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2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1. 下列有关命题的说法正确的是( )A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“”的否定是“”C. 命题“若，则”的逆否命题为假命题D. 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题2. 已知F 1，F 2分别是椭圆x 24+y 23=1的焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，则△ABF 2的周长是( ) A. 2√3B. 4C. 6D. 8 3. 设x ∈R ，则“x >12”是“(1−2x)(x +1)<0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数f(x)=x ·sinx +cosx 则f’( )的值为A.B. 0C. −1D. 1 5. 已知方程和，其中，，它们所表示的曲线可能是下列图象中的( )A.B. C. 6. 已知函数f(x)={x,x <013x 3−12(a +1)x 2+ax,x ≥0，若函数y =f(x)−ax −1有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,+∞)C. (−1,0)D. (−∞,−1)7.阿波罗尼斯(约公元前262−190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0且k=1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P与A，B距离之比为√2，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是()A. 4√2B. 2√2C. 6√2D. 8√28.设函数y=f(x)在(−∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：，取函数f(x)=2−x−e−x，若对任意的x∈(−∞,+∞)，恒有f k(x)=f(x)，则()A. k的最大值为2B. k的最小值为2C. k的最大值为1D. k的最小值为19.若B点的坐标为(3,2)，点P为抛物线C：y2=6x上的动点，F是拋物线C的焦点，当△PBF周长取得最小值时△PBF的面积为()A. 32B. 92C. 73D. 310.设a，b∈R，函数f(x)={x,x<0,13x3−12(a+1)x2+ax,x≥0．若函数y=f(x)−ax−b恰有3个零点，则()A. a<−1，b<0B. a<−1，b>0C. a>−1，b<0D. a>−1，b>011.已知双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)，直线y=−b与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，O 为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则曲线C的焦距为()A. 2B. 4C. √2D. √312.命题“存在实数x，使x2+x−1<0”的否定为()A. 对任意实数x，都有x2+x−1≥0B. 不存在实数x，使x2+x−1≥0C. 对任意实数x，都有x2+x−1<0D. 存在实数x，使x2+x−1≥0二、多选题（本大题共3小题，共9.0分）13.已知曲线C：mx2+ny2=1，下列说法正确的是()A. 若m=n>0，则C是圆，其半径为√nn．B. 若m>0，n=0，则C是两条直线．C. 若n>m>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上．D. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnx．14.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，则()A. 直线AD1与BD的夹角为60°B. 二面角E−AD−B的正切值是12C. 经过三点A，E，F截正方体的截面是等腰梯形D. 点C1到平面AB1D1的距离为√3215.已知函数f(x)=e x−e−x2，g(x)=ex+e−x2，则下列结论正确的是()A. f(−x)=−f(x)B. f(−2)>f(3)C. f(2x)=2f(x)g(x)D. [f(x)]2−[g(x)]2=1三、单空题（本大题共5小题，共15.0分）16.曲线y=x3+x−2在点(−1,−4)处的切线的斜率为______．17.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值是______ ．18.设集合A={x|x2−4x+3=0}，B={x|x2−ax+3=0}，那么“a=3”是“A∪B=A”的______条件．19.已知向量a⃗=(3,4)，b⃗ =(cosθ,sinθ)，则|a⃗−2b⃗ |的最大值为______ ．20.已知点P是抛物线y2=16x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的取值范围为______．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1、B2，两个焦点分别为F1，F2，|A1B2|=2√7，四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的两动点，若∠APQ=∠BPQ，求证：直线AB的斜率k AB为定值．22. 设f (k,t)(x)=kx+t x (这里的k ，t ，x ∈R 且x ≠0)(1)f (1,2)(1)，f (2,2)(x)，f (1,3)(3)成等差数列，求x 的值；(2)已知{f (0,1)(1x n )}，n ∈N 是公比为32的等比数列，x 1，x 5∈N ∗是否存在正整数u ，使x 1≥u 4，且x 5≤(u +1)4？若存在，求出u 的值，若不存在，请说明理由；(3)如果存在正常数M ，使得|y n |≤M 对于一切n ∈N ∗的成立，那么称数列{y n }有界，已知a >0，m为正偶数，数列{x}满足x 1=b <0，且x n+1=f (b,a)(1x n m )，n ∈N ∗，证明：数列{x n }有界的充要条件是ab m−1+2≥0．23. 如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB//CD ，AB =AD =12CD =2，点M 是线段EC 的中点．(1)求证：BM//平面ADEF ；(2)求证：平面BDE ⊥平面BEC ；(3)求平面BDM 与平面ABF 所成的角(锐角)的余弦值．24. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)上的点(2,t)到焦点F 的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)设纵截距为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两个不同的点，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，求直线l 的方程．25. 已知函数f(x)=a x +xlnx(a ∈R)，g(x)=x 3−x 2−3．(1)求函数g(x)的图象在点(1,g(1))处切线的方程；(2)若对任意的s ，t ∈[12,2]，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a 的取值范围．。
2021年高二数学上学期期中联考试题文湘教版时间：120分钟总分：120分一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请将答案填写在答卷的表格中．1、在等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第（）项A．60 B．61 C 62 D．632、在100和500之间能被9整除的所有数之和为（）A．12699 B．13266 C．13833 D．144003、等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2—11x+9=0的两个根，则a6=（）A．3 B． C．± 3 D．以上皆非4、四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则（）A． B． C． D．5、在中，已知，，，则的面积等于（）A． B． C． D．6、在中，a,b,c分别是所对应的边，，则的取值范围是（）A．（1,2） B． C． D．7、不等式的解集是（）A．B．C．D．8、关于x的方程ax2＋2x－1＝0至少有一个正的实根,则a的取值范围是A．a≥0 B．－1≤a＜0 C．a＞0或－1＜a＜0 D．a≥－1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共２8分．请将答案填写在横线上．9、若命题p:3是奇数，q:3是最小的素数，则p且q,p或q,非p，非q中真命题的个数为 .10、已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是11、数列的前n项的和Sn=2n2-n+1，则an=12、已知_______,41,4=-+-=>xxxyx当函数时，函数有最_______值最值为 .13、不等式的解集是_______________________________14、在△ABC中，若(a2＋c2－b2)tanB=,则角B的值为-------------15、在下列函数中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；其中最小值为2的函数是（填入正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，每题10分满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求①角C的度数②△ABC周长的最小值。
高二数学试卷考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择題）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A 版必修1~5，选修2-1第一、二章．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“24,log 2x x ∀>>”的否定是（ ）A ．0204,log 2x x ∃>B ．24,log 2x x ∀>C ．0204,log 2x x ∃D ．24,log 2x x ∀ 2．抛物线2116y x =的准线方程是（ ） A ．4y = B ．8y = C ．4y =- D ．8y =-3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.6y x a=+，则ˆa =（ ）A ．4.2B ．4.6C ．4.7D ．4.94．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 22sin cos 0b A a A B -=，则ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则这个数列的前9项和等于（ ） A ．45 B ．452 C ．55 D ．5526．已知正数,m n 满足1250.2m n -=，则12m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．127．已知平面向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，则“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过原点O 的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A B 1 C D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点()00,M x y 在抛物线C 上，若||4MF =，则（ ）A ．03x =B ．0y =C ．||OM =D ．F 的坐标为(0,1)10．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线,,c a b αβ⊂⊂，若,a b 为异面直线，则下列说法可能成立的是（ ）A ．a 与c 相交，且b 与c 也相交B ．//a β，且//b αC ．//a c ，且b 与c 相交D ．a c ⊥，且b c ⊥ 11．已知点(1,1)P -是角α终边上的一点，则（ ） A ．函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为3()82k x k ππ=+∈Z B ．函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为()82k x k ππ=+∈Z C ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是奇函数 D ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是偶函数 12．已知ln ln ,1,1,01x y x y m >≠≠<<，则（ ） A ．mmx y > B ．11(1)log (1)log y x x m y m +++<+C ．x y mmxy > D ．log log 1x m m y ⋅>第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在等差数列{}n a 中，已知143,1a a =-=，则7a =_______．14．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是___． 15．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，，若函数()()g x f x a =+恰有一个零点，则a 的取值范围是______．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C的离心率12e ⎛∈ ⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①212AB BD ==，②sin ,BAD ABD D ∠=∠为BC的中点，③,6DAB AB π∠==个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求AC 的长；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，在ABC 中，4ACB π∠=，点D 在线段BC 上，10AD =，_________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c C 为锐角，且3,ab ABC =． （1）求角C ；（2）若ABC，求ABC 的周长． 19．（12分）记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，32n a +是6和124n S +的等比中项，且12a ≠． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 的公比为12，且123111,,2b b b -成等差数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．20．（12分）2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x 人游玩该项目，需要另投入成本2120,0500,2()3600000410100000,500,x x x x f x x x x x ⎧+<<∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩N N，（单位：元）．同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800．（1）求该游乐项目每天的利润y （元）关于每天游玩该项目的人数x 的函数关系式； （2）当每天游玩该项目的人数x 为多少时，该游乐公司获利最大？ 21．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是AB 的中点，过点E 作平行于平面PAD 的截面，与直线,,CD PC PB 分别交于点,,F G H ． （1）证明：//GH EF ．（2）若四棱锥P ABCD -的体积为83，求四边形 EFGH 的面积．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F，且离心率为2，点M 为椭圆C 上的动点，12F MF 面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 的上顶点，直线1MF 交椭圆C 于点N ，过点1F 的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆C 交于,P Q 两点，点P 在点Q 的上方，若11:3:2F MPF NQSS=，求直线l 的方程．高二数学试卷参考答案1．A 全称命题的否定是特称命题．2．C 化为标准方程为216x y =，易知该抛物线的准线方程为4y =-． 3．D 由表可得，12345 5.567783, 6.755x y ++++++++====，代入回归直线ˆˆ0.6yx a =+，得ˆ6.70.63a=⨯+，解得ˆ 4.9a =． 4．B 由sin 22sin cos 0b A a A B -=，得2sin cos 2sin cos 0b A A a A B -=，即cos cos 0b A a B -=．由正弦定理得sin cos cos sin 0B A B A -=，即sin()0B A -=，所以A B =．5．B 数列{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则128910a a a a +++=，所以195a a +=，所以()19994522a a S +⨯==．6．B 由1250.2m n -=，可得2255m n --=，所以22m n +=，1211214424(2)22422n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1,12m n ==时，取得等号．7．B 若,m n 的夹角为锐角，则0m n ⋅>，且,m n 不共线，则2220,(2)(1)2m n λλλλ⋅=+++>++≠，解得43λ>-且0λ≠．所以“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的必要不充分条件． 8．D 由题可知123FOA π∠=，易得112FOA F AF ～，所以11112FO F A F A F F =，可得1F A =．在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅，解得22AF c =． =．9．AC 由题可知(1,0)F ，由0||1MF x =+，所以03x =，212y =，||OM ===．故选AC ．10．ACD 若//a β且//b α，可知////a b c ，与,a b 为异面直线矛盾，B 错误，其他三种情况都可能成立．故选ACD ．11．AD 根据题意知角α为第四象限角，且tan 1α=-，则2()4k k παπ=-+∈Z ，所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2()42x k k πππ-=+∈Z ，解得3()82k x k ππ=+∈Z ，所以函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为35()()cos 3cos(3)cos3824k x k g x x x x πππαπ⎛⎫=+∈⋅=++=+=- ⎪⎝⎭Z 为偶函数．故选AD ． 12．AB 因为ln ln x y >，所以0x y >>．选项A ，令()mf t t =，又01m <<，所以()f t 在(0,)+∞上单调递增，所以mmx y >，所以A 正确． 选项B ，111111lg(1)lg(1)(1)log (1)log lg lg lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)x y y x x y x y x m y m m m y x x y ++++⎡⎤⎡⎤+++-++-+=⋅-=⋅⎢⎥⎢⎥+++⋅+⎣⎦⎣⎦，因为0,01x y m >><<，所以B 正确．选项C ，yx mmxy >等价于()()11y x mmxy>，当4,3x y ==时，3434464,381,43==<，所以C 错误．选项D ，log log m m y x >，但是log ,log m m y x 的正负性无法确定，所以D 错误．故选AB ． 13．5 因为147,,a a a 成等差数列，所以1742a a a +=，即74125a a a =-=． 14．16 由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==．15．(,1)-∞ 令()0f x a +=，得()a f x =-，结合函数()y f x =-的图象（图略）可知，1a <．16．9⎛⎝⎭ 因为31x y x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31xy x =-的对称中心为11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b +=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e -==+--．因为123e ⎛∈ ⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而293a ⎛∈ ⎝⎭． 17．解：选择条件①，在 ABD 中，由余弦定理可得2225cos 29AB BD AD B AB BD +-==⋅， 4分则sin 9B ==． 7分 在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACC B=，可得12sin sin AB B AC C ⨯⋅===． 10分选择条件②，在ABD中，sin BAD ABD ∠=∠，可得BD == 3分又D 为BC的中点，所以CD = 5分 在ADC 中，由余弦定理得2222cos AD CD AC CD AC ACB =+-⋅∠， 7分 得210020020AC AC =+-，即10AC =． 10分 选择条件③，在ABD 中，由余弦定理可得2222cos 100BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，即10BD =， 3分则210,,33AD BD ADB ADC ππ==∠=∠=． 6分 在ADC 中，由正弦定理得sin sin AD AC C ADC =∠，可得sin sin AD ADCAC C⋅∠==． 10分18．解：（1）因为13sin sin 224ABCSab C C ===，所以sin C =， 2分 又C 为锐角，所以60C ︒=． 4分 （2）设ABC 外接圆的半径为R，则2sin 3c R C ==， 6分所以4c ==． 7分因为2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 9分 所以216()9a b =+-，解得5a b +=， 11分所以549a b c ++=+=，即ABC 的周长为9． 12分19．解：（1）因为32n a +是6和124n S +的等比中项，所以2316?24n n a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭①， 1分当2n 时，21131624n n a S --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭②，由①-②得2211336622n n n n a a S S --⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2分化简得2213322n n a a -⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13322n n a a --=+或者133022n n a a -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（舍去），故13(2)n n a a n --=，数列{}n a 为等差数列． 3分因为21131624a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得11a =或12a =（舍去）， 4分所以数列{}n a 是首项为1、公差为3的等差数列，所以32n a n =-． 5分 （2）由123111,,2b b b -成等差数列，可得1321122b b b +-=， 可得23122q b q +-=， 6分又12q =，所以112b =， 7分 所以12n n b =． 8分由（1）得322n n nn a b -=， 所以234147103222222n n n T -=+++++，2345111471035322222222nn n n n T +--=++++++， 两式相减得23411111113232222222n nn n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭， 所以123111111111323213222131313112222222212n n n n n n nn n n T ---⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=+⨯-=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-3442nn +=-． 12分20．解：（1）当0500x <<时，2211400201000038010000(0500,)22y x x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-<<∈ ⎪⎝⎭N ； 2分当500800x 时，3600000360000400410100000100001090000(500800,)y x x x x x x x ⎛⎫=--+-=-++∈ ⎪⎝⎭N ． 4分所以2138010000,0500,23600001090000,500800,x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ，． 5分（2）由（1）可得，当0500x <<时，221138010000(380)6220022y x x x =-+-=--+， 7分当380x =时，max 62200y =． 8分 当500800x 时，36000010900002090000120009000078000y x x x ⎛⎫=-++-⋅=-+= ⎪⎝⎭， 10分 当且仅当600x =时，max 78000y =． 11分 综上，当每天游玩该项目的人数x 为600时，该游乐公司获利最大，为78000元． 12分 21．（1）证明：//,BC AD BC ⊄平面PAD ，//BC ∴平面PAD ， 1分又平面//PAD 平面 EFGH ，//BC ∴平面 EFGH ． 2分BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFGH GH =，//BC GH ∴． 3分同理，//BC EF ， 4分//GH EF ∴． 5分（2）解：由18433P ABCD V PD -=⋅⋅=，得2PD =． 6分 平面//PAD 平面 EFGH ，且平面PAB平面EFGH EH =，平面PCD平面EFGH GF =，//,//PA HE PD GF ∴． 8分又点E 是AB 的中点，可知,,G H F 分别为,,PC PB CD 的中点，2,1,1EF GH GF ∴===，且GF CD ⊥， 10分∴四边形 EFGH 的面积为(12)1322+⨯=． 12分22．解：（1）12F MF 面积最大值max 12112122S F F b c b bc =⋅=⋅⋅==． 2分又2c a =，所以b c =，解得11b c =⎧⎨=⎩，， 4分即1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． 5分 （2）由题可得直线1MF 的方程为1y x =+，联立22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1113NF MF =． 7分 因为11:3:2F MP F NQSS=，则111111121sin sin 232NF QF QF N MF PF PF M ⎛⎫⋅∠=⋅∠ ⎪⎝⎭，得112QF PF =． 8分当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为()()11221,,,,x my P x y Q x y =-，由点P 在点Q 的上方，则212y y =-．联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()222210m y my +--=，则1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 10分得12121212y y y y y y +=-⎧⎨=-⎩，，则22221222m m m -⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，得22,7m m ==． 11分 又1212202my y y m +==-<+，则7m =不符合题意，所以7m =-． 故直线l的方程为770x +=． 12分。
【校级联考】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--，且A B R ⋃=，则集合B 可以是( ) A ．{|3}x x ≥ B ．{|1}x x ≥- C ．{|3}x x <D ．{|13}x x -<<2．已知命题p ：0x ∀≥，sin x x ≥，则p ⌝为( ) A ．0x ∀<，sin x x < B ．0x ∀≥，sin x x < C ．00x ∃<，00sin x x <D ．00x ∃≥，00sin x x <3．已知a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，|a ⃗ +b ⃗ |=√3，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=( ) A ．−12B ．12C ．−32D ．324．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3627S S +=，则24(a a += ) A ．3B ．6C ．9D ．125．已知E 、F 分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，倾斜角为60的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则FAB 的周长为( ) A ．10B ．12C ．16D ．206．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，则a n =( ) A ．2nB ．n +1C ．1n +1D ．2n7．设a 、b R ∈，原命题“若21()2x a b >+，则22x a b >+”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是( ) A ．逆命题与否命题均为真命题 B ．逆命题为假命题，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D ．否命题为假命题，逆否命题为真命题8．下列函数中，最小周期为π且为偶函数的是( )A ．f(x)=sin|2x|B ．f(x)=tan(x −π4) C ．f(x)=|cos2x|D ．f(x)=1−tan 2x 1+tan 2x9．要得到函数()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象( )A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位10．当()0,x ∈+∞时，230ax x a -+≥恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭11．已知P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于点(),0A a -，(),0B a 的一点，EAP 与BP 的斜率之积为( ) A ．34-B ．34C ．14-D ．1412．在△ABC 中，若(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则角A 的最大值为( ) A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S6S 3=4，则a 92a7a 8=______．14．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()5sin cos tan 24ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___．15．在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D ，AC x AB y AD =+，则xy=______．16．如图，ABC 中，ACB ∠为钝角，10AC =，6BC =，过点B 向ACB ∠的角平分线引垂线交于点P，若AP =ABP 的面积为______．三、解答题17．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2b −a)cosC =c ⋅cosA ． (1)求角C ；(2)若c =7，△ABC 的面积为10√3，求△ABC 的周长．18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n S n n =+，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．已知x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩．()1若z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，求m 的值； ()2求22z x y =+的取值范围．20．已知数列{b n } 的前n 项和为S n ，S n +b n =2，等差数列{a n } 满足b 1a 2=3，b 1+a 5=7 （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）证明：a 1b 2+a 2b 3+⋯+a n b n+1<3. 21．设函数()cos 22sin sin .344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1求()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程；()2若()f x 在区间,12a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 22．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(−3,0)，且经过点(2,53). (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作斜率为k(k ≠0)的直线l 交C 于另一点D ，交y 轴点E ，P 为线段AD的中点，O为坐标原点，是否存在点Q满足对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B 【解析】 【分析】解出集合A {x |x 1=<-或x 3}>，由A B R ⋃=得出B ． 【详解】 解：A {x |x 1=<-或x 3}>，且AB R ⋃=；∴符合条件的只有B ．故选B ． 【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算 2．D 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案． 【详解】解：命题p ：x 0∀≥，x sinx ≥，则p ￢为0x 0∃≥，00x sinx <， 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全(特)称命题的否定方法是解答的关键． 3．B 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求a ⃗ ⋅b ⃗ ，代入即可求解． 【详解】解：∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√3， ∴3=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =12，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=12，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 4．B 【解析】分析：把已知与求值式全部用首项1a 和公差d 表示，详解：由题意361113361591827S S a d a d a d +=+++=+=，∴123a d +=， ∴2411113242(2)236a a a d a d a d a d +=+++=+=+=⨯=． 故选B ．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论． 5．D 【分析】利用椭圆的定义即可得到结果． 【详解】椭圆221259x y +=，可得5a =，三角形2AF B 的周长22AF BF AB =++，11AB AF BF =+， 所以：周长1212AF AF BF BF =+++，由椭圆的第一定义，1212210AF AF BF BF a +=+==， 所以，周长420a ==． 故选D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查． 6．D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，推出{1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，可得：1an+1−1a n=12，所以数列{1a n}是等差数列，可得：1a n=12+12(n −1)=n2， 可得a n =2n ， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力． 7．A 【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题． 【详解】解：原命题：“设a 、b R ∈，原命题“若21x (a b)2>+，则22x a b >+”，是假命题， ∴原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若22x a b >+，则21x (a b)2>+”，是真命题， ∴原命题的否命题是真命题．故选A ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．D 【解析】 【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：∵f(x)=sin|2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除A ；由于f(x)=tan(x −π4)为非奇非偶函数，故排除B ； ∵f(x)=|cos2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除C ； ∵f(x)=1−tan 2x 1+tan x=cos 2x−sin 2x cos x+sin x=cos2x 为偶函数，且它的最小正周期为2π2=π，故D 满足条件， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题． 9．D 【分析】利用三角恒等变换、函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】 解：函数()π11πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x cos2x cos 2x 6223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故将函数()g x cos2x =的图象向右平移π6个单位，可得()f x 的图象， 故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 10．C 【解析】 【分析】对()x 0,∞∀∈+，不等式2ax 3x a 0-+≥恒成立⇔通过a 0=以及a 0>、a ＜0，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当a 0=时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：a 0>，且294a 0=-≤，解得3a 2≥， a 0<时，2ax 3x a 0-+≥不恒成立，综上3a ,2∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭． 故选C ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．C 【分析】利用点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查椭圆的方程，即可确定a ，b 的关系，从而通过椭圆的离心率，求解即可． 【详解】设(),P x y ，点(),0A a -，(),0B a ，椭圆E ：22221x y a b +=，22222a x yb a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2c a ∴=，2234c a =，则22234a b a -=，所以2214b a =， ∴点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为：2222214y y y b x a x a x a a ⋅==-=-+--， 故选C ． 【点睛】本题考查斜率的计算，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 12．A 【解析】 【分析】根据(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而得出0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ，进而得出cosA ≥√32，从而可求出A 的最大值． 【详解】∵(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， =3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ≥2√3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ； ∴cosA ≥√32，且0<A <π；∴A 的最大值为π6． 故选：A ． 【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及a 2+b 2≥2ab 的应用． 13．3 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出． 【详解】解：设等比数列的公比为q ，由S 6S 3=4，可得1−q 61−q =1+q 3=4，解得q 3=3，∴a 92a 7a 8=a 7q 2⋅a 8q a 7a 8=q 3=3，故答案为：3． 【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n 项和公式的应用问题，属于基础题． 14．415【解析】 【分析】由已知求得tan α，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值． 【详解】解：由()a 2,sin α=，()b 1,cos α=，且a //b ， 得2cos αsin α0-=，即tan α2=．()()π5ππsin απcos αtan αsin αsin αtan α244⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()22222212sin αtan α4sin α12153sin αcos α3tan α1-=⋅===-+-+-+．故答案为415-． 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题． 15．13- 【解析】 【分析】由题意，可得出22BD AD DC ==，由向量三角形法则可得出3122AC AD AB =-，再结合AC x AB y AD =+，根据平面向量基本定理，得出x ，y 的值，即可得出答案． 【详解】在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D 如图30ABC ∴∠=，2BD AD ∴=，且60ADB ∠=， 所以DC AD =22BD AD DC ∴==，()11312222AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB ∴=+=+=+-=-， 又AC x AB y AD =+，12x ∴=-，32y =13x y ∴=-． 故答案为13- 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题．16．【分析】设CP x =，ACP BCP α∠=∠=，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得x 和cos α的值，再计算sin ACB ∠以及ABCS 、ACPS和BCP S的值，从而求得ABP 的面积．【详解】 如图所示，设CP x =，ACP BCP α∠=∠=， 则cos 6x α=， 由余弦定理得，2222cos AP AC x x AC α=+-⋅⋅，解得x =cos α=；sin sin22ACB α∴∠===16102ABCS∴=⨯⨯=11023ACPS=⨯⨯=1623BCPS=⨯⨯=20ABPABCACPBCPSSSS∴=--==即ABP 的面积为 【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题． 17．（1）π3（2）20 【解析】 【分析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosC =sinB ，由sinB >0，可求cosC =12，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值；(2)由(1)及三角形面积公式可求ab =40，由余弦定理可求a +b 的值，即可解得△ABC 的周长． 【详解】(1)∵(2b −a)cosC =c ⋅cosA ，∴由正弦定理可得：(2sinB −sinA)cosC =sinCcosA ，可得：2sinBcosC =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ， ∵sinB >0， ∴解得：cosC =12， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3，(2)由(1)及已知可得：△ABC 的面积为10√3=12ab ×√32，解得ab =40，∵由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−ab ，可得：49=(a +b)2−3ab =(a +b)2−3×40，解得：a +b =13，∴△ABC 的周长a +b +c =13+7=20 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．（1）=41n a n -（2）129nn +【解析】试题分析：（1）由n a 与n S 之间的关系求出通项公式；（2）求出111()44143n b n n =--+，再用裂项相消法求出前n 项和．试题解析：（1）由22n S n n =+，得当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=- ()()222211n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-.所以41n a n =-. （2）11n n n b a a +=()()14143n n =-+ 11144143n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以11111[437710n T ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11]4143n n ⎛⎫+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1114343129n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（1）m 1=-或m 2=；（2）8z 130≤≤. 【分析】利用约束条件画出可行域，()1利用目标函数的最优解求解即可；()2利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】作出约束条件的可行域如图：由图形可知：()A 3,1，()B 7,9，()C 1,3；()1z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，若m 0>，则m 2=；若m 0<，则m 1=-，故m 1=-；所以m 1=-或m 2=．()222z x y =+的几何意义是可行域内的点与()0,0的距离的平方，由图可得：2min z 8==；2max z |OB |130==．8z 130∴≤≤．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力． 20．（Ⅰ）a n =n +1,b n =(12)n−1；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）根据b n =S n −S n−1，整理可得b n =12b n−1，从而可知{b n }为等比数列，将n =1代入S n +b n =2可求得b 1，根据等比数列通项公式求出b n ；将b 1a 2=3，b 1+a 5=7化为a 1和d 的形式，求解出基本量，根据等差数列通项公式求得a n ；（Ⅱ）利用错位相减法求解出a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n，由n+32n >0可证得结论.【详解】（Ⅰ）∵S n +b n =2 ∴当n =1时，b 1=S 1=2−b 1 ∴b 1=1 当n ≥2时，b n =S n −S n−1=2−b n −2+b n−1，整理得：b n =12b n−1 ∴数列{b n }是以1为首项，12为公比的等比数列 ∴b n =(12)n−1设等差数列{a n }的公差为d∵b 1a 2=3，b 1+a 5=7 ∴{a 1+d =3a 1+4d =6 ，解得：{a 1=2d =1∴a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1（Ⅱ）证明：设T n =a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=2×12+3×(12)2+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n∴12T n =2×(12)2+3×(12)3+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n+1两式相减可得：12T n =1+(12)2+(12)3+⋅⋅⋅+(12)n −(n +1)⋅(12)n+1=1−(n +1)⋅(1)n+1+14(1−12n−1)1−12=3−n +3n+1T n =3−n +32n即a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n∵n+32n>0 ∴a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1<3【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题，属于常规题型.21．（1）单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈；（2）π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】()1利用恒等变换公式将()f x 化为πsin 2x 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果；()2利用正弦函数的图象可得实数a 的取值范围．【详解】()()()()11f x cos2x sinx cosx sinx cosx 2=++-+1πcos2x cos2x sin 2x 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令ππ3π2k π2x 2k π262+≤-≤+，则π5πk πx k π36+≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由()ππ2x k πk Z 62-=+∈得()k ππx k Z 23=+∈． ()f x ∴图象的对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈．()π2x ,a 12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2x ,2a 636⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦结合正弦函数图象可知：ππ4π2a 263≤-≤，解得π3πa 34≤≤， 实数a 的取值范围是π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间. 22．(1)x 29+y 25=1(2)见解析【解析】 【分析】(1)由由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5，由此能求出椭圆方程；(2)直线的方程为y =k(x +3)，与椭圆联立，得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q 的坐标．【详解】 (1)由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5， 则椭圆C 的方程为x 29+y 25=1，(2)直线的方程为y =k(x +3)，得E(0,3k)，联立椭圆方程，消元化简得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0， ∴x A =−3， ∴x D =−27k 2+155+9k 2，∴y D =k(x D +3)=30k5+9k 2， ∴D(−27k 2+155+9k 2,30k5+9k 2)，又∵点P 为AD 的中点，∴P(−27k 25+9k2,15k 5+9k 2)，则k OP =−59k (k ≠0)，假设存在定点Q(m,n)(m ≠0)使得OP ⊥EQ ，则k OP ⋅k EQ =−1， 即−59k ⋅n−3k m=−1恒成立，∴k(9m +15)−5n =0恒成立， ∴{5n =09m+15=0，即m =−53，n =0，因此定点Q 的坐标为(−53,0) 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的合理运用，是中档题．。
2020-2021学年湖南省部分重点高中高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．命题“4x ∀>，2log 2x >”的否定是（ ） A ．04x ∃>，20log 2x ≤ B ．4x ∀>，2log 2x ≤ C ．04x ∃≤，20log 2x ≤ D ．4x ∀≤，2log 2x ≤【答案】A【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“4x ∀>，2log 2x >”为全称命题，该命题的否定为“04x ∃>，20log 2x ≤”.故选：A. 2．抛物线2116y x =的准线方程是（ ） A ．4y = B ．8y =C ．4y =-D ．8y =-【答案】C【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可. 【详解】化为标准方程为216x y =， 易知该抛物线的准线方程为4y =-. 故选：C.3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.6y x a=+，则ˆa =（ ）A ．4.2B ．4.6C ．4.7D ．4.9【答案】D【分析】求出,x y ，利用样本点的中心必过线性回归方程，代入求解即可. 【详解】由表可得，12345 5.567783, 6.755x y ++++++++====，代入回归直线0.6ˆˆyx a =+， 得ˆ6.70.63a =⨯+， 解得ˆ 4.9a=. 故选：D.4．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 22sin cos 0b A a A B -=，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】利用二倍角公式以及0A π<<，可得cos cos 0b A a B -=，再利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可判断. 【详解】由sin 22sin cos 0b A a A B -=， 得2sin cos 2sin cos 0b A A a A B -=， 即()2sin cos cos 0A b A a B ⨯-=. 又0A π<<， 则sin 0A ≠，cos cos 0b A a B -=，由正弦定理得sin cos cos sin 0B A B A -=， 即()sin 0B A -=，因为角,,A B C 在ABC 中， 所以A B =. 故选：B.5．已知{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则这个数列的前9项和等于（ ） A ．45 B ．452C ．55D ．552【答案】B【分析】利用等差数列的性质得到195a a +=，再利用等差数列的前n 项和公式求解即可.【详解】数列{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=， 则128910a a a a +++=， 所以195a a +=，所以()19994522a a S +⨯==.故选：B.6．已知正数,m n 满足1250.2m n -=，则12m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．12【答案】B【分析】由指数函数的性质得出22m n +=，然后由“1”的代换配出积为定值，应用基本不等式求得最小值．【详解】由1250.2m n -=，可得2255m n --=，所以22m n +=，1211214424(2)224222n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当,112m n ==时，取得等号. 故选：B ．7．已知平面向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，则“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据,m n 的夹角为锐角，可得0m n ⋅>，且,m n 不共线，由此列出不等式组即可求出λ的范围，再根据集合法判断充分条件和必要条件即可. 【详解】若,m n 的夹角为锐角，则0m n ⋅>，且,m n 不共线，则2220m n ⋅=+++>λλ，且2(2)(1)0-++≠λλ，解得43λ>-且0λ≠.所以“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B【点睛】结论点睛：本题考查了已知向量夹角求参数的范围，可按如下规则转化： (1)若向量11(,)ax y ，22(,)b x y 的夹角为锐角，则12120a b x x y y ⋅=+>且12210x y x y -≠；(2) 若向量11(,)ax y ，22(,)b x y 的夹角为钝角，则12120a b x x y y ⋅=+<且12210x y x y -≠；8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，过原点O 作斜率为3的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．31+C ．23102+D ．3210+【答案】D【分析】推导出112FOA F AF ，可计算出12F A c =，利用余弦定理求得21022AF c-=，进而可得出该双曲线的离心率为1212F F e AF AF =-，即可得解. 【详解】题可知123FOA π∠=，121AFO F AF ∠=∠，112FOA F AF ∠=∠，112FOA F AF ∴△△， 所以11112FO F A F AF F =，可得12F A c =.在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅， 即2222220AF c AF c ⋅-=，解得21022AF =.双曲线的离心率为1212F FeAF AF===-.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、多选题9．已知抛物线2:4C y x=的焦点为F，点()00,M x y)在抛物线C上，若||4MF=，则（）A．03x=B．y=C．||OM=D．F的坐标为()0,1【答案】AC【分析】先求出焦点F的坐标，再利用抛物线的焦半径公式以及点在抛物线上即可求出00,x y，即可判断.【详解】由题可知：(1,0)F，由014MF x=+=，2004y x=，所以003,x y==±OM===故选：A C.10．已知,,a b c是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线,,c a bαβ⊂⊂，若,a b为异面直线，则下列说法可能成立的是（）A．a与c相交，且b与c也相交B．//aβ，且//bαC．//a c，且b与c相交D．a c⊥，且b c⊥【答案】ACD【分析】根据异面直线的定义与判定判断各选项．【详解】在画异面直线时，用平面衬托直线，一般有如下作法：,a b 是异面直线，且各画在一个平面内，前面一个图形说明A ，D 均可能成立，后面一个图形说明C 可能成立， 既然有⋂=c αβ，则B 就是不可能成立的， 故选：ACD.11．已知点()1,1P -是角α终边上的一点，则（ ）A ．函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()382k x k Z ππ=+∈B ．函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()82k x k Z ππ=+∈C ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是奇函数 D ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数 【答案】AD【分析】α为第四象限角得tan 1α=-，所以 ()24k k Z παπ=-+∈，可求得()f x 的对称轴方程，可对()g x 的奇偶性进行判断.【详解】根据题意知角α为第四象限角，且tan 1α=-，则()24k k Z παπ=-+∈，所以()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()242x k k Z πππ-=+∈，解得()382k x k Z ππ=+∈，所以函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()382k x k Z ππ=+∈，()()5cos 3cos 3cos34g x x x x παπ⎛⎫=++=+=- ⎪⎝⎭为偶函数. 故选：AD.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，解题的关键点是由P 点坐标求出角α，可得()f x 和()g x 的解析式，要熟悉三角函数的性质才能对选项作出正确的判断.12．已知ln ln x y >，1x ≠，1y ≠，01m <<，则（ ） A ．m mx y > B ．()()111log 1log y x x m y m +++<+ C ．xym m x y > D ．log log 1x m m y ⋅>【答案】AB【分析】由对数函数单调性知0x y >>；令()mf t t =，根据幂函数单调性知A 正确；令()ln f t t t =，利用导数确定()f t 单调性，确定()()()()1ln 11ln 10x x y y ++>++>，结合ln 0m <和换底公式可确定B 正确；由反例可知CD 错误.【详解】由ln ln x y >得：0x y >>.对于A ，令()mf t t =，又01m <<，()f t ∴在()0,∞+上单调递增，m mx y ∴>，A正确；对于B ，令()ln f t t t =，则()ln 1f t t '=+，∴当10,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '<；当1,t e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f t '>；∴当10,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递减；当1,t e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递增；0x y >>，111x y ∴+>+>，()()()()1ln 11ln 10x x y y ∴++>++>， ()()()()1101ln 11ln 1x x y y ∴<<++++，01m <<，ln 0m ∴<，()()()()ln ln 1ln 11ln 1m mx x y y ∴>++++，()()()()1ln 1ln ln 1ln 1y m x m x y ++∴>++，即()()111log 1log y x x m y m +++<+，B 正确； 对于C ，x ymmxy >等价于()()11yx mmxy>，当4x =，3y =时，3464y x ==，4381xy ==，此时0yxx y <<，令()1mf t t =，由01m <<知：()f t 在()0,∞+上单调递增，()()6481f f ∴<， 即()()yxf xf y <，y x mmxy ∴<，C 错误；对于D ，若2x =，12y =，12m =，则21log log 12x m ==-，121log log 12m y ==， 此时log log 10x m m y ⋅=-<，D 错误. 故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性确定不等关系的问题，解题关键是能够根据每个选项不同的特点构造出不同的函数，根据初等函数单调性或利用导数确定函数单调性，进而确定选项所给的不等关系的正误.三、填空题13．在等差数列{}n a 中，已知143,1a a =-=，则7a =_______. 【答案】5【分析】直接利用等差中项求解即可. 【详解】因为147,,a a a 成等差数列， 所以1742a a a +=， 即74125a a a =-=. 故答案为：5.14．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是___.【答案】16【分析】根据椭圆的定义求解． 【详解】由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==.故答案为：16．15．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，若函数()()g x f x a =+恰有一个零点，则a 的取值范围是______. 【答案】(,1)-∞【分析】依题意画出函数图象，函数()()g x f x a =+的零点转化为函数()y f x =与y a =-的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，函数图象如下所示，令()0f x a +=，得()f x a =-，即函数()y f x =与y a =-的交点，结合函数图象可知，1a ->-，解得1a <，即(),1a ∈-∞-故答案为：(),1-∞-【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率13,23e ⎛∈ ⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________.【答案】9⎛ ⎝⎭【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得,a b 的关系，变形后得221911a e=+-，然后由e 的范围得出2a 的范围． 【详解】因为31xy x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31xy x =-的对称中心为11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b+=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e -==+--.因为1,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而2,93a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：9⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长a 与离心率e 的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用222b a c =-进行转化是是解题的基本方法．四、解答题17．在①212AB BD ==，②sin BAD ABD ∠=∠，D 为BC 的中点，③6DAB π∠=，AB =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求AC 的长；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC ，在ABC 中，4ACB π∠=，点D 在线段BC 上，10AD =，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【分析】选择条件①：由余弦定理可得5cos 9B =，进而可得sin 9B =，再由正弦定理即可得解；选择条件②：由正弦定理可得BD D =，进而可得102CD ，再由余弦定理即可得解；选择条件③：由余弦定理得10BD =，进而可得3ADC π∠=，再由正弦定理即可得解.【详解】选择条件①：212AB BD ==，10AD =，在ABD △中，由余弦定理可得2225cos 29AB BD AD B AB BD +-==⋅，又()0,B π∈，∴sin 9B ==， 在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACC B=，∴12sin sin 2AB BAC C⨯===选择条件②：在ABD △中，由sin BAD ABD ∠=∠可得BD ==，又D 为BC 的中点，∴102CD ，在ADC 中，由余弦定理得2222cos AD CD AC CD AC ACB =+-⋅∠， ∴210020020AC AC =+-，∴10AC =； 选择条件③：在ABD △中，由余弦定理可得2222cos 100BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=， 即10BD =，则10AD BD ==，23ADB π∠=，3ADC π∠=， 在ADC 中，由正弦定理得sin sin AD ACC ADC=∠，可得sin sin AD ADC AC C ∠==18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c C 为锐角，且3,ab ABC =的面积为4. （1）求角C ；（2）若ABC外接圆的半径为3，求ABC 的周长. 【答案】（1）60；（2）9.【分析】（1）由三角形面积公式可求得C ；（2）由正弦定理可得c ，然后由余弦定理得出,a b 的关系，结合3ab =可直接求得+a b ，从而得三角形周长．【详解】（1）因为13sin sin 224ABCSab C C ===，所以sin 2C =， 又C 为锐角，所以60C ︒=. （2）设ABC 外接圆的半径为R，则2sin 3c R C ==，所以4c ==. 因为2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 所以216()9a b =+-，解得5a b +=， 所以549a b c ++=+=，即ABC 的周长为9.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理与余弦定理解三角形．考查三角形面积公式．已知一边及其对角，可用正弦定理建立边角关系，也可由余弦定理建立另两边的关系，解题时需要根据具体条件具体要求选择． 19．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，32n a +是6和124n S +的等比中项，且12a ≠. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 的公比为12，且123111,,2b b b -成等差数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）32n a n =-；（2）3442n nn T +=-. 【分析】（1）先由题设231()6()224n n a S ⇒+=+，又21131()6()224n n a S --+=+，2n ，两式相减整理得：13n n a a --=，2n ，再求得1a ，即可得到：数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，进而求得n a ；（2）先由题设求得n b ，进而求得n n a b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可．【详解】（1）因为32n a +是6和124n S +的等比中项，所以231624n n a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭①， 当2n 时，21131624n n a S --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭②，由①-②得2211336622n n n n a a S S --⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2213322n n a a -⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13322n n a a --=+或者133022n n a a -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（舍去），故13(2)n n a a n --=，数列{}n a 为等差数列.因为21131624a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得11a =或12a =（舍去），所以数列{}n a 是首项为1、公差为3的等差数列，所以32n a n =-.（2）由123111,,2b b b -成等差数列，可得1321122b b b +-=， 可得23122q b q +-=，又12q =，所以112b =， 所以12n n b =.由（1）得322n n nn a b -=，所以234147103222222n nn T -=+++++，2345111471035322222222n n n n n T +--=++++++， 两式相减得23411111113232222222n nn n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭， 所以123111111111323213222131313112222222212n n n n n n nn n n T ---⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=+⨯-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-3442nn +=-. 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．20．2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元.如果每天有x 人游玩该项目，需要另投入成本2120,0500,2()3600000410100000,500,x x x x f x x x x x ⎧+<<∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩N N（单位：元）.同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800.（1）求该游乐项目每天的利润y （元）关于每天游玩该项目的人数x 的函数关系式； （2）当每天游玩该项目的人数x 为多少时，该游乐公司获利最大？【答案】（1）2138010000,0500,23600001090000,500800,x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ；（2）600.【分析】（1）由票价收入减去投入成本和维护费可得利润函数；（2）分段求出最大值，一个由二次函数性质得最大值，一个由基本不等式得最大值，然后比较可得．【详解】（1）当0500x <<时，2211400201000038010000(0500,)22y x x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-<<∈ ⎪⎝⎭N ；当500800x 时，3600000360000400410100000100001090000(500800,)y x x x x x x x ⎛⎫=--+-=-++∈ ⎪⎝⎭N .所以2138010000,0500, 23600001090000,500800,x x x xyx x xx⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈⎪⎪⎝⎭⎩NN；（2）由（1）可得，当0500x<<时，221138010000(380)6220022y x x x=-+-=--+，当380x=时，max62200y=. 当500800x时，36000036000010900002090000120009000078000 y x xx x⎛⎫=-++-⋅+=-+= ⎪⎝⎭，当且仅当600x=时，max78000y=.综上，当每天游玩该项目的人数x为600时，该游乐公司获利最大，为78000元.【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数模型的应用．利用票价收入减去投入成本和维护费即得利润可得出函数解析式，然后分段求得最大值后比较．解题时注意对不同的表达式选取不同的方法求最值，目的是求解简捷．21．如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，点E是AB的中点，过点E作平行于平面PAD的截面，与直线,,CD PC PB分别交于点,,F G H.（1）证明：//GH EF.（2）若四棱锥P ABCD-的体积为83，求四边形EFGH的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）32.【分析】(1)根据线面平行的判断定理可得//BC平面PAD，再由平面//PAD平面EFGH，可得//BC平面EFGH，再由线面平行的性质定理可得//BC GH和//BC EF，即可证出//GH EF；(2)根据四棱锥P ABCD-的体积为83，可求出2PD=，再根据面面平行的性质定理可得//EH PA ，//FG PD ,从而可得四边形 EFGH 为直角梯形，根据梯形面积公式即可求出四边形 EFGH 的面积.【详解】（1）证明：因为//,BC AD BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD ，又平面//PAD 平面 EFGH ，BC ⊄平面 EFGH ，所以//BC 平面 EFGH ， 又BC ⊂平面PBC ，平面PBC平面EFGH GH =，.所以//BC GH ,同理，//BC EF ， 所以//GH EF . （2）由18433P ABCD V PD -=⋅⋅=，得2PD =. 因为平面//PAD 平面 EFGH ，且平面PAB ⋂平面EFGH EH =，平面PAB ⋂平面PAD PA =，所以//EH PA ，同理//FG PD ,又点E 是AB 的中点，可知,,G H F 分别为,,PC PB CD 的中点， 所以2EF =，1GH =，1GF =,又PD ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，所以PD EF ⊥,所以FG EF ⊥， 所以四边形EFGH 为直角梯形，所以四边形EFGH 的面积为(12)1322+⨯=. 【点睛】关键点点睛：本题求四边形EFGH 的面积的关键是根据面面平行的性质定理，证出//EH PA ，//FG PD ,进而证出四边形EFGH 为直角梯形.22．已知椭圆22:221(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别是12,F F，点M 为椭圆下上动点，12F MF △面积的最大值为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 的上顶点，直线1MF 交椭圆C 于点N ，过点1F 的直线l (直线l 的斜率不为1)与椭圆C 交于P Q 、两点，点P 在点Q 的上方．若11:3:2F MPF NQS S=，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）770x +=．【分析】（1）由12F MF △面积的最大值为1可得1bc =，再结合离心率即可求出,a b ，得出椭圆方程；（2）联立直线1MF 与椭圆可得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，进而得出1113NF MF =，再结合11:3:2F MPF NQSS=可得112QF PF =，再设出直线l 方程，利用韦达定理可求出.【详解】（1）12F MF △面积的最max 12112122S F F b c b bc =⋅=⋅⋅==又2c a =，所以b c =，解得11b c =⎧⎨=⎩．即1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题可得直线1MF 的方程为1y x =+，联立22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1113NF MF =， 因为11:3:2F MP F NQSS=，则111111121sin sin 232NF QF QF N MF PF PF M ∠∠⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 得112QF PF =，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为()()11221,,,,x my P x y Q x y =-，由点P 在点Q 的上方，则212y y =-联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my +--=，则1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩得12121212y y y y y y +=-⎧⎨=-⎩，则22221222m m m -⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，得22,77m m ==± 又1212202m y y y m +==-<+，则m =m = 故直线l的方程为770x ++=．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.。
某某省某某市第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（学考）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的某某、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线30x y -+=的倾斜角为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．135︒2．以()2,1-为圆心，4为半径的圆的方程为() A ．22(2)(1)4x y ++-=B ．22(2)(1)4x y +++= C ．22(2)(1)16x y -++=D ．22(2)(1)16x y ++-= 3．直线231x y +=在两坐标轴上的截距之和是（）A ．5B ．6C ．16D ．564．直线1y ax a=-的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．5．直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们的距离为( )A ．1710B ．2C ．175D ．8 6．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（）A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝07．已知圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相交于,A B 两点，则两圆的公共弦AB =( )A ．．．28．已知点M 是圆22:1C x y +=上的动点，点()2,0N ，则MN 的中点P 的轨迹方程是（）A ．()22114x y -+=B ．()22112x y -+= C ．()22112x y ++=D ．()22114x y ++=9．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知直线l ：y x m =+与曲线x =则实数m 的取值X 围是（）A ．2,⎡-⎣B ．(2⎤--⎦C ．2,⎡⎣D ．(2⎤-⎦11．若圆()22()()90x a y a a +++>=上总存在两点到原点O 的距离为1，则实数a 的取值X 围是（）A ．()0,1B ．)2C ．D ．()2,412．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为222x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）．A ．．．3第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二上学期期中数学试题一、单选题1．半径为2的球的表面积是（ ） A ．16π3B ．32π3C ．16πD ．32π【答案】C【分析】由球的表面积公式直接求出表面积即可. 【详解】由球的表面积公式可得2416S R ππ==， 故选：C .【点睛】本题考查球的表面积的计算，记住公式是关键，本题属于容易题. 2．已知向量()3,2,a x =，向量()2,0,1b =，若a b ⊥，则实数x =（ ） A ．3 B ．3-C ．6D ．6-【答案】D【分析】由a b ⊥得出0a b ⋅=，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于x 的等式，解出即可. 【详解】()3,2,a x =，()2,0,1b =，a b ⊥，60a b x ∴⋅=+=，解得6x =-.故选：D.【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题. 3．下列说法正确的是（ ） A ．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B ．棱柱的底面一定是平行四边形C ．圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形D ．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C【分析】根据圆柱、圆锥、圆台以及棱柱的结构特征判断. 【详解】因为通过圆台侧面一点只有一条母线，所以A 不正确；因为棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边形，所以B 不正确； 因为由棱台的定义，要求上､下底面平行，所以D 不正确；因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，三角形的两腰是其母线，所以C 正确. 故选：C【点睛】本题主要考查几何体的结构特征，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成的角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】首先由11//,AD BC 可得1D AC ∠是异面直线AC 和1BC 所成角，再由1ACD ∆为正三角形即可求解. 【详解】连接11,AD CD ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11//,AD BC ，则1D AC ∠是异面直线AC 和1BC 所成角．又11AD CD AC ==,可得1ACD ∆为等边三角形，则160oD AC ∠=，所以异面直线AC 与1BC 所成角为60，故选：C【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.5．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，焦距为62则该双曲线的实轴长为（ ） A ．3 B ．6C ．9D ．12【答案】B【分析】根据渐近线垂直，可得,a b 的关系，结合焦距的长度，列方程组，即可求得结果.【详解】因为两条渐近线互相垂直，故可得21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为焦距为62，故可得262c =， 结合222a b c +=， 解得3,3,32a b c ===， 故实轴长26a =. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题.6．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案. 【详解】设圆心(),C x y ，则()()22341x y -+-=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.7．已知（﹣2，1）是直线l 被椭圆221369x y +=所截得线段的中点，则直线l 的方程是（ ） A ．x ﹣2y ＝0 B ．x ﹣2y +4＝0C ．2x +y +3＝0D ．2x ﹣3y ﹣1＝0【答案】B【分析】设直线l 与椭圆221369x y +=相交于AB ，设()()1122,,,A x y B x y ，代入作差得到420369k -+=解得直线方程. 【详解】设直线l 与椭圆221369x y +=相交于AB ，设()()1122,,,A x y B x y则22111369x y +=，22221369x y +=两式相减得到()()()()121212120369x x x x y y y y +-+-+=即42103692k k -+=∴=，故直线方程为()1212402y x x y =++∴-+= 故选：B【点睛】本题考查了利用点差法求直线方程，意在考查学生对于点差法的掌握情况和计算能力.8．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线by x a=对称，则该双曲线C 的离心率为（ ） A．BCD ．2【答案】B【分析】求出过焦点2F 且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合222+=a b c ，解出e 即得. 【详解】由题意，设点焦点2F 且垂直渐近线的直线方程为：()0ay x c b-=--， 由()0a y x c b b y xa ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：2a x c =，ab y c =，所以，对称中心的点坐标为2,a ab c c ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2,0F c ，设点()00,P x y ，则200202c x a c y ab c ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得20022a x c c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线的方程可得()222222222241a c a b a c b c--=，又222+=a b c ，化简可得225c a =，故ce a==故选：B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求解和对称问题，属于中档题.二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．方程12yx =-表示一条直线 B ．到x 轴的距离为2的点的轨迹方程为2y = C ．方程()()2222140x y -+-=表示四个点D ．“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件【答案】CD【分析】对A ，根据特殊点进行分析并判断对错；对B ，注意多解的情况并判断对错；对C ，根据平方和为零的特殊性进行分析并判断对错；对D ，根据椭圆的定义判断对错. 【详解】解：对A ，12yx =-， 即20(2)x y x --=≠，表示直线20x y --=去掉一点()2,0，故A 错误； 对B ，根据题意可知，满足要求的的轨迹方程为2y =±，故B 错误； 对C ，()()2222140x y -+-=，即{2214x y ==，即表示()1,2，()1,2-，()1,2-，()1,2--四个点，故C 正确；对D ，若22175x ym m +=--表示椭圆，则705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即56m <<或67m <<，∴“57m <<”是“方程22175x y m m +=--表示椭圆”的必要不充分条件，故D 正确.故选：CD.10．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//αβ，则m α⊥ B ．若//αβ，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则l β// D ．若//m α，则αβ⊥【答案】ABD【分析】根据线面间平行与垂直的关系判断各选项同． 【详解】//,m αββ⊥，则m α⊥，A 正确；//l α，//αβ，则l β//或l β⊂，又m β⊥，则m l ⊥，B 正确；m β⊥，l m ⊥，则l β//或l β⊂，C 错误；//m α，则α内存在直线n ，且//n m ，又m β⊥，则n β⊥，由此得βα⊥，D 正确．故答案为：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查空间线面平行与垂直的判断，考查空间想象能力．解题关键是熟练掌握线面间的位置关系．11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则（ ）A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n=+D ．()()b m R n R =++【答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c R n a c R =--⎧⎨=+-⎩，（）a c m R ∴-=+ ，故A 正确； a c n R +=+，故B 正确；（）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确；由（）可得m R a c n R a c+=-⎧⎨+=+⎩ ，两式相乘可得()()22m R n R a c ++=- 222a c b -= ，()()2b m R n R b ∴=++⇒=，故D 正确.故选ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切 B ．以线段BF 为直径的圆与y 轴相切C ．当3AF FB =时，92AB =D ．3OA OB ⋅=-（O 为坐标原点） 【答案】ABD【分析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，AB 的中点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，A 正确；对于选项B ，C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线24y x =可得 2440y my --=，124y y =-，121=x x ，则12123x x y O OB y A =⋅+=-，D 正确，若设()24,4A a a ，易见，0a ≠，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设线段BF 中点是N ，则211412N a x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，则2114F a B +===，N 到y 轴的距离是21114212BF a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故以线段BF 为直径的圆与y 轴相切，B 正确； 又 21221424AB x x p a a=++=++，当3AF FB =可得123y y =-， 143a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所234a =，163AB =，C 错误.故选：ABD.【点睛】抛物线的焦点弦的几个常见结论：设AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，α是弦AB 的倾斜角，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）12222sin p pAB x x α=++= ； （3）112FA FB p+=； （4）以线段AB 为直径的圆与准线2px =-相切； （5）以线段AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.三、填空题13．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则切点坐标为_________． 【答案】()1,2【分析】求出原函数的导函数，设切点坐标，由切点处的导数值为2求得切点的横坐标，进一步得到切点坐标．【详解】解：由1y lnx x =++，得11y x'=+， 设切点坐标为0(x ，0)y ， 则001|12x x y x ='=+=，解得01x =，00011112y lnx x ln ∴=++=++=．则切点坐标为(1,2)． 故答案为：(1,2)．14．直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1BA =_________（用,,a b c 表示）． 【答案】a b c -+【分析】运用直三棱柱的性质，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】1111BA BA AA BC CA CC CB CA CC b a c a b c =+=++=-++=-++=-+。
2020-2021学年湖南省部分重点高中高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.命题“∃x0≤0，x02≥0”的否定是()A. ∃x0<0，x02<0B. ∀x>0，x2<0C. ∃x0>0，x02>0D. ∀x≤0，x2<02.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为54，抛物线y2=20x的准线过双曲线的左焦点，则此双曲线的方程为()A. x24−y23=1 B. x23−y24=1 C. x216−y29=1 D. x29−y216=13.在两个变量y与x的回归模型中，求得回归方程为y=lg(4x−20)，当x=30时()A. y一定等于2B. y大于2C. y小于2D. y的值在2左右4.在△ABC中，a=2，b=√2，A=45°，则角C等于()A. 105°B. 120°C. 60°D. 90°5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a4+a5=12，则S7的值为()A. 56B. 42C. 28D. 146.若正数x，y满足2x+y=1，则1x +1y的最小值为()A. 4B. 3+2√2C. 8D. 97.“x<2”是“x2+x−6<0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.经过点M(2√6,−2√6)且与双曲线x24−y23=1有共同渐近线的双曲线方程为()A. x26−y28=1 B. y28−x26=1 C. x28−y26=1 D. y26−x28=1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则下列说法一定正确的是()A. |AB|的最小值为2B. 线段AB为直径的圆与直线x=−1相切C. x1x2为定值D. 若M(−1,0)，则∠AMF=∠BMF10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1，BD1，BC的中点，给出下面四个结论，其中正确的序号为()A. MN//平面APCB. B1Q//平面ADD1A1C. A，P，M三点共线D. 平面MNQ//平面ABCD11.下列选项正确的是()π+α)=cosαA. sin(52πrad=315°B. 74C. 若α终边上有一点P(5,−3)，则sinα=−35D. 若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为π212.下列不等式中正确的是()C. 2√15<15D. 3eln2>8A. ln3<√3ln2B. lnπ<√πe三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a ij.则(1)a nn=______ (n∈N∗)；(2)表中的数52共出现______ 次．⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //GI⃗⃗⃗⃗ ，若B(0,4)，则cos∠OAB的最小14.设△ABO(O是坐标原点)的重心、内心分别是G，I，且BO值是______．15.已知函数y=f(x)的定义域是[0,+∞)，满足f(x)={2x,0≤x<1x2−4x+5,1≤x<3,−2x+8,3≤x<4且f(x+4)=f(x)+a，若存在实数k，使函数g(x)=f(x)+k在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a的取值范围为______ ．16.过点P(3,0)，长轴长是短轴长的3倍的焦点在y轴上椭圆的标准方程______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足tanAtanC =a2b−a．(1)求角C；(2)设D为边AB的中点，△ABC的面积为3√3，求边CD的最小值．18.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，A=π3，cosB=17(1)求sin C的值；(2)若2c=b+2，求三边a，b.c的长，并求△ABC的面积．19.已知数列{a n}满足：a1=2，点(n,a n+a n+1)在函数y=kx+2的图象上，其中k为常数，且k≠0．(1)若a1，a2，a4成等比数列，求k的值；(2)当k=3时，求数列{a n}的前n项和S n．20.某公司的某种儿童玩具的成本为40元，出厂单价为60元，经市场调研后作出调整，若经销商一次订购量超过100个时，每多订购1个，则每个玩具的出厂单价就降低0.02元，但不能低于50元．(1)当一次订购量为多少时，每个玩具的实际出厂单价恰好为50元？(2)若一次订购量为x个时，每个玩具的实际出厂单价恰好为w元，写出函数w=f(x)的表达式；并求出当某经销商一次订购500个玩具时，该公司获得的利润是多少元？21.如图，三棱锥P−ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．(Ⅰ)求证：平面PAC⊥平面BEF；(Ⅱ)三棱锥A−BFC的体积．22.设椭圆Γ1的中心和抛物线Γ2的顶点均为原点O，Γ1、Γ2的焦点均在x轴上，过Γ2的焦点F作直线l，与Γ2交于A、B两点，在Γ1、Γ2上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x3−24√3y−2√30−4−√3 2(1)求Γ1，Γ2的标准方程；(2)若l与Γ1交于C、D两点，F0为Γ1的左焦点，求S△F0ABS△F0CD的最小值；(3)点P、Q是Γ1上的两点，且OP⊥OQ，求证：1|OP|2+1|OQ|2为定值；反之，当1|OP|2+1|OQ|2为此定值时，OP⊥OQ是否成立？请说明理由．【答案与解析】1.答案：D解析：解：含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，所以命题“∃x0≤0，x02≥0”的否定是“∀x≤0，x2<0”．故选：D．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．2.答案：C解析：解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为54，∴ca =54即c=54a∵抛物线y2=20x的准线：x=−5过双曲线的左焦点(−c,0)，∴c=5，∴a=4而c2=a2+b2=16+b2=25，∴b2=9，∴双曲线的方程是x216−y29=1，故选C．3.答案：D解析：解：当x=30时，y=lg(4x−20)=lg(4×30−20)=2，可以预测y的值在2左右．故选：D．把x=30代入回归方程y=lg(4x−20)中，求出对应的值即可．本题考查了利用利用回归方程预测两个变量之间关系的应用问题，是基础题目．4.答案：A解析：解：由正弦定理可知：sinB=bsinAa =√2×√222=12，因为a>b，所以B=30°，又A=45°，所以C=180°−(45°+30°)=105°，。
2020-2021学年湖南省五市十校高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|x>−4}，B={x|x2−x−6<0}，则A∩(∁U B)=()A. [−2,3]B. (−2,3)C. (−4,−2]∪[3,+∞)D. (−4,−2)∪(3,+∞)2.已知p：x>2，q：x2−x−2>0，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知等差数列{a n}的前3项分别为2、4、6，则a4=()A. 7B. 8C. 10D. 124.已知向量m⃗⃗⃗ ，n⃗，若|m⃗⃗⃗ |=1，|m⃗⃗⃗ −2n⃗|=2，则|m⃗⃗⃗ −n⃗|+|n⃗|的最大值为()A. √5B. √10C. 4D. 55.正四棱锥底面边长为2，高为1，则此正四棱锥的侧面积等于()A. √2B. 2√2C. 3√2D. 4√26.命题“∀x>1，x2>1”的否定是()A. ∀x>1，x2≤1B. ∀x<1，x2≤1C. ∃x0>1，x02≤1D. ∃x0<1，x02≤17.已知两定点A(−2,0)和B(2,0)，动点P(x,y)在直线L：y=−x+4上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. √55B. √105C. 2√55D. 2√1058.在对两个变量x、y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据[③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．若根据实际情况能够判定变量x、y具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是A. ①②⑤③④B. ③②④⑤①C. ②④③①⑤D. ②⑤④③①9. 命题“存在实数x ，使x 2+2x −8=0”的否定是( )A. 对任意实数x ，都有x 2+2x −8=0B. 不存在实数x ，使x 2+2x −8≠0C. 对任意实数x ，都有x 2+2x −8≠0D. 存在实数x ，使x 2+2x −8≠010. 已知动点P ，定点M(1,0)和N(3,0)，若|PM|−|PN|=2，则点P 的轨迹是( )A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线11. 在△ABC 中，A =45°，C =75°，a =6，则b =( )A. 3√2B. 3√3C. 2√6D. 3√612. 如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，其离心率为√5−12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为( )A. √5+12B. √5−12C. √5+1D. √5−1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 规定记号“△”表示一种运算，即a △b =ab +a +b ，a ，b ∈R +，若1△k =3，则函数f(x)=k △x 的值域是______．14. 已知tan(π4+α)=1，则sin 2α−2cos 2α=______．15. 已知M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且=，∠BAC =30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为x ，y ，z ，记f(x,y ，z)=，则f(x,y ，z)的最小值是＿＿16.三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知等差数列{a n }中a 1=1，公差d >0，前n 项和为S n ，且S 1，S 3−S 2，S 5−S 3成等比数列． (I)求数列{a n }的通项公式a n 及S n ；(Ⅱ)设b n =1S n (n ∈N ⋅)，证明：b 1+b 2+⋯+b n <2．18.为推进我省中小学生研学旅行实践教育基地建设，某中学组织高一年级的全体学生参观了位于三亚的红色娘子军纪念馆，并观看了大型实景演出《红色娘子军》.为了调查学生对《红色娘子军》的评价，以便进行后期改进，纪念馆的工作人员进行了现场调查活动：抽取研学A组和研学B组的学生对该演出进行评分(满分100分)已知每个研学小组有8人，两组的评分结果记录如下：研学A组：94，77，80，81，82，88，84，94，研学B组：79，76，90，80，83，85，89，97．(Ⅰ)计算研学A组评分的平均数及方差和研学B组评分的中位数；(Ⅱ)若在研学A，B两组的评分不低于90分的学生中再随机抽取2人进行深度访问，求抽取的2人中既有A组学生又有B组学生的概率．19.在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，且12sinA−√32cosA=0．(1)求角A的大小；(2)若a=√3,B=π4，求b．20.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3(1)求证：AB1⊥面A1BC；(2)求二面角C−AA1−B的余弦值．21.已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：，，其中a为常数，k为非零常数．(1)令，证明数列是等比数列；(2)求数列的通项公式．22. 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：x2+y2+√3x−3y−6=0过A，F2两点．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β−α=2π3时，证明：点P在一定圆上．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由x2−x−6<0得，−2<x<3，则集合B={x|−2<x<3}，则∁U B={x|x≤−2或x≥3}，所以A∩(∁U B)={x|−4<x≤−2或x≥3}=(−4,−2]∪[3,+∞)，故选：C．先求x2−x−6<0的解集即求出集合A，再由补集的运算求出∁U B，再由交集的运算求出A∩(∁U B)．本题考查了交、并、补集的混合运算，以及一元二次不等式的解法，熟练掌握交、并、补集的运算是解题的关键．2.答案：A解析：根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题考查了充分条件和必要条件的判定，属于中档题．解：设集合A={x|x>2}，集合B={x|x2−x−2>0}={x|x>2或x<−1}则A⫋B，可知p⇒q,q⇏p，故p是q的充分不必要条件．故选：A．3.答案：B解析：解：设等差数列的公差为d，由题意可得d=a2−a1=4−2=2，故a4=a3+d=6+2=8，故选B因为等差数列{a n}的前3项分别为2、4、6，可得公差，可得通项，代入n=4可得答案．本题考查等差数列的通项公式，和等差数列的项的求解，属基础题．4.答案：A解析：解：由题意可知：2(m⃗⃗⃗ −n⃗ )=m⃗⃗⃗ +(m⃗⃗⃗ −2n⃗ )，∴2n⃗=−(m⃗⃗⃗ −2n⃗−m⃗⃗⃗ )，。
2020-2021学年湖南省湘潭一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求）1．（5分）命题“(0,1)x ∀∈，20x x -<”的否定是( ) A ．(0,1)x ∀∉，20x x - B ．(0,1)x ∃∈，20x x - C ．(0,1)x ∀∉，20x x -< D ．(0,1)x ∀∈，20x x -2．（5分）下列说法正确的是( ) A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，c d >，则a c b d +>+ 3．（5分）已知正数a 、b 满足10ab =，则2a b +的最小值是( ) A ．210B ．35C ．310D ．454．（5分）直角坐标系中，方程||1x y =表示的曲线是( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）在ABC ∆中，45B =︒，60C =︒，1c =，则最短边的边长是( ) A 6B 6C ．12D 36．（5分）已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x 轴上，且焦距为22(m = )A ．2B ．3C ．4D ．57．（5分）已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，则C 的焦距为( )A ．2B ．23C ．25D ．68．（5分）动圆M 经过双曲线2213y x -=的左焦点且与直线2x =相切，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．28y x =B ．28y x =-C ．24y x =D ．24y x =-9．（5分）若223x m >-是14x -<<的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．{|33}m m - B ．{|3m m -，或3}m C ．{|1m m -或1}mD ．{|11}m m -10．（5分）等差数列中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．22011．（5分）已知正项数列{}n a 单调递增，则使得2(1)1(1i a x i -<=，2，3⋯，)k 都成立的x 取值范围为( ) A ．11(0,)a B ．12(0,)a C ．1(0,)ka D ．2(0,)ka 12．（5分）《算法统宗》，明代数学家程大位所著，是中国古代数学名著．其中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”．其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才刚好到达目的地，则此人第四天走的路程（单位：里）为( ) A ．192B ．48C ．24D ．6二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）把总长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 2m ． 14．（5分）如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，22sin 3BAC ∠=，32AB =，3AD =，则BD 的长为 ．15．（5分）已知数列的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 的值为 ． 16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为 ．三、解答题（共6小题）17．（10分）已知命题2:680p x x -+<，命题:21q m x m -<<+． （1）若命题p 为真命题，求实数x 的取值范围． （2）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；18．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．19．（12分）（1）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且双曲线经过点P 2)．求双曲线方程．（2）若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，求线段AB 的中点坐标； 20．（12分）已知离心率e =的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>一个焦点为(1,0)-．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B两点，且||AB =l 方程． 21．（12分）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入1505x +万元作为宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．22．（12分）已知数列{}n a 是递增的等比数列且149a a +=，238a a =，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，（1）求n a 和n S ； （2）数列11{}n n n a S S ++的前n 项和为n T ，若不等式n T λ对任意的*n N ∈恒成立，求实数λ的最大值．2020-2021学年湖南省湘潭一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求）1．（5分）命题“(0,1)x ∀∈，20x x -<”的否定是( ) A ．(0,1)x ∀∉，20x x - B ．(0,1)x ∃∈，20x x - C ．(0,1)x ∀∉，20x x -<D ．(0,1)x ∀∈，20x x -【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为(0,1)x ∃∈，20x x -， 故选：B ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 2．（5分）下列说法正确的是( ) A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，c d >，则a c b d +>+【分析】由a b >，0c =，可判断A ；由2a =，1b =，1c =-，2d =-计算可判断B ；由0a b >>，以及二次函数的单调性可判断C ；由不等式的可加性可判断D ． 【解答】解：由a b >，0c =，可得ac bc =，故A 错；由a b >，c d >，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，可得ac bd =，故B 错； 由0a b >>，可得22a b <，故C 错；由a b >，c d >，可得a c b d +>+，故D 对． 故选：D ．【点评】本题考查不等式的性质和应用，考查举反例法和函数的单调性，考查判断能力和推理能力，属于基础题．3．（5分）已知正数a 、b 满足10ab =，则2a b +的最小值是( )A ．B ．C ．D ．【分析】由题意利用基本不等式，求得2a b +的最小值．【解答】解：正数a 、b 满足10ab =，则222a b ab +=即245a b +，当且仅当225a b==时，取等号，故2a b+的最小值为45，故选：D．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意等号成立条件，属于基础题．4．（5分）直角坐标系中，方程||1x y=表示的曲线是()A．B．C．D ．【分析】由题意可得0x≠，则||1x y=可化为分段函数1,01,0xxyxx⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则答案可求．【解答】解：由||1x y=，可知0x≠，∴1,011||,0xxyxxx⎧>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩，则方程||1x y=表示的曲线是C．故选：C．【点评】本题考查曲线与方程，考查了分类讨论的数学思想方法，关键是明确反比例函数的图象，是基础题．5．（5分）在ABC∆中，45B=︒，60C=︒，1c=，则最短边的边长是()A 6B6C．12D3【分析】由45B=︒，60C=︒可得75A=︒从而可得B角最小，根据大边对大角可得最短边是b，利用正弦定理求b即可【解答】解：由45B=︒，60C=︒可得75A=︒，B角最小，∴最短边是b，由sin sin c bC B=可得，sin sin 45sin sin 60c B b C ︒===︒ 故选：A ．【点评】本题主要考查了三角形的内角和、大边对大角、正弦定理等知识的综合进行解三角形，属于基础试题．6．（5分）已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x 轴上，且焦距为(m = )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】由题意写出a ，b 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出参数m 的值．【解答】解：由题意：2132a m =-，21b m =-，所以13210m m ->->，由题意可得132(1)2m m ---=，解得4m =．故选：C ．【点评】考查椭圆的性质，属于基础题．7．（5分）已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，则C 的焦距为( )A ．2B ．C ．D ．6【分析】利用双曲线的渐近线方程求出a ，然后求解双曲线的焦距．【解答】解：双曲线222:1(0)x C y a a-=>的渐近线方程为12y x =±，可得2a =，1b =，则c =．所以C 的焦距为：． 故选：C ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8．（5分）动圆M 经过双曲线2213y x -=的左焦点且与直线2x =相切，则圆心M 的轨迹方程是( ) A ．28y x =B ．28y x =-C ．24y x =D ．24y x =-【分析】求出双曲线的左焦点(2,0)-，设(,)M x y ，动圆的半径为r ，运用直线和圆相切的条件d r =，以及圆的半径的定义，列出方程，化简即可得到M 的轨迹方程．【解答】解：双曲线2213y x -=的左焦点为(2,0)-，设(,)M x y ，动圆的半径为r ，由动圆M 与直线2x =相切，可得|2|x r -=， 又动圆M 经过双曲线的左焦点，r =，|2|x =-， 两边平方，化简可得28y x =-． 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查轨迹方程的求法：直接法，运用直线和圆相切的条件和圆的定义是解题的关键，考查化简的运算能力，属于基础题．9．（5分）若223x m >-是14x -<<的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．{|33}m m - B ．{|3m m -，或3}m C ．{|1m m -或1}mD ．{|11}m m -【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可． 【解答】解： “223x m >-”是“14x -<<”的必要不充分条件， 所以(1-，24)(23m -，)+∞，2231m ∴--，解得11m -， 故选：D ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键．属于基础题．10．（5分）等差数列中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于( )A ．160B ．180C ．200D ．220【分析】先根据12324a a a ++=-，18192078a a a ++=可得到12018a a +=，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．【解答】解：12324a a a ++=-，18192078a a a ++= 120219318120543()a a a a a a a a ∴+++++==+ 12018a a ∴+=∴1202020()1802a a S +== 故选：B ．【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式的应用．考查等差数列的性质．11．（5分）已知正项数列{}n a 单调递增，则使得2(1)1(1i a x i -<=，2，3⋯，)k 都成立的x 取值范围为( ) A ．11(0,)a B ．12(0,)a C ．1(0,)ka D ．2(0,)ka 【分析】由条件可得111i a x -<-<，解得20ix a <<恒成立，再由数列的单调性，可得x 的范围．【解答】解：正项数列{}n a 单调递增，则使得2(1)1(1,2,3,)i a x i k -<=⋯都成立， 可得12k a a a ⋯， 由111i a x -<-<， 可得20ix a <<恒成立， 由22ik a a ，可得20kx a <<， 故选：D ．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和数列的单调性，考查运算和推理能力，属于中档题．12．（5分）《算法统宗》，明代数学家程大位所著，是中国古代数学名著．其中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”．其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才刚好到达目的地，则此人第四天走的路程（单位：里）为( ) A ．192B ．48C ．24D ．6【分析】直接利用等比数列的前n 项和公式的应用求出结果． 【解答】解：设第一天走1a 里，则{}n a 是以1a 为首项，以12为公比的等比数列， 由题意得：1661(1)2378112a S -==-，解得1192a =（里)，34111()1922428a a ∴=⨯=⨯=（里)．故选：C ．【点评】本题考查等比数列的第4项的求法，考查等比数列等基础知识，是基础题． 二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）把总长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 16 2m ． 【分析】设一边长为x ，则另一边长可表示为8x -，则其面积可表示关于边长的二次函数，在定义域内求最值．【解答】解：设一边长为x ，则另一边长可表示为8x -， 则面积22(8)8(4)16S x x x x x =-=-+=--+，08x << 故当矩形的长与宽相等，都为4时面积取到最大值16 故应填16．【点评】考查将实际问题求最值的问题转化为二次函数在某个区间上的最值问题，二次函数求最值一般用配方法．14．（5分）如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥，22sin 3BAC ∠=，32AB =，3AD =，则BD 的长为3 ．【分析】由BAC BAD DAC ∠=∠+∠，90DAC ∠=︒，得到90BAC BAD ∠=∠+︒，代入并利用诱导公式化简sin BAC ∠，求出cos BAD ∠的值，在三角形ABD 中，由AB ，AD 及cos BAD ∠的值，利用余弦定理即可求出BD 的长． 【解答】解：AD AC ⊥，90DAC ∴∠=︒，90BAC BAD DAC BAD ∴∠=∠+∠=∠+︒，22sin sin(90)cos BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠=， 在ABD ∆中，32AB =3AD =，根据余弦定理得：2222cos 189243BD AB AD AB AD BAD =+-∠=+-=，则BD【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．（5分）已知数列的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 的值为 8 ． 【分析】根据数列的第n 项与前n 项和的关系可得118a S ==-，当2n 1210n n n a S S n -=-=-，由52108k <-<求得正整数k 的值．【解答】解：数列的前n 项和29n S n n =-， 11198a S ∴==-=-．当2n 2219[(1)9(1)]210n n n a S S n n n n n -=-=-----=-， 由58k a << 可得52108k <-<，解得1592k <<，故正整数8k =， 故答案为 8．【点评】本题主要考查数列的第n 项与前n 项和的关系，解一元一次不等式，属于基础题． 16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为12． 【分析】通过抛物线的方程可知2p =，设点P 的横坐标为m ，利用抛物线的定义建立关于m 的方程，解之即可得解．【解答】解：设点P 的横坐标为(0)m m >， 抛物线24y x =，2p ∴=，由抛物线的定义可知，||1PF m =+，因此有13m m +=，解得12m =． 故答案为：12． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的运用能力，属于基础题． 三、解答题（共6小题）17．（10分）已知命题2:680p x x -+<，命题:21q m x m -<<+． （1）若命题p 为真命题，求实数x 的取值范围．（2）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围； 【分析】（1）求解一元二次不等式可得实数x 的取值范围；（2）把p 是q 的充分条件，转化为两集合端点值间的关系，列不等式组求解．【解答】解：（1）若p 为真命题，则2680x x -+<，解得24x <<，则实数x 的取值范围为(2,4)；（2）:(2,4)p x ∈，:(2,1)q x m m ∈-+，若p 是q 的充分条件，则(2，4)(2m ⊆-，1)m +， 可得2214m m -⎧⎨+⎩，解得34m ．∴实数m 的取值范围是[3，4]．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【分析】（1）根据17a =-，315S =-，可得17a =-，13315a d +=-，求出等差数列{}n a 的公差，然后求出n a 即可；（2）由17a =-，2d =，29n a n =-，得22211()(216)8(4)1622n n n S a a n n n n n =+=-=-=--，由此可求出n S 以及n S 的最小值．【解答】解：（1）等差数列{}n a 中，17a =-，315S =-， 17a ∴=-，13315a d +=-，解得17a =-，2d =， 72(1)29n a n n ∴=-+-=-；（2）17a =-，2d =，29n a n =-，22211()(216)8(4)1622n n n S a a n n n n n ∴=+=-=-=--，∴当4n =时，前n 项的和n S 取得最小值为16-．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项的和公式，属于中档题．19．（12分）（1）已知双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且双曲线经过点P 2)．求双曲线方程．（2）若直线2x y -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，求线段AB 的中点坐标；【分析】（1）根据题意可设双曲线方程为2249(0)x y λλ-=≠，代入点P 2)，解得12λ=-，进而可得双曲线方程．（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线方程，消去y 得关于x 的一元二次方程，结合韦达定理得12x x +，及12y y +，进而得出答案． 【解答】解：（1）因为双曲线的渐近线方程为230x y ±=， 所以设双曲线方程为2249(0)x y λλ-=≠，因为双曲线经过点P 2)，所以22492λ⨯-⨯=，得12λ=-， 可得双曲线方程为：224912x y -=-， 化为标准式为：221433y x -=． （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 联立直线与抛物线方程得242y xy x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得2840x x -+=， 所以128x x +=，则121244y y x x +=+-=， 所以线段AB 的中点坐标为12(2x x +，12)2y y +，即(4,2)．【点评】本题考查双曲线方程，直线与抛物线相交的问题，属于中档题．20．（12分）已知离心率e =的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>一个焦点为(1,0)-．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B两点，且||AB =l 方程． 【分析】（Ⅰ）根据离心率e =，一个焦点为(1,0)-，求出椭圆的几何量，即可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 方程为y x m =+，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，求出m ，即可求直线l 方程．【解答】解：（Ⅰ）由题知1c =，c e a ==，∴1a b =，（3分） ∴椭圆22:12x C y +=．（4分） （Ⅱ）设直线l 方程为y x m =+，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩（6分）化简得：2234220x mx m ++-=，由△2221612(22)8240m m m =--=-+>，可得23m <．（8分）21212422,33m m x x x x -+=-=，∴2121|||2()AB x x x x-+（9分） 282429m -+=， 解得1m =±．（11分）∴直线l 方程1y x =+或1y x =-．（12分） 【点评】本题以椭圆的几何性质为载体考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，正确运用韦达定理是关键．21．（12分）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入21(600)6x -万元作为技改费用，投入1505x +万元作为宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．【分析】（1）由每件定价为x 元，得提高价格后的销售量，根据销售的总收入不低于原收入，列不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依题意，25x >时，不等式21125850(600)65ax x x ⨯++-+有解，分离参数a ，利用基本不等式求最值得结论．【解答】解：（1）每件定价为x 元，则提高价格后的销售量为2580.21x --⨯， 由销售的总收入不低于原收入，得25(80.2)2581x x --⨯⨯， 整理得26510000x x -+，解得2540x ．故要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元； （2）依题意，25x >时，不等式21125850(600)65ax x x ⨯++-+有解，即25x >时，1501165ax x ++有解， 150115021066xx x x +=，当且仅当30x =时，等号成立， 10.2a ∴．此时该商品的每件定价为30元．故当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【点评】本题考查根据实际问题建立函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 22．（12分）已知数列{}n a 是递增的等比数列且149a a +=，238a a =，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，（1）求n a 和n S ； （2）数列11{}n n n a S S ++的前n 项和为n T ，若不等式n T λ对任意的*n N ∈恒成立，求实数λ的最大值．【分析】（1）由题设条件求得等比数列{}n a 公比q 及首项1a ，即可求得n a 与n S ； （2）先由（1）求得11n n n a S S ++，再利用裂项相消法求得其前n 项和n T ，进而求得n T 的最小值，最后利用不等式n T λ对任意的*n N ∈恒成立求得实数λ的最大值．【解答】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设可得：31231(1)98a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解之得：112a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，数列{}n a 是递增的等比数列，∴112a q =⎧⎨=⎩，12n n a -∴=，122112nn n S -==--；（2）由（1）可得：1111211(21)(21)2121n n n n n n n n a S S ++++==-----，122311111111121212121212121213n n n n T ++∴=-+-+⋯+-=--------（当1n =时取“= “)， 又不等式n T λ对任意的*n N ∈恒成立，23λ∴， 即实数λ的最大值为23． 【点评】本题主要考查等比数列基本量的计算、裂项相消法在数列求和中的应用及不等式恒成立问题，属于中档题．。
湖南省邵阳市双清区十一中2020-2021学年高二数学上学期期中试题一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个 选项中只有一项是符合题目要求的）1.若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（ ） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 2.已知等差数列{a n }中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是( ) A. 15B. 30C. 31D. 643.已知数列{}n a 满足21+=+n n a a ，且21=a ， 则=5a ( ).A 8 .B 9 .C 10 .D 114.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤--≥-+0302063y y x y x ，则目标函数x y z 2-=的最小值为( ).A 7- .B 4- .C 5- .D 25.在正项等比数列{}n a 中，569a a =，则3132310log log log a a a +++= ( )A 、12B 、10C 、8D 、32log 5+6．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin b C c B a A +=， 则ABC ∆的形状为 （ ）A ．锐角三角形B ． 直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ) A.63B.64C.32D.318.公比为q 的等比数列{}n a 中，431=⋅a a ，84=a ，则=+q a 1( ) .A 3 .B 23或 .C 2 .D 33-或9.“p ∨q 为假命题”是“￢p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10. 在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则边c 等于( ) A ．3 B ． 2 C ． 3 D ．4二、填空题（每小题4分，共20分）11. “x ∀∈R ，2210x x ++>”的否定是____________． 12.数列，，，，的一个通项公式是______． 13.已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为______．14. 若不等式03)1(32>+--x m x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是_____________. 15.在△ABC 中，已知120C =，BC=2,AC=2，则△ABC 的面积为________.. 三、解答题（共40分） 16.(本小题6分) 解下列不等式02)1(2≥-+x x023)2(<+-x x17.（本小题满分8分）.2.034:,02的取值范围为真，求实数时若，满足实数，满足：实数已知x q p a x x x q a x x p ∧=≤+-<-18.（本小题满分8分）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且53-=a ，244-=S ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列}{n a 的前n 项和n S 的最小值.19.（8分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，c =3，．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求△ABC 的面积．20.（本小题满分10分）在等差数列{}n a 中，127a a +=，38a =．令11=nn n b a a + （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ；数学试题答案1-5. DACAB 6-10BADAC.012,.110200≤++∈∃x x R x122.12+=n a n n41.13 .75.14<<-m3.15{}{}.32)2(12).1.(16<<-≥-≤x x x x x 或}{.21.17<≤x x18.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则由条件得11254624a d a d +=-⎧⎨+=-⎩ ，解得⎩⎨⎧=-=291d a ，通项公式)1(29-+-=n a n，即112-=n a n25-最小值为n s19.（1）由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得，∴a 2+2a -3=0，解得a =1或a =-3（舍）（2）∴=．20.（1）由已知得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=++328271111d a d a d a a 得1-3)1(32n n a n =-+=∴（2）)231131(31)23)(13(1+--=+-=n n n n b n)23121(31)231131...5121(31+-=+--++-=n n n T n。
2021年高二数学上学期期中联考试题理湘教版本卷共21小题时量：120分钟满分：12０分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．命题：“能被4整除的数一定是偶数”，其等价命题（）A．偶数一定能被4整除B．不是偶数不一定能被4整除C．不能被4整除的数不一定是偶数D．不是偶数一定不能被4整除2．已知命题P: 是的一个根，命题q: ，则p是q的（）条件。
A. 充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分也不必要3．等差数列中，若，则（）A.12B.24C.16D.484．数列的通项公式是，若前n项和为10，则项数n为（）A．11 B．99 C.120 D．1215．等比数列的各项均为正数，且，则()1012333log log log aa a++⋅⋅⋅+=A．12 B． 10 C．8 D．6．设x，y为正数，若，则最小值为( )A．6 B.9 C.12 D.157.一元二次不等式对一切实数x恒成立，则k的范围是（）A.（-3,0）B.(-3，0]C.D.8.若满足，则为（）三角形A．等腰 B．等边 C．等腰直角 D．等腰或直角9. 在中，222sin sin sin sin sinA B C B C≤+-，则A的范围是（）A B. C. D.10.在抛物线中，以（1，-1）为中点的弦所在的直线方程为（）A.x-4y-3=0B.x+4y+3=0C. 4x+y-3=0D.4x+y+3=0二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．命题的否定是12．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为则到另一个焦点的距离为13．已知实数x，y满足则z＝2x＋4y的最大值为14、设中心在原点的双曲线与椭圆x22＋y2＝1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为15.已知椭圆C：，为其左、右焦点，M为椭圆上的一点，的重心为G，内心为I，且直线IG平行x轴，则椭圆的离心率为三、解答题(本大题共6小题，共60分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤).16.（10分）已知命p：方程的解都在内；命题q：对任意实数，不等式恒成立，若命题“p∧q”是真命题，求的取值范围。
