2020-2021学年黑龙江省龙东南四校高二下期末联考数学(文)试卷

黑龙江省高二数学下学期期末考试试题 文一、单选题1．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{1,2}，(U C A )∩B＝{3}，A∩(U C B )＝{5}，则A∪B 是( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,5}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,5}2．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i --3．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A．2+．2C．3+．3-4．某电视台为了调查节目的收视率,现用分层抽样的方法从4 300人中抽取一个样本,这4 300人中青年人1 600人,且中年人人数是老年人人数的2倍,现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查,在抽取的样本中青年人有320人,则抽取的样本中老年人的人数为( )A.90B.180C.270D.360 5．已知正项数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，n a =，则a 6=（ ） A．B ．4 C ．16 D ．456．设(2)(3)ai i -+的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =A ．1B ．-2C ．-1D ．27．在等比数列{}n a 中，若352,16a a ==，则4a =A．± B．- C． D ．48．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是A （1,2），B （3,4），C （5,6）D （7,8），则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．ˆ1y x =-9．极坐标系中，圆1ρ=上的点到直线cos sin 2ρθρθ+=的距离最大值为( )A ．2B ．21+C ．21-D ．2210．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足12130,0S S ><，且{S n }的最大项为m S ，12m a +=-，则13S -=（ ）A ．20B ．22C ．24D ．26 11．已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128a b +的最小值为 ( ) A ．4 B ．14C ．1D ．12 12．过点()1,1H -作抛物线24x y =的两条切线,HA HB ，切点为,A B ，则ABH ∆的面积为（ ）A ．554B ．552C ．352D ．55二、填空题13．不等式>0的解集为________．14．若函数， 则 ．15．如图是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在[15,20)内的频数是_________16．已知函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为________.三、解答题17.(10分）已知等差数列{a n }满足a 1+a 2=10,a 4-a 3=2.(1)求{a n }的通项公式.(2)设等比数列{b n }满足b 2=a 3,b 3=a 7.问:b 6与数列{a n }的第几项相等?18.（12分）某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min )绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表: 超过m 不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 2()P K k ≥ 0.0500.010 0.001 k3.841 6.635 10.828.19．（12分）已知函数32111()2322f x x x x =---. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[2,4]x ∈-时，求函数()f x 的最大值.20.（12分）等比数列{a n }的各项均为正数,且2a 1+3a 2=1,=9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式.(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列的前n 项和T n .21.（12分）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为24πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作倾斜角为45︒的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，试求11PA PB+的值．22.（12分）已知函数()e ln x f x x =-，定义在(0,)+∞上的函数()g x 的导函数()()e (ln )x g x a x a '=--，其中a ∈R ．（1）求证：()0f x >；（2）求函数()g x 的单调区间．数学（文科)答案选择题DACBB CAABD B B填空题13 14.. 15. 30 16. 6解答题 17.答案：(1)第二种生产效率更高,因为第二组多数数据集中在70min ~80min 之间, 第一组多数数据集中在80min ~90min 之间,所以第一组完成任务的平均时间大于第二组,201118420i t E ===∑,2021174.720i t E ===∑,11E t ∴>,则第二种生产方式的效率更高(2)中位数798180m +== 超过m 不超过m第一种生产方式 15 5第二种生产方式 515 (3)2240(22525)10 6.63520202020K ⨯-==>⨯⨯⨯ 有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.18.(1)设等差数列公差为d,则d=a 4-a 3=2,a 1+a 2=2a 1+2=10,所以a 1=4.因此,a n =4+(n-1)×2=2(n+1).(2)设等比数列公比为q,则b 2=8,b 3=16,所以q=52b b =2,b 1=4,b n =2n+1, b 6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.所以b 6是数列{a n }的第63项.19.解：（1）()22f x x x '=-- 当()0f x '>时，1x <-，或2x >；当()0f x '<时，12x -<<． ∴()f x 的单调增区间为(),1-∞-，()2,+∞；单调减区间为()1,2-．（2）分析可知()f x 的递增区间是()2,1--，()2,4，递减区间是()1,2-， 当1x =-时，()213f -=；当4x =时，()2946f =．由于()()41f f >-，所以当4x =时，()max 296f x =．20.(1)设数列{a n }的公比为q,由=9a 2a 6, 得=9,所以q 2=.由条件可知q>0,故q=.由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q=1,所以a 1=.故数列{a n }的通项公式为a n =.(2)b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =-(1+2+…+n)=-.故=-=-2.所以T n =++…+=-2=-,所以数列的前n 项和为-.21.（1）将曲线C 的极坐标方程，化为直角坐标方程为22880x y x y +--=； （2）直线l 的参数方程为：21222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其带入上述方程中得：270t --=，则12127t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩所以12121211117t t PA PB t t t t -+=+==.22.（1）证明：()f x 的定义域为(0,)+∞，①当01x <≤时，e 0,x >ln 0x ≤，所以()e ln 0x f x x =->， ②因为当1x >时，e 1,x >11,x <1()e 0x f x x '=->，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当1x >时，()(1)e 0f x f >=>，综上，()0f x >成立.（2）解：①若1a ≤，则当0x >时，0x e a ->，所以由()()e (ln )0x g x a x a '=-->，得ln 0x a ->，即e a x >； 由()()e (ln )0x g x a x a '=--<，得ln 0x a -<，即0e a x <<， 所以()g x 的增区间为()e ,a +∞，减区间为()0,e a②若1a >，则ln 0a >，由（1）知()e ln 0a f a a =->，即e ln a a >， 所以由()()e (ln )0x g x a x a '=-->，得0ln x a <<或e a x >， 由()()e (ln )0x g x a x a '=--<，得ln e a a x <<，所以()g x 的增区间为(0,ln ),a ()e ,a +∞，减区间为()ln ,e a a。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市高二下学期（文科）数学期末模拟考试试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．复数（其中i 是虚数单位）的实部是（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．02．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为()f x '，则3f π⎛⎫' ⎪⎝⎭＝（ ） A ．﹣ B ． C ．D ．﹣ 3．独立性检验中，为了调查变量X 与变量Y 的关系，经过计算得到P （K 2≥3.841）＝0.01，表示的意义是（ ）A ．有99%的把握认为变量X 与变量Y 没有关系B ．有1%的把握认为变量X 与变量Y 有关系C ．有0.01%的把握认为变量X 与变量Y 有关系D ．有99%的把握认为变量X 与变量Y 有关系4．曲线y ＝x 3﹣x 在点（1，0）处的切线方程为（ ）A ．2x ﹣y ＝0B ．2x +y ﹣2＝0C ．2x +y +2＝0D ．2x ﹣y ﹣2＝0 5．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga ）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B ．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C ．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D ．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标6．执行如图所示的程序框图，若输入N 的值为28，则输出N 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07．已知函数f （x ）的导函数()f x '的图象如图所示，则关于f （x ）的结论正确的是（）A．在区间（﹣2，2）上为减函数B．在x＝﹣2处取得极小值C．在区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上为增函数D．在x＝0处取得极大值8．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（）A．B．C．D．9．若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．82.5B．83C．93D．7210．若函数f（x）＝ke x﹣x2在区间（0，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．（，+∞）D．[0，+∞）11．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测．A．3B．4C．6D．712．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝k（x﹣1），若方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为.70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 0356 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 9314．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为．15．若函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，则实数a的取值范围为．16．用火柴棒按如图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为__________三．解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，曲线C：＝1．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；（2）在曲线C上求一点P，使它到直线l的距离最小，并求出最小值．18.（本小题满分12分）设函数f（x）＝2x3+3x2+ax+b，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣12x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的极值．19.（本小题满分12分）已知f（x）＝|x|+|x﹣2|．（1）求不等式的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+2b+2c＝M（a，b，c∈R），求证：．20.（本小题满分12分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如表表格．（i）请将表格补充完整；短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上9060岁以下140合计300（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．21.（本小题满分12分）已知椭圆与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为．（1）求C的方程；（2）设椭圆的左顶点为M，k MA，k MB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证．22.（本小题满分12分）设函数f（x）＝x2+cos2x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若x≥0，不等式f（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．答案一．选择题1．复数（其中i是虚数单位）的实部是（）A．1B．﹣1C．﹣2D．0【解答】解：∵＝，∴的实部是0．故选：D．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴．故选：C．3．独立性检验中，为了调查变量X与变量Y的关系，经过计算得到P（K2≥3.841）＝0.01，表示的意义是（）A．有99%的把握认为变量X与变量Y没有关系B．有1%的把握认为变量X与变量Y有关系C．有0.01%的把握认为变量X与变量Y有关系D．有99%的把握认为变量X与变量Y有关系【解答】解：独立性检验中，P（K2≥3.841）＝0.01表示的意义是有99%的把握认为变量X与变量Y有关系．故选：D．4．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0【解答】解：y＝x3﹣x∴y′＝3x2﹣1，所以k＝3×12﹣1＝2，所以切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0故选：D．5．2020年冬奥会申办成功，让中国冰雪项目迎来了新的发展机会，“十四冬”作为北京冬奥会前重要的练兵场，对冰雪运动产生了不可忽视的带动作用．某校对冰雪体育社团中甲、乙两人的滑轮、雪合战、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯卧式爬犁6个冬季体育运动项目进行了指标测试（指标值满分为5分，分高者为优），根据测试情况绘制了如图所示的指标雷达图．则下面叙述正确的是（）A．甲的轮滑指标高于他的雪地足球指标B．乙的雪地足球指标低于甲的冰尜指标C．甲的爬犁速降指标高于乙的爬犁速降指标D．乙的俯卧式爬犁指标低于甲的雪合战指标【解答】解：A选项，甲的滑轮指标为4分，雪地足球指标也为4分，故A错误；B选项，甲的雪地足球指标为4分，乙的雪地足球指标也为4分，故B错误；C选项，甲的爬犁速降指标为4分，乙的爬犁速降指标为4分，故C正确，D选项，乙的俯卧式爬犁指标为5分，甲的雪合战指标为5分，故D错误．故选：C．6．执行如图所示的程序框图，若输入N的值为28，则输出N的值为（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：模拟程序的运行，可得N＝28，不能被3整除，可得：N＝28﹣1＝27；27能被3整除，；9能被3整除，，此时，3≤3，终止循环，输出N＝3．故选：A．7．已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则关于f（x）的结论正确的是（）A．在区间（﹣2，2）上为减函数B．在x＝﹣2处取得极小值C．在区间（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上为增函数D．在x＝0处取得极大值【解答】解：由图象得：f（x）在（﹣∞，﹣2）递减，在（﹣2，2）递增，在（2，+∞）递减，故f（x）在x＝﹣2取极小值，在x＝2取极大值，故选：B．8．采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意事件“抽取一个容量为2的样本，某个被抽到”包含了5个基本事件，而总的基本事件数是C62＝15∴事件“某个个体被抽到的”概率是＝故选：B．9．若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）A．82.5B．83C．93D．72【解答】解：将这组数据从小到大排列为72，74，76，81，82，83，86，93，93，99，则这组数据的中位数是＝82.5．故选：A．10．若函数f（x）＝ke x﹣x2在区间（0，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．[，+∞）B．（0，+∞）C．（，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：f′（x）＝ke x﹣x，依题意，ke x﹣x≥0在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，令，则，易知函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴，∴．故选：A．11．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测．A．3B．4C．6D．7【解答】解：第一次：16人分两组，每组8人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第二次：留下的8人分两组，每组4人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第三次：留下的4人分两组，每组2人，如果第一组检测结果为阳性，放行第二组，留下第一组继续检测，如果第一组检测结果为阴性，放行第一组，留下第二组继续检测；第四次：留下的2人分两组，每组1人，如果第一人检测结果为阳性，则第2人没有感染．如果第一组检测结果为阴性，则第2人感染．综上，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选：B．12．已知函数f（x）＝，函数g（x）＝k（x﹣1），若方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，画出的图象，如图．直线g（x）＝k（x﹣1）过定点（1，0），由图象可知，函数g（x）的图象与的图象相切时，函数f（x），g（x）的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P（x0，y0），由f'（x）＝x+2，x＜0，得，化简得，解得或（舍去），要使方程f（x）＝g（x）恰有三个实数解，则函数f（x），g（x）的图象恰有三个交点，结合图象可知，所以实数k的取值范围为，故选：D．二．填空题13．总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为（）70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 0356 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93A．12B．13C．03D．40【解答】解：从随机数表第1行第5列开始，向右读取，依次选取两个数字中小于30的编号依次为17，12，13，26，03则第5个个体的编号为03．14．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为700．【解答】解：由图[2000，3500）收入段的频率是（0.0005+0.0005+0.0004）×500＝0.7；则在[2000，3500）收入段应抽出人数为0.7×1000＝700．故答案为：700．15．若函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，则实数a的取值范围为（0，3）．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣2ax，∵函数f（x）＝x3﹣ax2+4在区间[0，2]上不单调，∴3x2﹣2ax＝0在（0，2）内有解．∴a＝x∈（0，3）．故答案为：（0，3）．16．用火柴棒按如图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为____201______A．401B．201C．402D．202【解答】解：由图形可知，第一个图形用3个火柴，以后每一个比前一个多两个火柴，则第n个使用火柴为2n+1，则第100个图形所用火柴棒数为2×100+1＝201．三．解答题17.在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，已知直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，曲线C：＝1．（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；（2）在曲线C上求一点P，使它到直线l的距离最小，并求出最小值．【解答】解：（1）直线的极坐标方程为l：ρcosθ+2ρsinθ＝5，转换为直角坐标方程为：x+2y﹣5＝0．曲线C：＝1．转换为参数方程为（θ为参数）．（2）设，则，当，即，（k∈Z），此时，即时，．18.设函数f（x）＝2x3+3x2+ax+b，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣12x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的极值．【解答】解：（1）f′（x）＝6x2+6x+a，k切＝f′（0）＝a，又因为切线方程为y＝﹣12x+1，所以k切＝﹣12，得a＝﹣12，因为切点在切线上也在曲线上，所以，所以b＝1，所以f（x）的解析式为y＝2x3+3x2﹣12x+1．（2）f（x）定义域为R，f′（x）＝6x2+6x﹣12令f′（x）＝0得，x＝﹣2或1，所以在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减，所以f（x）极大值＝f（﹣2）＝21f（x）极小值＝f（1）＝﹣6．19.已知f（x）＝|x|+|x﹣2|．（1）求不等式的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且a+2b+2c＝M（a，b，c∈R），求证：．【解答】（1）解：∵f（x）＝|x|+|x﹣2|，∴当x＜0时，等价于|x|+|x﹣2|＞﹣4，该不等式恒成立；当0＜x≤2时，等价于2＞4，该不等式不成立；当x＞2时，等价于，解得x＞3，∴不等式的解集为（﹣∞，0）∪（3，+∞）．（2）证明：∵f（x）＝|x|+|x﹣2|≥|x﹣（x﹣2）|＝2，当且仅当0≤x≤2时取等号，∴M＝2，a+2b+2c＝2，由柯西不等式，可得4＝（a+2b+2c）2≤（12+22+22）（a2+b2+c2）＝9（a2+b2+c2），当且仅当时等号成立，∴．时，函数f（x）为，当x＝4时，函数f（x）的最小值为．20.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如表表格．（i）请将表格补充完整；短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上9060岁以下140合计300（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．【解答】解：（1）平均数x＝（0.02×1+0.08×3+0.15×5+0.18×7+0.03×9+0.03×11+0.01×13）×2＝6，“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5，所以500人中“长潜伏者”的人数为500×0.5＝250人；（2）（i）由题意补充后的表格如图：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907016060岁以下6080140合计150150300（ii）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为a，b，c，“长潜伏者”有4人，记为D，E，F，G，从中抽取2人，共有21种不同结果，分别为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（a，F），（a，G），（b，c），（b，D），（b，E），（b，F），（b，G），（c，D），（c，E），（c，F），（c，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G），两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果．所以两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率为．21.已知椭圆与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为．（1）求C的方程；（2）设椭圆的左顶点为M，k MA，k MB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），将点A，B坐标代入椭圆的方程两式相减+＝0，所以k AB＝＝﹣，因为D为AB的中点，所以k OD＝，所以k AB•k OD＝﹣＝﹣，所以＝，又a2﹣b2＝1，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为：+＝1；（2）由（1）可得左顶点M（﹣2，0），由题意设直线AB的方程：x＝my+1，联立直线与椭圆的方程：整理可得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以k AM+k BM＝+＝＝＝＝﹣m，因为k AB•k OD＝﹣•k OD＝﹣，所以m＝﹣k OD，所以k AM+k BM＝k OD．22.设函数f（x）＝x2+cos2x．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）若x≥0，不等式f（x）≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝2x﹣2sin x cos x＝2x﹣sin2x，f''（x）＝2﹣2cos2x＝2（1﹣cos2x）≥0，∴函数f′（x）为增函数，又f′（0）＝0，∴当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；（Ⅱ）不等式f（x）≥kx+1即为x2﹣kx﹣1+cos2x≥0，设g（x）＝x2﹣kx﹣1+cos2x，x≥0，则g′（x）＝2x﹣k﹣sin2x，由（Ⅰ）可知，g′（x）是[0，+∞）上的增函数，因为g′（0）＝﹣k，所以当k≤0时，g′（0）≥0，函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，符合题意；当k＞0时，g′（0）＝﹣k＜0，故存在x0＞0，使得g′（x0）＝0，且当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在x∈（0，x0）上为减函数，在x∈（x0，+∞）上为增函数，故g（x）min＝g（x0）＜g（0）＝0，不合题意．综上，实数k的取值范围为（﹣∞，0]．。

2020年黑龙江省名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．二项式61(2)x x-展开式中的常数项为（ ） A ．960- B ．160- C ．160 D ．960【答案】B 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，使得x 的指数为0，即可得出常数项. 【详解】通项为()6166266(2)2(1)rrr r r r r C x x C x -----=-⋅6203r r -=⇒=Q∴常数项为33362(1)160C ⋅-=-故选：B 【点睛】本题主要考查了利用二项式定理求常数项，属于基础题. 2．已知12P(B|A)=,P(A)=35,则()P AB 等于( ) A ．56B ．910C ．215D ．115【答案】C 【解析】分析：根据条件概率的计算公式，即可求解答案. 详解：由题意，根据条件概率的计算公式()()|()P AB P B A P A =， 则()()()122|3515P AB P B A P A =⋅=⨯=，故选C. 点睛：本题主要考查了条件概率的计算公式的应用，其中熟记条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤<【答案】C【分析】先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可． 【详解】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ． 【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小．4．6的展开式中的常数项是（ ） A ．192 B ．192-C ．160D ．160-【答案】D 【解析】分析：利用二项展开式的通项公式66622166112r rr rrr r r rr T C C x ----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（），令x 的幂指数为0，求得r 的值，从而可得6⎛⎝的展开式中的常数项．详解：设二项展开式的通项为1r T +，则66622166112r rr rrr r r r r T C C x ----+=⋅〈-=-⋅⋅⋅（）（），令6022r r--=得：3r = ，∴6⎛ ⎝展开式中的常数项为3633612160.C --⋅⋅=-（） 故选D ．点睛：本题考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．5．若函数()()2212f x ax a x =+-+在区间(],4-∞上为减函数，则a 的取值范围为（）A ．105a <≤ B ．105a ≤≤C ．105a <<D ．15a >【答案】B 【解析】 【分析】对参数进行分类讨论，当为二次函数时，只需考虑对称轴和区间的位置关系即可.当0a =时，()22f x x =-+，满足题意； 当0a ≠时，要满足题意，只需0a >，且()2142a a--≥，解得105a <≤. 综上所述：105a ≤≤. 故选：B. 【点睛】本题考查由函数的单调区间，求参数范围的问题，属基础题. 6．复数1(z i i =-为虚数单位）的虚部为（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】B 【解析】 【分析】由虚数的定义求解． 【详解】复数1z i =-的虚部是－1． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础． 7．函数sin y x x =在[,]-ππ的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】()()()()sin sin f x x x x x f x -=-⋅-==，为偶函数，则B 、D 错误；又当[]0,x π∈时，()'sin cos f x x x x =+， 当()'sin cos 0f x x x x =+=时，得tan x x =-，则则极值点0,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故选C ． 点睛：复杂函数的图象选择问题，首先利用对称性排除错误选项，如本题中得到为偶函数，排除B 、D 选项，在A 、C 选项中，由图可知，虽然两个图象在第一象限都是先增后减，但两个图象的极值点位置不同，则我们采取求导来判断极值点的位置，进一步找出正确图象．8．将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（ ）种 A ．12 B ．36 C ．72 D ．108【答案】B 【解析】试题分析：第一步从4名实习教师中选出2名组成一个复合元素，共有246C =种，第二步把3个元素（包含一个复合元素）安排到三个班实习有336A =,根据分步计数原理不同的分配方案有6636⨯=种，故选B ．考点：计数原理的应用．9．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由()0h x =，得出()()f x g x =，转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可． 【详解】由于()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =的周期为2，且函数()y f x =为偶函数，由()0h x =，得出()()f x g x =，问题转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象如下图所示，由图象可知，()01f x ≤≤，当10x >时，()lg 1g x x =>， 则函数()y f x =与函数()y g x =在()10,+∞上没有交点，结合图像可知，函数()y f x =与函数()y g x =图象共有11个交点，故选C. 【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．10．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ=（ ） A ．6π B ．3π C ．29π D ．49π 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的周期求出ω的值，利用逆向变换将函数()y g x =的图象向左平行23π个单位长度，得出函数()y f x =的图象，根据平移规律得出ϕ的值. 【详解】由于函数()y f x =的周期为6π，2163πωπ∴==，则()1sin 3g x x =， 利用逆向变换，将函数()y g x =的图象向左平移23π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，所以()1212sin sin 3339f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，29πϕ=，故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.11．已知定义在R 上的函数()f x ，若()f x 是奇函数，(1)f x +是偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(2019)f = （ ） A ．1- B ．1C ．0D ．22019【答案】A 【解析】 【分析】根据(1)f x +是偶函数判出1x =是函数()f x 的对称轴，结合()f x 是奇函数可判断出函数()f x 是周期为4的周期函数，由此求得()2019f 的值. 【详解】由于(1)f x +是偶函数，所以函数()f x 的一条对称轴为1x =，由于函数()f x 是奇函数，函数图像关于原点对称，故函数()f x 是周期为4的周期函数，故()()()()22019505411111f f f f =⨯-=-=-=-=-，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、考查函数的对称性、考查函数的周期性，考查函数值的求法，属于基础题. 12．若等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足44S =， 612S =，则2S =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．3【答案】B 【解析】根据等差数列的性质624,,246S S S 仍成等差数列，则6422426S S S⨯=+，则6423S S S =+ ，62412444033S S S =-=-=-=，选B. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．曲线21x y xe x +＝﹣在点(0,1)-处的切线方程为_______． 【答案】310x y --=. 【解析】 【分析】对函数求导得'(1)2xy x e =++，把0x =代入得'(0)3y =，由点斜式方程得切线方程为310x y --=.【详解】因为'(1)2xy x e =++，所以'(0)3y =，又切点为(0,1)-，所以在点(0,1)-处的切线方程为310x y --=. 【点睛】本题考查运用导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程.14．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x ，若实数x 满足||x m ≤的概率为23，则m =_______. 【答案】2 【解析】 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.15．已知向量()2,3a =v ，()1,4b =-v ，m a b λ=-v v v ，2n a b =-v v v ，若//m n v v ，则λ=_______.【答案】12【解析】 【分析】计算出向量m u r 与n r的坐标，利用共线向量坐标的等价条件列等式求出实数λ的值. 【详解】()()()2,31,42,34m a b λλλλ=-=--=+-u r r r Q ，()()()222,31,45,2n a b =-=--=r r r， 又//m n u r r ，所以，()()22534λλ+=-，解得12λ=，故答案为12.【点睛】本题考查利用共线向量求参数的值，解题时要计算出相关向量的坐标，利用共线向量的坐标的等价条件列等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.16．已知,a b v v 是两个非零向量，且||2a =r ，22a b +=r r ，则||a b b ++rr r 的最大值为_____．【答案】【解析】 【分析】构造=a b m b n +=r r r r r ，，从而可知m n ⊥r r ，于是||a b b ++r r r 的最大值可以利用基本不等式得到答案.【详解】由题意，令=a b m b n +=r r r r r ，，所以||||2m n a -==r r r ，|||2|2m n a b +=+=r r r r ，所以||||m n m n -=+r r r r ，所以m n ⊥r r ，所以||||||a b b m n ++=+≤=r r r r r 当且仅当||||m n ==r r且m n ⊥r r 时取等号.故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的几何意义，模，基本不等式等知识，考查学生的运算求解能力，难度较大. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知抛物线C ：2y =2px （p>0）的准线方程为x=-12,F 为抛物线的焦点 （I ）求抛物线C 的方程；（II ）若P 是抛物线C 上一点，点A 的坐标为（72,2）,求PA PF +的最小值； （III ）若过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点坐标．【答案】（Ⅰ）22y x =（II ）4（III ）线段MN 中点的坐标为（312，） 【解析】 【分析】（I ）由准线方程122p x =-=-求得p ，可得抛物线标准方程． （II ）把PF 转化为P 到准线的距离PB ，可得,,B P A 三点共线时得所求最小值． （III ）写出直线MN 方程，代入抛物线方程后用韦达定理可得中点坐标． 【详解】（I ）∵准线方程x=-12,得p =1， ∴抛物线C 的方程为22y x =（II ）过点P 作准线的垂线，垂直为B ，则PB =PF 要使PA +PF 的最小，则P ，A ，B 三点共线此时PA +PF =72+12=4· （III ）直线MN 的方程为y=x-12· 设M （11,x y ），N （22,x y ），把y=x-12代入抛物线方程22y x =,得2x -3x+14=0 ∵△=9-4×1×14＝8＞0 ∴1x +2x =3，122x x +=32线段MN 中点的横坐标为32，纵坐标为31122-=线段MN 中点的坐标为（312，） 【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质．解题时注意抛物线上的点到焦点的距离常常转化为这点到准线的距离．18．为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各50人进行调查，根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图.（1）求所调查学生日均玩游戏时间在[40,50)分钟的人数；（2）将日均玩游戏时间不低于60分钟的学生称为“游戏迷”，已知“游戏迷”中女生有6人； ①根据已知条件，完成下面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别关系； 非游戏迷 游戏迷 合计 男 女 合计②在所抽取的“游戏迷”中按照分层抽样的方法抽取10人，再在这10人中任取9人进行心理干预，求这9人中男生全被抽中的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）.【答案】（1）16人（2）①填表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别有关.②310【解析】 【分析】（1）计算日均玩游戏时间在[45,50)分钟的频率,再乘以总人数即可; （2）①计算 “游戏迷”有0.2010020⨯=人，由于“游戏迷”中女生有6人，得男生有14人,即可列表,计算观测值，对照临界值得出结论；②利用古典概型求解即可 【详解】（1）日均玩游戏时间在[45,50)分钟的频率为1(0.0100.0080.0120.0140.0200.0140.0040.002)100.16-+++++++⨯=，所以，所调查学生日均玩游戏时间在[45,50)分钟的人数为1000.1616⨯=. （2）“游戏迷”的频率为(0.0140.0040.002)100.20++⨯=，共有“游戏迷”0.2010020⨯=人，由于“游戏迷”中女生有6人，故男生有14人. ①根据男、女学生各有50人，得列联表如下：222()100(3664414)4 3.841()()()()50508020n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯.故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别有关.②“游戏迷”中女生有6人，男生有14人，按照分层抽样的方法抽取10人，则女生有3人，男生有7人.从中任取9人，只剩1人，则共有910C = 10种基本情况，记这9人中男生全被抽中为事件A ，则有两名女生被选中,共有233C =种基本情况，因此所求事件A 的概率3()10P A =. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题．19．已知函数f(x)=x e -ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； （2）当m≤2时，证明f(x)>0.【答案】 (1)()f x 在(1,0)-上是减函数；在(0,)+∞上是增函数（2）见解析 【解析】 【分析】 【详解】 (1)．由x=2是f(x)的极值点得f '(2)=2，所以m=1． 于是f(x)=e x －ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(2)=2，因此当x ∈(－1，2)时， f '(x)<2;当x ∈(2，+∞)时， f '(x)>2．所以f(x)在(－1，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增．(2)当m≤2，x ∈(－m ，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>2． 当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．又f '(－1)<2， f '(2)>2，故f '(x)=2在(－2，+∞)上有唯一实根，且．当时， f '(x)<2;当时， f '(x)>2，从而当时，f(x)取得最小值．由f '(x 2)=2得=，，故．综上，当m≤2时， f(x)>2．20．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟） 平均每天锻炼的时间/分钟[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60)将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“课外体育达标”. （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表；（Ⅱ）通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】 (Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. 【解析】【试题分析】（1）根据题目所给数据可填写好表格.（2）通过公式计算2 6.06 6.635K ≈<，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. 【试题解析】 (1) (2) ()22200602030902006.060 6.635150509011033K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯ 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关.21．在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为3sinπρθ=（-）.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11||||PA PB -的值. 【答案】（1）2214x y +=0y -+=（2）11||||3PA PB -= 【解析】 【分析】（1）将变换公式代入221x y ''+=得，即可曲线C 的方程，利用极坐标与直角的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程；（2）将直线l 0的参数方程代入曲线C的方程整理得27120t --=，利用根与系数的关系和直线的参数方程中参数的几何意义，即可求解11||||PA PB -的值. 【详解】（1）将12x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩代入221x y ''+=得，曲线C 的方程为2214x y +=，由3sinπρθ=（-），得 33sin coscos sinππρθρθ-=把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式得直线l0y -+=.（2）因为直线l 的倾斜角为3π，所以其垂线l 0的倾斜角为56π， 则直线l 0的参数方程为51cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C的方程整理得27120t --=，设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2，由题意知10t >，20t <，则12127127t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，且247120∆=+⨯⨯>（，所以1212121111||||3t t PA PB t t t t +-=-==--.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用韦达定理和直线的参数方程中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22．如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 13=AB ，四边形B 1C 1CB 为矩形，过A 1C 作与直线BC 1平行的平面A 1CD 交AB 于点D ． （Ⅰ）证明：CD ⊥AB ；（Ⅱ）若AA 1与底面A 1B 1C 1所成角为60°，求二面角B ﹣A 1C ﹣C 1的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）59191- 【解析】 【分析】（Ⅰ）连接AC 3交A 3C 于点E ，连接DE ．推导出BC 3∥DE ，由四边形ACC 3A 3为平行四边形，得ED 为△AC 3B 的中位线，从而D 为AB 的中点，由此能证明CD ⊥AB ．（Ⅱ）过A 作AO ⊥平面A 3B 3C 3垂足为O ，连接A 3O ，以O 为原点，以11OA OB OA u u u r u u u r u u u r ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣A 3C ﹣C 3的余弦值． 【详解】（Ⅰ）连接AC 3交A 3C 于点E ，连接DE ．因为BC 3∥平面A 3CD ，BC 3⊂平面ABC 3，平面ABC 3∩平面A 3CD ＝DE ， 所以BC 3∥DE ．又因为四边形ACC 3A 3为平行四边形，所以E 为AC 3的中点，所以ED 为△AC 3B 的中位线，所以D 为AB 的中点． 又因为△ABC 为等边三角形，所以CD ⊥AB ．（Ⅱ）过A 作AO ⊥平面A 3B 3C 3垂足为O ，连接A 3O ，设AB ＝3． 因为AA 3与底面A 3B 3C 3所成角为60°，所以∠AA 3O ＝60°． 在Rt △AA 3O 中，因为123A A = 所以13AO =AO ＝2． 因为AO ⊥平面A 3B 3C 3，B 3C 3⊂平面A 3B 3C 3， 所以AO ⊥B 3C 3．又因为四边形B 3C 3CB 为矩形，所以BB 3⊥B 3C 3， 因为BB 3∥AA 3，所以B 3C 3⊥AA 3．因为AA 3∩AO ＝A ，AA 3⊂平面AA 3O ，AO ⊂平面AA 3O ，所以B 3C 3⊥平面AA 3O ． 因为A 3O ⊂平面AA 3O ，所以B 3C 3⊥A 3O ．又因为13AO =，所以O 为B 3C 3的中点． 以O 为原点，以11OA OB OA u u u r u u u r u u u r ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图． 则)130A ，，，C 3（0，﹣3，0），A （0，0，2），B 3（0，3，0）．因为()11310AB A B ==-u u u r u u u u r，，， 所以()313B -，，，3132D ⎫-⎪⎪⎝⎭，，， 因为()11310AC AC ==--u u u r u u u u r，，， 所以()313C --，，，()12313A B =-u u u r，，，()11020BC B C ==-u u u r u u u u r，，，()12313AC =--u u u r，，，133132A D ⎫-=⎪⎪⎝⎭u u u u r ，，． 设平面BA 3C 的法向量为n r＝（x ，y ，z ），由100A B n BC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v ru u u v r 得23300x y z y ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩令3x =z ＝3，所以平面BA 3C 的一个法向量为)32n =r，，．设平面A 3CC 3的法向量为m r＝（a ，b ，c ），由11100AC m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v ru u u v r 得302330a b a b c ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩令3a =，得b ＝﹣2，c ＝3，所以平面A 3CC 3的一个法向量为()331m =-r，，．所以591n m cos n m n m⋅<>==r u rr u r rr ，，因为所求二面角为钝角，所以二面角B ﹣A 3C ﹣C 3的余弦值为591-． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．。

黑龙江省龙东南四校2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共60分）1．（2015•天门模拟）已知全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|x≥1} D．{x|x≤2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A与B的并集，根据全集U=R，求出并集的补集即可．解答：解：∵全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x≥2}，∴A∪B={x|x＜1或x≥2}，则∁U（A∪B）={x|1≤x＜2}，故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（2015•宁德二模）若集合A={x|2x＞1}，集合B={x|lgx＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．解答：解：A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|lgx＞0}={x|x＞1}，则B⊊A，即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．3．（2015•威海模拟）已知复数z满足（2﹣i）2•z=1，则z的虚部为（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：∵（2﹣i）2=3﹣4i，∴==，∴z的虚部为，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．4．（2015春•黑龙江期末）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为2，则输出s的值是（）A． 1 B． 2 C． 4 D．7考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=3时不满足条件i≤n，最后输出S的值为2．解答：解：模拟执行程序框图，可得循环的结果依次为：S=1+0=1，i=2；S=1+1=2，i=3．不满足条件i≤n，最后输出S的值为2．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基础题．5．（2015•上饶校级二模）已知样本：8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值和中位数a的值是（）A．B．C．D．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据平均数的计算方法计算即可，再根据中位数的定义计算即可．解答：解：=（8+6+4+7+11+6+8+9+10+5）=7.4，样本从小到大的顺序为：4，5，6，6，7，8，8，9，10，11，所以中位数a=（7+8）=7.5，故选：B．点评：本题考查了平均数和中位数的计算方法，属于基础题．6．（2015•雅安模拟）设α为锐角，若cos=，则sin的值为（）A． B． C．﹣D．﹣考点：二倍角的正弦；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．解答：解：∵α为锐角，cos=，∴∈，∴==．则sin===．故选：B．点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2015•闸北区二模）如图，下列四个几何题中，他们的三视图（主视图，俯视图，侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是（）A．（1），（2）B．（1），（3）C．（2），（3）D．（1），（4）考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，对题目中的四个几何体的三视图进行分析，即可得出正确的结论．解答：解：对于（1），棱长为2的正方体的三视图都相同，是边长为2的正方形，∴不满足条件；对于（2），底面直径与高都为2的圆柱，它的正视图与侧视图相同，是边长为2的正方形，俯视图是圆，∴满足条件；对于（3），底面直径与高都为2的圆锥，它的正视图与侧视图相同，是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，∴满足条件；对于（4），底面边长为2高为2的直平行六面体，它的三视图可以都相同，∴不满足条件；综上，满足条件的是（2）、（3）．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，是基础题目．8．（2015•锦州二模）已知x、y满足约束条件则 z=x+2y 的最大值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． 1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，即，即A（0，1），此时z=0+2=2，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．9．（2015•威海模拟）已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是（）①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n．A．②③B．③C．②④D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：①由已知利用面面平行的判定定理可得：α∥β或相交，即可判断出正误；②利用面面平行的性质、线线垂直的性质可得：l与n不一定垂直，即可判断出正误；③利用线面垂直的性质、面面平行的性质可得：m∥n，即可判断出正误；④由已知可得m∥n、相交或异面直线，即可判断出正误．解答：解：①若m∥n，m⊂α，n⊂β，不满足平面平行的判定定理，因此α∥β或相交，不正确；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，若l⊂m，则可能l∥n，因此不正确；③若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，正确；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n、相交或异面直线，因此不正确．综上只有：③正确．故选：③．点评：本题考查了空间线线、线面、面面位置关系及其判定、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．10．（2015春•黑龙江期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=4sin（x﹣）B． f（x）=﹣4sin（x+）C．f（x）=﹣4sin（x﹣）D． f（x）=4sin（x+）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：数形结合．分析：由图象先确定A，再由周期确定ω，再代值求φ，可得解析式．解答：解：由图象可得A=﹣4，==6﹣（﹣2），解得ω=，故函数的解析式可写作f（x）=﹣4sin（x+φ），代入点（6，0）可得0=﹣4sin（+φ），故+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，又|φ|＜，故当k=1时，φ=，故选B点评：本题考查三角函数解析式的确定，先确定A，再由周期确定ω，再代值求φ，属中档题．11．（2015春•黑龙江期末）化简的结果是（）A．﹣cos1 B．cos 1 C．cos 1D．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用二倍角公式，同角三角函数关系式即可化简求值．解答：解：．故选：C．点评：本题主要考查了二倍角公式，同角间三角公式的综合应用，属于基本知识的考查．12．（2015•威海模拟）周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（）A．0 B． 1 C． 2 D．3考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的周期性，以及函数的奇偶性，直接求解即可．解答：解：函数是周期为4的奇函数，f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，所以f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=f（2）﹣f（1）=log22+1﹣12=1．故选：B．点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力．二、填空题（共20分）13．（2015春•黑龙江期末）已知平面向量=（2，4），，若，则||= 8．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出的坐标，然后进行模的计算．解答：解：，∴，∴，∴故答案为：8．点评：本题考查了平面向量的坐标运算以及向量模的求法；属于基础题．14．（2015•天门模拟）在等比数列{a n}中，对于任意n∈N*都有a n+1a2n=3n，则a1a2…a6= 729 ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：通过等比数列的定义及a n+1a2n=3n可得公比及a2，利用等比中项的性质计算即可．解答：解：∵a n+1a2n=3n，∴a n+2a2（n+1）=3n+1，∴q3===3，即q=，∵a2a2=31，∴a2=，∴a5==3，∴a2•a5==9，∴a1a2…a6=（a1•a6）（a2•a5）（a3•a4）=93=729，故答案为：729．点评：本题考查求数列前几项的乘积，注意解题方法的积累，属于中档题．15．（2015•威海模拟）已知x＞0，y＞0且x+y=2，则++的最小值为 3 ．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式．分析：由基本不等式可得，然后对已知式子进行求解即可解答：解：∵x＞0，y＞0且x+y=2∴=1（当且仅当x=y=1时取等号）则++==3（当且仅当x=y时取等号）即++的最小值3故答案为：3点评：本题主要考查基本不等式在求解最值中的应用，解题时要注意等号成立条件的检验16．（2014•天心区校级模拟）若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为[﹣2，1）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意求导f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得﹣2≤a ＜1＜10﹣a2；从而解得．解答：解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．三、解答题（共70分）17．（2015•威海模拟）已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．（Ⅱ）由题意根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用定义域和值域，求得函数g（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由题意可得sin2ωx﹣2cos2ωx+1=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），由题意知，，∴ω=1，∴．由，解得：，∴f（x）的单调增区间为．（Ⅱ）由题意，把f（x）的图象向左平移个单位，得到，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，∵，∴，∴，函数g（x）的值域为．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．18．（2015•雅安模拟）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求几何体D﹣ABC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：（Ⅰ）解法一：由题中数量关系和勾股定理，得出AC⊥BC，再证BC垂直与平面ACD 中的一条直线即可，△ADC是等腰Rt△，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，从而证得BC⊥平面ACD；解法二：证得AC⊥BC后，由面面垂直，得线面垂直，即证．（Ⅱ），由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积．解答：解：（Ⅰ）【解法一】：在图1中，由题意知，，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD【解法二】：在图1中，由题意，得，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊂面ABC，∴BC⊥平面ACD（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，且，S△ACD=×2×2=2，所以三棱锥B﹣ACD的体积为：，由等积性知几何体D﹣ABC的体积为：．点评：本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也是常用的数学方法．19．（2015•丰台区二模）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；（Ⅱ）从A班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a＞b的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求出A，B班样本数据的平均值，估计A，B两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）先计算从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个的情况总数，再计算a＞b的情况种数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（Ⅰ）A班样本数据的平均值为（9+11+13+20+24+37）=19，由此估计A班学生每周平均上网时间19小时；B班样本数据的平均值为（11+12+21+25+27+36）=22，由此估计B班学生每周平均上网时间较长．（Ⅱ）A班的样本数据中不超过21的数据有3个，分别为：9，11，14，B班的样本数据中不超过21的数据也有3个，分别为：11，12，21，从A班和B班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，分别为：（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），（11，21），（14，11），（14，12），（14，21），其中a＞b的情况有（14，11），（14，12）两种，故a＞b的概率P=点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，茎叶图的应用，难度不大，属于基础题．20．（2015春•黑龙江期末）已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆C（1）求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．考点：直线与圆相交的性质；二元二次方程表示圆的条件．专题：函数的性质及应用．分析：（1）化简方程为圆的标准形式，然后求解m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求出圆的圆心与半径利用圆心到直线的距离，半径，半弦长满足的勾股定理，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长．解答：（10分）解：（1）（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣5m+4，方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆，∴m2﹣5m+4＞0．m＜1或m＞4．（2）设m=﹣2时，圆心C（﹣2，2），半径，圆心到直线的距离为，圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长为：．点评：本题考查圆的标准方程的应用，仔细与圆的位置关系，考查计算能力．21．（2015•昌平区二模）已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（I）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得斜率为0，可得a=3：（II）求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（Ⅲ）运用参数分离，可得a＜在x＞1时恒成立，令h（x）=1+x2﹣lnx，求得导数，判断函数的单调性，运用单调性即可求得a的取值范围．解答：解：（I）f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．定义域为（0，+∞），导数．依题意，f′（1）=0．所以f′（1）=3﹣a=0，解得a=3；（II）a=3时，f（x）=lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣3=，当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，当＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞），单调递减区间为（，1）；（III）由f（x）＞0，得a＜在x＞1时恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=1+x2﹣lnx，则h′（x）=2x﹣=，所以h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0．故g'（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）为增函数，即有g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查导数的几何意义，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用参数分离和正确求导是解题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）（2015春•黑龙江期末）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ2++1=r2（r＞0）．（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）直线l的参数方程为（t为参数），两个方程相加可得直线l 的直角坐标方程．圆C的极坐标方程为ρ2++1=r2（r＞0），展开为=r2，把代入即可得出．（2）求出圆心C到直线的距离为d，求出圆心到直线的距离，即可得出．解答：解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），两个方程相加可得：直线l的直角坐标方程为．圆C的极坐标方程为ρ2++1=r2（r＞0），展开为=r2，∴+1=r2，∴圆C的直角坐标方程为．（2）∵圆心，半径为r，圆心C到直线的距离为，又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3，∴r=3﹣2=1．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2014-2015学年度第二学期高二数学期末考试数学试卷（文科）第I 卷（选择题）一、选择题（共60分）1．已知全集U ＝R ，{}|1A x x =<，{}|2B x x =≥，则集合=)(B A C U ( ) A 、{}|12x x ≤< B 、{}|12x x <≤ C 、{}|1x x ≥ D 、{}|2x x ≤ 2．若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知复数z 满足2(2)1i z -⋅=，则z 的虚部为（ ) （A ）325i （B ）325 （C ）425i （D ）4254．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为2,则输出s 的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．75．已知样本：8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值x 和中位数a 的值是（ ）A ．7.3,7.5x a == B ．7.4,7.5x a ==C ．7.3,78x a ==和D ．7.4,78x a ==和 6．设α为锐角，若cos ()6πα+＝45，则sin (2)3πα+的值为（ ） A ．2512B ．2425C ．2425-D ．1225-7．如图，下列四个几何题中，它们的三视图（主视图、俯视图、侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是（1）棱长为2的正方体 （2）底面直径和高均为2的圆柱（3）底面直径和高均为2的圆锥 （4）底面边长为2高为2的直平行六面体 A 、（1）、（2） B 、（1）、（3） C 、（2）、（3） D 、（1）、（4）8．已知x 、 y 满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 z = x + 2y 的最大值为（A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）29．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ） ①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β； ②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥； ③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ； ④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥；（A ）②③ （B ）③ （C ）②④ （D ）③④ 10．函数),2||,0(),sin()(R x x A x f ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为（ ）A ．)48sin(4)(ππ--=x x f B ．)48sin(4)(ππ+-=x x fC ．)48sin(4)(ππ-=x x f D ．)48sin(4)(ππ+=x x f11（ ）A ．1cos -B ．cos 1 C．1cos 3-12．周期为4的奇函数()f x 在[0,2]上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则(2014)+(2015)f f =（ )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3第II 卷（非选择题）二、填空题（共20分） 13．已知平面向量(2,4)a=，()2,1-=b ，若()b b a ac ⋅-=， 则||c =_______．14．在等比数列{}n a 中，对于任意*n N ∈都有123n n n a a +=，则126a a a ⋅⋅⋅= ． 15．已知0,0x y >>且2x y +=，则22111x y xy++的最小值为______. 16．若函数x x x f -=331)(在()210,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为_________.三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）已知向量)2,cos (sin ),1,cos 2(x x n x m ωωω-=-=)0(>ω， 函数3)(+⋅=x f ，若函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间；（Ⅱ）若将函数)(x f 的图象先向左平移4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到函数)(x g 的图象，当]2,6[ππ∈x 时，求函数)(x g 的值域.18．（本题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，090=∠ADC ，CD ∥AB ，4=AB ，2==CD AD ，将AD C ∆沿AC 折起，使平面⊥ADC 平面ABC ，得到几何体ABC D -，如图2所示．（1）求证： ⊥BC 平面ACD ； （2）求几何体ABC D -的体积．19．（本小题共12分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长；（Ⅱ）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a ＞b 的概率． 20．（共12分）已知方程222450x y mx y m +--+=的曲线是圆C （1）求m 的取值范围;（2）当2m =-时,求圆C 截直线:l 210x y -+=所得弦长; 21．（本小题满分12分）已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R （Ⅰ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）, 圆C 的极坐标方程为222sin()1(0)4r r ρρθπ+++=>．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．高二文科数学参考答案1．A 【解析】试题分析：由题意，得{}21|≥<=x x x B A 或 ，则{}21|)(<≤=x x B A C U . 考点：集合的运算. 2．B 【解析】试题分析：{}{}0|12|>=>=x x x A x ，{}{}1|0lg |>=>=x x x x B ，由A x ∈不能推出B x ∈，由B x ∈能推出A x ∈，“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，故答案为B.考点：充分条件、必要条件的判断. 3．D 【解析】试题分析：由213434(2)1(34)134(34)(34)2525i i z i z z i i i i +-⋅=⇒-=⇒===+--+，所以复数z 的虚部为425，故答案选D . 考点：1.复数的计算；2.复数的定义. 4．B 【解析】试题分析：这是一个循环结构，循环的结果依次为：101,2;112,3S i S i =+===+==．最后输出2．选B ． 考点：程序框图． 5．B 【解析】 试题分析：8647116891057.410x +++++++++==，把这10个数按从小到大顺序排列，第5个是7，第6个是8，故中位数是7．5。

龙东地区高中教学结合体2021-2021学年度下学期期末结合考试高二数学〔文科〕试题A 卷考试说明：本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，满分是150分，考试时间是是120分钟。

（1） 在答题之前，考生先将本人的姓名、准考证号码填写上清楚；（2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内答题，在草稿纸、试题上答题无效。

（3） 保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第一卷〔一共60分〕一、选择题〔每一小题5分一共60分〕1．集合}21{},2,1,0{<<-==x x B A ，那么=B A 〔 〕 A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{0,1,2} 2．设R x ∈, 那么“0<x 〞是“3≠x 〞的〔 〕 A ． 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．命题“2,11x x ∀∈+≥R 〞的否认是 〔 〕 A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<R D ．2,11x x ∃∈+≥R4．设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，那么变量x 增加一个单位时〔 〕A.y 减少1.5个单位B y 平均增加1.5个单位 C.y 平均减少1.5个单位D.y 减少2个单位5．复数i z +=1，z 为z 的一共轭复数，那么=--1z z z 〔 〕 A ．－2i B. –iC ． iD ． 2i6．三选一6-1 A 、B 、C 是⊙O 上三点，AB⌒的度数是50°，∠OBC=40°，那么∠OAC 等于〔 〕 A. 40° B. 25° C. 30°D. 15°6-2假设直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，那么直线的斜率为〔 〕A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 6-3不等式3529x ≤-<的解集为〔 〕 A ．[2,1)[4,7)- B ．(2,1](4,7]- C ．(2,1][4,7)-- D ．(2,1][4,7)-7．以下函数为奇函数，且在()0,∞-上单调递减的函数是〔 〕A ．()1-=x x f B ．()2xf x = C ．()f x x = D ．()3x x f =8．三选一8-1．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，以下条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是〔 〕A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEB C .BE=CD ，AB=AC D. AD ∶AC=AE ∶ABM 的直角坐标是(1,3)-，那么点M 的极坐标可以为〔 〕A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 8-3假设,x y R ∈且满足32x y +=，那么3271xy++的最小值是〔 〕A ．339B ．122+C ．7D ．69. 设⎩⎨⎧<>=)0(,3)0(log )(3x x x x f x ，那么)]3([-f f等于 ( )A. 3B. 3-C. 31D. 1-10-1.一个圆的两条弦相交，一条弦被分成12cm 和18cm 两段，另一条弦被分成3:8,那么另一弦的长为 〔 〕A.11cmB.33cm c.66cm D.99cm10-2.设曲线C 的参1数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩〔θ为参数〕，直线l 的方程为320x y -+=，那么曲线C 上到直线l 间隔 为71010的点的个数为( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．464-+-=x x y 的最小值为 〔 〕A ．2 B.2 C11. 函数()y f x =与()y g x =的图象如所示，那么函数()()y f x g x =⋅的图象可能为( )12. 假设()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数,且(lg )(1)f x f >,那么x 的取值范围是〔 〕A. (110，1) B. (0，110)(1，+∞) C. (110，10) D. (0，1)(10，+∞)第II 卷〔一共90分〕二．填空题〔每一小题5分一共20分〕13-1．〔几何证明选讲选做题〕如图4，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PAB 、PCD ，5==AB PA ，3=CD ，那么=PC ____________13-2．极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，那么线段AB 的长度为 ．)0(123)(2>+=x x x x f 的最小值 . 14. 幂函数f(x)＝αx (α为常数)那么f(x)的解析式是 ．15. 设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，那么实数a 的值是 . 16.以下命题中所有正确的序号是 ． 〔1〕函数3)(1+=-x ax f (01)a a >≠且的图像一定过定点(1,4)P ；〔2〕函数(1)f x -的定义域是(1,3)，那么函数()f x 的定义域为)4,2(；〔3〕)(x f =538x ax bx ++-,且(2)f -=8,那么(2)f =-8；〔4〕23(1)a bk k ==≠且121a b+=，那么实数18=k ． 三．解答题(17题10分，18-22每一小题12分)17. 〔满分是10分〕设}{41≤≤-=x x A ，}{131+<<-=m x m x B ， (1)当*N x ∈时，求A 的子集的个数；(2)当R x ∈且B B A = 时，求m 的取值范围。

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2021学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：1.已知集合{}2|20A x x x =->，{}|03B x x =<<，则有（ ） A. AB =∅ B. A B R = C. B A ⊆ D. A B ⊆【答案】A 【解析】 【分析】解不等式220x x -≥，得出集合A ，再对四个选项的命题进行验证。

【详解】解不等式220x x -≥，得0x ≤或2x ≥，则集合{}02A x x x =≤≥或，所以，AB =∅，{}32A B x x x R ⋃=<≥≠或，BA ，AB ，故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、集合的交集、并集计算以及集合间的包含关系，解出集合是解本题的关键，另外在处理无限数集相关的问题时，可适当利用数轴来强化理解。

2.下列函数是奇函数的是（ ） A. ()22xxf x -=+B. 1()f x x=C. 2()f x x =D.12()f x x =【答案】B 【解析】 【分析】根据定义法判断四个选项中函数的奇偶性，可得出答案。

【详解】对于A 选项中的函数()22xxf x -=+，定义域为R ，关于原点对称，()()22x x f x f x --=+=，该函数为偶函数；对于B 选项中的函数()1f x x=，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， ()()11f x f x x x-==-=--，该函数为奇函数；对于C 选项中的函数()2f x x =，定义域为R ，关于原点对称，且()()()22f x x x f x -=-==，该函数为偶函数；对于D 选项中的函数()12f x x =，定义域为[)0,+∞不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数。

故选：B.【点睛】本题考查利用定义判断函数的奇偶性，基本步骤如下：（1）考查函数的定义域，若不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数； （2）考查()f x -与()f x 之间的等量关系； （3）下结论。

2019-2020学年龙东南联合体高二下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若集合A ={x|(x −1)2<4}，B ={x||x|>1}，则A ∩(∁R B)=( )A. {x|−1<x ≤1}B. {x|−1≤x <1}C. {x|−1≤x ≤1}D. {x|−1<x <1}2.已知复数z 满足z ⋅i =2−i ，i 为虚数单位，则z =( )A. −1−2iB. −1+2iC. 1−2iD. 1+2i3.已知a⃗ =3e ⃗ 1+2e ⃗ 2，则与a ⃗ 共线的向量为( ) A. −2e⃗ 1−3e ⃗ 2 B. 6e⃗ 1−4e ⃗ 2 C. 6e⃗ 1+4e ⃗ 2 D. −3e⃗ 1+2e ⃗ 2 4. 有一对年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“16”和“淮北”的字块，如果婴儿能够排成“2016淮北”或者“淮北2016”，则他们就给婴儿奖励，假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( )A.B.C.D.5.已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.B.C.D.6.若函数满足，且时，，则函数的图象与函数的图象的交点的个数为( )A. 3B. 4C. 6D. 87.等差数列{a n }的前项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( )A. S 7<S 8B. S 15<S 16C. S 13>0D. S 15>08.直线y =5与y =−1在区间[0,π]上截曲线y =Asin2x +B(A >0,B >0)所得的线段长相等且不为0，则下列描述正确的是( )A. A ≤32，B =52 B. A ≤3，B =2 C. A >32，B =52D. A >3，B =29.如图，点P在双曲线x2a2−y2b2=1的右支上，F1，F2分别是双曲线的左右焦点，|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率e()A. 43B. 53C. √3D. 210.函数y=√x−1+√1−x是()A. .偶函数B. 奇函数C. 即奇又偶函数D. 非奇非偶函数11.已知圆：及直线，当直线被截得的弦长为时，则a等于()A. B. C. D.12. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆x2a2+y2=1(a>1)上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，△ABC的周长为4√3，则该椭圆的离心率为()A. 2√33B. √23C. √63D. 23二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y=lnx−2x在点(1,2)处的切线方程为______ ．14. 若幂函数的图象经过点(33,3)，则该函数的解析式为______ ．15. 已知数列{a n}满足(a n+1−1)2=a n2−2a n+2(n∈N∗)，则使a2015>2015成立的正整数a1的一个值为______．16. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC=19，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在平面直角坐标系中，有一点P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，P n(a n,b n)，…对于每一个正整数n，点P n在函数y=log3(2x)的图象上，又等差数列{a n}的首项a1=12，公差d=1．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)记c n=3bn+2n(n∈N+)，求数列{c n}的前n项和S n．18. 已知函数f(x)=sin2x−√3cos2x．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x∈[π6,π2]时，求f(x)的值域．19. 第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议(简称两会)将分别于2019年3月5日和3月15日在北京开幕．全国两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据表明，网约车安全问题是百姓最为关心的热点之一，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示：(Ⅰ)现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人赠送礼品，求抽取的2人中至少有1人年龄在第1组的概率；(Ⅱ)把年龄在第1，2，3组的人称为青少年组，年龄在第4，5组的人称为中老年组，若选出的200人中不关注网约车安全问题的人中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注网约车安全问题与年龄有关？附：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．20. 已知椭圆：( )的一个焦点为，且上一点到其两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，若点满足，求实数的值．21. 已知函数：f(x)=−x 3−3x 2+(1+a)x +b(a <0,b ∈R)．(1)令ℎ(x)=f(x −1)−b +a +3，判断ℎ(x)的奇偶性，并讨论ℎ(x)的单调性； (2)若g(x)=|f(x)|，设M(a,b)为g(x)在[−2,0]的最大值，求M(a,b)的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cost,y =2sint,(t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，直线l 的直角坐标方程为y =√3x ． (1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为ρ+8cosθ=0，与直线l 在第三象限交于A 点，直线l 与C 1在第一象限的交点为B ，求|AB|．23. 设集合A ={x|x ≤−2或x ≥3}，关于x 的不等式(x −2a)(x +a)>0的解集为B(其中a <0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且￢p 是￢q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：A={x|(x−1)2<4}={x|−2<x−1<2}={x|−1<x<3}，B={x||x|>1}={x|x>1或x<−1}，则∁R B={x|−1≤x≤1}，则A∩(∁R B)={x|−1<x≤1}，故选：A求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．比较基础．2.答案：A解析：试题分析：复数方程同除i，右侧复数的分子、分母同乘复数i，化简为a+bi(a,b∈R)的形式．由z⋅i=2−i得，z=2−ii =(2−i)ii2=2i−i2−1=−1−2i，故选A3.答案：C解析：本题考查平面向量共线的充要条件，属于基础题．利用向量共线的充要条件即可得出．解：∵6e1⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ =2(3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )=2a⃗，∴6e1⃗⃗⃗ +4e2⃗⃗⃗ 与a⃗共线．故选C．4.答案：C解析：本题考查等可能事件的概率，考查数字排列问题，题目在计算时注意数字本身的特点，再就是要做到不重不漏，属于中档题．解：“20”，“16”和“淮北”三字块的排法共有：“2016淮北”、“20淮北16”、“1620淮北”、“16淮北20”、“淮北2016”、“淮北1620”6种情况，而得到奖励的情况有2种，故婴儿能得到奖励的概率P=26=13．故选C．5.答案：C解析：试题分析：对于易求得，对于，得，又为，为，因为是的必要不充分条件，所以．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断点评：本题考查取值范围的求解，涉及不等式的解集问题，属基础题．6.答案：C解析：试题分析：由题意知，函数是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期上，图象是两条斜率分别为1和−1的线段，且，同理可得到在其他周期上的图象．函数也是个偶函数，先看在[0,+∞)上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0,+∞)上的交点个数的2倍，在(0,+∞)上，，图象过(1,0)，和(4,1)，是单调增函数，与交与3个不同点，∴函数的图象与函数的图象的交点的个数为6个，故选．考点：函数的奇偶性、周期性，对数函数的图象和性质．7.答案：C解析：解：根据题意可知数列为递减数列，前7项的和为正，从第8项开始为负，故数列{S n}中S7最大，故A不正确，当|a8|>|a7|时，S15=(a1+a15) ×152=(a7+a8) ×152<0，故D不正确，S13=(a1+a13) ×132=a7×13>0，故C正确．∵a16<0∴S16=S15+a16∴S15>S16，故B不正确．故选C先根据题意可知前7项的和为正，从第8项开始为负，可知数列{S n}中S7最大，判断出A不正确；根据题意可知数列为递减数列则a16<0，又S16=S15+a16，进而可知S15>S16，判断出B不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知S13=(a1+a13) ×132=a7×13判断出S13>0，C正确；当|a8|>|a7|时，S15=(a1+a15) ×152=(a7+a8) ×152<0，判断出D不正确，本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生分析问题和演绎推理的能力．综合运用基础知识的能力．8.答案：D解析：解：∵曲线y=Asin2x+B(A>0,B>0)的周期T=2π2=π，直线y=5与y=−1在区间[0,π]截曲线y=Asin2x+B(A>0,B>0)所得的弦长相等且不为零，∴B=5−12=2；A+2>5，∴A>3．故选：D．由于曲线y=Asin2x+B(A>0,B>0)的周期T=2π2=π，依题意，可求得B=2，A>3．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得B=2是关键，也是难点，考查理解与应用能力，属于中档题．9.答案：B解析：本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，属于中档题．先设PF1与圆相切于点M，利用|PF2|=|F1F2|，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|=|F1F2|，所以△PF1F2为等腰三角形，所以|F1M|=14|PF1|，又因为在直角△F1MO中，|F1M|2=|F1O|2−a2=c2−a2，所以|F1M|=b=14|PF1|①又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a②，c2=a2+b2③由①②③解得ca =53．故选：B．10.答案：D解析：解：函数y=√x−1+√1−x的定义域是{1}，定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数．故选：D．求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性．本题考查函数的奇偶性的判断与应用，注意函数的定义域的应用，基本知识的考查．11.答案：C解析：试题分析：圆心(a,2)到直线的距离，所以，解得．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式。

2021学年黑龙江省高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）．1. 已知集合M ={−1, 0, 1}，N ={0, 1, 2}，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A.{0, 1}B.{−1, 0, 1}C.{−1, 2}D.{−1, 0, 1, 2}2. 已知集合A ={1, a}，B ={1, 3}，则“a =3”是“A ⊆B ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 函数y =√x ln (1−x)的定义域为（ ） A.(0, 1) B.[0, 1) C.(0, 1] D.[0, 1]4. 已知：a =log 0.70.9，b =log 1.10.7，c =1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <c D.c <a <b5. 函数f(x)=ln (4+3x −x 2)的单调递减区间是（ ） A.(−∞,32] B.[32，+∞)C.(−1,32]D.[32，4)6. 已知f(x)={cos πx(x ≤0)f(x −1)+1(x >0)，则f(43)+f(−43)的值为（ ）A.12 B.−12C.−1D.17. 若函数f(x)＝ax 2+(a 2−1)x −3a 为偶函数，其定义域为[4a +2, a 2+1]，则f(x)的最小值为（ ） A.−1 B.0C.2D.38. 已知函数y =xf′(x)的图象如图所示（其中f′(x)是函数f(x)的导函数），则以下说法错误的是（）A.f′(1)+f′(−1)=0B.当x=−1时，函数f(x)取得极大值C.方程xf′(x)=0与f(x)=0均有三个实数根D.当x=1时，函数f(x)取得极小值9. 函数f(x)=ln(e−x2)的图象是（）A. B.C. D.10. 定义在R上的函数f(x)，当x≠−2时，恒有(x+2)f′(x)<0（其中f′(x)是函数f(x)的导数），又a=f(log133)，b=f[(13)0.1]，c=f(ln3)，则（）A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）．已知函数f(x)=ln xx2+1，则f′(1)=________．log3√27+lg25+lg4+7log712+(−9.8)0=________．曲线y=12x2+x在点(2, 4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________．f(x)=x n2−3n(n∈Z)是偶函数，且y=f(x)在(0, +∞)上是减函数，则n=________．设曲线y=x n+1(n∈N∗)在点(1, 1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lg x n，则a1+a2+...+a99的值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）．设全集为实数集R，A={x|2x2−7x+3≤0}，B={x|x2+a<0}．(1)当a=−4时，求A∩B，(∁R A)∪B；(2)若(∁R A)∩B=B，求实数a的取值范围．已知c>0，设命题p：函数y=c x为减函数.命题q：当x∈[12, 2]时，函数f(x)=x+1 x >1c恒成立，如果"p∨q"为真命题，"p∧q"为假命题，求c的取值范围．已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=−2时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若x∈[−3, 2]都有f(x)>1c −12恒成立，求c的取值范围．已知函数f(x)=(x−1)e x−x2．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)在区间[0, k](k>0)上的最大值．设函数f(x)=1+(1+a)x−x2−x3，其中a>0．(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0, 1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．参考答案与试题解析2021学年黑龙江省高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）．1.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】判断阴影部分对应的集合，通过集合运算求解即可．【解答】解：阴影部分表示集合为[(C U M)∩N]∪[M∩(C U N)]∵集合M={−1, 0, 1}，N={0, 1, 2}，∴[(C U M)∩N]∪[M∩(C U N)]={−1, 2}故选：C．2.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出A⊆B时对应a的值，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当a=3时，A={1, a}={1, 3}=B，满足A⊆B．若A⊆B，则a=3，∴ “a=3”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．3.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数的解析式可直接得到不等式组{x≥01−x>0，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项【解答】解：由题意，自变量满足{x≥0,1−x>0,解得0≤x<1，即函数y=√x ln(1−x)的定义域为[0, 1).故选B.4.【答案】C【考点】对数值大小的比较 【解析】根据对数函数的图象和性质，易知0<log 0.70.8<1，log 1.10.9<0，由指数函数的图象和性质，易知1.10.9>1，得到结论． 【解答】解：根据对数函数y =log 0.7x ，y =log 1.1x 的图象和性质， 可知0<log 0.70.8<1，log 1.10.9<0 由指数函数y =1.1x 的图象和性质， 可知c =1.10.9>1 ∴ b <a <c 故选C ． 5.【答案】 D【考点】复合函数的单调性 【解析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论． 【解答】解：要使函数有意义，则4+3x −x 2>0，即x 2−3x −4<0解得−1<x <4， 设t =4+3x −x 2，则函数在(−1, 32]上单调递增，在[32, 4)上单调递减． 因为函数y =ln t ，在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是[32, 4)．故选：D 6. 【答案】 C【考点】分段函数的应用 【解析】直接利用分段函数的解析式，求解函数值即可． 【解答】解：f(x)={cos πx(x ≤0)f(x −1)+1(x >0)，则f(43)+f(−43)=f(43−1)+cos (−4π3)=f(13)+cos4π3=f(13−1)−cos π3=f(−23)−12=cos (−2π3)−12=−12−12=−1． 故选：C ． 7. 【答案】 A【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】函数的奇偶性问题要有定义域优先意识，因为函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，所以必须先考虑定义域是否关于原点对称．在定义域关于原点对称情况下，再考查f(−x)与f(x)的关系．【解答】∵函数f(x)是偶函数，∴4a+2+a2+1＝0，得a＝−1，或−3．当a＝−3时，函数f(x)＝−3x2+8x+9不是偶函数，故a＝−1此时，函数f(x)＝−x2+3故f(x)的最小值为−18.【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】根据函数y=xf′(x)的图象，依次判断f(x)在区间(−∞, −1)，(−1, 0)，(0, 1)，(1, +∞)上的单调性画出函数f(x)的大致图象，从而可以得到正确答案．【解答】解：由函数y=xf′(x)的图象可知：当x<−1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，此时f(x)增当−1<x<0时，xf′(x)>0，f′(x)<0，此时f(x)减当0<x<1时，xf′(x)<0，f′(x)<0，此时f(x)减当x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)增．综上所述，函数f(x)大致图象是，故f′(1)=0，f′(−1)=0，所以A、B、D正确；故选C．9.【答案】A【考点】函数的图象变换复合函数的单调性【解析】根据函数的对称性和奇偶性以及函数的取值即可得到结论．【解答】解：由e−x2>0，得−√e<x<√e，则f(x)为偶函数关于y轴对称，f(0)=ln e =1，排除B ，D ，当0<x <1时，函数t =e −x 2为减函数，而y =ln t 为增函数，根据复合函数单调性的性质可知此时函数f(x)为减函数，故排除C ， 故选：A 10. 【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性 对数值大小的比较 【解析】先由条件(x +2)f′(x)<0得到函数的单调区间，再比较自变量log 133与(13)0.1与ln 3的大小【解答】解：(x +2)f′(x)<0⇔{x +2<0f′(x)>0或{x +2>0f′(x)<0∴ f(x)在(−∞, −2)时递增，f(x)在(−2, +∞)时递减， log 133=−1，0<(13)0.1<1，1<ln 3∴ log 133<(13)0.1<ln 3，又函数f(x)在(−2, +∞)时递减， ∴ f(log 133)>f[(13)0.1]>f(ln 3)，∴ a >b >c故选：D二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）． 【答案】12【考点】 导数的运算 【解析】根据导数的运算法则计算即可． 【解答】 解：函数f(x)=ln x x 2+1，∴ f′(x)=(ln x)′(x 2+1)−ln x(x 2+1)′(x 2+1)2=1x(x 2+1)−2x ln x (x 2+1)2=x 2+1−2x 2ln x x(x 2+1)2，∴ f′(1)=12， 故答案为：12． 【答案】 5【考点】【解析】利用对数和指数的性质及运算法则求解．【解答】解：log3√27+lg25+lg4+7log712+(−9.8)0=32+lg100+12+1=5．故答案为：5．【答案】23【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，再令x=0，y= 0，可得与坐标轴的交点，由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：y=12x2+x的导数为y′=x+1，在点(2, 4)处的切线斜率为3，即有在点(2, 4)处的切线方程为y−4=3(x−2)，令x=0，y=−2；令y=0，x=23．则切线与坐标轴围成的三角形面积为12×2×23=23．故答案为：23．【答案】1或2【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】从单调性入手，则指数小于零，确定出n的范围，然后再通过偶函数验证得到n值．【解答】解：∵y=f(x)在(0, +∞)上是减函数∴n2−3n<0∴0<n<3又∵是偶函数∴n=1或2故答案为：1或2【答案】−2【考点】数列的求和利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】由曲线y =x n+1(n ∈N ∗)，知y′=(n +1)x n ，故f′(1)=n +1，所以曲线y =x n+1(n ∈N ∗)在(1, 1)处的切线方程为y −1=(n +1)(x −1)，该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =nn+1，故a n =lg n −lg (n +1)，由此能求出a 1+a 2+...+a 99． 【解答】解：∵ 曲线y =x n+1(n ∈N ∗)， ∴ y′=(n +1)x n ， ∴ f′(1)=n +1，∴ 曲线y =x n+1(n ∈N ∗)在(1, 1)处的切线方程为y −1=(n +1)(x −1)， 该切线与x 轴的交点的横坐标为x n =nn+1，∵ a n =lg x n ，∴ a n =lg n −lg (n +1)， ∴ a 1+a 2+...+a 99=(lg 1−lg 2)+(lg 2−lg 3)+(lg 3−lg 4)+(lg 4−lg 5)+(lg 5−lg 6)+...+(lg 99−lg 100) =lg 1−lg 100=−2． 故答案为：−2．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）． 【答案】解：(1)当a =−4时，A ={x|2x 2−7x +3≤0}={x|12≤x ≤3}， B ={x|x 2+a <0}={x|x 2<4} ={x|−2<x <2}，∴ A ∩B ={x|12≤x <2}，∁R A ={x|x <12或x >3}，∴ (∁R A)∪B ={x|x <2或x >3}． (2)若(∁R A)∩B =B ，则 B ⊆(∁R A)． 又(∁R A)={x|x <12或 x >3}，∴ B =⌀(a ≥0)或B ={x|−√−a <x <√−a}，(a <0)， ∴ √−a ≤12，解得−14≤a <0，即负数a 的取值范围为[−14, +∞)．【考点】集合关系中的参数取值问题 一元二次不等式的解法 交、并、补集的混合运算 交集及其运算【解析】（1）当a =−4时，解一元二次不等式化简A 和B ，再进行集合的运算；（2）由(∁R A)∩B =B ，可得 B ⊆(∁R A)．求得(∁R A)和 B ，考查集合的端点值的大小关系可得√−a <12，从而求得负数a 的取值范围．【解答】解：(1)当a =−4时，A ={x|2x 2−7x +3≤0}={x|12≤x ≤3}，B ={x|x 2+a <0}={x|x 2<4}={x|−2<x <2}， ∴ A ∩B ={x|12≤x <2}，∁R A ={x|x <12或x >3}， ∴ (∁R A)∪B ={x|x <2或x >3}． (2)若(∁R A)∩B =B ，则 B ⊆(∁R A)． 又(∁R A)={x|x <12或 x >3}，∴ B =⌀(a ≥0)或B ={x|−√−a <x <√−a}，(a <0)， ∴ √−a ≤12，解得−14≤a <0， 即负数a 的取值范围为[−14, +∞)．【答案】解：因为若命题p ：函数y =c x 为减函数为真命题，则0<c <1. 当x ∈[12, 2]时，函数f(x)=x +1x≥2，（当且仅当x =1时取等）若命题q 为真命题，则1c<2，结合c >0可得c >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，故p 与q 一真一假， 当p 真q 假时，0<c ≤12;当p 假q 真时，c ≥1; 故c 的范围为(0, 12]∪[1, +∞). 【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 基本不等式指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】根据指数函数的图象和性质可求出命题p 为真命题时，c 的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q 为真命题时，c 的取值范围，进而根据p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，可知p 与q 一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案． 【解答】解：因为若命题p ：函数y =c x 为减函数为真命题，则0<c <1. 当x ∈[12, 2]时，函数f(x)=x +1x ≥2，（当且仅当x =1时取等） 若命题q 为真命题，则1c <2，结合c >0可得c >12.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假，当p真q假时，0<c≤12;当p假q真时，c≥1;故c的范围为(0, 12]∪[1, +∞).【答案】解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b，由题意：{f′(1)=0，f′(−2)=0即{3+2a+b=0，12−4a+b=0.解得{a=32, b=−6.(2)由(1)知，f′(x)=3x2+3x−6，令f′(x)<0，解得−2<x<1；令f′(x)>0，解得x<−2或x>1，∴f(x)的减区间为(−2, 1)；增区间为(−∞, −2)与(1, +∞)．∵x∈[−3, 2]，f(x)min=min{f(−3)，f(1)}，且f(1)=−72+c，f(3)=92+c，∴当x=1时，f(x)取得最小值−72+c，∴f(x)min=−72+c>1c−12,得3−√132<c<0或c>3+√132.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数在某点取得极值的条件【解析】（1）求出f′(x)并令其=0得到方程，把x=−1和x=2代入求出a、b即可；（2）求出函数的最小值为f(1)，要使不等式恒成立，既要证f(1)>1c −12，即可求出c的取值范围．【解答】解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b，由题意：{f′(1)=0，f′(−2)=0即{3+2a+b=0，12−4a+b=0.解得{a=32, b=−6.(2)由(1)知，f′(x)=3x2+3x−6，令f′(x)<0，解得−2<x<1；令f′(x)>0，解得x<−2或x>1，∴f(x)的减区间为(−2, 1)；增区间为(−∞, −2)与(1, +∞)．∵x∈[−3, 2]，f(x)min=min{f(−3)，f(1)}，且f(1)=−72+c，f(3)=92+c，∴当x=1时，f(x)取得最小值−72+c，∴f(x)min=−72+c>1c−12,得3−√132<c<0或c>3+√132.【答案】解：（1）由f′(x)=x(e x−2)>0，可得x<0或x>ln2，∴函数f(x)的单调增区间为(−∞, 0)，(ln2, +∞)；由f′(x)=x(e x−2)<0，可得0<x<ln2，∴函数f(x)的单调增区间为(0, ln2)；（2）∵f(0)=f(1)=−1，且f(x)在(0, ln2)上递减，在(ln2, 1)上递增，∴0<k≤1时，f(x)max=f(0)=−1，k>1时，f(x)max=f(k)=(k−1)e k−k2．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导数，利用导数的正负，求函数f(x)的单调区间；（2）分类讨论，即可求函数f(x)在区间[0, k](k>0)上的最大值．【解答】解：（1）由f′(x)=x(e x−2)>0，可得x<0或x>ln2，∴函数f(x)的单调增区间为(−∞, 0)，(ln2, +∞)；由f′(x)=x(e x−2)<0，可得0<x<ln2，∴函数f(x)的单调增区间为(0, ln2)；（2）∵f(0)=f(1)=−1，且f(x)在(0, ln2)上递减，在(ln2, 1)上递增，∴0<k≤1时，f(x)max=f(0)=−1，k>1时，f(x)max=f(k)=(k−1)e k−k2．【答案】解：(1)f(x)的定义域为(−∞, +∞)，f′(x)=1+a−2x−3x2，由f′(x)=0，得x1=−1−√4+3a3，x2=−1+√4+3a3，x1<x2，∴由f′(x)<0得x<−1−√4+3a3或x>−1+√4+3a3；由f′(x)>0得−1−√4+3a3<x<−1+√4+3a3；故f(x)在(−∞, −1−√4+3a3)和(−1+√4+3a3, +∞)单调递减，在(−1−√4+3a3, −1+√4+3a3)上单调递增；(2)∵a>0，∴x1<0，x2>0，∵x∈[0, 1]，当−1+√4+3a3≥1时，即a≥4.①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0, 1]上单调递增，∴f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0, x2]上单调递增，在[x2, 1]上单调递减，因此f(x)在x=x2=−1+√4+3a3处取得最大值，又f(0)=1，f(1)=a，∴当0<a<1时，f(x)在x=1处取得最小值；当a=1时，f(x)在x=0和x=1处取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x=0处取得最小值．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）利用导数判断函数的单调性即可；（2）利用（1）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0, 1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．【解答】解：(1)f(x)的定义域为(−∞, +∞)，f′(x)=1+a−2x−3x2，由f′(x)=0，得x1=−1−√4+3a3，x2=−1+√4+3a3，x1<x2，∴由f′(x)<0得x<−1−√4+3a3或x>−1+√4+3a3；由f′(x)>0得−1−√4+3a3<x<−1+√4+3a3；故f(x)在(−∞, −1−√4+3a3)和(−1+√4+3a3, +∞)单调递减，在(−1−√4+3a3, −1+√4+3a3)上单调递增；(2)∵a>0，∴x1<0，x2>0，∵x∈[0, 1]，当−1+√4+3a3≥1时，即a≥4①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0, 1]上单调递增，∴f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0, x2]单调递增，在[x2, 1]上单调递减，处取得最大值，因此f(x)在x=x2=−1+√4+3a3又f(0)=1，f(1)=a，∴当0<a<1时，f(x)在x=1处取得最小值；当a=1时，f(x)在x=0和x=1处取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x=0处取得最小值．。

齐齐哈尔市2020-2021学年度下学期期末质量监测高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}220A x x x =--≥，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B ⋂的子集的个数为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．322．函数()23xf x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭3．下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ） A ．12log y x =B ．122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1y x=D ．3y x =-4．欧拉公式i cos isin x e x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有重要的地位．特别是当πx =时，i π10e +=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，2πi 3e 表示的复数在复平面中位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：指数函数()0,1xy aa a =>≠在()0,+∞上是增函数，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数，所以12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞上是增函数，该结论显然是错误的，其原因是（ ） A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都可能6．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ） A ．样本中多数男生喜欢手机支付 B ．样本中的女生数量少于男生数量 C ．样本中多数女生喜欢现金支付 D ．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量7．下列四个命题中真命题的序号是（ ）①“2x =”是“220x x --=”的充分不必要条件；②命题p ：“[)1,x ∀∈+∞，ln 0x ≥”，命题q “：0x ∃∈R ，00sin cos 2x x +=”， 则p q ∧为真命题；③命题“x ∀∈R ，0x e ≥”的否定是“0x ∃∈R ，00xe <”； ④“若a b >，则22a b >”的逆否命题是真命题； A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④8．函数()22ln f x x x =-的部分图像大致为（ ）A ．B ． cD ．9．已知α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题中错误的是（ ） A ．如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥ B ．如果m α⊂，//αβ，那么//m βC ．如果l αβ⋂=，//m α，//m β，那么//m lD ．如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，那么αβ⊥ 10．下列不等式成立的是（ ） A ．113223>B ．1ln 22<C 7562>D ．35log 6log 10>11．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22222222b b ac c c a b+-=+-，则ABC △的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形12．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211233g x x x x =-+-，则()()()()2019202020212022g g g g -+-++=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡相应题的横线上． 13．已知函数()3log ,012,0xx x f x x >⎧=⎨-≤⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 14．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如下表：随机误差的效应（残差）为______万元．15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有()()2f x f x -=，若()12f =，则()()()()1232021f f f f +++⋅⋅⋅+=______．16．古代埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个分子为1的分数的和的形式．例如2115315=+，可这样理解：假定有2个面包，要平均分给5个人，如果每人分12，不够，每人分13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得11315+．形如()*23,21n n n ≥∈-N 的分数的分解：2115315=+，2117428=+，2119545=+，…，按此规律，则221n =-______．（3,n n ≥∈N ） 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤． 17．本小题满分12分已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若339S =，且33a 是5a 与4a -的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且34log n n b a =，求1231111nT T T T +++⋅⋅⋅+． 18．本小题满分12分某种病菌在某地区人群中传播，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法．现引进操作易、成本低的新型检测方法：每次只需检测x ，y 两项指标，若指标x 的值大于4且指标y 的值大于100，则检测结果呈阳性，否则呈阴性．为考查该检测方法的准确度，随机抽取50位带菌者（用“*”表示）和50位不带菌者（用“+”表示）各做一次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图：（1）从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，求检测结果呈阳性的概率； （2）完成下列22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关？检测结果呈阳性检测结果呈阴性合计 不带菌者 带菌者 合计（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）()0P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．本小题满分12分 已知函数()32264a a f x x x ax =---的图像过点104,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()32g x f x m =-+有3个零点，求实数m 的取值范围． 20．本小题满分12分如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，122PD AD AB ===，60DAB ∠=︒，PD ⊥底面ABCD ，E 为PC 上一点，且2PE EC =． （1）证明：AD PB ⊥；（2）求三棱锥P EBD -的体积．21．本小题满分12分已知函数()()3log 1f x ax =+，()()()23log 2132g x a x a x ⎡⎤=-+-⎣⎦，a ∈R ．（1）若2a =，求不等式()()21f x f x +>的解集；（2）若函数()()()h x f x g x =-有唯一的零点，求实数a 的取值范围． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22．本小题满分10分选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为12112x t t y t t ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 直角坐标为()2,0，曲线2C 与1C 交于A 、B 两点，求11PA PB+的值． 23．本小题满分10分选修4—5：不等式选讲已知函数()3f x m x =--，m ∈R ，不等式()2f x >的解集为{}24x x <<． （1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围．齐齐哈尔市2020-2021学年度下学期期末质量监测 高二数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．线上． 13．1214．10 15．2 16．()1121n n n +⋅-三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）． 17．（1）解：设数列{}n a 的公比为q ，由33a 是5a 与4a -的等差中项， ∴3546a a a =-即260q q --==，解得3q =或2q =-（舍） ∵()131391na q S q-==-，∴13a=，∴3n n a =．（2）解：由题意知式34log 34nn b n ==，∴()21n T n n =+∴()111112121n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12311111111111111222312122n n T T T T n n n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 18．（1）设从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性为事件A ， 根据统计图可知在不带菌者中，检测结果呈阳性的有5人，∴()515010P A ==． （2）可作出22⨯列联表如下：进一步计算得2K 的观测值37.510.82840605050k ==>⨯⨯⨯所以，能够在犯错误概率不超过0.001的前提下认为“带菌”与“检测结果呈阳性有关． 19．（1）解：由函数()32264a a f x x x ax =---的图像过点104,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，可知， 321044233a a a ---=，解得2a =，即()32112232f x x x x =---，所以()22f x x x '=-- 令()0f x '>，则1x <-或2x >，令()0f x '<，则12x -<<．∴函数()f x 的单调增区间为(),1-∞-和()2,+∞，单调减区间为()1,2-． （2）解：由（1）知，函数()f x 的极大值为()516f -=-，极小值为()1623f =-． 由数形结合思想可知，要使函数()()32g x f x m =-+有3个零点． 即()32f x m =-有三个交点，则1653236m -<-<-，解得107918m -<<． 故m 的取值范围为107,918⎛⎫-⎪⎝⎭． 20．（1）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥．∵122AD AB ==，60DAB ∠=︒，由余弦定理得BD =∴222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥，且PD BD D ⋂=，∴AD ⊥平面PDB ，∴AD PB ⊥．（2）由2PE EC =可知，设E 到底面ABCD 的距离为h ，则1233h PD ==，142sin 602BCD ABD S S ==⋅⋅⋅︒=△△．∴11223339P EBD P BCD E BCD V V V ---=-=⋅-⋅=． 21．（1）解：若2a =，则有()()3log 12f x x =+，函数()f x 的定义域为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭易知函数()f x 在定义域内单调递增，则有12121221x x x x ⎧+>-⎪⎪⎪>-⎨⎪+>⎪⎪⎩，解得12x >-∴不等式得解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．（2）函数()()()h x f x g x =-有唯一的零点，可知方程()()f x g x =的解集中恰有一个元素，即()()212132ax a x a x +=-+-的解集中恰有一个元素，即当10ax +>时，方程()()2212210a x a x -+--=的解集中恰有一个元素．若210a -=时，即12a =时，解得1x =-，此时1102ax +=>，满足题意．若12a ≠时，方程()()21110a x x ⎡⎤--+=⎣⎦的根为1121x a =-，21x =-． 当0a =时，121x x ==-，此时110ax +=>，满足题意当0a ≠时，由10ax +>时，方程()()21110a x x ⎡⎤--+=⎣⎦恰有一个元素，∴()11021110a a a ⎧+⋅>⎪-⎨⎪+⋅-≤⎩或()11011021a a a ⎧+⋅->⎪⎨+⋅≤⎪-⎩，解得1a ≥或1132a ≤<． 综上所述：实数a 的取值范围为{}[)110,1,32⎡⎤⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦．22．（1）解：将1C的方程化为222211(2)x t t y t t ⎧⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎨⎪⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两式相减得曲线1C 的方程：2213x y -=，由πcos 04ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得cos sin 20ρθρθ--=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴曲线2C 的直角坐标方程为20x y --=．（2）∵点()2,0P 在直线2C 上，∴设2C的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入2213x y -=，得210t --=，由韦达定理得，12t t +=121t t =-，121211PA PB t t PA PB PA PB t t +-+=====⋅23．（1）因为()3f x m x =--，所以不等式()2f x >，即32m x -->，所以51m x m -<<+，因为不等式解集为()2,4，所以52m -=且14m +=，解得3m =．（2）关于x 的不等式()x a f x -≥恒成立，等价于33x a x -+-≥恒成立， 等价于33a -≥恒成立，解得6a ≥或0a ≤．。