高二数学12月联考试题文

卜人入州八九几市潮王学校灌南华侨高级二零二零—二零二壹第一学期12月份月考高二数学文科试卷一．填空题“，〞的否认是______．【答案】，【解析】【分析】〞即可得结果.“，：，故答案为，．的准线方程是______．【答案】【解析】【分析】由求得，利用抛物线的性质即可求得答案．【详解】抛物线的方程为，，，其准线方程为．故答案为．【点睛】此题主要考察抛物线的方程与性质，意在考察对根底知识的掌握与理解应用，属于简单题．+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，那么a-b=_______.【答案】0【解析】【分析】由条件利用一元二次方程根与系数的关系求得a、b的值．【详解】由于不等式ax2+bx+12＜0的解集为{x|-3<x<2}，，解得．即答案为0.【点睛】此题主要考察三个二次之间的关系，属于中档题．4.执行如以下图的程序框图，假设输入，那么输出的值是______________.【答案】2.【解析】【分析】首先分析程序框图，循环体为“直到型〞循环构造，按照循环构造进展运算，可求出满足题意时的.【详解】根据题意，循环体为“直到型〞循环构造，输入，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，完毕循环，输出，故答案为2.【点睛】此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支构造还是循环构造；(3)注意区分当型循环构造和直到型循环构造；(4)处理循环构造的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,〔6〕在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到到达输出条件即可.5.某校高中一共有720人，其中理科生480人，文科生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研，那么抽取理科生的人数__________．【答案】60【解析】由题意结合分层抽样的概念可得：抽取理科生的人数为.名学生参加数学调研测试成绩〔总分值是120分〕分布直方图如图．分数在100～110的学生有21人，那么=_______________.【答案】60【解析】【分析】由测试成绩〔总分值是分〕分布直方图求出分数在的频率，再由分数在的学生有人，即可求出答案【详解】由测试成绩〔总分值是分〕分布直方图可得：分数在的频率为分数在的学生有人，那么故答案为【点睛】此题主要考察了频率分布直方图，先求出满足题意得频率，注意在计算时乘以组距，然后求解，属于根底题。

2023-2024学年度十堰市六县市区教联体12月联考高二数学试卷（答案在最后）一､单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.直线20x ++=的倾斜角是（）A.30B.60C.120D.150【答案】D 【解析】【分析】由直线方程求出直线斜率，由斜率求出直线倾斜角即可.【详解】设直线的倾斜角为α，由20x ++=可得33y x =--，即直线的斜率为3tan 3k α==-，由0180α︒≤<︒知，150α=︒，故选：D2.已知向量()0,2,1a = ，()1,1,b m =- ，若a ，b分别是平面α，β的法向量，且αβ⊥，则m =（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】C 【解析】【分析】转化为0a b ⋅=，利用空间向量数量积的坐标运算，即得解【详解】由题可知，a b ⊥，则20a b m ⋅=+= ，即2m =-.故选：C3.已知两条直线l 1：x +m 2y +6＝0，l 2：(m －2)x +3my +2m ＝0，若l 1与l 2平行，则m ＝（）A.－1或3B.－1或0或3C.0D.－1或0【答案】D 【解析】【分析】解方程213(2)0m m m ⨯-⨯-=，再检验即得解.【详解】因为l 1与l 2平行，所以213(2)0m m m ⨯-⨯-=，2(23=0m m m ∴--）,所以(3)(1)=0m m m -+0m ∴=或1m =-或3m =当3m =时，两直线重合为x +9y +6＝0，与已知不符，所以舍去，当0m =或1-时，符合题意.故选：D4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（）A.53B.103C.56 D.116【答案】A 【解析】【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===，33451220,7()a a a a a a ∴=++=+，6037(403)d d ∴+=-，解得556d =，1355522033a a d ∴=-=-=.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.5.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，N 为11A C 与11B D 的交点，M 为1DD 的中点，若AB a=，AD b = ，1AA c =，则MN = （）A.111222a b c ++B.111222a b c -+C.111222a b c +- D.111222a b c-- 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】因为N 为11A C 与i 1B D 的交点，所以11111111111222222D N D A D C AD AB b a =+=-+=-+，故111111111112222222MN D N D M D N D b a c a b c D ⎛⎫=-=-=-+--=-+ ⎪⎝⎭.故选：B.6.已知木盒中有围棋棋子15枚（形状大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是（）A.49B.59C.29D.23【答案】A 【解析】【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】从盒中随机取出1枚棋子，“是黑棋子”记为事件A ，“是白棋子”记为事件B ，则()23P A =，()13P B =，两枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子，这两个事件是互斥事件．第一次取出黑棋子，第二次取出白棋子相互独立，概率为()()()29P AB P A P B =⋅=；第一次取出白棋子，第二次取出黑棋子也相互独立，概率为()()()29P BA P B P A =⋅=．所以这两枚棋子恰好不同色的概率是()()49P AB P BA +=．故选：A ．7.已知抛物线216y x =的焦点为F ，P 点在抛物线上，Q 点在圆()()22:624C x y -+-=上，则PQ PF +的最小值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【详解】如图，过点P 向准线作垂线，垂足为A ，则PF PA =，当CP 垂直于抛物线的准线时，CP PA +最小，此时线段CP 与圆C 的交点为Q ，因为准线方程为4x =-，()6,2C ，半径为2，所以PQ PF +的最小值为21028AQ CA =-=-=.故选：C8.若直线y x b =+与曲线y =有两个公共点，则实数b 的取值范围为()A.[-B.[-C.(0,D.[2,【答案】D 【解析】【分析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出b 的取值范围.【详解】画家曲线y =得224(0)x y y +=≥，画出图像如图：当直线1l 与半圆O 相切时，直线与半圆O 有一个公共点，此时，2d ==，所以b =±，由图可知，此时0b >，所以b =.当直线2l 如图过点A 、B 时，直线与半圆O 刚好有两个公共点，此时2b y x =-=.由图可知，当直线介于1l 与2l 之间时，直线与曲线有两个公共点，所以2b ≤<故选：D.二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）9.已知向量()(),1,2,1a m b =-=-，则下列说法正确的是（）A.若1m =，则a b -=B .若a⊥b，则2m =C.“12m >-”是“a 与b的夹角为钝角”的充要条件D.若1m =-，则b在a上的投影向量的坐标为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，求出()3,2a b -=- ，利用模长公式求出答案；B 选项，根据垂直得到方程，求出12m =-；C 选项，根据夹角为钝角得到不等式，求出m 的取值范围，作出判断；D 选项，根据投影向量公式求出答案.【详解】A 选项，1m =时，()()()1,12,13,2a b -=---=-，故a b -== ，A 正确；B 选项，a ⊥b ，故()(),12,1210a b m m ⋅=-⋅-=--= ，解得12m =-，B 错误；C 选项，a 与b的夹角为钝角，则要满足210121a b m m ⎧⋅=--<⎪⎨-≠⎪-⎩，解得12m >-且2m ≠，C 错误；D 选项，1m =-时，则b在a上的投影向量为()1111,1,222b a a a a-⋅----⋅⎛⎫⋅=--=-- ⎪⎝⎭，D 正确.故选：AD10.下列叙述正确的是（）A.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件C.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为56D.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为710【答案】ACD 【解析】【分析】由互斥和对立事件的概念可判断A ，B ；根据概率的基本性质可判断C ，D .【详解】对于A 选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A 正确；对于B 选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，B 错误；对于C 选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，则甲不输的概率为115236+=，C 正确；对于D 选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为3711010-=，D 正确．故选：ACD ．11.已知动点P 在左、右焦点分别为1F 、2F 的双曲线C 22:13y x -=上，下列结论正确的是（）A.双曲线C 的离心率为2B.当P 在双曲线左支时，122PF PF 的最大值为14C.点P 到两渐近线距离之积为定值D.双曲线C的渐近线方程为3y x =±【答案】AC 【解析】【分析】先利用双曲线方程得到对应的,,a b c ，直接求得离心率和渐近线方程，判断AD 的正误，设00(,)P x y ，知220033x y -=，结合点到直线的距离公式直接计算点P 到两渐近线距离之积得到定值判断C 正确；利用双曲线定义将122PF PF 转化成关于1PF 的关系式，再利用基本不等式即求得最值，判断选项B 的正误.【详解】在双曲线C 22:13y x -=中，实半轴长1a =，虚半轴长b =，半焦距2c =.对于AD ，双曲线的离心率2ce a==，渐近线方程为y =，故A 正确，D 错误；对于B ，当P 在双曲线的左支上时，12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，故()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ===≤+++++，当且仅当114PF PF =时，即12=PF 时等号成立，故122PF PF 的最大值为18，故B 错误；对于C ，设00(,)P x y ，则220013y x -=，即220033x y -=0y +=0y -=，故00(,)P x y 到渐近线的距离之积为22003344x y -==为定值，故C 正确.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于突破选项B ，其关键点在于利用双曲线定义将比值转化到一个变量的关系式上，利用基本不等式突破最值.12.已知椭圆22:142x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N两点，点()4T ，则（）A.1114MF NF +的最小值为9B.四边形12MF NF 的周长为8C.直线BM ，BN 的斜率之积为12-D.若点P 为椭圆C 上的一个动点，则1PT PF -的最小值为4-【答案】BCD 【解析】【分析】先根据椭圆定义得到椭圆,,a b c ，再由均值不等式进行不等式判断，同时应用椭圆定义求解四边形的周长和1PT PF -最小值求解，最后应用对称点特点求解斜率之积即可.【详解】由题意知对于椭圆22:142x y C +=，2a =，b =，c ==如图所示，，对于A ，():0l y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，所以,M N 关于原点对称，而12,F F 也关于原点对称，所以12NF MF =，1224MF MF a +==，所以()1211121214141144MF MF MF NF MF MF MF MF ⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭2112411955444MF MF MF MF ⎛⎛⎫ =+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝≥，当且仅当21124MF MF MF MF =即143MF =，283MF =时等号成立，A 错误；对于B ，1224MF MF a +==，1224NF NF a +==，故四边形12MF NF 的周长为121248MF MF NF NF a +++==，B 正确；对于C ，设()11,M x y ，则()11,N x y --，而(B ，故21112111222BM BNy y y k k x x x ---⋅==-，又因为()11,M x y 在椭圆22:142x y C +=上，即2211142x y +=，化简可得2211122y x -=-，所以2121212BM BN y k k x -⋅==-，C 正确；对于D ，由于点P 为椭圆C 上的一个动点，所以1224PF PF a +==，所以124PF PF =-，所以12244PT PF PT PF TF -=+--≥，当且仅当2,,T P F 三点共线且P 在2,T F 之间时等号成立，又因为)2F ，所以2TF ==，所以1PTPF -的最小值为4-，D 正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：圆锥曲线的解决很多时候关键在于善于应用圆锥曲线的定义，借助定义解决不等式或者焦点三角形的相关问题会更加直接和简洁.三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.求经过()2,2且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．【答案】y x =或4x y +=【解析】【分析】注意直线过原点的情况，直线不过原点时用截距式结合题意列方程即可求解【详解】当直线过原点时，方程为y x =，当直线不过原点时，设直线方程为1x ya a+=，则有221a a+=，解得4a =，故直线方程为144x y+=，即4x y +=，综上所述，所求直线方程为y x =或4x y +=．故答案为：y x =或4x y +=．14.记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35a S =，145a a a =，则n a =________.【答案】3n -##3n -+【解析】【分析】利用1,a d 表示出已知的等量关系，解方程组求得1,a d 后，利用等差数列通项公式求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由35145a S a a a =⎧⎨=⎩得：()111115425234a d a d a a d a d⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，解得：121a d =⎧⎨=-⎩，()213n a n n ∴=--=-.故答案为：3n -.15.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,120AA AB AC BAC ∠====，点E F ､分别是棱1AB CC ､的中点，一只蚂蚁从点E 出发，绕过三棱柱111ABC A B C -的一条棱爬到点F 处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是__________．【答案】2【解析】【分析】要使爬行的最短路程，只要将底面ABC 和侧面11BCC B 展在同一个平面，连接EF ，求出EF 的长度即可.【详解】若将底面ABC 沿AC 展开使其与侧面11ACC A 在同一个平面，连接EF ，因为120BAC ∠= ，所以EF 与棱不相交，所以不合题意，若将底面ABC 沿BC 展开和侧面11BCC B 展在同一个平面，连接EF ，则EF 与棱BC 相交，符合题意，此时EF 为这只蚂蚁爬行的最短路线，如图所示，过E 作1BB 的平行线，过F 作11B C 的平行线，交于点G ，EG 交BC 于H ，因为12,1,120AA AB AC BAC ∠====，点E F ､分别是棱1AB CC ､的中点，所以1,12BE CF HG ===，30ABC ∠=︒，BC ==，所以13,44EH BH ==，所以33315,14444FG EG ===+=,所以2EF ====，故答案为：216.已知1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左､右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=有公共点，则双曲线的离心率的最大值是___________.【答案】53【解析】【分析】结合平面几何性质得到12a c F M +=，进而结合勾股定理求得2222a c OM c +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据直线1PF 与圆222x y a +=有公共点得到22OMa ≤，从而得到,a c 的齐次式，进而解不等式即可求出结果.【详解】过点O 作1OM PF ⊥于M ，过点2F 作21F N PF ⊥于N ，因为212PF F F =，所以1PN F N =，又因为21OF FO =，所以1MN F M =，故1114F M F P =，又因为122PF PF a -=，且2122PF F F c ==，所以122PF a c =+，因此12a c F M +=，所以2222a c OM c +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又因为直线1PF 与圆222x y a +=有公共点，所以22OM a ≤，故2222a c c a +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，即223250c ac a --≤，则23250e e --≤，所以513e -≤≤，又因为双曲线的离心率1e >，所以513e <≤，故离心率的最大值为53，故答案为：53.四､解答题17.在等差数列{}n a 中，已知12318a a a ++=且45654a a a =++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设14n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）42n a n =-（2）21n nS n =+【解析】【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；（2）由裂项相消求和法即可求解.【小问1详解】解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则13318a d +=,131254a d +=，解得12a =,4d =∴24(1)42n a n n =+-=-,*n ∈N ；【小问2详解】解：()()()()14411114242212122121n n n b a a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪⋅-+-+-+⎝⎭，111111111111233557212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，BC =M 为BC 的中点．（1）求证：PB AM ⊥；（2）求平面PAM 与平面PDC 所成的角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）147．【解析】【分析】（1）以点D 为原点，依次以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出0PB AM ⋅=，利用数量积即可证明.（2）求出两平面PAM 与平面PDC 的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．【详解】解：（1）依题意，棱DA ，DC ，DP 两两互相垂直.以点D 为原点，依次以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，如图，建立空间直角坐标系.则2,1,0)B ，(0,0,1)P ，(2,0,0)A ，2,1,02M ⎛⎫⎪⎪⎝⎭.可得2,1,1)PB =- ，2,1,02AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ .所以221002PB AM ⎛⎫⋅=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以PB AM⊥（2）由（1）得到(2,0,0)A ，2,1,02M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此可得2,1,02AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(2,0,1)AP =- .设平面PAM 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则由110,0,n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得20,220,x y x z ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩令22z =，解得12,22)n =.同理，可求平面PDC 的一个法向量2(1,0,0)n =.所以，平面PAM 与平面PDC 所成的锐二面角θ满足：1212cos7n nn nθ⋅===.即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为7.19.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举办，为做好本次亚运会的服务工作，从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素质考核，根据学生考核成绩分为,,,A B C D四个等级，最终的考核情况如下表：等级A B C D人数10404010（1）将频率视为概率，从报名的100名学生中随机抽取1名，求其成绩等级为C或D的概率；（2）已知,A B等级视为成绩合格，从成绩合格的学生中，根据考核情况利用比例分配的分层随机抽样法抽取5名学生，再从这5名学生中选取2人进行座谈会，求这2人中有A等级的概率．【答案】（1）12（2）25【解析】【分析】（1）根据等可能事件概率计算公式求解即可；（2）取的5名学生中成绩为,A B等级的人数分别为1，4，从这5名学生中选取2人，列举出所有结果，根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】由题知，任意抽取1人，抽到的学生成绩等级为C或D的概率为401011002+=．【小问2详解】由题知，抽取的5名学生中成绩为,A B等级的人数分别为1，4，记这5人分别为1234,,,,A B B B B，从中抽取2人的样本空间为()()()()()({)()()()()} 1234121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B，共10个样本点，其中有A等级的样本点有()()()()2341,,,,,,,A B A B A B A B，共4个，所以这2人中有A等级的概率为42105=．20.在直角坐标系xOy中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切.（1）求圆O 的方程；（2）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）224x y +=；（2）存在，(1,0)S .【解析】【分析】（1）利用直线与圆相切及点线距离公式求圆O 的半径，写出圆的方程即可.（2）讨论直线AB 斜率存在或不存在两种情况，斜率存在时设:AB y kx m =+且11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立圆的方程并应用韦达定理求12x x +、12x x 、12y y +，由题设易知0AM BM k k +=即可求,m k 的关系，进而可判断AB 是否过定点.【详解】（1）若圆O 的半径为r，则2r ==，∴圆O 的方程为224x y +=.（2）由AMO BMO ∠=∠，由（1）知：(4,0)M 且直线l 与圆O的切点坐标为(1,C ，如下图：若直线AB 斜率存在时，设:AB y kx m =+且11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线AB 与圆O ，整理可得：22(1)k x ++2kmx +240m -=，且22222244(1)(4)440k m k m k m ∆=-+-=-+>∴12221km x x k +=-+，212241m x x k-=+，则121222()21m y y k x x m k +=++=+，又1212044AM BM y y k k x x +=+=--，11y kx m =+，22y kx m =+，∴1212122()4()0kx x m x x y y ++-+=，可得m k =-符合题设，∴直线:(1)AB y k x =-过(1,0).若直线AB 斜率不存在时，易知当直线AB 为1x =时也过定点(1,0)；综上，直线L 必过定点(1,0)S .21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，12AD BC ==，PC =，//AD BC ，AB AC =，150BAD ∠= ，30PDA ∠=o ．（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于14？【答案】（1）证明见解析（2）存在【解析】【分析】（1）证明PA ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）证明出AD CD ⊥，以点A 为坐标原点，DC 、AD 、AP的方向分别为x 、y 、z 轴的方向建立空间直角坐标系，设PF PD λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的方程，结合λ的取值范围可求得λ的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：在Rt PAD △中，AD =，30PDA ∠=o ，tan 1PA AD PDA ∴=∠=，//AD BC ，150BAD ∠= ，所以30ABC ∠= ，又AB AC =，30ACB ∴∠= ，120BAC ∠= ，在ABC 中，由正弦定理得sin120sin 30BC AC = ，sin 302sin120BC AC ∴==，PC = ，所以，222PA AC PC +=，PA AC ∴⊥，PA AD ⊥ ，AC AD A = ，PA ∴⊥平面ABCD ，PA ⊂ 平面PAD ，所以，平面PAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】解：因为AD =，2AC =，30CAD BAD BAC ∠=∠-∠= ，在ACD中，由余弦定理可得1CD ==，222AD CD AC ∴+=，则AD CD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，DC 、AD 、AP的方向分别为x 、y 、z 轴的方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,B、()C、()D 、()0,0,1P ，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，()0,BC =，()BP =- ，则00n BC n BP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1x =可得()1,0,1n = ，设(),PF PD λλ==-，其中01λ≤≤，则()()()1,,CF CP PF λλ=+=-+-=--，由已知可得1cos ,4n CF n CF n CF⋅<>==⋅，整理可得24850λλ+-=，因为01λ≤≤，解得12λ=，因此，当点F 为线段PD 的中点时，直线CF 与平面PBC 所成角的正弦值等于14.22.已知C 为圆()22112x y ++=的圆心，P 是圆C 上的动点，点()1,0M ，若线段MP 的中垂线与CP 相交于Q 点．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹N 的方程；（2）过点()1,0的直线l 与点Q 的轨迹N 分别相交于A ，B 两点，且与圆O ：222x y +=相交于E ，F 两点，求2AB EF ⋅的取值范围．【答案】（1）22132x y +=；（2）3⎡⎢⎣．【解析】【分析】（1）由线段MP的垂直平分线，得到QC QM +=，结合椭圆的定义，即可求解；（2）①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，分别求得2AB EF ⋅；②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，结合弦长公式，求得AB 和2EF ，进而求得2AB EF ⋅的值.【小问1详解】解：由线段MP的垂直平分线，可得2CP QC QP QC QM CM =+=+==，所以点Q 的轨迹是以点C ，M 为焦点，焦距为2，长轴长为所以a =1c =，则b ==，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=．【小问2详解】解：由（1）可知，椭圆的右焦点为()1,0，①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则1,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,3B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1E ，()1,1F -，所以3AB =，24EF =，23AB EF ⋅=．②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得()2222236360k x k x k +-+-=，则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+，所以)22123k AB k +==+，因为圆心()0,0O 到直线l 的距离d =所以()22222424211k k EF k k +⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222221422222312333k k k k AB EF k k k k ++++⋅=⋅==⋅++++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭，因为[)20,k∈+∞，所以23AB EF ⎛⋅∈⎝，。

考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.准线方程为2y =的抛物线的标准方程是（）A.24x y = B.24x y =-C.28x y= D.28x y=-2.直线210x ay +-=和直线()3110a x ay ---=垂直，则a =（）A.1B.12C.1或12D.1或12-3.已知在等比数列{}n a 中，4816a a ⋅=，则6a 的值是（）A.4B.-4C.±4D.164.如图，在三棱台111ABC A B C -中，且112AB A B =，设1,,AB a AC b AA c ===，点D 在棱11B C 上，满足112B D DC = ，若AD xa yb zc =++，则（）A.11,,163x y z === B.111,,632x y z ===C.11,,136x y z === D.111,,362x y z ===5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且202220230,0S S ><，则下列说法错误的是（）A.10120a < B.10110a >C.数列{}n a 是递减数列D.{}n S 中1010S 最大6.已知圆221:20(0)C x ax y a -+=>，直线:0l x =，圆1C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则圆1C 与圆222:(1)(1C x y -+=的位置关系是（）A.内切B.相交C.外切D.相离7.已知圆22:(4)1C x y +-=上有一动点P ，双曲线22:197x y M -=的左焦点为F ，且双曲线的右支上有一动点Q ，则PQ QF +的最小值为（）A.1- B.5- C.7D.58.阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为21x y z -+=，点()3,1,1Q -，则点Q 到平面α距离为（）A.6B.2C.102D.34二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()()2,2,2,1,2,1a b =-=-，则下列说法正确的是（）A.()1,4,1a b +=-B.a∥bC.a b⊥D.3cos ,23a ab -=10.已知直线()():2220l mx m y m m R ++--=∈，圆22:(1)(2)25C x y -+-=，点P 为圆C 上的任意一点，下列说法正确的是（）A.直线l 恒过定点()1,1B.直线l 与圆C 恒有两个公共点C.直线l 被圆C 截得最短弦长为D.当1m =-时，点P 到直线l 距离最大值是252+11.已知数列{}{},n n a b 满足()*123111,23n n n a a a a b n N S n++++=∈ 是{}n a 的前n 项和，下列说法正确的是（）A.若2n a n n =+，则232n n nb +=B.若n b n =，则{}n a 为等差数列C.若1n b n =+，则{}n a 为等差数列D.若2nn b =，则()122nn S n =-⋅+12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线l 与抛物线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，点D 是点A 关于x 轴的对称点，则下列说法正确的是（）A.124y y =- B.4AF BF +的最小值为10C.,,B F D 三点共线D.0MB MD ⋅>三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.在空间直角坐标系O xyz -中，已知点()()3,1,4,2,1,5M N -，则MN =__________.14.过点()0,0作圆22:430C x y y +-+=的两条切线，切点为A B ､，则劣弧长 AB =__________.15.如图，已知正方形0000A B C D 的边长为2，分别取边00000000,,,D A A B B C C D 的中点1111,,,A B C D ，并连接形成正方形1111A B C D ，继续取边11111111,,,D A A B B C C D 的中点2222,,,A B C D ，并连接形成正方形2222A B C D ，继续取边22222222,,,D A A B B C C D 的中点3333,,,A B C D ，并连接形成正方形3333,A B C D ，依此类推；记011A A B 的面积为1122,a A A B 的面积为2,a ，依此类推，()*1n n n A A B n N -∈ 的面积为n a ，若12310231024n a a a a +++=，则n =__________.16.设12F F ､是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，点,P Q 为椭圆C 上的两点，且满足21260,2PF Q PF QF ∠==，则椭圆C 的离心率为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3,4AB AD AA ===，点,E F 分别为棱1,AB DD的中点，（1）求证：1C F ⊥平面BCF ；（2）求直线1C F 与平面1DEC 所成角的正弦值.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，点()*111,n n n N a a +⎛⎫∈⎪⎝⎭在直线210x y -+=上.（1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）求满足11635n a ≤≤的n 的取值构成的集合.19.（本题满分12分）已知动点P 与两个定点()()1,0,4,0A B 的距离的比是2.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 过点()2,1，且被曲线C 截得的弦长为3，求直线l 的方程.20.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足343,10a S ==.数列{}n b 满足12b =，*112,n n n nb a n N b a ++=∈.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}nc 满足()*1(1)32,n n n n n c n N a b +-+=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .21.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2,,AB PA E F ==分别为,PB PD 的中点.（1）求平面CEF 与底面ABCD 所成角的余弦值；（2）求平面CEF 与四棱锥P ABCD -表面的交线围成的图形的周长.22.（本题满分12分）已知双曲线C 的中心为坐标原点，上顶点为()0,2，离心率为2.（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）记双曲线C 的上､下顶点为12,,A A P 为直线1y =上一点，直线1PA 与双曲线C 交于另一点M ，直线2PA 与双曲线C 交于另一点N ，求证：直线MN 过定点，并求出定点坐标.2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考高二年级数学参考答案命题人：东阳二中吕夏雯陆琳琳；审题人：汤溪中学张拥军一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.D 【解析】242pp =⇒=，又抛物线开口向下，所以抛物线的方程为28,D x y =-正确.2.C 【解析】()()311201a a a a -⋅+⋅-=⇒=或1,C 2a =正确.3.C 【解析】2486616,4,C a a a a ⋅==∴=±正确.4.A 【解析】1111111111111212,,3333AD AA A D A D A B AC AD AA A B AC =+=+∴=++又111111111,,,2263A B a AC b AA c AD a b c ===∴=++ ，A 正确.5.D 【解析】()()120222022101110121011101220221011002a a S a a a a +==+>⇒+>()1202320231012101220232023002a a S a a +==<⇒<，则10110a >所以数列{}n a 单调递减，{}n S 中1011S 最大.D 正确.6.B 【解析】圆上3个点到直线的距离是1，则圆心到直线的距离应是1,12aa a -∴=-，则2a =，圆1C 的圆心为()2,0，半径是2，圆2C 的圆心为(，半径是1，则12C C =，所以两圆的位置关系是相交.B 正确.7.D 【解析】圆心()0,4C ，取双曲线的左焦点()224,0,1,6F PQ QC QF QF ≥-=+ ，则()22216555PQ QF QC QF QC QF CF +≥-++=++≥+=PQ QF ∴+的最小值为5+，D 正确.8.A 【解析】平面α的法向量()1,1,2n =-，在平面α上任取一点()1,0,1A -，则()4,1,0QA =- ，556A 66QA n d n ⋅== 正确.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ACD 【解析】()1,4,1a b +=- ，选项A 正确，a b λ≠ ，选项B 错误；()()2122210a b -⋅+⋅+⋅-=∴⊥选项C 正确；()12324,2,4cos ,23236a b a a b -=--∴->=⋅，选项D 正确，正确答案是A.C.D 10.ABD 【解析】直线():2220l m x y y +-+-=，所以恒过定点()1,1.选项A 正确；因为定点()1,1在圆C 内，所以直线l 与圆C 恒有两个公共点.选项B 正确；l 被圆C 截得的最短弦长2516-=C 错误；当1m =-时，:0l x y -=，点P 到直线l 的距离的最大值是25522+=+，选项D 正确.正确答案是A.B.D11.ABD 【解析】当2n a n n =+，则11n a n n =+，所以()221322n n n n n b +++==，选项A 正确；已知12311123n a a a a n n++++= ，当1n =时，11a =，当2n ≥时，12311111231n a a a n n -++++=-- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时也成立），所以{}n a 为等差数列，选项B 正确；已知123111123n a a a a n n++++=+ ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，1231111231n a a a a n n -++++=- ，则(11,1n n a a n n n=∴==时不成立），所以{}n a 不是等差数列，选项C 不正确；已知123111223n n a a a a n++++= ，当1n =时，12a =，当2n ≥时，112311112231n n a a a a n --++++=- ，则1112,2(1n n n n a a n n n--=∴=⋅=时不成立)，所以12,1;2,2n n n a n n -=⎧=⎨⋅≥⎩当1n =时，12S =，1n =时，12112,222322n n a S n -==+⋅+⋅++⋅ ()2122222122n nn S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ()()22314122022222212212n n n nnn S n n n ----=++++-⋅=+-⋅=-⋅-- 所以()122,1nn S n n =-⋅+=时也成立，选项D 正确.正确答案是A.B.D 12.CD【解析】设直线:1l x my =-，联立方程组224,4401y x y my x my ⎧=-+=⎨=-⎩，则121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，选项A 不正确；221212144y y x x =⋅=，所以()121244114559AF BF x x x x +=+++=++≥=当且仅当2142x x ==时等号成立，所以4AF BF +的最小值为9，选项B 不正确；()11,D x y -，设:l x ny t =+，联立方程组224,440y x y ny t x ny t ⎧=--=⎨=+⎩，则121244y y my y t -+=⎧⎨-=-⎩，所以1t =，即直线BD 过点F ，选项C 正确；对于D 选项，()()22111,,1,MB x y MD x y =+=+-，22121212114214440MB MD x x x x y y m m ∴⋅=+++-=+-++=+>，选项D 正确.正确答案是C.D三､填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.【解析】()1,2,1,MN MN =-∴==.14.23π【解析】圆C ：22(2)1x y +-=，2,63COB COA ACB ππ∠∠∠∴==∴=，故劣弧长23AB π=.15.10【解析】由题意可知三角形的面积构成首项为12，公比为12的等比数列，12311122110231,1012102412nnn a a a a n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+++==-=∴=-.16.9【解析】如图，过1F 作12F M QF = ，连接2MF ，因为122PF QF = ，所以12260F PF PF Q ∠∠==，设2QF t =，则11222,,22,2PF t MF t PF a t MF a t ===-=-，在2PMF 中，222222||||PM PF PM PF MF +-=，即22222294846644t a at t at t a at t +-+-+=-+，化简得1210859,,99a t PF a PF a ===，所以1006480221299c t a ==，所以离心率219c a =.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）方法一：因为F 是1DD 的中点，所以111112,D F D C FD DC D FC ==== 和FDC 是等腰直角三角形，所以1145D FC CFD ∠∠==，1C F CF ∴⊥，因为BC ⊥平面111,CDD C C F ⊂平面11CDD C ，所以1BC C F ⊥，,BC CF ⊂平面11BCF C F ∴⊥平面BCF方法二：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，()()()()()()()110,3,0,2,3,0,0,0,2,0,2,4,2,0,0,0,2,2,0,2,2,C B F C CB CF C F ==-=--所以111440,0,C F CF C F CB C F ⋅=-=⋅=∴⊥平面BCF ；（2）()()13,1,0,0,2,4DE DC == ，设平面1DEC 的法向量为(),,n x y z =，则130240DE n x y DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，所以取()2,6,3n =- ，又()10,2,2C F =--，11132sin cos ,14||C F n C F n C F n θ⋅∴==== .直线1C F 与平面1DEC所成角的正弦值为14.18.【解析】（1）由已知得111212121,21111n n n n nn a a a a a a ++++=+∴==++，且11120a +=≠，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，112n n a ∴+=，则1;21n n a =-（2）因为11635n a ≤≤，所以111,52163,626463215n n n ≤≤≤-≤∴≤≤-，得2log 66n ≤≤，又因为*n N ∈，所以n 的取值构成的集合是{}3,4,5,6.19.【解析】（1）设点(),P x y=，化简得2210210x y x +-+=，所以动点P 的轨迹C 的方程为22(5)4x y -+=；（2）由（1）可知点P 的轨迹C 是以()5,0为圆心，2为半径的圆，可计算得圆心()5,0到直线l的距离1d ==，①当直线l 的斜率不存在时，圆心到直线l 的距离是3，不符合条件，②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，所以1d ==，化简得229611k k k ++=+，解得0k =或34k =-，所以直线l 的方程是1y =或34100x y +-=.20.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为1123,4610a d d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得11,1,n a d a n ==∴=.()11211,2n n n n b n b n b b n n ++++=∴= ，且121b =，所以n b n ⎧⎫⎨⎩⎭是等比数列，2,2n nn n b b n n∴=∴=⋅（也可用累乘法求{}n b 的通项公式）（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭，()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅21.【解析】（1）以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =，()()()()()2,2,0,1,0,1,0,1,1,1,2,1,1,1,0C E F CE EF =--=- ，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，所以200CE n x y z EF n x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，所以取()1,1,3n = ，所以cos ,||||11m n m n m n ⋅〈〉=== ，所以平面CEF 与底面ABCD所成角的余弦值为11；（2）由对称性可知平面CEF 与棱PA 交于一点，设交点()()40,0,,1,0,1,1330,3Q t QE t QE n t t =-⋅=+-=∴= ，103QE QF ∴==又CE CF ==，所以围成的图形的周长为210263+22.【解析】（1）设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，由上顶点坐标可知2a =，则由52c e a ==可得225,1c b c a ==-，双曲线的渐近线方程为2y x =±.（2）由（1）可得()()120,2,0,2A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214y x -=联立可得()2224240k x kmx m -++-=，且()22Δ1640k m =-+>，则212122224,44km m x x x x k k --+==--，()2212122248,44k m m y y y y k k -+-∴+==--设()1213,1,,A P A P P t k k t t ∴=-=，2111233,4A P A P MA MA MA k k k k k ∴=-=-⋅= ，得2212MA NA k k ⋅=-2221221222441641612,124y y k m m k x x m ++---+-∴⋅=-=--，化简得22(2)3,4m m +=-。

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹高二数学12月月考试题〔含解析〕一、选择题(本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分) 1.如下列图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为1，那么1B 的坐标是〔〕A.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0) 【答案】C 【解析】试题分析：由空间直角坐标系和棱长为1，可得那么1B 的坐标是(1,1,1)。

考点：1．空间直角坐标系；310y 的倾斜角为〔〕A.30°B.60°C.120°D.150° 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，利用倾斜角和斜率的对应关系得出倾斜角.【详解】直线的斜率为33A kB ，设倾斜角为，那么3tan ,1503.应选D.【点睛】本小题主要考察由直线方程的一般式求得直线的斜率，考察倾斜角和斜率的对应关系.对应直线的一般方程0Ax By C ，化为斜截式得到A C yxB B ，其中AB是斜率，CB是纵截距.直线的斜率，是倾斜角的正切值.要注意的是当倾斜角为90时，斜率不存在.3.某校老年、中年和青年老师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查老师的身体状况，在抽取的样本中，老年老师一共有180人，那么该样本中的青年老师人数为〔〕A.320B.360C.90D.180【答案】A【解析】【分析】先求得老年老师抽样的比例，用青年老师人数乘以这个比例得到样本中青年老师的人数.【详解】老年老师抽样的比例为18019005，故样本中青年老师的人数为116003205人.应选A.【点睛】本小题主要考察分层抽样，利用分层抽样中某一层的抽样比例，得到总体的抽样比例，由此计算的其它层抽样的样本数.属于根底题.1，a2，…，a n的平均数为a，方差为s 2，那么数据2a1，2a2，…，2a n的平均数和方差分别为()A.a，s2B.2a，s2C.2a，2s2D.2a，4s2【答案】D【解析】【分析】考虑到数据2a1，2a2，…，2a n的各个数据是原数据的2倍，充分利用两者的关系结合平均数、方差的计算公式计算即可．【详解】数据a1，a2，…，a n的平均数为a，方差为S2，那么另一组数据2a 1，2a2，…，2a n的平均数为22x x a，方差是s′2，∵S2=1n[〔x1﹣x〕2+〔x2﹣x〕2+…+〔x n﹣x〕2]，∴S′2=1n[〔2x 1﹣2x 〕2+〔2x 2﹣2x 〕2+…+〔2x n ﹣2x 〕2] =1n[4〔x 1﹣x 〕2+4〔x 2﹣x 〕2+…+4〔x n ﹣x 〕2]， =4S 2应选：D ．【点睛】此题考察了当数据都乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数，属于根底题．5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子〔它们六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6〕，骰子朝上的点数分别为X ，Y ，那么log 2X Y ＝1的概率为〔〕． A.16B.536C.112D.12【答案】C 【解析】试题分析：由题意知、应满足，所以满足题意的有三种，所以概率为313612． 考点：1．古典概型； 6.以下说法正确的选项是() A.22＝1，那么x≠1〞B.∃x0∈R，20210x x ，那么p ：∀x∈R，x2－2x －1＜0C.x ＝sinD.“x＝－1〞是“x 2－5x －6＝0〞的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】AA 是否正确； BB 是错误的； CD 中，判断充分性和必要性是否成立即可； 【详解】对于Ax 2≠1，那么x≠1，∴A 错误； 对于B2210x R x x ，－－〞，∴B 错误；对于Cx=y ，那么sin x=sin y∴C 正确；对于D ，x=-1时，x 2-5x-6=0，∴充分性成立，x 2-5x-6=0时，x=-1或者x=6，必要性不成立，是充分不必要条件，D 错误 应选：C ．7.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆22194x y 的位置关系为()A.相切B.相离C.相交D.不确定 【答案】C 【解析】 【分析】求得直线过的定点，这个定点在椭圆内部，由此判断直线和椭圆相交. 【详解】依题意，直线方程为11y k x ，所以直线过点1,1，这个点在椭圆的内部，故直线和椭圆一定相交，应选C.【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察含有参数的直线方程过定点的问题，属于根底题.221:4470O x y x y 和222:410130O x y y y 都相切的直线条数是〔〕A.4B.3C.2D.1【答案】B 【解析】试题分析:圆11(2,2),1O r ，22(2,5),4O r，12125OO r r ，圆1O 和圆2O 外相切，所以与圆1O 和圆2O 相切的直线有3条.应选B ． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两圆的位置关系．x y 、满足条件101010x y y x y ，那么z=2x-y 的最大值为〔〕 A.2B.3C.2D.1 【答案】D 【解析】 【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线20x y 到可行域边界的位置，由此求得目的函数的最大值.【详解】画出可行域如以下列图所示，由图可知，目的函数2z x y 在点0,1A 处获得最大值，且最大值为011z.应选D【点睛】本小题主要考察利用线性规划求线性目的函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目的函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于根底题.10.在区间[0，1]上任取两个实数a，b，那么函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为()A.12B.34C.23D.14【答案】B【解析】【分析】函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点的条件，得到a，b满足的条件，利用几何概型的概率公式求出对应的面积即可得到结论．【详解】∵a，b是区间[0，1]上的两个数，∴a，b对应区域面积为1×1=1假设函数f〔x〕=x2+ax+b2无零点，那么△=a2-4b2＜0，对应的区域为直线a-2b=0的上方，面积为113 11224，那么根据几何概型的概率公式可得所求的概率为34．应选：B．【点睛】此题主要考察几何概型的概率计算，根据二次函数无零点的条件求出a，b满足的条件是解决此题的关键．2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为2，那么mn的值是()A.2C.2【答案】A 【解析】 【分析】设MN 的中点为A ，利用点差法，列出直线MN 的斜率和直线OA 斜率的关系式，由此求得mn的值. 【详解】设1122,,,M x y N x y ，设MN 中点为1212,22x x y y A，直线MN 的斜率为1，直线OA 的斜率为121212122,22y y x x x x y y .由于,M N 在椭圆上，故2211222211mx ny mxny，两式相减得222212120m x x n y y ，化简为12121212x x y y m n y y x x ，即221,2m mn n .应选A. 【点睛】本小题主要考察利用点差法，解有关直线和椭圆相交所得弦的中点有关的问题，属于根底题.22:5C x y x 内，过点53,22A有n 条弦的长度成等差数列，最短的弦长为数列的首项1a ，最长的弦长为n a ，假设公差11,63d，那么n 的取值集合为() A.4,5,6 B.6,7,8,9 C.3,4,5 D.3,4,5,6 【答案】A 【解析】由题设圆的圆心坐标与半径分别为55(,0),22C r，最长弦与最短弦分别为125925,2444na L ra ，所以1111(,]1163n a a dn n ，解之得47n ，即4,5,6n，应选答案A 。

高2025届2023—2024学年（上）12月名校联考数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线1l ：230ax y -+=与直线2l ：()120x a y +--=互相垂直，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-12．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（ ）A ．π4B ．π3C ．3π4D ．5π63．若圆E ：224x y +=与圆F ：()221x y a +-=仅有一条公切线，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．1±C ．3±D ．14．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，12a =，则2023a =（ ）A ．2B ．12C ．-1D ．20235．已知F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上一动点，若()1,2A ，则PA PF +的最大值为（ ）A ．6-B ．6+C ．6-D ．66．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和抛物线C 分别交于A ，B 两点，且60AFB ∠=︒，则AB =（ ）A ．2B ．C ．D ．47．已知椭圆M ：()222210x y a b a b +=>>，点,2a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭在其上，直线l 交椭圆于A ，B 两点，△ABC 的重心是坐标原点，则直线l 的斜率为（ ）A B C ．D 8．已知1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点，过点2F 倾斜角为150°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B ，若11AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2C D 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．当14t <<时，曲线C 是椭圆B ．当4t >或1t <时，曲线C 是双曲线C ．若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<D ．若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则4t >10．已知直线l ：0kx y k --=，圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 恒过点()1,0B ．4D =，2E =C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为D ．当1k =时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称11．已知斜率为2的直线交抛物线2y x =于()11,A x y 、()22,B x y 两点，下列说法正确的是（）A ．12x x 为定值B ．线段AB 的中点在一条定直线上C ．11OA OBk k +为定值（O 为坐标原点，OA k 、OB k 分别为直线OA 、OB 的斜率）D ．AFBF为定值（F 为抛物线的焦点）12．已知椭圆C ：22163x y +=，1F ，2F 是其左、右焦点，P 为椭圆C 上的一点，下列结论正确的是（ ）A ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有四个B ．直线l 为椭圆C 在P 点处的切线，过1F 作1F H l ⊥于H ，则2HF 可能为4C ．过点()2,1P 作圆M ：222x y +=的一条切线，交椭圆C 于另一点Q ，（O 为坐标原点）则OP OQ⊥D ．过点()2,1P 作圆M ：()(22210x y rr -+=<<的两条切线，分别交椭圆C 于E ，H 两点，则直线EH过定点()6,3-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线C ：214x y =，则抛物线C 的焦点坐标为________．14．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()00,M x y 在椭圆C 上，且1260F MF ∠=︒，则0y =________．15．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ．过2F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ．已知22PF =，直线1PF ，则双曲线的方程为________．16．若0m >，则2m +的最小值是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知{}n a 是等差数列()*n N ∈，若12a=，514a =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明{}1n n a a ++是等差数列．18．（12分）设a 为实数，已知双曲线C ：2213x y a -=与椭圆22215x y a+=有相同的焦点1F ，2F ．（1）求a 的值；（2）若点P 在双曲线C 上，且12PF PF ⊥，求12F PF △的面积．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C ．①点P 到1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离比P 到y 轴的距离大12；②过点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径．在①和②中选择一个作为条件．（1）选择条件：________，求曲线C 的方程；（2）设直线()()20y k x k =-≠与曲线C 相交于M ，N两点，若MN =，求实数k 的值．20．（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>点1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，点A 是椭圆上任意一点，O 为坐标原点，且OA 的最小值为1，124AF AF +=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()3,0H -作直线l 与椭圆C 交于不同两点P ，Q ，点M 是线段PQ 的中点，过点M 作直线l 的垂线交x 轴于点N ．求MN 的取值范围．21．（12分）已知圆C与直线20x -+=相切于点(，且圆心C 在x 轴的正半轴上．（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0A 作直线交圆C 于M ，N 两点，且M ，N 两点均不在x 轴上，点()4,0B ，直线BN 和直线OM 交于点G ．证明：点G 在一条定直线上，并求此直线的方程．22．（12分）设()2,0F 是双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，离心率2e =，过F 的直线l交双曲线C 的右支于P 、Q 两点．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点P 作PA x ⊥轴于A ，过点Q 作QB x ⊥轴于B ，直线AQ 交直线12x =于M ，记△MAB 的面积为1s ，△MPQ 的面积为2s ．求12s s 的值．高2025届2023—2024学年（上）12月名校联考数学试题参考答案1—5 CBBAB 6—8 DBD 9．BC 10．ACD 11．BC12．BCD13．()1,01415．22124x y -=16．2-17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，12a =，514a =-，5144a a d -==-所以()()11446n a a n n =+--=-+，*n N∈（2）因为()()21128n n n n n n a a a a a a +++++-+=-=-所以{}1n n a a ++是公差为-8的等差数列18．解：（1）根据题意，显然0a >，且双曲线C 的焦点在x 轴上，故235a a +=-，即220a a +-=，()()210a a +-=，解得2a =-或1a =，又0a >，故1a =；（2）由（1）可得双曲线C 方程为：2213y x -=，设其左右焦点分别为1F ，2F ，故可得()12,0F -，()22,0F ；不妨设点P 在双曲线C 的左支上，由双曲线定义可得：212PF PF -=，又三角形12PF F 为直角三角形，则22212121242PF PF PF PF F F +=+=，即126PF PF =故12PF F △的面积12132S PF PF ==．19．解：（1）选①：即点P 到F 的距离等于点P 到12x =-的距离，由抛物线定义可得22y x =．选②：过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，交直线12x =-于点P '，设动圆的圆心为E ，半径为r ，则E 到y 轴的距离为r ，在梯形OFPH 中，由中位线性质可得122PH r =-，所以112222PP r r '=-+=，又2PF r =，所以PP PF '=，由抛物线的定义知，点P 是以1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点的抛物线，所以曲线C 的方程为：22y x =．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将()2y k x =-代入22y x =，消去y 整理得()222222140k x k x k -++=．当()2222421440k k k ∆=+-⋅>时，()22122222142k kx x kk+++==，124x x =．2MN x =-=MN ==，化简得：()()224116440kkk ++=，解得21k =，经检验，此时0∆>，故1k =±．20．解：（1）由题即OA的最小值为1，故1b =，又24a =，2a =，所以椭圆的标准方程为：2214x y +=（2）①设直线l 的方程为：3x ty =-，()11,P x y ，()22,Q x y 联立223,1,4x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224650t y ty +-+=，由()22362040t t ∆=-+>得25t >，12264t y y t +=+，12254y y t =+∴234M t y t =+，21234M M x ty t -=-=+，22123,44t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭直线MN 的方程：2212344ty t x t t ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭令0y =，294N x t -=+，∴294N MN x t =-==+令m =>∴23333m MN m m m==++，3y m m =+在)+∞单调递增∴3y m m ⎫=+∈+∞⎪⎪⎭，∴MN ⎛∈ ⎝②若直线l 倾斜角为0时，则直线l 方程为0y =，此时M ，N 重合，0MN =综上：MN ⎡∈⎢⎣21．解：（1）设圆心()(),00C a a >，点C在与切线垂直且过切点的直线：y =+上∴()2,0C ，半径2r ==∴圆C 的方程为：()2224x y -+=（2）设()11,M x y ，()22,N x y 直线MN 方程为：1x my =+联立()22241x y x my ⎧-+=⎪⎨=+⎪⎩得()221230m y my +--=，0∆>，12221m y y m +=+，12231y y m -=+直线OM 方程为：11y y x x =，直线BN 方程为：()2244y y x x =--联立()112244y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩可得()2222121221221112122223344411422343321m my y x y my y y m m x m x y x y y y y y y y y m --+++++=====--+++-+∴点G 在直线2x =-上22．解：（1）由题226b a=，2c =得1a =，b =故双曲线的标准方程为2213y x -=（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，易知PQ 斜率不为0，故设直线PQ 的方程为2x my =+联立22132y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()22311290m y my -++=，2310m -≠，()2214436310m m ∆=-->，1221231m y y m -+=-，122931y y m =-由PQ直线与双曲线右支交于两点得m ⎛⎫⎛∈ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 直线AQ 的方程为()2121y y x x x x =--所以()()2121121,22y x M x x ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭法一：下证明P ，B ，M 三点共线112PB y k x x =-，()()()()()2121212122122121122MBy x x x y x k x x x x ---==---即证()()12212112y x y x -=-，也即证()121234y y my y +=-由韦达定理显然成立。

一、 选择题DDACA DCCDD BB二、填空题 13 14 15 16三、解答(ji ěd á)题17. 解：〔Ⅰ〕由，解得，所以 又，因为，解得，所以． 当时，，又为真，都为真，所以．……5分 〔Ⅱ〕由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，由〔Ⅰ〕:25p x <<，:3q m x m <<， 所以，即 . ……10分18. 解：〔1〕因为， ， 成等差数列， 所以， 所以，所以(suǒyǐ)，因为数列是等比数列，所以，又，所以，所以数列{}n a的通项公式．………………6分〔2〕由〔1〕知，，，所以．故．…………………………………12分19. 〔1〕证明：连接是长方体，平面又平面ABCD，在长方形ABCD中，，又平面(píngmiàn)而平面BB D D,………………………………6分11〔2〕如图，以为坐标原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,那么,设平面的法向量为,那么令那么所以与平面AD E所成角的正弦值为………………………………12分120．解：〔Ⅰ〕∵圆G：经过(jīngguò)点．，∴，．∴．故椭圆的方程为．…………4分〔Ⅱ〕设直线的方程为．由消去得．设，，那么，，………6分∴．∵，……………………………8分∴=……………………10分∵点F在圆G的内部，∴，即，解得由△=，解得．又，∴．…………………………………12分21. 证明(zhèngmíng)：〔Ⅰ〕取中点为，中点为，连接侧面为正三角形，平面平面ABCD且平面平面，平面ABCD，平面ABCD，，又，平面PAD，平面PAD，，，那么，又是中点，那么，，平面，AE 平面，平面平面PCD.………6分x y z轴建立空间直角坐〔Ⅱ〕如图，以O为坐标原点，以所在的直线为,,标系,那么令，那么.由〔Ⅰ〕知为平面的法向量，令为平面(píngmiàn)的法向量，由于，故即解得故，由，解得.…………10分故四棱锥的体积.…………………12分22.解：〔Ⅰ〕依题意可得，．设椭圆的方程为，因为椭圆M的离心率为，所以，即．所以椭圆M的方程为．……………………………………2分证法1：设点、〔，，〕，直线的斜率为〔〕，那么直线AP的方程为，联立方程组整理(zh ěngl ǐ)，得，………………4分 解得或者．所以． 同理可得，…所以． ………………………………6分 证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y 〔0i x >，0i y >，1,2i =〕， 那么，．因为， 所以，即． 因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，． 即，．所以， 即．所以211x x =． …………………………………6分 〔Ⅱ〕解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y 〔0i x >，0i y >，1,2i =〕，那么，．因为(y īn w èi)，所以，即．因为点P 在双曲线上，那么221112y x -=， 所以，即．因为点P 是双曲线在第一象限内的一点 所以． …………………………………………………8分因为，，所以．由〔Ⅰ〕知， 211x x =．设，那么，．因为在区间上单调递增，．所以即当时， ………………………………………12分内容总结（1）选择题DDACA DCCDD BB二、填空题13 14 15 16三、解答题17. 解：〔Ⅰ〕由，解得，所以又，因为，解得，所以．当时，，又为真，都为真，所以．（2）6分∴．∵，（3）4分解得或者．所以．同理可得，（4）12分。

绝密★启用前2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}0,1,4,0,3,4M N ==，则()U M N ⋂=ð（ ）A.{}3B.{}0,2,3,4C.{}0,1,2,4D.{}0,1,2,3,42.若复数z 满足216i z z =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）3.已知实数,x y 满足不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则3z x y =-的最小值是（ ）A.1B.2C.3D.64.已知α为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为45-，则5cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.C.5.已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，它在抛物线C 的准线l 上的射影为点,Q F 是抛物线C 的焦点，若FPQ 是边长为2的等边三角形，则抛物线C 的准线l 的方程为（ ）A.14x =-B.12x =-C.1x =- D.2x =-6.某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学A 参加这项活动，则他获奖的概率为（ ）A.172 B.136C.118D.197.已知函数()()cos (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，则ϕ=（ ）A.6πB.3πC.4πD.23π8.某校为庆祝建校60周年，有奖征集同学们设计的文创作品.王同学设计的一款文创水杯获奖，其上部分是圆台（多功能盖），下部分是正六棱台（水杯），圆台与棱台的高之比为0.382：0.618，寓意建校60周年，学校发展步入黄金期.这款水杯下部分的三视图如图所示，则这款水杯下部分的容（体）积约为（）A.B.C.D.9.已知函数()()[)2log ,43,4,3x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨∈+⎪-⎩，则满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为（ ）A.][0,24,6⎡⎤⋃⎣⎦B.[]11,4,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C.[]11,2,482⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦D.[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦10.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos2A Cb B C a ++=，且ABC的面积为，则22a c b+的最小值为（）A.2C.4D.11.已知双曲线2222:1(0,0)y x E a b a b-=>>，过点(),0M b -的两条直线12,l l 分别与双曲线E 的上支､下支相切于点,A B .若MAB 为锐角三角形，则双曲线E 的离心率的取值范围为（）A.⎛ ⎝B.⎛ ⎝C.∞⎫+⎪⎪⎭ D.∞⎫+⎪⎪⎭12.已知323sin ,,ln 232a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b a c >> B.a b c>>C.a c b>> D.b c a>>二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ∥()2a b - ，则实数m 的值为__________.14.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,2,ABC AB AC BC PA ====，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积等于__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3220,21n n S na n S -+==-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.16.设函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且x ∀∈R ，都有()()20f x f x --=.当(]0,1x ∈时，()ln 21f x x x =+-，则函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有__________个零点.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某社区为了解居民生活垃圾分类的投放情况，对本社区10000户居民进行问卷调查（满分：100分），并从这10000份居民的调查问卷中，随机抽取100份进行统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计该社区10000份调查问卷得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数；（2）该社区从调查问卷得分为满分的居民中随机挑选了6户，其中两户为,A B ，并将这6户居民随机分配到社区两个宣传点，每个宣传点3户，且每户居民只能去一个宣传点，帮助社区工作人员开展宣传活动，求,A B 两户居民分在不同宣传点的概率.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，4,2,,PA PD AD AB M N ====分别为,PD AB 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求证：MN ∥平面PBC ；（3）求三棱锥A CMN -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1328,327a a ==，213n n nn b a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为())12,F F ，点P 在椭圆E 上，且满足2PF x ⊥轴，12tan PF F ∠=.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的右顶点为A ，左顶点为B ，是否存在异于点A 的定点(),0(0)Q m m >，使过定点(),0Q m 的任一条直线l 均与椭圆E 交于()()1122,,,M x y N x y （异于,A B 两点）两点，且使得直线AN 的斜率为直线BM 的斜率的2倍？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()eexax f x x +=+，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求函数()f x 的最值；（2）当(]0,e a ∈时，讨论函数()f x 的极值点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为4334x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线M 交于,A B 两点，求AOB 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|1|||f x x x m =--+.（1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若()3f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学·全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】因为全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,4M =，所以{}U 2,3M =ð.又{}0,3,4N =，所以(){}U3M N ⋂=ð.故选A.2.A 【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 2i 16i a b a b +=-+-，所以21,26a a b b =+=--，解得1,2a b =-=-，所以z ==，故选A.3.C 【解析】作出不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩所表示的可行域，如图中阴影部分所示.3z x y =-，即3y x z =-.当直线3y x =自左上向右下平移时，z -逐渐减小，z 逐渐增大，所以当直线3y x z =-经过直线20x y -=与直线6120x y --=的交点()3,6C 时，z 取得最小值，最小值为3363⨯-=.故选C .4.D 【解析】由题意，得43cos ,sin 55αα=-=，所以5333cos cos cos cos sin sin 4444ππππαααα⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.5.B 【解析】不妨设点P 的坐标为()()1111,0,0x y x y >>，依题意，得FQ PQ =，即12p x =+①.又2112y px =②，联立①②，解得113,2p x y ==.22p ==，得1p =，所以抛物线C 的准线l 的方程为122p x =-=-，故选B .6.D 【解析】设同学A 随机抽取得到的两位数的十位数字为x ，个位数字为()y x y >.依题意，若2x =，则1y =，有1种情况；若3x =，则1,2y =，有2种情况⋅ 若9x =，则1,2,,8y = ，有8种情况，共计有12836+++= 种情况，其中满足获奖的情况是()()101045x y y x +-+=，即5x y -=，也即获奖情况只有6,1;7,2;8,3;9,4x y x y x y x y ========，这4种情况，所以该班同学A 参加这项活动获奖的概率为41369=.故选D.7.B 【解析】因为()()cos (0)f x x ωϕω=+>在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且263f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2,1366T f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2,cos 13πωϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以()23k k πϕπ=+∈Z .又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故选B.8.A 【解析】由三视图，知这款水杯的下部分是上底边长为4，下底边长为3，高为6的正六棱台，226364S S ====下底上底，所以这款水杯下部分的容（体）积约为(11633V S S h =++⨯=⨯⨯=下底上底.故选A.9.D 【解析】令()1f x =，则()()2log 10,4xx =∈∣或[)()314,3x x ∞=∈+-，解得12x =或2x =或6x =.令()3f x =，则()()2log 30,4xx =∈∣或[)()334,3x x ∞=∈-，解得18x =或4x =.画出函数()f x 图象的草图（如图），得满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.故选D.10.B 【解析】由正弦定理和()sin cos 2A Cb B C a ++=，得sin sin sin sin 2B B A A ⋅=⋅.因为sin 0,sin02B A >>，所以1cos 22B =.因为0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23B π=.又ABC1sin 2ac B =，所以4ac =.由余弦定理，得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=，当且仅当a c =时取等号，所以b ≥，所以22244a cb b b b b+-==-.因为函数4y b b =-在)∞⎡+⎣上单调递增，所以当b =时，22a c b +故选B.11.D 【解析】如图，设过点(),0M b -的直线()1:(0)l y k x b k =+>，联立()22221y k x b y x ab ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，整理，得()()222232222220b k axb k x b b k a -++-=，依题意，得()2642222Δ440b k bb ka=--=，所以2222a k b=.由双曲线的对称性，得201k <=<，所以()2222a c a <-，整理，得双曲线E的离心率c e a =>故选D.12.B 【解析】方法一：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.设()1ln g x x x =--，则()111x g x x x -=-='，当[)1,x ∞∈+时，()10x g x x-=≥'，所以()3111ln102g g ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，所以331ln 22->，即13ln 22>，所以213ln 322b c =>>=.综上，得a b c >>，故选B .方法二：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.又213ln 322b c =>=>==.综上，得a b c >>，故选B.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.12-【解析】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ∥()2a b - ，所以()()423210m m ++-=，解得12m =-.故填12-.14.1225π【解析】如图，由已知，得ABC 的面积为112⨯=三棱锥P ABC -在底面ABC 上的高为PA =，等腰三角形PBC 底边BC 上的高为2，所以三棱锥P ABC -的表面积1122222S =⨯⨯+⨯⨯=，体积113V ==.又三棱锥P ABC -的体积13V Sr =（其中r 为三棱锥P ABC -内切球的半径），所以r =，所以三棱锥P ABC -的内切球的表面积为212425r ππ=.故填1225π.15.53n -+ 【解析】方法一：当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.又220n n S na n -+=，所以()()1222n n n n a n a a S -+==，所以数列{}n a 为等差数列.又321S =-，所以()313212a a +=-，解得312a =-，所以数列{}n a 的公差3152a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.方法二：*,220n n n S na n ∀∈-+=N 恒成立，当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.当3n =时，332360S a -+=，且321S =-，解得312a =-.当2n ≥时，()()1121210n n S n a n ----+-=①，又220n n S na n -+=②，①-②，得()()12120n n n a n a -----=③，所以()1120n n n a na +---=④.④-③，得()()11120n n n n a a a +---+=.因为2n ≥，所以1120n n n a a a +--+=，即11n n n n a a a a +--=-.又132,12a a =-=-，所以数列{}n a 是首项为-2，公差为-5的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.16.6 【解析】如图，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =.又()()20f x f x --=，即()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以4是函数()f x 的一个周期，所以()()()0240f f f ===.易知函数()ln 21f x x x =+-在(]0,1上单调递增，且()11ln 11ln20,1ln1211022f f ⎛⎫=+-=-<=+-=>⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间()0,1上仅有1个零点，且零点在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上.由对称性，知函数()f x 在区间()1,2上有且仅有1个零点.因为()f x 是定义域为R 的奇函数且是4是它的一个周期，所以()()40f x f x -+=，所以函数()f x 的图象关于点()2,0中心对称，所以函数()f x 在区间()2,4上有且仅有2个零点.因为函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，所以函数()f x 在区间94,2⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点.结合()()240f f ==，得函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有6个零点.故填6.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）【解析】（1）由频率分布直方图，得样本平均数为()550.008650.012750.024850.040950.01610x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯79.4=，所以估计该社区10000份调查问卷得分的平均数为79.4.因为这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的频率为()90850.0400.016100.36-⨯+⨯=，所以估计该社区这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数为100000.363600⨯=.（2）将6户居民分别记为,,,,,A B c d e f ，依题意，6户居民被随机分到两个宣传点的所有情况有(),ABc def ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,ABd cef ABe cdf ABf cde Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd cde ABf ，()()(),,,,,cdf ABe cef ABd def ABc ，共20种，其中,A B 两户居民分在不同宣传点的情况有()()()()(),,,,,,,,,Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd ，共12种，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率123205P ==.另解：若采用排列组合解答酌情给分：6户居民均分到两个宣传点共有36C 种情况，其中,A B 两户居民分在相同宣传点有142C 种情况，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率14362C 31C 5P =-=.18.（12分）【解析】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD CD =⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为在PAD 中，,PA PD AD M ==为PD 的中点，所以AM PD ⊥.又,CD PD D CD ⋂=⊂平面,PCD PD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .（2）如图，取PC 的中点E ，连接,ME BE .因为M 为PD 的中点，所以ME ∥CD ，且12ME CD =.又N 为AB 的中点，底面ABCD 为矩形，所以BN∥CD ，且12BN CD =，所以BN ∥EM ，且BN EM =，所以四边形NBEM 为平行四边形，所以BE ∥NM .又BE ⊂平面,PBC MN ⊄平面PBC ，所以MN∥平面PBC .（3）如图，因为,4,2A CMN M ACN V V PA PD AD AB --=====，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以点P 到平面ABCD 的距离即为等边三角形PAD 的高，所以点P 到平面ABCD 的距离为4=.又M 为PD 的中点，所以点M 到平面ANC 又11422ANC S =⨯⨯= ，所以123M ACN V -=⨯=A CMN -.19.（12分）【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.由1328,327a a ==，得228327q =，解得249q =.因为{}n a 的各项均为正数，所以23q =，所以数列{}n a 是以23为首项，23为公比的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1222333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由（1）得21212132233n nn n n n n n n b a ---===⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，所以1221321222n n n n T b b b -=+++=+++ ，231113212222n n n T +-=+++ ，两式相减，得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--1323,22n n ++=-所以2332n nn T +=-.20.（12分）【解析】（1）因为2PF x ⊥12tan PF F ∠，解得21,2PF =所以172PF ==.根据椭圆的定义，得12712422a PF PF =+=+=，解得2a =.又c =，所以2221b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在满足题意的定点(),0Q m .依题意，设直线l 的方程为,0x ty m m =+>，联立2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理，得()2224240t y tmy m +++-=，由()()()22222Δ(2)4441640tm t mt m =-+-=-+>，得224m t <+.由根与系数的关系，得212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++.由()()2,2,0,2,0ANBM k k A B =-，得2121222y y x x =⋅-+，所以2121222y y ty m ty m =⋅+-++，即()()1212222m y m y ty y --++=，所以()()()212242224t m m y m y t ---++=+，所以()()()21221224222424t m m y m y t tm y y t ⎧-⎪--++=⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩，所以()()()()()21212222222224m y m y tm m m y m y t ⎧⎪--++=⎪⎨+⎪+++=-⎪+⎩②，②-①，得()()()12232324t m m m y t -+--=+，当320m -≠时，解得()()12222424t m y t t m y t ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，所以()()22122244t m y y t-=+.又212244m y y t -=+，所以()()2222224444t m mt t --=++.因为上式在t 变化时恒成立，所以240m -=.又0m >，所以2m =.此时点Q 与点A 重合，不合题意，舍去；所以320m -=，即23m =，此时点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部，满足直线l 均与椭圆E 交于,M N 两点，所以存在定点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，23m =.21.（12分）【解析】（1）当1a =-时，()e e x x f x x -+=+，则()e 1e e 11e ex x xx x f x '--+--=+=.令()e e 1xx x ϕ=+--，则()x ϕ在R 上单调递增，且()1e 1e 10ϕ=+--=，所以当(),1x ∞∈-时，()0x ϕ<，即()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0x ϕ>，即()0f x '>，所以()f x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值()112ef =-，即()f x 有最小值12e-，没有最大值.（2）因为()e e x ax f x x +=+，其中(]0,e a ∈，所以()()()2e e e e e 1e ex x x x x a ax ax a f x -+⋅'-+-=+=.令()e e xg x ax a =-+-，则()e xg x a '=-.因为0a >，令()e 0xg x a =-='，则ln x a =，所以当(),ln x a ∞∈-时，()0g x '<；当()ln ,x a ∞∈+时，()0g x '>，所以()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以()min ()ln 2ln e g x g a a a a ==--.设()2ln e h a a a a =--，其中(]0,e a ∈，则()1ln h a a =-'.令()1ln 0h a a =-='，解得e a =.当(]0,e a ∈时，()0h a '≥，所以()h a 在(]0,e 上单调递增，所以()max ()e 2e elne e 0h a h ==--=.所以当()0,e a ∈时，min ()2ln e 0g x a a a =--<；当e a =时，min ()0g x =.①当e a =时，min ()0g x =，即()0g x ≥，也即()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点.②当()0,e a ∈时，()ln 1,a g x <在(),ln a ∞-上单调递减.设()e e ln ln t a a a a a ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，则当()0,e a ∈时，()221e e 0a t a a a a '-=-=<，所以()()e 20t a t >=>，即当()0,e a ∈时，eln a a-<.又()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减，且在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以当e ,x a ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()e ee e e e e 0aa g x g a a a --⎛⎫>-=++-=+> ⎪⎝⎭，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上没有零点，且()e ln 0g g a a ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭.又()g x 在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内存在唯一0x ，使()00g x =，所以当()0,x x ∞∈-时，()0g x >；当()0,ln x x a ∈时，()0g x <，也即当()0,x x ∞∈-时，()0f x '>；当()0,ln x x a ∈时，()0f x '<，所以0x 为()f x 的一个极大值点.又()()10,g g x =在()ln ,a ∞+上单调递增，ln 1a <，所以当()ln ,1x a ∈时，()0g x <；当()1,x ∞∈+时，()0g x >，即当()ln ,1x a ∈时，()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，所以1为()f x 的一个极小值点，所以当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点.综合①②，当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点；当e a =时，()f x 没有极值点.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）直线l 的参数方程为4334x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 并整理，得4370x y --=.因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 70ρθρθ--=.（2）由（1）知直线l 的普通方程为4370x y --=.曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+，化为直角坐标方程为22(4)(3)25x y -+-=，所以曲线M 是圆心为()4,3，半径为5的圆.又直线l 过圆心()4,3，所以10AB =，所以原点O 到直线l的距离75d ，所以AOB 的面积1710725AOB S =⨯⨯= .23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当1m =时，()2,1112,11,2,1x f x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎩所以()1f x ≥可化为211x ≥⎧⎨≤-⎩，或2111x x -≥⎧⎨-<<⎩，或211x -≥⎧⎨≥⎩，解得1,2x ≤-所以不等式()1f x ≥的解集为1,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.（2）()3f x ≤恒成立，即13x x m --+≤恒成立.因为||1|||||1|x x m m --+≤+恒成立，所以13m +≤，解得42m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[]4,2-.。

第二中学2021-2021学年高二数学12月月考试题文〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项．1．双曲线的HY方程是，其渐近线方程是〔〕A．y＝±3x B．y＝±4x C．x＝±4y D．x＝±3y2．以下命题中的假命题是〔〕A．质数都是奇数B．函数y＝sin x是周期函数C．112能被7整除D．奇函数的图象关于坐标原点对称3．设m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是〔〕A．假设m∥α，n⊂α，那么m∥n B．假设m⊂α，n⊂β，α⊥β，那么m⊥nC．假设m∥n，n⊥β，那么m⊥βD．假设m⊥β，α⊥β，那么m∥α4．椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，那么椭圆的HY方程为〔〕A．B．C．D．5．椭圆＝1与双曲线＝1有一样的焦点，那么m的值是〔〕A．1 B．C．2 D．36．假设椭圆〔a＞b＞0〕的离心率为，那么双曲线的离心率是〔〕A．2 B．C．D．37．圆C与直线x﹣y＝0及x﹣y﹣4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，那么圆C的方程为〔〕A．〔x+1〕2+〔y﹣1〕2＝2 B．〔x﹣1〕2+〔y+1〕2＝2C．〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2＝2 D．〔x+1〕2+〔y+1〕2＝28．抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A〔2，2〕，在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，那么P点坐标为〔〕A．〔﹣2，2〕B．〔1，〕C．〔1，2〕D．〔1，﹣2〕9．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax﹣y+b＝0和曲线bx2+ay2＝ab的大致图形是〔〕A．B．C．D．10．某几何体的三视图〔单位：cm〕如下图，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，那么这个几何体的体积是〔〕A．2 cm3B．cm3C．3cm3D．3 cm311．A〔﹣1，0〕，M是圆B：x2﹣2x+y2﹣7＝0〔B为圆心〕上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，那么点P的轨迹方程是〔〕A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝112．x，y满足，假如目的函数z＝的取值范围为[0，2〕，那么实数m的取值范围为〔〕A．[0，] B．〔﹣∞，] C．〔﹣∞，〕D．〔﹣∞，0]二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13．“假设X＞5，那么X2＞25〞的逆否命题是．14．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B〔﹣5，0〕和C〔5，0〕，顶点A在双曲线的右支上，那么＝．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BA1与平面A1B1CD所成的角是．16．点A〔0，1〕，抛物线C：y2＝ax〔a＞0〕的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，假设|FM|：|MN|＝1：3，那么实数a的值是．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．双曲线C的焦点坐标为F1〔，0〕，F2〔，0〕，实轴长为6．〔1〕求双曲线C HY方程；〔2〕假设双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．18．某抛物线型拱桥水面宽度20m，拱顶离水面4m，现有一船宽9m，船在水面上高3m．〔1〕建立适当平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线HY方程；〔2〕计算这条船能否从桥下通过．19．点P〔4，0〕，点Q在曲线C：y2＝4x上．〔1〕假设点Q在第一象限内，且|PQ|＝4，求点Q的坐标；〔2〕求|PQ|的最小值．20．如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AE＝AF＝2，M为BC 边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF，折到DEF的位置，使．〔1〕证明DO⊥平面EFCB；〔2〕试在BC边上确定一点N，使EN∥平面DOC，并求的值．21．焦点在x轴上的双曲线C过点，且其渐近线方程为．〔1〕求双曲线C的HY方程；〔2〕假设直线y＝ax+1与双曲线C的右支交于A，B两点，务实数a的取值范围．22．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1〔﹣2，0〕，点B 〔2，〕在椭圆C上，直线y＝kx〔k≠0〕与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N〔Ⅰ〕求椭圆C的方程〔Ⅱ〕以MN为直径的圆是否经过定点？假设经过，求出定点的坐标；假设不经过，请说明理由．2021-2021学年二中高二〔上〕12月月考数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项．1．双曲线的HY方程是，其渐近线方程是〔〕A．y＝±3x B．y＝±4x C．x＝±4y D．x＝±3y【解答】解：双曲线的HY方程是，可得a＝1，b＝3，由于渐近线方程为y＝±3x，即为y＝±3x．应选：A．2．以下命题中的假命题是〔〕A．质数都是奇数B．函数y＝sin x是周期函数C．112能被7整除D．奇函数的图象关于坐标原点对称【解答】解：2是质数，也是偶数，所以A不正确；函数y＝sin x是周期函数，正确；112÷7＝16，所以112能被7整除，正确；奇函数的图象关于坐标原点对称，正确；应选：A．3．设m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是〔〕A．假设m∥α，n⊂α，那么m∥n B．假设m⊂α，n⊂β，α⊥β，那么m⊥nC．假设m∥n，n⊥β，那么m⊥βD．假设m⊥β，α⊥β，那么m∥α【解答】解：A，m，n也可能异面，故错误；B，m，n存在多种位置关系，不一定垂直，故错误；C，平行线中的一条垂直一个平面．那么另一条也垂直该平面，故正确；D，存在m⊂α的情况，故错误．应选：C．4．椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，那么椭圆的HY方程为〔〕A．B．C．D．【解答】解：双曲线的焦点〔5，0〕，〔﹣5，0〕是椭圆的顶点，那么所求椭圆方程中的长半轴a＝5．双曲线的顶点为〔4，0〕，〔﹣4，0〕是椭圆的焦点，那么椭圆的半焦距c ＝4，那么b＝3．椭圆的HY方程为．应选：A．5．椭圆＝1与双曲线＝1有一样的焦点，那么m的值是〔〕A．1 B．C．2 D．3【解答】解：椭圆＝1得∴c1＝，∴焦点坐标为〔，0〕〔﹣，0〕，双曲线＝1的焦点必在x轴上，那么半焦距c2＝∴＝解得实数m＝1．应选：A．6．假设椭圆〔a＞b＞0〕的离心率为，那么双曲线的离心率是〔〕A．2 B．C．D．3【解答】解：椭圆〔a＞b＞0〕的离心率为，可得，即：，可得，在那么双曲线中，由，即，可得，∴e＝．应选：C．7．圆C与直线x﹣y＝0及x﹣y﹣4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，那么圆C的方程为〔〕A．〔x+1〕2+〔y﹣1〕2＝2 B．〔x﹣1〕2+〔y+1〕2＝2C．〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2＝2 D．〔x+1〕2+〔y+1〕2＝2【解答】解：圆心在x+y＝0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心〔﹣1，1〕到两直线x﹣y＝0的间隔是；圆心〔﹣1，1〕到直线x﹣y﹣4＝0的间隔是．故A错误．应选：B．8．抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A〔2，2〕，在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，那么P点坐标为〔〕A．〔﹣2，2〕B．〔1，〕C．〔1，2〕D．〔1，﹣2〕【解答】解：根据抛物线的定义，点P到焦点F的间隔等于它到准线l的间隔，设点P到准线l：x＝﹣1的间隔为PQ，那么所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；根据平面几何知识，可得当P、A、Q三点一共线时|PA|+|PQ|最小，∴|PA|+|PQ|的最小值为A到准线l的间隔；此时P的纵坐标为2，代入抛物线方程得P的横坐标为1，得P〔 1，2〕应选：C．9．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax﹣y+b＝0和曲线bx2+ay2＝ab的大致图形是〔〕A．B．C．D．【解答】解：整理曲线的方程得＝1，整理直线方程得y＝ax+b对于A选项观察直线图象可知斜率小于0即，a＜0，b＞0那么曲线的方程的图象一定是双曲线，故A不符合．B，D选项里面，直线的斜率a＞0，截距b＜0，那么曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故B正确，D错误．C项中直线斜率a＜0，那么曲线一定不是椭圆，故C项错误．应选：B．10．某几何体的三视图〔单位：cm〕如下图，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，那么这个几何体的体积是〔〕A．2 cm3B．cm3C．3cm3D．3 cm3【解答】解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥P﹣ABCD，且侧面PCD ⊥底面ABCD，画出它的直观图，如下图；那么底面为直角梯形，面积为S梯形ABCD＝×〔1+2〕×2＝3，四棱锥的高为h＝×2＝，所以四棱锥的体积为V＝S梯形ABCD•h＝×3×＝〔cm3〕．应选：B．11．A〔﹣1，0〕，M是圆B：x2﹣2x+y2﹣7＝0〔B为圆心〕上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，那么点P的轨迹方程是〔〕A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝1【解答】解：由题意得圆心B〔1，0〕，半径等于2，|PA|＝|PB|，∴|PB|+|PM|＝|PB|+|PA|＝|BM|＝2＞|AB|，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，2a＝2，c＝1，∴b＝1，∴椭圆的方程为：＝1．应选：A．12．x，y满足，假如目的函数z＝的取值范围为[0，2〕，那么实数m的取值范围为〔〕A．[0，] B．〔﹣∞，] C．〔﹣∞，〕D．〔﹣∞，0] 【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：目的函数z＝的取值范围为[0，2〕，说明可行域内的点与〔m，﹣1〕的连线的斜率的范围是[0，2〕，直线2x﹣y﹣2＝0的斜率为2；由图形可知〔m，﹣1〕在直线BA上，且在A的左侧，∴m＜，应选：C．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13．“假设X＞5，那么X2＞25〞的逆否命题是假如X2≤25，那么X≤5 ．【解答】解：“假设X＞5，那么X2＞25〞的逆否命题是：假设X2≤25，那么X≤5．故答案为：假设X2≤25，那么X≤5．14．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B〔﹣5，0〕和C〔5，0〕，顶点A在双曲线的右支上，那么＝．【解答】解：由题意B、C分别是双曲线的左、右焦点，那么|CB|＝2c＝10，顶点A在双曲线的右支上，又可得|AB|﹣|AC|＝2a＝6，＝＝．故答案为：．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BA1与平面A1B1CD所成的角是30°〔或者〕．【解答】解：连接BC1，交B1C于点O，再连接A1O，因为是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，所以BO⊥平面A1B1CD，所以∠BA1O是直线A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1，所以在△A1BO中，A1B＝，OB＝，所以sin∠BA1O＝，所以直线A1B与平面A1B1CD所成的角的大小等于30°．故答案为：30°〔或者〕．16．点A〔0，1〕，抛物线C：y2＝ax〔a＞0〕的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，假设|FM|：|MN|＝1：3，那么实数a的值是．【解答】解：依题意得焦点F的坐标为：〔，0〕，设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，因为|FM|：|MN|＝1：3，所以|KN|：|KM|＝2：1，又k FN＝＝，k FN＝﹣＝﹣2，所以＝2，解得a＝．故答案为：．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．双曲线C的焦点坐标为F1〔，0〕，F2〔，0〕，实轴长为6．〔1〕求双曲线C HY方程；〔2〕假设双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．【解答】解：〔1〕由条件得c＝，2a＝6，a＝3，∴b＝1，∴双曲线方程为：．〔2〕由双曲线定义知|PF1﹣PF2|＝6且PF12+PF22＝〔〕2，联立解得PF1•PF2＝2，∴△PF1F2的面积为：PF1•PF2＝1．18．某抛物线型拱桥水面宽度20m，拱顶离水面4m，现有一船宽9m，船在水面上高3m．〔1〕建立适当平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线HY方程；〔2〕计算这条船能否从桥下通过．【解答】解：〔1〕以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴〔向上〕，建立直角坐标系．设拱桥所在抛物线的方程为x2＝﹣2py，那么点〔10，﹣4〕在抛物线上，所以有102＝﹣2p〔﹣4〕，解得p＝，所以拱桥所在抛物线HY方程为：x2＝﹣25y．〔2〕当x＝时，y＝﹣，所以此时限高为4﹣＝，所以，能通过．19．点P〔4，0〕，点Q在曲线C：y2＝4x上．〔1〕假设点Q在第一象限内，且|PQ|＝4，求点Q的坐标；〔2〕求|PQ|的最小值．【解答】解：〔1〕设．由题意得，解得y＝4．∴点Q的坐标为〔4，4〕．〔2〕|PQ|＝＝，当y2＝8时，|PQ|取到最小值．因此，|PQ|的最小值为．20．如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AE＝AF＝2，M为BC 边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF，折到DEF的位置，使．〔1〕证明DO⊥平面EFCB；〔2〕试在BC边上确定一点N，使EN∥平面DOC，并求的值．【解答】解：〔1〕证明：在△DOM中，易得DO＝，OM＝，DM＝，由DM2＝DO2+OM2，得DO⊥OM，又∵AE＝AF＝2，AB＝AC＝3，∴EF∥BC，又M为BC中点，∴AM⊥BC，∴DO⊥EF，EF∩OM＝O，∴DO⊥平面EBCF；〔2〕连接OC，过E作EN∥OC交BC于N，那么EN∥平面DOC，又OE∥CN，∴四边形OENC为平行四边形，∴OE＝NC，，∴，∴．21．焦点在x轴上的双曲线C过点，且其渐近线方程为．〔1〕求双曲线C的HY方程；〔2〕假设直线y＝ax+1与双曲线C的右支交于A，B两点，务实数a的取值范围．【解答】解：〔1〕由题知，即b＝a所以可设双曲线方程为﹣＝1，将点M〔1，〕代入，得﹣＝1，解得a＝，因此，双曲线C的方程为3x2﹣y2＝1．〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕联立，消去y，得〔3﹣a2〕x2﹣2ax﹣2＝0，那么x1+x2＝，x1x2＝，由题可得，解得a的取值范围是﹣＜a＜﹣．22．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1〔﹣2，0〕，点B 〔2，〕在椭圆C上，直线y＝kx〔k≠0〕与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N〔Ⅰ〕求椭圆C的方程〔Ⅱ〕以MN为直径的圆是否经过定点？假设经过，求出定点的坐标；假设不经过，请说明理由．【解答】解：〔1〕由题意可设椭圆方程为，那么，解得：a2＝8，b2＝4．∴椭圆C的方程为；〔2〕如图，设F〔x0，y0〕，E〔﹣x0，﹣y0〕，那么，A〔﹣，0〕，AF所在直线方程，取x＝0，得，∴N〔0，〕，AE所在直线方程为，取x＝0，得y＝，∴M〔0，〕．那么以MN为直径的圆的圆心坐标为〔0，〕，半径r＝，圆的方程为＝，即＝．取y＝0，得x＝±2．∴以MN为直径的圆经过定点〔±2，0〕．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

—————————— 教育资源共享 步入知识海洋 ————————2019学年高二数学12月联考试题 文时间120分钟 总分150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是（ ）A.24y x =-B.24x y =C.24y x =-或24x y =D. 24y x =或24x y =-2．已知直线()1:12l x m y m ++=-与2:2416l mx y +=-平行，则实数m 的值是（ ） A. 1 B. 2- C. 1-或2 D. 1或2-3．已知命题00:,sin p x R x ∃∈=2:,10q x R x x ∀∈-+>，则下列结论正确的是（ ）A. 命题p q ∨是假命题B. 命题p q ∧是真命题C. 命题()()p q ⌝∨⌝是真命题D. 命题()()p q ⌝∧⌝是真命题 4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5．几何体三视图如图所示，则几何体的体积为( )A. 32B. 16C. 8D.6．“方程表示焦点在轴的椭圆”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 7．已知直线:430(0)l x y m m -+=<被圆22:2260C x y x y ++--=所截的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍，则m 等于（ ）A. -2B. -3C. -4D. -58．若椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ， P 是椭圆上一点，若P 到F 的距离的最大值为5，最小值为3，则该椭圆的方程为（ ）A.2211615x y += B. 22197x y += C. 221169x y += D. 22194x y += 9．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是323π，则这个三棱柱的体积是（ ）A. 48B.C. 10．四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形， PA ⊥平面,2,ABCD PA AB E ==是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是 （ ）11．椭圆22154x y +=的左焦点为，直线与椭圆相交于点M N 、，当的周长最大时， FMN ∆的面积是（ ）A. B. C. D.12．若直线()24y k x =-+与曲线1y =有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13． 点M(2，3-，1)关于y 轴的对称点的坐标是__________．14．从动点(),2P a 向圆()()22:111C x y +++=作切线，则切线长的最小值为____________.15．已知实数x ， y 满足不等式组0,{2, 220,x y x y ≥≥-+-≤则2x y -的最大值是__________．16．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ， F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于,M N 两点，给出下列五个结论： ①PMN ∆必为直角三角形； ②PMN ∆必为等边三角形； ③直线PM 必与抛物线相切； ④直线PM 必与抛物线相交； ⑤PMN ∆的面积为2p .其中正确的结论是__________．三．解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分12分）已知P ＝{x |－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1+m }.（1）是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，若存在，求出m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程．(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．19、（本小题满分12分）如图，底面是直角三角形的直三棱柱111A B C A B C -中，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点. (1)证明：1DC BC ⊥； (2)求三棱锥1C BDC -的体积.20．（本小题满分12分）已知圆()22:25C x y ++=，直线:120l mx y m -++=， m R ∈. （1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点,A B ； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；21．（本小题满分12分）如图中的(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．22．（本小题满分12分）已知椭圆2221xa b2y＋＝(a>b>0)的离心率为12,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为6.过定点M(0,2)的直线l与椭圆C交于G,H两点(点G 在点M,H之间).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l的斜率是k>0,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围,如果不存在,请说明理由.2017年下半年高二四校联考文科数学答案一选择题（每小题5分，共60分） CACDBABADBBC二填空题（每小题5分，共20分）13. （-2，-3，-1 ） 14. 15． 6 16． ①③⑤三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.解：（1）由－8x －20≤0可解得－2≤x ≤10，∴ P ={x |－2≤x ≤10}. 2分 ∵ x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴ P ＝S ， ∴∴∴ 这样的m 不存在.5分（2）由题意知，x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件，则S P .于是有或∴ ∴ m ≤3.∴ 当m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件. 10分18解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2. 2分 故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. 5分 (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x .得y 2＋2y －2t ＝0. 7分因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 到l 的距离d ＝5510分 可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∈ /⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. 12分 19、（1）证明：因为直三棱柱111ABC A B C -中， CC 1⊥平面ABC ，所以，CC 1⊥BC ， 2分 又底面ABC 是直角三角形，且AC ＝BC ＝1，所以AC ⊥BC ， 4分 又1ACCC ＝C ，所以，BC ⊥平面ACC 1A 1，所以，BC ⊥DC 1 6分 （2）11C BDC B CDC V V --=＝111211323⨯⨯⨯⨯=12分20.（1）圆()22:25C x y ++=的圆心为()2,0C -，所以圆心C 到直线:120l mx y m -++=<．所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点； 6分 或：直线:120l mx y m -++=的方程可化为()()210m x y ++-=， 无论m 怎么变化，直线l 过定点()2,1-，由于()2222115-++=<， 所以点()2,1-是圆C 内一点，故直线l 与圆C 总有两个不同的交点． 6分 （2）设中点为(),M x y ，因为直线:120l mx y m -++=恒过定点()2,1-， 当直线l 的斜率存在时， 12AB y k x -=+，又2MC yk x =+， 1AB MC k k ⋅=-， 所以1122y y x x -⋅=-++，化简得()()22112224x y x ⎛⎫++-=≠- ⎪⎝⎭． 10分当直线l 的斜率不存在时，中点()2,0M -也满足上述方程．所以M 的轨迹方程是()2211224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，以12为半径的圆． 12分 21【解】 (1)证明：∵D ，E 分别为AC ，AB 的中点，∴DE ∥BC . 又∵DE ⊄平面A 1CB ，∴DE ∥平面A 1CB . 4分 (2)由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，∴DE ⊥AC . 5分∴DE⊥A1D，DE⊥CD.∴DE⊥平面A1DC. 而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F. 7分又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE. 8分(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又∵DE∥BC，∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C.又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP. 10分∴A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ. 12分22题答案。

2017 放学期高二年级联考文科数学总分： 150 分时量：120分钟考试时间：2017年12月12日一．选择题（共12 小题，每题 5 分）1．已知命题p：若 a＞ b＞0，则 a2＞b2；命题 q：若 x2=4，则 x=2，．以下说法正确的选项是（）A．“ p∨ q”为假命题B．“ p∧ q”为假命题C．“ p”为真命题D．“ q”为假命题2．椭圆的离心率为（）A．B．C．2D．43．以下命题的说法错误的选项是（）A．关于命题2＞ 0，则 p： ? x2+x +1≤0．p：? x∈ R，x +x+1∈ R， x000B．“ x=1“是“ x2﹣ 3x+2=0“的充足不用要条件．C．“ ac2＜ bc2“是“ a＜ b“的必需不充足条件．D．命题“若x2﹣3x+2=0 ，则 x=1”的逆否命题为：“若x≠ 1，则 x2﹣ 3x+2≠ 0”．4．在等比数列{a n} 中，已知a3=6， a3+a5+a7=78，则 a5=（）A．12B．18 C ．24 D．365．已知函数 f （x） =xe x，则 f ′（ 2）等于（）A． e2B．2e2C．3e2D．2ln26．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A． x±y=0B．C．D． 2x± y=07．已知 a＜ b＜0，则以下不等式必定建立的是（）A． a2＜ ab B． |a| ＜ |b| C ． D ．8．已知某生产厂家的年收益y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣+36x+126，则使该生产厂家获取最大年收益的年产量为（）A．11 万件B．9万件C．6 万件D．7万件9．函数 y=的图象大概是（）A．B．C．D．10．已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（）A. B. C. D.11．已知抛物线 C： y2=8x 的焦点为 F，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q是直线 PF 与 C的一个交点，若 =4，则 |QF|= （）A． 3B．C．D．12．已知定义在R 上的函数 f （ x）=e x +mx2﹣ m（ m＞ 0），当 x1+x 2=1 时，不等式f （ x1） +f （ 0）＞ f （ x2）+f （ 1）恒建立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞， 0） B ． C ． D ．（ 1， +∞）二．填空题（共 4 小题，每题 5 分）13．设变量x，y 知足拘束条件，则目标函数z=2x+3y 的最大值为．14．已知 m＞ 0， n＞ 0 且 n+2m=4 ，则+的最小值是．15．如图是某算法的程序框图，若随意输入[，19]中的实数x，则输出的x 大于49 的概率为．16． f （ x） =ax3﹣ x2+x+2 ，，? x1∈（0，1]，? x2∈（0，1]，使得f（x1）≥ g（ x2），则实数 a 的取值范围是．三．解答题（共 6 小题，总合 70 分）17．已知函数 f （ x） =x3﹣12x．（1）求在点（ 1， f （ 1））处的切线方程；（2）求函数 f （x）的极值．18．在等差数列 {a n} 中， a1=﹣ 2， a12=20．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若，求数列的前n项和．19．某家电企业销售部门共有200 位销售员，每位部门对每位销售员都有1400 万元的年度销售任务，已知这 200位销售员昨年达成销售额都在区间[2 ， 22] （单位：百万元）内，现将其分红5 组，第 1 组，第 2 组，第 3 组，第 4 组，第 5 组对应的区间分别为[2 ， 6）， [6 ，10）， [10 ，14）， [14 ， 18）， [18 ，22] ，绘制出频次散布直方图．（ 1）求 a 的值，并计算达成年度任务的人数；（ 2）用分层抽样从这 200 位销售员中抽取容量为25 的样本，求这 5 组分别应抽取的人数；（ 3）现从（ 2）中达成年度任务的销售员中随机选用 2 位，奖赏海南三亚三日游，求获取此奖赏的 2 位销售员在同一组的概率．20．已知椭圆 C：=1（ a＞ b＞ 0）经过点，一个焦点是 F（0， 1）．（ 1）求椭圆 C的方程；（ 2）若倾斜角为的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B两点，且 |AB|=，求直线 l 的方程．21．已知抛物线 C 极点为O（ 0， 0），焦点为F（ 1，0）， A 为抛物线 C 上第一象限的随意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点B，交 x 轴的正半轴于点D，且有 |FA|=|FD|，延伸AF交曲线C于点 E．过点 E 作直线 l 1平行于 l ，设 l 1与此抛物线准线交于点Q．（Ⅰ）求抛物线的 C 的方程；（Ⅱ）设点A、B、 E 的纵坐标分别为y A、 y B、 y E，求的值；（Ⅲ）求△ AEQ面积的最小值．22．已知函数 f （ x） =lnx ﹣ a（ x﹣1）， a∈ R（Ⅰ）议论函数 f （ x）的单一性；（Ⅱ）当 x≥ 1 时， f （ x）≤恒建立，求 a 的取值范围．浏阳一中醴陵一中南方中学2017 放学期高二年级联考文科数学参照答案与试题分析一．选择题（共12 小题）题号123456789101112答案B B C B C C C C D D A D12.【解答】解：∵不等式 f （ x1） +f （ 0）＞ f （ x2） +f （ 1）恒建立，∴不等式 f （ x1）﹣ f （ x2）＞ f （ 1）﹣ f （ 0）恒建立，又∵ x1+x2=1，∴不等式 f （ x1）﹣ f （ 1﹣x1）＞ f （ 1）﹣ f （ 1﹣ 1）恒建立，设 g（x） =f （ x）﹣ f （ 1﹣ x），∵f （ x） =e x +mx2﹣ m（ m＞ 0），∴g（ x） =e x﹣ e1﹣x+m（ 2x﹣ 1），则 g′（ x） =e x+e1﹣x+2m＞ 0，∴ g（ x）在 R 上单一递加，∴不等式g（x1）＞g（1）恒建立，∴x1＞1，应选：D．二．填空题（共 4 小题）13．914．15．16．[ ﹣ 2， +∞）16. 【解答】解： g′（ x）=，而x∈（0，1]，故g′（x）＞0 在（0，1] 恒建立，故 g（x）在（ 0， 1] 递加，g（ x）max=g（ 1） =0，若 ? x1∈（ 0， 1] ，? x2∈（ 0，1] ，使得 f （ x1）≥ g（ x2），只要 f （ x）min≥ g（ x）max即可；故 ax3﹣ x2+x+2≥ 0 在（ 0， 1] 恒建立，即 a≥在（0，1]恒建立，令h（x） =，x∈（0，1]，h′（ x） =＞0，h（x）在（0，1]递加，故 h（x）max=h（ 1） =﹣ 2，故 a≥﹣ 2，故答案为： [ ﹣ 2， +∞）．三．解答题（共 6 小题）17.【解答】解：（ 1）∵ f （ x） =x3﹣12x ，∴ f （ 1） =﹣ 11，f′（ x） =3x2﹣ 12， f ′（ 1） =﹣ 9，故函数 f （ x）在（ 1，﹣ 11）处的切线方程是：y+11=﹣ 9（ x﹣1），即 9x+y+2=0 ；（2）∵ f （ x） =x3﹣ 12x，∴ f ′（ x） =3x2﹣12，令 f ′（ x）＞ 0，解得： x＞ 2 或 x＜﹣ 2，令 f ′（ x）＜ 0，解得：﹣ 2＜ x＜ 2，∴ f （ x）在（﹣∞，﹣ 2），（ 2， +∞）递加，在（﹣ 2， 2）递减，∴ f （ x）极大值 =f （﹣ 2） =16， f （ x）极小值 =f （2） =﹣16．18.【解答】解：（Ⅰ）由于 a n=﹣ 2+（ n﹣ 1）d，因此 a 12 =﹣2+11d=20．于是 d=2 ，因此 a n=2n﹣ 4．（Ⅱ）由于a n=2n﹣ 4，因此．于是，令，则．明显数列{c n} 是等比数列，且，公比q=3，因此数列的前n 项和．19【解答】解：（ 1） 2a=0.25 ﹣（ 0.02+0.08+0.09），解得a=0.03 ，达成达成年度任务的人数200× 4×（ 0.03+0.03 ） =48 人，（2）这 5 组的人数比为 0.02 ： 0.08 ： 0.09 ： 0.03 ： 0.03=2 ： 8： 9： 3：3，故这 5 组分别应抽取的人数为2，8，9，3， 3人（ 3）设第四组的 4 人用a， b， c表示，第 5 组的 3 人用A， B， C 表示，从中随机抽取 2 人的全部状况以下ab， ac， aA， aB， aC， bc， bA， bB， bC， cA， cB， cC， AB，AC， BC 共15 种，此中在同一组的有ab， ac， bc ， AB， AC， BC共6 种，故获取此奖赏的 2 位销售员在同一组的概率=．20【解答】解：（ 1）椭圆 C：=1（ a＞ b＞0）经过点，则：①椭圆的一个焦点是F（ 0，1）．则 a2﹣ b2=1②由①②得： a2=4 b 2=3椭圆 C的方程：③（ 2）依据题意可知：设直线l 的方程为：y=x+b④联立③④得：3（ x+b）2+4x2=12整理得： 7x2+6bx+3b2﹣ 12=0∴∵ |AB|===解方程得： b=± 2∴直线 l 的方程为： y=x ±2故答案为：（ 1）（2）直线l的方程为：y=x± 221.【解答】解：（Ⅰ）由抛物线 C 极点为 O（ 0， 0），焦点为 F（ 1， 0），即有抛物线的方程为 y2=4x；（Ⅱ）设，，∵ |AF|=|DF| ∴，∴，∴直线 AD的方程为，1）当t2时， A 1,2 ,E 1,-2 , B 9,6则yA y B2 y A y E2）当t2时，，直线 AE 的方程为由，可得∵ y A=t，∴，由，可得∵ y A=t∴∴y A y B2；综上所得y Ey A（Ⅲ）直线l 1方程为 y=﹣x﹣，令 x=﹣1，可得 Q（﹣ 1，﹣），y E=，取AE的中点G，QG∥ x 轴，则 S△AQE=|QG| ?|y A﹣ y E| ，|QG|= （+2（ t+3?（ 23+2）= （ + ），即有 S =）≥） =4，△ AQE则 S△AQE的最小值为4，当且仅当 t=2 取等号．22. 【解答】解：（Ⅰ） f （ x）的定义域为（0， +∞），，若 a≤0，则 f ′（ x）＞ 0，∴ f （ x）在（ 0， +∞）上单一递加，若 a＞0，则由 f ′（ x） =0，得 x=，当 x∈（ 0，）时，f′（x）＞0，当 x∈（）时，f′（x）＜0，∴ f （ x）在（ 0，）上单一递加，在（，+∞）上单一递减．因此当 a≤ 0 时， f （ x）在（ 0， +∞）上单一递加，当 a＞0 时， f （ x）在（ 0，）上单一递加，在（，+∞）上单一递减．（Ⅱ） f （ x）﹣=，令 g（x） =xlnx ﹣ a（ x2﹣ 1），（ x≥1），g′（ x） =lnx+1 ﹣ 2ax，令 F（ x） =g′（ x） =lnx+1 ﹣2ax ，，①若 a≤ 0， F′（ x）＞ 0， g′（ x）在 [1 ， +∞）上递加，g′（ x）≥ g′（ 1） =1﹣2a＞ 0，∴ g（ x）在 [1 ， +∞）上递加，g（x）≥ g（1） =0，进而 f （ x）﹣不切合题意．②若 0＜ a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，∴ g′（ x）在（ 1，）上递加，进而 g′（ x）＞ g′（ 1）=1﹣ 2a，∴ g（ x）在 [1 ， +∞）上递加，g（x）≥ g（1） =0，进而 f （ x）﹣不切合题意．③若 a，F′（x）≤ 0在[1，+∞）上恒建立，∴g′（ x）在 [1 ， +∞）上递减， g′（ x）≤ g′（ 1）=1﹣ 2a≤0，进而 g（ x）在 [1 ， +∞）上递减，∴ g（ x）≤ g（ 1） =0， f （x）﹣≤ 0，综上所述， a 的取值范围是[）．。

高二数学12月试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知命题p：对任意，，则为A. ，使得B. ，使得C. ，使得D. ，使得2.已知是等差数列，且，，则A. 2B. 0C.D.3.已知，若终边上与原点不重合的点P在双曲线的一条渐近线上，则双曲线C的离心率为A. B. C. 2 D. 44.若时不等式恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.5.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则A. B. C. D.6.已知命题p：不等式的解集为，命题q：中，，则下列命题为真命题的是A. B. C. D.7.若，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知数列是等比数列，若，，则A. 3B. 9C. 3或D. 1或99.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设的面积为S，若，则的取值范围为A. B. C. D.10.过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则取得最小值时，A. B. C. D.11.若直线与椭圆交于A，B两点，若对于任意实数k，x轴上存在点，使得直线AM，BM关于x轴对称，则A. B. C. 2 D.12.斐波那契数列是数学史上一个著名数列，它是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖时发现的，若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，该数列有很多奇妙的性质，如根据可得：，类似的，可得：A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知实数x，y满足，则的最小值是______；14.已知的三边分别为x，y，，其中，若，则______；15.若对任意a，b，，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______；16.已知数列前n项和是，且满足，，，则设数列的前n项和，则______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知命题p：关于x的方程在上有实根；命题q：方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆．若p是真命题，求a的取值范围；若是真命题，求a的取值范围．18.若对于任意a，，当时不等式恒成立，求x的取值范围．19.已知直线与抛物线C：交于点A，B．且，求抛物线C的方程；若，求证：为坐标原点．20.已知数列中，，满足，，且是等差数列．求数列的通项；求数列的前n项和为．21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求A；若，，点D在BC边上，且，求AD的长．22.已知椭圆C：的离心率为且经过点求椭圆C的方程；若椭圆C的左右顶点分别为A，B，离心率，过点A斜率为的直线l交椭圆C与点D，交y轴于点是否存在定点Q，对于任意的都有，若存在，求的面积的最大值；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：对任意，，则为：，使得．故选：B．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：依题意，，，，，，故选：B．是等差数列，知道首项，根据即可求出公差，进而得到．本题考查了等差数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：双曲线的一条渐近线为，由题意可得，则．故选：C．求出双曲线的一条渐近线方程，由三角函数的诱导公式可得，再由双曲线的离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查化简运算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：，，，．故选：D．由题意，只需满足，解不等式组即可得到答案．本题考查不等式的恒成立问题，考查不等式的求解，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：，边化角得：，，，，又，，，故选：A．利用正弦定理边化角，化简已知式子即可求出cos C．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：依题意，不等式的解集为，故命题p为假命题，在中，，由正弦定理，，所以，即命题q为真命题，所以为假命题；为真命题；为假命题；为假命题．故选：B．分别判断命题p和命题q的真假，再结合复合命题的真值表，即可得到结论．本题考查了一元二次不等式的解法，考查了正弦定理，考查了复合命题的真假，主要考查推理能力和运算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：；而，，，；故当时，则是的充要条件．故选：C．根据得它的等价不等式；而的等价不等式为，由于，，利用充分必要条件的定义判断即可．本题考查了不等式的等价转化，及充分必要条件的定义，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：依题意，数列是等比数列，，得，，解得或，故选：D．根据等比中项的性质，，求出，进而将原式转化为和的方程组，进而得到．本题考查了等比中项的性质，考查方程思想的应用，考查计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：，，，得，，因为，故C，，因为，所以，故，故选：A．利用余弦定理和面积公式代入化简，求出C，把边化角，求出范围即可．考查解三角形的正弦定理和余弦定理的应用，三角函数求范围，中档题．10.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点；在中令，得，此时，；若直线l有斜率，设直线l的方程为代入到抛物方程，得，显然，否则直线l和抛物线不可能有两个交点；设，，则；由抛物线的定义可得，，所以，当且仅当时取等号．故选：B．抛物线上点到焦点的距离，从而转化成求的最小值．本题考查的是直线与抛物线的综合运用、韦达定理、基本不等式等；考查学生对知识点灵活运用、计算能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：设，，联立，消去y，得，由韦达定理得，，直线AM，BM关于x轴对称，则，即，化简得，把，代入得：，化简得，即，由k的任意性，，故选：C．设，，直线与椭圆联立解方程组，根据直线AM，BM关于x轴对称，则，代入化简求出即可．考查直线和椭圆的关系，圆锥曲线的定点问题，中档题．12.【答案】B【解析】解：根据题意，数列满足，即，两边同乘以，可得，则；故选：B．根据题意，分析可得，进而变形可得，据此可得，计算可得答案．本题考查数列的递推公式与数列的求和，关键是对数列的递推公式的变形．13.【答案】【解析】解：画出可行域，将变形得，画出对应的直线，由图知当直线过时z最小为；则的最小值是．故答案为：．先画出可行域；将目标函数变形；画出目标函数对应的直线；将直线平移由图求出函数的范围即可．画不等式组表示的平面区域、利用图形求二14.【答案】【解析】解：因为，故，，故，，所以，根据正弦定理有，，，所以由余弦定理得，故答案为．先比较，x，y，的大小，根据正弦定理得出a，b，c三边，再利用余弦定理即可得出结果．本题考查了正弦定理与余弦定理的运用．15.【答案】【解析】解：，当且仅当“”时取等号，，即，或．故答案为：．通过对变形，利用基本不等式可得，由题意可知，解不等式即可．本题考查基本不等式的运用，考查不等式的解法及恒成立问题，属于基础题．16.【答案】710【解析】解：，，，可得，，，，，，，，可得从第四项起为周期为3的数列，可得，故答案为：710．计算数列的前几项，得到从第四项起为周期为3的数列，即可得到所求和．本题考查数列的求和，归纳出数列的周期是解题的关键，考查运算能力，属于基础题．17.【答案】解：令，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，的最小值，故若p为真命题，则；是真命题，则p，q均为真命题，q为真命题，即方程表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则，由知，p为真命题时，所以是真命题，则．【解析】令，求出的值域，即可得到a的取值范围；命题是真命题，则p，q均为真命题，求出q为真命题时a的范围，结合即可得到结论．本题考查了复合命题的真假，考查了函数的值域，椭圆的方程，主要考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．18.【答案】解：由柯西不等式有，因为，故不能取等号，又不等式恒成立，，解得或．故x的取值范围为．【解析】由柯西不等式可知，由对数函数的性质可知，解出即可求得答案．本题主要考查柯西不等式的运用，同时也考查了对数函数的图象及性质，不等式的解法等基础知识，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．19.【答案】解：直线与抛物线C：联立，可得，设，，可得，，，解得，即抛物线的方程为；证明：由联立抛物线方程，可得，设，，可得，，即有--，即有，可得．【解析】联立直线和抛物线方程，可得x的二次方程，应用韦达定理和弦长公式，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程；联立抛物线方程，可得x的二次方程，应用韦达定理和两直线垂直的条件，化简计算可得证明．本题考查抛物线的方程和应用，考查直线方程和抛物线方程联立，应用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件，考查化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：，满足，，且是公差为d的等差数列，可得，，则，可得；则；前n项和，，相减可得，化简可得．【解析】设是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式可得，即可得到；运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：，，边化角得：，，，，，，又，，，，又，；，，，由余弦定理得：，，在三角形ABD中，由余弦定理得：，且，．【解析】先切化弦，再利用正弦定理边化角化简，即可求出角A；在三角形ABC中由余弦定理求出a，再求出cos B的值，再在三角形ABD中，由余弦定理即可求出AD的值．本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．22.【答案】解：，设，，则，，点代入方程得，，，所以，，所以椭圆的方程为；设直线AE：，不妨设，，，与椭圆联立，消去y，得，由，得，，由，，得，即，化简得，由k的任意性，，，所以，，当且仅当时，取等号，故当时，的面积的最大值为．【解析】利用方程求出a，b代入即可；设出直线AE，联立解方程求出D的坐标，根据，求出，由k的任意性，，，所以，再列出面积的方程，利用基本不等式求出最大值，即可．考查了椭圆的性质，求椭圆的方程，本题是一道直线和椭圆的综合题，最大的亮点是求出一个顶点，再求面积的最大值，难度较大．。

高二上学期月考试题文科数学一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分，每小题只有一个正确答案）1、已知ABC ∆中，已知008, 60, 75a B C ===，则b 等于 （ ）A ．24B ．34C ．64D ．332 2、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且639S =,14a =,则公差d 等于 （ ）A ．1B ． 53C ．3D ．2- 3、设 ,,a b c R ∈，且a b >，则 ( )A ．11a b <B ．22a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc > 4、若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，则 （ ） A ．命题p 与命题q 的真假性相同 B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 不一定是真命题5、椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程221259x y +=，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的路程是 （ ）A ．20B ．18C ．2D ．以上均有可能6、若直线1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 （ ）A ．1716B ．1516C ．78D ．0 8、过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ，作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为,m n ，则11m n+等于 （ ） A ．2a B ．12a C ．4a D ．14a9、设双曲线221x y -=的两渐近线与直线2x =围成的三角形区域（包含边界）为D ，(,)P x y 为区域D 内的动点，则目标函数2z x y =-的最大值为 （ ）A ．2- B．2- C ．0 D．210、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是21,F F ，过1F 作倾斜角为30︒的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 （ ）A．3D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，则命题p ⌝为 ．12、已知21,F F 为椭圆C ：12222=+by a x (a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且,21PF PF ⊥若921=∆F PF S ，则b=13、已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++=++ ． 14、不等式2340x x --+>的解集为 ．15、如图12F F ,分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF ∆的正三角形，则2b 的值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，请写出详细解答过程）16、命题p ：“方程221y x m +=表示焦点在y 轴上的椭圆”；命题q ：对任意实数x 都有210mx mx ++>恒成立．若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求实数m 的取值范围．17、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若C B A C B sin sin sin sin sin 222+=+， 且4=⋅，求ABC ∆的面积．18、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)(14*∈+=N n a S n n .（Ⅰ）求21,a a ；（Ⅱ）设||log 3n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和为n T 。

卜人入州八九几市潮王学校2021年HY三中高二年级上学期12月质量检测考试数学〔文〕试题亲爱的同学们，轻轻地对自己说一声：“我能行〞，只要你冷静考虑、沉着答卷，成功属于你！一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.现要完成以下3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进展食品卫生检查；②科技报告厅有32排座位，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会完毕以后，为了听取意见，邀请32名听众进展座谈；③某高x0 1 2 3 4 三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为y 1了理解全校学生对知识的掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本。

较为合理的抽样方法是〔〕A.简单随机抽样，系统抽样，分层抽样B.简单随机抽样，分层抽样，系统抽样C.系统抽样，简单随机抽样，分层抽样D.分层抽样，系统抽样，简单随机抽样2.十进制数389化成四进制数的末位数是〔〕A.1B.2C.3D.03.用秦九韶算法求多项式在x＝－4时，v2的值是( )A. B.1 C.17 D.224.x，y的取值如右表，假设根据表中数据所画的散点图中，所有样本点〔x i，y i〕〔i＝1，2，3，4，5〕都在曲线附近波动，那么a＝A.1B.C.3D.5.假设正整数除以正整数后的余数为，那么记为，例如.下面程序框图的算法源于我国古代知名中外的中国剩余定理.执行该程序框图，那么输出的等于〔〕A.32B.16C.8D.46.甲乙两个人玩一种游戏，甲乙两人分别在两张纸片上各写一个数字，分别记为，其中必须是集合中的元素，假设满足，我们就称两人是“友好对〞.如今任意找两人玩这种游戏，那么他们是〞友好对〞的概率为〔〕A. B.C. D.7.给出语句如以下列图所示，假设该语句执行的结果是3，那么输入的x值是()A.3B.C.3或者D.08.以下说法正确的个数有〔〕①用刻画回归效果，当越大时，模型的拟合效果越差；反之那么越好②＂碱金属都能与水发生复原反响，钠为碱金属，所以钠能与水发生反响＂是演绎推理③一枚硬币掷一次得到正面的概率是，那么掷两次一定会出现一次正面的情况④假设，那么事件是必然事件A.1个B.2个C.3个D.4个9.且，对进展如下方式的“分拆〞：，，，，那么的“分拆〞所得的数的中位数是A.361B.29C.21D.1910.九章算术是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田〞，把直角梯形的田称为“邪田〞，称底是"广"，称高是"正从"，"步"是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.假设在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为〔〕A. B. C. D.11.可以把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两局部的函数称为圆O的“和谐函数〞，以下函数不是圆O的“和谐函数〞的是〔〕A. B.C. D.12.函数与函数的图象上存在两对关于轴对称的点，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕13.a∈R，i为虚数单位，假设为实数，那么a的值是_______.14.两条直线和，假设//，那么．15.结论：在正三角形ABC中，假设D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，那么＝2.假设把该结论推广到空间中，那么有如下结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，假设△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的间隔都相等，那么＝________.16.圆，圆，直线、分别过圆心M,N，假设交圆M于A,B,交圆N于C,D，点P是椭圆上任意一点，那么的最小值为__________.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70.0分〕17.设函数f〔x〕=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在以下条件下，求事件A“f〔1〕≤5且f〔0〕≤3”发生的概率．〔1〕假设随机数b，c∈{1，2，3，4}；〔2〕随机函数Rand〔〕产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand 〔〕和c=4*Rand〔〕的执行结果．〔注：符号“*〞表示“乘号〞〕18.2016年1月6日时间是上午11时30分，朝鲜合计HY电视台宣布“成功进展了氢弹试验〞，再次震动了世界．朝鲜声明氢弹试验对周边生态环境未产生任何负面影响，未提及试验地点．中国外交部发表措辞严厉的声明对朝鲜核试验“坚决反对〞，朝鲜“氢弹试验〞事件引起了我国公民热议，其中〔和朝鲜隔江〕某QQ聊天群有300名网友，HY某微信群由200名微信好友．为了理解不同地区我国公民对“氢弹试验〞事件的关注度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名好友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地网友留言信息条数分成5组：[40，50〕，[50，60〕，[60，70〕，[70，80〕，[80，90〕，分别加以统计，得到如下列图的频率分布直方图．〔1〕求网友的平均留言条数〔保存整数〕；〔2〕为了进一步开展调查，从样本中留言条数缺乏50条的网友中随机抽取2人，求至少抽到一名网友的概率；〔3〕规定：“留言条数〞不少于70条为“强烈关注〞．①请根据条件完成以下2×2的列联表；②判断是否有90%的把握认为“强烈关注〞与网友所在的地区有关？附：临界值表及参考公式K2=，n=a+b+c+dP〔k2≥k〕19.函数.〔1〕分别求的值，并归纳猜想一般性结论〔不要求证明〕；〔2〕求值20.椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形AF1BF2是边长为2的正方形．〔1〕求椭圆Γ的方程；〔2〕假设C、D分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于与点P．证明：为定值．21.点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.〔1〕求点的轨迹方程；〔2〕当时，求的方程.22.圆一动直线过与圆相交于P,Q两点，是的中点，与直线相交于〔1〕当时，求直线的方程；〔2〕探究是否与直线的倾斜角有关，假设无关，恳求出其值；假设有关，请说明理由.。

高二数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章第2节。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线l ：3410x y --=在x 轴和y 轴上的截距分别是A.13，14B.13-，14- C.13-，14D.13，14-2一只蚂蚁从点P(1，1，0)出发，在O x y 和O x z 平面上爬行，则这只蚂蚁爬到点Q(2，0，2)的最短距离为B.3D.2+3.已知数列{}n a 为等差数列，1236a a a ++=，4620a a +=-，则8a =A.-12B.-13C.-22D.-234.如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点F 满足AF mAE =.若B ，D ，A 1，F 四点在同一个平面上，则m=A.12B.25C.13D.235.已知抛物线C ：2)20(y p p x >=的焦点为F ，准线为l 过点F 且倾斜角为3π的直线在第一象限交C 于点A ，若点A 在l 上的投影为点B ，且|AB|=4，则p=A.1B.2C. D.46.已知A(1，0，1)，n=(1，0，1)是平面α的一个法向量，且B(-1，2，2)是平面α内一点，则点A 到平面α的距离为A.23B.26D.227.如图，花篮的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴旋转所得到的曲面.已知该花篮的总高度为45cm ，底面圆的直径为20cm ，上口圆的直径为cm ，最小横截面圆的直径为10cm ，则该双曲线的离心率为B.2C. D.8.观察下列数的规律；2，4，4，8，8，8，16，16，16，16，32，32，32，32，32，64，…，则第100个数为A.213R.214C.215D.216二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l ：0mx y m +=一与圆C ：222440x y x y +---=相交于A ，B 两点，则A.直线l 过定点(0，1) B.圆C 的半径为3C.当m=0时AB =D.圆心C 到直线l 的最大距离是210.下列结论正确的是A.若向量a =(1，1，1)，b =(2，-2，2)，c =(3，-1，3)，则a ，b ，c共面B 若直线l 的方向向量为a =(1，1，1)，平面α的一个法向量为n=(1，0，=1)，则l ∥αC.若向量a =(1，1，1)，b=(2，一2，2)，则a 在b 上的投影向最为232323,333⎛- ⎝⎭D.已知平面α，β不重合，平面α的一个法向量为n =(1，0，-1)，平面β的一个法向量为m=(-3，0，3)，则α∥β11.已知F 1，F 2辨是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，过点F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若223AF BF =，154AB BF =，则A.2a b= B.棉圆C 的离心率为22C.△AF 1F 2为等边三角形D.△ABF 1为直角三角形12.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n a a n =-+1+，下列说法正确的是A.若{}n a 为等差数列，则{}n a 的公差为1B 若{}n a 为等差数列，则{}n a 的首项为1C.30435S =D.243n S n ≥-三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.抛物线252y x =的准线方程为__________.14.已知圆M 经过点A(-2，0)，B(0，4)，C(0，0)，则圆M 的标准方程为___________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n nS a S +=++，则20a =__________.16.已知Р是双曲线C ：22182x y -=右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，过点Р作与l 夹角为30°的直线，该直线交l 于点A ，F 1是双曲线C 的左焦点，则112PF PA +的最小值为__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 过点A(-2，1).(1)若直线l 与第二，四象限的角平分线平行，求直线l 的方程；(2)若b>0，直线l 与圆M ：()225x y b +-=相切于点A ，求直线l 的方程.18.(12分)已知双曲线C 的实轴长为4，且与双曲线22123y x -=有公共的焦点(1)求双曲线C 的方程；(2)已知M(0，3)，P 是C 上的任意一点，求PM 的最小值.19.(12分)已知正三棱锥A-BCD 中的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直.(1)证明：AD ⊥BC.(2)已知点E 满足AE AB AC AD =++，求平面ABC 与平面ABE 夹角的大小.20.(12分)已知定点F(3，0)，定直线l ：3x =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切，记动圆的圆心M 的轨迹为C.(1)求C 的方程；(2若过点F 的直线与C 交于不同的两点A ，B ，且|AB|=36，求直线AB 的方程.21.(12分)已知数列{}n a 满足212 (3521)n a a a n n +++=+.(1)求{}n a 的通项公式.(2)记1641n n b a n =++数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在实数m ，使得数列211n n mT n ⎧⎫++⎨+⎩⎭为等差数列?若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.22.(12分)已知A ，B 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右顶点，P(1，32)为椭圆C 上的点，直线PA ，PB 的斜率之积为14-.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线AM 与BN 相交于点D ，若点D 在直线4x =上，证明：直线l 过定点.高二数学考试参考答案1.D【解析】本题考查直线的方程，考查数学运算的核心素养.令y=0，得13x =，令x =0，得14y =-，故直线l ：3410x y -=-在x 轴和y 轴上的截距分别是13，14-.2.C 【解析】本题考查空间直角坐标系，考查逻辑推理的核心素养.将平面Оx z 翻折到与平面O x y 共面，此时点Q 的对应点为Q'(2，-2，0)，所以这只蚂蚁从点P(1，1，0)出发爬到点Q(2，0，2)=3.C 【解析】本题考查等差数列的性质，考查数学运算的核心素养.123236a a a a ++==，即22a =.又因为284520a a a a +=+=-，所以820222a =-=--.4.B 【解析】本题考查空间向量的基本定理，考查数学运算的核心素养.连接AC 图略)，112AE AC CE AB AD AA =+=++ ，则12m AF mAE mAB mAD AA =++=.因为B ，D ，A 1，F 四点在同一个平面上，所以12m m m ++=，解得25m =.5.B 【解析】本题考查抛物线，考查逻辑推理的核心素养.由抛物线定义可知AF AB =.因为∠AFB=3π，所以△ABF 为等边三角形，所以4AF AB BF ===，∠BFA=60°，所以∠BFO=60°.设准线l 与x 轴的交点为P ，则cos3PF π=，2BF =，所以p=2.6.D【解析】本题考查空间向量的应用，考查数学运算的核心素养.AB =(-2，2，1)，点A 到平面α的距离2AB n d n⋅== .7.B 【解析】本题考查双曲线的方程，考查数学建模的核心素养.在花篮的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系，其中DE 为最小横截面圆的直径.设双曲线的方程为是为222125x y b -=，M(13，m)，N(10，m-45)(0<m<45)，所以2222325125100(45)125m b m b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩解得275b =，m=30，所以该双曲线的离心率为257525+=.8.B 【解析】本题考查数列，考查逻辑推理的核心素养.因为()11232n n ++⋯=+++，当n=13时，()1912n n +=，当n=14时，()11052n n +=，所以第100个数为142.9.BCD【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.直线l ：0mx y m +=一，即l ：0()1m x y =-+，联立10x y -=⎧⎨=⎩，解得1x =，0y =，所以直线l 过定点(1，0)，故A 错误；圆C 的方程可化为()()22129x y -+-=，C 的半径为3，故B 正确；当m=0时，直线l 的方程为y=0，则圆心C 到直线AB 的距离d=2，2945AB =-=，故C 正确；直线l 过定点(1，0)，且该点在圆C 的内部，则圆心C 到直线l 222()(0)112-＋-=，故D 正确.10.AD【解析】本题考查空间向量及其运算，考查数学运算的核心素养.因为a b c +=，所以a ，b ，c共面，故A 正确；因为1010a n ⋅=+= -，所以a n ⊥，所以l //α或l 在α内，故B 错误；a 在b 上的投影向量为2222111,,126333a b b b b b⋅-+⎛⎫==- ⎪⎝⎭=，故C 错误；因为3m n =-，所以α//β，故D 正确.11.BD【解析】本题考查椭圆的方程以及几何性质，考查数学运算的核心素养.如图，由已知可设2|F Bn │=，则2||3AF n =，1554BF AB n ==.由椭圆的定义知1226a BF BF n =+=，所以12||23AF a AF n ==-.在△AF 1B 中，由余弦定理推论得222191625cos 0234n n n F AB n n+-∠==⨯⨯，所以∠F 1AB=2π.在△AF 1F 2中，2224a a c =+，即222a c =，所以椭圆C 的离心率为22，a =.故选BD.12.ACD 【解析】本题考查等差数列的应用，考查逻辑推理的核心素养.因为21n n a a n =-+1+，所以221n n a a n +=++1+，两式相减得2n n a a -=+2.若数列{}n a 为等差数列，则{}n a 的公差d=1.又121a a +=，所以121a d +=，解得1a =0，所以A 正确，B 错误.()()22123456212(431)159...432()(2)n n n n nS a a a a a a a a n n n --+⨯=+++++⋯+=++++-==-++，所以23021515435S =⨯=-，所以C 正确.因为n ∈N +，所以221()551432104848n S n n ⎛⎫⎛⎫=--≥--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，即243n S n ≥-成立，所以D 正确.13.110y =-【解析】本题考查抛物线，考查数学运算的核心素养.252y x =可化为225x y =，故抛物线252y x =的准线方程为110y =-.14.()2215()2x y ++-=【解析】本题考查圆的方程，考查数学运算的核心素养.设圆M 的方程为()222()x a y b r -+-=，则222222222()()42a b a b r a b r r ⎧--+=⎪⎨⎪+==⎩+-，解得12a b r ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，所以所求圆的标准方程为()2215()2x y ++-=.15.97【解析】本题考查数列的递推关系，考查逻辑推理的核心素养.由12n n n n S a S +=++，可得12n n na a +=+，那么利用累加法可知20201919181817211()(()71(119))19)222(9a a a a a a a a a a +⨯=-++-⋯-+=⨯+=-++.16.【解析】本题考查双曲线以及几何性质，考查逻辑推理的核心素养.设点Q 为点P 在l 上的投影，F 2为双曲线C 的右焦点(图略)，则12PF PF -=，12PA PQ =，所以11212PF PA PF PQ PF PQ +=+=+.显然当且仅当Q ，P ，F 2三点共线，且Р在F 2，Q 之间时，2PF PQ +有最小值，且最小值为点F 到直线l 的距离，可得l 的方程为12y x =或12y x =-.由题知F 20)，则点F 2到直线l ，故112PF PA +的最小值为17.解：(1)第二、四象限的角平分线方程为y x =-，……2分所以直线l 的斜率为-1，….........…3分所以直线l 的方程()12y x -=+-，即10x y +=＋，….…5分(2)由题可知点A 在圆M ：225()x y b +-=上，则2415()b +-=，解得b=0(舍去)或b=2，.................…6分所以225()x y b -=+的圆心坐标为M(0，2).因为21122MA k -==，…........................…7分所以直线l 的斜率为-2，….......................…8分所以直线l 的方程为)12(2y x -=-+，即230x y +=+.……10分18.解：(1)双曲线22123y x -=的焦点坐标为(0，，…...……1分则设双曲线C 的方程为2222)1(00y x a b a b-=≥≥，.……2分由题可知24a =，225a b +=，......……4分解得2a =，b=1，所以双曲线C 的方程为2214y x -=.....…6分(2)设P ()00,x y ，则202014y x -=，所以PM ===分因此当0125y =时，|PM|5=.…..…12分19.(1)证明；因为AD ⊥AC ，AD ⊥AB ，AC∩AB=A ，所以AD ⊥平面ABC.….........……......…3分又因为BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥BC.…...............……5分(2)解：以A 为坐标原点，AC ，AB，AD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=1，则C(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，0，1)，E(1，1，1)，则AB =(0，1，0)，AE=(1，1，1).……...........................…7分设平面ABE 的法向量为n=(x ，y ，z)，则00n AB y n AE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，所以可设n =(1，0，-1).……9分易知m=(0，0，1)是平面ABC 的一个法向量，….....................…10分设平面ABC 与平面ABE 的夹角为θ，所以cos cos ,2n m n m n mθ⋅===，所以4πθ=.……12分20.解：(1)设点M(x ，y)，圆M 与直线l ：3x =-的切点为N.因为动圆M 过点F(3，0)，且与直线l ：3x =-相切，则MN MF =，............................…1分所以点M 的轨迹是以原点О为顶点﹐F(3，0)为焦点的抛物线，…….….…….......…............…3分则C 的方程为212y x =.…..............….......………5分(2)设直线AB 的方程为3x my =+，A 11()x y ，，B 22()x y ，.联立2123x m y y x⎩=⎧⎨=+，整理得212360y my --=，…...........…7分所以1212y y m +=，1236y y =-，…...…8分则21212(1)36AB y m =-=+=，……10分解得m =，所以直线AB 的方程为3x =+.……12分21.解：(1)当n=1时，13a =，……1分当n≥2时，由212 (3521)n a a a n n +++=+，可得()2112 (13521)n a a a n n -+++=--，….........…2分两式相减得，22(1)2121na n n n n =--=-+，…................…3分所以241n a n =-，….....................…4分又13a =符合上式，所以241n a n =-.….…5分(2)2164114411n n b a n n n n n ⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，……7分所以11111441 (22311)n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ++⎝⎭.……9分故2214111n n n mn mT n n ++++=++.因为数列211n n mT n ⎧⎫++⎨⎬+⎩⎭为等差数列，所以令2411n mn kn t n ++=++，则2241()n mn kn k t n t ++=+++.………….……………….……11分所以411m k k t t =⎪==⎧⎪⎨⎩+，解得12m =.……12分22.(1)解：由题可知A(-a ，0)，B(a ，0)，所以2312241114PA PB k k a a a ⋅=⋅==--+-，…………1分解得a =2.….....….............….……......................................….2分因为P(1，2)为椭圆C 上的点，所以213144b+=，解得2b =1，….......…...……3分所以椭圆C 的方程为2214x y +=.…................................…4分(2)证明：设D(4，0y )，则直线AM 的方程为00)26(y y x =+.联立0220)214(6x y y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+整理得2222000944360()y x y x y -=＋+＋，解得2x =-或20202189y x y -+=+，将20202189y x y -+=+代入00)26(y y x =+，可得02069y y y =+，所以点M 的坐标为20022002186,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭..........................…7分同理可得点N 的坐标为2002200222,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭......……8分当203y =时，直线l 的方程为x =1，直线l 过定点(1，0).….....................…9分当203y ≠时，所以直线l 的方程为0022200002222000022006229122218221191y y y y y y y x y y y y y y --⎛⎫-++--=- ⎪-+-++⎝⎭-++，整理可得()()222000000222240000083222222113149y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪++-+-⎝⎭⎝⎭..................…….……10分令y=0，则2222200000022220000023223221112111y y y y y y x y y y y y ---+-+=⋅+===++++，……..…11分所以直线l 过定点(1，0).。

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辽宁省本溪满族自治县2016-2017学年高二数学12月月考试题 文考试时间:120分钟 试卷总分：150分命题范围:必修三，选修1—2占40％，选修1—1第一章，第二章椭圆和双曲线占60％ 说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成.第Ⅰ卷为选择题，一律答在答题卡上；第Ⅱ卷为主观题,按要求答在答题纸相应位置上。

第Ⅰ卷(选择题 60分）一、 选择题（本大题共12小题每小题5分，计60分）1．已知复数Z=，则｜z|=（ ）A ．B ．C ．1D ．22。

观察下列各式：a+b=1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11，…，则a 10+b 10=（ )A 。

28 B.76 C 。

123 D 。

1993．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ )A ．0B ．2C ．3D ．44．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲：“｜PA |＋｜PB ｜是定值"， 命题乙：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”．那么甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．椭圆kx 2＋(k ＋2)y 2＝k 的焦点在y 轴上，则k 的取值范围是（ ）A ．k 〈－2B ． k >－2C ．k 〉0D ．k 〈06.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ） A 。

数学高二上学期文数12月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若，则P，Q的大小关系为（）A .B .C .D .2. （2分）在锐角中，若C=2B，则的范围（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·东丰期末) 点到直线的距离是（）A .B .C .D .4. （2分）等差数列的前n项和为，且，，则公差等于（）A . 3B .C . 1D . -25. （2分） (2019高三上·榕城月考) 已知函数在处的极值为6，则数对为（）A .B .C .D . 或6. （2分） (2018高二上·怀化期中) 对于原命题：“已知，若，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 4个7. （2分） (2019高二上·双鸭山期末) 设满足约束条件则的最小值是（）A .B .C .D .8. （2分）函数的单调递增区间是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一上·黑龙江期中) 已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·滦平期中) 将正偶数排成如图所示的数阵；若第m行第n列位置上的数记为，则该表中的300应记为（）24 6 810 12 14 16 1820 22 24 26 28 30 32……A . a136B . a126C . a137 B.a12711. （2分）(2019·汕头模拟) 过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数，则下列等式成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·鄂州期中) 若x，，且，则的最小值为________；14. （1分） (2018高二上·湘西月考) 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ________．15. （1分）(2019·广州模拟) 已知的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若，，且的面积为，则的周长为________．16. （1分）已知集合A={1，5}，B={x|ax﹣5=0}，且A∪B=A，则a的取值组成的集合是________三、解答题 (共6题；共30分)17. （5分） (2018高一上·建平期中) 已知命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．18. （5分） (2018高一上·上海期中) 已知关于的不等式有解，求关于的不等式的解.19. （5分）(2019·黑龙江模拟) 的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）若的面积为，且，求外接圆的面积.（2）求角的值；（3）若的面积为，且，求外接圆的面积.20. （5分） (2017高二下·太原期中) 已知数列{bn}满足bn=| |，其中a1=2，an+1=（1）求b1，b2，b3，并猜想bn的表达式（不必写出证明过程）；（2）设cn= ，数列|cn|的前项和为Sn，求证Sn＜．21. （5分）已知直线l：kx﹣y+1﹣2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，且|OA|=|OB|，求k的值．22. （5分） (2016高二上·黑龙江开学考) 已知f（x）= （x≠0，a＞0）是奇函数，且当x＞0时，f（x）有最小值2 ．（1）求f（x）的表达式；（2）设数列{an}满足a1=2，2an+1=f（an）﹣an（n∈N*）．令bn= ，求证bn+1=bn2；（3）求数列{bn}的通项公式．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共30分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略19-3、答案：略20-1、20-2、21-1、答案：略22-1、22-2、22-3、。

一、单选题1．一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．17374767【答案】D【分析】根据古典概型的概率计算公式可得答案. 【详解】依题意可得，取到的脐橙不是坏果的概率为. 2136217-=故选：D2．若数列的前n 项和，则（ ）{}n a 331nn S n =++3a =A ．18 B ．19 C ．20 D ．21【答案】D【分析】利用与的关系可得，计算即可. n S n a 332a S S =-【详解】． 332371621a S S =-=-=故选：D ．3．设椭圆的上顶点、右顶点分别为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ）22194x y +=A ．B ．()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭()22313122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．D ．()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭()22313122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据椭圆的性质和圆的标准方程求解.【详解】依题意可得AB 的中点为，(0,2),(3,0)A B 3,12⎛⎫⎪⎝⎭故以线段AB 为直径的圆的方程为．()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭故选:A.4．在四面体ABCD 中，，则（ ）2CE ED = BE =A ．B ．2133AB AC AD -++ 1233AB AC AD -++C ．D ．1233AB AC AD ++ 2133AB AC AD ++【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为，所以，则2CE ED =23CE CD = .()212333BE BA AE AB AC CE AB AC AD AC AB AC AD =+=-++=-++-=-++ 故选：.B 5．跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，令肌肉量适当地恢复正常的水平，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小孟最近给自己制定了一个218千米的跑步健身计划，第一天他跑了1千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（ ） A ．29天 B ．28天C ．27天D ．26天【答案】A【分析】依题意可得，小孟从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1，公差为0.5，然后利用等差数列的前项和公式即可求解.n 【详解】依题意可得，小孟从第一天开始每天跑步的路程依次成等差数列，且首项为1千米，公差为0.5千米．设经过n 天后他完成健身计划， 则，整理得．因为函数在上为增函()1121822n n n -+⨯≥238720n n +-≥()23f x x x =+-872[)1,+∞数，且，， ()280f <()290f >所以． 29n ≥故选：.A 6．已知平面的一个法向量为，向量，，则平面与平α()2,1,1m =-- ()0,1,2AB =- ()1,1,0AC =-α面ABC 夹角的正切值为（ ） AB ．2C D【答案】C【分析】根据面面角的向量求法求出平面与平面ABC 夹角的余弦值，即可根据同角三角函数的α关系得出答案.【详解】设为平面ABC 的法向量，(),,n x y z =则，令，得．200n AB y z n AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 2x =()2,2,1n =r所以平面与平面ABC 夹角的余弦值为αcos ,m n n m m n ⋅==则平面与平面ABC α=所以平面与平面ABCα=故选：C.7．在首项为的数列中，，，，设，则数列的前12{}n a m ∀*n ∈N 12m n m n a a a +=2log n n b a =11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭100项和为（ ） A ．B ．C ．D ．10020120020150101100101【答案】A【分析】令得出，即可得出的通项公式，再将的通项公式代入1m =114n n a a +={}n a {}n a 2log n n b a =中求得，再代入中，由裂项相消即可求得数列的前100项和.n b 11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】令，得，所以是首项为，公比为的等比数列，1m =111124n n n a a a a +=={}n a 1214所以，，， 11211224n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭2log 12n n b a n ==-()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以数列的前100项和为． 11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭11111110012335199201201⎛⎫-+-++-=⎪⎝⎭ 故选：A.8．已知F 为抛物线的焦点，过F C 于A ，B 两点，过A ，()2:20C y px p =>B 两点作准线的垂线，垂足分别为，，线段交y 轴于，线段交y 轴于，1A 1B1A F 2A 1B F 2B ，则p 的值为（ ）222A B =A ．2 B ．4C D ．【答案】C【分析】设，，由题意可知为的中位线，则()11,A x y ()22,B x y 22A B 11FA B A，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求解即可.11221224A B A B y y ==-=【详解】设，，()11,A x y ()22,B x y 由题意可知为的中位线，则， 22A B 11FA B A 11221224A B A B y y ==-=过F，,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p yx ⎫=-⎪⎭联立得，则，， 2,22,p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩220y py p -=12y y p +=212y y p =-则，解得124y y -==p ==p =故选：C ．二、多选题9．在正项等差数列中，，在正项等比数列中，，则（ ） {}n a 912a ={}n b 246b b +=A ． B ．的最大值为3 152136a a a ++=3b C ． D ．32302a a <-<()3135236b b b b ++>【答案】ABC【分析】由等差数列的通项公式可判断A ；由基本不等式及等比数列的性质可判断B ；由题意且，即可判断C ；由等比数列的性质可判断D. 320d aa =->1981280a a d d =-=->【详解】由等差数列的通项公式可知，故A 正确；()152********a a a a d a ++=+==在正项等比数列中，，当且仅当时，等号成立，则的最大{}n b 24362b b b =+≥=243b b ==3b 值为3，故B 正确；设的公差为d ，因为，所以，且，所以，{}n a 0n a >320d a a =->1981280a a d d =-=->302d <<即，故C 正确； 32302a a <-<，故D 错误，()()222231351333522442422236b b b b b b b b b b b b b b b ++=++=++=+=故选：ABC.10．已知P 为直线上的动点，过点P 作圆（C 为圆心）的切:70l x y +-=()()22:121C x y -+-=线，A 为其中的一个切点，则（ ）A ．的最小值为PCB ．的最小值为3PAC ．sin ACP ∠D ．当B 为另一个切点时，的最小值为 PA PB ⋅3-【答案】AC【分析】直线l 与圆C 相离，则的最小值为C 到直线l 的距离，即可判断A ；由PCB ；在直角三角形中求得C ；设sin ACP ∠=APC θ∠=，，结合函数的单调性可判断D ．()2212sin PA PB PA θ⋅=- 2223PC PC=+-【详解】圆的圆心，半径为1， C ()1,2因为C 到直线l ，所以直线l 与圆C 相离，所以的最小值为1>PC 故A 正确；因为，B 错误；AP AC ⊥min PA =C 正sin ACP ∠sin ACP ∠确；设，，则APC θ∠=sin 1AC PC PCθ==()222cos 212sin PA PB PA PA θθ⋅==- ，令，由对勾函数的性质可知，()222222113PC PC PC PC ⎛⎫=- -⎪=+- ⎪⎝⎭2t PC =[)8,∈+∞在上单调递增，则当时，的最小值为，故D 错误．23PA PB t t⋅=+- [)8,t ∈+∞8t =PA PB ⋅ 214故选：AC ．11．如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且，E ，P ABCD -PA ⊥2PA AB ==F 分别为PD ，PB 的中点，则（ ）A ．平面PAC EF ⊥B ．平面EFC//AB C ．点F 到直线CDD ．点A 到平面EFC【答案】AD【分析】以A 为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标ABAD AP 系，由，，利用线面垂直的判定定理可判断A 正确；求出平面EFC 的法向0EF AP ⋅= 0EF PC ⋅=量、的坐标，利用可判断B ；设点A 到平面EFC 的距离为d ，由可判AB20AB m ⋅=≠ AC m d m⋅= 断D ；设点F 到直线CD 的距离为h ，计算可判断C ． 222CF CD h CF CD ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭【详解】以A 为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图空间直角坐ABAD AP 标系，则，,，，，，()0,0,0A ()002P ,,()2,2,0C ()0,1,1E ()1,0,1F ()0,2,0D 则，，，， ()1,1,0EF =- ()0,0,2AP =()2,2,2PC =- ()2,1,1EC =- 因为，，0000EF AP ⋅=-+=2200EF PC ⋅=-+= 所以，，即，，EF AP ⊥ EF PC ⊥EF AP ⊥EF PC ⊥又，平面PAC ， AP PC P = AP PC ⊂、所以平面PAC ，A 正确；EF ⊥设平面EFC 的法向量为，则，令，得，(),,m x y z = 0,20,x y x y z -=⎧⎨+-=⎩1x =()1,1,3m = 因为，所以，B 不正确；()2,0,0AB = 20AB m ⋅=≠设点A 到平面EFC 的距离为d ，，则，D 正确；()2,2,0AC = AC m dm ⋅=== 设点F 到直线CD 的距离为h ，，，()1,2,1CF =--()2,0,0CD =-则，即C 不正确．2225CF CD h CF CD ⎛⎫⋅ ⎪=-= ⎪⎝⎭h =故选：AD.12．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过点的直线C ()222210,0x ya b a b-=>>()1,0F c -()2,0F c 1F 与双曲线的左支交于点，与双曲线的其中一条渐近线在第一象限交于点，且l C A C B （是坐标原点），下列结论正确的有（ ）122F F OB =O AB ．若，则双曲线12AB F A= C C ． 122BF BF a ->D ． c a --【答案】ABD【分析】根据可得，根据勾股定理可判断A ，根据向量共线可得122F F OB =21BF BF ⊥，代入双曲线方程可得离心率，进而判断B ，根据双曲线的定义及三角形的三边关系2,33a c b A -⎛⎫ ⎪⎝⎭即可判断C ，根据点点距离以及的坐标的范围即可判断D. A 【详解】由于,因此,1221222F F OB OF OF ===21BF BF ⊥,故A 正确，由于，因此易得，，则 2222,tan ,b OB c BOF c a b a=∠==+(),B a b ()1,0F c -，由，则，进而，将代()1,F B a c b =+ 12AB F A = 111,333a c b F A F B +⎛⎫==⎪⎝⎭ 2,33a c b A -⎛⎫ ⎪⎝⎭2,33a c b A -⎛⎫⎪⎝⎭入双曲线的方程中得，化简得，解得，故22222331a cb a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=24490e e --=e =1e >B 正确， e =设直线与双曲线的右支交于点,则由双曲线的定义可知：，由三角形三边关系l M 122MF MF a -=可得，则，故，故22MB MF BF >-121212MF MF BF MB MF BF BF -=+->-122BF BF a -<C 错误，设，，则(),A x y ()0x <， a ==+由于，所以 ，进而，0B y y b <<=22222212y a x a a b ⎛⎫<=+< ⎪⎝⎭x a <<-故，故D 正确， 1cc a AF x a a a-<=--<-故选：ABD三、填空题13．空间向量，满足，且，则______. a b2a b a b +=- ()2,1,3b =- a b ⋅= 【答案】7-【分析】先由空间向量的模的坐标表示求，把两边同时完全平方，化简可求.b 2a b a b +=- a b ⋅【详解】由 ()2,1,3b =-=因为，所以，所以，2a b a b +=- 222a b a b +=- ()()222a ba b +=- 所以，所以，所以，2222442a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ 63140a b ⋅+⨯= 7a b ⋅=- 故答案为：.7-14．若等比数列的前n 项和，则__________．{}n a 156n n S a +=+⋅=a 【答案】56-【分析】由求出，结合等比数列求得值．n S n a a 【详解】由题意时，，2n ≥115()56656n n n n nn a a a a S S +-+⋅-==+-⋅=⋅当时，，又是等比数列，所以，解得．1n =11536a S a ==+{}n a 53656a a +=⨯56a =-故答案为：．56-15．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示6AB =2MO =的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点，则的最小值为15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭PF PQ +__________．【答案】3【分析】由题意可知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求()2,3的最小值.PF PQ +【详解】设抛物线的方程为，()220y px p =>因为，，所以点在抛物线上，所以，故， 6AB =2MO =()2,3A 94p =94p =所以抛物线的方程为， 292y x =所以抛物线的焦点，准线方程为，F 9,08⎛⎫⎪⎝⎭98x =-在方程中取可得，所以点在抛物线内， 292y x =158x =2135416y =>Q 过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，P PP 'P 'Q QQ 'Q '则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等PF PP '=159388PF PQ PP PQ QQ ''+=+≥=+=PQ 号成立，所以的最小值为3. PF PQ +故答案为：3.四、双空题16．对正整数n ，函数是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．此函数以其首名研究()n ϕ者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得______，数列的前()441ϕ=(){}7nn ϕn 项和______． n S =【答案】 252()61716n n -+【分析】由质因数分解求得的所有质因数，利用质因数结合定义可求得，因为除了7的441(441)ϕ倍数外，其他数都与互质，因此易得，然后由错位相减法求得数列的前项和． 7n (7)n ϕ{(7)}n n ϕn 【详解】因为，2244137=⨯所以不大于441的数中，能被i （i ＝3，7）整除的数与441都不互质， 所以． ()4414414414414412523721ϕ=--+=因为除了7的倍数外，其他数都与互质，所以，7n()1777677nnnn ϕ-=-=⨯则，所以，()161277n n S n -=⨯+⨯++⨯ ()2767277n n S n =⨯+⨯++⨯ 所以，()()11766177767167117n n nn n n S n n n -⎛⎫--=⨯+++-⨯=⨯-⨯=-- ⎪-⎝⎭故． ()61716n nn S -+=故答案为：252；．()61716n n -+【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列和等比数列直接应用其前项和公式计算；n （2）裂项相消法：最典型的数列：是公差为且各项均不为0的等差数列，数列的项{}n a d 11{}n n a a +需变形：，然后求和； 111111()n n n n a a d a a ++=-（3）错位相减法：是等差数列，是等比数列，则数列的前项和需用此法； {}n a {}n b {}n n a b n （4）分组（并项）求和法：例如是等差数列，是等比数列，则数列的前项可用{}n a {}n b {}n n a b +n 分组求和法；（5）倒序相加法：与等差数列有类似性质的数列：首末两项及与首末两项等距离的两项的和相等，则可用倒序相加法求和．五、解答题17．在等差数列中，，． {}n a 1019a =5099a =(1)求的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和．123nn a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⨯⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭n S 【答案】(1) 21n a n =-(2)n S 2113nn ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【分析】(1)设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式求和，由此可求通项公{}n a d d 1a 式；(2)利用分组求和法结合等差数列和等比数列求和公式求. n S 【详解】（1）设等差数列的公差为d ， {}n a 因为，，1019a =5099a =所以， 11919,4999a d a d +=+=所以， 1a 1,d 2==故．21n a n =-（2）由(1) ，()11221233nnn a n ⎛⎫⎛⎫+⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()2311111232522123333nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯++⨯+⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()2311111352123333nn S n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()1112113212313nn n n S ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+⨯⨯-故.2113nn S n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭18．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动. (1)求甲最后没有得奖的概率；(2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率. 【答案】(1) 0.825(2) 0.105【分析】（1）分第一关未通过，第一关通过第二关未通过，前两关通过第三关未通过三种情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式，求解即可；（2）若奖金为900，则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，计算对应概率即可.【详解】（1）记第一关未通过为事件，第一关通过第二关未通过为事件，前两关通过第三关未A B 通过为事件，甲最后没有得奖为事件，C D 则，，，()0.3P A =()()0.710.50.35P B =⨯-=()()0.70.510.50.175P C =⨯⨯-=故.()()()()0.825P D P A P B P C =++=（2）记通过了前两关时最后获得二等奖为事件，通过了前两关时最后获得一等奖为事件， E F 则，.()()0.510.30.35P E =⨯-=()0.50.30.15P F =⨯=因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖， 故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为.0.350.150.150.350.105⨯+⨯=19．已知圆，圆，圆P 与圆M ，圆N 都外切，圆P 的圆心的()22:316M x y ++=()22:34N x y -+=轨迹记为Q ． (1)求Q 的方程；(2)若直线与Q 交于A ，B 两点，求．:34l y x =-AB 【答案】(1)()22118y x x -=>(2)【分析】（1）设圆P 的半径为r ，由圆P 与圆M 和圆N 都外切，得出等于定值，由双PM PN -曲线的定义知，轨迹Q 为双曲线的右支（除去顶点），写出方程即可． （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式求出即可． AB 【详解】（1），，，()3,0M -()3,0N 6MN =设圆P 的半径为r ，因为圆M 与圆N 的半径分别为4，2， 所以，，所以， 4PM r =+2PN r =+2PM PN -=又圆M 与圆N 相切于点，()1,0所以轨迹Q 为以，为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（除去顶点），()3,0M -()3,0N 故Q 的方程为．()22118y x x -=>（2）联立得， 221,834,y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩224240x x -+=设，，由韦达定理可得， ()11,A x y ()22,B x y 121224x xx x +===20．在等比数列中，，且．{}n a 24a =3438a a -=(1)求的通项公式； {}n a(2)若，，求数列的前n 项和．34a ≠n nb a ={}n b n S 【答案】(1)24nn n a a ==或(2) 122n n S +-【分析】（1）设公比为，根据条件列出方程，求出与的值，进一步可得；q 1a q n a（2）求得，从而利用裂项相消法即可求出．(1222n n nn b +=⋅=n S 【详解】（1）设公比为，因为，且， q 24a =3438a a -=所以，解得或． 21248q q -=1q =2q =当时，，；1q =14a =4n a =当时，，．2q =12a =1222n nn a -=⨯=（2）因为，所以，34a ≠2n n a =所以，(1222n n nn b +=⋅=所以.2321122222222n n n n S ++=++=- 21．如图1，在平行四边形中，，，，分别为，的中ABCD 24AB AD ==60DAB ∠=︒E F AB CD 点.将沿折起到的位置，使得平面平面，将沿折起到ADE V DE 1A DE △1A DE ⊥BEDF BCF △BF 的位置，使得二面角的大小为，连接，，，得到如图2所示1BC F △1E BF C --120︒11A C 1A F 1C E 的多面体.11A C BEDF(1)证明：.1DE A F ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值.1BC 11A C E【答案】(1)证明见解析；.【分析】(1)取的中点，连接，证明，由线面垂直判定定理证明DE O 1,AO FO 1,A O DE FO DE ⊥⊥平面，由此证明；DE ⊥1A OF 1DE A F ⊥(2)由面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平1A O ⊥BEDF 1BC 面法向量，利用向量夹角公式求两向量夹角余弦可得结论.11A C E 【详解】（1）在图1中，连接因为四边形为平行四边形，，分别为，的中,EF ABCD E F AB CD 点，，所以，，4AB =//DF AE 2DF AE ==所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形， AEFD 2AD AE ==AEFD 故，同理可证四边形为菱形， AE EF FD DA ===BCFE 故，BC CF FE EB ===所以在图2中，连接，取的中点，连接， ,EF 11,A D A E FD FE ==DE O 1,AO FO 则，1,A O DE FO DE ⊥⊥又平面，平面，， 1A O ⊂1A OF FO ⊂1A OF 1A O FO O = 所以平面，又平面，所以；DE ⊥1A OF 1A F ⊂1A OF 1DE A F ⊥（2）由(1)，因为平面平面，平面平面，平面1AO DE ⊥1A DE ⊥BEDF 1A DE BEDF DE =1A O ⊂，1A DE 所以平面，又平面，所以，1A O ⊥BEDF FO ⊂BEDF 1A O FO ⊥因为，，， 1AO DE ⊥1A O FO ⊥FO DE ⊥如图以点为原点，以分别作为轴的正方向，建立空间直角坐标系，O 1,,OE OF OA,,x y z 因为，，所以，，， 2AE EF FD DA ====160D AE ∠=︒(1A ()1,0,0E ()B 取的中点，连接，因为图1中， BF M 1,C M EM BC CF FE EB ===所以图2中，，所以， EB EF =11C B C F =1,C M BF EM BF ⊥⊥所以为二面角的平面角，1C ME ∠1E BF C --因为二面角的大小为，所以，1E BF C --120︒1120C ME ∠=过点作，垂足为，则，在中，1C 1C N EM ⊥N 160C MN ∠=1C MN A ，，，160C MN ∠=1C M =190C NM ∠= 所以，，所以点的坐标为， 132C N=MN =1C 32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，，132BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(11,0,A E =132EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面的法向量为，11A C E ()111,,,n n x y z =因为，所以，取， 1100n A E n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11110302x y z ⎧=+=1z=113,1x y ==-故向量为平面的一个法向量，(3,n =-所以111cos ,BC n BC n BC n⋅===⋅ 设直线与平面所成角为，则1BC 11A C E θsin θ==所以直线与平面1BC 11A C E22．已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．CM )1N-(1)求的方程；C (2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为()3,0D ():3,0l x ty n n t =+≠≠C ,A B ,DA DB 1t，证明：点在一条定抛物线上．(),t n 【答案】(1)22193x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆标准方程求法，列方程组解决即可；（2）设直线的斜率分别为，，，．将代入，得,DA DB 1k 2k ()11,A x y ()22,B x y x ty n =+22193x y+=， ，根据韦达定理化简得即可解()2223290ty tny n +++-=()22121230k k t y y n +=--=223n t =+决.【详解】（1）依题意设的方程为， C 221px qy +=因为经过点，，C M)1N-所以，解得，32161p q p q +=⎧⎨+=⎩1913p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故的方程为．C 22193x y +=（2）证明：设直线的斜率分别为，，，．,DA DB 1k 2k ()11,A x y ()22,B x y 将代入，得．x ty n =+22193x y +=()2223290t y tny n +++-=由题设可知，，，()2212390t n ∆=-+>12223tn y y t +=-+212293n y y t -=+所以 ()()()()()()()()1221122112121212213333333333y x y x y ty n y ty n y yk k x x x x ty n ty n -+-+-++-+=+==----+-+-， ()()()()1212221212231(3)3ty y n y y tt y y t n y y n +-+==+-++-所以，()221230t y y n --=所以． ()()()22222293333033n n t n n t n t t -+⎡⎤--=---=⎢⎥++⎣⎦因为， 3n ≠所以， ()223303n tn t +--=+所以，223n t =+故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上．(),t n 223y x =+(),t n。

一中、一中2021年下学期高二年级联考制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔文〕试题一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.设数列{a n}的前n项和S n=n3，那么a4的值是〔〕A. 15B. 37C. 27D. 64【答案】B【解析】【分析】利用，求得数列的通项公式，从而求得.【详解】当时，，故.应选B.【点睛】本小题主要考察数列的前项和公式求数列的通项公式.对于数列的前项和公式的表达式，求数列的通项公式的题目，往往有两个方向可以考虑，其中一个主要的方向是利用.另一个方向是假如题目给定的表达式中含有的话，可以考虑将转化为，先求得数列的表达式，再来求的表达式.的焦点为F1，F2，p为椭圆上一点，假设，那么〔〕A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C【解析】根据椭圆的定义，由此可求得的值.【详解】根据椭圆的方程可知，根据椭圆的定义，由此可求，应选C.【点睛】本小题主要考察椭圆的定义，考察椭圆的HY方程.解答时要主要椭圆的焦点是在轴上.属于根底题.3.等差数列{a n}满足，那么其前10项之和为( )A. －9B. －15C. 15D. ±15【答案】D【解析】由(a4＋a7)2＝9，所以a4＋a7＝±3，从而a1＋a10＝±3.所以S10＝×10＝±15.应选D.4.利用HY性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得.参照附表，得到的正确结论是〔〕A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关〞B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关〞D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关〞【解析】【分析】根据HY性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞.【详解】由于计算得，根据HY性检验的知识可知有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞.应选B.【点睛】本小题主要考察联表，考察HY性检验的知识，根据HY性检验的知识可直接得出结论，属于根底题.在区间上的最小值是〔〕A. -9B. -16C. -12D. 9【答案】B【解析】【分析】利用导数求得函数在上的单调区间、极值，比拟区间端点的函数值和极值，由此求得最小值.【详解】，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，，故最小值为.所以选B.【点睛】本小题主要考察利用导数求函数的最小值.首先利用函数的导数求得函数的单调区间，利用单调区间得到函数的极值点，然后计算函数在区间端点的函数值，以及函数在极值点的函数值，比拟这几个函数值，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.本小题属于根底题.2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，假设线段AB中点的横坐标为3，那么|AB|等于〔〕A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】B【解析】设A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕依题意，x1+x2=6，|AB|=6+2=8，选择B的前n项和为，那么这个数列的通项公式是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，两式相减即可得，可证明数列为等比数列，从而写出通项公式.【详解】由a n＝S n－S n－1＝(a n－3)－(a n－1－3)(n≥2)，得，又a1＝6，所以{a n}是以a1＝6，q＝3的等比数列，所以a n＝2·3n.【点睛】此题主要考察了根据递推关系求数列的通项公式，，属于中档题.，满足：，，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC内部，其中；直线过点C取最小值，过点B取最大值，所以，选C.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.9.，以下四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，反之不成立，因此是的必要不充分条件考点：充分条件与必要条件点评：假设命题成立，那么是的充分条件，是的必要条件在区间上单调递减，那么实数t的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∵，由于在区间上单调递减，那么有在上恒成立，即，也即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，应选C．考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性.与直线交于两点，过原点与线段的中点的直线的斜率为，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用点差法，用中点和斜率列方程，解方程求得的值.【详解】设代入椭圆方程得，两式相减得，依题意可知，，即.应选B.【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察直线和椭圆相交所得弦长的中点有关的问题的解决策略，即点差法.点差法用在与直线和圆锥曲线相交得到的弦的中点有关的问题，其根本步骤是：首先将点代入圆锥曲线的方程，作差后化为一边是中点，一边是斜率的形式，再代入条件求得所需要的结果.中，存在两项，使得且那么的最小值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用根本元的思想，将题目所给条件转化为的形式，化简得出的关系式，将这个关系式乘以，再利用换元法求得最小值.【详解】由于数列是等比数列，依题意有，解得.故.令，为正整数.由于在上递减，在上递增，而，故的最小值为.所以.所以选A.【点睛】本小题主要考察利用等比数列的通项公式，以及等比数列根本量的计算，还考察了最小值的求法.属于中档题.二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕(e为自然对数的底数〕的图像在点〔0,1〕处的切线方程是____________ 【答案】【解析】【分析】对函数求导得到导数f′(x)＝e x＋2，图像在点(0，1)处的切线斜率k＝e0＋2＝3，故得到切线方程为.【详解】∵函数f(x)＝e x＋2x，∴导数f′(x)＝e x＋2，∴f(x)的图像在点(0，1)处的切线斜率k＝e0＋2＝3，∴图像在点(0，1)处的切线方程为y＝3x＋1.故答案为：.【点睛】这个题目考察了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.中，前项和为，且点在直线上，那么=_________________________【答案】【解析】【分析】将点坐标代入之先后得到为等差数列，求出其前项和，利用裂项求和法求得数列前项和.【详解】将点坐标代入直线方程得，故数列是首项为，公差为的等差数列，故通项公式为，前项和.故.【点睛】本小题主要考察点和直线的位置关系，考察等差数列的定义以及等差数列的判断，考察等差数列的通项公式以及前项和公式，考察裂项求和法等知识，属于中档题.点在曲线上，那么点的坐标满足曲线方程.假设一个数列满足，为常数，那么这个数列是等差数列，为公差.对于任意正整数n恒成立，那么实数a的取值范围是_______________________【答案】【解析】【分析】将分成奇数和偶数两种情况分类讨论，利用数列的单调性，求得的取值范围.【详解】当为偶数时，原不等式转化为，而单调递增，故，故.当为奇数时，原不等式转化为，而单调递增，故，故.综上所述，.【点睛】本小题考察数列的单调性，考察分类讨论的数学思想方法，考察不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.16.椭圆C：的左右焦点分别为,焦距为2c. 假设直线与椭圆C的一个交点M满足,那么该椭圆的离心率等于____________【答案】【解析】【分析】根据直线的方程可知直线的倾斜角为，且过椭圆的左焦点.根据可得三角形为直角三角形，根据三边的关系可求得离心率.【详解】由于直线方程为，故直线的倾斜角为，且过椭圆的左焦点.根据可得三角形为直角三角形，且.故三边的比值为.根据椭圆的定义，椭圆的离心率为.【点睛】本小题主要考察直线和椭圆的位置关系，考察直线方程过定点，以及椭圆离心率的求法，属于中档题.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕，命题方程表示焦点在轴上的双曲线.〔1〕命题为真命题，务实数的取值范围；〔2〕假设命题“〞为真，命题“〞为假，务实数的取值范围.【答案】〔1〕〔2〕或者.【解析】试题分析：这类问题首先求得命题为真时的的范围，再根据含有逻辑连接词的命题的真假判断命题的真假，从而得的范围．试题解析：由得，即，由得，即．〔1〕命题为真，；〔2〕由题意命题一真一假，因此有或者，所以或者．考点：复合命题的真假．，假设其导函数的x的取值范围为〔1，3〕.〔1〕判断f(x)的单调性〔2〕假设函数f(x)的极小值为－4，求f(x)的解析式与极大值【答案】〔1〕减区间，增区间；〔2〕，极大值为. 【解析】【分析】〔1〕对函数求导，根据导函数大于零的解集为，可求得函数的减区间.〔2〕由〔1〕知函数的极值点，由此列方程组，解方程组求得的值，同时求得极大值.【详解】解：〔Ⅰ〕由题意知因此在单调递减,单调递增单调递减.〔2〕由〔1〕可得处获得极小值－4，在x=3处获得极大值。