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第4章 机械振动基础4-1 图示两个弹簧的刚性系数分别为k 1 = 5 kN/m ，k 2 = 3 kN/m 。
物块重量m = 4 kg 。
求物体自由振动的周期。
解：根据单自由度系统自由振动的固有频率公式 mk =n ω 解出周期 nπ2ω=T图（a ）为两弹簧串联，其等效刚度 2121eq k k k k k +=所以 )(2121n k k m k k +=ω2121n)(π2π2k k k k m T +==ω代入数据得s 290.0300050003000)4(5000π2=⨯+=T图（b ）为两弹簧串联（情况同a ） 所以 T = 0.290 s图（c ）为两弹簧并联。
等效刚度 k eq = k 1 + k 2 所以 mk k 21n +=ω21nπ2π2k k mT +==ω代入数据得 T = 0.140 s图（d ）为两弹簧并联（情况实质上同（c ））。
所以 T = 0.140 s4-3 如图所示，质量m = 200 kg 的重物在吊索上以等速度v = 5 m/s 下降。
当下降时，由于吊索嵌入滑轮的夹子内，吊索的上端突然被夹住，吊索的刚度系数k = 400 kN/m 。
如不计吊索的重量，求此后重物振动时吊索中的最大张力。
解：依题意，吊索夹住后，重物作单自由度自由振动，设振幅为A ，刚夹住时，吊索处于平衡位置，以平衡位置为零势能点，当重物达到最低点时其速度v = 0。
根据机械能守恒，系统在平衡位置的动能与最低点的势能相等。
即 T max = V max 其中 2max 2v m T = ， 2max 21kA V =v km A =吊索中的最大张力 mk v mg kA mg F +=+=max 代入数据得 kN 7.461040020058.92003max =⋅⋅+⋅=F4-5 质量为m 的小车在斜面上自高度h 处滑下，而与缓冲器相碰，如图所示。
缓冲弹簧的刚性系数为k ，斜面倾角为θ。
习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为 ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω =2C C m J ρ=故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ①若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。
