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比率的区间估计

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区间估计

区间估计

常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。

总体参数的区间估计

总体参数的区间估计

三、总体参数的区间估计
图5-10 “探索”对话框
图5-11 “探索:统计量”对话框
三、总体参数的区间估计
单击“统计量”按钮，弹出“探索：统计量”对话框，如图5-11所示。 该对话框中有如下四个复选框： （1）描述性：输出均值、中位数、众数、标准误、方差、标准差、极小值 、极大值、全距、四分位距、峰度系数和偏度系数的标准误差等。此处能够设 置置信区间，默认为90%(α=0.1),可根据需要进行调整。 （2）M 最大似然确定数。 （3）界外值：输出五个最大值和五个最小值。 （4）百分位数：输出第5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%位数 。
三、总体参数的区间估计
【例5-17】 某餐馆随机抽查了50位顾客的消费额（单位：元）为 18 27 38 26 30 45 22 31 27 26 35 46 20 35 24 26 34 48 19 28 46 19 32 36 44 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 27 在90%的概率保证下，采用点估计和区间估计的方法推断餐馆顾客的平均消 费额。 解：执行“分析”→“描述统计”→“探索”命令，打开“探索”对话框。由于本例只 有消费额一个变量，且需要对消费额进行探索性分析，故选中左侧列表框中的“消 费额”选项，将其移入“因变量列表”框中，如图5-10所示。
解：已知n=31,α=0.01,=10.2;σ=2.4,z0.005=2.58，由于总 体方差已知，为大样本，可以利用式（5-23）来进行计算。
即（9.088，11.312 该学生每天的伙食费在显著性水平为99%时的置信区间为（ 9.088，11.312）。

《统计学》第10讲 参数估计(复习+习题)

《统计学》第10讲 参数估计(复习+习题)
22
（二）方差的区间估计
1.总体方差的区间估计
对于来自正态总体的容量为n的简单随机样本，统 计量 n 1s 2 / 2 服从自由度为 n 1 的卡方分布。
n 1 s 2

2
~ 2 n 1
总体方差在1- 置信水平下的置信区间为
2 n 1 s
2
2 2 2 2 s1 s2 s1 s2 , F 2 F1 2
F分布两个自由度
24
（三）总体比率区间估计
1.单样本比率的区间估计
当样本容量充分大时，样本比率p近似服从以总体比
率P为数学期望，以P(1-P)/n为方差的正态分布。
1. 样本比率的数学期望
E (p) P
2. 样本比率的方差
P (1 P ) n
n1 n2
18
( n1 3 0， n 2 3 0 )
大样本，方差已知（两个总体分布没有要求）
1. 两个样本均值之差 x 1 x 2 的抽样分布服从正态
分布，其数学期望为两个总体均值之差
E (x1 x 2 ) 1
2
2. 方差为各自的方差之和

2 x1 x 2
12 22 n1 n2
•
分别从两个独立的随机总体中抽取容量为n1和n2的 独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比 率之差的抽样分布可用正态分布来近似。 数学期望为
• •
E ( p 1 p 2 ) P1 P 2
方差为各自的方差之和

27
2 p1 p 2
P1 (1 P1 ) P2 (1 P2 ) n1 n2

2
2 2 x n

区间估计的基本原理证明

区间估计的基本原理证明

区间估计的基本原理证明区间估计是统计学中常用的一种估计方法，用于估计总体参数的范围。

其基本原理是根据样本数据得出的样本统计量，结合概率分布的性质，构造一个参数的置信区间，以达到对总体参数的估计。

设总体参数为θ，样本均值为x̄，标准差为σ，样本大小为n，置信水平为1-α。

则根据中心极限定理可以知道，当样本量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

由此可以构造一个总体参数θ的置信区间，使其包含真实总体参数的概率为1-α。

下面我们来推导一下区间估计的基本原理。

1.样本均值的抽样分布近似正态分布：根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

即：(x̄-θ)~N(0,σ²/n)2.构造总体参数θ的置信区间：根据正态分布的性质，可以得出：P(-z_(α/2)≤(x̄-θ)/σ√n≤z_(α/2))=1-α其中，z_(α/2)是标准正态分布的上侧面积为α/2的临界值。

即P(x̄-z_(α/2)σ√n≤θ≤x̄+z_(α/2)σ√n)=1-α这可以被理解为，以样本均值为中心，取样本均值±一个标准误差的范围作为置信区间，使得这个区间内的极端情况的概率为1-α。

3.构造置信区间的具体步骤：根据前面的推导，可以得到一个常用的构造置信区间的公式：x̄±z_(α/2)σ√n其中，x̄是样本均值，z_(α/2)是标准正态分布的上侧面积为α/2的临界值，σ是总体标准差，n是样本容量。

4.区间估计的实例：为了更好地理解区间估计的基本原理，我们可以通过一个实例来进行说明。

假设学校的学生身高总体均值未知，从该校随机抽取了100名学生，测量身高，得到样本均值为170cm，样本标准差为5cm。

现在我们希望利用这个样本来估计该校学生的平均身高。

假设置信水平为95%（α=0.05），则α/2=0.025、根据正态分布的性质，可以得到z_(0.025)=1.96（查表得到）。

根据上面的公式，可以得到置信区间为：170±1.96*(5/√100)=170±1.96*0.5=(169.02,170.98)因此，我们可以以95%的置信水平估计该校学生的平均身高在169.02cm和170.98cm之间。

定量分析方法(9-2)

定量分析方法(9-2)

四、关于比率的区间估计设总体p p B X ),,1(~未知， 要对p 进行估计。

又设n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本。

由于：)1,0(~)1(N np p p P s -- （近似条件：()51,5≥-≥p n np ）给定小概率()01.0,05.0α，查标准正态分布表，求出临界值2αZ ，使得：()αααααααα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≤≤--⇒-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤-⇒=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--1)1()1( 1)1( 1 22222n p p Z P p np p Z P P Z n p n p P Z P Z n p p p P P s s s s即：p 的置信区间为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--n P P Z P n P P Z P s s s s s s )1(,)1(22αα （近似！） 类似地，可建立置信度为()%1001α-的置信下界、置信上界如下：nP P Z P U n P P Z P L s s s s s s )1()1(-+=--=αααα例：从一批电子元件中随机抽取100只进行检验，测得一级品率为90％，以99％的置信水平估计该批元件一级品率的置信区间。

解：由中心极限定理知，当⎪⎭⎫⎝⎛-≥n p p p N P n s )1(,~,30时100,90.0==n P s58.201.02=−→−=ααZ从而：p 的置信区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯-1001.09.058.290.0,1001.09.058.290.0[]977.0,823.0=即：该批元件的一级品率p 位于0.823与0.977之间，其可靠性为99％。

五、样本容量的测定1） μ对X 的估计误差：nZ X σμα⋅≤-2（σ已知！）若使误差控制在0e ±，则：222222e Z n e Z n e nZ X σσσμααα⋅≥⇒⋅≥⇒≤⋅≤-2） 同样地： ()021e np p Z p P s ≤-⋅≤-α()2221e p p Z n -⋅≥α如果p 已知，或由先验知识已知p 的数值，则直接代入即可；否则，取5.0=p ，保证)1(p p -的数值最大。

现代心理教育与统计学 第三版复习资料(张厚粲)

现代心理教育与统计学 第三版复习资料(张厚粲)

第一章绪论1.描述统计（descriptive statistics)主要研究如何将实验或调查得到的大量数据进行图表整理或简缩成有代表性的数字（即统计量数），使其能客观、全面地反映这组数据的全貌，将其所提供的信息充分显现出来，为进一步统计分析和推论提供可能。

2.描述统计只限于对试验样本所得观测数据的统计分析，不考察其总体的特性。

3.推论统计(inferential statistics)是以描述统计为基础，从而解决由局部到全体的推论问题，即通过对一组统计量的计算分析，推论该组数据所代表的总体特性。

4.变量(variables)：一个可以取不同数值的物体属性/事件。

5.事前无法预期结果的变量——随机变量6.观测值（原始取值）：事后测定的某一结果。

7.概念理解：[涉及“实验”] 自变量（及其各水平）& 因变量（及相应的反应指标）；[涉及“调查”，粗略对应于] 属性变量& 反应变量8.计数资料(count data)：计算个数的数据，（如人口数，学校数，男女数等）9.计量资料(measurement data)：借助于一定的测量工具或一定的测量标准而获得的数据（如分数，身高，体重，IQ）10.称名数据(nominal data)：只区分属性或类别上的不同，只可计数，不能排序（性别，学科，职业）11.等级/顺序数据(ordinal data)：可排序，但无相等单位，不能加减。

（等级评定，受教育程度，职称）12.等距数据(interval data)：具有相等单位，无绝对零的数据，能加减不能乘除。

13.比率数据(ratio data)：既表明量的大小，又具有相等单位，可以加减乘除，具有绝对零点。

14.称名数据和顺序数据合称为离散数据。

15.等距数据和比率数据合称为连续数据。

16.离散数据(discrete data)又称为不连续数据，这类数据在任何两个数据点之间所取的数据的个数是有限的。

17.连续数据(continuous data)指任意两个数据点之间都可以细分出无限多个大小不同的数值。

区间估计和误差计算

（二）区间估计区间估计是指用样本指标、抽样误差和概率所构造的区间以估计总体指标存在的可能范围。

在进行区间估计的时候，根据所给定的条件不同，总体平均数和总体成数的估计有两条模式可供选择： 第一套：给定置信度要求，去推算抽样误差的可能范围。

第二套：根据已给定的抽样误差范围，求出概率保证程度。

1. 总体平均数的区间估计按照第一套模式，根据置信度F t ()的要求，估计极限抽样误差的可能范围)(∆∆∆或p x ，并指出估计区间（置信区间）。

具体步骤是：（1）抽取样本，并根据调查所得的样本单位标志值，计算样本平均数x ；计算样本标准差；在大样本下用以代替总体标准差推算抽样平均误差μ。

（2）根据给定的置信度F t ()的要求，查《正态分布概率表》，求得概率度t 值。

（3）根据概率度t 和抽样平均误差μx 计算极限抽样误差的可能范围μxx t =∆，并据以计算置信区间的上下限。

例14 麦当劳餐馆在7周内抽查49位顾客的消费额（元）如下，求在概率95%的保证下，顾客平均消费额的置信区间。

15 24 38 26 30 42 1830 25 26 34 44 20 3524 26 34 48 18 28 4619 30 36 42 24 32 4536 21 47 26 28 31 4245 36 24 28 27 32 3647 35 22 24 32 46 26第一步：根据样本计算样本平均数和标准差：x x n ==∑32 （元） S n x x ==-∑2945().（元），用样本标准差代替总体标准差σ=945.（元） 样本平均误差 x n μσ===94549135..（元）第二步：根据给定的置信度F t ()=95%，查概率表得t =196. 第三步：根据概率度t 和抽样平均误差推算抽样极限误差的可能范围。

65.235.196.1=⨯==∆μxx t （元） 将μxx ,的值代入区间估计公式 )(65.34)(35.2965.23265.232元元≤≤+≤≤-+≤≤-∆∆X X x X x xx计算结果表明，以95%的概率保证，麦当劳餐馆顾客消费额在29.35~34.65元之间。

比率估计法

比率估计法简介在统计学中，比率估计法是一种用来估计总体比率的方法。

比率是指总体中某个特定类别的个体数与总体规模之间的比值。

比如，在人口统计学中，我们关心某个国家的男性和女性的比例；在市场调研中，我们关心某个产品的市场占有率。

比率估计法基于从总体中随机抽取样本的方法。

通过对样本的观察，我们可以利用样本中的比例来估计总体的比例。

比率估计法有多种形式，其中最常用的是点估计和区间估计。

点估计点估计是指根据样本数据，直接计算出总体比率的估计值。

估计值通常以样本比率的形式给出。

样本比率是指样本中满足某个条件的个体数与样本规模之间的比值。

点估计的优点是简单直接，可以通过简单的计算得到一个估计值。

但是，点估计的缺点是没有给出总体比率的不确定性程度，无法提供置信区间。

点估计的计算公式如下：p̂=x n其中，p̂为总体比率的估计值，x 为样本中满足条件的个体数，n 为样本规模。

区间估计区间估计是指根据样本数据，给出总体比率的估计区间。

估计区间包含了总体比率的真实值的可能范围。

区间估计的优点是可以提供总体比率的不确定性程度，使得我们可以评估估计值的可靠程度。

区间估计的缺点是计算较为复杂，需要使用统计方法进行推导。

区间估计的计算过程通常使用正态分布或二项分布进行，具体方法需要根据样本的具体情况进行选择。

在具体计算时，需要给定一个置信水平，通常为95%或99%。

置信水平是指给定样本数据，重复进行抽样和估计的过程中，估计区间包含真实值的比例。

区间估计的计算公式如下：p̂±Z √p̂(1−p̂)n其中，p̂为总体比率的估计值，Z 为与置信水平相对应的分位数，n 为样本规模。

总结比率估计法是一种用来估计总体比率的方法。

通过随机抽取样本，并对样本数据进行观察和统计，可以得到总体比率的估计值以及估计的不确定性程度。

点估计直接计算估计值，简单直接；区间估计则给出了估计区间，评估估计值的可靠程度。

比率估计法在统计学和市场调研中应用广泛，可以帮助我们了解总体的特征和趋势，做出合理的决策。

统计学常用公式

公式一1. 众数【MODE 】（1） 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。

（2） 组距分组数据众数的计算对于组距分组数据，先找出出现次数最多的变量值所在组，即为众数所在组，再根据下面的公式计算计算众数的近似值。

下限公式： 1012M =L++i ∆⨯∆∆ 式中：0M 表示众数；L 表示众数的下线；1∆表示众数组次数与上一组次数之差；2∆表示众数组次数与下一组次数之差；i 表示众数组的组距。

上限公式：2012M =U-+i ∆⨯∆∆ 式中：U 表示众数组的上限。

2．中位数【MEDIAN 】（1）未分组数据中中位数的计算根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置。

设一组数据按从小到大排序后为12N X X X ，，…，，中位数e M ，为则有：e N+M =X1（）2当N 为奇数e N N +1221M =X +X 2⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 当N 为偶数（2）分组数据中位数的计算分组数据中位数的计算时，要先根据公式N / 2 确定中位数的位置，并确定中位数所在的组，然后采用下面的公式计算中位数的近似值：式中：e M 表示中位数；L 表示中位数所在组的下限；m-1S 表示中位数所在组以下各组的累计次数；m f 表示中位数所在组的次数；d 表示中位数所在组的组距。

3．均值的计算【AVERAGE 】（1）未经分组均值的计算未经分组数据均值的计算公式为： 112n ++==nii x x x x x n n=∑…（2）分组数据均值计算分组数据均值的计算公式为： 11221121+++==+ki ik k i k kii x f x f x f x f x f f f f==+∑∑+4．几何平均数【GEOMEAN 】几何平均数是N 个变量值乘积的N 次方根，计算公式为： 式中：G 表示几何平均数；∏表示连乘符号。

区间估计


x
）
x
） ）
x x
（
有时在实际中常用的还有单侧置信区间:
ˆ ˆ ( X ,..., X ) 是统计量, 若对给定的 定义3: 设 L L 1 n
α(0< α <1)，对任意的θΘ,有
ˆ } 1- P{ L
ˆ 是θ的置信水平为 1- α的(单侧)置信下限. 则称 L
ˆ ˆ ( X ,..., X )是统计量, 若对给定的 定义4: 设 U U 1 n
(3) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
2 (n 1) S 2 (n 1) S 2 , 2 1 (n 1) (n 1) 2 2 注：两边开方即得到 的置信区间
(3)
(4) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间（这种情况在实际中很少）
解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， u1-/2=1.96 应抽取的样本量为
n
( u1 2 )2 2
E2 96.04 97
(1.96)2 2000 2 4002
即应抽取97人作为样本。
四、大样本置信区间
若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限 定理, 可近似地视为 2 x ~ N (, )
例如: 设 X1,…, Xn 是取自 N ( , 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
1、明确问题,是求哪个参数的置信区间? 置信水平是多少？
解： 选
的点估计为 X ,
2、寻找未知 参数的一个良 好估计.
3、寻找一个待估参数和样本的函数，要求其 分布为已知.
解：已知Ｘ ~ N(，2)，n=16, 1- = 95%，t1-/2=2.131 根据样本数据计算得： x 1490
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(2) 利用泊松分布逼近
当 n 较大，pˆ 或 1 pˆ 较小时，
(n 100, pˆ 0.1 或 pˆ 0.9）
① n 充分大，pˆ 充分小时，比率p 的置信度为1 的
近似置信区间为
a
b
a
b
(
,
)
2n
n
a 2
1
2n
n
b 2
或
( 2
pˆ
n
a
2
,
2
n pˆ
b
)
2n
2n
其中
a
2 1
2(
f1 )
,
b 2 2( f2 ) ,
自由度 f1 2n, f2 2n 2 .
6
② n 充分大，pˆ 充分大时，比率p 的置信度为1 的
近似置信区间为
(
n
n
a 2
,
n
n
b 2
1 )
n
n
a 2
n
n
b 2
1
1 pˆ a 1 pˆ b 2
或
( 1
pˆ
2n a
,
1
pˆ
2n b2
)
2n
2n
其中
a
2 1
2(
f1 )
2 0.975
(30)
16.791 ,
b
2
2(
f2 )
2 0.025
(32)
49.480
,
所以 p 置信区间近似为
( 2
a/n pˆ a 2
,
b/n 2 pˆ
b
)
(0.0282, 0.0811) .
2n
2n
8
解 （2）n 300，n 281，pˆ 0.937， 0.05
np(1 p)
|
u
2}
1
,
在大样本下用 pˆ 代替 p ,即得 p的1 置信区间
( pˆ u 2
pˆ (1 n
pˆ )
,
pˆ
u
2
pˆ (1 pˆ ) ) n
3
例1 在一指定地区的选民中，随机挑选300名选民进 行民意测验，结果有 182人对某个指定的候选人是满 意的. 求在所有选民中，对这位候选人满意的比率 p 的95%的置信区间.
,
n )
2n
2n
13
2
练习：
P169 习题五
14
f1 2n , f2 2n 2n 2 .
12
例5 某校随机抽查20名男生，发现有4人爱好游泳， 求该校男生中爱好游泳的比率 p 的90%的置信区间.
解 f1 8, f2 34 ,
F 2 (34,8) 3.06 , F 2 (10,32) 2.14 ,
pˆ 1
4 4 17 3.06
解
pˆ 214 0.107 , 2000
u0.05 2 1.96 ,
pˆ (1 pˆ )
0.107 0.893
u 2
1.96 n
0.0135 , 2000
所以 p 置信区间近似为
(0.107 0.0135 , 0.107 0.0135) (0.0935 , 0.1205) .
5
a
2
2(
f1 ) ，b
2 1
2(
f2
)
.
自由度 f1 2(n n 1), f2 2(n n ) . 7
例3 设 n 300 （1）n 15，（2）n 281 ,
求比率 p的 95%的置信区间.
解 （1）n 300，n 15，pˆ 0.05， 0.05
自由度 f1 2n 30, f2 2n 2 32
自由度 f1 2(n n 1) 40, f2 2(n n ) 38
a
2
2(
f1
)
2 0.025
(40)
59.342
,
b
2 1
2(
f2
)
2 0.975
(32)
22.878
,
所以 p 置信区间近似为
1 pˆ a 1 pˆ b 2
( 1
pˆ
2n a
,
1
pˆ
2n b2
)
(0.903,
解
pˆ 182 0.61 , 300
u0.05 2 1.96 ,
u 2
pˆ (1 pˆ ) 1.96 n
0.61 0.39 0.055 , 300
所以 p 置信区间近似为
(0.61 0.055 , 0.61 0.055) (0.555 , 0.665) .
4
例2 某市为了解居民住房情况，抽查了2000户 ，其 中人均不足5平方米的困难户有214户，试求该市困难 户所占比率 p 的95%的置信区间.
n 当 0.1 pˆ 0.9, n 充分大，由中心极限定理,
U pˆ p 近似服从N(0，1) , p(1 p) n
2
U pˆ p 近似服从N(0，1) , p(1 p) n
P{ | U | u 2 } P{ |
pˆ p p(1 p) n | u 2 }
P{ |
n np
0.071 ,
pˆ 2
5 2.14 5 2.14 16
0.401 ,
所以 p 置信区间近似为 (0.071 , 0.401) .
pˆ 1
n
(n
n
n
1)F
2(
f2,
f1 )
,
f1 2n
pˆ 2
(n
(n
1)F
1)F 2( f1 2 ( f1 2, f2
2, f2 2) 2) (n
f2
0.961)
.
2n
2n
9
2.小样本
（1）二项分布 p 的1 的置信区间 ( pˆ1，pˆ 2 )
其中 pˆ1, pˆ 2 由下列两式决定：
n
C
x n
pˆ 1x
(1
xn
pˆ1 )n x
2
,
n
C
x n
x0
pˆ 2x (1
pˆ 2 )n x
2
.
10
例4 某校随机抽查20名男生，发现有4人爱好游泳， 求该校男生中爱好游泳的比率 p的90%的置信区间.
11
(2) 利用 F 分布求 p 的置信区间
利用二项分布与F 分布的关系，构造p 的1 的
置信区间( pˆ1，pˆ 2 ) 如下：
pˆ 1
n
(n
n
n
1)F
2(
f2,
f1 )
,
pˆ 2
(n
(n 1)F 2( f1
1)F 2( f1 2, f2
2, f2 2) 2) (n
n )
,
一、比率和比率的点估计
总体X 服从参数为p的0 1分布,
样本 X1 , X 2 , , X n , EX p ,
比率的点估计xi
n
n
,
即为频率，是无偏估计.
1
二、比率的区间估计
1.大样本 (1) 利用正态分布逼近
X ~ B(1, p) , EX p, DX p(1 p) ,
解 n 20，n 4， 0.01,
20
C
x 20
pˆ1x (1
pˆ 1 )20 x
0.05 ,
x4
3
查表
C
x 20
pˆ 1x
(1
pˆ 1 )20 x
0.95
pˆ1 0.07 ,
x0
4
C2x0 pˆ 2x (1 pˆ 2 )20 x 0.05 pˆ 2 0.40 ,
x0
所以 p 置信区间近似为 (0.07 , 0.40) .