06弯曲应力

τ max
V ≈ h1d
2.翼缘上的剪应力 2.翼缘上的剪应力 （1）竖向剪应力 ） （2）水平剪应力 ）
VS z* τ= I zt
* Sz
——翼缘上需求剪应力处的竖直 翼缘上需求剪应力处的竖直 翼缘上 线与翼端之间的部分面积 对中性轴的静矩； A* 对中性轴的静矩；
呈线性分布 3.剪应力流 剪应力流 腹板上剪应力方向与剪力 方向一致， 方向一致，各翼缘上的剪 应力与之形成剪流。 应力与之形成剪流。 V
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
τ m ax
V m ax S = I zb
∗ z m ax
≤ [τ
]
注：对于拉压性能不同的材料，须对抗拉和抗压分别建立 对于拉压性能不同的材料， 强度条件。 强度条件。 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算： 强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算： 校核强度： 设计截面尺寸： 设计载荷：
1
弯曲变形的基本公式（中性层曲率） 弯曲变形的基本公式（中性层曲率）
三、平面弯曲杆横截面上的正应力 1.计算公式 计算公式
2.分布规律 分布规律 横截面上任一点处的正应力大小， 横截面上任一点处的正应力大小，与该点至中性轴的距 离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布， 离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分 中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。 布。中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。 3.正应力公式讨论 正应力公式讨论： 3.正应力公式讨论： 1）适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围小变 ）适用于均匀连续、各向同性材料， 形时的等截面直杆。 形时的等截面直杆。 2）在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精 ）在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面， 确解；横力弯曲时，横截面不再保持平面， 确解；横力弯曲时，横截面不再保持平面，公式为近似 误差＜ 。 解，当梁的跨高比 l/h>5 时，误差＜2%。 + − 3） 若中性轴为截面对称轴，则 σ max = σ max ） 若中性轴为截面对称轴， ；
* Sz
4.剪应力沿横截面高度的分布 剪应力沿横截面高度的分布 剪应力沿 h +y h b h2 ∗ S z∗ = y c A∗ = 2 b( − y ) = ( − y 2 ) 2 2 2 4
V h2 ∴τ = ( − y2 ) 矩 2Iz 4
τ方向：与横截面上剪力方向相同； 方向：与横截面上剪力方向相同； τ大小：沿截面宽度均匀分布， 大小：沿截面宽度均匀分布，
第6章 章
6-１ 概述
弯曲应力
1、弯曲构件横截面上的（内力）应力 、弯曲构件横截面上的（内力） 剪力 V 内力 弯矩 M 2、研究方法 、 平面弯曲时横截面σ 平面弯曲时横截面τ 纯弯曲梁(横截面上只有 而无 的情况) 而无V的情况 纯弯曲梁(横截面上只有M而无 的情况) 剪切弯曲(横截面上既有V又有 的情况) 剪切弯曲(横截面上既有 又有M的情况) 又有 的情况 正应力σ 剪应力τ
几何方程： 4. 几何方程： ρ为中性层O1O2的曲率半径， 为中性层O 的曲率半径， 两截面间的夹角为d 两截面间的夹角为dθ，考察任一 纵向纤维（ aa）的线应变， 纵向纤维（如aa）的线应变，aa 到中性层的距离为y 如图） 到中性层的距离为y（如图） 变形前： 变形前： C
a
P
P
a
D
A y
（二）物理关系： 物理关系： 假设：纵向纤维互不挤压。于是， 假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单 向应力状态。当正应力不超过比例极限时， 向应力状态。当正应力不超过比例极限时，由 胡克定律可得： 胡克定律可得：
σ = Eε = E
y
ρ
问题： 问题：ρ=？ 中性轴的位 置如何？ 置如何？
σ
τ1
τ
y
x
σ1
∑X
= N 2 − N 1 − τ 1b ( dx ) = 0
3.剪应力公式推导 剪应力公式推导
M N 1 = ∫ ∗ σ dA = A Iz
∗
z
∫
A∗
MS z∗ yd A = Iz
∗
σ
τ1
τ
y
x
( M + d M ) S z∗ N2 = Iz
σ1
VS dM S τ1 = = d x bI z bI z
+ − σ max ≠ σ max 若不是对称轴，则， 若不是对称轴，
M .y σ= Iz
4）如何确定正应力的符号 ） a)均以绝对值代入，根据梁的弯曲变形来确定是拉还是压； 均以绝对值代入，根据梁的弯曲变形来确定是拉还是压； 均以绝对值代入 b)均带符号代入判断是正为拉应力；是负为压应力。 均带符号代入判断是正为拉应力； 均带符号代入判断是正为拉应力 是负为压应力。 四、最大应力的计算
σ
M
V
σ
σ
τ
τ
带翼缘的薄壁截面， 带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述 相同；还有一个可能危险的点， 均很大的截面的腹、 相同；还有一个可能危险的点，在V和M均很大的截面的腹、 和 均很大的截面的腹 翼相交处。（以后讲） 。（以后讲 翼相交处。（以后讲） Q M
σ
σ
τ
τ
2、正应力和剪应力强度条件： 正应力和剪应力强度条件：
中性轴
3.推论 . 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 距中性轴等高处，变形相等。
σ
σ
单向拉压假定：设各纵向纤维之间互相不挤压， 单向拉压假定：设各纵向纤维之间互相不挤压，每一根纵向纤 维均处于单向拉伸或压缩状态（即纯弯曲时， 维均处于单向拉伸或压缩状态（即纯弯曲时，梁横 截面上只有正应力） 截面上只有正应力）
+
P
-
x
+
M Pa
x
二、纯弯曲梁横截面上的正应力 （一）变形几何规律： 变形几何规律： 1.梁的纯弯曲实验 1.梁的纯弯曲实验 横向线（mm、nn） 横向线（mm、nn）变形后 仍为直线，但转过一个角度； 仍为直线，但转过一个角度； 纵向线（aa、bb）变为曲线， 纵向线（aa、bb）变为曲线， 且上部缩短，下部伸长； 且上部缩短，下部伸长；横向 线与纵向线变形后仍然正交。 线与纵向线变形后仍然正交。 2.两个概念 . 中性层： 中性层：梁内一层纤维 既不伸长也不缩短， 既不伸长也不缩短，因 而纤维不受拉应力和压 应力， 应力，此层纤维称中性 层。 中性轴： 中性轴：中性层与横截 面的交线。 面的交线。 m b a m nb a n
σmax
M = Wz
抗弯截面模量。 抗弯截面模量。
Iz Wz = y max
矩形截面的W 矩形截面的Wz
z
圆形截面的W 圆形截面的Wz
z
例：
6－3 弯曲剪应力
一、矩形截面梁 1、两点假设： 两点假设： x y M(x) V(x) dx q(x) V(x)+d V(x) 图b M(x)+d M(x) z dx 图a 1)剪应力与剪力平行； 1)剪应力与剪力平行； 剪应力与剪力平行 2)距中性轴等距离处，剪 2)距中性轴等距离处， 距中性轴等距离处 应力相等。 应力相等。 2、研究方法：分离体平衡。 研究方法：分离体平衡。 1)在梁上取微段如图 1)在梁上取微段如图b； 2)在微段上取一块如图c， 2)在微段上取一块如图 平衡 图c
Bx
aa = o 1 o 2 = o 1 o 2 = ρ d θ
变形后： 变形后：
aa =
线应变： 线应变：
(ρ
+ y )d θ
(ρ + y )dθ − ρdθ = ρdθ = y
∆l aa − aa ε = = l aa
ρ
梁内任一点的线应变的大小与该点到中性轴的距离成正比。 梁内任一点的线应变的大小与该点到中性轴的距离成正比。
（三）静力学关系： 静力学关系： 横截面上的微内力 σdA 组成的 空间平行力系， 空间平行力系，仅能简化为三个内力 分量。 分量。 y z y
z x σdA
N = ∫ σ dA = 0
A
∫
→
ห้องสมุดไป่ตู้
A
ydA = 0 ， S z = 0 ∴ z (中性)轴过形心
My =
∫
A
(σ d A ) z = 0，
I yz =
二、工字形(槽形，T字型)截面 工字形(槽形， 字型)
工字形截面可视为由翼 缘和腹板所组成。 缘和腹板所组成。通过分析 可知， 可知，翼缘主要承担弯矩的 作用， 作用，而腹板则主要承受剪 力的作用。 力的作用。 1.腹板上的剪应力 1.腹板上的剪应力 工字形腹板上的剪应 力可以按照矩形截面的剪 应力公式计算， 应力公式计算，即
6-2
弯曲正应力
a A P P B a
一、纯弯曲与剪力弯曲 1.纯弯曲 纯弯曲(Pure Bending): 纯弯曲 横截面上的内力只有 弯矩没有剪力时， 弯矩没有剪力时，该杆段 的变形称为纯弯曲。 的变形称为纯弯曲。 2.剪切弯曲 剪切弯曲 杆各横截面上有既剪 也有弯矩， 力、也有弯矩，且弯矩为 的函数。 截面位置 x 的函数。 V P
VS z* τy = I z b( y )
最大剪应力 τ max ，仍发生在中性轴上的各点处，在中性轴 仍发生在中性轴上的各点处， 且各点处的剪应力均相等。 上剪应力的方向都平行于剪力V，且各点处的剪应力均相等。
τ max
4V 4 = = τ 3A 3
四.薄壁圆环截面： 薄壁圆环截面： 假设： 假设： (1)横截面上切应力的大小沿 横截面上切应力的大小沿 壁厚无变化； 壁厚无变化； (2)切应力的方向与圆周相切。 切应力的方向与圆周相切。 切应力的方向与圆周相切