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流体力学第6章流体运动微分方程

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流体力学-N-S方程

流体力学-N-S方程
dvx v x v x v x v x 1 p 2 vx vx vy vz x dt t x y z dvy v y v y v y v y 1 p 2 Y vy vx vy vz y dt t x y z 1 p 2 dvz v z v z v z v z Z vz vx vy vz z dt t x y z X
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。

《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动

《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动

3) y = 0 将 y=0 代入
驻点：
把驻点坐标代入流函数y：
过驻点流函数值：y = 0
物体轮廓线方程为：
求物体半宽b/2： 把 x=0 代入物体轮廓线方程：
y：物体半宽b/2
已知流函数 -> 速度场，压强场 在物体前部：附面层很薄 粘性影响大的流动区域：很薄 计算结果：与实验较符合
在物体后部：附面层增厚 形成：尾部旋涡 无粘流势流理论：不再适用
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
一般称零流线
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
每一流动都满足拉普拉斯方程：
什么条件？ 无旋条件 二维不可压连续方程：
不可压平面有势流动的流函数方程
不可压连续方程和无旋条件 －> 流函数方程 流函数方程－拉普拉斯方程：仅适用于不可压平面有势流 动
不可压平面有旋流动或可压缩平面有势流动： 不存在流函数方程
三、边界条件： 流体：从无穷远流向某物体 条件：不分离 物面法向流体速度：0，即物面是一条流线
都存在流函数
只有无Байду номын сангаас流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍

理想流体的运动微分方程

理想流体的运动微分方程
u y y
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z

du z dz

u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1


1 v1
2g
2
z2
p2


2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U

1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2

p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1

p1
u1
2
2
gz2
1

p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。

工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4

工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
② μ和ρ随温度变化不大时，温度对流场(速度和压力)的影响很小，这
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )

流体力学第六讲

流体力学第六讲

八、流量 ： 单位时间内流过某一过流断面的流 体体积。
q
dq = v dA
m3/s
l/min
—— 微小流束过流断面的流量。
q = A v dA —— 流束过流断面的流量。
九、断面平均流速 ：假想的过流断面上各点处
q v A
都相等的流速。
§3-3 连续方程式（一元流动）
物理本质：控制体中流体质量的增量，必然等于
2
2
物理意义：重力作用下，理想不可压缩流体作定
常流动时，各点处不同性质的流体能量之间可以
相互转换，但在流线任意点处总的机械能守恒。
二、理想流体总流（流束）的伯努利方程
总流 —— 流体通过有限过流断面的流动。
表达了两个过流断面处流体能量的关系，但 要以过流断面上的平均值表示。 1、动能项
以断面平均流速将动能表示为：
p1 1v1 p2 1v2 所以： z1 z2 hf g 2g g 2g
2 2
式中： hf —— 单位重力流体沿总流从1 断面流 到 2 断面，为克服粘性摩擦力而消耗的机械能， 称为能量损失或水头损失。
应用伯努利方程解决工程实际应用问题时应注意 以下几点： 1、适用条件：不可压缩流体、定常流动、质量 力只有重力作用。
考虑粘性后与“理想”的区别： • hf 项 • 过流断面上流速分布不均匀, 用 要用 修正.
v
求动能时,
（4）伯努利方程的两种形式 • 沿流线的伯努利方程 用于求流线上某点 的 v、p 或 z ； • 沿总流的伯努利方程 用于求过流断面上 的平均流速 v，及某点的压强 p 或位置高度 z 。
（5）方程中的压强 p 可以是绝对压强或相对压强。 （6）缓变流动 流线平行或曲率半径很大处 的流动。 p 特点：沿流线法向，位置水头 z 与压强水头 g 之和是一个常数。 p z 两个过流断面须取在缓变流处，此时， g 可在断面上任意一点处取值。 对于管流则常在管轴线上取值。

流体力学第6章(7-11节)

流体力学第6章(7-11节)

K 1 K 2 2 n dA
A
例
试证明均匀流的速度环量等于零。
证明： 流体以等速度v∞水平方向流动，首先求沿 矩形封闭曲线的速度环量
12341 12 23 34 41 bv 0 bv 0 0
其次求圆周线的速度环量
K
2 0
v ABx v 1 ( v x v x x dx) 2 x
v BCy
v y v y v y 1 (vy dy v y dx dy ) 2 y x y
1 v v v ( v x x dx x dy v x x dy ) 2 x y y
stokes
1、汤姆逊（Thomson）定理
正压的理想流体在有势质量力的作用下沿任
何封闭流体线的速度环量不随时间变化，
即 d 0 。
dt
证明：
v d s ( v x dx v y dy v z dz )
d d ( v x dx v y dy v z dz ) dt dt
d ( x' )dx'
微段dx’上的涡通量dΓ 对P点的诱导速度为：
sind ( x' )dx' sin dv x 2r0 2r0 ( x' ) ydx' 2 ( x x' ) 2 y 2
在整个涡层AB上积分可得点P的诱导速度为：
1 vx 2


B
( x' )ydx'
( x x' ) y
2
B A
A
2
1 vy 2

( x' )(x x' )dx'

第1学期大气科学专业流体力学第6章旋转流体动力学

该算子是联系惯性坐标系与旋转坐标系的普遍关系。
8
9
牛顿第二定理是建立在惯性坐标系的基础上的，即：
daVa
Fi
dt
i
以下分析得出适用于描述旋转流体的运动方程。
10
da A dA A dt dt
Va V r
daVa dt
dVa dt
Va
daVa
d
V r
V r
dt
dt
daVa dV 2V ( r ) dt dt
第六章 旋转流体动力学
前面讨论的流体运动，是在惯性坐标系下进行的， 并没有考虑地球的旋转效应。
地球自身以一定速度自转，而地球的旋转效应， 将会对地球大气、海洋等流体的运动产生很显著的影 响。
大多数的地球物理流体力学所关心的问题均属于 旋转流体动力学问题。
1
低压 高压
2
低压 高压
3
本章将主要介绍考虑旋转效应下的流体运动。 主要内容
根据矢量运算法则
(a b) (b • )a (a • )b a( • b) b( • a)
(k V ) (V • )k (k • )V k( •V ) V ( • k)
31
(k V ) (V • )k (k • )V k( •V ) V ( • k)
①
②
由于是 k 常矢量，
)V
1 R0
1 p
1 Fr
g
Ek2V 2k
V
21
特征罗斯贝数
R0
特征惯性力 特征偏向力
U2 /L U
U
/
L
是衡量旋转效应的一个重要量。
22
R0 U / L
由Rossby数的定义可知：

流体力学中的三大基本方程


dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。

流体力学中三大基本方程


（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：

《工程流体力学》 第六章 管内流动及水力计算


r02
4
d dl
(p
gh)
l
vl max
vl
r0
ro2
4
d dl
(p
gh)
粘性流体在圆管中作层
所以，vl
2020/6/11
ro2 r 2
4
d dl
( p gh)
流流动时，流速的分布为
一旋转抛物面。
12
《工程流体力学》 第六章 管内流动和水力计算
§6.4 圆管中的层流流动
三、平均速度和流量
qV
0
0
H
h1 9m；h2 0.7m； hw 13m 求： H
2 h1
h2
2
解 ： 由 伯努 利方 程（ 地面 为0位 势）
（H
h1
)
pa
g
0
h2
pa
g
2
22
2g
hw
紊流流动: 1.0
得H
2 2
2g
hw
h2
h1
42 2 9.806
13 0.7 9
5.52
(m)
2020/6/11
4
《工程流体力学》 第六章 管内流动和水力计算
持前种情况下的流速不变，流动又为何状态？
解：（1） v
qV A
4qV d 2
4 0.01 1.27m / 0.12
s
Re vd 1.27 0.1 1.27 105 2000
1106
所以水为紊流状态。
（2）
Re
vd
1.27 0.1
1.14 104
1114
2000
2020/6/11
μt —流 体 的 脉 动 粘 度 ；
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vx
( vx
x
)
dx
ρvz
x
y
5
则输出与输入之差为：
( (vx ) (vy ) (vz ) )dxdydz
x
y
z
微元体内质量变化率为：
dxdydz
t
6
根据质量守恒原理有：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
x
y
z t
或
( v)
0
t
该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于
未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、
28
1.初始条件
对非定常流动，要求给定变量初始时刻t=t0 的空间分布
vx vx0 (x, y, z)
vy vz
v v
y0 z0
( x, ( x,
y, y,
z)
z)
p p0 (x, y, z)
牛顿和非牛顿流体。 7
( v)
0
t
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
8
在直角坐标系中可表示为
vx vy vz 0 x y z
(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动
)
得
Dvz Dt
fz
1
p z
(
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
)
Dv
v
(v) v
Dt t
——不可压缩粘性流体的运动微分方程，也
叫Navier-Stokes方程，简称N-S方程。
21
N-S方程
理想流体 欧拉运动 微分方程
欧拉平衡 微分方程
24
N-S方程的矢量形式为
v
( v )
v
f
1
p
27
6.3基本微分方程组的定解条件
N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将 N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理 论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般 而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再 结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件 和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流 动问题的特解。
vz=2y。
答案：
vz
z2 2
zx
2y
15
6.2不可压缩粘性流体运动微分方程 在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平
行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法 向应力和切向应力如图所示。
16
σyy+
әσyy
әy
dy
әyx yx+ әy dy
dy y
yz+
әyz
әy dy
zx
σzz
σxx xz
zy+
әzy
11
根据边界条件x=0时vx=0代入上式得
0 (1 2y) 0 f ( y)
故有 f ( y) 0
所以
vx (1 2 y)x x 2xy
12
例题：不可压缩流体的速度分布为
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求 A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
6 流体流动微分方程
基本内容：
掌握连续性方程及其推导※ 熟悉Navier-Stokes方程 了解Euler方程
1
控制体分析 最大优点在于对定常流动，当已知控制面
上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和 平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详 细情况，给一些工程问题的求解带来方便。
缺点不能得到控制体内各处流动的细节， 而这对深入研究流体运动是非常重要的。
әz dz
xy
fy
zy
fz fx
σzz+
әσzz
әz
zx+
әzx
әz dz
yz
dz yx σyy
xy+
әxy
әx dx
σxx+
xz+
әxz
әx dx
dz
әσxx
әx
dx
dx zx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
f x dxdydz
xxdydz
(
xx
xx
x
dx)dydz
这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。
2
流体流动微分方程包括: 连续性方程 运动方程
连续性方程是流体质量守恒的数学描述。 运动方程是流体动量守恒的数学描述。 二者都是基于流场中的点建立的微分方程。
3
6.1 连续性方程
连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。 现取微元体如图。
z
vz
(vz
z
)
dz
ρvx
2
v
t
①
②
③
④
⑤
各项意义为：①非定常项； ②对流项； ③单位质量流体的体积力； ④单位质量流体的压力差； ⑤扩散项或粘性力项
26
由于引入了广义牛顿剪切定律，故N-S方 程只适用于牛顿流体，处理非牛顿流体问题 时可用以应力表示的运动方程。
Navier-Stokes方程是不可压流体理论中 最根本的非线性偏微分方程组，是描述不可 压缩粘性流体运动最完整的方程，是现代流 体力学的主干方程 。
yxdzdx
(
yx
yx
y
dy)dzdx
zx dxdy
( zx
zx
z
dz)dxdy
dxdydz
Dvx Dt
18
化简后得
fx
1
(
xx
x
yx
y
zx
z
)
Dv x Dt
同理得
fy
1
(
yy
y
zy
z
xy
x
)
Dvy Dt
fz
1
(
zz
z
xz
x
yz
y
)
Dvz Dt
——以应力表示的运动方程 19
将切应力和法向应力的关系式
ρvy
v y
(vy
y
)
dy
vx
(
vx
x
)
dx
ρvz
y
x
4
输入微元体的质量流量：
vxdydz vydxdz vzdxdy
输出微元体的质量流量为：
(vx
( vx
x
)
dx)dydz
(vy
( vy
y
)
dy)dxdz
(vz
(vz
z
)
dz)dxdy
z
vz
(vz
z
)
dz
ρvx
ρvy
v y
( v y
y
)
dy
xy
( vx
y
v y x
)
yz
( vz
y
vy z
)
zx
( vx
z
vz x
)
xx
p
2
vx x
yy
p
2
vy y
zz
p
2
vz z
代入上式的第一式并整理得：
20Dvx Dtfx1p x(
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
)
同 理
Dvy Dt
fy
1
p y
(
2vy x 2
2vy y 2
2vy z 2
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
u v y x
则有 B C 0
14
练习：
有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
vx x2 y2z3
vy (xy yz zx)
求其z向的分速度的表达式。当x=0，z=0时，
vx vy 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为
vy y2 y x
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
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vy=y2-y-x 解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程
vx vy 0 x y
由已知条件得
vx 2 y 1 0 x
积分得 vx (1 2 y)x f ( y)