人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理中最短路径问题专题

《17.1勾股定理的应用——最短路径问题》教学设计教学目标：【知识与技能】1.掌握勾股定理的简单应用，探究最短路径问题；2.能够借助勾股定理解决有一定难度的实际问题.【过程与方法】经历运用勾股定理解决实际为题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.【情感、态度与价值观】1.培养学生运用所学只是解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力.通过与同伴交流，培养协作与交流的意识；2.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其它方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，形成积极参与数学活动的意识. 教学重点：1.能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题；2.探索空间与平面图形之间的关系.教学难点：熟练运用勾股定理解决最短路径的实际问题，增强学生的数学应用能力。

课前准备：制作圆柱、正方体、长方体等教具教学方法：互动式教学、合作探究学习教学过程：一、抛砖引玉一块长方形草地，在靠近路口的一角被踏出了一条“斜路”，类似的现象在我们校门前也有发生.请问同学们：（1）人们为什么要走“斜路”呢？（2）经测量，这条“斜路”的一端距离直角顶点3米，另一端距离直角顶点4米，你能根据之前所学过的知识告诉我：斜“路”比正路近多少米？学生会想立一个牌子，提醒人们，请你帮助填空：少走___米，践踏何忍？如果我们每步可以跨0.5米，那么这样可以少走几步？这么几步近路，值得吗？[设计意图]：本题不仅是勾股定理的实际应用题，而且还对学生进行了社会公德教育，体现了数学教学的德育意义.二、初露锋芒有一只小昆虫——森迪，来到了高为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱体的A5处，嗅到B 处的面包，可是它沿着圆柱体的表面怎样爬行才能很快地吃到面包？它爬行的最短路径长是多少呢？ （π的值取3 ）学生活动（一）：（1）森迪可行的路线可能不止一条，你能找出几种出来？（2） 自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱表面画出几条路线，你觉得那 条路最短呢？（3） 将圆柱侧面展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线长是什么？[设计意图]：“森迪觅捷径”问题，融知识性和趣味性于一体，有利于提高同学们的空间想象能力，培养同学们的探究意识和创新精神.三|、小试牛刀森迪爬呀爬，它来到了单位长度为1的正方体A 处，嗅到了放置在B 处的食物，这次它沿着怎样的路线爬行才能很快地吃到食物呢？爬行的最短路径长又是多少呢？同学们展开自己的空间想象能力，把正方体沿棱展开，把点A 及点B 所在的两个面放在同一个平面内，显然，从A 到B 的最短路线一定是从A 出发，经过正方体两个面到达B. 根据“两点之间，线段最短”，以便发现最短路线，因展法不同，路线有多种，但因为这是一个正方体，所以构造直角三角形，得到森迪爬行的最短路径都为[设计意图]：从不同情况的分析，学生可以感受到数学的学习需要全面的考虑问题，反过来，数学的学习又能帮助我们全面的考虑问题。

人教版八下数学第17章勾股定理微专题三立体图形中的最短线路问题1.如图，圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米（结果保留小数点后一位）？2.如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为( )A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm3.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽路不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且在离容器上部3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是( )A．13cm B．2√61cm C．√61cm D．2√34cm4.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为( )A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm5.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．6.如图①，圆柱的底面半径为4cm，圆柱高AB为2cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图①所示，设长度为l1．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图②所示，设长度为l2．请按照小明的思路补充下面解题过程：(1) 解：l1=AB+BC=2+8=10，l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2；∵l12−l22=．(2) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm，高AB为4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）①此时，路线1:l1=；路线2:l2=．②选择哪条路线较短？试说明理由．答案1. 【答案】答图略，将圆柱展开，侧面为矩形，∴AB=√(6π)2+102≈21.3(cm)．答：蚂蚁从点A爬到点B的最短路程约是21.3cm．2. 【答案】D3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】256. 【答案】(1) 96−16π2(2) ① 8；2√4+π2② ∵l12−l22=82−(16+4π2)=48−4π2=4(12−π2)>0．∴l12>l22，即l1>l2．所以选择路线2较短．【解析】(1) l1=AB+BC=2+8=10，l2=√AB2+BC2=√22+(4π)2=√4+16π2，∵l12−l22=102−(4+16π2)=96−16π2=16(6−π2)<0，∴l12<l22，即l1<l2，所以选择路线1较短．。

一、同步知识梳理1、勾股数：满足a 2＋b 2＝c 2的3个正整数a 、b 、c 称为勾股数．（1）由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a 2＋b 2＝c 2 ②都是正整数．两者缺一不可．（2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a 2＋b 2＝c 2 (但不一定是勾股数)，例如：3、4、5是一组勾股数，但是以0.3 cm 、0.4 cm 、0.5 cm 为边长的三个数就不是勾股数。

二、同步题型分析1、等腰三角形的周长是20 cm ，底边上的高是6 cm ，求它的面积.2、（1）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，DE 垂直平分AB ，求BE 的长.（2）在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，AE 平分∠CAE ，ED ⊥AB,求BE 的长.（3）如图，折叠长方形纸片ABCD ，是点D 落在 边BC 上的点F 处，折痕为AE ，AB=CD=6， AD=BC=10，试求EC 的长度.一、专题精讲知识总结：长方体：（1）长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ；（2）求如图所示的两个对顶点的最短距离d 。

E D A C B D EA CB例题1、如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 1的端点A 到达A 1，若圆柱底面半径为 6，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．题型四、台阶问题例题：如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm 、3cm 、2cm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 cm题型五、非对顶点问题例题1：如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．1、如图1，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm.如果用一根细线从点A 开始经过4个，米，一阵风吹来，红莲吹到一边，，求这里的水深是多少米？）学校旗杆顶端垂下一绳子，小明把它拉直到旗杆底端，发现绳子还多2米，6米，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 mA处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多PC，以BP为边作∠PBQ=60°之间的大小关系，并说明你的结论；的形状，请说明理由．C．110 D．1213、如图，P是正PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将，在四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠ACD ＝∠ADC ．AC>22BC CD ；△ABC 中，AB 上的高为CD ，BC)2与AB 2＋4CD 2之间的大小关系，并证明你的结论．。

专题一利用勾股定理解决最短路线问题【类型1】平面图形中的最短线路问题1．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？2．高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2km，BB′＝4km，且A′B′＝8km，要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短，求这个最短距离．3．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP+BP 为最短，求EP+BP的最短距离．4．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离； 4.6)（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）5．如图所示，永定路一侧有A、B两个送奶站，C为永定路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AC⊥BC，∠1＝30°．（1）连接AB，求两个送奶站之间的距离；（2）有一人从点C处出发沿永定路边向右行走，速度为2.5km/h，多长时间后这个人距B送奶站最近？并求出最近距离．6．如图：一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别是50cm ，30cm ，10cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只壁虎，它想到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短路线的长是多少（ ）A ．13cmB ．40cmC ．130cmD ．169cm7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？8．如图，长方体的长为4cm ，宽为2cm ，高为5cm ，若用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线的长度最短为 cm ．9．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．【类型2】台阶中的最短线路问题 【类型3】长方体（正方体）中的最短线路问题10．如图，长方体的长、宽、高分别为8，4，5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，求蚂蚁爬行的最短路径的长的平方．11．如图，已知圆柱的高为80cm ，底面半径为20cm π，轴截面上有两点P 、Q ，40PA cm =，30BQ cm =，则圆柱的侧面上P 、Q 两点的最短距离是 ．12．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为（ ）cm （杯壁厚度不计）．A ．14B ．18C ．20D ．25【类型4】圆柱体中的最短线路问题13．如图，一透明圆柱形无盖容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处．（1）若蜂蜜固定不动，求蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短路线长；（2）若该蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以0.5cm/s的速度沿杯内壁下滑，它便沿最短路径在8秒钟时吃到了蜂蜜，求此蚂蚁爬行的平均速度．参考答案1．解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则从A延AP到P再延PB到B，此时AP+BP＝A′B，在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A B km'，17答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km．2．解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点C，再连接CB，交直线MN于点P，则此时AP+PB最小，过点B作BD⊥CA延长线于点D，∵AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km，∴AC＝4km，则CD＝6km，在Rt△CDB中，=，CB km10()则AP+PB的最小值为：10km．3．解：连接DE，交直线AC于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于直线AC对称，∴DE的长即为EP+BP的最短距离，∵AE＝3，EB＝1，∴AD ＝AB ＝AE +BE ＝4，5DE ∴==．4．解：（1）过点C 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E 点，120ABC ∠=︒，20BC =，10BE ∴=，CE =在ACE ∆中，28100300AC =+，∴20 4.692AC km ==⨯=；（2）乘客车需时间18011603t ==（小时）； 乘列车需时间29220111804090t =+=（小时）； ∴选择城际列车．5．解：（1）∵AC ＝8km ，BC ＝15km ，AC ⊥BC ，∴AC 2+BC 2＝AB 2，17AB km ==，（2）过B 作BD ⊥永定路于D ，∵△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°，∵∠1＝30°，∴∠BCD ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝60°，∴∠CBD ＝30°，117.5()22CD BC km ∴===， 7.5 2.53()h ÷=，3∴小时后这人距离B 送奶站最近． 2153752=． 6．解：将台阶展开，如图，因为BC ＝30×3+10×3＝120，AC ＝50，所以AB 2＝AC 2+BC 2＝16900，所以AB ＝130（cm ），所以壁虎爬行的最短线路为130cm ．故选：C ．7．解：将台阶展开，如下图，因为AC ＝3×3+1×3＝12，BC ＝5，所以AB 2＝AC 2+BC 2＝169，所以AB ＝13（cm ）， 所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm ．答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm ．8．解：将长方体的四个侧面展开如图，连接A、B，根据两点之间线段最短，=AB cm13故答案为：13．9．解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，10()==；AB cm如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6，=．)cm故答案为：10；10．解：如图（1）AB2＝（8+4）2+52＝169；如图（2）AB 2＝82+（5+4）2＝145．（3）如图（3）AB 2＝42+（5+8）2＝185．∵145＜169＜185，∴蚂蚁爬行的最短路径的长的平方为145．11．解：将圆锥的侧面展开，如图所示： 连接PQ ，过点Q 作QH AP ⊥于点H ， 底面半径为20cm π，2020AB cm ππ∴=⨯=，40PA cm =，30BQ cm =，10PH cm ∴=，在Rt PQH ∆中，PQ ．故答案为：．12．解：如图：将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A '， 连接A F '，此时点A ’、 F 、B 在同一条直线上， 则AF BF +为蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离，即A B '的长度，20()A B A cm '==． ∴蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为20cm ， 故选：C ．13．解：（1）如图所示，圆柱形玻璃容器，高12cm ，底面周长为24cm ， 12AD cm ∴=，)AB cm ∴==．答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是；（2）12AD cm =，∴蚂蚁所走的路程20=， ∴蚂蚁的平均速度208 2.5(/)cm s =÷=．。

第17章勾股定理专项训练专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换（平移或轴对称）进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程（距离）•用计算法求平面中最短问题1 •如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B,为了避免拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________________ 步路（假设2步为i m，却踩伤了花草.2•小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站 B.设A吐80 km, BO20 km,/ ABC= 120° .请你帮助小明解决以下问题：⑴求A, C之间的距离.（参考数据.21"4.6）（2）若客车的平均速度是60 km/h,市内的公共汽车的平均速度为40 km/h, “武黄城际列车”的平均速度为180 knYh,为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由.（不计候车时间）（第2题）用平移法求平面中最短问题3. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm, 30 cm, 10 cm A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬（）A. 13 cmB. 40 cm4. 如图，已知/ B=Z C=Z D=Z E= 90°，且A吐CD- 3, BO 4, DE= EF=2,则AF的长是 __________ .用对称法求平面中最短冋题5. 如图，在正方形ABC［中, AB边上有一点E, AE= 3，E吐1,在AC上有一点P,使EP+ BP最短，求EP+ BP的最短长度.6•高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为AA = 2 kn, BB = 4 kn, A B'= 8 km要在高速公路上A'、B' 之间建一个出口P,使A、B两城镇到P的距离之和最小.求这个最短距离.BA■7M A1'h r f N（第6题）用展开法求立体图形中最短问题类型1圆柱中的最短问题1rJ I(第7题)7•如图，已知圆柱体底面圆的半径为—，高为2, AB CD分别是两底面的n直径•若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是____________ (结果保留根号)•类型2圆锥中的最短问题8. 已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1) 此图形的名称为 _______ .(2) 请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个_________ .(3) 如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4) SA的长为10,侧面展开图的圆心角为90°,请你求出蜗牛爬行的最短路程.类型3正方体中的最短问题9. 如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C处.(1) 请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.类型4长方体中的最短问题10. 如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm 8 cm 30 cm,在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.（第10题）专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律•利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：⑴运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；⑵ 在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角形的三边长用数或含有x 的代数式表示出来；⑶利用勾股定理列方程求出x;⑷进行相关计算解决问题.巧用全等法求折叠中线段的长1. （中考泰安）如图①是一直角三角形纸片，/ A= 30°, BO4 cm将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD,如图②，再将图②沿DE折叠，使点A 落在DC 的延长线上的点 A 处，如图③，贝朋痕DE 的长为（）巧用对称法求折叠中图形的面积2. 如图所示，将长方形 ABCD 沿直线BD 折叠，使点C 落在点C'处，BC 交AD于 E ，AD= 8，A 吐4,求厶BED 的面积.巧用方程思想求折叠中线段的长 3. 如图，在边长为6的正方形ABCD 中, E 是边CD 的中点，将△ ADE 沿 AE 对折至△ AFE 延长EF 交BC 于点G 连接AG.⑴ 求证：△ ABG^^ AFG ⑵求BG 的长.（第3题）巧用折叠探究线段之间的数量关系4. 如图，将长方形ABCC 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交ADC. 2「2 cmD. 3 cm（第2于点E,交BC于点F,连接CE.(1)求证：AE= AF= CE= CF;b, c三者之间的数量关系式.⑵设AE= a, ED= b, DOc,请写出一个a,专训3.利用勾股定理解题的7种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为jn（n为正整数）的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程（组）,有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题.利用勾股定理求线段长1. 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，/ ABG90°，点D为AC边的中点，过D点作DEIDF,交AB于E,交BC于F,若AE= 4, FO3,求EF的长.利用勾股定理作长为冷的线段2. 已知线段a,作长为,13a的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为.^3a.利用勾股定理证明线段相等3. 如图，在四边形ABFC中, Z ABC= 90°, CDLAD AD = 2AW—CD.求证: AB= BC.利用勾股定理证明线段之间的平方关系4. 如图，/ C= 90°, AM= CM MPLAB于点P. 求证：B P=B C+A P.利用勾股定理解非直角三角形问题5. 如图，在△ABC中，/利用勾股定理解实际生活中的应用6•在某段限速公路BC上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行50驶速度不能超过60 km/h即§ m/s，并在离该公路100 m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上.另外一条公路在y轴上，AO 为其中的一段.（1）求点B和点C的坐标；⑵一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速.（参考数据：,：3~ 1.7）（第6利用勾股定理探究动点问题7.如图，在Rt△ ABC中，/ ACB= 90°, A吐5 cm, AO3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒.⑴求BC边的长；⑵当厶ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；(3) 当厶ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值.答案专训11. 4(第2题)2. 解：⑴如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.vZ ABC= 120°，A Z BCE= 30°.在Rt△ CBE中，v BO20 km,二BE= 10 km由勾股定理可得CE= 10 3 km在Rt△ ACE中, v AC= AU+ CE= (AB+ BE)2+ CE= 8 100 + 300= 8 400，•••AC= 2^/21^20X 4.6 = 92(km).80 i⑵选择乘“武黄城际列车” •理由如下：乘客车需时间t i=器=13（h），乘92 20 1“武黄城际列车”需时间t2-180+40= i90（ h）.1 1 一T 13>1g0，A选择乘“武黄城际列车”._ s~\（第3题）3. C点拨：将台阶面展开，连接AB如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线.因为BC= 30X 3+ 10X 3= 120（cm），AC= 50 cm,在Rt△ ABC中，根据勾股定理，得AB=AC + BC= 16 900,所以A吐130 cm所以壁虎至少爬行130 cm4. 105. 解：如图，连接BD交AC于O,连接ED与AC交于点P,连接BP.（第5题）易知BDLAC,且BO= OD 二BF= PD 贝U BF+ EF= ED,此时最短.T AE= 3 , AD= 1 + 3 = 4,由勾股定理得E D=A E + A D= 32+ 42= 25 = 52,••• ED= BP+ E吐5.6. 解：如图，作点B关于MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P即为所建的出口 .此时A B两城镇到出口P的距离之和最小,最短距离为AC的长.作ADL BB 于点D,在Rt△ ADC中, AD= A B'= 8 km, DC= 6 km•I AC= ；A D+D C= 10 km,• ••这个最短距离为10 kmB* **«* = *«M Jkw"c（第6题）7. 2 2点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA D D,连接2 1 AC如图•线段AC就是小虫爬行的最短路线•根据题意得A吐一X2n X- = 2. n 2在Rt△ ABC中，由勾股定理，得AC = AB+ BC = 22+ 22= 8,二AO -'8 = 2 . 2.J )c p1J .fJ*A£i J(第7题)8 •解：⑴圆锥⑵扇形⑶把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线.⑷在Rt△ ASC中，由勾股定理，得AC = 102+ 52= 125,二AC= “25= 5 ,5 故蜗牛爬行的最短路程为5 5.9. 解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC -和AG.⑵如图，AC 1=『+( 4+ 4) 2= 4 5.AC= / (4 + 4) 2+ 42= 4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是 4.5.10. 解：分为三种情况：(1)如图①，连接EC在Rt△ EBC中，E吐12+ 8 = 20(cm)，BC= *X 30= 15(cm).由勾股定理，得EC= ^202+ 152= 25(cm).⑵如图②，连接EC.根据勾股定理同理可求CE= ,673 cm>25 cm⑶如图③，连接EC.根据勾股定理同理可求CE=p 122+(30+ 8+ 15) 2= Q2 953( cm)>25 cm综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm（第10题）专训21. A2. 解：由题意易知AD// BC •••/2=73.•••△BC D与厶BCD关于直线BD对称，•••7 1 = 7 2. •••/ 1 = 7 3.二E吐ED.设E吐x，贝U ED= x, AE= AD- ED= 8 -x.在Rt△ ABE中，AB + AE = BE,•42+ (8 —x)2= x2. • x = 5.1 1•DE= 5. • S^BED= ~DE4 AB=：X 5X 4= 10.2 2解题策略：解决此题的关键是证得ED= EB然后在Rt△ ABE中，由BE= AB + A E,利用勾股定理列出方程即可求解.3. (1)证明：在正方形ABCD中, AD= AB 7 D=7 B= 90°.•••将△ ADS沿AE对折至△ AFE•AD= AF, DE= EF,7 D=7 AFE= 90°.•AB= AF,7 B=7 AFG= 90°.又••• AG= AG • Rt△ AB® Rt△ AFGHL).(2)解：ABG^^AFQ • BG= FG.设BG= FG= x,则GC= 6 —x ,••• E为CD的中点，•CE= DE= EF= 3 ,•EG= 3 + x.•在Rt△ CEG中 , 3 + (6 —x) = (3 + x),解得x= 2.•BG= 2.4. (1)证明：由题意知,AF= CF, AE= CE, 7 AFE=7 CFE 又四边形ABCD是长方形,故AD// BC,• 7 〈CFE.：/ AFE=7 AEF.•i AE= AF= EC= CF.(2)解：由题意知，AE= EO a, ED= b, DO c,由/ D= 90°知，E D + DC =CE,即卩b2+ c2= a2.专训3（第1题）1. 解：如图，连接BD.•••等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，••• BD丄AQ BD平分/ ABC等腰三角形三线合一)，二/ ABD=Z CBD= 45 又易知/ C= 45°,•••/ ABD=Z CBD=Z C.••• BD= CD.v DEI DF, BDL AC，•••/ FDC^Z BDF=Z EDB^Z BDF.•••/ FDC=Z EDB.在厶EDB与△ FDC中,Z EBD=Z C,BD= CDZ EDB=Z FDC•••△ EDB^A FDCASA,••• BE= FO 3.二A吐7,贝U BC= 7.二BF= 4.在Rt△ EBF中，EF= BE + BF= 32+ 42= 25,••• EF= 5.2. 2a；3a3. 证明：v CDL AD, •••/ ADC= 90°,即厶ADC是直角三角形. 由勾股定理，得AD+ cD= A C.又v A D= 2AB —cD,••• A D+C D = 2AB.••• AC= 2AB.VZ ABC= 90°,.・仏ABC是直角三角形.由勾股定理，得A W+B(C=A C,:.A^+B C = 2AB,故B(C= A B,即卩A吐BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可.4. 证明：如图，连接BM.V PML AB,•••△AMP均为直角三角形.••• B E+P M = B M, A P+P M= A M.同理可得B C+C M= B M.••• B0+ P M = B C+C M.又V CM= AM•••cM= A M=A P+P M.••• B0+ P M = B C+A P+P M.••• B0= B C + A P.5. 思路导引：过点A作AD丄BC于D,图中出现两个直角三角形一一Rt△ACD 和Rt△ ABD这两个直角三角形有一条公共边AD借助这条公共边可建立起两个直角三角形之间的联系解：如图,过点A作ADL BC于点D.•••Z ADC 90°又VZ C= 60° ,:丄 CA9 90°—/ C= 30°,二CD= qAO 5.•••在Rt△ ACD中, AD= AC—CD = T0f 5 3.•••在Rt△ ABD中，BD= AB —AD = 11.•BO B» CD= 11 + 5= 16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题.6. 思路导引：⑴ 要求点B和点C的坐标，只要分别求出0B和0C的长即可. (2)由(1)可知BC的长度，进而利用速度公式求得汽车在这段限速路上的速度，50并与3比较即可.解：⑴在Rt△ AOB中,v/ BA6 60°,1•/ AB0= 30°,二0A= 2AB.•/ 0A= 100 m •- AB= 200 m由勾股定理，得0吐AB —0A= 2002—1002= 100 3( n).在Rt△ A0C中, v/ CA0= 45°,•/ 0C=/ 0A(= 45°.•0C= 0A= 100 m • B( —100 3, 0) , C(100, 0).⑵•这辆汽车超速了.7. 解：(1)在Rt△ ABC中, BC= A B— AC= 52—32= 16,• BC= 4 cm(2)由题意知BP= t cm,①如图①，当/ APB为直角时，点P与点C重合，BP= BC= 4 cm,即t = 4;②如图②，当/ BAP为直角时，B吐t cm, CF= (t —4)cm, AC= 3 cm,在Rt△ ACP中, AP= 32+ (t —4)2,在Rt△ BAP中，AB + AP = BP,即52+ [32+ (t —4)2] = t2,解得t =孚⑶①如图①，当B 吐AB 时，t = 5;②如图②，当 A 吐AP 时，B 吐2BO8 cm, t = 8;（第7题⑶）③ 如图③，当B 吐AP 时，A 吐B 吐t cm, CP= |t — 4| cm AO3 cm,综上所述：当△ ABP 为等腰三角形时, AH打 <■①塚 ? 尸 5 （第7题⑵）t = 4 或 t 25 ~4 故当△ ABP 为直角三角形时,在 Rt △ ACP 中, AP = AC + CP ,所以 t 32 + (t — 4)2,解得 t = 25 J.。

专题17.4 勾股定理中最短路径问题专项训练（30道）【人教版】1．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（）A．√14B．√18C．√20D．√262．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．√208cm D．100cm3．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B离点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是（）A．√21B．5C．√29D．√374．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）A．3√17cm B．10cm C．5√5cm D．√113cm5．如图，一圆柱体的底面圆周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（）A．2√29B．4π√π2+25C．2√25π2+4D．146．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（）A．√73厘米B．10厘米C．8√2厘米D．8厘米7．国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（）A．√7米B．√11米C．√13米D．5米8．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（）（π取3）m．A．30B．28C．25D．229．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18B．15C．12D．810．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A 到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm二．填空题（共10小题）11．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝16m，宽AD＝9m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从B点爬到D点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走m的路程．12．在一个长6+2√2米，宽为4米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图的高是√2米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是米．13．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是120cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是cm．14．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是cm．15．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上．（1）若绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．（2）若绕n周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．16．如图，长方体盒子的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 距离C 点5cm ，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A 到点B ．（1）蚂蚁爬行的最短距离是 cm ；（2）若从C 处想盒子里面插入一根吸管，要使吸管不落入盒子中，吸管应不少于 cm ．17．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池的示意图，该U 型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32πm 的半圆，其边缘AB ＝CD ＝15m ，点E 在CD 上，CE ＝3m ，一滑板爱好者从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离约为 m ．（边缘部分的厚度忽略不计）18．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD ＝80cm ，高AB ＝60cm ，水深AE ＝40cm ．在水面上紧贴内壁G 处有一块面包屑，G 在水面线EF 上，且EG ＝60cm ，一只蚂蚁想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G 处吃面包屑．则蚂蚁爬行的最短路线为 cm ．19．边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是cm．20．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是分米．三．解答题（共10小题）21．如图是一个玻璃容器，在ABCD面的外面一点E处有一个蚂蚁，里面F点处有一小块食物，蚂蚁要想爬到里面去吃食物，请你帮它选择一条最近的爬行路线．（保留作图痕迹）22．在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案：①A→B→C→E；②A→C→E；③A→D→E．（1）三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是；最长的方案是．（2）请根据数学知识说明理由．23．如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为m的木棒；（2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要m；（3）如图3，长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，假设昆虫甲从盒内顶点C1以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲？24．如图，已知圆柱底面的直径BC＝8，圆柱的高AB＝10，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是．（2）求该长度最短的金属丝的长．25．如图，长方体的长BE＝30cm，宽AB＝20cm，高AD＝40cm，点M在CH上，且CM＝10cm．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？26．如图，长方体的长AB＝5cm，宽BC＝4cm，高AE＝6cm，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发到点G处．蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱EH后到达G处（即A→P→G），蚂蚁乙的行走路径S乙为：翻过棱EF后到达G处（即A→M→G），蚂蚁丙的行走路径S丙为：翻过棱BF后到达G 处（即A→N→G）．（1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？27．如图①所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面ABB1A1和面A1B1C1D1；②沿面和ABB1A1和面BCC1B1；③沿面AA1D1D 和面A1B1C1D1．（1）图②为第一种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形；（2）若AB＝4，BC＝2，BB1＝1，请通过计算，判断第几种方式所走路线最短？最短路线长为多少？（3）若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a＞b＞c，请直接写出最短路线的长（用a，b，c的代数式表示）．28．吴老师在与同学们进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表面爬到点C1处．29．图（1）为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图（2）．已知展开图中每个正方形的边长为1．（1）求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条．（2）试比较立体图中∠ABC与平面展开图中∠A′B′C′的大小关系．30．勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：（1）用语言叙述勾股定理；（2）选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理；（3）利用勾股定理来解决下列问题：如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上与A点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少？。

小专题（一）：利用勾股定理解决最短路径问题【例】如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π取3）【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形（即立体图形的平面展开图），把圆柱沿着过A点的直线AA'剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB这条路线走.【方法指导】几何体中最短路径基本模型如下：1.（2018·黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为_____________cm . （杯壁厚度不计）2.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24dm,3dm,3dm ，点A 和点B 是这个台阶上两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是_____________.3.如图，长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm .（1）点1A 到点2C 之间的距离是多少？（2）若一只蚂蚁从点2A 爬到1C ，则爬行的最短路程是多少？【例】解：需要爬行的最短路程是15cm . 变式训练1.202.30dm3.解：（1）Q 长方体的高为5cm ，底面长为4cm ，宽为1cm ，222222124117(cm).C 5(17)A C A ∴=+=∴=+=42(cm).（2）如图1所示，22215552(cm)A C =+=.如图2所示，22219182(cm)A C =+=.如图3所示，222164213(cm).5221382,A C =+=<<∴Q 一只蚂蚁从点2A 爬到1C ，爬行的最短路程是52cm .。