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曲率圆

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曲率圆
函数y=f(x)的曲率()
322
1y K y ''=
'+，曲率半径：()3
22
1y r y '+=
''，
那在()
00,x y 的曲率半径是：()3
22
1y r y '+=
''，
而y=f(x)在()00,x y 的切线斜率为0
y '，故曲率圆在()00,x y 上半径斜率是：0
1
y -'， 所以曲率圆在()00,x y 上半径的直线方程是：000
1
()y y x x y -=-
-'， 而设曲率圆的圆心是()11,x y ，满足：()()32202101020101001()1()y y y x x y y y x x y ⎧'+⎪-+-=
⎪''⎨⎪
-=--⎪'⎩
，
()
()
()()3
2
202
1010200
3
22
02010220
2
2002102
02001020
11()()11()=
1()=1=y x x x x y y y y x x y y y y x x y y y x x y '+⎛⎫--+-= ⎪'''⎝⎭'+'
+-'''⎡⎤
''+⎢⎥-''⎢⎥⎣⎦''+±+''即：
此时解得的x 1有两个值，对比图像我们可以知道x 1和x 0有两种关系：1010x x x x 或，
而20
1y '+>0，故1x 与0x 的大小就是由y '与y ''的符号决定。

对比y=f(x)与曲率圆在()00,x y 附近的图像，我们分四种情况讨论：Ⅰ.00()0()0f x f x '''>>且,此时图像如下：
此时从图上可以看出1
0x x <，又因为00
()0()0f x f x '''>>且，即
()20
20
10y y y ''+>'' 如果要1
0x x <，则：()20
1
20
1=y y x x y ''+-
+''。

Ⅱ.00()0()0f x f x '''><且,此时图像如下：
此时从图上可以看出1
0x x <，又因为00
()0()0f x f x '''><且，即
()20
20
10y y y ''+>'' 如果要1
0x x >，则：()20
1
20
1=y y x x y ''+-
+''。

Ⅲ.00()0()0f x f x '''<>且,此时图像如下：
此时从图上可以看出1
0x x >，又因为00
()0()0f x f x '''<>且，即
()20
20
10y y y ''+>'' 如果要1
0x x >，则：()20
1
20
1=y y x x y ''+-
+''。

Ⅳ.00()0()0f x f x '''<<且,此时图像如下：
此时从图上可以看出1
0x x <，又因为00
()0()0f x f x '''<<且，即
()20
20
10y y y ''+>'' 如果要1
0x x <，则：()20
1
20
1=y y x x y ''+-
+''。

综上所述：()20
1
20
1=y y x x y ''+-
+''。

故由方程解出的圆心坐标：
()20010
202
010201=1y y x x y y y y y ⎧''+⎪-+''⎪
⎨'+⎪
=+⎪''⎩
所以曲率的方程为：()()
3
222
000220
002220
111()()y y y y x x y y y y y ''
'++'++
-+-
-=''''''
在这里000,,y y y '''都是常数。

结论：假设y=f(x)在()00,x y 点的曲率圆的方程用函数表示：y=g(x)，那么必然
有：00()()f x g x =、00()()f x g x ''=、00()()f x g x ''''=
（1）将x=0x 带入曲率圆方程得到y=0y
（2）对()()
3
222
00022
0002220
00
111()()y y y y x x y y y y y ''
'++'++
-+-
-=''''''求一阶导数得：
()2
2
022
00
112()2()0y y y x x y y y y y ''+'
+'+-+-
-=''''
再将0x x =带入上述方程，化简可以得到：0y y ''=
（3）对()22
0220
112()2()0y y y x x y y y y y ''+'
+'+
-+--=''''求二阶导数得：
20
020
122[()]0y y y y y y y '+''''+⋅+--=''将0y y =带入化简得：0
y y ''''= 注：在()2
1
020
1=y y x x y ''+±
+''的讨论中另一个结果是：()2
1
20
1=y y x x y ''++'' 我们把这个结果带入上述过程中就可以知道这样求出的圆是和曲率圆外切等大的圆，对这个圆来说刚好是00()()f x g x =、00()()f x g x ''=、00()()f x g x ''''=-
对这个结论我们也可以这样理解：曲率圆和函数y=f(x)在x=0x 附近的图像是近似重合，故其函数值、一阶导数、二阶导数自然也就会相等了。

当然，对这个问题我们进行拓展可以将
其扩展至三维空间，其结果就是空间曲面的曲率球面相切。

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密切圆

密切圆

Osculating Circle曲率圆(密切圆)给定一个曲线及其上一点 P，会有一个圆与曲线切在 P点，而且圆跟曲线近到几乎亲在一起，换言之，没有一圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，此圆称为曲线之密切圆(Osculating circle)，或曲率圆。

“密切”一词在莱布尼兹1686 年的论文里提到过，曲线在 P 点的曲率，便是密切圆半径的倒数。

牛顿在其 Geometria Analytica著作(1671年完成，1736年发表)，介绍过曲率中心，他将曲率中心当做是过P点的法线与其相邻法线的交点之极限位置。

他认为以曲率中心为圆心、曲率半径为半径之圆是曲线在P点的最佳圆形近似。

而曲率半径的公式，牛顿计算过许多种曲线的曲率半径，摆线是其中之一，他指出在反曲点之曲率为 0。

这些都与惠更斯的结论重复，但牛顿希望以解析方法表演一番。

惠更斯的作法是，考虑过曲线上一点 P 的法线与其相邻法线的交点，这个点有一个极限位置，这点称为曲线在 P 点的曲率中心(center of curvature of the curve at P)，或曲率圆圆心，它与P点之距离惠更斯证实为 , 这个长度就是曲线在P 点的曲率半径，曲率中心的轨迹称为原曲线之渐曲线(evolute of a plane curve)。

惠更斯在其作品里证明了摆线之渐曲线仍为摆线，尤拉在1764 年以分析方法证明这个定理。

摆线之曲率圆Curvature of Cardioid.Curvature of Nephroid.心脏线之曲率圆肾脏线之曲率圆Curvature of Deltoid Curvature of Astroid 三角线之曲率圆星状线之曲率圆次摆线及其曲率圆Osculating circle of Cardioid.Osculating circle of Nephroid.心脏线之次摆线曲率圆肾脏线之次摆线曲率圆Osculating circle of Deltoid Osculating circle of Astroid 三角线之次摆线曲率圆星状线之次摆线曲率圆其它曲线之曲率圆Osculating circle of parabola.Osculating circle of ellipse.拋物线之曲率圆椭圆之曲率圆Osculating circle of hyperbola.Osculating circle of lemniscate ofBernoulli双曲线之曲率圆Bernoulli 双纽线之曲率圆《曲率圆作图法》▪作图小技巧1：直角作标作曲率圆给一平面曲线，其在某一点的瞬时加速度 a 可表示成其水平分量与垂直分量之和。

曲率圆与曲率半径

曲率圆与曲率半径


故上半圆上任一点处的曲率
y '' R2 2 K 2 32 2 32 ( R x ) (1 y ' )
x2 1 32 (1 2 ) . 2 R x R
对下半圆有相同的结论。 可见圆上每点的弯曲程度相同。
三、曲率圆与曲率半径
处的曲率为 K K 0 . 在该点处曲线 的法线上， 于曲线凹的一侧取一点 如图3-14所示. 设曲线在点 M x, y
设曲线在点在该点处曲线的法线上于曲线凹的一侧取一点称为曲线在点曲线上相应点为由曲率圆的定义可知曲率圆与曲线在点m处有相同的切线和曲率且在点m邻近有相同的凹向
§7 平面曲线的弧微分与曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
在生产实践中，常常需要考虑曲线的弯曲程度．如厂 房结构中的钢梁、车床上的轴等，它们在外力作用下， 会发生弯曲，弯曲到一定程度就要断裂．因此计算梁或 轴的强度时，需要考虑它们弯曲的程度．曲线的弯曲程 度可以用曲率概念来描述． 本节我们将引入曲率的定义， 并利用导数建立曲率的计算公式. 为此， 下面先引入弧微 分概念.


arctan y '.
y '' 2 因此 d d x . 再注意到弧微分 ds 1 y ' dx, 2 1 y ' y '' d . K 所以由曲率定义得曲率计算公式： 3 ds (1 y '2 ) 2 例1 求曲线 xy 1 在点 (1,1) 处的曲率. 1 1 2 解 因 y , y ' 2 , y '' 3 . 所以 y '(1) 1, y ''(1) 2. x x x 曲线在点 (1,1) 处的曲率 y ''(1) 2 2 K . 3 3 2 2 2 2 (1 1) [1 y ' (1)]
曲率圆特点

曲率圆特点

曲率圆特点《说说曲率圆特点的那些事儿》嘿，朋友们！今天咱来唠唠“曲率圆特点”，这玩意儿听起来挺高深，其实理解起来也没那么难嘛！咱先来说说这曲率圆啊，它就像是给曲线量身定制的一个小圆帽儿。

想象一下，曲线在那扭扭曲曲地前进，这时候来了个曲率圆，一下子就给它来了个精准配套，这搭配，简直绝了！它的第一个特点呢，就是能很好地反映曲线在某一点处的弯曲程度。

就好比咱走在路上，路有直有弯，这曲率圆就像是个测量仪，能告诉你这个弯有多急。

你说神奇不神奇？而且啊，它还特别“执着”，不管曲线怎么扭，它都能不离不弃地跟着表示出那个关键的弯曲信息。

再讲讲它和曲线那亲密的关系。

这曲率圆就像曲线的“好朋友”，一直形影不离。

在那一点上，它们的曲率是一样的，就好像两个人有着相同的性格爱好。

这可给我们研究曲线带来了方便，通过研究这个圆，就能知道不少曲线的小秘密。

还有啊，这曲率圆还挺“善变”的。

曲线在不同的地方有不同的弯曲情况，它的曲率圆也就跟着变来变去，一会儿大一会儿小，一会儿圆一会儿扁。

就跟那孙悟空似的，七十二变！有时候我就想，这曲率圆特点就像生活中的一些人，有自己的特点和性格。

有的圆滚滚的，就像个好脾气的老好人；有的扁扁的，像是个有个性的家伙。

它们各自有着独特的魅力，等着我们去发现和欣赏。

比如说，有时候我们遇到难题，就像是遇到了曲线中的一个急弯，这时候我们就得像曲率圆一样，紧紧地贴着问题，找到那个关键点，然后想办法解决。

而且，这曲率圆的变化也告诉我们，生活中没有一成不变的事情，我们要随时准备好应对各种变化。

怎么样，是不是觉得曲率圆特点还挺有意思的？哈哈，我相信大家只要多多留意，就会发现这其中的乐趣和奥秘。

让我们一起带着这份对曲率圆特点的好奇和热情，去探索更多知识的宝藏吧！。

曲率圆与曲率半径一

曲率圆与曲率半径一

2 32
当 y 1 时 , 有曲率近似计算公式 K y
说明:
x x(t ) (1) 若曲线由参数方程 y y (t ) 给出, 则
K
x y x y (x y )
2 2
3 2
(2) 若曲线方程为 x ( y ) , 则
K
x ( 1 x )
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
曲率K 的计算公式 设曲线弧 y f ( x) 二阶可导, 则由 π π tan y ( 设 ) 2 2
d K ds
得
arctan y
d (arctan y) d x
又 故曲率计算公式为
K
y (1 y )
y
D( , )
C
O
R
M ( x, y)
T
x
(注意 y 与 y 异号 ) 移动时, 相应的曲率中心
当点 M (x , y) 沿曲线
的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线G 的 渐伸线 . 曲率中心公式可看成渐 屈线的参数方程(参数为x).
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮 磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大 ,
2 2
3
ab
(a sin t b cos t )
2 2 2 2
3 2
K 最大
求驻点:
f (t ) a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t 最小
2 2 2 f (t ) 2a sin t cos t 2b cos t sin t (a b ) sin 2 t