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人教版初中八年级上册数学最短路径问题课件

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人教版数学八年级上册最短路径问题精品课件PPT

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A
B
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
2：平面图形（建立“对称模型 ”）
• 要在街道旁边修建一个奶站,向居民区A,B提 供牛奶,奶站应建 在什么地
• 方,才能使从A,B到它的距离和最短?
B A
L
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若 PA=2，则PQ的最小值为_____________
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
• 2、立体图形（展开成平面图形）
• 例题2：如图，圆锥的底面半径为1，母线
长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出
•
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
感谢观看，欢迎指导！
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋ MD的值最小时，求m的值．
y
AO C D
x B
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
学习任务三
小明带着牛在A处，打算带着牛先去吃草，然 后到河边喝水，再回家，请问这次小明带着牛 怎样走能使所走路径最短？
人教版数学八年级上册 13.4最短路径问题课件
任务拓展
变式五：如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A(2,—3）B(4, 1）， 若点P(m,0)和点Q(m+1,0) 是x轴上的两个动点， 则当m= 时， AP+PQ+QB最小．

人教版八年级上最短路径问题精选课件

人教版八年级上最短路径问题精选课件

转化 猜想 尝试 验证 总结
·
A· ·
C' C
·
B
证明：
在l上任取另一点C’，
l 连结BC’、AC’、B’C’
·B′∵直线MN是点B、B’的对称
轴，点C、C’在对称轴上，
∴BC=B’C， BC’=B’C’． ∴BC+A C=B’C+AC=AB’ ． ∴BC’+AC’=B’C’+AC’
在△AB’C’中，AC’+B’C’ >AB’
•
8.对传统生物学过分强调个体行为和 动物本 能的观 点进行 了反思 ，也对 人类盲 目自大 、不能 充分认 识自身 生存危 机作出 了警示 。
•
9. 人类虽然最终脱颖而出，主宰了这 个世界 ，但人 类的行 为方式 还具有 和其他 社会性 生物相 类似的 特点， 还需要 联合， 需要团 结，才 能源源 不断地 产生智 慧，克 服自身 发展面 临的种 种困境 ，推动 社会进 步。
A·
·
C
·B
l
转化 猜想 尝试 验证 总结
求：线段AC+BC最短
A·
·B
（1）BC=B′C， ∴AC+BC=AC+B’C=AB’
．
·· C' C
l （2）BC′=B′C′ ． ·B′ AC’+BC’=AC’+B’C’
∴泵站修在 在△AB’C’中，AC’+B’C’ >AB’
管道的C处
即：AC’+BC’ >AC+BC
探究2.如图，要在燃气管道l上修建一个
泵站C，分别向A、B两镇供气，泵站C修
在管道l的什么地方，可以最省材料？
A.

13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册

13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册
∙B A∙
l C
B′
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最 短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线 b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当 点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
P 地把河水引向 M、N 两地.下列四种方案中，最节省材料的是( D )
A.
B.
C.
D.
解析：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短， 可得最节省材料的是：
故选：D.
练习 6 如图所示，某条护城河在 CC 处直角转弯，河宽均为 5m，
从 A 处到达 B 处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设 护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从 A 处到 B 处的路程最短？请确定两座桥的位置.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′，
∴A′N+NB<A′N′+BN′.
A
即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. A′ ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′.
即AM+NB+MN的值最小.
M′
M
N′ N
B
a b
练习 1 如图所示，军官从军营 C 出发先到河边（河流用 AB 表示）饮马，再 去同侧的 D 地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将
A
点C，则点C 即为所求的位置， 可以使得 AC+BC 的值最小.

人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)

人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(ppt课件)

拓展延伸
2. 某班举行文艺晚会,桌子摆成AB,AC两行,如图13-4-27,AB桌面上 摆满了橘子,AC桌面上摆满了糖果,小明现在P处,准备先去拿橘子再 去拿糖果,然后回到P处.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总 路程最短.(保留作图痕迹,并简单写出作法)
拓展延伸
3. 如图,小华每天都要到李奶奶家做好事,在途中她要先到草场打
对点练习
4. 如图,AD为等腰三角形ABC底边上的高,E为AC边上一点,在AD
上求一点F,使EF+CF最小.
对点练习
5.如图,M为正方形ABCD的边CD的中点,BM=10,在对角线BD上求 作一点N,使MN+CN的值最小,并求出这个最小值.
拓展延伸
1、如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接 游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船 的最短路径．【来源：2教育
E
一只在E处的蚂蚁要爬到圆柱内侧D点处，试
画出其最短路径。
对点练习
2.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边L饮
马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?
对点练习
3.点P是直线l上的一点,线段AB∥l,能使PA+PB 取得最小 值的点P的位置应满足的条件是 ( C ) A.点P为点A到直线l的垂线的垂足 B.点P为点B到直线l的垂线的垂足 C.PB=PA D.PB=AB
学习难点
确定最短距离及理论说明.
知识回顾：
思考：
(1)图①中从点A走到点B哪条路最短？ (2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪 条线最短？ 以上路径选择基于什么原理？
类型一：两点之间，线段最短——直接应用

人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)

人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)

联想：
如果点A、B在直线l的异侧时
A
C
l
B
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
思考：
能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？
作法及思路分析
1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接
CB′。
B
A C
l
B′
2.由上步可知AC+CB=AC +CB′，
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
根据前面的分析，我们认为的
人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
饮马问题
如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边 的什么地方饮水，可使所走的路径最 短？
B B
AA l
l
分析：
B
B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
B
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。

八年级数学人教版(上册)课件_13.4课题学习最短路径问题(共20张PPT)

八年级数学人教版(上册)课件_13.4课题学习最短路径问题(共20张PPT)

探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A··B源自有关知识，找到上问中符合条
l
件的点B′吗？
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
八年级数学上册·人教版
第13章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
• 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮 马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研 究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最 小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为 “两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大 于第三边”）问题．
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
课件说明
• 学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
• 学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．

人教版八年级上册数学内文课件：13.4课题学习 最短路径问题(共13张PPT)

人教版八年级上册数学内文课件：13.4课题学习 最短路径问题(共13张PPT)

变式训练 2. 如图1-13-30-4，要在街道l旁修建一个牛奶站， 向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方， 才能使A，B到它的距离之和最短？
解：如答图13-30-4， 作点A关于直线l的对称点A′， 连接A′B交直线l于点M，则点M即为所求.
典型例题
知识点3：网格中或坐标系中的最短路径问题 【例3】 如图1-13-30-5，在11×11的正方形网格 中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点 △ABC（即三角形的顶点都在格点上）．在直线l上 找一点P，使得PA+PB的和最小．
第十三章 轴对称
第30课时 课题学习 最短路径问题
典型例题 知识点1：两点在直线异侧时的最短路径问题 【例1】 如图1-13-30-1，在直线l上找一点P，使得 PA+PB的和最小.
解：答图13-30-1,点P即为所求.
变式训练 1. 如图1-13-30-2，高速公路l的两侧有M，N两城 镇，要在高速公路上建一个出口P，使M，N两城镇到 P的距离之和最短.请你找出P的位置.
1.自然界没有风风雨雨，大地就不会春华秋实。2.瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。3.诽谤，同时造了无数的罪业，这是嫉妒；自己欢喜4.在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。5.只会幻想而不行动的 人，永远也体会不到收获果实时的喜悦。6.我们只要每天睁开眼睛，看到自己还活着，就该庆幸自己多么的幸运7.赞叹，同时积累了同样的功德利益，这是随喜。怎么做，完全在于自己。8.盲目的上进，就像在死胡同里打转。 你浪费的人生，原本可以有更多的精彩。9.其他烦心的事，想开点，看开点，再苦再难的日子，熬着熬着也就挨过来了。10.这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗。11.懦弱的人只会裹 足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。12.精神健康的人，总是努力地工作及爱人，只要能做到这两件事，其它的事就没有什么困难。13.命，是失败者的借口;运，是成功者的谦词。带着青春的印 记，我们这代人，慢慢的随着时间的流淌，渐渐老去。晚安!14.努力不是为了做给谁看，无论什么结果都能问心无愧；努力是因为你可以不接受命运的框定，靠自己来场漂亮的反击。15.美国人口普查局的“世界人口时钟” 显示，全世界每秒钟有1.8人死亡，一小时就是6,360人，一天就有152,640人死亡。16.当你觉得老天对你不公的时候，别急着红眼，别急着抱怨，因为这样只会削弱你的意志，消磨你的斗志，最后让你变得平庸，一事无成。 17.昨天，再值得留恋，也不会为你的留恋停留；明天，再艰辛，也不会因为你的脆弱而怜悯；优雅之人心如止水，波谰不惊，不以物喜，不以己悲。做一个优雅从容的人，只有先稳下来，静下心，学会宽容，仁爱，温和。 18.无论你正经历着什么，过得是否开心，世界不会因为你的疲惫，而停下它的脚步。那些你不能释怀的人与事，总有一天会在你念念不忘之中遗忘。无论黑夜多么漫长不堪，黎明始终会如期而至。睡一觉，愿美梦治愈你的 难过。晚安!19.凡事顺其自然，凡事不可强求。人生，错过太多，我们都在重复，所以，我们不必为自己错过的悲哀，而应该为自己拥有的而喜悦。错过了漂亮，你还拥有健康;错过了健康，你还拥有智慧;错过了智慧，你还 拥有善良;错过了财富，你还拥有安逸;错过了安逸，你还拥有自由20.人生，总有乌云密布的低沉的时刻，但也会有蓦然抬头，拨云见日的一天。而最重要的是在低潮时要忍耐得住，不要放弃对光明的追求，永远不要以为走

13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册

13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册

迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.

人教版八年级上册数学课件13.4课题学习最短路径问题(共21张PPT)

人教版八年级上册数学课件13.4课题学习最短路径问题(共21张PPT)

．
课堂回顾：本节课你复习了什么内容？通过本节课复 习，你有何收获？
探求平面内最短路径的主要原理有以下两种： 一是“垂线段最短”，二是“两点之间，线段最 短”，求平面内折线的最短路径的最短路径通常 用轴对称变换、平移变换、旋转变换转化为“两 点之间的线段”。立体图形上的最短路径问题常 需借助平面展开图转化为平面问题。
5、在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，
用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则
丝带的最短长度为
cm．（结果保留π）
6、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，
点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C
为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点
不重合）两点间的最短距离为
13.4 课题学习 最短路径问 题
问题情景
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l的P点饮马， 然后到B 地．P在何处可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直
线．
·B
A·Leabharlann l这样做的理由是什么？
知识回顾
探求平面内最短路径的主要原理有以下两 种：一是“垂线段最短”，二是“两点之 间，线段最短”，求平面内折线的最短路 径的最短路径通常用轴对称变换、平移变 换、旋转变换转化为“两点之间的线段”。 立体图形上的最短路径问题常需借助平面 展开图转化为平面问题。
某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图1中的 AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆 满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果， 然后回到空座位D上．请你帮助他设计一条行走路 线，使其所走的总路程最短？

人教版八年级数学上册1课题学习最短路径问题(第一课时)课件

人教版八年级数学上册1课题学习最短路径问题(第一课时)课件

P1
CC O
DD
A PC+CD+DP
思考：你能利用解决牧 马人饮马问题的办法， 解决本题吗？
P
= P1C+CD+DP2 利用轴对称(实现线段转移).
B
两点之间，线段最短．
P2
拓展提升
如图，分别在OA、OB上求作点C、D，使得
PC+CD+DP和最短．
P1
A 作法：
C
（1）过点P分别作关于OA、OB的对称点
依据：
两点之间，线段最短
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
A
B
A l
C
l
A、B在直线l的同侧
B
A、B在直线l的异侧
思考2：能否通过图形的变换，把左边未知的问题 转化为我们右边研究过的问题呢？
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
B
A l
C
问题转化为：
八年级—人教版—数学—第十三章
13.4课题学习 最短路径问题（第一课时）
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题．
2.能把实际问题抽象为数学问题，体会图形的变化
在解决最值问题中的作用，感悟转化和类比思想．
学习重点
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段 最短”问题．
情境引入
观察图片，生活中你通常如何选择路径，使所走路 径最短呢？
D
B
P2
思想方法：类比、转化
课堂小结
最短路径问题：
解决方法：利用轴对称实 现线段的转移，化折为直. 理论依据：两点之间，线 段最短. 思想方法：类比、转化.

13.4课题学习 最短路径问题 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.4课题学习 最短路径问题 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

A' M C
EA E'
【理由简要分析】
O F' F D N 图2 A''
如图2，在OM上任取一个异于E的点E′，在ON上任取一个异于F的点
F′，连接AE′，A′E′，E′F′，A″F′，AF′，则AE′＝A′E′，AF′＝A″F′，且
A′E′＋E′F′＋F′A″＞A′A″=A′E＋EF＋FA″= AE＋EF＋FA，所以△AEF
道最短的是（ D ）
Q
P l
Q
P
AM
l
、
Q
P
C
l
M
、
Q
P
B
l
M
、
Q
P
D
l
M
、
巩固练习
2、如图，在 RtABC 中，A 30, C 90 且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直
线MN上任一点，PB+PC的最小值为 2
M
B
P
1
P
A 30
C
N
巩固练习
3、如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上， BM＝2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最
13.4课题学习 最短路径问题
复习回顾
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？
问题4. 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出 马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l 饮马，然后回到帐 篷B. 请你帮他确定马这一天行走的最短路线.

人教版数学八年级上册《课题学习——最短路径问题》课件

人教版数学八年级上册《课题学习——最短路径问题》课件
方法点拨：解决“两线两点”型最短路径问题 的方法以两线为对称轴，分别作靠近线的点的 对称点，连接两个对称点，将最短路径转化为 连接两个对称点的线段.
感悟新知
解：如图13 .4 -4，(1)作点A 关于直 线l1 的对称点A′； (2)作点B 关于直线l2 的对称点B′； (3)连接A′B′，分别与直线l1，l2相交 于C，D 两点，连接AC，BD，则沿 路线A → C → D → B 走才能使总路 程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
感悟新知
知识点 1 最短路径问题
知1－讲
类型
问题
作法
最小值
一 线 两
点 型
两点 在直 线异
侧
在直线l 上找 一点P，使PA
＋PB 最小
连接AB，与直 线l 的交点即为
点P
PA＋PB 的最小值 为AB的
值
感悟新知
类型
问题
作法
知1－讲
最小值
两点
一 线 两
知1－练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
知1－练
3-1.如图，AB 是∠ MON内部的一条线段，在∠ MON 的两 边OM，ON 上分别取点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
感悟新知
知1－练
(1)如果居民小区A，B 在主干线l 的两侧，如图13.4-1，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？
解：如图13 .4 -1，
连接AB，与l 的 交点即为所求的
分支点M.
感悟新知
知1－练
(2)如果居民小区A，B 在主干线l 的同侧，如图13.4-2，那么 分支点M 在什么地方时总线路最短？

人教版八年级上册 13.4 最短路径问题 课件(共56张ppt)

人教版八年级上册 13.4 最短路径问题 课件(共56张ppt)

求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的应用 将军饮马问题有什么特点？ 如何发现并解决将军饮马问题？
美术字与轴对称
利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案
等腰三角形中相等的线段
复习巩固 下列图形是轴对称图形吗？如果是，找出它们的对称轴 .
复习巩固 画出下列轴对称图形的对称轴
复习巩固
如图，D，E 分别是AB，AC 的中点，CD⊥AB，垂足为 D，BE⊥AC，垂足为E .求证AC =AB .
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
能不能把点在同侧的问题转化 为点在异侧的问题呢？ 提示：将点B“移”到l 的另一侧 B′处，得满足直线l 上的任意一 点C，都保持CB 与CB′的长度相 等 你．想到怎么做了吗？
如图，A、B两地在一条河 的两岸，现要在河上建一座 桥MN，桥造在何处才能使 从A到B的路径AMNB最短 ？（假设河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直）
你能把这个问题抽象成一 个数学问题吗？
抽象
可以把河的两岸看成两条平行线a和b， N为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a于点M， 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
，同时向 A，B 两个居民小区送电 .
（2） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的同旁，如图（2） 所示
，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，
并说明理由 .
作A的对称
点可以吗

人教版八年级数学上册第十三章课题学习最短路径问题(共30张PPT)

人教版八年级数学上册第十三章课题学习最短路径问题(共30张PPT)

此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G
H B1 B
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 ６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平 移转化桥长来解决问题．
例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点
依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．， An,平移距离分别等于各自河宽， AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥 MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近 B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...， 连接M1A交第一条河近B点河岸于N1， 建桥M1N1,此时所走路径最短.
献 。 现 将 主 要工作 报告 一 、 关 心 爱 护学生 。经常 耐心细 致地做 学生的 思想教 育工作 ,有时可 以说达 到了废 寝 忘 食 的 地 步。特 别是在 抗击非 典期间 ,对学生 的生命 安全高 度负责 ,从协助校领导
制 定 各 项 预 防措施 到学生 病情的 监控和 学生的 诊治陪 护等都 凡事躬 亲。自 己带领 的 由 党 团 员 组成的 陪护小 组,不怕 死,不怕 累,出 色完成 了学校 交给的 陪护学 生的任 务 。 XX 年 7月 ,音 专 001班 黄德华 被骗到 合浦搞 传销,我 接到求 救电话 后,马上 与杨小 林 等 同 志 赶 赴合浦 解救学 生,回到 南宁后 ,又自己 掏钱为 学生购 好了返回龙州的车票
桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长.
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）

人教版八年级上册1最短路径问题课件

人教版八年级上册1最短路径问题课件
人教版八年级上册第十三章第四节
13.4 最短路径问题
1
情景引入
相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个
百思不得其解的问题，将军问：从住所A 地出发，到一 条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 。到河边的什么地
方饮马可使他所走的路径最短？
B地 A地
使AC+BC最短问题。如何确定点C的位置呢？
你学习过哪些最短连线的 知识？
怎么办？
问题难在哪里呢？
线段公理： 两点之间，线段最短
A
B
垂线段性质： 垂线段最短.
A
l
若A、B两点分别在直线l两侧， 你能找到符合条件的点吗？
A C
Dl
B
B
A
l
C
不管点C在直线上哪里，A、 B、C都不可能在同一直线
上，无法直接应用这两个知 识解决问题。
起源
在古罗马，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名 叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百 思不得其解的问题：
将军骑马从城堡A出发到城堡B，途中马要到河边饮 水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是"将军饮马"问题。
如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，
问：这位将军怎样走路程最短？
进
步
你的疑惑；
的
阶
梯
面对一个新的求线段最短问题时，
我们可以通过怎样的途径去研究它？
谢谢聆听，欢迎指正！
B
A
河
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营， 问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB 最小？

新人教版八年级数学上册《最短路径问题》课件(共15张PPT)

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谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
l CC A’
解（：1）作AB的中垂线交l于点C，如图. （2）如图.
A1 B
C
解：如图所示，B、C为两个加A油2 站的位置.
本课时学习了生活中的最短路径可以转化 为数学中最值问题.
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
A1
B
m
A
C
A2
n
解析：利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定B、C的位置，从而使AB＋B Nhomakorabea＋CA最小.
解：①作A关于m的对称点A1，再作A关于n的对称点A2；
②连接A1A2交m于B，交n于C，连接AB、AC.
由于两点之间线段最短，且AB＝A1B，AC＝A2C，
∴AB＋BC＋CA最小.
1
B处
B A
探究二：造桥选址问题中的最短路径问题
3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？ （假设两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
A
C
例：如图所示，点A是货运总部，想在公路m上建一
个分部B，在公路n上建一个分部C，要使AB＋BC＋CA最小，

人教版八年级上册第十三章《13.4课题学习最短路径问题 》课件

人教版八年级上册第十三章《13.4课题学习最短路径问题 》课件
能不能作出B点的对称 点B',连接AB'，与l还交
于P点吗？
A
P A'
B l
B'
探 问题3 你能用所学的知识证明AP +BP最短吗？ 索 证明：如图，在直线l 上任取一点P′(与点P 不重合)
新
知 连接AP′，BP′，A′P′．由垂直平分线的性质知:
AP =A′P，AP′=A′P′
∴AP +BP= A'P +BP = A′B
检 的任意一点，则AP+BP的最小值是（ A）
测 A.4 B.5
C.6
D.7
E
A
P
B
C
F
当 3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
堂 检
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 5 .
测
A
方法总结：此类求线段和的最小值问题， 找准对称点是关键，而后将求线段长的
课 堂 小 结
实际问题
抽象为数学问题
通过轴对称把同 侧点转为异侧点
利用“两点之间， 线段最短”确定 所求位置
P
l
A
探 模型二：一定直线，同侧两定点
索 新 问题2 如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
知
A
B
B
A
抽象成
l
PP
l
A′
利用轴对称，作出点A关于直线l的对称点A′.
作 模型二：一定直线，同侧两定点
图 探 作法 究 （1）作点A 关于直线l 的对称点A′；
（2）连接A′B，与直线l相交于点P． 则点P 即为所求．
测
A

人教版八年级数学上册1最短路径问题教学课件

人教版八年级数学上册1最短路径问题教学课件
最短路径问题
如图，在直线 上求作一点 ，使得 + 最短.








、 在直线 异侧
′
、 在直线 同侧
例：造桥选址问题
例
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?


作 ′ 关于直线 的对称点 ′′.
′

′
′

′′

连接 ′′，与直线 交于一点即
为所求点 .
问题
在直线 上求作两点 ，，使
得四边形 的周长最小.
练习 已知线段 ，点 、 在直线 的同侧，在直线 上求
作两点 ，（点 在点 的左侧）且 = ，使得
四边形 的周长最小.
思考

哪些点是定点？

哪些点是动点？




思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点 在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点 在什么位置时， + 最小.










′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点 在直线 的什么位置时，
+ + 最小？





实际问题用数学语言表达.

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A
A
M
N
B
B
思维分析 A
1.如图假定任选位置造桥MN， 连接AM和BN，从A到B的路 径是AM+MN+BN，那么怎样 确定什么情况下最短呢？
Ｍ
Ｎ B
2.利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？
思维火花
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化 到一侧呢？什么图形变换能帮A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
B 抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找 到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
A
B
问题解决
A
如图，平移A到A1，使AA1等于河A1 宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， 此时路径AM+MN+BN最短.
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. 由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
C
D 河
A
B
3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处， 须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都 是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
C
D
C′ D ′
E E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连
连接AB,与直线l相交于一点C.
根据是“两点之间，线段最短”， A
可知这个交点即为所求.
C l
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？ B
A
l 想一想： 对于问题2，如何将点B“移” 到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意 一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
②最短，因为两点之间，线段最短
①
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有
线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？ A
∴ AC +BC
B
= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
A
在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′，
C C′
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
l B′
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸 是平行的直线，桥要与河垂直）？
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A
C
B
l B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接
AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D
为平行四边形，于是AD=FD′,
A
同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知，GF最小.
第十三章
八年级数学上（RJ） 教学课件
轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． （重点）
导入新课
复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
1.把A平移到岸边. 2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连. 4.把桥平移到和B相连.
A
Ｍ
Ｎ
B
1.把A平移到岸边.
A (Ｍ)
Ｎ
B AM+MN+BN长度改变了
2.把B平移到岸边. A
Ｍ
（Ｎ）B
AM+MN+BN长度改变了
怎样调整呢？ 把A或B分别向下或上平移一个桥长 那么怎样确定桥的位置呢?
距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,
A· M C
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
ND
所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短.
E
B
方法归纳
解决最短路径问题的方法
1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变 化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的 选择. 2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形， 从而将问题转化为平行四边形的问题解答.
当堂练习
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q P
Q P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000米.
在△A１N１B中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A，B两地的距离：
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则AB两地的
l A′
讲授新课
最短路径问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点 与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我 们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路 径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马 人饮马问题”及“造桥选址问题”.
① ② A ③B
P
A BC
Dl
牧马人饮马问题