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劳斯判据判定稳定性劳斯判据即Routh-Hurwitz判据一、系统稳定的必要条件判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
第三章控制系统的时域分析法3.2 劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最基本的要求。
控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。
如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。
常用的稳定性分析方法有：1. 劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据：这是一种代数判据。
它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，来判断系统的稳定性.2. 根轨迹法：这是一种利用图解来系统特征根的方法。
它是以系统开环传递函数的某一参数为变量化出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。
3. 奈魁斯特（Nyquist）判据：这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。
它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。
这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。
4. 李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，也适用于非线性系统。
该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。
一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。
考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。
而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。
因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。
论述劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据的使用方法劳斯稳定判据和奈奎斯特稳定判据是控制系统理论中常用的两种判断系统稳定性的方法。
劳斯稳定判据适用于以传递函数形式表示的线性时不变（LTI）系统。
对于一个系统的传递函数为G(s)，劳斯稳定判据要求先求出传递函数的特征方程，然后利用特征方程的劳斯阵列进行判断。
具体步骤如下：1. 将传递函数G(s)表达为特征方程的形式，即分子为0。
2. 将特征方程的所有系数按照从高次到低次的次序排列，构成劳斯阵列。
3. 从劳斯阵列的第一行开始，按照以下规则计算每一行的元素：- 第一行的元素为特征方程的系数。
- 第一列的元素为0。
- 每一行的元素为前两行对应位置的元素积减去后一行对应位置的元素积，再除以前一行的对角元素。
4. 查看劳斯阵列的最后一行，如果最后一行的元素全部大于0，则系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。
奈奎斯特稳定判据适用于连续时间和离散时间系统，可以通过绘制奈奎斯特曲线的方法来判断系统的稳定性。
对于一个连续时间系统的传递函数G(s)，可以通过以下步骤使用奈奎斯特稳定判据：1. 将传递函数G(s)表达为标准形式，即将分子和分母分别写成多项式的形式。
2. 将标准形式的分子和分母的系数分别表示为多项式的系数向量aN 和aD。
3. 根据aN 和aD 的系数向量，计算系统的开环传输函数的频率响应G(jω)，其中j是虚数单位。
根据频率响应，可以得到系统的频率响应曲线。
4. 根据频率响应曲线，绘制奈奎斯特曲线。
奈奎斯特曲线可以通过将频率ω变化为复平面的轨迹来得到。
5. 根据奈奎斯特曲线的特征来判断系统的稳定性：- 曲线的终点在左半平面内，则系统是稳定的。
- 曲线的终点与jω轴有交点，则系统是不稳定的。
- 曲线的终点在右半平面内，则系统的稳定性无法判断，需要进一步分析。
类似地，对于离散时间系统的传递函数G(z)，也可以按照类似的方法绘制奈奎斯特曲线来判断系统的稳定性。
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
劳斯判据的三个步骤嘿，朋友们！今天咱来聊聊劳斯判据的三个步骤，这可真是个有趣又重要的玩意儿呢！劳斯判据啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开系统稳定性的大门。
你想想看，一个复杂的系统，就像一个神秘的大箱子，我们得找到正确的方法才能知道它里面到底稳不稳定。
第一步呢，就像是给这个大箱子做个初步的检查。
咱得把系统的特征方程写出来，这就好比是给箱子贴上一个标签，让我们知道它的身份。
可别小看这一步哦，要是这一步错了，那后面可就全乱套啦！就好比你出门找路，第一步方向都搞错了，那还能走到目的地吗？第二步呢，就是开始真正深入地研究这个大箱子啦！我们要根据特征方程列出劳斯表，这可有点像给箱子做一个详细的清单。
这里面的每一个数字、每一个符号都有它的意义呢！这一步可得细心再细心，就像给宝贝瓷器打包一样，不能有一点儿马虎。
第三步呀，就是根据劳斯表来判断系统的稳定性啦！这就像是根据清单来判断这个大箱子是不是安全可靠。
如果劳斯表中出现了特殊的情况，那可就像发现了箱子上有个小裂缝一样，得特别注意啦！你说这劳斯判据是不是很神奇？它就像是一个聪明的侦探，能从一堆复杂的数据中找出系统稳定的线索。
学会了它，咱就像是掌握了一门厉害的武功秘籍，在控制工程的世界里就能更加得心应手啦！比如说，在实际的工程应用中，我们要设计一个控制系统，那怎么知道这个系统会不会出问题呢？这时候劳斯判据就派上用场啦！它能帮我们快速地判断系统的稳定性，让我们提前做好准备，避免出现不必要的麻烦。
而且啊，这劳斯判据可不是什么高深莫测的东西，只要咱用心学，肯定能学会。
就像学骑自行车一样，一开始可能会摇摇晃晃，但只要多练习，就能骑得稳稳当当。
总之呢，劳斯判据的三个步骤可真的是非常重要啊！咱可不能小瞧了它。
学会了它，咱就能在控制工程的领域里畅游啦！大家加油学起来呀！。
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、第三章 劳斯判据a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
3-1 稳定性1、稳定性的概念2、判别系统稳定性的基本原则线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。
当有一个根落在右半部，系统不稳定。
当有根落在虚轴上(不包括原点)，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据劳斯判据劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：553(00122110->=++⋅⋅⋅+++---a a S a S a S a S a n n n n n检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。
可见，i a ，1,2,i =是满足系统稳定的必要条件。
2）按系统的特征方程式列写劳斯表3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。
通常00a >，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。
※※ 劳斯判据特殊情况· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。
· II ）劳斯表中出现全零行表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。
利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行,完成劳斯表的排列。
这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
劳斯判据
即Routh-Hurwitz判据
一、系统稳定的必要条件
判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：
1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件
系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：
1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
于是表的计算无法继续。
为了克服这一困难，可以用一个很小的正数代替第一列等于0的元素，然后计算表的其余各元。
若上下各元符号不变，切第一列元素符号均为正，则系统特征根中存在共轭的虚根。
此时，系统为临界稳定系统。
2．如果在表中任意一行的所有元素均为0，表的计算无法继续。
此时，可以利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用多项式方程的导数的系数组成表的下一行。
这样，表中的其余各元就可以计算下去。
出现上述情况，一般是由于系统的特征根中，或存在两个符号相反的实根（系统自由响应发散，系统不稳
定），或存在一对共轭复根（系统自由响应发散，系统不稳定），或存在一对共轭的纯虚根（即系统自由响应会维持某一频率的等幅振荡，此时，系统临界稳定），或是以上几种根的组合等。
这些特殊的使系统不稳定或临界稳定的特征根可以通过求解辅助多项式方程得到。
三、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，运用判据还可以检验系统的相对稳定性，采用以下方法：
1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s=z-（（（为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特征方程。
2）利用判据对新的特征方程进行稳定性判别。
如新系统稳定，则说明原系统特征方程所有的根均在新虚轴之左边，（越大，系统相对稳定性越好。
