辽宁省实验中学等五校2020-2021学年高二上学期期末联考数学试题

2020-2021学年高三年级第一学期第一次五校联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.函数 的定义域为A.B. C.D.2.已知 ，则下列不等式一定成立的是A.B. C.D.3.已知 是定义在R 上的偶函数，且在 上是增函数， ，则不等的解集为A.B. C.D.4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数(1)e sin ()e 1x xxf x =-+在区间ππ(-,)22上的图象的大致形状是( ) A ． B ．C ．D ．5.已知 ，则的最小值是 ．A. 3B.C.D. 96．已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，若()2l og 3a f =，13log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22c f -=则,,a b c 的大小为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>27．已知命题：，；命题q: ，，若、都为真命题，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知函数 有两个极值点，则实数a 的取值范围是A.B.C. D.二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分，每小题全对得5分，部分对得3分，有错得零分）9.若直线是函数 图象的一条切线，则函数 可以是A.B. C. D.10．设正实数m n 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A ．2n m n+的最小值为3 B ．mn 的最大值为1 C的最小值为2 D ．22m n +的最小值为211.下列命题中正确命题的是.已知a ，b 是实数，则“”是“ ”的充分而不必要条件； ，使 ；设 是函数 的一个极值点，则若角 的终边在第一象限，则的取值集合为 ．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用 表示不超过x 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， 已知函数，则关于函数 的叙述中正确的是 A. 是偶函数B. 是奇函数C. 在 上是增函数D. 的值域是三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积 ______．14.已知函数 ，且，则 ______． 15.已知三个函数ℎ ℎ′ ， ℎ若 ， ，都有 成立，求实数b 的取值范围16.设 是定义在R 上的偶函数，且 ，当 时，，若在区间 内关于x 的方程 有3个不同的根，则a 的范围是 ．p x ∀∈R 220mx +>x ∃∈R 2210x mx -+≤p q m [1,)+∞(,1]-∞-(,2]-∞-[1,1]-四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题共10分）已知角为第一象限角，且．求，的值；求的值．18.（本题共12分）已知集合，求集合A；若p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19.（本题共12分）已知函数，满足： ；．求函数的解析式；若对任意的实数，都有成立，求实数m的取值范围．20. （本题共12分）已知函数是定义在R上的奇函数．求a的值；判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：；是否存在实数k，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．21.（本题共12分）如图，公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地圆心O在道路上，AB为直径，现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC 内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．设单位：弧度，将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用．22.已知函数，其中a为正实数．若函数在处的切线斜率为2，求a的值；求函数的单调区间；若函数有两个极值点，，求证：．4。

2020-2021学年辽宁省沈阳市市级重点高中联合体高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（）A．73B．37C．D．2．（5分）已知向量＝（1，x，﹣2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或03．（5分）已知直线ax+y+1＝0及两点P（﹣2，1）、Q（3，2），若直线与线段PQ的延长线相交（不含Q点）（）A．a＜﹣1或a＞1B．﹣1＜a＜﹣C．＜a＜1D．﹣1＜a＜1 4．（5分）已知C﹣C＝C（）A．12B．13C．14D．155．（5分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有2个公共点，则b的取值范围是（）A．[1﹣2，1+2]B．（1﹣2，﹣1]C．[3，1+2）D．[﹣1，3]6．（5分）某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A．120种B．156种C．188种D．240种7．（5分）如图所示，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′于点C，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（）A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．8．（5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（5分）关于空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），下列说法正确的是（）A．OP的中点坐标为（，1，）B．点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2，3）C．点P关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）D．点P关于xOy面对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3）10．（5分）对于的展开式，下列说法正确的是（）A．展开式共有6项B．展开式中的常数项是﹣240C．展开式中各项系数之和为1D．展开式中的二项式系数之和为6411．（5分）下列结论正确的是（）A．方程＝6表示的曲线是双曲线的右支B．若动圆M过点（1，1）且与直线3x﹣2y﹣1＝0相切，则点M的轨迹是抛物线C．两焦点坐标分别为（3，0）和（﹣3，0），且经过点（5，0）的椭圆的标准方程为＝1D．椭圆＝1上一点P到右焦点的距离的最大值为9，最小值为12．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点P（，），则下列结论正确的是（）A．曲线C的离心率为B．曲线C的渐近线方程为2x±y＝0C．若F到曲线C的渐近线的距离为，则曲线C的方程为﹣＝1D．设O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则S△POF＝三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省协作校2020-2021学年高二上学期第一次联考试题 考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：选择性必修一第一章。

第I 卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点A(－1，1，2)，B(3，2，1)，则|AB |＝C.4D.62.若空间向量a ，b 不共线，且－a ＋(3x －y)b ＝xa ＋3b ，则xy ＝A.1B.2C.4D.63.已知空间向量a ＝(3，0，3)，b ＝(－1，1，0)，则a 与b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设1AB a AD b AA c ===，，，且|a|＝2，则(a ＋b)·(a －c)＝A.4B.3C.2D.15.直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，且∠BAD ＝3π，则|1AC |＝B.4 6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，若点P 在侧面BCC 1B 1(不含边界)内运动，AP ⊥BD 1，且点P 到底面ABCD 的距离为3，则异面直线BD 与AP 所成角的余弦值是7.已知P ，A ，B ，C 四点满足PA ＝(1，1，－3)，PB ＝(2，－1，1)，PC ＝(3，4，m)，且P ，A ，B ，C 四点共面，则m ＝A.343-B.13-C.113D.3438.如图，在四面体ABCD 中，AB ＝CD AC ＝BD AD ＝BC M 为棱AB 的中点，1DN DC 3=，连接MN ，则点A 到MN 所在直线的距离的平方为A.6977B.6577C.1011D.369154二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年辽宁省实验中学高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2≤4}，B={x||x|>1}，则A∩B=()A. {x|1<x≤2}B. {x|−2<x<−1或1<x<2}C. {x|−2≤x<−1}D. {x|−2≤x<−1或1<x≤2}2.复数z满足z(1+i)=1−i，则z的虚部等于()A. −iB. −1C. 0D. 13.某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1，m2；平均数分别为s1，s2，则下面正确的是()A. m1>m2，s1>s2B. m1>m2，s1<s2C. m1<m2，s1<s2D. m1<m2，s1>s24.设a=50.4，b=log0.40.5，c=log50.4，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a5.已知α是第二象限角，sinα=45，则sin2α=()A. −2425B. 2425C. −1225D. 12256.四个人排一个五天的值班表，每天一人值班，并且每个人至少值班一次，则有()种不同的排班方式．A. 240B. 480C. 420D. 3607.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过焦点F的直线l交抛物线C于P、Q两点，交y轴于点A，若点P为线段FA的中点，且|FQ|=2，则p的值为()A. 23B. 43C. 2D. 38.在底面边长为1的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱长等于2，则()A. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有一个B. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有两个C. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有三个D. 在正四棱柱的棱上到异面直线A1B和C1C距离相等的点有且只有四个二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q>1，n∈N+，则()A. {a n}一定是递增数列B. {a n}可能是递增数列也可能是递减数列C. a3，a7，a11仍成等比D. ∀n∈N+，S n≠010.定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1+x)=−f(1−x)，且x≥1时，函数f(x)单调递增，则()A. f(1)=0B. f(x)是周期函数C. 方程f(x)=0有唯一实数解D. 函数f(x)在(−∞,0)内单调递减11.为了得到y=2sin(2x−π3)的图象只需把函数y=2cos(2x+π6)的图象()A. 向右平移π2B. 向左平移π2C. 关于直线x=π4轴对称 D. 关于直线x=π6轴对称12.方程e x+x−2=0的根为x1，lnx+x−2=0的根为x2，则()A. x1x2>12B. x1lnx2+x2lnx1<0C. e x1+e x2<2eD. x1x2<√e2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F1，F2为双曲线x216−y29=1的左、右焦点，则|F1F2|=______ ．14.若正数a、b满足a+2b=1，则2a +1b的最小值是______ ．15.某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球、篮球、排球、羽毛球四个兴趣小组，要求每一名学生选择其中的两个小组参加.现有A，B，C，D四位同学，已知A与B没有选择相同的兴趣小组，C与D 没有选择相同的兴趣小组，B与C选择的兴趣小组恰有一个相同，且B选择了足球兴趣小组.给出如下四个判断：①C可能没有选择足球兴趣小组：②A、D选择的两个兴趣小组可能都相同；③D可能没有选择篮球兴趣小组；④这四人中恰有两人选择足球兴趣小组；其中正确判断是______ ．16.已知a⃗，b⃗ ，c⃗是平面向量，a⃗，c⃗是单位向量，且<a⃗，c⃗>=π3，若b⃗ 2−9b⃗ ⋅c⃗+20=0，则|2a⃗−b⃗ |最大值是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①ac=4√7，②sinB=2sinA，③csinA=√3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求c值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA+acosB+2ccosC=0，△ABC的面积是2√3，____？18.某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖.现有一位员工参加此摸奖游戏．(1)如果该员工选择有放回的方式(即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个)摸球，求他能中奖的概率；(2)如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为X，求X的分布列和数学期望；(3)该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．19.四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，PD=AD=4，∠BAD=60°，点F在棱PD上．PD，在棱BC上是否存在一点E，使得CF//平面PAE，并(1)若PF=12说明理由；(2)若直线AF与平面BCF所成的角的正弦值是√15，求二面角A−FB−C10的余弦值．20.已知数列{a n}前n项和为S n，且a1=3，S n=a n+1−1，数列{b n}为等差数列，a2=b4，且b2+b5=b7．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)若c n=a n b n，求{c n}的前n项和T n．(n+2)b n+121.已知椭圆Γ中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率e=1，经过点2M(c,−3)(c为椭圆的半焦距)．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)∠F1MF2的平分线l与椭圆的另一个交点为N，O为坐标原点，求直线OM与直线ON斜率的比值．22.设函数f(x)=(1+ax)e−2x，曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=−x+1．(1)求实数a的值；(2)求证：当x∈[0,1]时，2f(x)−2≥x(x2+4cosx−6)．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|−2≤x≤2}，B={x|x<−1或x>1}，∴A∩B={x|−2≤x<−1或1<x≤2}．故选：D．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵复数z满足z(1+i)=1−i，∴z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=1−2i+i21−i2=−i，∴z的虚部为−1．故选：B．推导出z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i，由此能求出z的虚部．本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用频率分布直方图求平均数、中位数，考查运算求解能力，是基础题．利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果．【解答】解：由频率分布直方图得：甲地区[40,60)的频率为：(0.015+0.020)×10=0.35，[60,70)的频率为0.025×10=0.25，∴甲地区用户满意度评分的中位数m1=60+0.5−0.350.25×10=66，甲地区的平均数s1=45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10=67．乙地区[50,70)的频率为：(0.005+0.020)×10=0.25，[70,80)的频率为：0.035×10=0.35，∴乙地区用户满意度评分的中位数m2=70+0.5−0.250.35×10≈77.1，乙地区的平均数s2=55×0.005×10+65×0.020×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.015×10=77.5．∴m1<m2，s1<s2．故选：C．4.【答案】B【解析】解：∵a=50.4>1，b=log0.40.5∈(0,1)，c=log50.4<0，则a，b，c的大小关系为：c<b<a．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性分别与0，1比较大小即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：因为α是第二象限角，sinα=45，所以cosα=−√1−sin2α=−35，则sin2α=2sinαcosα=2×45×(−35)=−2425．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，分2步进行分析，①在4人中选出1人，在5天中任选2天，安排该人值班，有C41C52=40种选法，②将剩下3人，安排到其余3天值班，有A33=6种排法，则有40×6=240种不同的排班方式，故选：A．根据题意，分2步进行分析，①在4人中选出1人，在5天中任选2天，安排该人值班，②将剩下3人，安排到其余3天值班，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分布计数原理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图所示，分别过点P，Q做QB⊥l，PE⊥l，垂足分别为B，E，抛物线的焦点坐标F(p2,0)，不妨P在第四象限，由题意，点P为线段FA的中点，且|FQ|=2，P(p4,−√22p)，则A(0,−√2p)，Q(2−p2,√2p(2−p2))，A 、F 、Q 三点共线，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(p 2,√2p)，FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−p,√2p(2−p 2))， 所以√2p(2−p)=p 2⋅√2p(2−p2)，解得p =43或p =83(舍去)，故选：B ．如图所示，分别过点P ，Q 作PE ⊥l ，QB ⊥l ，垂足分别为E ，B ，通过抛物线的性质，求出A 、P 、Q 的坐标，利用三点共线，求解即可．本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查数形结合思想方法和距离公式的应用，考查化简运算能力，属于中档题． 8.【答案】B【解析】解：如图，BC 是异面直线A 1B 和C 1C 的公垂线段，可得线段BC 的中点到它们的距离相等，都为12，点D 1到异面直线A 1B 和C 1C 的距离都为1，在正四棱柱的棱上到异面直线A 1B 和C 1C 距离相等的点有且只有两个．故选：B ．根据正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中的线线、线面位置关系，即可判断．本题考查了正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的性质，考查了空间想象能力，属于基础题．9.【答案】BCD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，当a 1<0时，若q >1，{a n }为递减数列，A 错误，对于B ，已知q >1，当a 1<0时，{a n }为递减数列，当a 1>0时，{a n }为递增数列，B 正确， 对于C ，数列{a n }为等比数列，则a 3，a 7，a 11仍成等比，C 正确， 对于D ，等比数列{a n }中，q >1，则S n =a 1(1−q n )1−q，必有S n ≠0，D 正确，故选：BCD ．根据题意，结合等比数列的性质依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查等比数列前n 项和、等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题． 10.【答案】AC【解析】解：由f(1+x)=−f(1−x)得f(1+x)+f(1−x)=0， 即f(x)的图象关于点(1,0)对称，令x =0得f(1)=−f(1)，则2f(1)=0，即f(1)=0，故A 正确；又因当x ≥1时，函数f(x)单调递增，f(x)的图象关于点(1,0)对称，则函数f(x)在(−∞,1)内单调递增，故D 不正确；函数f(x)在R 上单调递增，f(1)=0，所以方程f(x)=0有唯一实数解，故C 正确； 故选：AC ．根据f(1+x)=−f(1−x)得f(x)的图象关于点(1,0)对称，结合x ≥1时，函数f(x)单调递增，可得在(−∞,1)上的单调性，以及方程的解得情况．本题主要考查抽象函数及其应用，解题的关键是得到函数图象关于点对称，属于中档题．11.【答案】AB【解析】解：对于A：把函数y=2cos(2x+π6)的图象向右平移π2个单位，得到y=2cos[2(x−π2)+π6]=2cos(2x−5π6)=2sin(2x−π3)的图象，故A正确；对于B：把函数y=2cos(2x+π6)的图象向左平移π2个单位，得到y=2cos[2(x+π2)+π6]=−2cos(2x+π6)=2sin(2x−π3)的图象，故B正确；对于C：当x=π4时，函数取不到最值，故C错误；对于D当x=π6时，函数取不到最值，故D错误．故选：AB．直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦函数的图象和性质的应用，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：令f(x)=e x+x−2，g(x)=lnx+x−2，则函数y=−x+2与函数y=e x和函数y=lnx的交点，即为函数f(x)和g(x)的零点，作出函数y=e x、y=lnx、y=−x+2、y=x的图象如下图所示，选项A：因为点A，B关于点C对称，且0<x1<1<x2，又因为C(1,1)，所以x1+x2=2，且e x1=x2，故A错误，对于选项B：因为e x1+x1−2=0，由零点存在定理知0<x1<12，记F(X)=xe x +lnxx，则F′(x)=1−xe x+1−lnxx2，故当0<x<12时，F′(x)>0，所以F(x)在(0,12)上单调递增，因为0<x 1<12，所以F(x 1)<F(12)， 即x 1e x 1+lnx 1x 1<12e 12+ln1212=2√eln4<0，即x 1e x 1+lnx 1x 1<0，又e x 1=x 2， 故lnx 2x 2+lnx 1x 1<0，故B 正确，对于C 选项：因为点A ，B 关于点C 对称，且0<x 1<1<x 2， 又因为C(1,1)，所以x 1+x 2=2，由基本不等式得e x 1+e x 2≥2√e x 1+x 2=2e ，而x 1≠x 2， 所以e x 1+e x 2>2e ，故C 错误；对于选项D ：记G(x)=2−x −lnx ，则G(1)=1>0， G(√e)=2−√e −12=32−√e <0，则1<x 2<√e ，由x 1x 2=(2−x 2)x 2=x 2lnx 2，易知y =xlnx 在(32,e)单调递增， 故x 1x 2=x 2lnx 2<√eln √e =√e2，故D 正确．故选：BD ．观察两个函数的解析式易发现y =−x +2与函数y =e x 和函数y =lnx 的交点，即为函数f(x)和g(x)的零点，作出函数图象即可判断选项A ，通过构造函数F(x)=lnx x，再利用其单调性来构造相关的不等式，可以判断选项B ，利用基本不等式的相关性质即可判断选项C ，构造函数G(x)=2−x −lnx ，利用其单调性和x 2的取值范围进行分析求解，即可判断选项D ．本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了对数函数、指数函数图象和性质的应用、利用导数研究函数的应用，综合性较强，对于学生的化归与转化能力、构造函数的能力以及计算能力都有很高的要求． 13.【答案】10【解析】解：F 1，F 2为双曲线x 216−y 29=1的左、右焦点，可得a =4，b =3，c =√a 2+b 2=5， 所以|F 1F 2|=10． 故答案为：10．利用双曲线方程求解a ，b ，推出c ，即可得到结论．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 14.【答案】8【解析】解：∵正数a 、b 满足a +2b =1， 则2a +1b =(a +2b)(2a +1b )=4+4b a+a b ≥4+2√4b a ×ab =8，当且仅当a =2b =12时取等号．∴2a +1b 的最小值是8．故答案为：8．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】①③④【解析】解：对于①，若C没有选择足球兴趣小组，则B与C相同的为其它三项中的一项，可以是如下选法：故①正确；对于②，A、D选择的两个兴趣小组都相同，因为C与D不同，所以A与C不同，而C与B有一个相同，故A必有一个与B相同，与题意不符，故②错误；由分析①的图示可知，D可能没有选择篮球兴趣小组，故③正确；对于④，B已选了足球，则A不选足球，若C选足球，则D不选足球，若D选足球，则C不选足球，且C与D中必有一人选足球，故这四人中恰有两人选择足球兴趣小组，故④正确．故答案为：①③④．利用图示法说明①③正确；由反证法思维说明②错误；直接推理证明④正确．本题考查简单的合情推理，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．16.【答案】√61+12【解析】解：因为a⃗，c⃗是单位向量，所以|a⃗|=|c⃗|=1，又因为<a⃗，c⃗>=π3，不妨设a⃗=(1,0)，c⃗=(12,√32)，又因为b⃗ 2−9b⃗ ⋅c⃗+20=0，所以(b⃗ −4c⃗ )⋅(b⃗ −5c⃗ )=0，所以(b⃗ −4c⃗ )⊥(b⃗ −5c⃗ )，作图，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ =(2,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4c ⃗ =(2,2√3)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5c ⃗ =(52,5√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∠AOC =π3，所以b ⃗ −4c ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，b ⃗ −5c ⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以点B 在以CD 为直径的圆上，圆心为CD 中点(94,9√34)，r =12√(52−2)2+(5√32−2√3)2=12，|2a ⃗ −b⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以问题转化为点A 到圆上距离的最大值√(94−2)2+(9√34−0)2+r =√61+12．故答案为：√61+12．根据题意不妨设a ⃗ =(1,0)，c ⃗ =(12,√32)，b ⃗ 2−9b ⃗ ⋅c ⃗ +20=0⇒(b ⃗ −4c ⃗ )⊥(b ⃗ −5c ⃗ )，作图OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ =(2,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4c ⃗ =(2,2√3)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5c ⃗ =(52,5√32)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∠AOC =π3，点B 在以CD 为直径的圆上，计算圆心，及半径，问题转化为点A 到圆上距离的最大值点A 到圆心的距离+r 即可得出答案．本题考查向量的运算，最值，解题关键是利用几何图形转化问题，属于中档题．17.【答案】解：由正弦定理知，a sinA =b sinB =csinC ，∵bcosA +acosB +2ccosC =0，∴sinBcosA +sinAcosB +2sinCcosC =0，即sin(A +B)+2sinCcosC =0， ∵A +B +C =π，∴sin(A +B)=sinC ， ∴sinC +2sinCcosC =0，∵sinC ≠0，∴1+2cosC =0，即cosC =−12， 又C ∈(0,π)，∴C =2π3．∵△ABC 的面积S =12absinC =12absin 2π3=2√3，∴ab =8． 选择条件①：由余弦定理知，c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−2×8×cos2π3=a 2+b 2+8，又ac =4√7， ∴c 2=(4√7c)2+(√7)2+8，化简得，3c 4−56c 2−784=0，解得c 2=28或−283(舍负)，∴c =2√7．选择条件②：由正弦定理知，a sinA =bsinB ， ∵sinB =2sinA ，∴b =2a ， 又ab =8，∴a =2，b =4，由余弦定理知，c 2=a 2+b 2−2abcosC =4+16−2×2×4×cos 2π3=28，∴c =2√7． 选择条件③：由正弦定理知，asinA =csinC ， ∴asinC =csinA =√3， ∵C =2π3，∴a =2，又ab =8，∴b =4． 下面的步骤同②．【解析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，并结合三角形的内角和定理与正弦的两角和公式，可推出C =2π3，再由S =12absinC ，可得ab =8． 选择条件①：结合余弦定理，ab =8和ac =4√7，解该方程组，即可得解；选择条件②：由正弦定理可得b =2a ，从而求得a 和b 的值，再由余弦定理，得解；选择条件③：由正弦定理可得asinC =√3，从而求得a 和b 的值，再由余弦定理，得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，涉及边化角的思想，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式与两角和公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)摸出红球的概率为37，摸出白球的概率为47，如果该员工选择有放回的方式摸球，则他能中奖的概率为C 32(37)2×47+C 33(37)3=135343． (2)X 的所有可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 43C 73=435，P(X =1)=C 31C 42C 73=1835， P(X =2)=C 32C 41C 73=1235，P(X =3)=C 33C 73=135，则X 的分布列为 X 0123P43518351235135X 的数学期望为E(X)=0×435+1×1835+2×1235+3×135=97．(3)如果该员工选择不放回的方式摸球，则他中奖的概率为1235+135=1335<135343，所以该员工选择有放回的方式摸球中奖的可能性更大．【解析】(1)由独立事件概率公式计算即可得解．(2)由题意可得X 的取值为0，1，2，3，利用古典概型求概率，可得分布列，然后求解数学期望； (3)求出不放回的方式摸球中奖的概率与有放回的方式摸球中奖的概率比较大小，即可求得结论．本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查发现问题解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)在棱BC 上存在点E ，使得CF//平面PAE ，点E 为棱BC 的中点．证明如下：取PA 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，FQ//AD 且FQ =12AD ，CE//AD 且CE =12AD ， 故CE //FQ 且CE =FQ.∴四边形CEQF 为平行四边形． ∴CF//EQ ，又CF ⊄平面PAE ，EQ 在平面PAE 内， ∴CF//平面PAE ；(2)取AB 中点M ，由底面ABCD 是菱形，∠BAD =60°，得DM ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DM ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设DF =a ，则D(0,0，0)，F(0,0，a)，C(0,4，0)， B(2√3,2，0)，A(2√3,−2,0)， FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，−a)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,0)，FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,−a)， 设平面FBC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)． 由{m ⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y −az =0m ⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x −2y =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,4√3a )，∵直线AF 与平面BCF 所成的角的正弦值是√1510，∴√1510=|cos <FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|4√3|√16+a 2⋅√4+48a 2，解得a =4√3(舍)或a =2．则m ⃗⃗⃗ =(1,√3,2√3)；此时FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,−2,−2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，0)，设平面AFB 的一个法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{n ⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√3x 1−2y 1−2z 1=0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y 1=0，取x 1=1，得n ⃗ =(1,0,√3)．cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=74×2=78，由图可知，二面角A −FB −C 为钝角，则二面角A −FB −C 的余弦值为−78．【解析】(1)在棱BC 上存在点E ，使得CF//平面PAE ，点E 为棱BC 的中点．取PA 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，推导出四边形CEQF 为平行四边形．由此能证明CF//平面PAE ；(2)取AB 中点M ，以D 为坐标原点，以DM ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设DF =a ，利用空间向量求解线面角可得a 值，然后利用平面BFC 与平面AFC 法向量所成角的余弦值可得二面角A −FB −C 的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)a 1=3，S n =a n+1−1，可得a 1=S 1=a 2−1， 即有a 2=4，n ≥2时，S n−1=a n −1，又S n =a n+1−1，两式相减可得a n =S n −S n−1=a n+1−1−a n +1， 即有a n+1=2a n ，可得n ≥2时，a n =4⋅2n−2=2n ， 则a n ={3,n =12n ,n ≥2；设等差数列{b n }的公差为d ，由a 2=b 4=b 1+3d =4， b 2+b 5=b 7，即为2b 1+5d =b 1+6d ，即b 1=d ， 解得b 1=d =1， 则b n =n ；(Ⅱ)n ≥2时，c n =a n b n(n+2)b n+1=n⋅2n (n+2)(n+1)=12(2n+2n+2−2n+1n+1)，所以前n 项和T n =33×2+12(244−233+255−244+⋯+2n+2n+2−2n+1n+1)=12+12((2n+2n+2−83)=2n+1n+2−56．【解析】(Ⅰ)运用数列的递推式和等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求通项公式； (Ⅱ)求得n ≥2时，c n =n⋅2n(n+2)(n+1)=12(2n+2n+2−2n+1n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设椭圆方程为x 2a 2+y2b2=1，a >b >0， 因为e =c a =12，即a =2c ， 所以b 2=a 2−c 2=3c 2， 所以椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1， 把M(c,−3)代入上式得，c 24c 2+93c 2=1，解得c =2，所以a =4，b 2=12， 所以椭圆的方程为x 216+y 212=1．(2)作CD ⊥MF ，垂足为D ，C 为MN 与x 轴的交点，且C(m,0)， 因为M(2,−3)，F 1(−2,0)， 所以MF 1所在直线y +34x +32=0， 因为MN 平分∠F 1MF 2， 所以CD =CF 2， 所以|34m+32|√1+916=2−m ，解得m =12，所以C(12,0)，所以直线MN 的方程为y +2x −1=0，联立{y +2x −1=0x 216+y 212=1，解得M(2,−3)，N(−2219,6319)，所以k OM =−32，k ON =−6322， 所以k OMk ON=1121．【解析】(1)设椭圆方程为x 2a2+y 2b 2=1，根据题意可得a =2c ，b 2=3c 2，推出椭圆的方程为x 24c2+y 23c 2=1，把M(c,−3)代入上式解得c ，a ，b 2，进而可得椭圆的方程．(2)作CD ⊥MF ，垂足为D ，C 为MN 与x 轴的交点，且C(m,0)，由MN 平分∠F 1MF 2，推出CD =CF 2，即|34m+32|√1+916=2−m ，解得m ，进而可得C 坐标，直线MN 的方程，联立直线MN 与椭圆的方程，解得M ，N 坐标，进而可得k OM ，k ON ， 得出结论．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)∵f(x)=(1+ax)e −2x ， ∴f′(x)=ae −2x −2(1+ax)e −2x ， ∴f′(0)=a −2=−1，解得：a =1； (2)由(1)得：f(x)=(x +1)e −2x ， f′(x)=(−2x −1)e −2x ，x ∈[0,1]时，f′(x)<0，f(x)在[0,1]单调递减， 故x =1时，y =2f(x)−2的最小值是4e 2①， 即2f(x)−2的最小值是4e 2，当x ∈[0,1]时，cosx ∈(0,1]，故x(x 2+4cosx −6)≤x(x 2+4−6)=x(x 2−2)， 令g(x)=x 3−2x ，则g′(x)=3x 2−2，令g′(x)>0，解得：x >√63，令g′(x)<0，解得：x <√63，故g(x)在[0,√63)递减，在(√63,1]递增，故g(x)的最大值是g(0)或g(1)，而g(0)=0，g(1)=−1，故g(x)≤0，>0，故4e2故当x∈[0,1]时，2f(x)−2≥x(x2+4cosx−6)．【解析】(1)求出函数的导数，根据f′(0)=−1，求出a的值即可；(2)根据函数的单调性分别求出2f(x)−2的最小值和x(x2+4cosx−6)的最大值，从而证明结论成立．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．。

辽宁省五校协作体2020—2021学年度下学期期末考试高一年级生物试卷一、单项选择题（每题2分，共40分）1．下列不属于相对性状的是（ ）A ．人的肤色白化与肤色正常B ．人的镰状红细胞和正常红细胞C ．鲤鱼的透明鳞和鲫鱼的正常鳞D ．豌豆由于淀粉分支酶的正常和异常而产生的两种性状2．下列关于孟德尔遗传实验和实验方法的叙述，错误的是（ ）A ．孟德尔的杂交实验中，1F 的表型否定了融合遗传B ．1F 产生两种配子的比例1:1比1F 自交产生的比例3:1，更能体现分离定律的实质C ．2F 出现特定分离比，依赖于遗传因子分离、雌雄配子随机结合及足够的样本基数等D ．孟德尔、摩尔根和萨顿均使用了假说演绎法得出了关于遗传的不同定律3．玉米（2n ）是雌雄同株异花植物，无性染色体，杂合子具有杂种优势（杂合子表现出的某些性状优越于纯合子的现象）．现有具有一对相对性状的纯合品种甲和纯合品种乙，用来做杂交实验．下列叙述错误的是（ ）A ．如果进行玉米的基因组测序，需要检测n 条染色体的DNA 序列B ．若要确定甲、乙性状的显隐性，可以采用杂交法或自交法均可达到目的C ．将甲、乙杂交，1F 的杂种优势明显，但2F 会出现杂种优势衰退现象，所以每年需取部分纯合亲本自交留种D ．2F 出现的杂种优势衰退现象，是因为1F 自交产生2F 的过程中发生了性状分离4．人类A 型血的基因型有A A I I 、A I i ，B 型血的基因型有B B I I 、B I i ，AB 型血的基因型为A BI I ，O 型血的基因型为ii ．一对夫妻，他们的父母亲均为AB 型．以下分析错误的是（ ）A ．人群中，一个A 型血的孩子其母亲的血型可能有4种B ．人群中，一个AB 型血的孩子其父亲的基因型可能有3种C ．该夫妻生出O 型血孩子的概率为0D ．另一对夫妻血型分别为A 型和B 型，他们可能生出4种血型的孩子5．某植物有宽叶和窄叶两种叶形，宽叶（A ）对窄叶（a ）为显性，含a 基因的花粉有1/3不育．现有基因型为Aa 的植物进行自交，1F 植株中宽叶：窄叶的比例为（ ）A ．2:1B ．4:1C ．5:1D ．7:1 6．某种果蝇的长翅（A ）对残翅（a ）为显性，直翅（B ）对弯翅（b ）为显性，腿上刚毛（D ）对截毛（d ）为显性．现有这种果蝇的一个细胞的基因组成如图所示，下列选项中错误的是（ ）A ．长翅与残翅、直翅与弯翅的遗传不遵循基因自由组合定律B ．该果蝇个体发育时，D 、d 在翅部细胞中不能表达C ．A 、a 和D 、d 两对等位基因的分离和自由组合同时发生D ．一个精原细胞减数分裂时，A 、a 发生互换会形成四种精细胞7．已知某植物花色由3对等位基因（A 与a ，B 与b ，D 与d ）控制，有色花需同时具A 、B 、D 三个显性基因，否则为无色，另有一对基因Y 与y （Y 控制紫色，y 控制红色）．以上4对基因独立遗传．现将紫色植株AaBbDdYy 作为亲本进行自交得到子一代．下列叙述错误的是（ ）A ．子代中紫色花概率为()43/4B ．子代中无色花的概率为37/64C ．子代中无色花的基因型种类为57种D ．某紫花个体测交后代紫:红:无色1:1:6=，则该紫花基因型有4种可能8．下列关于三个遗传系谱图的叙述错误的是（ ）A ．三种疾病都不是细胞质遗传和伴Y 遗传B ．三种疾病的遗传方式可能一样C ．乙中若父亲携带致病基因，则再生一个患病儿子的概率为1/4D ．丙中的父亲可能携带致病基因9．果蝇的直刚毛和卷刚毛由一对等位基因控制．现有若干只直刚毛雌雄果蝇随机交配，子代的表型及个体数如图所示．理论上亲代直刚毛雌果蝇中杂合子的比例是（ ）A ．2/3B ．1/2C ．2/5D ．5/910．一个果蝇种群中，有B b X X 、b b X X 、b X Y 、b X Y 四种基因型的个体，每种均为50只，则该种群中b X 基因频率为多少，种群的个体之间随机交配，后代中b b X X 出现的概率为多少（ ）A ．b X 2/3=，b b X X 3/16=B ．b X 1/2=，b bX X 1/4=C ．b X 2/3=，b b X X 4/9=D ．b X 1/2=，b bX X 3/8= 11．下列有关遗传学经典实验的叙述，错误的是（ ）A ．艾弗里的体外转化实验在控制自变量时，添加了各种酶，利用了“加法原理”B ．赫尔希、蔡斯与艾弗里等人探究DNA 是遗传物质的实验设计思路相似C ．用未标记的噬菌体去侵染32P 和35S 标记的细菌，释放的子代噬菌体均含32P 和35S D ．查哥夫发现的DNA 中A 与T 、C 与G 数量相等为DNA 的模型构建提供了重要依据12．关于核酸结构的描述正确的是（ ）A ．DNA 分子中A 、T 之间有3个氢键，所以A 、T 碱基对越多分子牢固性越好B ．DNA 一条链中()()A T /C G 1/4++=，则互补链中该比值也是1/4C ．一条DNA 单链上有2个游离的磷酸基团，方向相反D ．RNA 中核苷酸数=脱氧核糖数=磷酸数=碱基数13．细菌在含15N 的培养基中繁殖数代后，细菌DNA 的含氮碱基均含有15N ，然后再将其移入含14N 的培养基中培养，提取亲代及子代的DNA 并离心，如图①～⑤为可能的结果．下列叙述错误的是（ ）A ．沃森和克里克做该实验时利用了放射性同位素标记技术B ．子二代DNA 应为①，子三代DNA 应为③C ．该实验证明了DNA 的复制是以半保留方式进行的D ．若仅考虑子一代到子二代的现象变化，则无法否定全保留复制14．SARS -CoV -2是一种单股正链RNA 病毒，(+)RNA 可直接作为模板进行蛋白质的合成．SARS -CoV -2能特异性侵染人体肺部细胞，进而引起新型冠状肺炎．该病毒在宿主细胞内的增殖过程如图所示，a ～d 表示相应的生理过程．下列叙述错误的是（ ）A ．a 过程称为翻译，该过程中(+)RNA 相当于MrnaB ．b 过程是转录，产物(－)RNA 中C 与G 数量一定相等C ．有遗传效应的RNA 片段是基因D ．可以通过抑制RNA 复制酶的合成来治疗新型冠状肺炎15．基因转录出的初始RNA ，要经过加工才能与核糖体结合发挥作用：初始RNA 经不同方式的剪切可被加工成翻译不同蛋白质的mRNA ；某些初始RNA 的剪切过程需要非蛋白质类的酶参与．而且大多数真核细胞的mRNA 只在个体发育的某一阶段合成，发挥完作用后以不同的速度被降解．下列相关叙述错误的是（ ）A．一个基因可参与生物体多个性状的控制B．催化某些初始RNA剪切过程的酶是通过转录过程合成的C．初始RNA的剪切、加工是在核糖体内完成的D．mRNA的合成与降解是细胞分化的基础，可促进个体发育16．人体内苯丙氨酸的代谢途径如图所示．人群中有若干种遗传病是由苯丙氨酸的代谢缺陷所导致的．例如，苯丙氨酸的代谢产物之一苯丙酮酸在脑中积累会阻碍脑的发育，造成智力低下，患苯丙酮尿症；尿黑酸在人体内积累会使人的尿液中含有尿黑酸，患尿黑酸症．下列分析错误的是（）A．缺乏酶⑤可导致人患白化病，缺乏酶③可导致人患尿黑酸症B．苯丙酮尿症患儿所喝奶粉应不含苯丙氨酸C．基因和性状之间是一一对应的关系D．上述实例可以证明基因通过控制酶的合成来控制代谢过程，进而间接控制性状17．下列关于染色体异常个体的说法正确的是（）A．猫叫综合征是5号染色体上的基因中发生了碱基对的缺失而引起的遗传病B．X染色体上的某一片断移接到Y染色体上引起的变异，不属于易位C．21三体患者减数分裂时因为联会紊乱无法产生正常的配子D．三倍体无子西瓜因为无法产生种子，所以其无子性状不属于可遗传的变异18．用显微镜观察某二倍体植物的细胞时，发现细胞中有4条形状、大小各不相同的染色体，散乱分布于细胞中，下列说法错误的是（）A．该细胞含有一个染色体组B．该细胞处于减数第二次分裂前期C．该细胞不可能为根细胞D．该细胞中会发生非同源染色体的自由组合19．已知细胞色素C由104个氨基酸组成，下表是5种生物的细胞色素C与人的细胞色素C组成的比较．相关说法错误的是（）A．以上数据支持生物有着共同的原始祖先B．亲缘关系越近，细胞色素C的氨基酸组成差异越小C．以上数据揭示了生物在进化史上出现的顺序D．氨基酸的比较属于分子水平的证据，是研究生物进化最直接的证据20．近年来我国生态文明建设卓有成效，研究人员对某地区的水鸟进行研究，记录到146种水鸟，隶属于9目21科，其中黑脸琵鹭个体间的羽毛花纹存在差异，非常美观．该调查结果直接体现了生物多样性中的（）A ．基因多样性和物种多样性B ．种群多样性和物种多样性C ．物种多样性和生态系统多样性D ．基因多样性和生态系统多样性 二、不定项选择题（每题3分，共15分，少选得1分，错选多选不得分）21．关于孟德尔两对相对性状的杂交实验，下列说法错误的是（ ）A ．欲获得9:3:3:1的性状分离比，1F 基因型是唯一的，但亲本却并不只有黄圆和绿皱这一对性状组合B ．若2F 出现了12:3:1的比例，则1F 测交后出现的比例为2:1:1C ．若1F 出现了4:2:2:1的比例，则说明2F 中发生了Y 或R 纯合致死的现象D ．若2F 出现了5:3:3:1的比例，则可能是1F 的YR 雌配子致死或2F 中基因型为YyRr 的个体致死22．将精原细胞甲和乙（只研究一对同源染色体）的DNA 均用32P 进行标记，然后放在31P 的培养基中，精原细胞甲发生两个连续的细胞周期，得到4个子细胞．精原细胞乙进行减数分裂产生了4个精细胞．下列说法正确的是（ ）A ．甲分裂一次获得的两个子细胞和乙分裂得到的4个精细胞中DNA 的标记情况不相同B ．甲分裂第二次的后期含32P 的染色体为2条C ．甲最终分裂得到的4个子细胞中含32P 的染色体条数有三种可能D ．若甲进行一次有丝分裂后再发生减数分裂，则它产生的含32P 的子细胞所占比例为50%23．下列关于“一定”的描述，错误的是（ ）A ．DNA 中碱基对的增添、缺失和替换一定引发基因突变B ．基因突变中碱基对的替换一定比碱基对的缺失和增添引发的变异小C ．基因突变发生于体细胞一定不能遗传给下一代D ．发生了生殖隔离，就一定形成了新物种24．某国家男性中不同人群肺癌死亡累积风险如图所示．下列叙述错误的是（ ）A ．长期吸烟的男性人群中，年龄越大，肺癌死亡累积风险越高B ．肺部细胞中原癌基因执行正常生理功能时，细胞生长和分裂失控C ．肺癌患者体内的抑癌基因过量表达D ．该调查的自变量不只是男性的年龄25．孔雀鱼雄鱼的鱼身具有艳丽的斑点，斑点数量多的雄鱼有更多机会繁殖后代，但也容易受到天敌的捕食．下列说法正确的是（）A．引入天敌，种群中雄鱼的平均斑点数量可能会减少B．天敌将诱发鱼身斑点数量更少的变异个体产生C．孔雀鱼和天敌之间存在着协同进化D．斑点数量的增减对雄鱼既有利也有弊，体现了适应的相对性三、简答题（本部分包括4小题，共45分）n ）体内细胞分裂的示意图，曲线丙、丁分别表示该动物细26．（10分）如图甲、乙是某一高等动物（24胞中每条染色体上DNA的含量变化及一个细胞中染色体组的变化．请分析回答：甲乙丙丁（1）上图中，图甲对应的分裂方式和时期为______分裂______期，乙细胞的名称为______．（2）细胞分裂时期bc段和hj段能否对应同一细胞分裂时期______（填“能”或“不能”）．（3）乙图对应于丙图细胞的______段，丁图gh段细胞内发生的主要变化是______．（4）基因重组的过程可发生在______段，此时细胞内的染色体数量为______条．（5）请用柱状图表示丁图hj段的染色体、DNA和单体数量．27．（10分）miRNA是一种小分子RNA，某miRNA能抑制W基因控制的蛋白质（W蛋白）的合成，某真核细胞内形成该miRNA及其发挥作用的过程示意图如下．miRNA阻止mRNA发挥作用的过程属于RNA干扰．（1）转录过程需要______酶的催化，该酶催化______（单体名称）之间形成______键．（2）miRNA的加工场所为______，翻译时在mRNA和tRNA之间可以形成______键，与翻译相比，转录特有的碱基配对方式是_______________．（3）用箭头和文字写出图中所展现的遗传信息的传递过程：_______________，该过程体现了生命是____________________的统一体．（4）表观遗传的含义是：生物体_______________，而基因表达和表型发生可遗传变化的现象．RNA干扰______（属于/不属于）表观遗传．28．（10分）Ⅰ．一个自然果蝇种群中有灰色和黄色两种体色的果蝇，已知灰色和黄色这对相对性状受一对等位基因控制，所有果蝇均能正常生活，性状的分离符合遗传的基本定律．请回答下列问题：（1）现代生物进化理论没有局限于性状水平，是因为种群中的个体通过繁殖将各自的______传递给后代．（2）如果控制体色的基因位于常染色体上，则该自然果蝇种群中雄蝇体色的基因型有______种：如果控制体色的基因位于X 染色体上，则种群中雄蝇体色的基因型有______种，如果控制体色的基因位于XY 同源区段，则种群中雄蝇体色的基因型有______种．（3）若已知控制体色的基因在XY 同源区段上，则能够判断基因位于XY 同源区段而不是只位于X 染色体上，可以选择该种群中基因型的杂交组合，除了A a a AX X X Y ⨯之外，还有______种．Ⅱ．某种性别决定为XY 型的昆虫有白色、黄色和绿色三种体色，是由位于两对同源染色体上的基因A/a 和B/b 控制，已知其中一对基因位于X 染色体上．基因与色素形成的关系如下图所示．现用白色雄性昆虫与黄色雌性昆虫杂交，1F 中雌性昆虫全为绿色，雄性昆虫全为黄色．让1F 雌雄昆虫杂交，2F 中出现三种体色．请回答：（4）该昆虫体色的遗传遵循基因的______定律，原因是____________________．（5）位于X 染色体上的基因是______（A/a 或B/b ），两亲本的基因型是______________．29．（15分）某植物（雌雄同花）控制花色的基因位于两对同源染色体上．其中A 控制红花，a 控制白花．BB 完全淡化花瓣颜色使其变白，Bb 一般淡化使其变粉．（1）选择基因型为AaBb 的个体进行自交，子代性状及分离比为______________．选子代中基因型不同的两种白花杂合子进行杂交，子代性状及分离比为______．（2）选一株红花植物和一株粉花植物进行杂交，后代出现粉：红:白3:3:2=的性状分离比，则红花植物的基因型为______，粉花植物的基因型为______．（3）若两对等位基因位于一对同源染色体上，则AaBb 进行自交，子代性状及分离比为______．（4）偶然发现一株基因型为AAabb 的红花个体，其形成原因有两种假说．假说1：该红花为三体植物，如图1；假说2：该红花发生了染色体结构变异，如图2．请设计最简便的实验方案，探究何种假说成立．图1 图2 ①实验思路：_______________________________________________________________．②预期实验结果及结论：a ．若子代中______________________________，则假说1成立；b ．若子代中______________________________，则假说2成立．。

2020-2021学年辽宁省辽南协作校高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.A. −16 B. 23 C. 1D. 29362. 某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是( )A. p 3B. p 3(1−p)C. C 43p 3(1−p)D. C 43p 33. 若n 是正奇数，则7n +C n 17n−1+C n 27n−2+⋯…+C n n−17被9除的余数为( )A. 2B. 5C. 7D. 8 4. 设随机变量X ～N(5,σ2)，若P(X >10−a)=0.4，则P(X ≥a)=( )A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.2 5. 已知A(1,0，0)，B(0,−1,1)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，则λ的值为( ) A. ±√66B. √66C. −√66D. ±√66. 现有4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为( )A. 25B. 35C. 12D. 237. 要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻(注意：上午第五节和下午第一节不算相邻)，则不同的排法种数是( ) A. 84 B. 54 C. 42 D. 18 8. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，圆x 2+y 2=a 2+b 2与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A ，B ，四边形AF 2BF 1的周长P 与面积p =4√2S ，则该双曲线的离心率为( )A. √3B. √2C. √62D. 2√33二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 在(2x −1)8的展开式中，下列说法正确的有( )A. 展开式中所有项的系数和为28B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128C. 展开式中二项式系数的最大项为第五项D. 展开式中含x 3项的系数为−44810. 下列命题中，正确的命题是( )A. 已知随机变量服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p =23 B. 已知P(BA)=0.34，P(B)=0.71，则P(BA −)=0.37C. 设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)=P ，则P(−1<ξ<0)=12−p D. 某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，X ～B(10,0.8)，则当X =8时概率最大11. 已知曲线C 的方程为x 2k−2+y 26−k=1(k ∈R)，则下列结论正确的是( )A. 当k =4时，曲线C 为圆B. 当k =0时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y =±√3xC. “k >4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D. 存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为√212. 如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 中，BC 1⊥AB 1、点D 为AC 中点，点E 为四边形BCC 1B 1内(包含边界)的动点则以下结论正确的是( )A. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) B. 若DE//平面ABB 1A 1，则动点E 的轨迹的长度等于√22ACC. 异面直线AD 与BC 1，所成角的余弦值为长√66D. 若点E 到平面ACC 1A 1的距离等于√32EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有______．14. 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“0−1三角”.在“0−1三角”中，从第1行起设第n(n ∈N +)次出现全行为1时，1的个数为a n ，则a 3等于______ ．15. 将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人的分配方法总数为a ，则二项式(3xa −√x 3)5展开式中含x 项的系数为______ (用数字作答)16. 已知M ，N 为抛物线y 2=8x 上两点，O 为坐标原点，且∠MON =90°，则|MN|的最小值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？(2)有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占25%，二厂生产的占35%，三厂生产的占40%，又知这三个厂的产品次品率分别为5%，4%，2%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？18. (1)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P(2,1)到直线l 的距离为2，求直线l 的方程．(2)圆心在直线y =−4x 上，且与直线l ：x +y −1=0相切于点P(3,−2)，求圆的方程．19. 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响． (Ⅰ)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望； (Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？20. 计算机能力考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)假设甲、乙、丙三人同时进行计算机理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ (2)这三人进行计算机理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB//CD ，AB =2AD =2CD =2，E 是PB 上的中点．二面角P −AC −E 的余弦值为√63．(1)求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值； (2)求点D 到平面ACE 的距离．22. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是e ，定义直线y =±be 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±4√3，长轴长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，直线l 交椭圆C 于E ，F 两不同点(点E ，F 与点A 不重合)，且满足AE ⊥AF ，若点P 满足2OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AP 的斜率的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由已知得12+16+a=1，∴a=13，∴E(X)=−12+13=−16，∵E(Y)=2E(X)+1，∴E(Y)=23．故选：B．根据所给的分布列和分布列的性质，写出关于a的等式，解出a的值，算出x的期望，根据x与Y之间期望的关系，写出出要求的期望值．本题考查分布列的性质，考查两个变量分布列之间的关系，是一个基础题，这种题目运算量比较小，是一个容易得分题目．2.【答案】C【解析】解：某批数量很大的产品的次品率为p，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是C43⋅P3⋅(1−P)，故选：C．由题意利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，求得结果．本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：∵n是正奇数，则7n+C n17n−1+C n27n−2+⋯…+C n n−17+C n n−1=(7+1)n−1=(9−1)n−1 =9n−C n19n−1+C n29n−2−⋯+C n n−19−C n n−1，∴它被9除的余数为−C n n−1=−2，即它被9除的余数为7，故选：C．由题意，本题即求(9−1)n−1被9除的余数，利用二项式定理展开，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查正态曲线的性质以及正态分布的概率计算，属于基础题．由条件P(X>10−a)=0.4，利用正态曲线的对称性求得P(X<a)=0.4，即可求得P(X≥a)=0.6．【解答】解：∵X～N(5,σ2)，P(X>10−a)=0.4，∴P(X<a)=0.4，则P(X≥a)=1−0.4=0.6，故选：A．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算．属于基础题型． 首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角求出结果．【解答】解：因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)+λ(0，−1，1)=(1，−λ，λ)， 所以|OA⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+2λ2， |OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， (OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2λ， 所以cos 120°=√2√2λ2+1=−12，所以λ<0，且4λ=−√4λ2+2 解得：λ=−√66．故选：C ． 6.【答案】A【解析】解：A 表示男生甲被选中，B 表示女生乙被选中， 则P(A)=25C 11CC 63=12，P(AB)=14C 22CC 63=15，∴P(B/A)=P(AB)P(A)=25．故选：A ．分别算出男生甲被选中，女生乙被选中的概率，然后条件概率的计算公式即可． 本颞主要考查条件概率的问题，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型． 7.【答案】C【解析】解：根据题意，分2种情况进行讨论： ①，语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，则语文、数学的安排方法有2×3=6种，在剩下的3节课中任选2个，安排两节英语，剩下的一节为自习，有C 32=3种情况， 此时有6×3=18种安排方法；②，语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午；语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午，有2种情况，安排在上午的有4种情况，则语文和数学安排方法有8种，在剩下的3节课中任选2个，安排两节英语，剩下的一节为自习，有C 32=3种情况， 则此时有8×3=24种安排方法； 则有18+24=42种不同的排法， 故选：C ．根据题意，分2种情况进行讨论：①，语文和数学都安排在上午，②，语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午；分别求出每一种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题． 8.【答案】C【解析】解：由题知，|AF1|−|AF2|=2a，四边形AF2BF1的是平行四边形，|AF1|+|AF2|=P2，联立解得，|AF1|=a+p4，|AF2|=p4−a，又线段F1F2为圆的直径，所以由双曲线的对称性可知四边形AF2BF1为矩形，所以S=|AF1||AF2|=p216−a2，因为面积p=4√2S，所以p2=32S，即p2=32(p216−a2)，解得p2=32a2，由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，得2a2+p28=4c2，即3a2=2c2，可得e=√62．故选：C．由题知，|AF1|−|AF2|=2a，推出AF1|+|AF2|=P2，求出|AF1|=a+p4，|AF2|=p4−a，判断四边形AF2BF1为矩形，结合面积公式以及已知条件求出3a2=2c2，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于(2x−1)8的展开式，令x=1，可得A展开式中所有项的系数和为1，故A不正确．展开式中奇数项的二项式系数和为2n2=282=128，故B正确；易知展开式中，二项式系数的最大项为第五项，故C正确；由通项公式可得展开式中含x3的项为C85(2x)3(−1)5=−448x3，故D正确，故选：BCD．由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：随机变量服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，所以np=30，np(1−p)=20，解得p=13，故选项A错误；因为P(BA−)=P(B)−P(BA)=0.71−0.34=0.37，故选项B正确；随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则图象关于y轴对称，若P(ξ>1)=P，则P(0<ξ<1)=12−p，所以P(−1<ξ<0)=12−p，故选项C正确；因为在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B(10,0.8)，当x=k时，对应的概率P(x=k)=C10k⋅0．8k⋅0．210−k，所以当k≥1时，P(x=k)P(x=k−1)=C10k⋅0．8k⋅0．210−kC10k−1⋅0.8k−1⋅0.210−k+1=4(11−k)k，由P(x=k)P(x=k−1)=4(11−k)k≥1，解得44−4k≥k，所以1≤k≤445，所以1≤k ≤8，k ∈N ∗，则当k =8时，概率P(X =8)最大，故选项D 正确． 故选：BCD ．利用二项式分布的期望和方差公式列出关于n ，p 的方程，解方程即可判断选项A ，利用概率的计算公式即可判断选项B ，利用正态分布图象的对称性即可判断选项C ，由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式求出x =k ，1≤k ≤10，k ∈N 时的概率，通过解不等式求出k 的取值范围即可判断选项D ．本题考查了二项式分布的期望和方差公式、正态分布图象的对称性的应用和独立重复实验的概率计算公式，其中数概率的相关知识是求解本题的关键． 11.【答案】AB【解析】解：曲线C 的方程为x 2k−2+y 26−k=1(k ∈R)，当k =4时，方程为x 2+y 2=2，曲线C 为圆，所以A 正确；当k =0时，曲线C 为y 26−x 22=1，是双曲线，其渐近线方程为y =±√3x ，所以B 正确；“6>k >4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充要条件，所以“k >4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要而不充分条件，所以C 不正确； k >6时，曲线C 为双曲线，其离心率为e =√k−6+k−2√k−2=√2k−8√k−2，如果√2k−8√k−2=√2，可得k −4=k −2，无解，所以√2k−8√k−2≠√2k <2时，√6−k+2−k 6−k=√8−2k 6−k ，然后√8−2k6−k=√2，可得4−k =6−k ，显然不成立，所以√8−2k6−k ≠√2，所以D不正确． 故选：AB ．通过k 的值，判断曲线的形状，然后判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，双曲线的简单性质的应用，是中档题． 12.【答案】BCD【解析】解：对于选项A ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −B 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作AA 1的平行线交A 1C 1于点D 1． 以D 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则A(a2,0,0)，B(0,√32a,0)，B 1(0,√32a,b)，C 1(−a2,0,b)，所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a2,−√32a,b)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2,√32a,b)． ∵BC 1⊥AB 1，∴BC 1⋅AB 1=0，即(−a2)2−(√32a)2+b 2=0，解得b =√22a ．因为DE//平面ABB 1A 1，则动点E 的轨迹的长度等于|BB 1|=√22|AC|.选项B 正确．对于选项C ，在选项A 的基础上，A(a2,0,0)，B(0,√32a,0)，D(0,0，0)，C 1(−a 2,0,√22a)，所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,√3a,−√2a)，因为cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(a2)2|a 2||√62a|=√66.选项C 正确．对于选项D ，点E 的轨迹为抛物线的一部分．选项D 正确． 故选：BCD ．建系，根据空间向量平行，异面直线夹角公式逐一进行判断即可本题考查命题真假性的判断，涉及空间向量位置关系，建立空间直角坐标系是关键，属于中档题． 13.【答案】150【解析】解：将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1，1，3或1，2，2． 这种分组方法一共有N =C 53+C 51⋅C 42⋅C 22A 22=25，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内共有A 33=6种不同的分法．所以某部门将5个安保小组安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组的安排方法共有M =N ⋅A 33=25×6=150种． 故答案为：150．将5个安保小组再分成三组，每组的安保小组个数为：1，1，3或1，2，2，利用平均分堆方法计算分组个数，再将分好的安保小组安排到指定的三个区域内，利用排列知识及分步计算原理得解． 本题主要考查了平均分堆方法，还考查了分类思想及排列计算，属于中档题． 14.【答案】8【解析】解：第1次出现全行为1是第1行， 第2次出现全行为1是第3行，由此可知，第n 次全行为1是在第2n −1行，所以第3次出现全行为1是第7行，共有8个1，即a 3，=8． 故答案为：8．先根据条件找到全行的数都为1的前几项，利用前几项的规律求出全行的数都为1的行的通项，从而求出第3次出现全为1的是第几行，进而得解．本题考查归纳推理，熟悉杨辉三角以及常见数列的通项公式是解决本题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】−54【解析】解：将3名支教教师安排到2所学校任教，每校至多2人，则只能是1，2分组，则共有C 31C 22A 22=6种结果，即a =6，则(3xa x 3)5=(x2x 3)5展开式的通项公式为T k+1=C 5k (x 2)5−k x3)k =C 5k (12)5−k (−1)k x 5−4k3， 由5−4k 3=1，得k =3，即含x 项为T 4=C 54(12)2(−1)3x =−54x ， 则含x 项的系数为−54， 故答案为：−54．根据排列组合的性质求出a 的值，求出二项展开式的通项公式进行求解即可．键．16.【答案】16【解析】解：设直线MN 的方程为：x =my +t ， 代入抛物线方程可得：y 2−8my −8t =0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，所以y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−8t ，则x 1x 2=t 2，又∠MON =90°，所以OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x 1x 2+y 1y 2=t 2−8t =0， 解得t =8或0(舍去)，所以y 1y 2=−64，x 1x 2=64，则|MN|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2⋅√64m 2+4×64=8√(1+m 2)(m 2+4)=√m 4+5m 2+4=8√(m 2+52)2−94，所以当m =0时，|MN|min =16． 故答案为：16．设出直线MN 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量垂直建立等式关系，然后利用弦长公式求出|MN|，利用函数性质即可求解．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到韦达定理以及向量垂直的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设随后一天的空气质量为优良的概率是P ， 由已知可得，0.8P =0.6，则P =0.60.8=34=0.75． 故随后一天的空气质量为优良的概率是0.75； (2)设这批产品共有n 件，则一厂生产的次品为25%×5%×n 件， 二厂生产的次品为35%×4%×n 件， 三厂生产的次品为40%×2%×n 件．故从这批产品中任取一件是次品的概率是1n (25%×5%×n +35%×4%×n +40%×2%×n)=0.0345．【解析】(1)由已知结合相互独立事件的概率公式求解；(2)设出产品的总件数，分别求出次品件数，再由随机事件的概率公式求解．本题考查相互独立事件的概率及随机事件概率的求法，考查概率在实际问题中的应用，是基础题． 18.【答案】解：(1)当截距为0时，设直线l 的方程为y =kx ， 由题意知，√k 2+1=2，解得k =−34， ∴直线l 的方程为y =−34x ，即3x +4y =0，当截距不为0时，设所求直线l 的方程为x +y −a =0． 由题意知√2=2，解得a =3−2√2或a =3+2√2，∴直线l 的方程为x +y −3+2√2=0，或x +y −3−2√2=0．(2)设要求的圆心为C(m,n)，由于过P(3,−2)垂直于切线的直线必定过圆心， 故该直线的方程为x −y −5=0， 则有m −n −5=0，且n =4m ， 解得：m =1，n =−4．故圆心C 为(1,−4)，r =|CP|=2√2． ∴所求圆的方程为(x −1)2+(y +4)2=8．【解析】(1)对截距是否为零，分两种情况讨论，结合题目条件即可求出直线l 的方程；(2)设要求的圆心为C(m,n)，分析可得m −n −5=0，且n =4m ，解得m 、n 的值，即可得圆心的坐标，又由r =|CP|，由两点间距离公式计算可得r 的值，则圆的方程可求．本题考查直线方程与圆的方程的求法，考查分类讨论与数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3.…(1分) P(ξ=1)=C 41C 22C 63=15；P(ξ=2)=C 42C 21C 63=35；P(ξ=3)=C 43C 20C 63=15； …(3分)考生甲正确完成题数ξ的分布列为Eξ=1×15+2×35+3×15=2.…(4分)设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3.…(5分)P(η=0)=127；P(η=1)=C 31⋅(23)1⋅(13)2=627，P(η=2)=C 32⋅(23)2⋅13=1227，P(η=3)=(23)3=827 (7))ηEη=0×127+1×627+2×1227+3×827=2.…(8分)(Ⅱ)因为Dξ=(1−2)2×15+(2−2)2×35+(3−2)2×15=25，…(10分) Dη=npq =23.…(12分)所以Dξ<Dη．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大．…(13分)【解析】(Ⅰ)确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；(Ⅱ)确定Dξ<Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查概率的计算，确定概率是关键．20.【答案】解：(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A ，“乙获得‘合格证书’”为事件B ， “丙获得‘合格证书’”为事件C ，则P(A)=45×12=25,P(B)=34×23=12,P(C)=23×56=59从而P(A)<P(B)<P(C)，所以丙获得“合格证书”的可能性大…(7分)(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D ， 则甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率为：P(D)=P(ABC −)+P(AB −C)+P(A −BC)=25×12×49+25×12×59+35×12×59=1130．【解析】(1)记“甲获得‘合格证书’”为事件A ，“乙获得‘合格证书’”为事件B ，“丙获得‘合格证书’”为事件C ，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲、乙、丙三人获得合格证书的概率，由此得到丙获得“合格证书”的可能性大．(2)记“甲、乙、丙三人进行理论与实际操作两项考试后，恰有两人获得‘合格证书’”为事件D ，利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙、丙三人恰有两人获得“合格证书”的概率． 本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(1)取AB 的中点F ，连接CF ， ∵CD//AB ，CD =12AB =AF ，AB ⊥AD ，AD =CD ， ∴四边形ADCF 是正方形， ∴CF ⊥AB ，∴CF ⊥CD ，以C 为原点，以CD ，CF ，CP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系C −xyz ，设PC =ℎ，则C(0,0，0)，A(1,1，0)，E(−12,12,ℎ2)，P(0,0，ℎ)， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,ℎ2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,ℎ)， 设平面ACE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =0−12x +12y +ℎ2z =0，令x =1可得m⃗⃗⃗ =(1,−1,2ℎ)， 同理可得平面PAC 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√2×√2+4ℎ2，∵二面角P −AC −E 的余弦值为√63，∴√2×√2+4ℎ2=√63，解得ℎ=2，∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,2)，m ⃗⃗⃗ =(1,−1,1)， ∴cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√6×√3=√23， ∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为|cos <AP⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=√23． (2)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)，cos <CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1×√3=√33， 设直线CD 与平面EAC 所成角为α，则sinα=√33，∴D 到平面EAC 的距离为|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sinα=√33．【解析】(1)建立空间坐标系，根据二面角大小计算PC ，得出平面EAC 的法向量n ⃗ ，计算PA⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角得出线面角的正弦值；(2)计算CD 与平面ACE 的夹角正弦值，再计算D 到平面ACE 的距离． 本题考查空间向量与空间角、空间距离的计算，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意得：b e =ab c=4√3，2a =8，又a 2=b 2+c 2，联立以上可得：a 2=16，b 2=12，c 2=4，∴椭圆C 的方程为x 216+y 212=1．(2)由(1)得A(4,0)，当直线l ⊥x 轴时，又AE ⊥AF ，联立{y =−x +4,x 216+y 212=1,得7x 2−32x +16=0，解得x =47或x =4，所以x E =x F =47，此时P(47,0)，直线AP 的斜率为0．当直线l 不垂直于x 轴时，设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，直线l ：y =kx +t(t ≠−4k,k ≠0)，联立{y =kx +t 3x 2+4y 2=48，整理得(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−48=0， 依题意△=64k 2t 2−4(3+4k 2)(4t 2−48)>0，即16k 2−t 2+12>0(∗)且x 1+x 2=−8kt3+4k 2，x 1⋅x 2=4t 2−483+4k 2．又∵AE ⊥AF ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−4)⋅(x 2−4)+y 1⋅y 2=(x 1−4)⋅(x 2−4)+(kx 1+t)(kx 2+t)=(1+k 2)x 1⋅x 2+(kt −4)(x 1+x 2)+16+t 2=7t 2+32kt+16k 23+4k 2=0，∴7t 2+32kt +16k 2=0，即(7t +4k)(t +4k)=0，∴t =−4k 7且t 满足(∗)，∴2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(−8kt 3+4k ,6t3+4k )，∴P(−4kt 3+4k 2,3t 3+4k 2)，故直线AP 的斜率k AP =3t3+4k 2−4kt 3+4k 2−4=−3t 16k 2+4kt+12=k 8k 2+7=18k+7k，当k <0时，8k +7k ≤−4√14，此时−√1456≤k AP <0；当k >0时，8k +7k ≥4√14，此时0<k AP ≤√1456；综上，直线AP 的斜率的取值范围为[−√1456,√1456]．【解析】(1)利用定义推出a ，然后求解b ，得到椭圆C 的方程．(2)当直线l ⊥x 轴时，又AE ⊥AF ，联立{y =−x +4,x 216+y 212=1,推出直线AP 的斜率为0.当直线l 不垂直于x 轴时，设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，直线l ：y =kx +t(t ≠−4k,k ≠0)，联立{y =kx +t 3x 2+4y 2=48，利用韦达定理，结合向量的数量积，转化求解直线AP 的斜率的表达式，利用基本不等式求解向量的范围即可．本题考查新定义的理解与应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想分类讨论思想，是难题．。

辽宁省五校联考（省实验，育才中学2025届高三下学期联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()e xf x x =+，则32(2)a f =-,2(log 9)b f =，5)c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．626．将函数2()322cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭π C ．3,08⎛⎫-⎪⎝⎭π D ．3,18⎛⎫-⎪⎝⎭π 7．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅8．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭9．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．215512．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020—2021学年度上学期期末考试 高二年级数学科试卷参考答案及评分标准一．选择题1~4.DDCA 5~8A B A B 二.多选题9.AC 10.BD 11． BCD 12.AD三．填空题：13.6 14.1++AB AD OA 15．16. 16．(]1,2， 四、解答题17．解（1）因为7i ii a C m =，0,1,2,3,7i =，依题意得：33735C m =-，所以31m =-，得1m =-…………………5分 （2）()72701271x a a x a x a x -=+++令1x =得：()701234567110a a a a a a a a +++++++=-=.① 令1x =-得：()7701234567112a a a a a a a a -+-+-+-=+=.② 由①—②得：()7135722a a a a +++=-，即613572+++=-a a a a .所以1357||||||||=64+++a a a a ···········10分 18．解：（1）1CC ⊥底面ABC ，111CC C A ∴⊥，111CC C B ⊥，BC AC ⊥，1111C B C A ∴⊥，于是以1C 为原点，11C A ，11C B ，和1C C 所在直线分别为x 、y 和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0C ，0，0)，1(3A ，0，0)，(3A ，0，3)，1(0B ，3，0)，(0F ，0，1)，∴1(3C A =，0，3)，1(3A F =-，0，1)，11(3A B =-，3，0)，设平面11A FB 的法向量为(m x =，y ，)z ，则111·0·0m A F m A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即30330x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，3z =，∴(1m =，1，3)， 设直线1AC 与面11A FB 所成的角为α，则111222sin |cos ,|||11||||1132m C A m C A m C A α=<>===⨯．故直线1AC 与面11A FB 所成角的正弦值为22211．·················6分（2）由（1）可知，(3AF =-，0，2)-，1(3AB =-，3，3)-，设平面1AFB 的法向量为1(n x =，1y ，1)z ，则1·0·0n AF n AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即111113203330x z x y z --=⎧⎨-+-=⎩，令12x =，则11y =-，13z =-，∴(2n =，1-，3)-，4154cos ,||||771411m n m n m n ∴<>===-⨯． 由题可知，二面角11A FB A --为锐二面角， 故二面角11A FB A --的余弦值为15477．··················12分19.解（1）当直线l 与直线0:2l y x =平行时，不能构成∆AOB ，此时322BP k a==-，解得：12a =，所以12a ≠，又因为点(),0B a 在x 轴正半轴上，且直线l 与定直线0l 再第一象限内交于点A ，所以12a >. ······4分（2）当直线l 的斜率不存在时，此时2a =即()2,0B ,()2,4A ，此时12442S =⨯⨯=,当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x =-+，由于直线的斜率存在，所以12a >，且2a ≠， 又32BP k a =-，2k ∴>或k 0<，由()232y k x y x ⎧=-+⎨=⎩，得3264,22k k x y k k --==--，即3264,22k k A k k --⎛⎫⎪--⎝⎭， 则2126164312(3222212222---=⨯⨯=⋅=>----k a a a S a a k a a且2)≠a 2133()313311344()[()]3,111222222()8()4()222-+∴==++=-++≥---a S a a a a a 且4≠S综上当且仅当1a =时S 最小，此时解得：3k =，则直线l 的方程为()32333y x x =-+=-即33y x =-·········12分 20．()1证明：法1：取PC 的中点G ，连接,NG BG ，N 为PD 的中点，1//,2∴=NG CD NG CD又//AB CD ，且2CD =，1AB =，即1//2=，AB CD AB CD ， //∴NG AB ，∴NGBA 为平行四边形，//,∴⊂⊄平面，平面AN BG BG PBC AN PBC∴//AN 平面PBC ．··············6分法2：过A 作AE CD ⊥于点E ，则1DE =，以A 为原点，AE ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则()0,0,0A ，()0,1,0B ，()22,0,0E ，()22,1,0D - ，()22,1,0C ，()0,0,1P ，∵N 为PD 的中点．∴112,,22N ⎛⎫-⎪⎝⎭．则112,,22AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1,1BP =-， ()22,0,0BC =，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，则0220m BP y z m BC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，，令1y =，则0x =，1z =，∴()0,1,1m =．∴11022AN m ⋅=-+=，即AN m ⊥， 又AN ⊄平面PBC ．∴//AN 平面PBC ．··················6分()2过A 作AE CD ⊥于点E ，则1DE =，以A 为原点，AE ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则()0,0,0A ，()0,1,0B ，()22,0,0E ，()22,1,0D - ，()22,1,0C ，()0,0,1P ， 令DM DP λ=，()0,1λ∈，设(),,M x y z ，∴()()22,1,22,1,1x y z λ-+=-．∴()2222,1,M λλλ-， ∴(2,CM λ=- 2,)λλ-.由()1知，平面PBC 的法向量为()0,1,1m =.∵直线CM 与平面PBC则直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为2628CM m CM m λ⋅==+22150240λλ-+=， 即()()327120λλ--=，∴21237λλ==或，故23712==或DM DM DP DP ．·····12分 21．解（1）法1：设点P (,)x y 1||4y =+化简得211||22x y y =+，则点P 的轨迹方程是2(0)0(0)y y x y ≥⎧=⎨<⎩ ········6分 方法2：已知点P 到定点1(0,)4F 的距离比到x 轴距离大14,由于点F 到x 轴的距离为14故当0y <时直线0x =上的点适合条件；当0y ≥时，P 到F 的距离等于到直线14y =-的距离，故轨迹方程为抛物线2x y =综上：点P 的轨迹方程是2(0)(0)y y x y ≥⎧=⎨<⎩············6分（2）设11221(,)(,),4=+：P x y Q x y l y kx 代入2=x y 得2104--=x kx 2212121211=10,,42224+∆+>+==-⇒==⇒=+A A x x k k k x x k x x x y ， 21(,)224∴+kk A同理2111(,)224∴-+B k k ，则242222421111||14()()0==⇒+++=⇒-+-=AB k k k k k k k k211∴=∴=±k k ，则直线与l m 的方程是14=+y x 和14=-+y x 或14=-+y x 和14=+y x ········12分22. 解：（1）由题知，抛物线2C的准线为x =1C的一个焦点为()，∴c =又∵短轴长为∴b =∴2226a b c =+=，∴椭圆1C 的方程为22631x y +=.·····3分 （2）由（1）知()1F，)2F .设直线:=-l x ty(时，1=t；过(0,时，1=-t ； 由题意知[]1,1∈-t .联立方程221,63⎧=-⎪⎨+=⎪⎩x ty x y ，消去x 得()22230+--=t y .设()11,A x y ，()22,B x y，则12122.23⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪+⎩y y y y t设直线2AF 的斜率为1k ，直线2BF 的斜率为2k，1==k，2==k ，∴12218k k t ⋅===-，12121212121126⎫--++=+=-=⎪⋅⎭ty ty y y t t k k y y y y . ·······6分设直线(21:AF y k x =，联立方程(12,,y k x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，消去y得)2222111230-++=k x k x k .设()33,C x y ，()44,D x y，则)2134212++=k x x k，∴22342111)CD CF DF x x k =+=++==+，同理2211EF k ⎫=+⎪⎭.∴2212112CD EF k k ⎫+=++⎪⎭212121122k k k k ⎤⎛⎫⎥=++- ⎪⋅⎥⎝⎭⎣⎦()2223628⎤=+--⎦t t ········10分)2179=+t .∵[]1,1∈-t ，∴[]20,1∈t ，∴CD EF ⎡+∈⎣.·································12分。

专题15 复数的四则运算一、单选题1．若复数Z 满足()·1 2z i i -=(i 是虚数部位)，则下列说法正确的是 A ．z 的虚部是-i B ．Z 是实数C ．z =D ．2z z i +=【试题来源】江苏省盐城市滨海中学2020-2021学年高三上学期迎八省联考考前热身 【答案】C【分析】首先根据题意化简得到1z i =-，再依次判断选项即可．【解析】()()()22122211112i i i i iz i i i i ++====---+-． 对选项A ，z 的虚部是1-，故A 错误． 对选项B ，1z i =-为虚数，故B 错误．对选项C ，z ==C 正确．对选项D ，112z z i i +=-++=，故D 错误．故选C 2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（文） 【答案】D【分析】由复数的运算化简1z，再判断复平面内对应的点所在象限． 【解析】因为()()11111122i i z i i -==-+-，所以1z 在复平面内对应的点11 ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．故选D3．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则1z在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测（理）【答案】D 【分析】化简复数1z，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】因为()()11111112i i z i i i --===++-，所以1z在复平面内对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限．故选D ． 4．设复数z 满足11zi z+=-，则z = A ．i B ．i - C ．1D ．1i +【试题来源】山东省威海市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B【分析】利用除法法则求出z ，再求出其共轭复数即可【解析】11zi z+=-得()11z i z +=-，即()()()()111111i i i z i i i i ---===++-，z i =-，故选B. 5．(1)(4)i i -+= A ．35i + B ．35i - C ．53i +D ．53i -【试题来源】安徽省皖西南联盟2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】D【分析】根据复数的乘法公式，计算结果．【解析】2(1)(4)4453i i i i i i -+=-+-=-．故选D 6．设复数z 满足()11z i i -=+，则z 的虚部为． A ．1- B ．1 C ．iD ．i -【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（文） 【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部．【解析】()11z i i -=+，()()()211111i iz i i i i ++∴===--+， 因此，复数z 的虚部为1．故选B ． 7．若复数z 满足21zi i=+，则z = A ．22i + B ．22i - C ．22i --D ．22i -+【试题来源】安徽省芜湖市2020-2021学年高三上学期期末（理） 【答案】C【分析】求出()2122z i i i =+=-+，再求解z 即可． 【解析】()2122z i i i =+=-+，故22z i =--，故选C. 8．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为A ．1ii + B ．1ii +- C ．1i i-D ．1i i--【试题来源】河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考（文） 【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 四个选项分别化简，可得． 【解析】由11ii i+=-在第四象限．故选A ． 【名师点睛】（1）复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根； （2）复数除法实际上是分母实数化的过程．9．若复数z 满足()z 1i i +=- (其中i 为虚数单位)则复数z 的虚部为A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i【试题来源】安徽省马鞍山市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测（文） 【答案】A【分析】先由已知条件利用复数的除法运算求出复数z ，再求其虚部即可． 【解析】由()z 1i i +=-可得()()()111111222i i i z i i i ----===--+-，所以复数z 的虚部为12-，故选A 10．复数z 满足()212()z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（文） 【答案】D【分析】先计算复数221z i i=++，再求其共轭复数，即可求出共轭复数对应的点，进而可得在复平面内对应的点所在的象限． 【解析】由()()212z i i -⋅+=得()()()()21212211112i i z i i i i i ---====-++-， 所以1z i =+，1z i =-．所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-， 位于第四象限，故选D ．11．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z = A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【试题来源】安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考（文） 【答案】A【分析】由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案． 【解析】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+．故选A ． 12．已知复数3iz i-=，则z =A ．4 BCD ．2【试题来源】江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考（文） 【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解析】因为()()()3331131i i i i z i i i i -⋅----====--⋅-，所以z ==B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 13．复数z 满足：()11i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数在复平面对应的点的坐标为 A ．0,1 B ．0,1 C ．1,0D ．()1,0【试题来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题 【答案】A【分析】先由()11i z i -=+求出复数z ，从而可求出其共轭复数，进而可得答案【解析】由()11i z i -=+，得21i (1i)2ii 1i (1i)(1+i)2z ++====--， 所以z i =-，所以其在复平面对应的点为0,1，故选A 14．已知复数312iz i+=-，则z =A ．1 BCD ．2【试题来源】湖南省岳阳市平江县第一中学2020-2021学年高二上学期1月阶段性检测 【答案】B【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得z ．【解析】()()()()2312337217121212555i i i i i z i i i i +++++====+--+，因此，z ==B ． 15．设复1iz i=+（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论． 【解析】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限．故选A ．16．已知(1)35z i i +=-，则z = A ．14i - B ．14i -- C ．14i -+D ．14i +【试题来源】江苏省盐城市一中、大丰高级中学等四校2020-2021学年高二上学期期末联考 【答案】B【分析】由复数的除法求解．【解析】由题意235(35)(1)3355141(1)(1)2i i i i i i z i i i i -----+====--++-．故选B 17．复数(2)i i +的实部为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．2【试题来源】浙江省绍兴市上虞区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】A【分析】将(2)i i +化简即可求解．【解析】(2)12i i i +=-+的实部为1-，故选A ．18．已知i 是虚数单位，(1)2z i i +=，则复数z 所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】山东省德州市2019-2020学年高一下学期期末 【答案】D【分析】利用复数的运算法则求解复数z ，再利用共轭复数的性质求z ，进而确定z 所对应的点的位置．【解析】由(1)2z i i +=，得()()()()2121211112i i i i z i i i i -+====+++-， 所以1z i =-，所以复数z 所对应的点为()1,1-，在第四象限，故选D ．【名师点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式． 19．若复数2iz i=+，其中i 为虚数单位，则z =A B C ．25D ．15【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】B【分析】先利用复数的除法运算法则化简复数2iz i=+，再利用复数模的公式求解即可． 【解析】因为()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==，故选B ． 20．52i i-= A ．152i--B ．52i-- C ．152i- D ．152i+ 【试题来源】江西省吉安市2021届高三上学期期末（文） 【答案】A【分析】根据复数的除法的运算法则，准确运算，即可求解． 【解析】由复数的运算法则，可得()5515222i i i ii i i ----==⨯．故选A ．21．设复数z 满足()1z i i R +-∈，则z 的虚部为 A ．1 B ．-1 C ．iD ．i -【试题来源】湖北省2020-2021学年高三上学期高考模拟演练 【答案】B【分析】根据复数的运算，化简得到()11(1)z i i a b i +-=+++，根据题意，求得1b =-，即可求得z 的虚部，得到答案．【解析】设复数,(,)z a bi a b R =+∈，则()11(1)z i i a b i +-=+++，因为()1z i i R +-∈，可得10b +=，解得1b =-，所以复数z 的虚部为1-．故选B ． 22．若复数151iz i-+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．2D ．2-【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（文） 【答案】A【分析】先利用复数的除法运算，化简复数z ，再利用复数的概念求解．【解析】因为复数()()()()1511523111i i i z i i i i -+--+===+++-， 所以z 的虚部是3，故选A. 23．若m n R ∈、且4334im ni i+=+-（其中i 为虚数单位），则m n -= A ．125- B ．1- C ．1D ．0【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】B【分析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案．【解析】因为()()()()433443121225343434916i i i ii m ni i i i +++-+====+--++， 根据复数相等，所以0,1m n ==，所以011m n -=-=-．故选B ．24．若复数z满足()36z =-（i 是虚数单位），则复数z =A．32-B．32- C．322+D．322-- 【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】由()36z =-，得z =，利用复数除法运算法则即可得到结果．【解析】复数z满足()36z +=-，6332z --=====-∴+，故选A ．25．若复数2i()2i+=∈-R a z a 是纯虚数，则z = A ．2i - B ．2i C ．i -D ．i【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】由复数的除法运算和复数的分类可得结果． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i2i (2i)(2i)5+++-++===-+-a a a a z 是纯虚数， 所以22040a a -=⎧⎨+≠⎩，则1a =，i =z ．故选D ．26．复数12z i =+，213z i =-，其中i 为虚数单位，则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江苏省G4（苏州中学、常州中学、盐城中学、扬州中学）2020-2021学年高三上学期期末联考 【答案】D【分析】根据复数的乘法法则，求得55z i =-，即可求得答案． 【解析】由题意得122(2)(13)25355i i i i i z z z =+-=-==--⋅， 所以12z z z =⋅在复平面内的对应点为（5，-5）位于第四象限，故选D27．复数2()2+∈-R a ia i 的虚部为 A ．225+aB ．45a - C ．225a -D ．45a +【试题来源】河南省驻马店市2020-2021学年高三上学期期末考试（文） 【答案】D【分析】由得数除法运算化为代数形式后可得． 【解析】因为2i (2i)(2i)22(4)i 2i (2i)(2i)5+++-++==-+-a a a a ，所以其虚部为45a +．故选D ． 28．复数z 满足()12z i i ⋅+=，则2z i -=ABCD ．2【试题来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查（文） 【答案】A【分析】先利用除法化简计算z ，然后代入模长公式计算．【解析】()1i 2i z ⋅+=变形得22222221112-+====++-i i i i z i i i ，所以2121-=+-=-==z i i i i A ．29．i 是虚数单位，若()17,2ia bi ab R i-=+∈+，则ab 的值是 A ．15- B ．3- C ．3D ．15【试题来源】山东省菏泽市2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据复数除法法则化简得数后，由复数相等的定义得出,a b ，即可得结论．【解析】17(17)(2)2147132(2)(2)5i i i i i i i i i ------===--++-， 所以1,3a b =-=-，3ab =．故选C ． 30．复数3121iz i -=+的虚部为 A ．12i -B ．12i C ．12-D ．12【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（理） 【答案】C【分析】由复数的乘除法运算法则化简为代数形式，然后可得虚部．【解析】231212(12)(1)1223111(1)(1)222i i i i i i i z i i i i i ---++--=====-+--+， 虚部为12-．故选C ． 31．若复数z 满足(1)2i z i -=，i 是虚数单位，则z z ⋅=AB ．2C ．12D ．2【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试（理） 【答案】B【分析】由除法法则求出z ，再由乘法法则计算．【解析】由题意222(1)2()11(1)(1)2i i i i i z i i i i ++====-+--+， 所以(1)(1)2z z i i ⋅=-+--=．故选B ． 32．若23z z i +=-，则||z =A ．1 BCD ．2【试题来源】河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试（理） 【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，所以以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以==z B ．33．复数z 满足(2)(1)2z i i -⋅+=（i 为虚数单位），则z = A ．1 B ．2CD 【试题来源】宁夏吴忠市2021届高三一轮联考（理） 【答案】C【分析】先将复数化成z a bi =+形式，再求模． 【解析】由(2)(1)2z i i -⋅+=得2211z i i i-==-+，所以1z i =+，z ==C ．34．已知a R ∈，若()()224ai a i i +-=-（i 为虚数单位），则a = A ．-1 B ．0 C ．1D ．2【试题来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测 【答案】B【分析】将()()22ai a i +-展开可得答案．【解析】()()()222444ai a i a a i i +-=+-=-，所以0a =，故选B.35．已知i 为虚数单位，且复数3412ii z+=-，则复数z 的共轭复数为 A ．12i -+ B ．12i -- C ．12i +D ．1 2i -【试题来源】湖北省孝感市应城市第一高级中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】D【分析】根据复数模的计算公式，以及复数的除法运算，求出z ，即可得出其共轭复数． 【解析】因为3412i i z+=-，所以512z i =-，则()()()512512121212i z i i i i +===+--+， 因此复数z 的共轭复数为1 2i -．故选D ． 36．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．-1【试题来源】江西省赣州市2021届高三上学期期末考试（文） 【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长． 【解析】()()()()11121122a i i a i a a z i i i i +-++-===+++-是纯虚数，102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-，所以z i ，1z =．故选A ． 37．设复数11iz i，那么在复平面内复数31z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理） 【答案】C【分析】利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论．【解析】()()()21121112i ii z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--， 因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限．故选C ． 38．已知复数13iz i-=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】D【分析】将复数化简成z a bi =+形式，则在复平面内对应的点的坐标为(),a b ，从而得到答案．【解析】因为1(1)(3)24123(3)(3)1055i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z 在复平面内对应的点12(,)55-位于第四象限，故选D.39．若复数2(1)34i z i+=+，则z =A ．45 B ．35C ．25D 【试题来源】成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三上学期（2018级）第二次联考 【答案】C 【分析】先求出8625iz -=，再求出||z 得解． 【解析】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz i i i i +-+====+++-，所以102255z ===．故选C. 40．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【试题来源】陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（文） 【答案】C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解．【解析】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限．故选C. 二、多选题1．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m =A ．B ．1-CD ．1【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过 【答案】AC【分析】将6()m mi +直接展开运算即可．【解析】因为()()66661864m mi m i im i +=+=-=-，所以68m =，所以m =故选AC ． 2．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是 A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z = 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案． 【解析】由题意得1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确．故选AB 【名师点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题．3．已知复数122z =-，则下列结论正确的有 A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 【试题来源】山东新高考质量测评联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质．【解析】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zzz z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选ACD ．【名师点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易． 4．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-【试题来源】福建省龙海市第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项． 【解析】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选ABCD ．【名师点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题． 5．若复数351iz i-=-，则A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出． 【解析】()()()()351358241112i i i iz i i i i -+--====---+，z ∴==，z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选AD ．6．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解．【解析】因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =，故AC 错误，BD 正确．故选AC. 7．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 【试题来源】湖北省六校（恩施高中、郧阳中学、沙市中学、十堰一中、随州二中、襄阳三中）2020-2021学年高三上学期11月联考 【答案】BC【分析】分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z，利用复数的概念可判断D 选项的正误．【解析】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限．A 选项错误，B 选项正确； 对于C 选项，22cos sin 1z θθ=+=，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误．故选BC ． 8．已知非零复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则下列判断一定正确的是 A ．12z z R +∈B ．12z z R ∈C ．12z R z ∈D ．12z R z ∈【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】BD【分析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，结合选项逐个计算、判定，即可求解． 【解析】设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()12()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，则0ad bc +=，对于A 中，12()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++，则12z z R +∈不一定成立，所以不正确；对于B 中，12()()ac bd ad bc z R i z =-+∈-一定成立，所以B 正确； 对于C 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc i R c di c di c z di z c d+-++--==∈++-+=不一定成立，所以不正确；对于D 中，()()()()2122()()a bi c di a bi ac bd ad bc iR c di c di c z di z c d ++++++==∈--++=一定成立，所以正确．故选BD ．9．已知复数()()()32=-+∈z a i i a R 的实部为1-，则下列说法正确的是 A ．复数z 的虚部为5- B ．复数z 的共轭复数15=-z i C．z =D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【试题来源】辽宁省六校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】ACD【分析】首先化简复数z ，根据实部为-1，求a ，再根据复数的概念，判断选项． 【解析】()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i =-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a +=-，解得1a =-， 所以15z i =--，A ．复数z 的虚部是-5，正确；B ．复数z 的共轭复数15z i =-+，不正确；C ．z ==D ．z 在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确．故选ACD 10．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．cos z θ=C ．1z z ⋅=D ．1z z+为实数 【试题来源】山东省菏泽市2021届第一学期高三期中考试数学（B ）试题 【答案】CD【分析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断A ；复数的模判断B ；复数的乘法判断C ；复数的解法与除法，判断D ． 【解析】复数cos sin ()22z i ππθθθ=+-<<（其中i 为虚数单位），复数z 在复平面上对应的点(cos ,sin )θθ不可能落在第二象限，所以A 不正确；1z ==，所以B 不正确；22·(cos sin )(cos sin )cos sin 1z z i i θθθθθθ=+-=+=．所以C 正确；11cos sin cos sin cos()sin()2cos cos sin z i i i z i θθθθθθθθθ+=++=++-+-=+为实数，所以D 正确；故选CD11．已知i 为虚数单位，下面四个命题中是真命题的是 A ．342i i +>+B ．24(2)()a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =C ．()2(1)12z i i =++的共轭复数对应的点为第三象限内的点D ．12i z i +=+的虚部为15i 【试题来源】2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练 【答案】BC【分析】根据复数的相关概念可判断A ，B 是否正确，将()2(1)12z i i =++展开化简可判断C 选项是否正确；利用复数的除法法则化简12iz i+=+，判断D 选项是否正确． 【解析】对于A ，因为虚数不能比较大小，故A 错误；对于B ，若()242a a i ++-为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =，故B 正确；对于C ，()()()211221242z i i i i i =++=+=-+，所以42z i =--对应的点为()4,2--位于第三象限内，故C 正确；对于D ，()()()()12132225i i i i z i i i +-++===++-，虚部为15，故D 错误．故选BC ． 12．已知复数(12)5z i i +=，则下列结论正确的是A ．|z |B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．2z i =-+D ．234z i =+【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可得2z i =+，再由复数的几何意义以及复数模的运算即可求解．【解析】5512122121212()()()()i i i z i i i i i i -===-=+++-，22,||34z i z z i =-==+ 复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故AD 正确．故选AD13．已知i 是虚数单位，复数12i z i -=(z 的共轭复数为z )，则下列说法中正确的是 A ．z 的虚部为1B ．3z z ⋅=C ．z =D ．4z z +=【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】AC 【分析】利用复数的乘法运算求出122i z i i-==--，再根据复数的概念、复数的运算以及复数模的求法即可求解． 【解析】()()()12122i i i z i i i i ---===---，所以2z i =-+， 对于A ，z 的虚部为1，故A 正确；对于B ，()2225z z i ⋅=--=，故B 不正确；对于C ，z =C 正确；对于D ，4z z +=-，故D 不正确．故选AC14．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元n 次方程有n 个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程310z -=的根的是A．12 B．12-+ C．122-- D ．1【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足310z -=即可．【解析】对A，当122z =+时， 31z -31122i ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎭=⎝21112222⎛⎫⎛⎫+⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21121344i ⎛⎫=++⋅ ⎪⎛⎫+- ⎪ ⎝ ⎭⎭⎪⎪⎝12112⎛⎫=-+⋅⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭2114⎫=-+-⎪⎪⎝⎭ 13144=--- 2=-，故3120z -=-≠，A 错误； 对B，当12z =-时，31z -3112⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭=211122⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2113124242i ⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221122⎛⎫-⎛⎫=--⋅ ⎪+ - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭21142⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 13144=+- 0=，故310z -=，B 正确； 对C，当12z =-时，31z-31122⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭=21112222⎛⎫⎛⎫--⋅--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21131442i ⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12112⎛⎫-⎛⎫=-+⋅ ⎪- - ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭2114⎫=--⎪⎪⎝⎭13144=+-0=，故310z -=，C 正确； 对D ，显然1z =时，满足31z =，故D 正确．故选BCD ．15．已知复数()()122z i i =+-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为3iB ．5z =C ．4z -为纯虚数D ．z 在复平面上对应的点在第四象限【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】BCD【分析】先根据复数的乘法运算计算出z ，然后进行逐项判断即可．【解析】因为()()12243z i i i =+-=+，则z 的虚部为3，5z z ===，43z i -=为纯虚数，z 对应的点()4,3-在第四象限，故选BCD ．三、填空题1．已知复数z 满足(1)1z i i ⋅-=+(i 为虚数单位)，则z =_________．【试题来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）【答案】1【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解析】由(1)1z i i ⋅-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+，所以1z =．故答案为1． 2．i 是虚数单位，复数1312i i-+=+_________． 【试题来源】天津市七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】1i +【分析】分子分母同时乘以分母的共轭复数12i -，再利用乘法运算法则计算即可． 【解析】()()()()22131213156551121212145i i i i i i i i i i i -+--+-+-+====+++--．故答案为1i +． 3．若复数z 满足方程240z +=，则z =_________．【试题来源】上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】2i ±【分析】首先设z a bi =+，再计算2z ，根据实部和虚部的数值，列式求复数．．【解析】设z a bi =+，则22224z a b abi =-+=-，则2240a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得02a b =⎧⎨=±⎩，所以2z i =±，故答案为2i ±. 4．复数21i-的虚部为_________． 【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】1【分析】根据分母实数化，将分子分母同乘以分母的共轭复数1i +，然后即可判断出复数的虚部． 【解析】因为()()()2121111i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故答案为1． 5．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 的虚部为_________．【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考 【答案】35【分析】根据复数的除法运算法则，求出z ，即可得出结果．【解析】因为(12)1i z i +=-，所以()()()()112113213121212555i i i i z i i i i -----====--++-， 因此其虚部为35．故答案为35． 6．复数34i i+=_________． 【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】43i -【分析】分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式即可． 【解析】由复数除法运算法则可得， ()343434431i i i i i i i i +⋅+-===-⋅-，故答案为43i -． 7．已知复数(1)z i i =⋅+，则||z =_________．【试题来源】北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试【分析】根据复数的运算法则，化简复数为1z i =-+，进而求得复数的模，得到答案．【解析】由题意，复数(1)1z i i i =⋅+=-+，所以z == 8．i 是虚数单位，复数73i i-=+_________． 【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（文）【答案】2i -【分析】根据复数除法运算法则直接计算即可． 【解析】()()()()27372110233310i i i i i i i i i ----+===-++-．故答案为2i -． 9．设复数z 的共轭复数是z ，若复数143i z i -+=，2z t i =+，且12z z ⋅为实数，则实数t 的值为_________．【试题来源】宁夏银川一中2020-2021学年高二上学期期末考试（理） 【答案】34【分析】先求出12,z z ，再计算12z z ⋅即得解． 【解析】由题得14334i z i i-+==+，2z t i =-， 所以12(34)()34(43)z z i t i t t i ⋅=+-=++-为实数， 所以3430,4t t -=∴=．故答案为34【名师点睛】复数(,)a bi a b R +∈等价于0b =，不需要限制a ．10．函数()n nf x i i -=⋅（n N ∈，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为_________． 【试题来源】上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末【答案】{}1【分析】根据复数的运算性质可函数的值域．【解析】()()1111nn n n n n n n f x i i i i i i i i --⎛⎫=⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝=⎭==，故答案为{}1． 11．已知()20212i z i +=（i 为虚数单位），则z =_________．【试题来源】河南省豫南九校2021届高三11月联考教学指导卷二（理）【分析】由i n 的周期性，计算出2021i i =，再求出z ，求出z ．【解析】因为41i =，所以2021i i =，所以i 12i 2i 55z ==++，所以z z == 【名师点睛】复数的计算常见题型：（1） 复数的四则运算直接利用四则运算法则；（2） 求共轭复数是实部不变，虚部相反；（3） 复数的模的计算直接根据模的定义即可．12．若31z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部为_________． 【试题来源】江西省上饶市2021届高三第一次高考模拟考试（文） 【答案】32-【分析】利用复数的除法化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部． 【解析】()()()313333111122i z i i i i i +==-=-=-----+，因此，复数z 的虚部为32-． 故答案为32-． 13．设i 为虚数单位，若复数z 满足()21z i -⋅=，则z =_________． 【试题来源】江西省上饶市2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】2i +【分析】利用复数的四则运算可求得z ，利用共轭复数的定义可求得复数z ．【解析】()21z i -⋅=，122z i i ∴=+=-，因此，2z i =+．故答案为2i +． 14．已知i 是虚数单位，则11i i+=-_________． 【试题来源】湖北省宜昌市2020-2021学年高三上学期2月联考【答案】1【分析】利用复数的除法法则化简复数11i i +-，利用复数的模长公式可求得结果． 【解析】()()()21121112i i i i i i i ++===--+，因此，111i i i +==-．故答案为1． 15．i 是虚数单位，复数103i i=+____________． 【试题来源】天津市南开中学2020-2021学年高三上学期第四次月考【答案】13i +【分析】根据复数的除法运算算出答案即可．【解析】()()()()10310313333i i i i i i i i i -==-=+++-，故答案为13i +. 16．在复平面内，复数()z i a i =+对应的点在直线0x y +=上，则实数a =_________．【试题来源】北京市丰台区2021届高三上学期期末练习【答案】1【分析】由复数的运算法则和复数的几何意义直接计算即可得解．【解析】2()1z i a i ai i ai =+=+=-+，其在复平面内对应点的坐标为()1,a -， 由题意有：10a -+=，则1a =．故答案为1．17．已知复数z 满足()1234i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 的模为_________．【试题来源】江苏省苏州市2020-2021学年高二上学期1月学业质量阳光指标调研【分析】求出z 后可得复数z 的模．【解析】()()3412341121255i i i i z i +-+-===+，5z == 18．复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是_________． 【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】1-【分析】先化简复数得1i 1i i-=--，进而得虚部是1-【解析】因为()()221i i 1i i i 1i i i--==--=--， 所以复数1i i-(i 是虚数单位)的虚部是1-．故答案为1-. 19．已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，则z =_________． 【试题来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末【答案】2【分析】根据复数的除法运算，化简复数为1122z i =-+，再结合复数模的计算公式，即可求解． 【解析】由题意，复数()()111111122i z i i i i i i --=+=+=-+----，所以2z ==．故答案为2． 20．计算12z ==_______． 【试题来源】2021年高考一轮数学（理）单元复习一遍过【答案】-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值．【解析】原式1212369100121511()i ==+=-+=--． 【名师点睛】本题考查复数的n次幂的运算，注意31122⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值． 四、双空题1．设32i i 1ia b =++(其中i 为虚数单位，a ，b ∈R )，则a =_________，b =_________． 【试题来源】浙江省绍兴市嵊州市2020-2021学年高三上学期期末【答案】1- 1- 【分析】利用复数的除法运算化简32i 1i 1i=--+，利用复数相等的定义得到a ，b 的值，即得解． 【解析】322(1)2211(1)(1)2i i i i i a bi i i i ----===--=+++-，1,1a b ∴=-=-. 故答案为－1；－1.2．已知k ∈Z ， i 为虚数单位，复数z 满足：21k i z i =-，则当k 为奇数时，z =_________；当k ∈Z 时，|z +1+i |=_________．【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高二数学（苏教版）【答案】1i -+ 2【分析】由复数的运算及模的定义即可得解．【解析】当k 为奇数时，()()2211k k k i i ==-=-， 所以1z i -=-即1z i =-+，122z i i ++==； 当k 为偶数时，()()2211k k k i i ==-=，所以1z i =-，122z i ++==；所以12z i ++=．故答案为1i -+；2．3．若复数()211z m m i =-++为纯虚数，则实数m =_________，11z=+_________． 【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试【答案】1 1255i - 【分析】由题可得21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，即可求出m ，再由复数的除法运算即可求出．【解析】复数()211z m m i =-++为纯虚数，21010m m ⎧-=∴⎨+≠⎩，解得1m =，。

绝密★启用前大连市2020~2021学年度第一学期期末考试试卷高二数学注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题1．抛物线28y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．22．若直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,2,2a =-，()2,3,2b =-，则（ ） A ．12l l ∥B ．12l l ⊥C ．1l ，2l 相交但不垂直D ．不能确定3．已知G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则PA PB PC PD +++=（ ） A ．PGB ．2PGC ．3PGD ．4PG4．()52x y -的展开式中23x y 的系数为（ ） A ．80B ．-80C ．40D ．-405．已知直线l 的方程为34x y b -=，圆C 的方程为222210x y x y +-++=，则“2b =”是“l 与C 相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有（ ） A ．3种B ．6种C ．9种D ．18种7．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c （其中0c >），过焦点1F 向双曲线的一条渐近线作垂线，交双曲线C 的右支于点P ，若122PF F π∠=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．0x y ±=B ．20x y ±=C ．20x y ±=D ．0x ±=8．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，设点M 是棱11AC 的中点，点P 在底面ABC 所在平面内，若平面1B MP 分别与平面11AAC C 和平面ABC 所成的锐二面角相等，则点P 到点B 的最短距离是（ ）A B ．C ．1D 二、多项选择题9．方程221104x y m m +=--表示的曲线可能是（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线10．已知抛物线24y x =焦点为F ，点()1,3A ，点P 在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A ．PA PF +的最小值为3 B ．PA PF +的最大值为7 C ．PA PF -的最小值为-2D ．PA PF -的最大值为311．关于20201)及其展开式，下列说法正确的有（ ）A ．该二项展开式中第六项为610072020C xB ．该二项展开式中非常数项的系数和为-1C ．该二项展开式中不含有理项D ．20209除以100的余数是112．如图所示，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1AD =，CD =2ADC π∠=．沿直线AC将ABC △翻折成AB C '△，下列说法正确的是（ ）A ．2B D AC '⋅=- B ．1B C AD '⋅=C ．直线AC 与BD '成角余弦的最大值为6 D ．点C 到平面AB D '的距离的最大值为7第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13．024444C C C ++=______．14．在四棱锥P ABCD -中，()4,2,4AB =-，()4,1,0AD =-，()6,2,8AP =--，则这个四棱锥的高h =______．15．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、兔、马和羊，丙同学这十二个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都能选到自己喜欢的礼物，那么不同的选法有______种．16．已知1F ，2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，1223F AF π∠=，则221AF F ABF S S =△△______，双曲线C 的离心率为______． 四、解答题17．已知圆()22:19C x y -+=内有一点()2,2P ，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．（Ⅰ）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）求弦长AB 的最小值，以及此时直线l 的方程． 18．在①4OA OB ⋅=-，②3MAMB=，③以AB 为直径的圆与准线相切，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求出直线l 的一般方程.问题：已知抛物线2:4C y x =，过x 轴正半轴上一点M ，倾斜角为3π的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，____________，求直线l 的一般方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．在直三棱柱111ABC A B C -中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点．（Ⅰ）求证：1B C ∥平面1A BD ；（Ⅱ）求直线11A B 与平面1A BD 成角的正弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知()0,0A x ，()00B y ,两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足52OP OA OB =+．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点()0,2D ，斜率为k 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点．如果DMN △的重心恰好在x 轴上，求k 的取值范围．21．如图，正方形ABCD 边长为1，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，且1ED FB ==（E ，F 在平面ABCD 同侧），G 为线段EC 上的动点.（Ⅰ）求证：AG DF ⊥；（Ⅱ）求22AG BG +的最小值，并求取得最小值时二面角B AG C --的余弦值．22．已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F ，2F ，且122F F =，左、右顶点为M ，N ．（Ⅰ）若椭圆E 的离心率12e =，设点()4,P n -（0n ≠），直线PN 交椭圆E 于点Q ﹐且直线MP ，MQ 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过2F ，且与曲线E 交于A ，B 两点，当k 变化时，1ABF △的内切圆面积有最大值，求椭圆E 的离心率e 的取值范围．2020~2021学年第一学期期末考试试卷高二数学参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、单项选择题：1．C ，2．B ，3．D ，4．D ，5．A ，6．C ，7．B ，8．A ． 二、多项选择题：9．ABD ，10．ACD ，11．BD ，12．AC ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13．8；14；15．70；16．12． 四、解答题17．解：（Ⅰ）圆()22:19C x y -+=的圆心C 坐标为()1,0，又直线过点()2,2P ，所以直线的斜率20221k -==-， 所以直线方程为()021y x -=-，即220x y --=．（Ⅱ）设圆心C 到直线l 的距离为d ，则2292AB d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．所以d 越大，弦长AB 越小，故当d 取得最大值时，弦长AB 取得最小值．而过点()2,2P 的直线l ，当其与直线CP 垂直时，d 取得最大值，此时弦长AB 取得最小值．直线CP 的斜率为：20221-=-，故直线l 的斜率为12-， 所以直线l 的方程为()1222y x -=--，即260x y +-=．18．解：若选①设(),0M m （0m >），则直线):l y x m =-，设()11,A x y ，()22,B x y ．则由)24y xy x m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩20y y --=，有()121214044y y y y m⎧∆=-⨯⨯>⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩ 因为()22121212124416y y OA OB x x y y y y m m ⋅=+=+=-=-，即()220m -=，所以2m =，满足题意．所以，直线):2l y x =-0y --=．若选②设(),0M m （0m >），则直线):l y x m =-，设()11,A x y ，()22,B x y ．则由)24y xy x m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩20y y --=，有()12121404y y y y m⎧∆=-⨯>⎪⎪⎪⎨+=⎪⎪=-⎪⎩ 因为3MAMB=，结合题意，有3AM MB =，即()()1122,3,m x y x m y --=-， 则有123y y =-，又因为12y y +=，所以有12y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，4m ⎛⨯=- ⎝，即1m =．满足题意．所以，直线):1l y x =-0y --=． 若选③设()11,A x y ，()22,B x y由题可知，抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，因为以AB 为直径的圆与准线相切，所以12122122x x AB x x +⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，又因为11AF x =+，21BF x =+，所以AB AF BF =+，可得直线l 过焦点()1,0F ，所以，直线):1l y x =-0y --=．19．（Ⅰ）证明：连接1AB 交1A B 于E ，连接DE ． ∵四边形11ABB A 是矩形，∴E 是1AB 的中点，又∵D 是AC 的中点，∴1DE B C ∥，又∵1B C ⊄平面1A BD ，DE ⊂平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD ．（Ⅱ）解：（法一）取11AC 中点1D ，连接1DD ． 又∵D 为AC 中点，∴11D D A A ∥．在三棱柱111ABC A B C -中，∵1AA ⊥平面ABC ，∴1DD ⊥平面ABC ．在ABC △中，AB BC =，AD DC =，∴BD AC ⊥．以D 为坐标原点，以DC ，DB ，1DD 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.∴()0,0,0D，()B，()1B ，()11,0,3A -，()11A B =，()11,3,0DA =-，(),00DB =．设平面1A BD 的一个法向量为()n x y z =,,所以300x z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴0y =，令1z =，则3x =，则平面1A BD 的一个法向量为()301n =,,， 设直线11A B 与平面1A BD 成角为θ，则111111sin cos ,310A B n A B n AB n θ⋅====⨯所以，直线11A B 与平面1A BD （法二）在平面11ACC A 内作1AH A D ⊥于H ，连接BH ．∵11A B AB ∥，所以AB 与平面1A BD 成角即为11A B 与平面1A BD 成角． ∵1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴1A A BD ⊥， 在ABC △中，∵AB BC =，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥，∵1A A ，AC ⊂平面11ACC A ，1A A AC A ⋂=，∴BD ⊥平面11ACC A ．∵AH ⊂平面11ACC A ，∴AH BD ⊥，又∵1AH A D ⊥，1BD A D D ⋂=，1A D ⊂平面1A BD ，BD ⊂平面1A BD ，∴AH ⊥平面1A BD ，∴直线AB 与平面1A BD 成角为ABH ∠．在1A AD △中，1AD =，13AA =，190A AD ∠=︒，由等面积法，可得AH =， 在Rt ABH △中，sin A A H AB BH ==∠． 所以，直线11A B 与平面1A BD成角的正弦值为10． 20．解：（Ⅰ）由动点(),P x y 满足52OP OA OB =+，得())()00,,020,x y x y =+,即0012x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 1=，所以22154x y +=． （Ⅱ）（法一）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 的斜率为k ，则2211222215414x y x y s⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①-②得()()2222121211054x x y y -+-= 整理得：121245x x k y y +=-⋅+， 设DMN △的重心坐标为()3,0x ，有1231203203x x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，即1231232x x x y y +=⎧⎨+=-⎩，所以365k x =，又弦MN 中点3312,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭一定在椭圆内部，所以()232312154x ⎛⎫⎪-+⎭<⎝，即333x -<<，所以k << （法二）设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程22154y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22245105200kxkmx m +++-=，有()2280540k m ∆=-+>，即22540k m -+>1221045kmx x k +=-+，212252045m x x k -=+ 所以()212121221022245k my y kx m kx m k x x m m k +=+++=++=-+=-+ 即2454k m +=-，又22540k m -+>，所以222545404k k ⎛⎫++--> ⎪⎝⎭，即422540480k k --<， 所以2125k <，即k <<． 21．（法一）（Ⅰ）证明：分别作AM ⊥平面ABCD ，CN ⊥平面ABCD ，取1AM CN ==，顺次连接E ，M ，F ，N ，如图可知，几何体ABCD MFNE -为正方体，连接BD ，∴BD AC ⊥， ∵FB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴FB AC ⊥，又∵FB BD B ⋂=，FB ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，∴AC ⊥平面BDEF ，又DF ⊂平面BDEF ，∴AC DF ⊥，同理可证AE DF ⊥， 又∵AC AE A ⋂=，AC ⊂平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， ∴DF ⊥平面ACE ，∵AG ⊂平面ACE ，∴AG DF ⊥．（Ⅱ）∵ED ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，故以D 为原点，DA ，DC ，DE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1E ，()1,1,1F ， ∵G 在CE 上，∴设CG CE λ=（01λ≤≤），则有()()()1,1,00,1,11,1,AG AC CG AC CE λλλλ=+=+=-+-=--， ()()()1,0,00,1,11,,BG BC CG BC CE λλλλ=+=+=-+-=--，()22222222111AG BG AG BG λλλλ+=+=+-++++22111423444λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当且仅当14λ=时，22AG BG +取得最小值114， 此时在平面ACG 中，()1,1,0AC =-，()0,1,1CE =-，设平面ACG 的一个法向量为()111,,m x y z =，则有0m AC m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，设11x =，得11y =，11z =，()1,1,1m =，此时在平面ABG 中，()0,1,0AB =，311,,44AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面ABG 的一个法向量为()222,,n x y z =，则有00n AB n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222031044y x y z '=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 设21x =，得20y =，24z =，()1,0,4n =， 设二面角B AG C --大小为θ，则1cos 11nn mm θ⋅+===+由题意可知，θ为锐角，所以cos 51θ=． （法二）（Ⅰ）∵ED ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，故以D 为原点，DA ，DC ，DE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1E ，()1,1,1F ， ∵G 在CE 上，∴设CG CE λ=（01λ≤≤），则有()()()1,1,00,1,11,1,AG AC CG AC CE λλλλ=+=+=-+-=--， ()1,1,1DF =，∵()()1,1,1,1,1110AG DF λλλλ⋅=--⋅=-+-+=， ∴AG DF ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：()()()1,0,00,1,11,,BG BC CG BC CE λλλλ=+=+=-+-=--，()22222222111AG BG AG BG λλλλ+=+=+-++++22111423444λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当且仅当14λ=时，22AG BG +取得最小值114， 此时在平面ACG 中，()1,1,0AC =-，()0,1,1CE =-，设平面ACG 的一个法向量为()111,,m x y z =，则有00m AC m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，设11x =，得11y =，11z =，()1,1,1m =，此时在平面ABG 中，()0,1,0AB =，311,,44AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面ABG 的一个法向量为()222,,n x y z =，则有00n AB n AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222031044y x y z '=⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 设21x =，得20y =，24z =，()1,0,4n =， 设二面角B AG C --大小为θ，则1cos 5111nnm m θ⋅+===+由题意可知，θ为锐角，所以cos 51θ=．22．解：（Ⅰ）∵122F F =，12e =，∴1c =，2a =，b == 所以椭圆方程为22143x y +=， 所以()2,0M -，()2,0N ，设点()00,Q x y ，直线PN 方程为：()26ny x =--，与椭圆E 方程联立：()2214326x y n y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得()222227441080n x n x n +-+-=，∵点N 在E 上，∴2是方程的一个根，∴20225427n x n -=+，202225418262727n n ny n n ⎛⎫-=-= ⎪-++⎝⎭， ∴直线MP ，MQ 的斜率分别为1422n n k ==--+，2222189272542227nn k n nn +==+++， 故1299224n k k n =-⋅=-；（Ⅱ）如图可知，1ABF △的周长为4a ，故当斜率k 变化时，1ABF △的内切圆面积有最大值，只需1ABF △的面积有最大值，∵直线l 的斜率为k ，且过点2F ，∴l 的方程为()1y k x =-，0k ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()222211x y a b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()222222222220b a k x a k a k a x b +-+-=，有0∆>，22122222a k x x b a k+=+，222212222a k a b x x b a k -=+，112121212ABF S F F y y k x x k =-=-=△22abab===22ab ab ab=≤=，当且仅当()4222211b k k k k +=+，等号成立，若面积有最大值， 只需22221111k b k k ==++成立，∵20k >，∴201b <<，故离心率2c e a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．。

2020-2021学年度(上)市级重点高中联合体期末测试高二数学满分：150分 考试时间：120分钟命题人：9中 庄青 38中 刘晔 15中 赵霞第I 卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．7名旅客分别从3个不同的景区中选择一处游览，不同选法种数是（ ）A ．37B ．73C ．37AD ．37C2．已知向量(1,,2)a x =-，(0,1,2)b =，(1,0,0)c =，若,,a b c 共面，则x =（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或1 D ．1或03.已知直线10ax y ++=及两点(2,1)P -、(3,2)Q ，若直线与线段PQ 的延长线相交（不含Q 点），则实数a 的取值范围是（ ）1a <-或1a > B ．115a -<<- C ．115a << D ．11a -<< 4已知C n+17−C n 7=C n8，那么n 的值是（ ） A. 12 B.13 C.14 D.155．若直线y x b =+与曲线234y x x =--有2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．[122,122]-+B ．(122,1]--C ．[3,122)+D ．[1,3]-6.某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种7．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ．若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线的方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．2y x =8．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BC 1与B 1C 相交于点O ，∠A 1AB=∠A 1AC=60∠BAC=90，A 1A=3，AB=AC=2，则线段AO 的长度为（ ）A ．292B ．29C ．232D ．23二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。