§1.5质点运动微分方程a m F = ),,(t rr F F = ⇒质点动力学内容⎩⎨⎧）已知力求运动规律（）已知运动规律求力（21 或二者兼而有之1、自由质点运动微分方程自由质点 不受任何约束 三个自由度 三个独立变量 由r m F= 得⎪⎩⎪⎨⎧===),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(t z y xz y x F z m t z y x z y x F y m t z y x z y x F x m z y x（※） （※）是二阶微分方程组，给出所有可能的运动，经两次积分，存在六个积分常数，满足（※）式的解有若干个；任何质点的实际运动，在任意时刻都有确定的位置和速度，通过0=t 时的000000,,;,,z y x z y x 确定积分常数，定出唯一解（满足初始条件），给出特定条件下的运动规律。
直线运动 ),,(t x x F xm = 平面运动 ⎩⎨⎧==),,;,(),,;,(t y x y x F y m t y x y x F x m y x ⎩⎨⎧=+=-),,;,()2(),,;,()(2t r r F rr m t rr F r r m r θθθθθθθθ2、非自由质点的运动微分方程（1）约束 质点运动所受的限制 受约束质点为非自由质点约束的数学表达式⇒约束方程 ，如0),,,(=t z y x f ；质点受到约束后自由度减少一般一个约束减少一个自由度；约束的数学意义是几何曲线或曲面，物理意义为约束反作用力；约束⇒约束反作用力 非自由质点⇒自由质点约束反作用力为未知量，不完全由约束而定，与质点所受的其它力和运动状态有关 例如 曲面约束⎩⎪⎨⎧+=+=+=z z y y x x R t z y x z y x F z m R t z y x z y x F y m R t z y x z y x F x m ),,,;,,(),,,;,,(),,,;,,(0),,,(=t z y x f （约束方程） 两个自由度 四个方程（2）内禀方程约束力处于法向平面内（,29p 图1.5.1），这时0=b a ，（)n b⨯=τa 在密切平面内 选用自然坐标系 对理性约束 0=τR ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+==)3(0)2()1(2b b n n R F R F vm F dt dv m ρτ注意：在理想约束情况下，运动规律和约束反作用力可以分开求！由（1）式求出运动规律 （),,,z y x v ⇒将v 代入（2）式，利用232)1(1y y '+''=ρnR ⇒；由（3）b R ⇒ 运动规律和约束反作用力全部求出！ 〖以平面约束为例证明232)1(1y y '+''=ρ)(x f y = dxy dydxds 2221'+=+=αtg y =' dxy y d '''+=232)1(1α ∴232)1(1y y '+''=ρ〗对非理想约束，即有摩擦存在时，切向方程中增加R f μ=一项，这时运动规律和约束反作用力不能分开求了！ 3、运动微分方程的解理论力学中，常见变力，)t ,r,r (F形式复杂；求解二阶微分方程组，则 （1）隔离物体，具体分析（受力，已知，未知）；（2）选取坐标系，建立微分方程组（力学问题⇒数学问题）； （3）根据初始条件求解方程组； （4）分析结果，阐明物理意义。
