ<+<，则1cos()(62A π+∈-，1)2， 故cos cos a B b C -的取值范围为1(2-，1)2． 8.解：（Ⅰ）f （x ）＝4cos ωx sin （ωx +φ）﹣1＝4cos ωx （sin ωx cos φ+cos ωx sin φ）﹣1＝4sin ωx cos ωx cos φ+4cos 2ωx sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2（1+cos2ωx ）sin φ﹣1＝2sin2ωx cos φ+2cos2ωx sin φ+2sin φ﹣1＝2sin （2ωx +φ）+2sin φ﹣1，因为两相邻对称中心之间的距离为，所以函数f （x ）的周期为π，则，所以ω＝1，则f（x）＝2sin（2x+φ）+2sinφ﹣1，又f（x）的图象关于直线对称，所以有φ＝，解得φ＝，因为0＜φ＜π，所以φ＝，故，令，解得，所以函数y＝f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）当x∈[0，π]时，函数g（x）＝f（x）﹣b有两个不同的零点x1，x2，即当x∈[0，π]时，方程＝有两个不同的根x1，x2，令t＝，则t∈，所以方程sin t＝在上有两个不同的根t1，t2，作出函数的图象如图所示，①当，即1＜b＜2时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；②当，即﹣2＜b＜0时，y＝与y＝sin t有两个交点，则t1+t2＝，即，解得；综上可得，当﹣2＜b＜0时，；当1＜b＜2时，．。

高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)一、基础知识回顾三角函数是高中数学中的重要内容之一。

在这个专题中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、性质以及相互之间的关系。

1. 三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三角函数的概念。

对于一个角A，定义了三个比值：正弦函数sinA=对边/斜边，余弦函数cosA=邻边/斜边，正切函数tanA=对边/邻边。

2. 三角函数的周期性我们知道，三角函数具有周期性。

例如，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。

这意味着在一个周期内，三角函数的值是重复的。

这种周期性使得三角函数在实际问题中具有广泛的应用。

3. 三角函数的性质三角函数有许多重要的性质。

例如，正弦函数和余弦函数是偶函数，即f(x)=f(-x)；正切函数是奇函数，即f(x)=-f(-x)。

此外，三角函数还具有增减性和界值性质。

二、三角函数的图像与性质下面我们将进一步讨论三角函数的图像与性质。

通过对三角函数图像的分析，我们能够更好地理解三角函数的特点和性质。

1. 正弦函数的图像与性质正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振动范围在[-1,1]之间。

正弦函数的图像关于y轴对称，且在0点处取得最小值。

我们可以通过调整系数来改变正弦函数的振幅和周期。

2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振动范围也在[-1,1]之间。

与正弦函数不同的是，余弦函数的图像关于x轴对称，且在0点处取得最大值。

同样地，我们可以通过系数调整来改变余弦函数的振幅和周期。

3. 正切函数的图像与性质正切函数的图像是一条连续的曲线，其值在整个实数轴上变化。

正切函数在某些点上没有定义，这些点是函数的奇点。

我们可以通过系数调整来改变正切函数的振幅和周期。

三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用。

在这一部分，我们将介绍一些常见的三角函数应用，并通过例题来加深理解。

人教版高中数学 教案+学案 综合汇编第4章 三角函数第13教时教材：诱导公式(3)——综合练习目的：通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。

过程：一、复习：诱导公式三、例一、（《教学与测试》 例一）计算：sin315︒-sin(-480︒)+cos(-330︒) 解：原式 = sin(360︒-45︒) + sin(360︒+120︒) + cos(-360︒+30︒) = -sin45︒ + sin60︒ + cos30︒ =223- 小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1︒用“- α”公式化为正角的三角函数2︒用“2k π + α”公式化为[0，2π]角的三角函数3︒用“π±α”或“2π - α”公式化为锐角的三角函数例二、已知的值。

，求)65cos(33)6cos(α-π=α+π（《教学与测试》例三） 解： 33)6cos()]65(cos[)65cos(-=α+π-=α-π-π-=α-π 小结：此类角变换应熟悉例三、求证：Z k k k k k ∈-=α+π+α+π+α+πα-π,1])1cos[(])1sin[()cos()cos( 证：若k 是偶数，即k = 2 n (n ∈Z) 则：1)c o s (s i n c o s s i n )](2cos[)](2sin[)2cos()2cos(-=α-α-αα-=α+π+πα+π+πα+πα-π=n n n n 左边 若k 是奇数，即k = 2 n + 1 (n ∈Z) 则：1cos sin )cos (sin )])1(2cos[)])1(2sin[)](2cos[)](2cos[-=ααα-α=α+π+α+π+α+π+πα-π+π=n n n n 左边 ∴原式成立小结：注意讨论例四、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求)sin()23sin(2)2cos(5)sin(α--α-πα-π+α-π的值。

三角函数与解三角形1．三角函数（1)以正弦函数、余弦函数、正切函数为载体，考查函数的定义域、最值、单调性、对称性、周期性．（2）考查三角函数式的化简，三角函数的图象的性质以及平移和伸缩变换． 2．解三角形（1)利用正余弦定理进行三角形边和角的计算，三角形形状的判断、面积的计算，以及有关的参数的范围．（2）考查运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．一、三角函数 1．公式（1）诱导公式：(2）同角三角函数关系式：22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα=（3）两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（4)二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan ααα=- （5)降幂公式：21cos2sin2αα-=，21cos2cos2αα+=2．三角函数性质3．函数y=A sin(ωx+φ)的图象及变换（1）φ对函数y=sin(x+φ)的图象的影响（2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图象的影响（3）A(A>0)对y=A sin(ωx+φ)的图象的影响4．函数y =A sin(ωx +φ)的性质（1）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)中参数的物理意义(2）函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的有关性质二、解三角形 1．正余弦定理（为外接圆半径）； ；，，；，，；；;；2．利用正弦、余弦定理解三角形（1)已知两角一边,用正弦定理，只有一解．（2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况．在ABC△中,已知，和角A时，解得情况如下：上表中A为锐角时，，无解．A为钝角或直角时，，均无解．（3）已知三边,用余弦定理，有解时，只有一解．(4）已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解．3．三角形中常用的面积公式（1）（表示边上的高)；(2）；（3）(为三角形的内切圆半径）．4．解三角形应用题的一般步骤一、选择题．1．若1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（)A ．79-B ．23C ．23-D ．79【答案】A【解析】1sin cos cos 32363ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 2217cos 2cos 22cos 12136639πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A ．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想， 属于基础题．2．函数()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为（）A．1BC． D ．3【答案】B【解析】因为()2sin cos 24f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()2sin sin 22sin 2sin cos 44444f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令4x πθ=+，则()2sin 2sin cos 2sin sin 2f θθθθθθ=+=+,则()()222cos 2cos 222cos 12cos 4cos 2cos 2f θθθθθθθ'=+=-+=+-，令f ′(θ)=0,得cos 1θ=-或1cos 2θ=,经典训练题（70分钟）当11cos 2θ-<<时，f ′(θ)<0；1cos 12θ<<时，f ′(θ)>0，所以当1cos 2θ=时，f (θ)取得最大值,此时sin 2θ=，所以()max2f x =，故选B ．【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值． 3．已知锐角ϕ满足cos 1ϕϕ-=．若要得到函数()()21sin 2f x x ϕ=-+的图象,则可以将函数1sin 22y x =的图象（） A ．向左平移7π12个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移7π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【答案】A 【解析】由cos 1ϕϕ-=,知2sin()16πϕ-=，即1sin()62πϕ-=， ∴锐角3πϕ=，故()()221112sin sin cos(2)22323f x x x x ππϕ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，又12117cos(2)sin(2)sin(2)232626x x x πππ+=-+=+, ∴()17sin(2)26f x x π=+，故f(x)是将1sin 22y x =向左平移7π12个单位长度得到，故选A ．【点评】由辅助角公式化简已知条件求锐角ϕ，根据f(x)的函数式，应用二倍角、诱导公式将f(x)化为正弦型函数，即可判断图象的平移方式．4．已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)，(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，f (x )的图象过,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将f (x )的图象向左平移712π个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()A ．−√2B ．√2C ．−√3D ．−1【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴T =2π,则1ω=, ∴f (x )=2sin (x +φ)，将点,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-,则()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 将f (x )的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x xπππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴g (x )在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为32cos 4π=,故选A ．【点评】本题主要考查三角函数图象，需要利用三角函数的周期性以及对称性进行处理,再结合图象的平移,三角函数的单调性进行解题,本题属于中档题．5．已知函数f (x )=sin ωx −√3cos ωx （0ω>，x ∈R ）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的命题中正确的是（） A ．函数g (x )是奇函数B ．g (x )的图象关于直线6x π=对称C ．g (x )在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．当,66ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数g (x )的值域是[0,2］ 【答案】B【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭，由题意知函数周期为π，则2T ππω==，2ω=，从而()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移3π个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数()2sin π3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，g (x )不是奇函数，A 错；g (x )在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是单调递增，C 错;,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数g (x )的值域是[1，2］,D 错；g (x )的图象关于直线π6x =对称，B 对，只有选项B 正确，故选B ．【点评】本题考查三角函数,图象的变换，以及图象的性质，属于中档题．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ,b ,c ,若3A π=，b =4，△ABC的面积为3√3,则sin B =（）A BC ．13D 【答案】A【解析】1sin 2S bc A ===c =3，由余弦定理可得2222cos 13ab c bc A =+-=,得a =√13，又由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以sin sin 13b A B a ==,故选A ．【点评】本题主要考了三角形的面积公式以及余弦定理公式的运用，属于基础题型．7．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sin cos sin CA B<，则ΔABC 的形状为（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 【答案】A【解析】因为在三角形中,sin cos sin CA B<变形为sin sin cos C B A <， 由内角和定理可得sin()cos sin A B A B +<，化简可得sin cos 0A B <，cos 0B ∴<，所以2B π>,所以三角形为钝角三角形，故选A ．【点评】本题考查了解三角形，主要是公式的变形是解题的关键，属于较为基础题．二、填空题．8．已知(0,π)α∈，且有1−2sin 2α=cos 2α，则cos α=_________．【答案】5【解析】2212sin 2cos 214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=，因为(0,π)α∈，所以sin 0α≠， 因此由2πsin 2sin cos sin 2cos tan 20,2ααααααα⎛⎫=⇒=⇒=⇒∈ ⎪⎝⎭，而()22sincos 11αα+=，把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=2π0,α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此cos 5α=，故答案为5．【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．9．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴,终边经过点P (3，4)，则tan π2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________．【答案】34-【解析】由三角函数的定义可得4sin 5α==，3cos 5α==,因此,3sin cos 325tan 42sin 4cos 52παπααπαα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+====- ⎪-⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭， 故答案为34-．【点评】本题考查任意角的三角函数的应用，诱导公式的应用，是基本知识的考查．三、解答题．10．已知函数2()cos 222x x xf x =+．(1)求函数f(x)在区间[0，π]上的值域；（2）若方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解，求ω的取值范围． 【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦；（2)5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】（1）()2πcos 2sin()2224x x x f x x x x =+-=+=+，令4U x π=+，[]0,x π∈，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，由y =sin U 的图象知,sin U ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即sin 4πx ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 2π4x ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭,所以函数f(x)的值域为2⎡⎤⎣⎦．(2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>, ∵f(ωx)=√3，2sin()4x πω∴+=,即sin()42x πω+=，∵x ∈[0，π]，,444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，且()243x k k ππωπ+=+∈Z 或()2243x k k ππωπ+=+∈Z ， 由于方程f(ωx)=√3(ω>0)在区间[0，π]上至少有两个不同的解,所以243ππωπ+≥，解得512ω≥， 所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点评】考查三角函数的值域时，常用的方法:（1）将函数化简整理为f(x)=A sin (ωx +φ),再利用三角函数性质求值域；（2)利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值．11．已知函数()2sin 2cos 232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数f (x )在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2)若0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1123f πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求cos 26πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1)递增区间为,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)3-．【解析】（1）由题意得()21sin 2cos 2cos 2sin 2sin 23222f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]20,23x ππ+∈， 令0232x ππ≤+≤，解得,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 令32232x πππ≤+≤，解得7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；令32223x πππ≤+≤，得75,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 所以函数f (x )在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，75,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(2）由（1）知1sin 21263f ππββ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为2π0,β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7π2,66ππ6β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 又因为1π1sin 2632β⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以2,π62ππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2π6β⎛⎫+== ⎪⎝⎭．【点评】三角函数的化简求值的规律总结:1．给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系,利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题； 2．给值求值:即给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系； 3．给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）． 12．在四边形ABCD 中,AB //CD ，AD =CD =BD =1． （1）若32AB =，求BC ；(2）若AB =2BC ，求cos BDC ∠．【答案】（1）2BC =；（2）cos 1BDC ∠=．【解析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可得2223cos 24AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅，∵CD //AB，∴∠BDC =∠ABD ，在△BCD 中,由余弦定理可得22212cos 2BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=,2BC =．（2)设BC =x ，则AB =2x ，在△ABD 中，22224cos 24AB BD AD x ABD x AB BD x +-∠===⋅， 在△BCD 中,22222cos 22BD CD BC x BDC BD CD +--∠==⋅，由（1）可知,∠BDC =∠ABD ，所以，cos ∠BDC =cos ∠ABD ,即222x x -=，整理可得x2+2x −2=0,因为x >0，解得x =√3−1， 因此，cos cos 1BDC ABD x ∠=∠==．【点评】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角"或“角化边",变换原则如下:（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角"； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4）代数式变形或者三角恒等变换前置；(5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解;（6)同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2b −c )cos A =acosC．(1）求角A ；（2)若a =√13，b +c =5，求△ABC 的面积． 【答案】（1）π3A =；（2）√3．【解析】（1）在三角形ABC 中，∵(2b −c )cos A =acos C , 由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+=, 三角形中sin 0B ≠，解得1cos 2A =，A ∈(0，π)，∴π3A =．（2）由余弦定理得2222cos ab c bc A =+-，∵a =√13，b +c =5，∴13=(b +c )2−3cb =52−3bc，化为bc =4，所以三角形ABC 的面积11sin 4222S bc A ==⨯⨯=【点评】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用,涉及三角函数恒等变换，属基础题．熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用．14．已知△ABC 的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin (A +B −C )=c sin (B +C )．（1)求角C 的大小；（2）若2a +b =8，且△ABC 的面积为2√3，求△ABC 的周长．【答案】（1）π3C =；(2)6+2√3．【解析】（1）∵a sin(A +B −C)=c sin(B +C)，sin sin(π2)sin sin A C C A ∴-=，2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=， sin sin 0A C ≠,1cos 2C ∴=，0πC <<,π3C ∴=． (2）由题意可得12=∴ab =8，∵2a +b =8联立可得，a =2，b =4，由余弦定理可得c2=12，c =2√3，此时周长为6+2√3．【点评】本题主要考查了三角形的内角及诱导公式在三角形化简中的应用,还考查了三角形的面积公式及余弦定理,属于基础题．15．在△ABC 中，内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2c sin B =3a sin C ，1cos 3C =． （1）求证：△ABC 为等腰三角形;(2）若△ABC 面积为2√2，D 为AB 中点，求线段CD 的长． 【答案】（1）证明见解析;（2）．【解析】(1）由2c sin B =3a sin C ,根据正弦定理可得2cb =3ac ，所以2b =3a ,则32b a =， 又1cos 3C =，根据余弦定理可得222222222913144cos 332322a a c a c abc C ab a a a +--+-====⋅，则222134aa c =-,所以32c a b ==, 因此△ABC 为等腰三角形．（2）因为角C是三角形内角，所以sin C>0，则sin C==因为△ABC面积为2√2，所以113sin222ab C a a==⋅a=2，所以b=c=3，又D为AB中点，所以cos cosADC BDC∠=-∠，则222222333222332222CD CDCD CD⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯，整理得2174CD=,所以CD=．【点评】本题主要考查正余弦定理、三角形的面积公式的综合运用,利用正弦定理进行边角转换等，属于中档题型．16．△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b,c．已知sin cos2Aa C c=．（1)求A；（2)已知b=1，c=3，且边BC上有一点D满足3ABD ADCS S=△△，求AD．【答案】（1）π3A=；(2）4AD=．【解析】（1）因为sin cos2Aa C c=，由正弦定理得sin sin sin cos2AA C C=，因为sin C≠0，所以sin cos2AA=，所以2sin cos cos222A A A=,因为0π22A<<，所以cos02A≠，所以1sin22A=，即π26A=，所以π3A=．(2)设△ABD的AB边上的高为ℎ1，△ADC的AC边上的高为ℎ2,因为3ABD ADCS S=△△，c=3，b=1，所以1211322c h b h⋅=⨯⋅,所以ℎ1=ℎ2，AD 是△ABC 角A 的内角平分线，所以π6BAD ∠=，因为S△ABD=3S △ADC,可知34ABDABC SS =△△， 所以131sin sin 26423ππAB AD AB AC ⨯⨯=⨯⨯⨯，所以4AD =．【点评】关键点点睛:本题考查了正弦定理的边角互化、三角形的面积公式，解题的关键是确定AD 是△ABC 角A 的内角平分线，考查了运算能力．一、选择题．1．已知函数()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x )的图象，则g (x )的解析式为(）A ．221124x y +=B ．πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 4π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移π12个单位得2sin 22sin 21πππ263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到()2in 4πs 3y g x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,高频易错题故选C ．【点评】在三角函数平移变换中，y =sin ωx 向左平移ϕ个单位得到的函数解析式为y =sin [ω(x +φ)]=sin (ωx +ωφ)，而不是y =sin (ωx +ϕ),考查运算求解能力，是基础题．二、填空题．2．设锐角三角形ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =2，B =2A ，则b 的取值范围为___________． 【答案】(2√2，2√3)【解析】由sin2sin b aA A=，得b =4cos A ,由0290045A A ︒<<︒⇒︒<<︒, 01803903060A A ︒<︒-<︒⇒︒<<︒，故3045cos 2A A ︒<<︒⇒<<,cos A <<b =4cos A ∈(2√2，2√3)．【点评】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．一、选择题．1．如图,角α，β的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(）A ．cos(α−β)B ．cos(α+β)C ．sin(α−β)D ．sin(α+β)精准预测题【答案】A【解析】由图可知()cos ,sin A αα,()cos ,sin B ββ， 所以cos cos sin sin cos()OA OB αβαβαβ⋅=+=-,故选A ．【点评】本题考查运用向量进行余弦定理的证明，属于基础题型．2．已知()cos 2c 2πos παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则tan π4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（)A ．4-B ．4C ．13-D ．13【答案】C【解析】因为()cos 2c 2πos παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,利用诱导公式可得()sin 2cos αα-=⨯-，即tan 2α=，所以tantan 1214tan 41231tan 4πta πn πααα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+⋅,故选C ．【点评】本题主要考查诱导公式，正切的两角和差公式的应用，属于基础题．二、解答题． 3．已知函数()22cos 12xf x x =-+． （1）若()π6f αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求tan α的值；（2)若函数f(x)图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12倍得函数g(x)的图象，求函数g(x)在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦得的值域．【答案】(1）；（2）[−1，2]．【解析】（1）()22cos 1cos π2sin 26x f x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，因为()π6f αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以πsin 6αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1cos 22ααα-=，所以−3√3sin α=cos α,所以tan 9α=-．(2)f(x)图象上所有点横坐标变为原来的12倍得到函数g(x)的图象,所以g(x)的解析式为()()π22sin 26g x f x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以−1≤g(x)≤2，故g(x)在0,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[−1，2]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，函数y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域,属于中档题． 4．设函数()212coscos 5f x x x x =--．（1)求f(x)的最小正周期和值域;（2）在锐角△ABC 中，角A ､B ､C 的对边长分别为a ､b ､c ．若f(A)=−5，a =√3,求△ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π,[−4√3+1，4√3+1](2）(3+√3，3√3]． 【解析】（1）()2212coscos 512cos 25f x x x x x x =--=--6cos 221π216x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭，πT ∴=，值域为[−4√3+1，4√3+1]．（2）由f(A)=−5，可得212coscos A A A=，因为三角形为锐角△ABC ，sin A A=，即tan A =π3A =，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin b B =，2π2sin 2sin()3c C B ==-，所以2π12sin sin()2(sin sin )322a b c B B B B B ⎡⎤++=+-=++⎢⎥⎣⎦32(sin cos ))22π6B B B =++=++．因为△ABC 为锐角三角形，所以π02B <<,π02C <<， 即022π3π02πB B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得π6π2B <<， 所以ππ2π363B <+<sin()16πB <+≤，即3)6πB ++≤，所以周长的取值范围为区间(3+√3，3√3]．【点评】在解三角形的周长范围时,将a +b +c 转化为含一个角的三角函数问题，利用三角函数的值域, 求周长的取值范围，是常用解法．。