最新24-平面曲线的曲率汇总

曲线的曲率计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：曲线是几何学中一个非常重要的概念，它描述了平面或空间中的一条连续的曲线。

曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，它可以帮助我们了解曲线在某一点的弯曲程度，从而对曲线的形状和性质进行分析。

曲线的曲率计算公式是用来计算曲线在某一点的曲率的数学公式。

曲率的定义是曲线在某一点处的弯曲程度，可以理解为曲线在该点处的切线的弯曲程度。

曲线的曲率计算公式可以用不同的数学方法来推导，其中最常用的是微积分的方法。

在微积分中，曲线的曲率可以用导数来表示。

具体来说，对于平面曲线上的一点P(x, y)，曲线在该点处的曲率可以用下面的公式来表示：\[k = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}\]k表示曲率，y'和y''分别表示y关于x的一阶和二阶导数。

这个公式可以帮助我们计算出曲线在某一点处的曲率，从而了解曲线在该点处的弯曲情况。

曲线的曲率计算公式是数学分析中的一个重要概念，在几何、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

通过计算曲线的曲率，我们可以更深入地了解曲线的形状和性质，从而帮助我们解决各种实际问题。

曲线的曲率计算公式是一个重要的数学工具，它可以帮助我们了解曲线的曲率和弯曲情况，从而对曲线进行全面的分析。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的重要概念，其计算公式是曲率计算的基础。

在数学、物理、工程等领域，曲率计算公式被广泛应用，用于描述曲线轨迹的弯曲程度，研究曲线的性质和特征。

本文将介绍曲线的曲率计算公式及其应用。

一、曲线的曲率定义我们来定义曲线的曲率。

在平面几何中，曲线的曲率是指曲线某一点处的切线方向改变的速率。

更直观地说，曲率描述了曲线在某一点处的弯曲程度。

曲率的数值越大，说明曲线在该点处的弯曲程度越大；曲率的数值越小，说明曲线在该点处的弯曲程度越小。

平面曲线的曲率第一部分：教案（P1-6）第二部分：说课稿（P7-11）2009年12月《平面曲线的曲率》教案课题：平面曲线的曲率课时：2课时（90分钟）教学目标：认知目标：1、理解曲率的概念和曲率公式的实际应用；2、了解曲率圆和曲率半径的概念；3、掌握曲率计算公式的推导过程及公式的实际应用，真正体会微积分和导数在数学中的重要地位。

能力目标：激发学生的数学学习兴趣，加强数学建模的能力，掌握归纳总结的数学思想方法，培养学生联系实际学习的意识，增进数学应用的眼光，提高学生的主观能动性情感目标：培养学生勇于探索、大胆应用的数学精神，培养团结协作的意识。

教学重点：曲率的概念，曲率计算公式的实际应用。

教学难点：利用曲率计算公式解决实际应用问题。

教学方法：引导探究法（Enlightment）、分层次教学法（Delamination）、任务驱动法（Assignment）。

教学工具：木杆、多媒体课件教学。

教学过程：一、引入：前面我们已经学习了导数的应用，例如函数极值、最值的求解，函数单调性的判断及函数图像的描绘等，我们体会了导数的重要性，曾有人说微积分和导数是最伟大的人类心智成就之一，足以可见它们在人类生产生活中的应用之广泛，今天我们要继续学习导数的另一个应用——“平面曲线的曲率”，这个内容虽然是个选修内容，可是对于我们工程机械专业的学生来说是个不得不学的内容，所以我们接下来就来探讨有关平面曲线的曲率的问题。

二、新课讲解：（一）引入课题：（5分钟）操作实验，并布置任务。

感性认识“直”——“弯”——“最弯之处”：取一根笔直的木杆，当它放置于桌面上时，它很明显时直的，没有弯曲。

当它的两端各受另一个向上的外力时，它马上会开始弯曲，在这个过程中，有的地方弯曲程度大，有的地方弯曲程度小，随着力度的增大，竹片会断裂，很明显我们可以得出结论：断裂处就是弯曲得最厉害的地方。

当然弯曲的时木杆，断裂了也没什么关系，但若是因荷载作用而弯曲变形的船体结构中的钢梁，我们是不能让它们断裂的，所以我们必须找到那个最容易断裂的地方，然后给它加固，或者我们要采取一些什么样的措施来防止因为弯曲而容易断裂的铁路铁轨的问题呢？在数学领域里，我们用曲率来描述曲线的弯曲程度，因此今天我们就来探讨“平面曲线的曲率”的问题。

第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB. 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =ni 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。

定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0T lim →s T =s ，则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长.定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线.定理：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1.于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1<t 2<…t n-1<t n =β.在T ’所属的每个小区间△i =[t i-1,t i ]上，由微分中值定理得△x i =x(t i )-x(t i-1)=x ’(ξi )△t i , ξi ∈△i ；△y i =y(t i )-y(t i-1)=y ’(ηi )△t i , ηi ∈△i . 从而C 的内接折线总长为s T =∑=∆+∆n1i 2i 2i y x =∑='+'n1i i 2i 2)(ηy )(ξx △t i .记σi =)(ηy )(ξx i 2i 2'+'-)(ξy )(ξx i 2i 2'+'，则s T =[]∑=+'+'n1i i i 2i 2σ)(ηy )(ξx △t i .又由三角形不等式可得：|σi |≤||y ’(ηi )|-|y ’(ξi )||≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|. 由y ’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0, 存在δ>0， 当T '<δ时，只要ηi , ξi ∈△i ，就有|σi |≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|<α-βε, i=1,2,…,n. ∴|s T -∑='+'n1i i 2i 2)(ξy )(ξx △t i |=|∑=n1i i σ△t i |≤∑=n1i i |σ|△t i <ε,∴0T lim →s T =∑=→''+'n1i i 2i 20T )(ξy )(ξx lim △t i ，即s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.注：1、若曲线C 由直线坐标方程y=f(x), x ∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x, y=f(x), x ∈[a,b]. 因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=⎰'+ba 2(x )f 1dx. 2、若曲线C 由极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]表示，则 化为参数方程：x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ, θ∈[α,β]. 由x ’(θ)=r ’(θ)cos θ-r(θ)sin θ, y ’(θ)=r ’(θ)sin θ+r(θ)cos θ, 得：x ’2(θ)+y ’2(θ)=r 2(θ)+r ’2(θ)，∴当r ’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r ’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线， 其弧长公式为：s=⎰'+βα22 )(θr )(θr d θ.例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.解：∵x’(t)=a-acost; y’(t)=asint. ∴x’2(t)+y’2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t.其弧长为s=⎰2π222tsin4a dt=4a⎰2π02tsin d⎪⎭⎫⎝⎛2t=8a.例2：求悬链线y=2ee-xx+从x=0到x=a>0那一段的弧长.解：∵y’=2ee-xx-. ∴1+y’2=2x-x2ee⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.其弧长为s=⎰+a-xx2ee dx=2ee-aa-.例3：求心形线r=a(1+cosθ) (a>0)的周长.解：∵r’(θ)=-asinθ. ∴r2(θ)+r’2(θ)=4a2cos22θ.其周长为s=⎰2π02θacos2dθ=4a⎰2π02θcos d⎪⎭⎫⎝⎛2θ=8a.注：∵s(t)=⎰'+'tα22(t)y(t)x dt连续，∴dtds=22dtdydtdx⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛，即有ds=22dydx+. 特别称s(t)的微分dx为弧微分. (如左下图)PR为曲线在点P处的切线，在Rt△PQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。