初中数学最短路径问题典型题型及解题技巧

初中数学——最短路径问题常见题型及解题方法
两点在直线同侧的最短路径问题
给出一条直线，A、B两点在直线的同侧，要在直线上找到一个点，使这个点到A点和到B点的距离最短。

步骤：
①找到A（或B）关于直线的对称点P
②连接PB（PA）交直线于O，点O就是所要找的点
造桥选址问题
A、B在一条河的两岸，要在河上造一座桥MN，使A到B的路径AMNB最短。

步骤：
①作出河的宽度M′N′
②将M′N′平移，使M′向A点平移，N′向A′点平移，即AA′=M′N′
③连接A′B与河岸b交于N点
④过N点作直线a的垂线，垂足为M 。

则MN就是桥的位置.
涉及到两个动点的最短路径问题
给出一个正方形，已知两个定点和两个动点，
要在直线上找到这两个动点，使这四个点所围的四边形周长最小。

步骤：
①找到两个定点关于正方形的边的对称点，
②连接两个对称点，和正方形边的两边有两个交点。

③交点就是动点的位置
例题：
（2015，广西玉林、防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．
思路：。

初中数学最短路径问题总结一、十二个基本问题概述问题一：在直线l 上求一点P，使得PA + PB 值最小 .作法：连接AB，与直线l 的交点即为P 点 .原理：两点之间线段最短 . PA + PB 最小值为AB .问题二：（“将军饮马问题”）在直线l 上求一点P，使得PA + PB 值最小 .作法：作点B 关于直线l 的对称点B＇，连接AB' 与l 的交点即为点P．原理：两点之间线段最短．PA + PB 最小值为AB' .问题三：在直线l1、l2 上分别求点M、N，使得△PMN 的周长最小．作法：分别作点P 关于两条直线的对称点P' 和P''，连接P'P''，与两条直线的交点即为点M，N．原理：两点之间线段最短．PM + MN + PN 的最小值为线段P'P'' 的长．问题四：在直线l1、l2 上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小．作法：分别作点Q 、P 关于直线l1、l2 的对称点Q' 和P' 连接Q'P'，与两直线交点即为点M，N.原理：两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段Q'P' + PQ 的长．问题五：（“造桥选址问题”）直线m∥n，在m、n 上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM + MN + BN 的值最小．作法：将点A 向下平移MN 的长度单位得A'，连接A'B，交n 于点N，过N 作NM⊥m 于M .原理：两点之间线段最短 . AM + MN + BN 的最小值为A'B + MN .问题六：在直线l 上求两点M , N （M 在左），使MN = a , 并使AM + MN + NB 的值最小 .作法：将点A 向右平移a 个长度单位得A'，作A' 关于直线l 的对称点A''，连接A''B 交直线l 于点N，将N 点向左平移a 个单位得M .原理：两点之间线段最短 . AM + MN + NB 的最小值为A''B + MN .问题七：在l1 上求点A，在l2 上求点B，使PA + AB 值最小 .作法：作点P 关于l1 的对称点P'，作P'B⊥l2 于点B，交l1 于点A .原理：点到直线，垂线段的距离最短 . PA + AB 的最小值为线段P'B 的长 .问题八：A 为l1上一定点，B 为l2 上一定点，在l2 上求点M，在l1上求点N，使AM + MN + NB 的值最小 .作法：作点A 关于l2 的对称点A' , 点B 关于l1 的对称点B'，连接A'B' 交l2 于点M，交l1 于点N．原理：两点之间线段最短．AM + MN + NB 的最小值为线段A'B' 的长．问题九：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最小．作法：连接AB，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P 点．原理：垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．| PA - PB | = 0 .问题十：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最大．作法：作直线AB，与直线l 的交点即为P 点．原理：三角形任意两边之差小于第三边．| PA - PB | ≤AB ，| PA - PB | 的最大值= AB . 问题十一：在直线l 上求一点P，使| PA - PB | 的值最大．作法：作点B 关于直线l 的对称点B' 作直线AB'，与直线l 的交点即为P 点．原理：三角形任意两边之差小于第三边．| PA - PB | ≤AB' ，| PA - PB | 的最大值= AB' . 问题十二：（“费马点”）△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P，使得PA + PB + PC 的值最小 .作法：所求点为“费马点”，即满足∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .以AB 、AC 为边向外作等边△ABD、△ACE，连接CD、BE 相交于点P，点P 即为所求 .原理：两点之间线段最短 . PA + PB + PC 的最小值= CD .二、“费马点”——到三点距离之和最小的点费马点的构造方法：①所给三点的连线构成三角形（△ABC），并且这个三角形的每个内角都小于120°；②如下图所示：A , B , C 是给定的三点，以AC 为边向外作正三角形得到点D , 以BC 为边向外作正三角形得到点E ,连接BD 和AE 交于点O，我们断言点O 就是“费马点” .费马点的证明方法：先证△AEC ≌△DBC .△AEC 绕点C 顺时针旋转60°，可得到△DBC，从而△AEC ≌△DBC .于是∠OBC = ∠OEC，所以O、B、E、C 四点共圆 .拓展知识：四点共圆判定方法若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆 .所以∠BOE = ∠BCE = 60°，∠COE = ∠CBE = 60°，于是∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°，同理可证∠AOC = ∠AOB = 120°，所以∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .将O 点看作是AE 上的点，随着△AEC 一起绕点C 顺时针旋转60°得到点O2 , 所以∠OCO2 = 60°，OC = O2C , OA = O2D ,所以△OCO2 是等边三角形，于是有OO2 = OC .所以BD = OA + OB + OC .。

八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。

以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：1.两点之间的最短距离：题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。

解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。

2.点到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。

解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。

3.直线到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。

解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短4.点到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。

解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。

5.圆到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。

解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。

6.多边形内的最短路径：题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。

7.立体几何中的最短路径：题型描述：在立体图形中给定两点A和B，求A到B的最短路径。

解题方法：通常需要将立体图形展开为平面图形，然后利用平面几何中的最短路径原理来求解。

在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：准确理解题目要求，确定需要求的是哪两点之间的最短距离。

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。

这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。

教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。

考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。

初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短” ，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图， A，B 在直线 L 的两侧，在 L 上求一点 P，使得 PA+PB 最小。

解：连接 AB, 线段 AB 与直线 L 的交点 P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短 .）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从 A、B 到它的距离之和最短．解：只有 A、C、B 在一直线上时，才能使AC+ BC 最小．作点 A关于直线“街道”的对称点 A ′，然后连接A ′B，交“街道”于点C，则点 C 就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图 A 是锐角∠ MON内部任意一点，在∠ MON的两边OM，ON上各取一点 B，C，组成三角形，使三角形周长最小 .解：分别作点 A 关于 OM ，ON 的对称点 A ′， A ″；连接 A ′， A ″，分别交 OM ，ON 于点B 、点 C，则点 B、点C 即为所求分析：当 AB 、 BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图， A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂A·直）解： 1.将点 B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接 AE 交河对岸与点M,则点 M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

证明：由平移的性质，得BN ∥ EM且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,MNEB所以 A.B 两地的距 :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 CD 处，连接 AC.CD.DB.CE, 则 AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ ACE 中，∵ AC+CE ＞AE, ∴ AC+CE+MN ＞ AE+MN, 即 AC+CD+DB ＞ AM+MN+BN所以桥的位置建在CD 处， AB 两地的路程最短。

初二数学最短路径技巧
在初二数学中，最短路径问题是一个常见的题型。

这类问题通常涉及到几何图形，如三角形、四边形等，要求找出从一点到另一点的最短路径。

解决最短路径问题的一般步骤如下：
1. 确定起点和终点：首先明确问题的起点和终点，这是解题的基础。

2. 构建几何模型：根据题目描述，将问题抽象化为一个几何模型。

这可能涉及到三角形、四边形、圆等几何图形。

3. 应用几何定理：根据几何定理，如勾股定理、三角形的三边关系等，来分析最短路径。

4. 求解最短路径：通过计算和推理，找出起点到终点的最短路径。

下面是一个具体的例子：
题目：一个池塘的四周是一条宽1米的马路，现在要在马路的四周每隔2米种一棵树。

四个角各种一棵，请问需要多少棵树？
分析：
1. 确定起点和终点：起点是马路的起点，终点是马路的终点。

2. 构建几何模型：将马路和池塘抽象为一个矩形，四个角各种一棵树。

3. 应用几何定理：由于四个角各种一棵树，因此最短路径是从一个角到其对角线的中点。

根据勾股定理，最短距离为 $\sqrt{2}$ 米。

4. 求解最短路径：由于每隔2米种一棵树，因此需要的树的数量为
$\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 = \sqrt{2}$ 棵。

通过以上步骤，我们可以求解出最短路径问题。

需要注意的是，这类问题需要灵活运用几何知识和定理，同时还需要一定的计算能力。

初中数学《最短路径问题》典型题型知识点:“两点之间线段最短"，“垂线段最短”,“点关于线对称"，“线段的平移"。

“饮马问题”,“造桥选址问题"。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直"，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求.（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时,才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′,然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B,C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″;连接A′，A″，分别交OM,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时,三角形的周长最小例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2。

连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

证明:由平移的性质，得BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, A·MNE所以A.B 两地的距：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC 。

初中数学《最短路径问题》典型题型知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。

（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

A·MNE证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。

初中数学最短路径问题典型题型复习1、初中数学《最短路径问题》典型题型学问点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。

〔依据：两点之间线段最短2、.〕二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在始终线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON 的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点3、B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够表达在一条直线上时，三角形的周长最小A·BMNE例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB 最短？〔假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直〕解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。

证明：由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+M4、N+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。