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工程力学(李卓球)_第8章_梁的弯曲应力与强度计算

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8章弯曲应力及弯曲强度

8章弯曲应力及弯曲强度
弯 矩 图 特 点
x
Fs<0 M
递增函数
x
x
递减函数
Fs1–Fs2=F 由左到右的折角
Fs2
x
斜直线
曲线
M x
递增函数
M x
M
M
x
隆起 与 F相同
以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 a) 外力特征: 受横向载荷的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. b) 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
8.1 平面弯曲的概念和实例
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在同一平面内，并 且弯曲变形后的轴线也位于这个平面内，则梁必关于 此平面对称，这类弯曲称为平面弯曲。
1 a y qL M x 1 M1 x1 Fs1 2 b FR MR
2 用截面法计算Fs1和M1 取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算 Fs1和M1 .
1 2 M R M qL(a b) qb 2
FR qL qb
F
Y
0
ql FS1 0
M
c1
0
FS1 ql
FS 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M ql x2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
qL M 1 1 a y x 2
q
若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2 FR qL qb 和M2.
F
y
0; ( FS ( x) dFs ( x) Fs ( x) q( x)dx 0

梁的弯曲应力和强度计算

梁的弯曲应力和强度计算

20kN.m
M max
10kN.m
2、求最大正应力
s在smm正axax、负MWM弯Wmz矩amxza作x用10下200，6截2150面06 抗2 弯 1模9量.2相M同Pa
3、校核强度
smax 19.2MPa s 40MP 安全
弯曲正应力强度计算
六、综合计算题

6Q bh3线
t max

3Q 2bh

3Q 2A
Q
t
最大剪应力为平均剪应力的1.5倍
t tmax
2、工字型截面梁 （1）分工：
翼缘主要承担弯矩 腹板承担95％~97％的剪力
（2）公式： t QSZ*
bI Z
（3）规律： 剪应力沿腹板高度仍按抛物线变化。
h b
圆形：
z
D
空心圆截面：
外径为D，内径为d, d
D
WZ

IZ ymax

64
D4 d 4 D
D3 1 4
32
2
例题：图示一空心矩形截面悬臂梁受均布荷载作用。已知梁跨
l=1.2m，均布荷载集度q=20kN/m，横截面尺寸为H=12cm， B=6cm，h=8cm，b=3cm。试求此梁外壁和内壁最大正应力。
解：（1）作弯矩图，
求最大弯矩
M ql 2 201.22
max
2
2
14.4kN m
（2）计算截面的惯性矩
IZ

BH 3 12
bh3 12
736cm4
（3）计算应力
s 外max

M max IZ
H 2
14.4 106 736104

工程力学8、弯曲内力与强度计算

工程力学8、弯曲内力与强度计算

最大弯矩可 能 剪力为零的截面 的截面位置
剪力突变的截 弯矩突变的某一
面
侧
3.其它规律：
①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处； ②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；
③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称 ；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称
Y 0,Q2 RB 0 Q2 RB 9kN
RA
RB
Mo' 0,RB 1.5 M2 0 矩心o’—2-2截面形心
M 2 1.5RB 13.5kN m
三、直接法求梁的内力：
（1）梁任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所 有外力沿截面方向投影的代数和；
2
(0 x l )
力
反映剪力（弯矩）随截面位置变化规律的
图 曲线，称作剪力（弯矩）图。
及 其 绘 制
二、剪力图和弯矩图的作法： 取平行梁轴的轴线表示截面位置，规定
正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧；
可先列内力方程再作其函数曲线图。
如悬臂梁：当x=o, Q(x)=-P, M(x)=0;
x=l, Q(x)=-P-ql, M(x)=-Pl-ql2/2.
例8-2 外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。 解：1、求支座反力：由整体平衡
MB 0,P1 8 P2 3 RA 6 0 RA 14kN
MA 0,P1 2 P2 3 RB 6 0 RB 9kN
校核：Y YA YB P1 P2 14 9 3 20 0 反力无误
Pl 1 ql2 2

弯曲应力及强度计算

弯曲应力及强度计算
桥梁的受弯破坏问题
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离

第8章 梁的弯曲应力与强度计算

第8章 梁的弯曲应力与强度计算

My σ= Iz
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
例: 已知 l=1m,q=6kN/m,10号槽 , , 号槽 钢.求最大拉应力和压应力. 求最大拉应力和压应力. 解:(1)作弯矩图 ) 1 2 M max = ql = 3000 N m 2 (2)由型钢表查得,10号槽钢 )由型钢表查得, 号槽钢
σ = Eε
代入上式, 将 (a) 代入上式,得
σ =E
y
ρ
(b)
式(b)表明横截面上任意一点的正应力σ 与该点到中性轴的距离 y )表明横截面上任意一点的正应力 成正比. 成正比. 在中性轴上: 0 在中性轴上:y=0, σ=0. 0
8 梁的弯曲应力与强度计算 静力学关系
FN = ∫ σ dA
A
I z = 25.6cm 4 b = 4.8cm y1 = 1.52cm
(3)求最大应力 )
σ t ,max
σ c ,max
M max y1 (3000 N m)(1.52 ×10 2 m) = 178.1MPa = = -8 4 25.6 ×10 m Iz
M max y2 (3000 N m) ( 4.8 1.52) ×10 2 m = = 384.4MPa = -8 4 25.6 ×10 m Iz
σ c ,max
C截面: 截面: 截面
M B y1 (4 ×103 N m)(52 ×10 3 m) = = = 27.3MPa < [σ t ] 8 4 Iz 763 × 10 m M B y2 (4 ×103 N m)(88 × 10 3 m) = = = 46.1MPa < [σ c ] 8 4 Iz 763 × 10 m
8 梁的弯曲应力与强度计算

工程力学基础课件：第8章 弯曲强度

工程力学基础课件：第8章 弯曲强度

A
C
横力弯曲：横截面上既有 弯矩，又有切力。
a F
F
D
B
a
F
M
zM
Fa
Fa
O
dA x
dA
y
梁横截面上的弯矩
z M ydA 直接导出弯曲正应力
y
A
1、几何关系
（1）变形现象
（a）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长， 部分纵向线段缩短。
（b）各横向线相对转过了一个角度，仍保持为直线。 （c）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
平面弯曲
梁的弯曲平面（即弯曲前与弯曲后梁轴线所确定的 平面）与载荷平面（即梁上载荷所在平面）重合 （或平行）的这种弯曲，称为平面弯曲。
通过梁轴线和截面对称轴的平面，称为纵向对称面。 当梁上载荷（含支座反力）位于纵向对称面内时，将 发生平面弯曲。
纵向对称面
最基本常见的弯曲问题
——对称弯曲
纵对称面
将应力表达式代入第二式，得
A z
dA
E
yzdA 0
A
此即保证梁为平面弯曲的条件。
E y
M z ydA M 3
A
将应力表达式代入第三式，得
M ydA E y2 dA
A
A
A y2 dA IZ
1 M
E Iz
中性层曲率半径的确定 也即梁弯曲变形的基本公式
纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式
中性轴
中性层
z
横截面
（4）应变变化规律
O
b1'b2' ydq
b1b2 dx O1O2 O1'O2' dq
( y)dq dq y
dq
M

第8章 弯曲应力


研究思路
几何 应变 物理 应力 静力 应力 变形 分布 关系 分布 关系 计算 关系
公式
任艳荣
二、弯曲正应力一般公式
工程力学
（Engineering Mechanics）
1、几何关系
取微段d 为研究对象 取微段dx为研究对象 ρ为中性层 1O2的曲率半径， 为中性层O 的曲率半径， 两截面间夹角为dθ，考察任一 两截面间夹角为 纵向纤维（ 的应变， 纵向纤维（a’a’）的应变，a’a’ 到中性层的距离为y。 到中性层的距离为 。 变形前： 变形前：
任艳荣
二、弯曲正应力一般公式
纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式
工程力学
（Engineering Mechanics）
M y σ= Iz
应用说明： 应用说明：
（2）各种截面形状的直梁； ）各种截面形状的直梁； （3）纯弯曲梁、横力弯曲； ）纯弯曲梁、横力弯曲； （4）线弹性材料 ）
任艳荣
工程力学
§8-2 对称弯曲正应力
x σdA
—即中性轴过截面的形心。
任艳荣
二、弯曲正应力一般公式
② My= ∫Azσ dA=0 My= ∫Az Ey/ρ dA= E /ρ ∫Az y dA=0 Iyz=0 —中性轴为截面的形心主轴
③ Mz= ∫AyσdA =M
工程力学
（Engineering Mechanics）
z
y z y
x σdA
F
M
300
A B C D
3m
2m
180
50
解： 计算固定端弯矩： ① 计算固定端弯矩：
M=m - F×3= -25kN.m ×
任艳荣
轴的惯性矩： ② 截面对 z 轴的惯性矩： Iz= bh3/12 = 40.5×10-5m4

工程力学第8章梁的弯曲应力与强度计算

弯曲应力是指由于外力矩作用，使梁 发生弯曲变形时，在梁的横截面上产 生的应力。
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。

工程力学梁的弯曲应力与强度计算

工程力学
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应
力 ? max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
? max
?
M max ymax Iz
Wz ?
Iz ymax
? max
?
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为 m3。
成正比。
在中性轴上：y＝0， σ ＝0。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
静力学关系
? FN ?
? dA
A
? ? M y ?
z? dA
? dA ? 0
A
(c)
? M y ?
z? dA ? 0
A
(d)
? M z ?
y?
A
dA ?
Me
(e)
将式 ? ? E y 代入式(c)，得 ?
单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众 多纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的缩短，中间必定有一层纤 维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也 不缩短的一层纤维。 中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称 面。（横截面绕中性轴转动） 中性轴垂直于纵向对称面。

工程力学8章—弯曲应力


1
ρ
为曲率半径
曲率
1
ρ
表示梁弯曲变形的程度。
1
ρ
1
∝M
M
⇒ 轴线越弯曲;
1 ∝ ρ EI z
EI z
⇒ 轴线变形越小(越平缓) 。
抗弯刚度(Flexural Rigidity) 因此 EI z 叫做梁的抗弯刚度 抗弯刚度
14
§8-3 纯弯曲时梁的正应力
正应力的有关公式
几何方程
物理方程
ρ σ = Eε
A
从静力学里得到，均质薄板的重心 与平面图形的形心有相同的坐标 ：
yC
∫ =
A
ydA A
Sz = A
zC
∫ zdA = S =
A
y
A
A
A 为截面面积
由
yC
为截面形心到中性轴的距离
Sz = ∫ ydA = yC A = 0
A
→
目录
yC = 0
18
中性轴应通过横截面的形心。 中性轴应通过横截面的形心
§8-3 纯弯曲时梁的正应力
A
1m
FAY
B C
l = 3m
30
I z = 5.832×10−5 m4
x
K
z 3. 全梁最大正应力 y
FBY
FS
90kN
最大弯矩 Mmax = 67.5kN⋅ m
(+)
(−)
σmax =
x 90kN
Mmax ymax IZ 180 ×10−3 2 5.832×10−5
29
目录
M
ql 2 / 8 = 67.5kN⋅ m
y
Sz = ∫ ydA = 0
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应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，
足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。
My Iz
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应 力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
A
FN dA 0
A
( c) (d) ( e)
M y z dA 0
A
M z y dA M e
A
将式 E
y

代入式(c)，得
dA
A
Ey
A

dA 0
E

＝常量，
E


A
y dA 0 S z 0 z 轴（中性轴）通
过截面形心。
称为纯弯曲。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.1 纯弯曲时横截面上的正应力 实验观察变形 纵向线(aa、bb)：变为弧线，凹侧 缩短，凸侧伸长。 横向线(mm、nn): 仍保持为直线， 发生了相对转动，仍与弧线垂直。 平面假设：梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变 形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。 单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。
的距离，横截面上的最大正应力为
σ max
M y max Iz
IZ WZ ymax
C
ymax
Z
WZ
称为抗弯截面模量 W
max z
M
ymax
y
8 梁的弯曲应力与强度计算 横截面上正应力的画法：
min
M
min
M
max
max
8 梁的弯曲应力与强度计算
对于中性轴不是对称轴的横截面？
M EI z
M y Iz
1
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。
以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。 只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的
A
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
将式(b)代入式(e)，得
M y dA
A
E


A
y 2 dA
M
E

Iz
M EI z
1
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。 EIz 称为梁的弯曲刚度。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E
y

(b)
d
离 y 成正比。

y

(a)
式(a)表明线应变ε与它到中性层的距
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
y d d
物理关系：
d

y

(a)
因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。 当应力小于比例极限时，由胡克定律知
E
将 (a) 代入上式，得
E
y

(b)
式(b)表明横截面上任意一点的正应力σ 与该点到中性轴的距离 y 成正比。 在中性轴上：y＝0， σ ＝0。
8 梁的弯曲应力与强度计算 静力学关系
FN dA
A
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
M y z dA
A
M z y dA
工 程 力 学
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8
梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。
对于直径为 D 的圆形截面
Iz D 4 / 64 D 3 Wz D/2 ymax 32
对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面
Iz D 4 (1 4 ) / 64 D 3 (1 4 ) Wz 32 ymax D/2
8 梁的弯曲应力与强度计算
y max 当中性轴为对称轴时，表示最大应力点到中性轴
8 梁的弯曲应力与强度计算
横截面的 对称轴 横截面
中性层
中性轴
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
变形几何关系：
设横截面的对称轴为y 轴，向下为 正，中性轴为 z 轴（位置未定）。
bb y d
bb dx OO OO d
y d d
求得相应的最大正应力

My
yc max
y
M
I
z
Z
yt max
y
8 梁的弯曲应力与强度计算
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
设想梁由平行于轴线的众
多纵向纤维组成，由底部纤维 的伸长连续地逐渐变为顶部纤 维的缩短，中间必定有一层纤 维的长度不变。
中性层：中间既不伸长也
不缩短的一层纤维。 中性轴：中性层与梁的横截面的交线，垂直于梁的纵向对称 面。（横截面绕中性轴转动） 中性轴垂直于纵向对称面。
max
引用记号
M max ymax Iz
Iz Wz ymax
则
M max max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
bh3 / 12 bh2 Iz Wz h/2 6 ymax
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E
y

E
(b)
M y z dA 0
A
( d) ( e)
将式(b)代入式(d)，得
M z y dA M
A
z dA
A
A
y z dA 0
y z dA I yz 0
公式就可适用。
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力
在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不 但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和 各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正