河南省2019-2020学年豫西名校高二联考理科数学试题

河南名校联盟基础年级联考高二（下）期末考试数学（理科）考生注意：1.本试卷共8页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,xy y A x =+=∈R ，(){}*ln 6,B x y x x ==-∈N，集合C AB =，则集合C 的子集的个数为（ ） A.4B.8C.16D.322.已知z 为复数z 的共扼复数，12z i z +=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列命题为假命题的是（ ） A.x ∀∈R ，x e x >B.0x ∃∈R ，00x ex <C.()0,x ∀∈+∞，ln x x <D.()00,x ∃∈+∞，00ln 2x x >-4.函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为3x π=，则实数ω的取值不可能为（ ）A.1B.4C.7D.85.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列选项中正确的是（ ） A.若m α⊥，αβ⊥，则m β⊥ B.若//m n ，n α⊂，则//m α C.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥D.若//m α，//n β，//m n ，则//αβ6.已知变量x 与变量y 有较强的线性相关性，其线性回归方程为2 3.5y x =-+，则下列说法中正确的是（ ）A.x 与y 正相关B.若5x =，则 6.5y =-C.x 增加1，y 一定减少2D.样本点在回归方程两侧的个数一定相同7.已知双曲线2212211:1x y C a b -=（110,0a b >>）与双曲线2222222:1y x C a b -=（220,0a b >>）有相同的渐近线2y x =±，则下列关系中正确的是（ ） A.1212a a b b = B.21122a b a b = C.1212a a b b +=+D.121222a a b b +=+8.已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记1-分，则10次摸球所得总分数ξ的期望为（ ） A.2B.4C.6D.89.公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记()2122n n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（ ）A.2020223-+B.2020223-C.2021223-D.2021223-+10.如图，过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，与y 轴交于点Q ，若12OF OQ =，1AF BQ =，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A.1211.已知函数()()2ln ,0,1,0x e x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩（ 2.71828e =），则函数()()23g x f x x =-的零点个数为（ ）A.4B.5C.6D.812.已知,M N 为单位圆221:x O y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则2PM PN -的最大值为（ ）A.5+B.5C.5+D.5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足10,330,10,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为 .14.且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为 . 15.已知()4x x e e f x =+，若正数(),a b a b ≠满足()()f a f b =，则ln 2ln 2a b+的取值范围为 . 16.在ABC △中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC △的面积为Scos cos S a B b A =+，cos sin 7tancos sin 12A A A A π+=-，3c =，则a = . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某企业组织应聘该企业的100名应届毕业生参加专业能力测试（满分100分），这100名毕业生的成绩的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）该企业拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段的毕业生名单，根据频率分布直方图求进入该企业面试的分数线；（Ⅱ）若被测试的毕业生中有40名女生，进入面试的有15名女生，35名男生，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为成绩与性别有关.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，满足,,2n n n a S S -成等比数列. （Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：222223411232n a a a na +++++<.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AA AC ==，90ACB ∠=︒，M 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1B CM ； （Ⅱ）求二面角11A C M B --的正弦值.20.已知抛物线2:4C y x =与直线():2l y k x =+交于A 、B 两点.（Ⅰ）当线段AB 的中点纵坐标为4时，求k 的值；（Ⅱ）直线l '过抛物线C 的焦点F ，与抛物线C 交于M 、N 两点，设直线l 与x 轴的交点为T .若l 与l '两直线的倾斜角互补，请问：TA TB MN⋅是否为定值，若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.21.已知函数()xf x e mx =-，其中e 为自然对数的底数，m 为正整数.若函数()f x 在0x x =处取得极值，且051,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若0x >时，不等式()()f x f x ax -->恒成立，求实数a 的取值范围. （参考数据： 2.72e ≈，543.49e ≈）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（[),0,t απ∈∈R ），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2320ρρ-+=.（Ⅰ）当曲线1C 以α为参数且1t =时，求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当曲线1C 以t 为参数时，若1C 与2C 恰有两个不同的交点，求tan α的取值范围. 23.[选修4—5：不等式选讲] 已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围； （Ⅱ）求证：3bc ac ab a b c++≥.河南名校联盟基础年级联考高二（下）期末考试数学（理科）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C【解析】因为{}1A y y =>，{}*60,B x x x =->∈N {}1,2,3,4,5=，{}2,3,4,5C AB ==，所以集合C 的子集的个数为4216=，故选C. 2.【答案】A【解析】设(),z a bi a b =+∈R ，则z a bi =-，代入12z i z +=+可得()1212a bi a b i ++=+-，即1,12,112,.3a a a b b b ⎧=⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩故113z i =+，所以在复平面内z 对应的点为11,3⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限，故选A.3.【答案】B【解析】因为e 1x x ≥+恒成立，所以0x ∃∈R ，00x e x <为假命题，故选B.4.【答案】D 【解析】由题意可知()362k k πππωπ⋅+=+∈Z ，解得()13k k ω=+∈Z ，观察各选项，故选D.5.【答案】C【解析】若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则α与β是垂直关系，故选C. 6.【答案】B【解析】线性回归方程一定经过样本点的中心(),x y ，故选B. 7.【答案】A 【解析】由题意可知112b a =，222ab =，所以1212a a b b =，故选A. 8.【答案】A【解析】设10次摸球出现黑球的次数为X ，则2~10,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()4E X =，所得总分数2X ξ=()()101310X X +-⨯-=-，所以()()3102E E X ξ=-=，故选A.9.【答案】C【解析】由题意可知212132122n n n n n n n n b a a a b a a a ++++++-=⋅=-()221122122n n n n n n n a a a a a a a ++++++-+⋅=-()222112122n n n n n n n a a a a a a a ++++++--⋅=-22121222n n n n n n a a a a a a ++++-⋅=--，又12b =-，因此()2n n b =-，故()2020202120202122233S -⨯--==，故选C. 10.【答案】B【解析】法一：如图取1F Q 的中点M ，由1AF BQ =可知，M 为AB 的中点，且1OM F Q k k =-，由12OF OQ =得112F Q k =，所以114OM F Q k k ⋅=-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，即2214AB OM b k k a =-⋅=-，所以22222314c b e a a ==-=，所以e = B. 法二：由题意设直线()1:2AB y x c =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 的方程代入椭圆方程，化简得()222222224240a b x a cx a c a b +++-=，2122224a cx x a b ∴+=-+，1AF QB =，12x x c ∴+=-，故22224a c c a b-=-+，即2a b=，2e ∴=，故选B. 11.【答案】C【解析】当0x >时，()2ln 1e x x f x '=+-，令()2ln 1e h x x x =+-，则()2120e x xh x =+>'，故()f x '在()0,+∞上单调递增，因为()0f e '=，所以()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，且()10f =，()f e e =-，()20f e =.令()0g x =得()23f x x =，在同一直角坐标系中，作出函数()1y f x =与232y x =的大致图象，如图所示，两函数图象共有6个交点，故()g x 有6个零点，故选C.12.【答案】A【解析】由1MN =可知，OMN △为等边三角形，则1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅⋅︒=，由PM PO OM =+，PN PO ON =+，得22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，()224413OM ON OM ON -=-⋅+=，又()3,4P ，则5PO =，因此当PO 与2OM ON -同向时，等号成立，此时2PM PN -的最大值为5+，故选A.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】4-【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线1122y x z =-平移至经过点()2,3C 时，z 最小，z 的最小值为4-.14.【答案】24【解析】设该长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，由体对角线为外接球的直径得22214a b c ++=①，由长方体的表面积为22得()222ab ac bc ++=②，①②两式相加得()236a b c ++=，即6a b c ++=，故此长方体的所有棱长之和为()424a b c ++=. 15.【答案】()2,+∞【解析】由()()f a f b =可知44a ba b e e e e +=+，即()4441a b a b a b a be e e e e e e +⎛⎫-+-=--= ⎪⎝⎭()40a b aba b e e e e ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故4a b e +=，即2ln 2a b +=，则ln 2ln 21222b a a b a b ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭.16.【解析】由cos cos 3S a B b A =+可知1sin cos cos 32ab C a B b A ⋅=+，根据正弦定理知1sin sin sin cos sin cos sin 32A b C A B B A C ⋅⋅=+=，即sin b A =cos sin 1tan cos sin 1tan A A AA A A++=--7tan tan412A ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()0,A π∈，所以7412A ππ+=，故3A π=，因此4b =，又2222cos 13a b c bc A =+-=，故a =三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.【解析】（Ⅰ）从左至右第一、二个矩形的面积均为0.1，第三个矩形的面积为0.15，第四个矩形的面积为0.4，设成绩的中位数为x ，则700.10.10.150.40.510x -+++⨯=，解得73.75x =，即进入该企业面试的分数线为73.75； （Ⅱ）()221002515253525 3.841604050506K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为成绩与性别有关.18.【解析】（Ⅰ）由题意知()2221n n n S a S =-，即()()21221n n n n S S S S -=--21122n n n n n S S S S S --=--+，整理得112n n n n S S S S --=-，两边同时除以1n n S S -得1112n n S S --=， 又11111S a ==，则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列， 则()111221nn n S =+-⨯=-， 故121n S n =-.当2n ≥时，1112123n n n a S S n n -=-=---()()22123n n -=--；当1n =时，11a =， 故()()1,1,2, 2.2123n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩（Ⅱ）()()212242121n nnan n +==+-()()2211122121n n ⎡⎤-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦， 因此222223411232n a a a na+++++=()()222221111113352121n n ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫-+-++-⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭()()2211111122221221n n ⎡⎤=-=-<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故222223411232n a a a na +++++<. 19.【解析】（Ⅰ）如图，连结1BC ，设11BC B C O =，连结OM ，因为四边形11BCC B 为矩形，所以O 为1BC 的中点， 又因为M 为AB的中点，所以1//OM AC ， 因为OM ⊂平面1B CM 且1AC ⊄平面1B CM， 所以1//AC 平面1B CM .（Ⅱ）如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，令1BC =，则)A，(1C，(1B ，1,,022M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此21,,022MA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，1122MC ⎛=-- ⎝，1122MB ⎛=- ⎝，设平面1AMC 的法向量为()111,,m x y z =，则由10,0,m MA m MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111110,2210,22x y x y -=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩令11x =得()1,2,1m =.设平面11B C M 的法向量为()222,,n x y z =，则由110,0,n MC n MB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22222210,2210,22x y x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令21x =得11,0,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 35cos ,m n m n m n⋅==⋅， 故二面角11A C M B --的正弦值为10. 20.【解析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()242y xy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得()22224440k x k x k +-+=，()()22421611616120k kk∆=--=->，解得22k -<<且0k ≠， 由题意可得12248y y +=⨯=， 则直线l 的斜率121222121244y y y y k y y x x --==--1244182y y ===+，符合题意，故12k =. （Ⅱ）设()33,M x y ，()44,N x y ，():1l y k x '=--，联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，消去y 得()2222240k x k x k -++=，则234224k x x k ++=，()2342412k MN x x k +=++=，由（Ⅰ）知212244k x x k -+=-，124x x =，由():2l y k x =+，得()2,0T -，所以))1222TA TB x x ⋅=++()()()221212281124k k x x x x k+=++++=⎡⎤⎣⎦；因此2TA TB MN⋅=，即TA TB MN⋅是定值，该定值为2.21.【解析】（Ⅰ）()x f x e m '=-，由题意知()00f x '=，即0xe m =.因为xy e =为R 上的增函数，又因为051,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以542. 723.49e m e ≈<<≈，又因为m 为正整数，所以3m =，即0ln 3x =. 由()3xf x e '=-为R 上的增函数，知当(),ln3x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()ln3,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以()f x 的极小值为()ln333ln3f =-，无极大值. （Ⅱ）由题意可知()()6xxf x x e ex f -----=，即若0x >时，不等式()60x xe e a x ---+>恒成立，令1x =得163a e e<--<-. 令()()6xxe x x ea g ---+=，则()6x x g x e e a -'=+--， 令()6xxh x e ea -=+--，则()x x h x e e -'-=，显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，故()()00h x h ''>=， 故()g x '在[)0,+∞上单调递增，()04g a '=--.①当()040g a '=--≥，即4a ≤-时，()g x 在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，符合题意； ②当()040g a '=--<，即43a -<<-时，()2222116302e eg e a e +-->+-'>=， 故存在()00,2x ∈使得()00g x '=，故()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 当()00,x x ∈时，()()00g x g <=与()0g x >矛盾. 综上所述，4a ≤-，所以实数a 的取值范围为(],4-∞-.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【解析】（Ⅰ）消去参数α可得曲线1C 的普通方程为()()22121x y -+-=，其中(]0,2x ∈，[]2,3y ∈；由2320ρρ-+=解得12ρ=或2 1ρ=，故曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=或221x y +=.（Ⅱ）当曲线1C 以t 为参数时，曲线1C 表示过点()1,2，倾斜角为α的直线， 当2πα=时，曲线1C 为1x =，与曲线2C 有三个不同的交点；当2πα≠时，曲线()1:tan 12C y x α=-+与曲线2C 恰有两个不同的交点，则原点到曲线1C 的距离d 应满足12d <<，即12<<，解得30tan 4α<<或4tan 3α<-. 23.【解析】（Ⅰ）由3a b c ++=可得3a b c +=-，两边平方得()()223a b c +=-，又221a b +=，可得()2231ab c =--， 因为222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）， 所以()20311c <--≤，结合30c ->解得32c -<， 故c的取值范围为)3⎡⎣.（Ⅱ）2bc ac c a b +≥，2bc ab b a c +≥，2ac aba b c+≥，三个同向不等式相加得()22bc ac ab a b c ab c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭， 即3bc ac aba b c++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.。

2019-2020学年河南省名校联盟基础年级联考高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝2x+1，x∈R}，B＝{x|y＝ln（6﹣x），x∈N*}，集合C＝A∩B，则集合C的子集的个数为（）A．4B．8C．16D．322．已知为复数z的共轭复数，z+1＝i+2，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列命题为假命题的是（）A．∀x∈R，e x＞x B．∃x0∈R，e＜x0C．∀x∈（0，+∞），lnx＜x D．∃x0∈（0，+∞），lnx0＞x0﹣24．函数y＝sin（ωx+）的图象的一条对称轴方程为x＝，则实数ω的取值不可能为（）A．1B．4C．7D．85．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列选项中正确的是（）A．若m⊥α，α⊥β，则m⊥βB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β6．已知变量x与变量y有较强的线性相关性，其线性回归方程为＝﹣2x+3.5，则下列说法中正确的是（）A．x与y正相关B．若＝5，则＝﹣6.5C．x增加1，y一定减少2D．样本点在回归方程两侧的个数一定相同7．已知双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的渐近线y＝±2x，则下列关系中正确的是（）A．a1a2＝b1b2B．a2b1＝2a1b2C．a1+a2＝b1+b2D．2a1+2a2＝b1+b28．已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记﹣1分，则10次摸球所得总分数ξ的期望为（）A．2B．4C．6D．89．公元1202年意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即a1＝a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*）．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记b n＝2n（a n+12﹣a n a n+2）（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，则S2020＝（）A．B．C．D．10．如图，过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，与y轴交于点Q，若|OF1|＝2|OQ|，|AF1|＝|BQ|，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝（e＝2.71828…），则函数g（x）＝|f（x）|﹣x的零点个数为（）A．4B．5C．6D．812．已知M，N为单位圆O：x2+y2＝1上的两个动点，且满足||＝1，P（3，4），则|2﹣|的最大值为（）A．5B．5C．5D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为．14．已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为．15．已知f（x）＝e x+，若正数a，b（a≠b）满足f（a）＝f（b），则+的取值范围为．16．在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，△ABC的面积为S，若S＝a cos B+b cos A，＝tan，c＝3，则a＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某企业组织应聘该企业的100名应届毕业生参加专业能力测试（满分100分），这100名毕业生的成绩的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）该企业拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段的毕业生名单，根据频率分布直方图求进入该企业面试的分数线；（Ⅱ）若被测试的毕业生中有40名女生，进入面试的有15名女生，35名男生，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为成绩与性别有关．成绩＜分数线成绩≥分数线总计男生女生总计附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82818．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，满足a n，S n，S n﹣成等比数列．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：a22+2a32+3a42+…+na n+12＜．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC，∠ACB＝90°，M为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面B1CM；（Ⅱ）求二面角A﹣C1M﹣B1的正弦值．20．已知抛物线C：y2＝4x与直线l：y＝k（x+2）交于A、B两点．（Ⅰ）当线段AB的中点纵坐标为4时，求k的值；（Ⅱ）直线l′过抛物线C的焦点F，与抛物线C交于M、N两点，设直线l与x轴的交点为T．若l与l'两直线的倾斜角互补，请问：是否为定值，若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x﹣mx，其中e为自然对数的底数，m为正整数．若函数f（x）在x＝x0处取得极值，且x0∈（1，）．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）﹣f（﹣x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围．（参考数据：e≈2.72，e≈3.49）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t∈R，α∈[0，π）），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣3ρ+2＝0．（Ⅰ）当曲线C1以α为参数且t＝1时，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）当曲线C1以t为参数时，若C1与C2恰有两个不同的交点，求tanα的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a，b，c满足a+b+c＝3．（Ⅰ）若a2+b2＝1，求c的取值范围；（Ⅱ）求证：≥3．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝2x+1，x∈R}，B＝{x|y＝ln（6﹣x），x∈N*}，集合C＝A∩B，则集合C的子集的个数为（）A．4B．8C．16D．32解：∵集合A＝{y|y＝2x+1，x∈R}＝{y|y＞1}，B＝{x|y＝ln（6﹣x），x∈N*}＝{x|6﹣x＞0，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，∴集合C＝A∩B＝{2，3，4，5}，则集合C的子集的个数为24＝16．故选：C．2．已知为复数z的共轭复数，z+1＝i+2，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：设z＝a+bi（a，b∈R），由z+1＝i+2，得a+1+bi＝2a+（1﹣2b）i，即，解得．故z＝1+．∴在复平面内z对应的点的坐标为（1，），位于第一象限．故选：A．3．下列命题为假命题的是（）A．∀x∈R，e x＞x B．∃x0∈R，e＜x0C．∀x∈（0，+∞），lnx＜x D．∃x0∈（0，+∞），lnx0＞x0﹣2解：A构造函数y＝e x﹣x，求导得y′＝e x﹣1，令y′＝0，则x＝0．所以函数y在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．∴y≥1即∀x∈R，e x＞x．A正确B与A矛盾，B不正确．C构造函数y＝x﹣lnx，求导得y′＝1﹣，令y′＝0，则x＝1所以函数y在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．∴y≥1即∀x∈（0，+∞），lnx＜x．C正确．D当x＝1时ln1＞1﹣2成立，D正确．故选：B．4．函数y＝sin（ωx+）的图象的一条对称轴方程为x＝，则实数ω的取值不可能为（）A．1B．4C．7D．8解：由于函数y＝sin（ωx+）的图象的一条对称轴方程为x＝，∴ω•+＝kπ+，即ω＝3k+1，k∈Z，故k不可能为8，故选：D．5．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列选项中正确的是（）A．若m⊥α，α⊥β，则m⊥βB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β解：由m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：对于A，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，故A错误；对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；对于D，若m∥α，n∥β，m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：C．6．已知变量x与变量y有较强的线性相关性，其线性回归方程为＝﹣2x+3.5，则下列说法中正确的是（）A．x与y正相关B．若＝5，则＝﹣6.5C．x增加1，y一定减少2D．样本点在回归方程两侧的个数一定相同解：变量x与变量y有较强的线性相关性，其线性回归方程为＝﹣2x+3.5，可知两个变量x，y是负相关，所以A不正确；回归直线经过样本中心（，），所以B正确；x增加1，y一定减少2，是不正确的，所以C不正确；样本点在回归方程两侧的个数一定相同，这是不正确的，分布不一定均匀，所以D不正确．故选：B．7．已知双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的渐近线y＝±2x，则下列关系中正确的是（）A．a1a2＝b1b2B．a2b1＝2a1b2C．a1+a2＝b1+b2D．2a1+2a2＝b1+b2解：双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：＝1（a2＞0，b2＞0）有相同的渐近线y＝±2x，可得，，所以a1a2＝b1b2．故选：A．8．已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记﹣1分，则10次摸球所得总分数ξ的期望为（）A．2B．4C．6D．8解：10次摸球摸出黑球的次数为X，则X∽B（10，），E（X）＝10×＝4，所得总分数ξ＝2X+（10﹣X）×（﹣1）＝3X﹣10，所以E（ξ）＝3E（X）﹣10＝2，故选：A．9．公元1202年意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即a1＝a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N*）．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记b n＝2n（a n+12﹣a n a n+2）（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，则S2020＝（）A．B．C．D．解：由题意知：＝＝﹣2，由于b1＝﹣2，所以，则．故选：C．10．如图，过椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，与y轴交于点Q，若|OF1|＝2|OQ|，|AF1|＝|BQ|，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意设直线AB的方程：y＝（x+c），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB的方程代入椭圆方程，化简可得：（a2+4b2）x2+2a2cx+a2c2﹣4a2b2＝0，故x1+x2＝﹣，因为|AF1|＝|QB|，所以x1+x2＝﹣c，即﹣＝﹣c，可得a＝2b，∴e＝＝＝＝，故选：B．11．已知函数f（x）＝（e＝2.71828…），则函数g（x）＝|f（x）|﹣x的零点个数为（）A．4B．5C．6D．8解：因为x＞0时f'（x）＝lnx+（x﹣2e）＝lnx+1﹣，令h（x）＝lnx+1﹣，则h'（x）＝+＞0恒成立，所以f'（x）在（0，+∞）单调递增，而f'（e）＝0，所以f（x）在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减，且f（1）＝0，f（e）＝﹣e，f（2e）＝0，令g（x）＝|f（x）|﹣x＝0，则|f（x）|＝x，在同一坐标系中作y1＝|f（x）|与y＝x 的大致图象，如图所示：两个函数由6个交点，即g（x）由6个零点，故选：C．12．已知M，N为单位圆O：x2+y2＝1上的两个动点，且满足||＝1，P（3，4），则|2﹣|的最大值为（）A．5B．5C．5D．5解：＝，，则|2﹣|＝|2（﹣）﹣（﹣）|＝|2﹣+|≤|2﹣|+||，∵||＝1，P（3，4），∴△OMN为等边三角形，||＝5，|﹣|＝＝，则|2﹣|≤5+，（当2与反向时取等号），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最小值为﹣4．解：由z＝x﹣2y得y＝x﹣，作出实数x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）：平移直线y＝x﹣，由图象可知当直线y＝x﹣，过点C时，直线y＝x﹣的截距最大，此时z最小，，解得C（2，3）．代入目标函数z＝2﹣2×3＝﹣4，∴目标函数z＝x﹣2y的最小值是﹣4．故答案为：﹣4．14．已知某长方体的所有顶点均在半径为的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为24．解：设该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由体对角线为外接球的直径，得a2+b2+c2＝（2r）2＝14①，由长方体表面积为22，得2（ab+ac+bc）＝22②，①②式相加，得（a+b+c）2＝36，即a+b+c＝6，故长方体所有棱长之和为4（a+b+c）＝24．故答案为：24．15．已知f（x）＝e x+，若正数a，b（a≠b）满足f（a）＝f（b），则+的取值范围为（2，+∞）．解：由f（a）＝f（b）可得，即e a﹣e b+＝（e a﹣e b）（1﹣）＝0，∵a≠b，∴e a+b＝4，故a+b＝2ln2，则+＝（2+）．故答案为：（2，+∞）16．在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，△ABC的面积为S，若S＝a cos B+b cos A，＝tan，c＝3，则a＝．解：∵＝tan，∴＝tan（）＝，∴A＝．∵S＝a cos B+b cos A，∴•bc sin A＝a cos B+b cos A，∴•b•3＝a cos B+b，化简得cos B＝，由正弦定理知，＝＝，即tan B＝＝＝，∴sin B＝，＝，由余弦定理知，cos B＝＝，即＝×，化简得3b2+24b﹣144＝0，即（3b+36）（b﹣4）＝0，解得b＝4，∴a＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某企业组织应聘该企业的100名应届毕业生参加专业能力测试（满分100分），这100名毕业生的成绩的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）该企业拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段的毕业生名单，根据频率分布直方图求进入该企业面试的分数线；（Ⅱ）若被测试的毕业生中有40名女生，进入面试的有15名女生，35名男生，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为成绩与性别有关．成绩＜分数线成绩≥分数线总计男生女生总计附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828解：（Ⅰ）该企业拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段的毕业生名单，从左至右第一、第二个矩形的面积均为0.1，第三个矩形的面积为0.15，第四个矩形的面积为0.4，设所求的成绩的中位数为x，则0.1+0.1+0.15+×0.4＝0.5，解得x＝73.75，即根据频率分布直方图可知进入该企业面试的分数线为73.75；（Ⅱ）由题可知列联表，成绩＜分数线成绩≥分数线总计男生253560女生251540总计5050100则K2＝＝＝＞3.841．故有95%的把握认为成绩与性别有关．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，满足a n，S n，S n﹣成等比数列．（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：a22+2a32+3a42+…+na n+12＜．解：（Ⅰ）由题意知，即，整理得：2S n S n﹣1＝S n﹣1﹣S n，两边同时除以S n S n﹣1得：，又因为，所以是以1为首项，2为公差的等差数列，则，故．当n⩾2时，，当n＝1 时，a1＝1，故．（Ⅱ），因此＝，故．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC，∠ACB＝90°，M为AB的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面B1CM；（Ⅱ）求二面角A﹣C1M﹣B1的正弦值．解：（Ⅰ）证明：如图，连接BC1，设BC1∩B1C＝O，连接OM，∵四边形BCC1B1为矩形，∴O为BC1的中点，又∵M为AB的中点，∴OM∥AC1，∵OM⊂平面平面B1CM，AC1⊄平面平面B1CM，∴AC1∥平面B1CM；（Ⅱ）如图，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．令BC＝1，则A（，0，0），C1（0，0，），，M（，，0）．则，，．设平面AMC1的一个法向量为．由，取x1＝1，得；设平面B1C1M的一个法向量为．由，取x2＝1，得．设二面角A﹣C1M﹣B1的平面角为θ，则|cosθ|＝，则sinθ＝．即二面角A﹣C1M﹣B1的正弦值为．20．已知抛物线C：y2＝4x与直线l：y＝k（x+2）交于A、B两点．（Ⅰ）当线段AB的中点纵坐标为4时，求k的值；（Ⅱ）直线l′过抛物线C的焦点F，与抛物线C交于M、N两点，设直线l与x轴的交点为T．若l与l'两直线的倾斜角互补，请问：是否为定值，若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由．解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y得k2x2+（4k2﹣4）x+4k2＝0，△＝16（k2﹣1）2﹣16k4＝16（1﹣2k2）＞0，解得且k≠0，由题意可得y1+y2＝2×4＝8，则直线l的斜率，符合题意，故．（Ⅱ）设M（x3，y3），N（x4，y4），l′：y＝﹣k（x﹣1），联立，消去y得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则，由（Ⅰ）知，由l：y＝k（x+2），得T（﹣2，0），所以＝，因此，即是定值，该定值为2．21．已知函数f（x）＝e x﹣mx，其中e为自然对数的底数，m为正整数．若函数f（x）在x＝x0处取得极值，且x0∈（1，）．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）﹣f（﹣x）＞ax恒成立，求实数a的取值范围．（参考数据：e≈2.72，e≈3.49）解：（Ⅰ）f′（x）＝e x﹣m，由题意知f′（x0）＝0，即＝m，∵y＝e x为R上的增函数，又因为x0∈（1，），∴2.72≈e＜m＜≈3.49，又因为m是正整数，故m＝3，即x0＝ln3，由f′（x）＝e x﹣3为R上的增函数，知当x∈（﹣∞，ln3）时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（ln3，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）的极小值为f（ln3）＝3﹣3ln3，无极大值；（Ⅱ）由题意可知f（x）﹣f（﹣x）＝e x﹣e﹣x﹣6x，即若x＞0时，不等式e x﹣e﹣x﹣（6+a）x＞0恒成立，令x＝1得a＜e﹣﹣6＜﹣3，令g（x）＝e x﹣e﹣x﹣（6+a）x（x＞0），则g′（x）＝e x+e﹣x﹣6﹣a，令h（x）＝e x+e﹣x﹣6﹣a，则h′（x）＝e x﹣e﹣x，显然h′（x）在[0，+∞）递增，故h′（x）＞h′（0）＝0，故g′（x）在[0，+∞）递增，g′（0）＝﹣4﹣a；①当g′（0）＝﹣4﹣a≥0即a≤﹣4时，g（x）在（0，+∞）递增，故g（x）＞g（0）＝0，符合题意，②当g′（0）＝﹣4﹣a＜0即﹣4＜a＜﹣3时，g′（2）＝e2+﹣6﹣a＞e2+﹣3＞0，故存在x0∈（0，2），使得g′（x0）＝0，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，当x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）＝0与g（x）＞0矛盾，综上，a≤﹣4，故实数a的范围是（﹣∞，﹣4]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t∈R，α∈[0，π）），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣3ρ+2＝0．（Ⅰ）当曲线C1以α为参数且t＝1时，求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）当曲线C1以t为参数时，若C1与C2恰有两个不同的交点，求tanα的取值范围．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t∈R，α∈[0，π）），由于t＝1，转换为普通方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1．x∈（0，2]，y∈[2，3]．曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣3ρ+2＝0．整理得ρ1＝2，ρ2＝1．转换为普通方程为x2+y2＝4，x2+y2＝1．（Ⅱ）当曲线C1以t为参数时，曲线C1表示过点（1，2），倾斜角为α的直线，当时，曲线C1为x＝1，与曲线C2有三个不同的交点，当时，若曲线C1：y＝tanα（x﹣1）+2与曲线C2恰有两个不同交点，则原点到曲线C1的距离d应满足1＜d＜2，即，解得或．[选修4-5：不等式选讲]23．已知正数a，b，c满足a+b+c＝3．（Ⅰ）若a2+b2＝1，求c的取值范围；（Ⅱ）求证：≥3．解：（Ⅰ）由a+b+c＝3，可得a+b＝3﹣c，两边平方得（a+b）2＝（3﹣c）2，又a2+b2＝1，∴2ab＝（3﹣c）2﹣1，∵a2+b2≥2ab（当且仅当a＝b时等号成立），∴0＜（3﹣c）2﹣1≤1，结合3﹣c＞0，解得3﹣≤c＜2．故c的取值范围为[3﹣，2）；（Ⅱ）证明：∵，，，三个同向不等式相加，可得，即≥3，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．。

河南名校联盟基础年级联考2019-2020学年高二（下）期末考试数学（理科）考生注意：1.本试卷共8页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,xy y A x =+=∈R ，(){}*ln 6,B x y x x ==-∈N，集合C AB =，则集合C 的子集的个数为（ ） A.4B.8C.16D.322.已知z 为复数z 的共扼复数，12z i z +=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列命题为假命题的是（ ） A.x ∀∈R ，x e x >B.0x ∃∈R ，00x ex <C.()0,x ∀∈+∞，ln x x <D.()00,x ∃∈+∞，00ln 2x x >-4.函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为3x π=，则实数ω的取值不可能为（ ）A.1B.4C.7D.85.设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列选项中正确的是（ ） A.若m α⊥，αβ⊥，则m β⊥ B.若//m n ，n α⊂，则//m α C.若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥D.若//m α，//n β，//m n ，则//αβ6.已知变量x 与变量y 有较强的线性相关性，其线性回归方程为2 3.5y x =-+，则下列说法中正确的是（ ）A.x 与y 正相关B.若5x =，则 6.5y =-C.x 增加1，y 一定减少2D.样本点在回归方程两侧的个数一定相同7.已知双曲线2212211:1x y C a b -=（110,0a b >>）与双曲线2222222:1y x C a b -=（220,0a b >>）有相同的渐近线2y x =±，则下列关系中正确的是（ ） A.1212a a b b = B.21122a b a b = C.1212a a b b +=+D.121222a a b b +=+8.已知一个箱子里装有2个黑球和3个白球，随机从箱子中摸出1个球再放回，如果摸出黑球记2分，摸出白球记1-分，则10次摸球所得总分数ξ的期望为（ ） A.2B.4C.6D.89.公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即121a a ==，12n n n a a a --=+（*3,n n ≥∈N ）.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记()2122n n n n n b a a a ++=-（*n ∈N ），数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2020S =（ ）A.2020223-+B.2020223-C.2021223-D.2021223-+10.如图，过椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，与y 轴交于点Q ，若12OF OQ =，1AF BQ =，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A.1233611.已知函数()()2ln ,0,1,0x e x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩（ 2.71828e =），则函数()()23g x f x x =-的零点个数为（ ） A.4B.5C.6D.812.已知,M N 为单位圆221:x O y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则2PM PN-的最大值为（ ） A.53+B.53-C.523+D.5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数,x y 满足10,330,10,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为 .14.已知某长方体的所有顶点均在半径为14的球面上，且长方体的表面积为22，则此长方体的所有棱长之和为 . 15.已知()4x x e e f x =+，若正数(),a b a b ≠满足()()f a f b =，则ln 2ln 2a b+的取值范围为 . 16.在ABC △中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，ABC △的面积为S ，若3cos cos 3S a B b A =+，cos sin 7tancos sin 12A A A A π+=-，3c =，则a = . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.某企业组织应聘该企业的100名应届毕业生参加专业能力测试（满分100分），这100名毕业生的成绩的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）该企业拟以成绩的中位数作为分数线来确定进入面试阶段的毕业生名单，根据频率分布直方图求进入该企业面试的分数线；（Ⅱ）若被测试的毕业生中有40名女生，进入面试的有15名女生，35名男生，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为成绩与性别有关.成绩<分数线成绩≥分数线总计 男生 女生 总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，满足,,2n n n a S S -成等比数列. （Ⅰ）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：222223411232n a a a na +++++<. 19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，12AA AC BC ==，90ACB ∠=︒，M 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1B CM ； （Ⅱ）求二面角11A C M B --的正弦值.20.已知抛物线2:4C y x =与直线():2l y k x =+交于A 、B 两点.（Ⅰ）当线段AB 的中点纵坐标为4时，求k 的值；（Ⅱ）直线l '过抛物线C 的焦点F ，与抛物线C 交于M 、N 两点，设直线l 与x 轴的交点为T .若l 与l '两直线的倾斜角互补，请问：TA TB MN⋅是否为定值，若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.21.已知函数()xf x e mx =-，其中e 为自然对数的底数，m 为正整数.若函数()f x 在0x x =处取得极值，且051,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若0x >时，不等式()()f x f x ax -->恒成立，求实数a 的取值范围. （参考数据： 2.72e ≈，543.49e ≈）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（[),0,t απ∈∈R ），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2320ρρ-+=.（Ⅰ）当曲线1C 以α为参数且1t =时，求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当曲线1C 以t 为参数时，若1C 与2C 恰有两个不同的交点，求tan α的取值范围. 23.[选修4—5：不等式选讲] 已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围； （Ⅱ）求证：3bc ac aba b c++≥.河南名校联盟基础年级联考2019-2020学年高二（下）期末考试数学（理科）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C【解析】因为{}1A y y =>，{}*60,B x x x =->∈N {}1,2,3,4,5=，{}2,3,4,5C AB ==，所以集合C 的子集的个数为4216=，故选C. 2.【答案】A【解析】设(),z a bi a b =+∈R ，则z a bi =-，代入12z i z +=+可得()1212a bi a b i ++=+-，即1,12,112,.3a a a b b b ⎧=⎧+=⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩故113z i =+，所以在复平面内z 对应的点为11,3⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限，故选A.3.【答案】B【解析】因为e 1x x ≥+恒成立，所以0x ∃∈R ，00x e x <为假命题，故选B.4.【答案】D 【解析】由题意可知()362k k πππωπ⋅+=+∈Z ，解得()13k k ω=+∈Z ，观察各选项，故选D.5.【答案】C【解析】若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则α与β是垂直关系，故选C. 6.【答案】B【解析】线性回归方程一定经过样本点的中心(),x y ，故选B. 7.【答案】A 【解析】由题意可知112b a =，222ab =，所以1212a a b b =，故选A. 8.【答案】A【解析】设10次摸球出现黑球的次数为X ，则2~10,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，()4E X =，所得总分数2X ξ=()()101310X X +-⨯-=-，所以()()3102E E X ξ=-=，故选A.9.【答案】C 【解析】由题意可知212132122n n n n n n n n b a a a b a a a ++++++-=⋅=-()221122122n n n n n n n a a a a a a a ++++++-+⋅=-()222112122n n n n n n n a a a a a a a ++++++--⋅=-22121222n n n n n n a a a a a a ++++-⋅=--，又12b =-，因此()2nn b =-，故()2020202120202122233S -⨯--==，故选C. 10.【答案】B【解析】法一：如图取1F Q 的中点M ，由1AF BQ =可知，M 为AB 的中点，且1OM F Q k k =-，由12OF OQ =得112F Q k =，所以114OM F Q k k ⋅=-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，即2214AB OM b k k a =-⋅=-，所以22222314c b e a a ==-=，所以32e =，故选B. 法二：由题意设直线()1:2AB y x c =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 的方程代入椭圆方程，化简得()222222224240a b x a cx a c a b +++-=，2122224a cx x a b ∴+=-+，1AF QB =，12x x c ∴+=-，故22224a c c a b -=-+，即2a b=，3e ∴=，故选B. 11.【答案】C【解析】当0x >时，()2ln 1e x x f x '=+-，令()2ln 1e h x x x =+-，则()2120e x xh x =+>'，故()f x '在()0,+∞上单调递增，因为()0f e '=，所以()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，且()10f =，()f e e =-，()20f e =.令()0g x =得()23f x x =，在同一直角坐标系中，作出函数()1y f x =与232y x =的大致图象，如图所示，两函数图象共有6个交点，故()g x 有6个零点，故选C.12.【答案】A【解析】由1MN =可知，OMN △为等边三角形，则1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅⋅︒=，由PM PO OM =+，PN PO ON =+，得22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，()224413OM ONOM ON -=-⋅+=，又()3,4P ，则5PO =，因此当PO 与2OM ON -同向时，等号成立，此时2PM PN -的最大值为53+，故选A.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】4-【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线1122y x z =-平移至经过点()2,3C 时，z 最小，z 的最小值为4-.14.【答案】24【解析】设该长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，由体对角线为外接球的直径得22214a b c ++=①，由长方体的表面积为22得()222ab ac bc ++=②，①②两式相加得()236a b c ++=，即6a b c ++=，故此长方体的所有棱长之和为()424a b c ++=.15.【答案】()2,+∞【解析】由()()f a f b =可知44a ba be e e e+=+，即()4441aba b a b a be e e e e e e +⎛⎫-+-=--= ⎪⎝⎭()40a ba b a b e e e e ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故4a be +=，即2ln 2a b +=，则ln 2ln 21222b a a b a b ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭.16.【解析】由cos cos 3S a B b A =+可知1sin cos cos 32ab C a B b A ⋅=+，根据正弦定理知1sin sin sin cos sin cos sin 32A b C AB B AC ⋅⋅=+=，即sin b A =cos sin 1tan cos sin 1tan A A A A A A ++=--7tan tan 412A ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()0,A π∈，所以7412A ππ+=，故3A π=，因此4b =，又2222cos 13a b c bc A =+-=，故a =三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.【解析】（Ⅰ）从左至右第一、二个矩形的面积均为0.1，第三个矩形的面积为0.15，第四个矩形的面积为0.4，设成绩的中位数为x ，则700.10.10.150.40.510x -+++⨯=，解得73.75x =，即进入该企业面试的分数线为73.75； （Ⅱ）()221002515253525 3.841604050506K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为成绩与性别有关.18.【解析】（Ⅰ）由题意知()2221n n n S a S =-，即()()21221n n n n S S S S -=--21122n n n n n S S S S S --=--+，整理得112n n n n S S S S --=-，两边同时除以1n n S S -得1112n n S S --=， 又11111S a ==，则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列， 则()111221nn n S =+-⨯=-， 故121n S n =-. 当2n ≥时，1112123n n n a S S n n -=-=---()()22123n n -=--；当1n =时，11a =， 故()()1,1,2, 2.2123n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩（Ⅱ）()()212242121n nnan n +==+-()()2211122121n n ⎡⎤-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦， 因此222223411232n a a a na+++++=()()222221111113352121n n ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫-+-++-⎢⎥⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭ ()()2211111122221221n n ⎡⎤=-=-<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故222223411232n a a a na +++++<. 19.【解析】（Ⅰ）如图，连结1BC ，设11BC B C O =，连结OM ，因为四边形11BCC B 为矩形，所以O 为1BC 的中点， 又因为M 为AB 的中点，所以1//OM AC ， 因为OM ⊂平面1B CM 且1AC ⊄平面1B CM ， 所以1//AC 平面1B CM .（Ⅱ）如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，令1BC =，则)2,0,0A ，(12C ，(12B ，21,02M ⎫⎪⎪⎝⎭， 因此21,,022MA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，121222MC ⎛=-- ⎝，121222MB ⎛=- ⎝，设平面1AMC 的法向量为()111,,m x y z =， 则由10,0,m MA m MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11111210,222120,22x y x y z -=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩ 令11x =得()1,2,1m =.设平面11B C M 的法向量为()222,,n x y z =，则由110,0,n MC n MB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222222120,222120,22x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩令21x =得11,0,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 35cos ,m n m n m n ⋅==⋅，故二面角11A C M B --55.20.【解析】（Ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立()242y xy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得()22224440k x k x k +-+=，()()22421611616120k k k ∆=--=->，解得22k -<<且0k ≠，由题意可得12248y y +=⨯=，则直线l 的斜率121222121244y y y y k y y x x --==--1244182y y ===+，符合题意，故12k =.（Ⅱ）设()33,M x y ，()44,N x y ，():1l y k x '=--，联立()241y x yk x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，消去y 得()2222240k x k x k -++=， 则234224k x x k ++=，()2342412k MN x x k +=++=， 由（Ⅰ）知212244k x x k -+=-，124x x =，由():2l y k x =+，得()2,0T -，所以))1222TA TB x x ⋅=++()()()221212281124k k x x x x k +=++++=⎡⎤⎣⎦；因此2TA TB MN ⋅=，即TA TBMN ⋅是定值，该定值为2.21.【解析】（Ⅰ）()x f x e m '=-，由题意知()00f x '=，即0x e m =.因为x y e =为R 上的增函数，又因为051,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以54 2. 72 3.49e m e ≈<<≈，又因为m 为正整数，所以3m =，即0ln 3x =.由()3x f x e '=-为R 上的增函数，知当(),ln3x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()ln3,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为()ln333ln3f =-，无极大值.（Ⅱ）由题意可知()()6x x f x x e e x f -----=，即若0x >时，不等式()60x x e ea x ---+>恒成立， 令1x =得163a e e <--<-. 令()()6x x e x x e a g ---+=，则()6x x g x e e a -'=+--，令()6x xh x e e a -=+--，则()x x h x e e -'-=， 显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，故()()00h x h ''>=，故()g x '在[)0,+∞上单调递增，()04g a '=--.①当()040g a '=--≥，即4a ≤-时，()g x 在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，符合题意； ②当()040g a '=--<，即43a -<<-时，()2222116302e eg e a e +-->+-'>=， 故存在()00,2x ∈使得()00g x '=，故()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，当()00,x x ∈时，()()00g x g <=与()0g x >矛盾.综上所述，4a ≤-，所以实数a 的取值范围为(],4-∞-.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【解析】（Ⅰ）消去参数α可得曲线1C 的普通方程为()()22121x y -+-=，其中(]0,2x ∈，[]2,3y ∈； 由2320ρρ-+=解得12ρ=或2 1ρ=，故曲线2C 的直角坐标方程为224x y +=或221x y +=. （Ⅱ）当曲线1C 以t 为参数时，曲线1C 表示过点()1,2，倾斜角为α的直线， 当2πα=时，曲线1C 为1x =，与曲线2C 有三个不同的交点； 当2πα≠时，曲线()1:tan 12C y x α=-+与曲线2C 恰有两个不同的交点， 则原点到曲线1C 的距离d 应满足12d <<，即12<<，解得30tan 4α<<或4tan 3α<-.23.【解析】（Ⅰ）由3a b c ++=可得3a b c +=-，两边平方得()()223a b c +=-，又221a b +=，可得()2231ab c =--， 因为222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立），所以()20311c <--≤，结合30c ->解得32c -<，故c 的取值范围为)3⎡⎣. （Ⅱ）2bc ac c a b +≥，2bc ab b a c +≥，2ac aba b c +≥， 三个同向不等式相加得()22bcacab a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭， 即3bcacaba b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.。

河南省豫西名校2019-2020学年高二上学期第二次联考数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{=|A x y =，{}|ln(1)B x y x ==-，则A B 等于（）A ．()1,2B ．(1,2]C ．()2,1-D ．[2,1)-2.命题“1x ∀>，1122x⎛⎫< ⎪⎝⎭”的否定是（ ）A ．1x ∀>，1122x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭B ．1x ∀≤，1122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C ．01x ∃>，01122x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．01x ∃≤01122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且105S =，71a =，则1a =（ ）A ．-1B ．12-C ．14D ． 124.设,a b R ∈，则“5a b +>”是“2a >且3b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知椭圆:C 22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F2F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（）A ．22132x y +=B ．2213x y += C.221128x y += D ．221124x y += 6.已知实数x ，y 满足条件103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．-8B ．-6 C.-2 D ．47.已知命题p ：“[]0,1x ∀∈，x a e ≥”，命题:q “x R ∀∈，240x x a ++≠”，若命题p q ∧⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,4B ．[],4e C.[4,)+∞ D ．(,1]-∞8.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆C 交于A ，B 两点，若AB 的中点()1,1P -，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C.2212718x y += D ．221189x y +=9.若ABC ∆的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且BC 边上的中线AD =又2AB =，则ABC S ∆=（ ）A ．3B ．．610. 椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的中心点在原点，1F ，2F 分别为左、右焦点，A ，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2PF AB ，则此椭圆的离心率为（ ）A ．13 B ．12C.2 D ．511.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c b c =++，a =S 为ABC ∆的面积，则cos S B C +的最大值为（ ）A ．1B 1．312.斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最大值为（ ）A ．2B ．5 C.5 D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若命题“0x R ∃∈，20020x x m -+≤”是假命题，则m 的取值范围是 ．14.已知点1F ，2F 是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥.若12PF F ∆的面积为9，则b = ．15.已知()1,0A -，B 是圆F ：222110x x y -+-=（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF于点P ，则动点P 的轨迹方程为 ．16.已知ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，4BC =，若点P 是BC 边上的动点，且P 到AB ，AC 的距离分别为m ，n ，则41m n+的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin a B A =. （1）求角A 的大小； （2）若a =2b =，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）已知0m >，:p ()()260x x +-≤，:q 22m m -≤+.（1）已知p 是q 成立的必要不充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）已知m R ∈，命题:p 对[]0,8x ∀∈，不等式()213log 13x m m +≥-恒成立；命题:q 对(),1x ∀∈-∞-，不等式222x x mx +>+恒成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围. 20. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足2312232222n n a a a a n n ++++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()12nnna b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .21. （本小题满分12分）已知点()0,1A 与12B ⎫⎪⎭都是椭圆:C 22221x y a b +=（0a b >>）上的点，直线AB 交x 轴于点M .（1）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标；（2）设O 为原点，点D 与点B 关于x 轴对称，直线AD 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由.22. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221x y a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B 其离心率12e =，点M 为椭圆上的一个动点，MAB ∆面积的最大值是（1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当0PB PD ⋅=时，求点P 的坐标.豫西名校2018-2019学年上期第二次联考高二数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【解析】由240x -≥，解得2x x -≤≤，则[]2,2A -；由10x ->，解得1x <， 则(),1B =-∞，所以[2,1)AB =-.2.【解析】因为“1x ∀>，1122x⎛⎫< ⎪⎝⎭”是全称命题，其否定是特称命题，即“01x ∃>，01122x⎛⎫≥ ⎪⎝⎭”.3.【解析】11161, 1.109105,2a d a a d +=⎧⎪⇒=⎨⨯+=⎪⎩ 4.【解析】显然“2a >且3b >”成立时，“5a b +>”一定会成立，所以是必要条件，当4a >且2b >时，“5a b +>”成立，但“2a >且3b >”不成立，所以不是充分条件. 5.【解析】由椭圆的性质知1||2AF a =，12||||2BF BF a +=，∴1AF B ∆的周长=1212||||||||AF AF BF BF +++=a =2222b a c =-=，∴椭圆的方程为22132y y +=. 6.【解析】作出约束条件103020x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所对应的可行域如图ABC ∆及其内部，变形目标函数可得2y x z =-，平移直线2y x =可知，当直线经过点()3,2C 时，直线的截距最小，z 取最大值，代值计算可得2z x y =-的最大值max 2324z =⨯-=.7.【解析】命题p 为真，则a e ≥；命题q 为真，则1640a -<，解得4a >，∴q ⌝：4a ≤，∴p q ∧⌝：4e a ≤≤.8.【解析】法一：根据椭圆的性质，3c =，又过点()3,0F 和直线AB 的中点()1,1P -的直线方程为230x y --=，联立方程组222222230,,x y b x a y a b --=⎧⎨+=⎩消去x ，并整理得()222222241290a b y b y b a b +++-=，所以21222124b y y a b +=-+，因为1212y y +=-，所以222a b =，因为229a b -=，解得218a =，29b =，所以椭圆的标准方程为221189x y +=. 法二：点差法，解答略9.【解析】因为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则60B =︒，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，即2742BD BD =+-，所以3BD =或-1（舍去），可得6BC =，所以11sin 2622ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=10.【解析】如图所示，把x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=（0a b >>），可得2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()0,A b ，(),0B a ，()2,0F c ∴ABbk a=-，122PF b k ac =-， ∵2PF AB ，∴22b b a ac-=-，化简得2b c =.∴22224c b a c ==-，即225a c =，∴5e ==. 11.【解析】由222a b c bc =++，则2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=.设ABC ∆外接圆的半径为R，则21sin sin 3a R A ===，∴1R =，∴1cos sin cos cos 2S B C bc A B C B C ==+sin cos B C B C =+⋅()B C =-，故cos S B C +.12.【解析】法一：设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，直线l 的方程为y x t =+，由2244,x y y x t⎧+=⎨=+⎩消去y ，得()2258410x tx t ++-=，则1285x x t +=-，()212415t x x -=.∴12|||AB x x =-==50t=时，max ||AB =法二：∵直线斜率固定过椭圆中心时，弦最长，∴可直接求的max ||AB =.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】13.()1,+∞ 14.3 15.22132x y += 16.9213.【解析】因为命题“0x R ∃∈，20020x x m -+≤”是假命题，所以x R ∀∈，220x x m -+≥为真命题，即440m ∆=-<，1m >，故答案为()1,+∞.14.【解析】由12PF PF ⊥知，1290F PF ∠=︒，由题意，得121222212||||2,1||||9,2||||4,PF PF a PF PF PF PF c +=⎧⎪⎪⋅=⎨⎪⎪+=⎩ 可得224364c a +=，即229a c -=，所以3b =.15.【解析】将圆F 改写成标准方程()22112x y -+=，则圆心F 的坐标为()1,0，半径r =，由题意可知||||PA PB =，又点P 在圆F 的半径BF上，故||||||||||2||PA PF PB PF BF AF +=++=>=，所以动点P 的轨迹是以A ，F为焦点，轴长的椭圆，则2a =22c =，所以b =，故动点P 的轨迹方程为22132x y +=. 16.【解析】由题知AB AC ==)21122m n ⨯=+⎝⎭， 则2m n +=，根据基本不等式，得()411411495222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2,4,m n n m m n+=⎧⎪⎨=⎪⎩即43m =，23n =时，等号成立.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【解析】（1）因为sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =. 又sin 0B ≠，从而tan A =0A π<<，所以3A π=……………………（4分）（2）法一：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，及a =2b =，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --=. 因为0c >，所以3c =. 故ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==……………………（10分）法二：由正弦定理，得2sin sin3Bπ=，从而sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos 7B =故()sin sin sin sin cos cos sin 33314C A B B B B πππ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭. 所以ABC ∆的面积1sin 2S bc C ==………………（10分） 18.【解析】（1）:26p x -≤≤………………（1分）∵p 是q 成立的必要不充分条件，则[]2,2m m -+是[]2,6-的真子集，有222226m mm m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得04m <≤， 又当4m =时，[][]2,22,6m m -+=-，不合题意， ∴m 的取值范围是()0,4.………………（6分） 分类处理亦可（2）∵q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，则[]2,6-是[]2,2m m -+的真子集，则哟02226m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩，解得4m ≥，又当4m =时，不合题意.∴m 的取值范围为()4,+∞.………………（12分） 分类处理亦可 19.【解析】（1）令()()13log 1f x x =+，则()f x 在()1,-+∞上为减函数，因为[]0,8x ∈，所以当8x =时，()()min 82f x f ==-，…………（2分） 不等式()213log 13x m m +≥-恒成立，等价于223m m -≥-，解得12m ≤≤，故命题p 为真，实数m 的取值范围为[]1,2.………………（4分） （2）若命题q 为真，则221m x x>-+，对(),1x ∀∈-∞-上恒成立， 令()21g x x x =-+，因为()g x 在(),1x ∈-∞-上为单调增函数，则()()11g x g <-=，故1m ≥，即命题q 为真，1m ≥.……………………（6分） 若p q ∧为假，p q ∨为真，则命题p ，q 中一真一假；…………（7分） ①若p 为真，q 为假，那么121m m <<⎧⎨<⎩，则无解；……（9分）②若p 为假，q 为真，那么121m m m <>⎧⎨≥⎩或，则2m >.…………（11分）综上m 的取值范围为()2,+∞.……………………（12分） 20.【解析】（1）∵2312232222n n a a a a n n ++++=+， ∴当2n ≥时，()23112231112222n n a a a a n n --++++=-+-， 两式相减得122n n =（2n ≥），∴12n n a n +=⋅ （2n ≥）.…………（3分）又∵当1n =时，1112a =+，∴14a =，满足12n n a n +=⋅………………（4分）∴12n n a n +=⋅.………………（5分）（2）∵()()122nnnna b n -==-…………（6分）∴()()()()1231222322nn S n =⨯-+⨯-+⨯-+-.()()()()()23412122232(1)21n n n S n n +-=⨯-+⨯-+⨯-+--+-∴两式相减得：()()()()()()23413222222nn n S n +=-+-+-+-++---()()()()()()()1111212223122221233n n n n n n n n ++++⎡⎤------+-+⎣⎦=--=--=--- ∴()()131229n nn S ++-+=-………………（12分）21.【解析】（1）由题意得22211311,4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∴2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.故椭圆C 的方程为2214x y +=.…………（4分） 直线AB方程为16y x =-+，与x轴交点为()M .………………（5分） （2）因为点D 与点B 关于x轴对称，所以12D ⎫-⎪⎭，………………（6分） 直线AD方程为12y x =-+，与x轴交于点N ⎫⎪⎪⎝⎭，…………（7分） “存在点()0,E E y 使得OEM ONE ∠=∠”等价于“存在点()0,E E y 使得||||||||OM OE OE ON =”（9分） 即E y 满足2||||E M N y x x =.∴24E y ==，∴22E y =±，…………（11分） 故在y 轴上存在点E ，使得OEM ONE ∠=∠，且点E 的坐标为()0,2或()0,2-.……（12分） 22.【解析】（1）由题意可知2221,2122,c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪⨯=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2a =，b = 所以椭圆方程为22143x y +=.…………（4分） （2）由（1）知()2,0B ，设直线BD 的方程为()2y k x =-，()11,D x y ，把()2y k x =-代入椭圆方程22143x y +=， 整理得()2222241616120k x k x k +-+-=， 所以221122168623434k k x x k k -+=⇒=++，则2228612,3434k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，…………（6分） 所以BD 中点的坐标为22286,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，…………（7分） 则直线BD 的垂直平分线方程为2226183434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，得220,34k P k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭……（9分） 又0PB PD ⋅=，即2222286142,,0343434k k k k k k ⎛⎫--⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 化简得()424226428360642836034k k k k k +-=⇒+-=+， 解得34k =±故当34k =时，20,7P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当34k =-时，20,7P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.………………（12分）。

河南省2019-2020学年豫西名校高二期末联考数学（理科）试题一、单选题(★★) 1. 已知复数 z＝，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 2. 已知命题：，则为（）A．，B．，C．，D．，(★) 3. 双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2(★) 4. 已知等比数列{ a n}满足 a 1 a 6＝ a 3，且 a 4+ a 5＝，则 a 1＝（）A．B．C．4D．8(★) 5. 为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（）A．28种B．56种C．112种D．336种(★★) 6. 已知函数 f( x)＝ ln2 x+ x 2，则曲线 y＝ f( x)在点（， f（））处的切线在 y轴上的截距为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．(★★★) 7. 已知实数、满足约束条件，且的最大值为，则（）A．B．C．D．(★★)8. “ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 9. 等差数列的前项和为，，，则满足的（）A．50B．51C．100D．101(★) 10. 某养殖场需要通过某装置对养殖车间进行恒温控制，为了解用电量 y（kW•h）与气温x（）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（）34567用电量（kW•h） 2.534 4.56若利用线性回归方程预测时的用电量为8.25kW•h，则预测时的用电量为（）A．8.75kW•h B．9.86kW•h C．9.95kW•h D．12.24kW•h(★★★) 11. 已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★)12. 已知某中学高三学生的近视率为p（0＜p＜1），从该校高三学生中随机抽取20人，设 X为其中近视的人数，若 D（ X）＝4.2且 P（ X＝11）＜ P（ X＝9），则 p＝（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7二、填空题(★★) 13. 在（ x 2﹣）5的展开式中，含 x 2的项的系数是_____（用数字作答）.(★★) 14. 若正实数满足，则的最小值为_____.(★★★) 15. 已知抛物线 C：，点 N在 C上，点，若点 M， N关于直线对称，则_____.(★★★) 16. 已知函数 f( x)＝，若存在 x 1， x 2（ x 2＞ x 1）满足 f（ x 1）＝ f （ x 2），则 x 2﹣2 x 1的取值范围为_____.三、解答题(★★★) 17. 已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 asin B＝ bcos（ A+ ）.（1）求角 A；（2）若 b＝2， c＝ a，求 ABC的面积.(★★★) 18. 如图，在三棱柱 ABC﹣ A 1 B 1 C 1中，侧面 ABB 1 A 1和侧面 BCC 1 B 1都是边长为2的菱形，且∠ BAA 1＝∠ CBB 1＝60°.（1）证明： BB 1⊥ A 1 C；（2）若 A 1 C＝.求二面角 A﹣ BC﹣ A 1的余弦值.(★★★) 19. 已知椭圆 C：＝1的右焦点为 F，过 F的直线与椭圆 C交于 A， B两点，AB的中点为 D.（1）若点 D的纵坐标为﹣，求直线 AB的方程；（2）线段 AB的中垂线与直线 x＝﹣4交于点 E，若| AB|＝，求| DE|.(★★★) 20. 零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布 N（μ，σ 2）.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下面是样本的尺寸 x i（ i＝1，2，3，…，10，单位：mm）：100.03100.499.92100.5299.98100.3599.92100.44100.66100.78用样本的平均数作为μ的估计值，用样本的标准差s作为σ的估计值.（1）按照技术标准的要求，若样本尺寸均在（μ﹣3 σ，μ+3 σ）范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格. （2）该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制定了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在（99.7，100.3）范围内，则该零件为A级零件，每个零件定价100元，否则为B级零件，每个零件定价60元. 哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.附：≈100601.8，样本方差.若X～N（μ，σ 2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+ σ）＝0.6827，P（μ﹣2 σ＜X＜μ+2 σ）＝0.9545(★★★★) 21. 已知.（1）设，讨论的单调性；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.(★★★) 22. 已知圆 C的极坐标方程为ρ 2+2 ρsin（θ﹣）﹣2＝0，直线 l的极坐标方程为θ＝（ρ∈ R）.以极点为坐标原点，极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系 xOy.（1）求圆 C的半径；（2）直线 l与圆 C的交点为 A， B，求 ABC的面积.。

绝密★启用前2019-2020学年河南省名校联盟高二3月联考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．复数()912z i i =--的共扼复数为（） A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i --答案：A先根据虚数单位i 的性质化简复数z ，然后再求它的共轭复数. 解：Q ()()912122z i i i i i =--=--=-，∴2z i =+．故选A.点评：本题主要考查复数的运算及共轭复数，侧重考查数学运算的核心素养. 2．若函数()f x 满足()24f '=，则()()22limh f h f h→--=（ ）A ．8B ．8-C ．4D ．4-答案：D根据导数的定义可直接化简求得结果. 解：()()()()()002222lim 1lim 24h h f h f f h f f h h→→----'=-⨯=-=--. 故选：D . 点评：本题考查根据导数的定义求值的问题，属于基础题.3．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 解：若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 点评：本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题． 4．用反证法证明“至少存在一个实数0x ，使030x >成立”时，假设正确的是（ ） A ．至少存在两个实数0x ，使030x >成立 B ．至多存在一个实数0x ，使030x >成立 C ．不存在实数0x ，使030x >成立 D ．任意实数x ，30x >恒成立答案：C根据反证法的原理可直接判断得到结果. 解：根据反证法的原理知：假设是对“至少存在一个实数0x ”的否定， 即“不存在实数0x ，使030x >成立”. 故选：C . 点评：本题考查反证法原理的应用，属于基础题. 5．下列使用类比推理正确的是（ ）A ．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B ．“若12x x +=，则2212x x+=”类比推出“若，则2212x x-=” C ．“实数a ，，满足运算()()ab c a bc =”类比推出“平面向量,,a b c r r r 满足运算()()a b c a b c ⋅=⋅r r r r r r”D ．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心” 答案：D根据类比结果进行判断选择. 解：因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A 错；因为“若12x x-=，则22112x x x =±-≠”，所以B 错；因为()()a b c a b c ⋅≠⋅r r r r r r，所以C 错； 因为正方体的内切球切于各面的中心，所以D 正确.选D. 点评：本题考查线面位置关系判断、向量运算律以及正方体性质，考查基本分析判断能力，属基础题.6．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 答案：B分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩， 结合()0,θπ∈，可知：sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．已知函数2()ln(1)f x m x x mx =++-在(1,)+∞上不单调，则m 的取值范围是（ ） A ．(4,)+∞ B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞答案：A 求导22()2()1m x x f x x '--=+，函数不单调，212m ->解得答案. 解：222()2(2)2()2111m x x m x m x f x x m x x x '--+-=+-==+++. 因为()f x 在(1,)+∞上不单调，所以212m ->，故4m >. 故答案为A 点评：本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.8．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁答案：D根据四位大学生的话只有两人说的是对的，假设其中一人说的对，如果和条件不符合，就说明假设的不对，如果和条件相符，则按假设的方法解决问题. 解：若甲说的对，则乙、丙两人说的也对，这与只有两人说的对不符，故甲说的不对； 若甲说的不对，乙说的对，则丁说的也对，丙说的不对，符合条件，故获奖的是丁； 若若甲说的不对，乙说的不对，则丁说的也不对，故本题选D. 点评：本题考查了推理的应用，假设法是经常用的方法.9．若121z z -=，则称1z 与2z 互为“邻位复数”.已知复数1z a =与22z bi =+互为“邻位复数”，,a b ∈R ，则22a b +的最大值为（ ） A．8- B．8+C．1+D ．8答案：B根据题意点(,)a b在圆22(2)(1x y -+=表示点(,)a b 到原点的距离，计算得到答案. 解：|2|1a bi +--=，故22(2))1a b -+=，点(,)a b在圆22(2)(1x y -+-=上，(,)a b 到原点的距离，故22a b +的最大值为()22222(3)1(17)827++=+=+.故选：B . 点评：本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271 B ．272C ．273D ．274答案：A观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 解：由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 点评：此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-11．设函数()22,0,0x x x e x f x x x e⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则使得()()121f x f x +>-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．()2,-+∞ C ．(),0-∞ D ．()2,+∞答案：A根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数；利用导数可求得()f x 在[)0,+∞上单调递增，由奇偶性知()f x 在(],0-∞上单调递减，由此可将原不等式化为121x x +>-，解不等式求得结果. 解：当0x <时，0x ->，()()()22xx x f x x ef x e-∴-=-==，()f x ∴为偶函数. 当0x ≥时，()()2220x x xf x xe x e x x e '=+=+≥，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增；又()f x 为偶函数，()f x ∴在(],0-∞上单调递减，∴由()()121f x f x +>-得：121x x +>-，即()()22121x x +>-，解得：02x <<，即x 的取值范围为()0,2. 故选：A . 点评：本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义求得函数奇偶性、利用导数求得函数的单调性，进而将函数值的大小关系变为自变量的大小关系.12．对任意的实数x ，关于y 的方程()0xyxxe ae ye-+=都有两个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭答案：B将方程变形为()x ya x y e-=-，采用换元法将问题变为y a =与()tf t te =有两个不同的交点的问题；结合导数可得到()f t 的图象，利用数形结合的方式可求得结果. 解：由()0xy xxe ae ye-+=得：()xy x y eae -=，()x y a x y e -∴=-.令()t x y t R =-∈，则()x yt x y ete --=，∴原方程有两个不同的实根，等价于y a =与()t f t te =有两个不同的交点.()()1t t t f t e te t e '=+=+Q ，∴当(),1t ∈-∞-时，()0f t '<；当()1,t ∈-+∞时，()0f t '>，()f t ∴在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增， ()()min 11f t f e∴=-=-，又当t →-∞时，()0f t →；当t →+∞时，()f t →+∞，由此可得()f t 图象如下图所示：∴当10a e-<<时，y a =与()t f t te =有两个不同的交点，即当1,0a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，方程()0x y xxe ae ye -+=有两个不同的实根.故选：B . 点评：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够通过变形和换元，将问题转化为两函数图象交点个数问题的求解，进而通过数形结合的方式求得结果.二、填空题13．已知复数132z i =+，2z a ai =+(a ∈R )，12z z +∈R ，则12z z +=________． 答案：1由复数加法的运算可得123(2)a z z a i =++++，再结合复数的类型求得2a =-，得解.解：由复数132z i =+，2z a ai =+(a R ∈)， 则123(2)a z z a i =++++， 则12z z R +∈， 则20a += 即2a =-， 则121z z +=， 故答案为：1． 点评：本题考查了由复数的类型求参数的值，重点考查了复数加法的运算，属基础题.14．函数()1xe f x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线方程是_____________.答案：e 4e 0x y -+=首先求出()f x 在1处的导数，再求出()f x 在1处的函数值()1f ，然后用点斜式求出方程即可. 解：()()2e 1xx f x x '=+，∴()e 14f '=且()e 12f =，切线方程是()e e124y x -=-，即e 4e 0x y -+=．点评：本题考查利用导数求函数在点处的切线方程，属于基础题.15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++L中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得12x ==__________．()0m m =>，平方可得方程23m m +=，解方程即可得到结解：()0m m =>，则两边平方得，得23m =即23m m +=，解得：12m =或12m -=（舍去）点评：本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16．设函数()f x '是偶函数()()0f x x ≠的导函数，()20f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________.答案：(,2)(2,)-∞-+∞U 构造函数()()f xg x x=，利用导数可求得0x >时()g x 单调递增，结合()()220f f =-=可确定当2x >时，()0g x >即()0f x >，利用偶函数的性质可确定当2x <-时，()0f x >，由此可得最终结果. 解： 令()()f x g x x=，()()()2xf x f x g x x '-'∴=. Q 当0x >时，()()0xf x f x '->，∴当0x >时，()0g x '>，()g x ∴在()0,∞+上单调递增.()f x Q 是偶函数且()20f -=，()()220f f ∴=-=，()()2202f g ∴==， ∴当2x >时，()0g x >，则当2x >时，()0f x >，又()f x 为偶函数，∴当2x <-时，()0f x >. 综上所述：当()(),22,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x >. 故答案为：()(),22,-∞-+∞U .点评：本题考查根据函数的单调性求解函数不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，利用导数得到所构造函数的单调性，结合函数奇偶性求得原不等式的解集.三、解答题17．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值. 答案：(1) 12z i =-或2i z =-. (2) 3m =±，5n =.（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值 解：（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ， 因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-. 因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 点评：本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若2A B =，证明：2cos a b B =； （2）若112a b c+=，证明：2C π<．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析. （1）利用正弦定理边转角，即可得到本题答案；（2）用反证法证明，假设2C π≥，得到211c a b <+，与已知112a b c+=矛盾，故假设错误，结论正确. 解：（1）因为2A B =，所以sin sin 2A B =， 则sin 2sin cos A B B =， 由正弦定理得2cos a b B =； （2）假设2C π≥，则0c a >>，0c b >>，那么110c a <<，110c b <<， 于是1111c c a b +<+，即211c a b <+，与已知112a b c+=矛盾，故假设错误，所以当112a b c+=时，2C π<．点评：本题主要考查正弦定理的应用以及利用反证法证明结论.19．已知若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）交x 轴于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，则AN BM ⋅u u u r u u u u r为定值22b a -.（1）若将双曲线与椭圆类比，试写出类比得到的命题； （2）判定（1）类比得到命题的真假，请说明理由. 答案：（1）见解析；（2）命题为真命题，证明见解析. （1）根据类比推理的基本原则可直接写出结果；（2）设(),0A a -，(),0B a ，()00,P x y ，表示出直线PA 方程后可求得M 点坐标，由此得到BM u u u u r，同理得到AN u u u r ，根据平面向量的数量积运算可构造方程，结合点P 在双曲线上可化简得到结果. 解：（1）类比得命题：若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>交x 轴于,A B 两点，点P 是双曲线C 上异于,A B 的任意一点，直线,PA PB 分别交y 轴于点,M N ，则AN BM ⋅u u u r u u u u r为定值()22a b-+.（2）在（1）中类比得到的命题为真命题，证明如下： 不妨设(),0A a -，(),0B a ，()00,P x y ，则()00000PA y y k x a x a-==--+，∴直线PA 方程为()00y y x a x a=++. 令0x =，则00ay y x a =+，∴点M 坐标为000,ay x a ⎛⎫⎪+⎝⎭. 又(),0B a ，∴00,ay BM a x a ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭u u u u r .同法可求得：00,ay AN a x a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭u u u r .∴2220220a y AN BM a x a ⋅=---u u u r u u u u r .又∵2200221x y a b -=，∴()222222022201x a AN BM a b a b x a a ⎡⎤⎛⎫⋅=--⋅⋅-=-+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦u u u r u u u u r . 点评：本题考查类比推理的应用、双曲线中定值问题的证明；关键是能够熟练应用直线与双曲线的相关知识，表示出所需的平面向量，根据平面向量数量积的坐标运算可化简得到结果.20．已知函数()933f x x -=++，数列{}n a 对于n *∈N ，总有()1n n a f a +=，112a =. （1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 答案：（1）237a =，338a =，439a =，35n a n =+；（2）证明见解析.（1）利用函数解析式可得递推关系式，依次代入1,2,3n =可求得234,,a a a ，由数字变化规律可猜想得到通项公式；（2）当1n =时，可知结论成立；假设当n k =时结论成立，则当1n k =+时，由递推关系式和假设的结论整理可知结论成立，由此可知猜想成立. 解：（1）由()93333x f x x x -=+=++得：()133n n nn a a f a a +==+， 11326a ==Q ，所以1213337a a a ∴==+，2323833a a a +==，3433339a a a ==+， 由此可猜想：35n a n =+. （2）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，131152a ==+，猜想成立； ②假设当()n k k N*=∈时猜想成立，即35kak =+， 则当1n k =+时，133335331535k k k a k a a k k +⋅+===+++++，所以当1n k =+时猜想也成立. 由①②知，对n *∈N ，35n a n =+都成立. 点评：本题考查根据递推关系式求解数列中的项、猜想通项公式、利用数学归纳法证明数列中的结论问题；证明数学归纳法时需注意一定要用到所作的假设. 21．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.答案：（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. （1）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性； （2）根据（1）的结论可确定0a <不合题意；当0a =时，根据指数函数值域可知满足题意；当0a >时，令()min 0f x >，由此构造不等式求得结果. 解：（1）由题意得：()22xf x ea '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在R 上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=得：1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，()f x ∴在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；当1ln 22a x >时，()0f x '>，()f x ∴在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）可知：当0a <时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，20x e →，()1a x +→+∞，此时()0f x <，不合题意； 当0a =时，2()0xf x e=>恒成立，满足题意.当0a >时，()f x 在1ln 22ax =处取最小值，且1ln ln 22222a a a a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令ln 0222a a a -->，解得：20a e <<，此时()0f x >恒成立.综上所述：a 的取值范围为20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 点评：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果. 22．设函数()ln(1)(0)f x x x =+≥，(1)()(0)1x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：2()f x x x ≥-.（2）若()()f x x g x +≥恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：当*n N ∈时，22121ln(32)49n n n n-++>+++L . 答案：（1）见解析；（2）(,1]-∞；（3）见解析.（1）令函数()()2h x ln x 1x x =+-+，证明其最小值大于等于0即可（2）原题转化为()ax ln x 101x +-≥+恒成立，令()()axm x ln x 11x=+-+，求导求其最小值()min m x 0≥即可；（3）由（1）()2ln x 1x x +≥-，令1x n =，得()2n 1ln n 1lnn n-+->，裂项相消求和得()212n 1ln n 149n-+>+++L 即可解：（1）证明：令函数()()2h x ln x 1x x =+-+，[)x 0,∞∈+，()212x xh x 2x 101x 1x+=+=++'-≥，所以()h x 为单调递增函数，()()h x h 00≥=， 故()2ln x 1x x +≥-.（2）()()f x x g x +≥，即为()axln x 11x+≥+， 令()()axm x ln x 11x=+-+，即()m x 0≥恒成立， ()()()()22a 1x ax 1x 1a m x x 11x 1x +-+-=-=++'+， 令()m x 0'>，即x 1a 0+->，得x a 1>-.当a 10-≤，即a 1≤时，()m x 在[)0,∞+上单调递增，()()m x m 00≥=，所以当a 1≤时，()m x 0≥在[)0,∞+上恒成立；当a 10->，即a 1>时，()m x 在()a 1,∞-+上单调递增，在[]0,a 1-上单调递减， 所以()()()min m x m a 1m 00=-<=， 所以()m x 0≥不恒成立.综上所述：a 的取值范围为(],1∞-. （3）证明：由（1）知()2ln x 1x x +≥-，令1x n=，*n N ∈，(]x 0,1∈， 2n 1n 1ln n n +->，即()2n 1ln n 1lnn n-+->，故有ln2ln10->，1ln3ln24->， …()2n 1ln n 1lnn n -+->， 上述各式相加可得()212n 1ln n 149n-+>+++L . 因为()()22n 3n 2n 1n 10++-+=+>，2n 3n 2n 1++>+，()()2ln n 3n 2ln n 1++>+，所以()2212n 1ln n 3n 249n-++>+++L . 点评：本题考查导数与函数的最值，利用导数求解恒成立问题，利用导数证明不等式，分类讨论思想，分析求解能力，第三问关键是利用（1）令1x n=,裂项求和，是中档题。

2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x2﹣4x﹣3≤0的解集是（）A．（∞，−12]∪[32，+∞）B．[−12，32]C．（∞，−32]∪[12，+∞）D．[−32，12]2．命题“∀x∈（0，1），x2﹣x＜0”的否定是（）A．∃x0∉（0，1），x02−x0≥0B．∃x0∈（0，1），x02−x0≥0C．∀x0∉（0，1），x02−x0＜0D．∀x0∈（0，1），x02−x0≥03．在△ABC中，已知a＝5√2，c＝10，A＝30°，则B等于（）A．105°B．60°C．15°D．105°或15°4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，2S3＝2a4+S2，则a8＝（）A．8B．9C．16D．155．已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若sinCsinB＜cosA，则△ABC的形状为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形6．已知等比数列{a n}的前n项的乘积记为T n，若T2＝T9＝512，则T8＝（）A．1024B．2048C．4096D．81927．设m＝log0.30.6，n=12log20.6，则（）A．m﹣n＞m+n＞mn B．m﹣n＞mn＞m+n C．m+n＞m﹣n＞mn D．mn＞m﹣n＞m+n8．不等式组{x+y≥1，x−2y≤4表示的平面区域为D，则（）A．∀（x，y）∈D，x+2y≥2B．∀（x，y）∈D，x+2y≤2C．∃（x，y）∈D，x+2y≥﹣2D．∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣29．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．√32C ．12D ．110．“对任意正整数n ，不等式nlga ＜（n +l ）lga a （a ＞l ）都成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞311．已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n （n ∈N *），数列{1log 2a n log 2a n+1}的前n 项和为S n ，则S 1•S 2•S 3•…•S 10＝（ ） A ．110B ．111C ．211D ．1512．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，sin B +2sin C cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝2，cosA =13，则a ＝ ． 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且cos C =2√23，b cos A +a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为 ．15．已知变量x ，y 满足条件{x ≥1x −y ≤0x +2y −9≤0，若目标函数z ＝ax +y 仅在点（3，3）处取得最小值，则a 的取值范围是 ．16．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝S 3+2S 6，则S 6+1S 3取得最小值时，S 9的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝b −√32c ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若B =π6，AC ＝4，求BC 边上的中线AM 的长．18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式log2(x+1)−2≥m2−3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤(12)x−1成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=1a n+1+1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20．已知向量m→=（√3sinx，sinx），n→=（cos x，sin x），函数f（x）=m→⋅n→−12（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为满足b2＝ac，且f(B)=12，求1tanA+1tanC的值．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，asinA+bsinB−csinCsinBsinC=2√33a．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．22．设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和S n，满足S n=32(b n−1)且a2＝b1，a5＝b2．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设T n为数列{nS n}的前n项和，求T n．2019-2020学年河南省豫南九校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．不等式4x 2﹣4x ﹣3≤0的解集是（ ） A ．（∞，−12]∪[32，+∞）B ．[−12，32]C ．（∞，−32]∪[12，+∞）D ．[−32，12]【解答】解：解4x 2﹣4x ﹣3≤0得，−12≤x ≤32； ∴原不等式的解集是[−12，32]． 故选：B ．2．命题“∀x ∈（0，1），x 2﹣x ＜0”的否定是（ ） A ．∃x 0∉（0，1），x 02−x 0≥0 B ．∃x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0 C ．∀x 0∉（0，1），x 02−x 0＜0D ．∀x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“特称命题”，∴命题“∀x ∈（0，1），x 2﹣x ＜0”的否定是∃x 0∈（0，1），x 02−x 0≥0， 故选：B ．3．在△ABC 中，已知a ＝5√2，c ＝10，A ＝30°，则B 等于（ ） A ．105°B ．60°C ．15°D ．105°或15°【解答】解：∵知a ＝5√2，c ＝10，A ＝30° 根据正弦定理可知a sinA=c sinC∴sin C ═sinA⋅c a=√22 ∴C ＝45°或135° B ＝105° 或15° 故选：D ．4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，2S 3＝2a 4+S 2，则a 8＝（ ） A ．8B ．9C ．16D ．15【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1＝1，2S 3＝2a 4+S 2，得6+6d ＝4+7d ， 解得d ＝2，所以a 8＝a 1+7d ＝1+2×3＝15． 故选：D ．5．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，若sinC sinB＜cosA ，则△ABC 的形状为（ ） A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解答】解：∵由已知可得：sin C ＜sin B cos A ，∴可得：sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ＜sin B cos A ， 整理得：sin A cos B ＜0， ∵sin A ≠0， ∴cos B ＜0． ∵B ∈（0，π），∴B 为钝角，三角形ABC 为钝角三角形． 故选：A ．6．已知等比数列{a n }的前n 项的乘积记为T n ，若T 2＝T 9＝512，则T 8＝（ ） A ．1024B ．2048C ．4096D ．8192【解答】解：依题意，等比数列{a n }的前n 项的乘积记为T n ，T 2＝T 9＝512， 所以T 9T 2=1，即a 3•a 4•……•a 9＝1，所以a 67=1，即a 6=a 1q 5=1，又因为a 1a 2=a 12q =512，所以q 9=1512，即q =12， 所以a 1＝32，∴a 9=a 1⋅q 8=32×128=18． 所以T 8=T 9a 9=51218=4096．故选：C ．7．设m ＝log 0.30.6，n =12log 20.6，则（ ）A ．m ﹣n ＞m +n ＞mnB ．m ﹣n ＞mn ＞m +nC ．m +n ＞m ﹣n ＞mnD ．mn ＞m ﹣n ＞m +n【解答】解：m ＝log 0.30.6＞log 0.31＝0，n =12log 20.6＜12log 21＝0，则mn ＜0．1m+1n=log 0.60.3+log 0.64＝log 0.61.2＜log 0.60.6＝1，∴m +n ＞mn ． ∴m ﹣n ＞m +n ＞mn ． 故选：A ． 8．不等式组{x +y ≥1，x −2y ≤4表示的平面区域为D ，则（ ） A ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≥2 B ．∀（x ，y ）∈D ，x +2y ≤2 C ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≥﹣2D ．∃（x ，y ）∈D ，x +2y ≤﹣2【解答】解：根据题意，不等式组{x +y ≥1x −2y ≤4其表示的平面区域如图所示，其中A （2，﹣1）设Z ＝x +2y ，则y =−12x +Z 2，Z 的几何意义为直线Z ＝x +2y 在y 轴上的截距， 分析可得：当{x =2y =−1时，直线Z ＝x +2y 在y 轴上的截距最小，截距最小值为0，即Z ＝x +2y 取得最小值0，无最大值，即x +2y ≥0， 据此分析选项：ABD 错误；C 正确； 故选：C ．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，若a 2sin C ＝2sin A ，（a +c ）2＝6+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为（ ）A ．√3B ．√32C ．12D ．1【解答】解：因为：a 2sin C ＝2sin A ， 由正弦定理可得：a 2c ＝2a ，得ac ＝2， 则由（a +c ）2＝6+b 2，得a 2+c 2﹣b 2＝6﹣2ac ＝6﹣2×2＝2， 则S △ABC =√14[4−(22)2]=√32． 故选：B ．10．“对任意正整数n ，不等式nlga ＜（n +l ）lga a （a ＞l ）都成立”的一个必要不充分条件是（ ） A ．a ＞0B ．a ＞1C ．a ＞2D ．a ＞3【解答】解：对任意正整数n ，若不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立， 则nlga ＜a （n +1）lga （a ＞1）；lga ＞0；成立． 即：n ＜a （n +1）；a ＞nn+1=1−1n+1，对任意正整数n ，有a 要大于（1−1n+1）的最大值成立． （1−1n+1）的最大值设为x ，则n 趋近于无穷大正整数时，x 趋近于1， ∴a 大于趋近于1的数x ，即：a ＞x ＞0，x 趋近于1∴不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立能推出a ＞0，故a ＞0是不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）都成立的必要条件．若a ＞0时，不能推出a ＞x ＞0，x 趋近于1，故不能推出不等式nlga ＜（n +1）lga a （a ＞1）成立能；根据充分条件和必要条件的定义可选A 成立． 故选：A ． 11．已知数列{a n }满足2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n （n ∈N *），数列{1log 2a n log 2a n+1}的前n 项和为S n ，则S 1•S 2•S 3•…•S 10＝（ ） A ．110B ．111C ．211D ．15【解答】解：由2a 1+22a 2+…+2n a n ＝n ， 得2a 1＝1，即a 1=12；当n ≥2时，2a 1+22a 2+…+2n ﹣1a n ﹣1＝n ﹣1， ∴2n a n ＝1，即a n =12n （n ≥2）， 当n ＝1时，上式成立， ∴a n =12n ， 则1log 2a n log 2a n+1=1log 22⋅log 22=1n(n+1)=1n −1n+1．则S n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)=1−1n+1=n n+1． ∴S 1•S 2•S 3•…•S 10=12⋅23⋅34⋯1011=111． 故选：B ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，sin B +2sin C cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ．1B ．√3C ．2D ．4【解答】解：∵sin B +2sin C cos A ＝0， ∴sin （A +C ）+2sin C cos A ＝0， 即sin A cos C +cos A sin C +2sin C cos A ＝0， 即sin A cos C +3cos A sin C ＝0， 得a •b 2+a 2−c 22ab+3×b 2+c 2−a 22bc×c ＝0， 整理得2b 2＝a 2﹣c 2， ∵ac ＝4，∴a =4c， ∴b 2=16c 2−c 22=82−c 22， ∴cos B =a 2+c 2−b22ac=16c 2+c 2−(8c 2−c 22)8=8c 2+3c 228≥2√8c2×3c228=√32，当且仅当c 28=3c 22，即c 2=4√33，b 2=4√33，a 2＝4√3时取等号， ∴B ∈（0，π6]， ∴sin B ≤12，则△ABC面积的最大值为S=12ac sin B≤12×4×12=1，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，cosA=13，则a＝3．【解答】解：∵b＝3，c＝2，cosA=1 3，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得a2＝9+4﹣2×3×2×13=9，解得a＝3．故答案为：3．14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且cos C=2√23，b cos A+a cos B＝2，则△ABC的外接圆面积为9π．【解答】解：∵b cos A+a cos B＝2，∴由余弦定理可得：b×b2+c2−a22bc+a×a2+c2−b22ac=2，整理解得：c＝2，又∵cos C=2√23，可得：sin C=13，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R=csinC=213=6，可得：R＝3，∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝9π．故答案为：9π．15．已知变量x，y满足条件{x≥1x−y≤0x+2y−9≤0，若目标函数z＝ax+y仅在点（3，3）处取得最小值，则a的取值范围是a＜﹣1．【解答】解：条件{x≥1x−y≤0x+2y−9≤0对应的平面区域如图：因为目标函数z＝ax+y，仅在（3，3）处取得最小值所以目标函数z＝ax+y的位置应如图所示，故其斜率需满足k＝﹣a＞1⇒a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．16．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝S 3+2S 6，则S 6+1S 3取得最小值时，S 9的值为7√33． 【解答】解：依题意，因为S 9＝S 3+2S 6，所以q ≠1，所以a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+2a 1(1−q 6)1−q，即（q 3﹣2）（q 3﹣1）（q 3+1）＝0，因为数列{a n }为正项数列，所以q 3＝2．当S 6+1S 3取得最小值时，S 6•S 3＝1，即(a11−q )2⋅(1−q 6)(1−q 3)=1，所以a 11−q=−√33， 所以S 9=a 11−q (1−q 9)=−√33×(1−23)=7√33．故填：7√33． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ＝b −√32c ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若B =π6，AC ＝4，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（Ⅰ）∵a cos C ＝b −√32c ，由正弦定理可得sin A cos C ＝sin B −√32sin C ， ∵sin B ＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ， ∴cos A sin C =√32sin C ， ∵sin C ≠0， ∴cos A =√32，∴A =π6，（Ⅱ）由A ＝B =π6，则C =2π3， ∴BC ＝AC ＝4，AB ＝4√3， ∴AM ＝2，由余弦定理可得AM 2＝BM 2+AB 2﹣2BM •AB cos B ＝4+48﹣16√3•√32=28， ∴AM ＝2√7．18．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0，1]，不等式log 2(x +1)−2≥m 2−3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤(12)x −1成立． （1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围．【解答】解：（1）对任意x ∈[0，1]，不等式log 2(x +1)−2≥m 2−3m 恒成立， 当x ∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x ＝0时，y ＝log 2（x +1）﹣2的最小值为﹣2， ∴﹣2≥m 2﹣3m ，解得1≤m ≤2．因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1，2]．（2）存在x ∈[﹣1，1]，使得m ≤(12)x −1成立，∴m ≤[(12)x −1]max =1． 命题q 为真时，m ≤1．∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题． 当p 真q 假时，则{1≤m ≤2m ＞1解得1＜m ≤2；当p 假q 真时，{m ＜1或m ＞2m ≤1，即m ＜1．综上所述，m 的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]． 19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ﹣n ．（Ⅰ）证明数列{a n +1}是等比数列，求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记b n =1an+1+1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）证明：令n ＝1，得a 1＝2a 1﹣1，由此得a 1＝1． 由于S n ＝2a n ﹣n ，则S n +1＝2a n +1﹣（n +1）， 两式相减得S n +1﹣S n ＝2a n +1﹣（n +1）﹣2a n +n ， 即a n +1＝2a n +1．∴a n +1+1＝2a n +1+1＝2（a n +1），即a n+1+1a n+1=2，故数列{a n +1}是等比数列，其首项为a 1+1＝2， 故数列{a n +1}的通项公式是a n +1＝2•2n ﹣1＝2n ， 故数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n =1a n+1+1a n a n+1=a n +1a n a n+1=2n(2n −1)(2n+1−1)， =(2n+1−1)−(2n−1)(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1， 所以T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝（121−1−122−1）+（122−1−123−1）+…+（12n −1−12n+1−1，），=121−1−122−1+122−1−123−1+⋯+1n −12n+1−1， ＝1−12n+1−1，数列{b n }的前n 项和T n ＝1−12n+1−1．20．已知向量m →=（√3sinx ，sinx ），n →=（cos x ，sin x ），函数f （x ）=m →⋅n →−12（x ∈R ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的最大值和最小正周期；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为满足b 2＝ac ，且f(B)=12，求1tanA+1tanC的值．【解答】解：（I ）f （x ）=√3sin x cos x +sin 2x −12=√32sin2x −12cos2x ＝sin （2x −π6），∴f （x ）的最大值为1，最小正周期为T =2π2=π． （II ）∵f （B ）＝sin （2B −π6）=12，∴2B −π6=π6+2k π或2B −π6=5π6+2k π，k ∈Z ， 又B ∈（0，π）， ∴B =π6或B =π2．若B =π2，则b 2＝a 2+c 2＝ac ，与a 2+c 2≥2ac 矛盾． ∴B =π6，∵b 2＝ac ，∴sin A sin C ＝sin 2B =14，∴1tanA+1tanC=cosA sinA+cosC sinC=sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin(A+C)sinAsinC=sinB sin B=1sinB=2．21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，asinA+bsinB−csinC sinBsinC=2√33a ． （1）求角C ；（2）若△ABC 的中线CD 的长为1，求△ABC 的面积的最大值． 【解答】解：（1）∵asinA+bsinB−csinCsinBsinC=2√33a ，由正弦定理化简：a 2+b 2−c 2bsinC=2√33a由余弦定理得：cosC =a 2+b 2−c 22ab=√33sinC ， 即tanC =√3， ∵0＜C ＜π． ∴C =π3．（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝22+c 2＝4+c 2， 由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ，消去c 2得：4−ab =a 2+b 2≥2ab ，ab ≤43（当且仅当a ＝b 时，等号成立）， 即S △ABC =12absinC ≤12×43×√32=√33．22．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n ，满足S n =32(b n −1)且a 2＝b 1，a 5＝b 2． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设T n 为数列{nS n }的前n 项和，求T n ．【解答】解：（1）数列{b n }的前n 项和S n ，满足S n =32(b n −1)，① 当n ＝1时，解得b 1＝3，当n ≥2时，S n−1=32(b n−1−1)，② ①﹣②得b n ＝3b n ﹣1， 整理得b n b n−1=3（常数），所以数列{b n }是以3为首项3为公比的等比数列， 所以b n =3⋅3n−1=3n ．由于数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，且a 2＝b 1，a 5＝b 2． 则{a 1+d =3a 1+4d =9，解得{a 1=1d =2，所以a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1．（2）由于列{b n }的前n 项和S n ，所以S n =3(3n−1)3−1=32(3n −1)．则nS n =32⋅n ⋅3n −32⋅n ． 设c n =n ⋅3n ，所以K n =1⋅31+2⋅32+⋯+n ⋅3n ①， 3K n =1⋅32+2⋅32+⋯+n ⋅3n+1②， ①﹣②整理得K n =(3n 2−34)⋅3n +32． 所以T n =32(3n 2−34)⋅3n +94−32⋅n(n+1)2， =n 4⋅3n+2−3n+28+94−3n 2+3n4．。

2019-2020学年河南省豫西名校高二（上）第一次联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在等比数列{a n}中，a7=2a5+a6，则公比q等于()A. 1B. −1C. 2D. 2或−12.在△ABC中，已知B=45°，c=2√2，b=4，则角C=()A. 60°B. 30°C. 30°或150°D. 150°3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且3a11−a12=5，则S20=()A. 20B. 10C. 4D. 504.在等比数列{a n}中，a1，a4是方程x2−2x−3=0的两根，则a2⋅a3=()A. 2B. −2C. 3D. −35.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S672=2,S1344=12，则S2016=()A. 22B. 26C. 30D. 346.在△ABC中，若(a+b+c)(b+c−a)=3bc，则∠A等于()A. π3B. π6C. 2π3D. π3或2π37.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≤4，S5=15，则a2的最大值是()A. 2B. 1C. 0D. −18.已知A，B两岛相距100km，B在A的北偏东30∘，甲船自A以40km/ℎ的速度向B航行，同时乙船自B以30km/ℎ的速度沿方位角150∘(即东偏南60∘)方向航行，当两船之间的距离最小时，两船合计航行距离()．A. 等于√657km B. 小于100km C. 大于100km D. 等于100km9.在△ABC中，已知sinBsinC=cos2A2，则三角形△ABC的形状是()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形10.设S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，若S nT n =n2n+1(n∈N∗)，则a5b6=()A. 513B. 919C. 1123D. 92311.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=(b+c)2，则cos A等于()A. 45B. −45C. 1517D. −151712.三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知sin(2A+π6)=12，b=1，S△ABC=√32，则b+csinB+sinC=______ ．A. −1B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列{a n}中，a 1>0，S 4=S 9，则S n取最大值时，n=________．14.在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ΔABC的面积为3√15，b−c=2，cosA=−14则的值为．15.等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则1S1+1S2+1 S3+⋯+1S2016=______ ．16.如图，四边形ABCD中，B=C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积等于_______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2⋅a3=40．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(Ⅱ)若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．18.△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2−c2=2b，且sinB=4cosAsinC，求b．19.等比数列{a n}的前n项和S n，已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列．(1)求数列{a n}的公比q和通项a n；(2)若{a n}是递增数列，令b n=log2a n+1128，求|b1|+|b2|+⋯|b n|.)+2cos2x.20.设函数f(x)=sin(2x−π6]时，求函数f(x)的值域；(Ⅰ)当x∈[0,π2(Ⅱ)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=3，a=√6，b=2，求△ABC的2面积．21.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．422.在锐角三角形ABC中，√3a=2bsinA．(1)求角B的大小；(2)若b=√3，求a+c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式解出即可．本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．【解答】：设等比数列{a n}的公比为q，由a7=2a5+a6，得q2−q−2=0，解得q=2或q=−1．故选：D．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用正弦定理可求sin C的值，利用大边对大角，特殊角的三角函数值可求C的值．【解答】解：∵B=45°，c=2√2，b=4，∴由正弦定理bsinB =csinC，可得：sinC=c⋅sinBb=2√2×√224=12，∵c<b，可得C<45°，∴C=30°．故选：B．3.答案：D解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，属于基础题．由3a11−a12=5化简得2a1+19d=5，再根据等差数列的前n项和公式求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由3a11−a12=5得3(a1+10d)−(a1+11d)=5，即2a1+19d=5，所以S20=20a1+20×192d=10(2a1+19d)=50.故选D．4.答案：D解析：解：∵a1，a4是方程x2−2x−3=0的两根，∴由韦达定理可得a1a4=−3，又∵{a n}是等比数列，∴a1a4=a2a3=−3故选：D．由韦达定理和等比数列的性质易得答案．本题考查等比数列的性质和韦达定理，属基础题．5.答案：C解析：【分析】由等差数列的性质得S672，S1344−S672，S2016−S1344成等差数列，由此能求出S2016．本题考查等差数列的前2016项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，S672=2，S1344=12，由等差数列的性质得S672，S1344−S672，S2016−S1344成等差数列，得到：2×10=2+S2016−12，解得S2016=30．故选：C．6.答案：A解析：解：∵(a+b+c)(b+c−a)=3bc，∴(b+c)2−a2=3bc，化为：b2+c2−a2=bc．∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12.A∈(0,π)．∴∠A=π3．故选：A．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理、三角函数的单调性与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：D解析：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S4≤4，S5=15，∴{4a1+4×32d≤45a1+5×42d=15，即{a1+32d≤1a1+2d=3，得a1=3−2d，3−2d+32d≤1，即d≥4，−d≤−4，则a2=a1+d=3−2d+d=3−d≤3+(−4)=3−4=−1，即a2最大值是−1，故选：D．根据条件利用削元法转化为关于d的不等式，进行求解即可．本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，利用消元法进行转化是解决本题的关键．8.答案：C解析：【分析】本题考查余弦定理在解三角形中的实际运用，属于中档题．先由题意得到两船航行方向所在直线的夹角为60∘，设航行时间为t小时，此时两船之间的距离为skm，根据题中条件，结合余弦定理，即可求出结果．【解答】解：由题意得，两船航行方向所在直线的夹角为60∘，设航行时间为t小时，此时两船之间的距离为skm，则甲船到B的距离为(100−40t)km，乙船离B的距离为30tkm，由余弦定理可得：，因此，当t=5537时，s2取得最小值，即s取得最小值；此时两船合计航行距离为40t+30t=385037>100km．故选C．9.答案：B解析：解：sinBsinC=cos2A2=cosA+12，∴2sinBsinC=−cosBcosC+sinBsinC+1，∴cosBcosC +sinBsinC =cos(B −C)=1， ∵−π<B −C <π， ∴B −C =0，B =C ， ∴三角形为等腰三角形． 故选：B ．利用倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性即可得出．本题考查了倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：D解析：解：由题意得，S nT n=n2n+1，S n 、T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，所以不妨设S n =n 2，T n =n(2n +1)，所以a 5=S 5−S 4=25−16=9，b 6=T 6−T 5=6×13−5×11=23，则a 5b 6=923， 故选：D ．根据等差数列的前n 项和的特点和S nT n=n2n+1，不妨设S n =n 2，T n =n(2n +1)，分别求出a 5和b 6，再求出a 5b 6．本题考查等差数列的前n 项和公式的灵活运用，以及数列的前n 项和与数列中项的关系，属于中档题．11.答案：D解析：解：∵S +a 2=(b +c)2， ∴S =b 2+c 2−a 2+2bc ， ∴12bcsinA =2bccosA +2bc ， 化为sinA −4cosA =4， 与sin 2A +cos 2A =1． 解得cosA =−1517或cosA =−1． cosA =−1舍去． ∴cosA =−1517． 故选：D ．由S +a 2=(b +c)2，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：12bcsinA =2bccosA +2bc ，化为sinA −4cosA =4，与sin 2A +cos 2A =1.解出即可．本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：∵0<A<π，∴π6<2A+π6<13π6，∵sin(2A+π6)=12，∴2A+π6=5π6，即A=π3，∵S△ABC=12⋅b⋅c⋅sinA=12⋅1⋅c⋅√32=√32，∴c=2，∴a=√b2+c2−2bccosA=√1+4−2×1×2×12=√3，∴2R=asinA =√3√32=2，∵b+csinB+sinC =2RsinB+2RsinCsinB+sinC=2R=2．故选C．利用sin(2A+π6)的值，求得A，然后利用三角形面积公式求得c，进而通过余弦定理求得a，最后利用正弦定理求得三角形外接圆半径，通过正弦定理可求得b+csinB+sinC恰等于外接圆半径．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．在解决解三角形问题时，常用正、余弦定理进行边角问题的转化．13.答案：6或7解析：【分析】本题考查等差数列的前n项和取最大值时的项数的求法，由已知条件推导出a1=−6d，d<0.由此利用等差数列的前n项和公式和配方法能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a1>0，S4=S9，∴4a1+4×32d=9a1+9×82d，∴a1=−6d，∴d<0，∵S n=na1+n(n−1)2d=−6dn+n2−n2d=d2(n−132)2−169d8，∴当n=6或7时，S n取最大值．故答案为6或7．14.答案：8解析：【分析】本题主要考查面积公式及余弦定理、同角三角函数关系的应用，要求熟练掌握两个定理以及三角形面积公式的计算．【解答】解：在三角形中，由cosA=−14，得sinA=√154，又s=3√15，即12bcsinA=3√15，得bc=24，又b−c=2，解得b=6，c=4，故a2=b2+c2−2bccosA=64．得a=8．故答案为8．15.答案：20162017解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴{a1+4d=105a1+5×42d=30，解得a1=d=2．∴S n=2n+n(n−1)2×2=n(n+1)，∴1S n =1n(n+1)=1n−1n+1．则1S1+1S2+1S3+⋯+1S2016=(1−12)+(12−13)+⋯+(12016−12017)=1−12017=20162017．故答案为：20162017．设等差数列{a n}的公差为d，由a5=10，S5=30，可得{a1+4d=105a1+5×42d=30，解得a1，d.可得S n，再利用“裂项求和”方法即可得出．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：5√3解析：【分析】本题主要考查余弦定理，三角形的面积公式．由已知利用余弦定理可求BD，进而利用三角形面积公式可求S△ABD和S△BCD，从而求得四边形的面积．【解答】解：∵∠ABC=∠C=120°，AB=4，BC=CD=2，∴在△BCD中，BD=√BC2+CD2−2BC·CD·cosC=√4+4−2×2×2×(−12)=2√3，∴S△ABD=12AB⋅BD⋅sin(120°−30°)=12×4×2√3=4√3，S△BCD=12BC·CD·sin120°=12×2×2×√32=√3，∴四边形的面积S=S△ABD+S△BCD=4√3+√3=5√3．故答案为5√3．17.答案：解：(I)设{a n}的公差为d，则a2=2+d，a3=2+2d，∴(2+d)(2+2d)=40，解得：d=3或d=−6．∵{a n}为递减数列，∴d=−6．∴a n=2−6(n−1)=8−6n，S n =a 1+a n2⋅n =−3n 2+5n ．(II)由(I)可知a 2=−4，a 4=−16． 设等比数列{b n }的公比为q ，则{b 1q =−4b 1q 3=−16，解得{b 1=−2q =2或{b 1=2q =−2．∵{b n }为递减数列，∴{b 1=−2q =2．∴b n =−2⋅2n−1=−2n ．解析：(I)格局等差数列的通项公式列方程组解出公差，得出通项公式，代入求和公式计算S n ； (II)根据等比数列的通项公式列方程组解出首项和公比即可得出通项公式． 本题考查了等差数列，等比数列的通项公式，求和公式，属于中档题．18.答案：解：由sinB =4cosAsinC ，利用正弦定理和余弦定理可得：b =4(b 2+c 2−a 2)2bc×c ，化为b 2=2(b 2+c 2−a 2)，∵a 2−c 2=2b ，∴b 2=2(b 2−2b)，化为b 2−4b =0， ∵b >0，解得b =4．解析：由sinB =4cosAsinC ，利用正弦定理和余弦定理可化为b 2=2(b 2+c 2−a 2)，把a 2−c 2=2b 代入即可得出．本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．19.答案：解：(1)由已知条件得{6a 2=a 1+3+a 3+4a 1+a 2+a 3=7，即{6a 2=a2q+a 2q +7a 2(1q +q +1)=7， 解得：{a 2=2q =2或{a 2=2q =12． ∴{q =2a n =2n−1或{q =12a n=23−n； (2)若{a n }是递增数列，则a n =2n−1，a n+1=2n ， ∴b n =log 22n128=n −7．记{b n }的前n 项和为T n =1+2+3+⋯+n −7n =n(n−13)2，则有当1≤n ≤7时，|b 1|+|b 2|+⋯|b n |=−T n ； 当n >7时，|b 1|+|b 2|+⋯|b n |=T n −2S 7=n(n−13)2+42．∴|b 1|+|b 2|+⋯|b n |={n(13−n)2,1≤n ≤7n(n−13)2,n >7．解析：(1)由题意列关于a 2和公比q 的方程组，求解后可得数列{a n }的公比q 和通项a n ； (2)由{a n }是递增数列可得{a n }的通项公式，代入b n =log 2a n+1128求得b n ，然后对n 分类求得|b 1|+|b 2|+⋯|b n |.本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的性质，考查等差数列前n 项和的求法，正确分类是解答该题的关键，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)f(x)=√32sin 2x +12cos 2x +1 =sin (2x +π6)+1，∵x ∈[0,π2]，∴π6⩽2x +π6⩽7π6，，∴函数f(x)的值域为[12,2]； (Ⅱ，，∵0<A <π，∴π6<2A +π6<13π6，∴2A +π6=5π6，即A =π3; 由余弦定理，，∴6=4+c 2−2c ，即c 2−2c −2=0， 又c >0， ∴c =1+√3， ∴S △ABC =12bcsin A =3+√32．解析：本题考查两角差的正弦函数公式，二倍角公式，辅助角公式，以及函数y =Asin (ωx +φ)的图象与性质，考查余弦定理及三角形面积公式，属于中档题． (Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换应用可求得，利用x ∈[0,π2]，可求得π6⩽2x +π6⩽7π6，从而可求得f(x)的取值范围；(Ⅱ)依题意可求得，可知A =π3，a =√6，b =2，利用余弦定理可求得c =1+√3，继而利用三角形面积公式得答案．21.答案：解：(Ⅰ)由已知得cos2B +cosB =0，可得2cos 2B +cosB −1=0，即(2cosB −1)(cosB +1)=0，解得cosB =12或cosB =−1． 因为0<B <π，故cosB =12，所以，B =π3． (Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ， 而△ABC 的面积为12acsinB =3√34， 将a =3c 和B =π3代入上式，得出c =1，且a =3， 再由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ， 解得b =√7．解析：(Ⅰ)由条件可得2cos 2B +cosB −1=0，求得cos B 的值，可得B 的值． (Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，再根据△ABC 的面积为12acsinB =3√34求得a 、c 的值，再由余弦定理求得b 的值．本题主要考查二倍角公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．22.答案：解：(1)∵在锐角三角形ABC 中，√3a =2bsinA ，∴√3sinA =2sinB ·sinA ， ∵A ∈(0,π2)，∴sinA ≠0， ∴sinB =√32， ∵B ∈(0,π2)， ∴B =π3． (2)∵b =√3， ∴a sinA=c sinC=b sinB=√3√32=2，∴a =2sinA ，C =2sinC ， ∴a +c =2sinA +2sinB ， =2sinA +2sin (2π3−A)， =2sinA +√3cosA +sinA ， =3sinA +√3cosA ， =2√3sin (A +π3)， ∵A ∈(0,π2)， ∴A +π3∈(π3,5π6)，∴12<sin(A+π3)≤1，∴√3<a+c≤2√3．解析：本题主要考查正弦定理和利用三角恒等变换求值域．(1)直接利用正弦定理，得√3sinA=2sinB·sinA即可求出结果．(2)根据正弦定理得出∴a=2sinA，C=2sinC，再由三角恒等变换即可求出结果．。

绝密★启用前2019~2020学年高二年级阶段性测试(四)数学(理科)考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2},{31}M x x N x x =>-=-<-∣∣，则如图所示的Venn 图中的阴影部分表示的集合为（ ）A.[)3,2-B.(]3,2--C.[)3,2--D.(]3,2-2.若复数z 满足()2i i z +=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设:1ln 0,:e 1x p x q -<<>，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22()b c a bc --=-，则()sin B C +=（ ）A.1B.2 C.12 D.2-5.e1e11e ,,ln e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系为（ ）A.e 1e 11e ln e e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．B.e1e 11ln e e e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C.e 1e 11ln e e e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D.e1e 11e ln e e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭6.已知函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象上相邻的最高点和最低点间的距离为4，则ω=（ ） A.π B.2π C.12 D.17.设随机变量ξ服从正态分布()24,N σ，且()260.6827P ξ=，则(6)P ξ>=（ ）A.0.34135B.0.3173C.0.15865D.0.1585 8.函数()ln e exxx f x -=-的大致图象是（ ）A. B.C. D.9.已知椭圆221(04)54x y p p p+=<<--的右焦点与拋物线22y px =的焦点重合，直线)1y x =-交抛物线22y px =于,A B 两点，则AB =（ ） A.92 B.5 C.112D.9 10.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意12,x x ，均有|()()1212f x f x k x x --∣成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.若函数())5f x x =满足利普希茨条件，则常数k 的最小值为（ ）A.1B.12C.15D.11011.已知矩形ABCD 中，P 为AB 的中点，22AB BC ==，如图，将APD 沿DP 翻折到VPD 的位置，设Q 为VC 的中点，在翻折过程中，下列命题正确的是（ ）①存在某个位置，能使PD VC ⊥； ①无论如何翻折，都有//BQ 平面DVP ；③三棱锥V PCD - A.①② B.③ C.①②③ D.②③12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为点12,,F F P 为第一象限内一点(不在双曲线C上)，满足2F P a =，且112F P F F =，若线段2F P 与双曲线C 交于点Q ，且225F P F Q=，则ba=（ ）A.5 B.12 C.14 D.3二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第4项的系数是__________.(用数字填写答案) 14.已知向量,AB AC 的夹角为120,24,AB AC AP AB BC λ===+.若AP BC ⊥，则实数λ=__________.15.绿色环保，垃圾分类在行动，为了倡导对生活垃圾进行分类，某小区对垃圾分类后处理垃圾x (千克)所需的费用y (角)的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y 关于x 的线性回归方程为0.70.5ˆ3yx =+则下列说法正确的是__________.(写出所有正确命题的序号)①变量之间呈正相关关系； ① 4.5m =；①可以预测当10x =时y 的值为7.35； ①由表格中数据知样本中心点为()4.5,4.5.16.已知焦点在x 轴上的椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，直线l 过2F 且和椭圆C 交于,A B 两点，11213,5AF AF F BF =与12BF F 的面积之比为3:1，则椭圆C 的离心率为.__________. 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分. 17.(12分)已知在数列{}n a 中，有(1222nn n a a n --=且)*1, 2.2nn n a n a b ∈==N . （1）求n b ；（2）设11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若78n T <，求正整数n 的最大值.18.(12分)如图所示，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60,,ABC AC BD O PO ∠=⋂=⊥平面ABCD，且,PO E F =分别为棱,PA PB 的中点.（1）证明：//EF 平面PCD ；（2）求直线PC 与平面EFCD 所成角的正弦值. 19.(12分)已知动圆M 经过点()2,0P ，且与直线:2l x =-相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；（2）已知,A B 是(I )中的轨迹上的两个动点，O 为坐标原点，且直线OA 与OB 的斜率之积为3-，求证：直线AB 恒过定点，并求出定点的坐标. 20.(12分)已知函数()()ln f x x ax a =+∈R . （1）当1a =-时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在()20,e 上有两个不同的零点，求a 的取值范围.21.(12分)景泰蓝是中国著名特种金属工艺品之一，到明代景泰年间这种工艺制作技术达到了巅峰，制作出的工艺品最为精美，故后人称这种金属器为“景泰蓝”，其制作过程中有“指丝”这一环节，现从某景泰蓝指丝车间中随机抽取100名员工，对他们4月份完成合格品的件数进行统计，得到如下统计表：（1）若月完成合格品的件数超过18件，则该员工被授予“工艺标兵”称号，由以上统计表填写下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为4月份是否为“工艺标兵”与性别有关；（1）为提高员工的工作积极性，该车间实行计件工资制：月完成合格品的件数在12件以内(包括12件)时，每件支付员工200元，当月完成合格品的件数超过12时，超出的部分，每件支付员工230元，将4月份各段对应的频率视为相应的概率，在该车间男员工中随机抽取2人，女员工中随机抽取1人进行4月份工资调查，设这3人中4月份计件工资超过3320元的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：)20k0.102.706(二)选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，直线1l 的方程为0x =，圆C 的方程为22(1)(2)5x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线1l 与圆C 的极坐标方程； （2）若直线2l 的极坐标方程为()1,6l πθρ=∈R 与C 的交点为2,,O A l 与C 的交点为,O B ，求OAB 的面积23.[选修4-5：不等式选讲](10分) 已知()32f x x =+.（1）设不等式()()0f x a a 的解集为A ，且51,33A ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围；（2）若不等式()2f xm x 恒成立，求实数m 的最大值.2019-2020学年高二年级阶段性测试(四)数学(理科)·答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.【答案】B【命题意图】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养. 【解析】阴影部分表示{}R{31}2{32}N M x x x x x x ⋂=-<-⋂-=-<-∣∣∣.2.【答案】C【命题意图】本题考查复数的运算及几何意义，考查运算求解的核心素养. 【解析】由题可知()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55z ---===--++-，所以z 对应的点在第三象限. 3.【答案】A【命题意图】本题考查指､对函数与不等式，充分性与必要性的判定，考查数学运算与逻辑推理的核心素养. 【解析】1:1ln 01,:e 10e x p x x q x -<<⇒<<>⇒>，因为11{0}e x x xx ⎧⎫<<⊆>⎨⎬⎩⎭∣，所以p 是q 的充分不必要条件. 4.【答案】B【命题意图】本题考查余弦定理与三角恒等变换，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.【解析】222222221(),,cos 222b c a bc b c a bc b c a bc A bc bc +---=-∴+-=∴===，又0,23A A ππ<<∴=.(),sin sin A B C B C A π++=∴+==5.【答案】C【命题意图】本题考查指数式､对数式的大小比较，考查逻辑推理等核心素养.【解析】因为e111e 1,01,ln 1e e e⎛⎫><<=- ⎪⎝⎭，所以e1e 11ln e e e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.6.【答案】B【命题意图】本题考查三角函数的图象及性质，考查数学运算与逻辑推理等数学素养.【解析】函数()f x 的图象上相邻的最高点和最低点间的距离为2224,42T ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即221216πω+=，求得2πω=.7.【答案】C【命题意图】本题考查正态分布，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.【解析】因为ξ服从正态分布()24,N σ，所以()()1146260.68270.3413522P P ξξ==⨯=，所以()(6)0.5460.50.341350.15865.P P ξξ>=-=-=8.【答案】D【命题意图】本题考查函数的图象与性质，考查数学直观想象的核心素养.【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以排除选项C ；因为()10f =，所以排除选项B;因为当()0,1x ∈时，()f x <0，所以排除选项A.故选D.9.【答案】A【命题意图】本题考查椭圆､抛物线的定义及其几何性质，考查数学运算､逻辑推理的核心素养. 【解析】椭圆的右焦点为()1,0，抛物线的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12p =，解得2p =，所以抛物线的方程为2y =4x .设()()1122,,,A x y B x y ，将直线AB 的方程)1y x =-，代入抛物线方程可得22520x x -+=，所以1252x x +=，所以12592222AB x x =++=+=. 10.【答案】D【命题意图】本题考查数学文化，考查数学运算与逻辑推理的核心素养. 【解析】由已知可得对定义域[)5,∞+内的任意12,x x ，均有()()1212f x f x k x x --成立.当12x x =时，k 为任意实数，当12x x ≠时，不妨设12x x >，则()1122020x kx +=+，而0<110<=，所以k 的最小值为11011.【答案】D【命题意图】本题考查空间中线面关系，考查逻辑推理与直观想象的核心素养.【解析】假设PD VC ⊥，由题意知PD PC ⊥，又VC PC C ⋂=，所以PD ⊥平面PCV ，所以PD VP ⊥，与VP VD ⊥相矛盾，故①错误；如图，取DC 的中点E ，连接,EQEB ，易知平面//EQB 平面DVP ，所以//BQ 平面DVP ，故①正确；当平面DVP ⊥平面ABCD 时，三棱锥V PCD -的体积最大，此时点V 到平面ABCD 的距离为2()max11123226V PCD V -=⨯⨯⨯⨯=三棱维，故①正确.故选D.12.【答案】B【命题意图】本题考查双曲线的定义及性质，考查直观想象､逻辑推理等数学素养. 【解析】设双曲线C 的半焦距为c .由题可知1122F P F F c ==.在12FPF 中，22212(2)(2)cos .224a c c aF F P a c c∠+-==⨯⨯连接1FQ ，由题可知25a F Q =，由双曲线的定义可得122QF QF a -=，故12QF a =+11.55a a=在12FQF 中，由余弦定理得22222212*********(2)55cos 24225a a c F F F Q FQ a F F Q a F F F Q c c ∠⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===⋅⨯⨯，整理可得2245c a =，所以2222251144b c a a a -==-=，故12b a =. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】35-【命题意图】本题考查二项式定理，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.【解析】71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第4项是3373471C 35T x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故第4项的系数是35-. 14.【答案】57【命题意图】本题考查向量的运算，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.【解析】()(),1BC AC AB AP AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=-=+=+-=-+，因为AP BC ⊥，所以AP BC ⋅=()()()()()()22112141216140AB AC AC AB AB AC AB AC λλλλλλλλ⎡⎤-+-=-⋅--+=----+=⎣⎦解得57λ=.15.【答案】①②③【命题意图】本题考查线性回归，考查数据处理与数学运算的核心素养.【解析】因为ˆ0.70.35yx =+，易知变量,x y 之间呈正相关关系，代入10x =，得ˆ7.35y =，线性回归直线一定经过样本中心点，将34564.54x +++==代入ˆ0.70.35yx =+得ˆ 3.5y =，由样本中心点的纵坐标可求得m =4.5，故①①①正确. 16.【命题意图】本题考查椭圆的定义和离心率.【解析】设椭圆C 的半焦距为1,3c AF x =，则12121225.23,25.AF F BF F S BF x AF a x BF a x S=∴=-=-=2222122112233,3,3,3,,4,||25AF a x a x AF xAF BF x AB x AF ABBF BF a x-=∴=∴=∴====∴+=-，12AF F ∴为等腰直角三角形，c c a ∴=∴=三､解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17，【命题意图】本题考查等差数列以及数列求和问题，考查数学运算､逻辑推理的核心素养. 【解析】（1）(1222n n n a a n --=且*n ∈N )，11122n n n n a a --∴-= {}n b ∴是以1为首项，1为公差的等差数列， ()11.n b n n ∴=+-=（2）由（1）可得()1111111n n b b n n n n +==-++， 1111111122311n T n n n ⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪++⎝⎭ 由78n T <，可得17118n -<+，解得7n <， 故正整数n 的最大值为6..18.【命题意图】本题考查空间的平行关系的证明及求空间角，考查数学运算､逻辑推理､直观想象等核心素养. （1）因为,E F 分别为棱,PA PB 的中点， 所以//EF AB ，又//AB CD ，所以//EF CD . 又EF ⊄平面,PCD CD ⊂平面PCD ， 所以//EF 平面PCD .（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，所以,,OB OCOP 两两相互垂直. 如图，分别以,,OB OC OP 的方向为,,x yz 轴的正方向建立空间直角坐标系，则)()(()()1,0,1,0,0,0,,,0,1,0,0,,2BC PD AEF ⎛--⎝⎝.所以()(33,1,0,,1,3,0,1,2CD CF CP ⎛⎫=--=-=- ⎪⎪⎝.设平面EFCD 的法向量为()000,,n x y z =，则()()()000000,,1,00,0,0,,,0,x y z n CD n CF x y z ⎧⎧⋅-=⎪⎪⋅=⎪⎪⎨⎨⋅=⋅-=⎪⎪⎪⎪⎝⎩⎩即得000000,20,y y ⎧-=⎪-+=令000312x y z =⇒==-，得31,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以(31,0,1,cos ,n CP ⎛⎫-⋅- ⎪==. 所以直线PC 与平面EFCD 所成角的正弦值为65. 19，【命题意图】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理､数学抽象､数学运算等核心素养.【解析】（1）设点(),,M x y M 与直线:2l x =-的切点为N ，则MP MN =，即动点M 到定点P 和定直线:2l x =-的距离相等， ∴点M 的轨迹是抛物线，且以()2,0P 为焦点，以直线:2l x =-为准线.2,42p p ∴=∴=，故动圆圆心M 的轨迹方程是28y x = （2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为x my b =+，由题意可知0b ≠，把直线AB 的方程代入（1）中的轨迹方程可得2880y my b --=所以12128,8y y m y y b +==-，()()()2222221212121288x x my b my b m y y mb y y b m b m b b b =++=+++=-++=又因为直线OA 与OB 的斜率之积为3-，所以12123y y x x ⨯=-，即121230y y x x +=， 所以2830b b -+=，解得8.3b = 所以直线AB 的方程为83x my =+，所以直线AB 恒过定点8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭ 20.【命题意图】本题考查导数的综合应用，考查逻辑推理､数学运算等核心素养. 【解析】（1）当1a =-时，()111,0x f x x x x -=-=>'. 由()0f x '=，得1x =.当()0,1x ∈时()(),0,f x f x >'在()0,1上单调递增，当()1,x ∞∈+时()(),0,f x f x <'在()1,∞+上单调递减，()f x ∴只有极大值，无极小值，且()()1 1.f x f ==-极大值（2）()11(0)ax f x a x x x +'=+=>. 当0a 时，()10ax f x x+'=>， ∴函数()ln f x x ax =+在()0,∞+上单调递增，从而()f x 至多有一个零点，不符合题意.当0a <时，()1(0)a x a f x x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=>， ()f x ∴在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减 由11ln 10f a a ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得10e a -<<. 由()22e 2e 0f a =+<得22e a <-. 当212e ea -<<-时，()10f a =<， 满足()f x 在()20,e 上有两个不同的零点. a ∴的取值范围是212,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 21.【命题意图】本题考查独立性检验､离散型随机变量的分布列和数学期望，考查数据处理､数学运算等核心素养.【解析】（1）由统计表可得22⨯列联表如下：22100(488422)4 3.84150509010K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有95%的把握认为4月份是否为“工艺标兵”与性别有关.（2）若员工4月份的计件工资超过3320元，则4月份完成合格品的件数需超过16.由统计表数据可得，男员工4月份的计件工资超过3320元的概率125P =，女员工4月份的计件工资超过3320元的概率212P =. 设随机抽取的2名男员工中4月份的计件工资超过3320元的人数为X ，随机抽取的女员工4月份的计件工资超过3320元的人数为Y .由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，()()()202319000C 5250P P X P Y ξ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭()()()()()21022321312111001C C 5525250P P X P Y P X P Y ξ⎛⎫====+===⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 22122213218(2)(2)(0)(1)(1)C C 5255225P P X P Y P X P Y ξ⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ()()()222212321C 5225P P X P Y ξ⎛⎫=====⨯⨯= ⎪⎝⎭ 所以随机变量ξ的分布列为()12350252510E ξ=⨯+⨯+⨯= 22.【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，直线与圆的位置关系，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1l 的极坐标方程为cos 0ρθ=，即()2πθρ=∈R ，.圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 0ρρθρθ--=，即2cos 4sin 0.ρθθ--=.（2）将2πθ=代入2cos 4sin 0ρθθ--=，解得14ρ=. 将6πθ=代入2cos 4sin 0ρθθ--=，解得22ρ=. 故OAB的面积为(142sin 323π⨯⨯⨯=+ 23.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法，通过不等式恒成立求参数的取值范围，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.（1）由()f x a 可得32x a +， 即32a x a -+，解得()220.33a a x a --- 因为51,33A ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦， 所以25,3321,33a a --⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩解得0 3.a （2）()2f x m x 恒成立，即232x m x +恒成立. 当0x =时，;m ∈R当0x ≠时，23223x m x x x+=+. 因为2326x x+(当且仅当23x x =，即3x =时等号成立) 所以26m ，所以m 的最大值是。

2019-2020学年河南省豫西名校高二上学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） A ．若21x ≥，则1x ≥或1x ≤- B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >或1x <-，则21x > D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥【答案】D【解析】直接利用逆否命题的定义解答即可. 【详解】根据逆否命题的定义得，命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是“若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥” 故选：D 【点睛】本题主要考查逆否命题的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知集合()(){}{}1021A x mx x n x x =++>=-≤<，则n m -等于（ ） A ．3 B ．1C ．1-D ．3-【答案】A【解析】求出,m n 的值，即得解. 【详解】由题意知2x =-、1x =是方程()()10mx x n ++=的两根， 代入解得1m =-，2n =. 所以3n m -=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知点(),P x y 10=，点P 的轨迹是（ ） A ．圆B ．线段C ．椭圆D ．射线【答案】B【解析】等价于点(),P x y 到()1,1A -、()5,7B -两点距离的和为10，由|AB|=10即得解. 【详解】方程表示点(),P x y 到()1,1A -、()5,7B -两点距离的和为10，因为10AB ==, 所以点P 的轨迹是线段AB ． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查动点的轨迹和两点间的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( ) A ．红豆生南国 B ．春来发几枝 C ．愿君多采撷 D ．此物最相思 【答案】A【解析】利用命题的定义即可判断出答案． 【详解】由命题的定义可知：“红豆生南国”这一句可以判断红豆生在什么地方，因此可以作为一个命题． 故选：A ． 【点睛】正确理解命题的定义是解题的关键．5．已知椭圆22143x y +=，直线l ：0x my m +-=（m R ∈），直线l 与椭圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】C【解析】由题得直线过定点（0，1），而该定点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交. 【详解】由题意知l ：0x my m +-=（m R ∈）恒过点()0,1，因为2211043+<，所以点（0,1）在椭圆内部，所以直线l 与椭圆相交． 故选：C 【点睛】本题主要考查点和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由正弦定理得，所以“”是“”的充要条件，选C.7．已知点P 是椭圆22184x y +=上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若12F PF ∆为直角三角形，则满足条件的点P 个数共有（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】当122F PF π∠=时有两个，当122PF F π∠=或212PF F π∠=时，有4个．即得解. 【详解】当点P 在短轴顶点时，由于2b c ==，122F PF π∠=,此时满足已知的有两个；当122PF F π∠=或212PF F π∠=时，有4个．所以满足条件的点P 个数共有6个． 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若2a b +≥．则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是一个真命题B ．命题“负数的平方是正数”是特称命题C ．命题“设a ，b R ∈，若9a b +≠，则4a ≠或5b ≠”是一个真命题D ．常数数列既是等差数列也是等比数列 【答案】C【解析】对每一个命题逐一分析判断得解. 【详解】A. 命题“若2a b +≥．则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是“a ，b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”是一个假命题，如11,,2a b ==但是322a b +=<. B. 命题“负数的平方是正数”是一个全称命题，因为它表示“任意一个负数的平方是正数”.所以该命题是假命题.C. 命题“设a ，b R ∈，若9a b +≠，则4a ≠或5b ≠”的逆否命题是“4a = 且=5b ，则9a b +=” ，由于其逆否命题是真命题，所以原命题是真命题.D. 常数数列既是等差数列也是等比数列,是假命题，如常数列的常数为0,则不是等比数列. 故选：C 【点睛】本题主要考查四种命题及其关系，考查全称命题和特称命题，考查等差数列和等比数列的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知直线l 与椭圆221164x y +=交于A ，B 两点，且点()2,1M 是弦AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．240x y +-= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．230x y --=【答案】A【解析】利用点差法求出12AB k =-，即得直线AB 的方程. 【详解】设A ，B 的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ， 由点差法得1212121212121124y y y y y y x x x x x x -+-⋅=⨯=--+-．12AB k ∴=-，所以直线l 的方程为11(2)2y x -=--即240x y +-=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查点差法和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132030a =，1n n n a S S -=（2n ≥，n *∈N ），当n S 取最大值时，则n 的值为（ ）A ．672B ．673C ．674D ．675【答案】C【解析】先利用1n n n a S S -=得到数列1{}n S 是以20203为首项，1-为公差的等差数列，求出320233n S n=-即得解.【详解】当2n ≥时，11n n n n n a S S S S --=-= 1111n n S S -∴-=-， 所以数列1{}n S 是以20203为首项，1-为公差的等差数列． 所以1202032023133n n n S -+=-+=， 320233n S n∴=-，所以当674n =时，n S 取最大值为3． 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的判定和等差数列的通项的求法，考查数列的通项和前n 项和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，以1F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线2PF 恰好与圆1F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．12C ．2D 1【答案】D【解析】由题得圆1F 的方程为()222x c y c ++=，分析得到()22224a c c c -+=，解方程即得解. 【详解】圆1F 的方程为()222x c y c ++=，因为2PF 恰好与圆1F 相切点于P ，所以()22224a c c c -+= 可得22220c ac a +-=，2220e e ∴+-=．1e ∴=．故选：D 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos c a a B -=，则ba的取值范围是（ ）A ．(B ．C ．(D ．()0,1【答案】B【解析】化简已知得2B A =,根据已知求出A 的范围和2cos b A a =，即得ba的取值范围. 【详解】由正弦定理得2cos c a a B -=．sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+()sin sin A B A ∴=-． 22B A π∴=<，因为32C A ππ=-<，02A π<<，64A ππ∴<<，所以sin sin 22cos sin sin b B A A a A A===∈．故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化，考查三角恒等变换和余弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13．已知方程22115x y n n +=++表示椭圆，则该椭圆的焦点坐标为______．【答案】()0,2±【解析】判断椭圆的焦点所在的轴即得解. 【详解】由题意51n n +>+知焦点在y 轴上． 因为514n n +--=， 所以椭圆的焦点坐标为()0,2± 故答案为：()0,2± 【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．若命题“x R ∃∈，使得210ax ax ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)0,4．【解析】试题分析： 由命题“x R ∃∈，使得210ax ax ++≤”为假命题，得其否定命题：“x R ∀∈，使得210ax ax ++>”是真命题； 即不等式210ax ax ++>在R 上恒成立，当0a =时，不等式为20010x x ⋅+⋅+>，显然它在R 上恒成立； 当0a ≠时，必须且只需20{40a a a >=-<，解得：04a <<，综上所述，实数a 的取值范围为[)0,4．故答案应填：[)0,4． 【考点】特称命题与全称命． 15．数列{}n a 满足11a =，121n n a a n n+=++，则2019a =______． 【答案】40372019【解析】由题得1111n n a a n n +-=-+,再利用累加法求解即可. 【详解】 由题得1111n n a a n n +-=-+， 201911111140371122018201920172018220192019a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：40372019【点睛】本题主要考查累加法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，直线1y x =-+交椭圆于M ，N 两点，O 为坐标原点，且0OM ON ⋅=，则椭圆短轴长的最小值是______．【解析】设(),M x y ，()22,N x y ，由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩和韦达定理求出22221b a b =-，再根据12e ⎡∈⎢⎣⎦求出椭圆短轴长的最小值. 【详解】设(),M x y ，()22,N x y ，由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()222222220a bxa x a ab +-+-=212222a x x a b +=+，2221222a ab x x a b-=+()()()12121212121211210OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+-+-+=-++= 代入解得22221b a b =-， 22222211122,42c b e b a a ⎡⎤==-=-∈⎢⎥⎣⎦4b ≤≤．2b ≤≤【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题17．设p ：实数x 满足()223120(0)x a x a a a -+++≤>，q ：实数x 满足()f x =（1）当2a =时，命题p q ∧为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）23x ≤≤；（2）3a >或102a <<【解析】（1）先化简命题p 和q,再根据命题p q ∧为真命题求出实数x 的取值范围；（2）先求出p 和q ⌝，再根据已知得到3a >或212a +<，解不等式即得解. 【详解】 （1）由p 得()223120x a x a a -+++≤．2a =，25x ∴≤≤由q 得：2560x x -+-≥，23x ∴≤≤，又由命题p q ∧为真命题， 所以实数x 的取值范围为：23x ≤≤.（2）由p 得：21a x a ≤≤+，由q ⌝得：()()23,,-∞+∞p 是q ⌝的充分不必要条件，3a ∴>或212a +<，因为0a > 3a ∴>或102a <<所以实数a 的取值范围为3a >或102a <<. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查复合命题的真假，考查充要条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos bA c= （1）证明：ABC ∆是直角三角形： （2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1BM =，6c =，求cos ABM ∠．【答案】（1）见解析；（2）3cos 4ABM ∠= 【解析】（1）化简cos b A c=得2C π=，即得证；（2）记ABM α∠=，在R t A C B ∆中，得到cos cos 26αα=，化简解方程即得解. 【详解】（1）由正弦定理得()sin cos sin sin C A B A C π==--，()cos sin sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴=+=+，sin cos 0A C ∴= ()0,A π∈sin 0A ∴≠cos 0C ∴=，2C π∴=，所以ABC ∆是直角三角形（2）记ABM α∠=，则MBC α∠=，在Rt MCB ∆中，cos CB α=， 在Rt ACB ∆中，cos BC ABC AB ∠=，cos cos 26αα=2cos 2cos 16αα∴-=，即212cos cos 60αα--= 3cos 4α∴=或23-（舍），所以3cos 4ABM ∠=． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦定理解三角形，考查二倍角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．已知方程2221214x y m m+=+-（m Z ∈）表示焦点在y 轴上的椭圆Ω．坐标原点为O ．该椭圆与直线l ：()2110x m y +++=相交于A ，B 两点． （1）求椭圆O 的方程； （2）求AOB ∆的面积．【答案】（1）2214y x +=；（2）4 【解析】（1）解不等式组24210m m m Z⎧->+>⎨∈⎩即得m 的值，即得椭圆的方程；（2）先计算出()00O ,到直线l 的距离，再计算出弦长|AB|,即得AOB ∆的面积． 【详解】（1）由题意得24210m m m Z⎧->+>⎨∈⎩，解得0m =，所以椭圆Ω的方程为：2214y x +=． （2）由（1）知直线l 方程为：210x y ++=，()00,O ∴到直线l的距离为：d ==， 由2221014x y y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得28430x x +-=．1212x x +=-，1238x x =-12AB x =-==，12AOB S d AB ∆== 所以AOB∆ 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知数列{}n a 满足：()1231312n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足31log n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13-=n n a ；（2）211344n n n T =-⋅+ 【解析】（1）由题得()1312n n S =-，再利用项和公式求数列{}n a 的通项公式；（2）由题得13n n b n -=⋅，再利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T ．（1）令()1231312n n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+=- 当1n =时，11a =当2n ≥时，113n n n n a S S --=-= 当1n =时，满足11131a -==，13n n a -∴=所以{}n a 的通项公式为13-=n n a ．（2）由（1）得11313log 3log 33n n n n n n b a a n --+===⋅()1221132333133n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯0①．()12323132333133n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②由①减去②得33n n n T n =⋅-1-2-2所以{}n b 的前n 项和211344n n n T =-⋅+． 【点睛】本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．某乡镇政府为了解决农村教师的住房问题，计划征用一块土地盖一幢建筑总面积为100002m 公寓楼（每层的建筑面积相同）．已知士地的征用费为21000/元m ，土地的征用面积为第一层的85倍，经工程技术人员核算，第一层建筑费用为2360/元m ，以后每增高一层，其建筑费用就增加250/元m ，设这幢公寓楼高层数为n ，总费用为()f n 万元．（总费用为建筑费用和征地费用之和）（1）若总费用不超过835万元，求这幢公寓楼最高有多少层数？（2）试设计这幢公寓的楼层数，使总费用最少，并求出最少费用．【答案】（1）16；（2）设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元【解析】（1）先求出土地的征用的费用和建筑费用，再求总费用为()f n =160025335835n n++≤，解不等式即得解；（2）利用基本不等式求最少费用.（1）每层建筑面积10000n ，土地的征用的费用116001.61000n n⨯⨯=万元； 建筑费用()1136050253352n n n n n-⎡⎤+⨯=+⎢⎥⎣⎦； ()160025335f n n n ∴=++，160025335835n n++≤，即220640n n -+≤． 416n ≤≤（n N ∈），所以这幢公寓楼最高可以盖16层； （2）由（1）知()160025335335735f n n n =++≥= 当且仅当160025n n=时，即8n =，()735f n =为最小值． 所以设计这幢公寓为8楼层时，总费用最少为735万元．【点睛】本题主要考查函数和不等式的应用，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12，右焦点为F ，上顶点为B ，且2BF =．（1）求椭圆E 的方程：（2）是否存在直线l ，使得l 交椭圆E 于M ，N 两点，且F 恰是MBN ∆的垂心？若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由，【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，321y x =-，见解析 【解析】(1)解方程222124c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩即得解；（2）设l的方程为y x m =+，利用0MF BN ⋅=求出m 的值检验即得解.【详解】（1）由题意知：222124c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+=⎩解得24a =，23b =，（2）由（1）知(B ，()1,0F，BP k ∴=假设存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，则BF MN ⊥．设l 的斜率为k ，则1．BF k k =-，k ∴=， 设l的方程为y x m =+，()11.M x y ，()22.N x y ，由22143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()22131230x m ++-=，()()224131230m ∆=-⨯⨯->，得m <<．12x x +=，()21212313m x x -=， MF BN ⊥，0MF BN ∴⋅=， ()111,MF x y =-，(22,BN y y =，()(121210x x y y ∴--= 即()1212110x x x m x m x m ⎫⎫--+++=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，整理得()2121241033m x x x x m ⎛⎫∴-+--= ⎪ ⎪⎝⎭()22123410313m m -⎛⎫⎛∴-⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得221480m --=，解得m =或21m =-．当m =时，直线MN 过点B ，不能构成三角形，舍去；当21m =-时，满足33m -<<， 所以存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.。