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第6节 曲线的曲率6.1弧长微分在曲线()y f x =上取定一点000(,())P x f x 为起点，从000(,())P x f x 到(,())x f x 的曲线段长记为()s x ，并规定当0x x <时()0s x <。
()s x 是单调增加的函数。
下面求弧长微分ds 。
()()()()s x s x x s x ≤∆≤∆≤∆≤∆∆≤∆≤∆ds =,()ds s x '== 如果()()xt y t ϕψ=⎧⎨=⎩则,()ds s t '==如果()ρρθ=则,()ds s θ'==以后经常要用到以上弧长微分公式。
图6.1y +离 散数 学6.2曲线的曲率这节讨论曲线的曲率，也就是曲线的弯曲程度。
设曲线()y f x =在()00,()x f x 的切线0L 与x 轴正向的夹角为0θ，在()00,()x x f x x +∆+∆的切线x L ∆与x 轴正向的夹角为x θ∆。
经过x ∆，切线的夹角变化了0x θθθ∆∆=-设()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的长为s ∆。
容易想见，()00,()x f x 和()00,()x x f x x +∆+∆之间曲线的曲率（弯曲程度）与θ∆成正比，与s ∆成反比，平均曲率()k x sθ∆∆=∆ 让0x ∆→求极限，就得到曲线()y f x =在()00,()x f x 的曲率（弯曲程度）000()lim ()limx x d k x k x s dsθθ∆→∆→∆=∆==∆ 下面我们求出d dsθ从而得到求曲率的计算公式。
用x 作参数 ()()s s x x θθ=⎧⎨=⎩()()2222tan ()1()cos 1tan ()1()()()1()f x d f x dx d f x dx f x d f x dxd f x dx f x θθθθθθθ'=''=''+='''+=''='+第1章集 合322()1()d f x d ds dxdxds f x θθ''=='⎡⎤+⎣⎦003220()()1()f x k x f x ''='⎡⎤+⎣⎦例子：求半径为r 的圆上一点的曲率。
知识点：平面曲线的曲率（MC20306） 1 背景知识与引入方法在微分几何学中,与平面曲线有关的是三个基本概念：长度、切线和曲率. 瑞士数学家L ⋅欧拉在1736年首先引进了平面曲线内在坐标这一概念.从而开始了曲线内在几何的研究.欧拉将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率,这也成为一些教材引入曲率概念的方法之一.1847年弗雷内得出了曲线的基本微分方程,亦即统称弗雷内公式.后来,G ⋅达布创造了空间曲线的活动标架概念,完整地建立起曲线理论.所以有些教材把空间的弗雷内标架改造为平面弗雷内公式而导出带有正负号平面曲线曲率公式，它既表示曲线的弯曲程度，又表示曲线的弯曲方向.（如：萧树铁、居余马主编的《高等数学》第Ⅲ卷,或马知恩、王锦森主编的《工科数学分析基础》）.大多教材通常在直角坐标系下,在曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +∆之间夹角α∆关于弧长s ∆的变化率||lim 0ss ∆∆→∆α引出曲率公式. 由实际问题先引出曲率圆、曲率半径概念,由曲率半径概念自然给出曲率定义,我们认为方法简洁省事（如章栋恩等人编写《高等数学》上册）.2 该知识点讲解方法2.1讲解方法一：曲率是一个构造型的定义,通常由解决某一具体实际问题的方法来讲清其构造的道理,再引出曲率概念其教法更为简捷,例如力学问题中质点做曲线运动,在某点局部情形的研究,可用圆周曲线来代替,而此圆周曲线（曲率圆）的建立仅仅使用了一阶导、二阶导的简单应用,却以最好的方式接近已知曲线,进而引出了曲率半径定义.2.1.1曲率圆1、实际问题： 一质点作曲线运动,考察此运动在某点))(,(00x f x M 局部情形时,可用圆周曲线来替代这点附近的曲线L,这样就可以用圆周运动的知识来分析这点处的曲线运动.（问题：什么样的圆周曲线在点M 更接近曲线L 呢？）2、试求一个圆周曲线C ： 222()()x y αβρ-+-= （1） 使之满足C 过点))(,(00x f x M ： 22200()()x y αβρ-+-= （2） C 与L 在点M 有相同斜率： )(000x f y y y x x '='== （3）C 与L 在点M 有相同凹性： 0000≠''=''==)(x f y y y x x （4）（1）式两边对x 求二阶导： 0)(2)(2='-+-y y x βα0)(2)(222=''-+'+y y y β（3）（4）式代入上面两式有：0)(])([)(000='-+-x f x f x βα （5） 0)(])([)]([10020=''-+'+x f x f x f β （6）从（6）式解出： )()]([1)(0200x f x f x f '''++=β 将其代入（5）式解出200001[()]()()f x x f x f x α'+'=-'' βα,代入（2）式解出：|)(|])(1[02/320x f x f '''+=ρ. 3、定义： 曲线L 即 )(x f y =上的点)(,(00x f x M 处，在其凹向一侧的法线上取一点),(βαD 为圆心,以)()]([023021x f x f MD '''+==ρ为半径所得到的圆为L 在点M 处的曲率圆,ρ为曲率半径.2.1.2曲率1、曲率就是曲线在某点处的弯曲程度.如路弯度大,车子离心率越大；梁一般在弯的最厉害的地方断裂；……圆的半径越小弯的越厉害,于是2、定义：23020)](1[)(1x f x f k '+''==ρ为曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处曲率.2.2讲解方法二：通常与分析曲线弯曲程度与曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +∆之间的夹角α∆大小有关,当转角相同时,又与弧段的长短有关,于是曲率由α∆关于s ∆的变化率0lim s sα∆→∆∆来叙述.2.2.1弧微分 （这里只介绍弧微分公式的初等几何解释）设函数()f x 在区间(,)a b 内具有连续导数.基点为00(,)A x y ,(,)M x y 为曲线上任意点,规定：（1） 曲线的正向与x 增大的方向一致； （2） 有向弧段AM 的值表为：s AM =；当AM 的方向与曲线的正向一致时, s 取正号；相反时, s 取负号.设弧MN 是从点(,)M x y 起弧长的改变量s ∆，而x ∆和y ∆是相应的y x 和的改变量，由直角三角形得到：,)()()(222y x MN ∆+∆=由此，,)(1)()(222xy x MN ∆∆+=∆ 当0x ∆→时，假定这条曲线具有连续导数，可用弧长代替,MN 再对0x ∆→时取极限，得到22)d d (1)d d (xy x s +=由此得到弧长微分表达式x y s d 1d 2'+±=或22)d ()d (d y x s +±=如果弧长是朝增加的方向变化的，则s d 取正号，反之取负号.2.2.2曲率及其计算公式1、曲率的定义1、曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量. 设曲线C是光滑的,0M 是基点.Δs ='M M ,'M M →切线转角为α∆.定义：弧段M M '的平均曲率为sK ∆∆=α,曲线C 在点M 处的曲率0lims K sα∆→∆=∆. 在0lims d s dsαα∆→∆=∆存在的条件下,s K d d α=.注 意：（1）直线的曲率处处为零；（2）圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.2、曲率的计算公式 （ⅰ）设()y f x =二阶可导,tan 'y α=,有arctan 'y α=,dx 1d 2y y '+''=α, x y d 1ds 2'+=,232)1(y y k '+''=∴.（ⅱ）设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ,二阶可导,)()(d d t t s y ϕψ''= , )()()()()(d d 322t t t t t x y ϕψϕψϕ''''-'''=， 3222()()()().[()()]t t t t k t t ϕψϕψϕψ''''''-∴=''+2.2.3 曲率圆与曲率半径定义：设曲线()y f x =在点(,)M x y 处的曲率为(0)k k ≠.在点M 处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,使1DM kρ==.以D 为圆心,ρ为半径作图（如图）,称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.D —曲率中心, ρ—曲率半径注意：1、线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.即1kρ=,1k ρ=.2、曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小（曲线越平坦）；曲率半径越小,曲率越大（曲线越弯曲）.3、一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧（称为曲线在该点附近的二次近似）.2.3 讲解方法三用曲线离开切线的速度刻画曲率；在已知弧长积分表达式的前提下推导曲率计算公式. 2.3.1曲率：曲率是表示曲线方向改变快慢的量.设A 是曲线L 上点,M 是接近A 的点(图1).由A 沿曲线到M 其切线的转角为ϕ,长度s ∆的弧段AM 的平均旋转速度k sϕ=∆.定义曲线L 在点A 处曲率lims k sϕ∆→=∆.例：讨论圆的曲率（图2） 角ϕ所张的弧AM 长度s r ϕ∆=,于是1s rϕ=∆, 所以圆所有点处的曲率都相同，等于半径的倒量.2.3.2曲率公式：平面曲线L 由函数()y f x =给出,具有连续导数，取固定点N 作为计算弧长的起点（图3）,切线倾斜角从点A 到M 的改变量ϕα=∆，s xs x s sk x s s ''=∆∆∆∆=∆∆=∆=→∆→∆→∆||lim limlim00αααϕ， 其中⎰'+=xa x x y s d )(12,y '=αtan ,故y '=arctan α，得21y y '+''='α.最终有232)1(y y k '+''= .2.4讲解方法四：曲线的解析表达式以矢量形式给出,在已有矢函数微分积分知识的前提下给出曲率概念.给定曲线：()r r t =,（t αβ≤≤）,图3 图 2图 1弧长()s t ：⎰'=βαt t r t s d )()(,r s d d =是弧微分.单位切矢：)()(t r t r τ''= ，则n k sτ=d d .n 是曲线的单位法矢.这样s τk d d=是曲率,1R k =是曲率半径, 以n R r +为矢径的点是曲率中心.具体形式，若j t y i t x r )()(+=, 则2322])()([)()()()(t y t x t y t x t y t x k +''''-'''=. 若j y i x r+=, 则232''(1')y k y =+.例题的选择方法：曲率的实际应用,根据专业特点选择为好.3 例题例1 直线的曲率恒为零.解：直线b ax y +=,因0=''y ,故各点处曲率为零,所以直线不弯. 例2 抛物线c bx ax y ++=2上哪点曲率最大？ 解：由于b ax y +='2,a y 2='',故3222[1(2)]a k axb =++,当02=+b ax ,即2bx a=-时,k 取最大值a 2, 故抛物线c bx ax y ++=2在顶点处),(ab ac a b 4422--处曲率最大. 例3 一工件内表面截线为24.0x y =,用砂轮磨削其内表面,半径多大合适？ 解：砂轮半径≤抛物线上各点处曲率半径的最小者,才不会破坏工件内表面,由例2知抛物线在顶点处曲率最大,曲率半径最小.x y 8.0=',8.0=''y ,320.8(0,0)0.8(10)k ==+,25.11==kρ,所以砂轮半径不能大于1.25．4 扩展知识黎曼流形的曲率是微分几何中最重要的几何量之一，曲率和流形的拓扑结构之间的联系是一个十分重要的问题．对于黎曼流形来说,有三种不同层次的曲率,一种是截面曲率,它相应于在每点某一平面方向所相应的曲率.另一种是里奇曲率,它是由截面曲率以适当的形式作和而成.第三种是数量曲率,它是里奇曲率的迹.这三种曲率和流形的拓扑性质之间有很强的相互制约作用,这方面的研究成果非常丰富,而且是微分几何主要研究方向之一．5 参考文献[1] 章栋恩，金元怀．高等数学．北京：中国标准出版社，1998[2] 同济大学应用数学系．高等数学．北京：高等教育出版社，2002[3] A.Д.亚历山大洛夫．数学——它的内容、方法和意义．北京：科学技术出版社，19596 参考教案MC20306.ppt。
