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一次函数与反比例函数图象相交的一个结论及应用当一次函数与反比例函数的图象相交时(如图1)，学生通过各种方法的探究与演练，可熟练地计算AOB S ∆.接下来，我们继续观察图象，不难发现，只要一次函数与反比例函数的图象有交点，无论这条直线怎么变化，AOC ∆和BOD ∆的面积大小看似相当，分不出大小.那么，AOC S ∆和BOD S ∆是否相等呢?一、探求结论我们要证明AOC BOD S S ∆∆=，只需证明AC BD =即可.如图2，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，AH x ⊥轴于点H .过点B 作BG y ⊥轴于点G ，交AH 于点I ，BF x ⊥轴于点F ，连结,,AG BH GH .由反比例系数的几何意义，可知AHOEBGOF S S =矩形矩形， ∴AIGE BIHF S S =矩形矩形，∴AIG BIH S S ∆∆=，∴AHG BGH S S ∆∆=.又AHG ∆和BGH ∆同底GH ，∴//GH AB .∵//,//BH DH AH CG∴四边形ACGH 和四边形BGHD 均为平行四边形，∴AC GH BD ==.通过以上探究，我们得到以下结论:设直线l 与抛物线c 相交于,A B 两点，与x 轴和y 轴分别交于点D 和C (如图2)，则AC BD =.二、应用举例例1 (2019年长沙中考题)如图3，函数k y x=( k 为常数，0k >)的图象与过原点O 的直线相交于,A B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点(点M 在点A 的左侧)，直线AM分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，连结BM 分别交x 轴，y 轴于点,E F .现有以下四个结论:①ODM ∆与OCA ∆的面积相等;②若BM AM ⊥于点M ，则30MBA ∠=︒;③若M 点的横坐标为1，OAM ∆为等边三角形，则2k =+④若25MF MB =，则2MD MA =. 其中正确的结论的序号是 .(只填序号)本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及平行线分线段成比例定理等知识.其中，序号①在本题中相对较难判断，但利用本文所得结论，问题就迎刃而解了.例 2 如图4，反比例函数k y x=( 0k >)与矩形OABC 相交于D ,D G 两点，则AD CG BD BG=. 证明 连结DG 交x 轴，y 轴于,E F 两点.∵//,//AB OE OA BC ，∴FADGBD GCE ∆∆∆， ∴AD FD BD GD =，CG GE BG GD=，又∵FD GE=，∴AD CG BD BG=.可见，利用本文得到的结论，我们可有效地解决反比例函数与一元函数或矩形相交的有关问题.。
一次函数之间的交点；如函数y=kx+b ，y=ax+c 图像有一个交点说明这两个函数存在相同的x ，y 的值，则这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标。
因为这个相同的x ，y 的值即为函数y=kx+b ，y=ax+c 图像的交点坐标所以可通过解方程来解决即：kx+b=ax+c解得x 的值，再代入可求得y 的值即为交点坐标。
当然也可以通过在直角坐标系中画出一次函数的图像直接从图像上看到，不过这种方法要求作图精确。
一般情况下，作图法只用作帮我们寻找解题的思路。
真正要接出精确的答案还是要通过代数运算。
一次函数与反比例函数的交点；函数y=ax+b,y=xk 图像有一个交点 说明这两个函数存在相同的x,y 的值，则这个相同的x,y 的值即为函数y=ax+b, y=x k 的图像的交点坐标。
即ax+b=xk ,此式可化解为ax 2+bx-k=0 如果次一元二次方程的△＞0则表示一次函数和反比例函数有两个交点；△ ＜0则表示一次函数和反比例函数没有交点；△ =0则表示一次函数和反比例函数有一个交点。
具体情况可有下图表示：例1：已知一次函数y=kx+k 的图象与反比例函数y=x2的图象在第一象限交于B （4，n ） ，求n ，k 的值。
变式练习1；若反比例函数的图象经过点（1，3）（1） 求该反比例函数的解析式； （2）求一次函数y=2x+1与该反比例函数的图象的交点坐标。
例2已知一次函数y=﹣x+4与反比例函数x k ，当k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个公共点？变式练习：一次函数y=-x+3与反比例函数y=x1 有两个公共交点A 和B 。
求： （1） 点A 和点B 的坐标 （2） △ABO 的面积例题3一次函数y=kx+b 与反比例函数y=x m 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A （2，3）。
求这两个函数的表达式。
变式练习：一次函数y=-2x+3与反比例函数y=xm 在同一个坐标系内只有唯一的一个交点A 。
反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点．反比例函数的性质（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．比例系数k的几何意义在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变．反比例函数y=xk（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中有0个交点．（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
