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13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。
2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。
从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。
本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。
体会数学在实际生活中的价值。
2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。
达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。
三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。
13.4课题学习：最短路径问题夯实基础篇一、单选题：1．直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）．A．B．C．D．【答案】D【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选D．【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．2．如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】作点M关于直线l的对称点M′，再连接M′N交l于点Q，则MQ+NQ=M′Q+NQ=M′N，由“两点之间，线段最短”，可知点Q即为所求.故答案为：C【分析】先作点M关于l的对称点M′，连接M′N交l于点Q，即可.3．如图，在等腰△AB C中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（）C．4.5D．6A．3B．【答案】A【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AB=AC，AD⊥BC于D，∴∠ABC=∠C，AD是∠BAC 的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵∠ABC=∠C，∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，∵BH⊥AC，∴BH=12AB=3．故答案为：A【分析】根据等腰三角形的三线合一，得到AD是∠BAC的平分线，由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等，得到BH是点B到直线AC的最短距离，再由三角形内角和定理得到∠BAC=30°，根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出MN+BN的最小值.4．如图：△AB C中， ACB=90°，AC=BC，AB=4，点E在BC上，且BE=2，点P在 ABC 的平分线BD上运动，则PE+PC的长度最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【知识点】三角形的角平分线、中线和高；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，如下图：∵BD是∠ABC的平分线，∴通过作图知，BP垂直平分EE'，∴PE'=PE∴此时PE+PC=PE'+PC=E'C，PE+PC的长度最小，∵点E、点E'关于BD的对称，∴BE'=BE=2，又∵AB=4，∴点E'是A B中点，CE'是中线.∵△AB C中，∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45 ，∴CE'又是底边AB的高，∴△BE'C也是等腰直角三角形，∴E'C=2，即：PE+PC的长度最小值为2.故选B.【分析】此题考查最短路径问题，利用轴对称，作点E关于BD的对称点E'，连接E'C，可知此时PE+PC的长度最小，PE+PC=PE'+PC=E'C.再根据作图和等腰直角三角形性质求出E'C的长即可.5．如图，在锐角△AB C中，AB＝AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4B．245C．5D．6【答案】C【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，∵AD 是∠BAC 的平分线，AB =AC ，∴点B 关于AD 的对称点为点C ，过点C 作CN ⊥AB 于N 交AD 于M ，由轴对称确定最短路线问题，点M 即为使BM ＋MN 最小的点，CN ＝BM ＋MN ，∵AB ＝10，S △ABC ＝25，∴12×10•CN ＝25，解得CN ＝5，即BM ＋MN 的最小值是5.故答案为：C.【分析】根据AD 是∠BAC 的平分线，AB =AC 可得出确定出点B 关于AD 的对称点为点C ，根据垂线段最短，过点C 作CN ⊥AB 于N 交AD 于M ，根据轴对称确定最短路线问题，点M 即为使BM ＋MN 最小的点，CN ＝BM ＋MN ，利用三角形的面积求出CN ，从而得解.6．如图，等边ABC 中，D 为A C 中点，点P 、Q 分别为AB 、AD 上的点，4BP AQ ，3QD ，在BD 上有一动点E ，则PE QE 的最小值为（）A ．7B ．8C ．10D ．12【答案】C【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，ABC ∵是等边三角形，BA BC ，∵D 为A C 中点，∴BD AC ，∵4AQ ，3QD ，7AD DC AQ QD ，作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE +QE 的值最小，最小值PE +QE =PE +EQ '=PQ '，4AQ ∵，7AD DC ，3QD DQ ，4CQ BP ，10AP AQ ，60A ∵，APQ 是等边三角形，10PQ PA ，∴PE +QE 的最小值为10.故答案为：C.【分析】作点Q关于BD的对称点Q'，连接PQ'交BD于E，连接QE，此时PE+QE 的值最小，最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'，进而判断△APQ'是等边三角形，即可解决问题.7．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）A．7.5B．8.5C．10.5D．13.5【答案】D【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，连接AM、AD∵EF垂直平分线段AC∴CM=AM∴CM+MD=AM+MD≥AD即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD∴△CMD的周长的最小值为AD+CD ∵D为BC的中点，AB=AC∴1 1.52CD BC，AD⊥BC∴13182ABCS AD∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△CDM周长的最小值为13.5故答案为：D.【分析】连接AM、AD，由线段垂直平分线的性质可得CM=AM，当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时，CM+MD取得最小值，且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得1 1.52CD BC，AD⊥BC，利用△ABC的面积可求出AD的长，从而求出此时△CDM的周长即可.二、填空题：8．如图的4×4的正方形网格中，有A，B，C，D四点，直线a上求一点P，使PA+PB 最短，则点P应选点（C或D）.【答案】C【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，点A ′是点A 关于直线a 的对称点，连接A ′B ，则A ′B 与直线a 的交点，即为点P ，此时PA +PB 最短，∵A ′B 与直线a 交于点C ，∴点P 应选C 点.故答案为：C.【分析】点A ′是点A 关于直线a 的对称点，连接A ′B ，则A ′B 与直线a 的交点，即为点P ，此时PA +PB 最短，据此即得结论.9．如图，在ABC 中，3,4,,AB AC AB AC EF 垂直平分BC ，点P 为直线EF 上一动点，则ABP 周长的最小值是．【答案】7【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：∵EF 垂直平分BC ，∴B ，C 关于直线EF 对称．设AC 交EF 于点D ，∴当P 和D 重合时，AP BP 的值最小，最小值等于AC 的长，∴ABP 周长的最小值是437 ．【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP 的最小值，求出AC长度即可得到结论．中，AB=4，AC=6，BC=7，EF垂直平分BC，点P为直线EF上10．如图，在ABC的任一点，则ABP周长的最小值是.【答案】10【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，连接PC，∵，4AB，AB PA PB PA PB的周长为4ABP要使ABP的周长最小，则需PA PB的值最小，∵垂直平分BC，EF，PC PBPA PB PA PC ，由两点之间线段最短可知，当点,,A P C 共线，即点P 在AC 边上时，PA PC 取得最小值，最小值为AC ，即PA PB 的最小值为6AC ，则ABP 周长的最小值是4610 .故答案为：10.【分析】如图，连接PC ，先把ABP 的周长表示出来为4+PA +PB ，接着根据垂直平分线性质得到PB =PC ，故只需PA +PC 最小△ABP 周长才最小，由两点之间线段最短得出P 点在AC 上时最小，此时PA +PC =AC =6，从而即可得出答案.11．如图，在△AB C 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线.若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是.【答案】9.6【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP .过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示.∵S△ABC12BC•AD12AC•BQ，∴BQ12810BC ADAC9.6.故答案为：9.6.【分析】根据等腰三角形的三线合一得出AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BP＝CP，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，然后根据三角形的面积法，得出BC•AD =AC•BQ，根据等积式即可求出BQ的长.三、作图题：12．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘里养鱼，他每天早上要从住处P分别前往两个池塘投放鱼食，试问他怎样走才能以最短距离回到住地?(请用尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)【答案】解：答图如图所示，该养鱼专业户若要以最短距离回到住地，则他所走路线是：，P M N P.或P N M P【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【分析】分别作P点关于AB，AC的对称点，连接这两个对称点交AB于点M，交AC于点N，该养鱼专业户若要以最短距离回到住地，则他所走路线是：，或P N M P.P M N P13．如图，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点M， 使△PQM的周长最小。
八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题说课稿（新版）新人教版一. 教材分析八年级数学上册13.4课题学习“最短路径问题”是新人教版教材中的一项重要内容。
这一节内容是在学生掌握了平面直角坐标系、一次函数、几何图形的性质等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是最短路径问题的研究，通过实例引导学生了解最短路径问题的背景和意义，学会利用图论知识解决实际问题。
教材中给出了两个实例：光纤敷设和城市道路规划，让学生通过解决这两个实例来理解和掌握最短路径问题的求解方法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于平面直角坐标系、一次函数等知识有了一定的了解。
但是，对于图论知识以及如何利用图论解决实际问题还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生理解和掌握图论知识，并能够将其应用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图论知识解决最短路径问题的方法。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，让学生体验到数学在实际生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为图论问题，并利用图论知识解决。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来学习和掌握最短路径问题的求解方法。
2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，通过展示实例和动画效果，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示光纤敷设和城市道路规划的实例，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
2.新课导入：介绍图论中最短路径的概念和相关的数学知识。
3.实例分析：分析光纤敷设和城市道路规划两个实例，引导学生将其转化为图论问题。
4.方法讲解：讲解如何利用图论知识解决最短路径问题，包括迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法等。
13.4 课题学习：最短路径问题一、引言《2022-2023学年人教版八年级数学上册》中的第13.4课题涉及了最短路径问题。
在现实生活中，我们经常会面临需要选择最短路径的情况，例如规划交通线路、优化物流配送等。
掌握最短路径问题的解决方法对于我们的日常生活和学习都具有重要意义。
二、学习目标通过本节课的学习，我们将达到以下目标：1.了解最短路径问题的背景和应用场景；2.学习使用迪杰斯特拉算法解决最短路径问题；3.掌握最短路径问题的常见解法和解题思路。
三、教学重点•最短路径问题的概念和应用场景；•迪杰斯特拉算法的原理和实现过程；•最短路径问题的解题思路和常见解法。
四、教学难点•理解和运用迪杰斯特拉算法解决最短路径问题；•掌握最短路径问题的解题思路和常见解法。
五、教学内容与方法本节课的教学内容主要包括最短路径问题的概念和应用、迪杰斯特拉算法的原理和实现过程，以及最短路径问题的解题思路和常见解法。
为了提高学生的学习兴趣和参与度，我们采用了多种教学方法，包括：1.讲述法：通过对最短路径问题和迪杰斯特拉算法的介绍，引导学生了解最短路径问题的背景和应用；2.示例法：通过具体的案例，演示和讲解迪杰斯特拉算法的原理和实现过程；3.互动探究法：通过小组合作讨论、学生提问和思考等方式，引导学生积极参与课堂探究，加深对最短路径问题和解决方法的理解。
六、教学步骤步骤一：导入与复习通过回顾前几节课所学的图的基本概念和图的应用，帮助学生温习相关知识，并引出最短路径问题的概念和背景。
步骤二：引入最短路径问题通过实际生活中的例子，如规划交通路线和优化物流配送等，引导学生认识到最短路径问题的重要性，启发学生思考如何解决这个问题。
步骤三：介绍迪杰斯特拉算法详细讲解迪杰斯特拉算法的原理和实现过程，包括距离数组的初始化、选择最短路径、更新距离数组等步骤。
通过具体的案例演示，帮助学生理解算法的运行过程。
步骤四：解题思路和常见解法讲解最短路径问题的解题思路，包括建立图模型、确定起始点和终点、运用迪杰斯特拉算法等步骤。
