空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明.
关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式
Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof.
Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas
前言
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0
k>时为直τ=时为平面曲线.
线,0
本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明.
1.空间曲线的曲率和挠率的定义
1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架
给出2c 类空间曲线()c 和()c 上一点p .设曲线()c 的自然参数表示是
(),r r s =
其中s 是自然参数，得
dr ds
r ==
α 是一单位向量.α 称为曲线()c 上p 点的单位切向量.
由于1=α，则
⊥αα，
即
r r ⊥.
在α上取单位向量
=
=αr βαr
， (1)
β称为曲线()c 上p 点的主法向量.
再作单位向量
=⨯γαβ，
γ称为曲线()c 上p 点的副法向量.
我们把两两正交的单位向量,,αβγ称为曲线上p 点的伏雷内(Frenet)标架. 1.2 空间曲线的曲率
我们首先研究空间曲线的曲率的概念.在不同的曲线或者同一条曲线的不同 点处，曲线弯曲的程度可能不同.例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大.为了准确的刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念.
要从直观的基础上引出曲率的确切定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变的越快.所以作为曲线在已知一曲线段PQ 的平均弯曲程度可取为曲线在P 、Q 间切向量关于弧长的平均旋转角.
设空间中3c 类曲线()c 的方程为
().r r s =
曲线()c 上一点p ，其自然参数为s ，另一邻近点1p ，其自然参数为s s +∆.在p 、
1p 两点各作曲线()c 的单位切向量()s α和()s s +∆α.两个切向量的夹角是ϕ∆，也
就是把点1p 的切向量()s s +∆α平移到点p 后，两个向量()s α和()s s +∆α的夹角为ϕ∆.
我们把空间曲线在p 处的切向量对弧长的旋转速度来定义曲线在点p 的曲率.
定义[]1 空间曲线()c 在p 点的曲率为
()lim
s k s s
ϕ
∆→∆=∆， 其中s ∆为p 点及其邻近点1p 间的弧长，ϕ∆为曲线在点p 和1p 的切向量的夹角.
再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度”.把这个结果应用到曲线()c 的切向量α上去，则有
()k s =α.
由于r =α，所以曲率也可表示为
()k s r =
.
由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的弯曲程度越大，切向量对于弧长的旋转速度就越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度.
对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量—挠率. 1.3 空间曲线的挠率
当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）位置随着改变（如图一），所以我 们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）.
现在设曲线()c 上一点p 的自然参数为s ，另一邻近点1p 的参数为s s +∆，
在p 、1p 两点各作曲线()c 的副法向量()s γ和()s s +∆γ.此两个副法向量的夹角是ϕ∆(如图一).
（图一）
再利用命题“一个单位变向量()t r （即()1t =r ）的微商的模,()r t 的几何意义是()t r 对于t 的旋转速度” .把这个结果应用到曲线()c 的副法向量向量γ上去， 得到
lim
s s
ϕ
∆→∆=∆γ
， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度.当曲线在一点的扭曲程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度就越大.因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度.
根据（1）和曲率的定义，我们有
()
k s =
==r αα
βr α， 即
()
s s γ+∆
