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《应用统计学》第6章：置信区间估计

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统计学 第 6 章 抽样与参数估计

统计学 第 6 章 抽样与参数估计

第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k,r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值，样本比例，样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布，也不是样本分布，是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。

概率论与数理统计-第6章-第4讲-区间估计

概率论与数理统计-第6章-第4讲-区间估计
5
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如

第6章参数估计

第6章参数估计

6.1以每天每千克体重52 μmol 5－羟色胺处理家兔14天后，对血液中血清素含量的影响如下表[9]：y/（μg · L-1）s/（μg · L-1）n对照组 4.20 0.35 125－羟色胺处理组8.49 0.37 9建立对照组和5－羟色胺处理组平均数差的0.95置信限。

6.2不同年龄的雄岩羊角角基端距如下表[27]：年龄/a y/cm s/cm n4.5 28.92 2.17 135.5 31.81 2.44 11建立平均数差的0.95置信区间，对应于H0：μ1－μ2＝0，H A：μ1－μ2 ≠ 0的假设，推断两者间的差异显著性。

6.3了解我国风险识别、风险评价和风险缓解的现状，对于应对突发事件有重要作用。

以下是关于应对突发公共卫生事件能力调查（共调查了60个单位）的部分数据[28]：项目单位数识别了当地可能发生的突发公共卫生事件35对所识别的突发公共卫生事件进行了风险评价17根据风险评价结果确定了当地突发公共卫生事件的工作重点 6分别计算上述三个项目的0.95置信区间。

6.4乳腺癌患者有着沉重的心理负担，主要表现为：焦虑、怀疑和否认、恐惧、依赖、自私、悲观失望等。

经心理护理后，在很多方面都到改善，护理前和护理后的评分y±）见下表[29]：（s表现心理护理前/评分心理护理后/评分样本含量（n）健康25.71±2.31 28.51±9.04 62抑郁10.54±4.92 4.61±1.63 62恐怖12.10±2.24 10.76±3.08 62强迫15.29±4.53 10.33±4.83 62焦虑14.41±2.47 9.26±3.35 62怀疑16.75±3.69 4.92±2.11 62神经衰弱11.73±2.46 8.84±3.83 62计算上述各种表现平均数差的0.95置信区间。

预测区间与置信区间的对比

预测区间与置信区间的对比

预测区间与置信区间的对比在统计学中，预测区间和置信区间是两个重要的概念。

它们都是用来描述一个参数的不确定性范围，但在应用场景和计算方法上有所不同。

本文将对预测区间和置信区间进行比较，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、预测区间预测区间是用来估计未来观测值的范围。

在统计学中，我们常常需要根据已有的数据来预测未来的结果。

预测区间就是用来表示这种预测结果的不确定性范围。

预测区间的计算方法通常基于对未来观测值的分布进行建模。

常见的方法包括回归分析、时间序列分析等。

通过这些方法，我们可以得到一个预测模型，并计算出对应的预测区间。

预测区间的特点是包含了未来观测值的不确定性。

它给出了一个范围，表示未来观测值有一定的概率落在这个范围内。

例如，我们可以说某个产品的销售额在未来一年内有95%的概率落在某个预测区间内。

二、置信区间置信区间是用来估计一个参数的范围。

在统计学中，我们常常需要根据已有的样本数据来估计总体参数的取值范围。

置信区间就是用来表示这种估计结果的不确定性范围。

置信区间的计算方法通常基于对总体分布的假设和样本数据的统计量。

常见的方法包括正态分布的置信区间、t分布的置信区间等。

通过这些方法，我们可以得到一个置信区间，表示总体参数有一定的概率落在这个范围内。

置信区间的特点是包含了总体参数的不确定性。

它给出了一个范围，表示总体参数有一定的概率落在这个范围内。

例如，我们可以说某个产品的平均销售额在95%的置信水平下落在某个置信区间内。

三、预测区间与置信区间的对比预测区间和置信区间在应用场景和计算方法上有所不同，可以从以下几个方面进行对比：1. 应用场景：预测区间主要用于预测未来观测值的范围，而置信区间主要用于估计总体参数的范围。

2. 数据要求：预测区间需要有一定的历史数据来建立预测模型，而置信区间只需要有一个样本数据集。

3. 不确定性范围：预测区间表示未来观测值的不确定性范围，而置信区间表示总体参数的不确定性范围。

统计学中的参数估计和置信区间

统计学中的参数估计和置信区间

统计学中的参数估计和置信区间统计学是研究数据收集、分析、解释和推断的科学领域。

参数估计和置信区间是统计学中重要的概念和方法，用于推断总体特征并给出一定程度上的确定性度量。

本文将介绍参数估计和置信区间的基本概念、计算方法以及在实际应用中的意义。

一、参数估计参数估计是利用样本数据推断总体参数的数值或范围。

总体参数是指代表总体特征和分布的未知数值，如总体均值、总体比例等。

通过对样本数据进行分析，可以估计总体参数的取值。

在参数估计中，最常用的是点估计和区间估计。

点估计是根据样本数据估计总体参数的一个具体值。

常见的点估计方法有最大似然估计法和矩估计法。

例如，在估计总体均值时，最大似然估计法会选择使得样本观测的概率最大化的均值作为估计值。

区间估计是对总体参数的估计给出一个范围，称为置信区间。

置信区间表示估计值落在某一区间中的概率。

一般使用置信度（confidence level）来表示区间估计的确定程度，常见的置信度有90%、95%和99%等。

二、置信区间置信区间是参数估计中常用的一种方法，用于给出总体参数估计的一个范围。

置信区间通常以（下界，上界）的形式表示，包含了真实参数值的概率。

置信区间的计算方法基于抽样分布的性质，并依赖于样本量和置信度。

置信区间的计算可以通过两种方法：基于正态分布和基于t分布。

当样本量较大时（一般大于30），可以使用基于正态分布的方法。

当样本量较小时，则需要使用基于t分布的方法。

以估计总体均值为例，给定样本数据和置信度，可以计算出样本均值、标准差以及临界值。

然后根据临界值和标准差计算置信区间。

例如，假设样本均值为X，标准差为S，置信度为95%，那么置信区间可以表示为（X-S*t, X+S*t），其中t是自由度为n-1的t分布的临界值。

三、参数估计与置信区间的应用参数估计和置信区间在实际应用中具有广泛的应用。

它们能够帮助研究人员对总体特征进行推断，并给出一定程度上的确定性度量。

在医学研究中，可以利用参数估计和置信区间来估计某种药物的疗效。

第6章 参数估计习题答案

第6章 参数估计习题答案

解：总体 X 的数学期望为 E ( X ) = mp ， D( X ) = mp(1 − p) ， 二阶原点矩为 E ( X 2 ) = D( X ) + [E ( X )]2 = mp(mp − p + 1) 。
64
课
后
解：总体 X 的数学期望为 E ( X ) = ∫
ww
w.
2x θ (θ − x)dx = ，令 E ( X ) = X 可得 θ 2 3 0θ
（ 2 ） 设 总 体 X ~ N ( µ , σ 2 ) ， 参 数 µ 已 知 ， σ 2 （ σ 2 >0 ） 未 知 ，
x1 , x 2 ,L, x n 为一相应的样本值。求 σ 2 的最大似然估计值。
( x −µ ) ⎡ 1 − i 2 L( µ ) = Π ⎢ e 2σ i =1 2 π σ ⎢ ⎣ − i =1
⎤ ⎥= ⎥ ⎦
w.
1 5 。 = x 26
n
n ⎞ ln L( p ) = ⎛ ⎜ ∑ xi − n ⎟ ln(1 − p ) + n ln p 。 ⎝ i =1 ⎠
ˆ= （2）根据（1）中结论， p 的最大似然估计值为 p
x1 , x 2 ,L, x n 是来自 X 一个样本值。求 µ 的最大似然估计值。
2 ∑ ( xi − µ )
n
2σ
2
− ln 2π σ 。
(
)
n
令对数似然函数对 µ 的一阶导数为零，得到 µ 的最大似然估计值为
n
∑x
ˆ= µ
i =1
i
n
= x。
n
（2）似然函数为 对数似然函数为
n ⎡ − 1 L(σ 2 ) = Π ⎢ e i =1 ⎢ ⎣ 2π σ

《应用统计学》置信区间估计

引入贝叶斯方法：贝叶斯方法可以综合考虑先验信息和样本数据，从而得到更准确的置 信区间估计。
考虑多参数问题：对于多参数问题，应开发更有效的统计方法来计算置信区间，以满足 实际应用的需求。
结合其他统计方法：可以结合其他统计方法，如回归分析、方差分析等，以提高置信区 间估计的精度和可靠性。
感谢您的观看
与点估计相比， 置信区间估计 考虑了估计的 不确定性，因 此更具有信息
性。
置信区间估计 可以用于进行 假设检验，帮 助确定参数的
取值范围。
置信区间估计 可以用于进行 区间预测，为 未来的数据提
供参考。
置信区间估计的缺点
计算复杂：置信区间估计的计算过程较为复杂，需要较高的数学和统计知识。
对数据分布敏感：置信区间估计的准确性受数据分布的影响较大，对于非正态分布的数据， 其估计效果可能不佳。
汇报人：XX
点估计的方法有很多种，包 括最小二乘法、最大似然法
等
点估计的精度取决于样本数 据的数量和质量
区间估计的概念
定义：根据样本 数据推断总体参 数所在的区间范 围
目的：估计总体 参数的可能取值 范围
方法：根据样本 数据的分布情况， 利用统计量计算 出置信区间
置信水平：表示 估计的可靠程度， 一般为95%或 99%
应用统计学置信区间 估计
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录 /目录
01
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04
置信区间的估 计方法
02
应用统计学概 述
05
置信区间在应 用统计学中的 应用
03
置信区间的概 念
06
置信区间估计 的优缺点

关于区间估计的课程设计

关于区间估计的课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解区间估计的基本概念，掌握其定义和性质。

2. 学生能够运用区间估计方法，对总体参数进行估计，并解释估计结果的含义。

3. 学生能够掌握区间估计的误差分析，了解影响区间估计精度的因素。

技能目标：1. 学生能够运用统计软件或计算器进行区间估计的计算。

2. 学生能够根据实际问题，选择合适的区间估计方法，并解决实际问题。

3. 学生能够通过实例分析，提高数据处理和分析能力。

情感态度价值观目标：1. 学生能够认识到统计学在实际生活中的广泛应用，增强学习统计学的兴趣。

2. 学生能够培养严谨的科学态度，注重数据分析的客观性和准确性。

3. 学生能够通过小组合作，培养团队协作能力和沟通表达能力。

课程性质分析：本课程为高中统计学课程，旨在帮助学生掌握区间估计的基本方法，提高数据处理和分析能力。

学生特点分析：高中学生具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但对于统计学方法的应用还较为陌生，需要通过实例和实际操作来加深理解。

教学要求：1. 注重理论与实践相结合，让学生在实际问题中感受区间估计的应用价值。

2. 强调计算能力的培养，引导学生熟练使用统计软件或计算器进行计算。

3. 鼓励学生积极参与讨论和分享，提高课堂互动效果。

二、教学内容1. 区间估计基本概念：总体参数、样本统计量、估计量、置信区间。

2. 区间估计的原理与方法：中心极限定理、标准误差、正态分布的性质。

3. 置信区间的计算与应用：- 单个总体均值的区间估计。

- 单个总体比例的区间估计。

- 两个总体均值差的区间估计。

- 两个总体比例差的区间估计。

4. 影响区间估计精度的因素：样本容量、总体标准差、置信水平。

5. 实际问题中的应用：分析实际问题，选择合适的区间估计方法，解决实际问题。

教学大纲安排：第一课时：区间估计基本概念，总体参数与样本统计量。

第二课时：中心极限定理，标准误差，正态分布性质。

第三课时：单个总体均值和比例的区间估计。

《统计分析与SPSS的应用(第五版)》课后练习答案(第6章)

《统计分析与SPSS的应用（第五版）》（薛薇）课后练习答案第6章SPSS的方差分析1、入户推销有五种方法。

某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验。

从应聘人员中尚无推销经验的人员中随机挑选一部分人，并随机地将他们分为五个组，每组用一种推销方法培训。

一段时期后得到他们在一个月内的推销额，如下表所示：第一组20.0 16.8 17.9 21.2 23.9 26.8 22.4第二组24.9 21.3 22.6 30.2 29.9 22.5 20.7第三组16.0 20.1 17.3 20.9 22.0 26.8 20.8第四组17.5 18.2 20.2 17.7 19.1 18.4 16.5第五组25.2 26.2 26.9 29.3 30.4 29.7 28.21）请利用单因素方差分析方法分析这五种推销方式是否存在显著差异。

2）绘制各组的均值对比图，并利用LSD方法进行多重比较检验。

（1）分析→比较均值→单因素ANOVA→因变量：销售额；因子：组别→确定。

ANOVA销售额平方和df 均方 F 显著性组之间405.534 4 101.384 11.276 .000组内269.737 30 8.991总计675.271 34概率P-值接近于0，应拒绝原假设，认为5种推销方法有显著差异。

（2）均值图：在上面步骤基础上，点选项→均值图；事后多重比较→LSD多重比较因变量: 销售额LSD(L)(I) 组别(J) 组别平均差(I-J) 标准错误显著性95% 置信区间下限值上限第一组第二组-3.30000* 1.60279 .048 -6.5733 -.0267 第三组.72857 1.60279 .653 -2.5448 4.0019第四组 3.05714 1.60279 .066 -.2162 6.3305第五组-6.70000* 1.60279 .000 -9.9733 -3.4267第二组第一组 3.30000* 1.60279 .048 .0267 6.5733 第三组 4.02857* 1.60279 .018 .7552 7.3019第四组 6.35714* 1.60279 .000 3.0838 9.6305第五组-3.40000* 1.60279 .042 -6.6733 -.1267第三组第一组-.72857 1.60279 .653 -4.0019 2.5448 第二组-4.02857* 1.60279 .018 -7.3019 -.7552第四组 2.32857 1.60279 .157 -.9448 5.6019第五组-7.42857* 1.60279 .000 -10.7019 -4.1552第四组第一组-3.05714 1.60279 .066 -6.3305 .2162 第二组-6.35714* 1.60279 .000 -9.6305 -3.0838第三组-2.32857 1.60279 .157 -5.6019 .9448第五组-9.75714* 1.60279 .000 -13.0305 -6.4838第五组第一组 6.70000* 1.60279 .000 3.4267 9.9733 第二组 3.40000* 1.60279 .042 .1267 6.6733第三组7.42857* 1.60279 .000 4.1552 10.7019第四组9.75714* 1.60279 .000 6.4838 13.0305*. 均值差的显著性水平为0.05。

吴赣昌-概率统计(5版)-第6章第4节


为95%置信区间.
解 查标准正态分布表 u0.025 1.96, 将数据
n 100, x 80, 12, u0.025 1.96,
代入
x

u / 2


n
计算得 的置信度为95%的置
信区间为 (77.6,82.4), 即在已知 12 情形下, 可
以 95% 的置信度认为每个旅游者的平均消费额在
可得到均值 的一个置信水平为0.95的置信区间为
(503.75 2.1315 6.2022 / 16), 即 (500.4,507.1).
例4
解 由给出的数据算得 x 5.03.75, s 6.2022.
可得到均值 的一个置信水平为0.95的置信区间为
(503.75 2.1315 6.2022 / 16), 即 (500.4,507.1).
未知, X1, X2 ,,
Xn 是取自总体 X 的一个样本. 此时可用 2 的无偏
估计 S 2代替 2 , 构造统计量
T X ,
S/ n
从第5章第三节的定理知 T X ~ t(n 1).
S/ n
对给定的置信水平 1 , 由
P
t
/2(n

1)

X S/

X

u1

,X
n
u12


n

u1 2 O
/2
u 1 x
都是 的置信区间，但在所有这类区间中仅当 1 2 / 2
时的区间长度最短.
完
例1 某旅行社为调查当地旅游才的平均消费额, 随
机访问了100名旅游者, 得知平均消费额 x 80 元.
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求解正态总体均值 的置信区间。
20
课堂练习2：
某车床加工的缸套外径尺寸 X~N( μ, σ 2 )，
下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺 寸(mm)，
90.01，90.01，90.02，90.03，89.99
8x9.9980，.00819.97，S 2900.0.001，859302 .01，89.99
的样本， X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。
可以证明：
t X ～
S/ n
t(n-1)
因此，对给定的置信度 1-，有
P{t /2 (n 1)
X
S/ n
t / 2 (n 1)}
1
即 P{X t /2(n 1)S / n X t /2(n 1)S / n} 1
由此可得 的置信度为 1- 的置信区间为
可用 Excel 的统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
格式：TINV( 2 , n )
功能:返回 t (n)的值。
说明：TINV(, n )返回的是 t/2(n)的值。
17
4. 未知时总体均值 μ 的区间
估计
设总体 X~N( μ, σ 2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为 n
/2=0.025， n=10， 查表得 t0.025(9)=2.2622
d t /2(n 1)S / n 2.2622 196 .5 / 10 140.6
故所求 的 95% 置信区间为
(x d, x d) (1282.5, 1563.7)
可用 Excel 的【工具】→“数据分析”→“描述统 计”
第6章 置信区间估计
本章教学目标： (1) 单个正态总体均值和方差的区间估计。 (2) 总体比例的区间估计。 (3) 均值和比例置信区间估计中的样本容量
确定。 (4) 两个正态总体的均值差和方差比的区间
估计。 (5) 单侧置信区间估计。
1
区间估计
由于点估计存在误差，因此仅对总体参数作出点 估计是不够的，还需要了解估计的精度及其误差。
p 5 / 300 1.67%
d Z /2 p(1 p) / n
1.96 0.0167(1 0.0167) / 300 1.45%
该厂产品次品率的置信度为95%的置信区间为
( p d, p d) (0.22%, 3.12%)
22
案例思考题
国外民意调查机构在进行民意调查时，通 常要求在95%的置信度下将调查的允许误差 (即置信区间的 d 值)控制在3%以内。
18 (x d, x d) , d t /2(n 1)S / n
§6.2 总体比例的区间估计
设总体比例为 P， 则当 nP 和 n (1-P) 都大于5时， 样本成数 p 近似服从均值为 P，方差为 P (1-P)/n 的正态 分布。从而
pP
P(1 P) / n 近似服从 N (0, 1)
对给定的置信度1-，由
可用 Excel 的统计函数 CHIINV 2 (n) 返语回法规则如下：
格式：CHIINV ( , n )
功能：返回 2 (n) 的值。
7
2. 总体方差 2 的区间估计
设总体 X~N( μ, σ2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为n的样本，
X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。 可以证明，
2 0.025
(9)
=
9135.22
(n-1)S2/
2 0.975
(9)
=
9196.52/2.7
=
358.82
故所求 2的置信区间为
(135.22，358.82)
9
课堂练习1
某车床加工的缸套外径尺寸 X ~ N(μ, σ 2)，现 随机测得的 10 个加工后的某种缸套外径尺寸 (mm) 如下：
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t 分布的右侧 分位点 t(n)
t(n)为 t 分布中满足下式的右侧 分位点： P{ t > t ( n ) }=
由给定的概率 ，可查表得到 t(n)。
由 t 分布的对称性，可得：t1-(n)=-t(n)。
f (x)
x
16
t1-(n) = - t(n) 0
t(n)
用 Excel 求 t /2(n)
⑴问为满足该调查精度要求，至少需要多 大的样本？
⑵如果要求置信度达到99%，调查误差仍 为3%，此时至少需要多大的样本？
23
案例思考题解答(1)
由 d Z /2 p(1 p) / n ，可得
n
Z2 / 2
p(1 d2
p)
本案例中，当 p 0.5时，p(1 p) 达到最大值，
故需要的样本容量至少为
Z X / n
～N(0,1)
/2
对给定的置信度1-， 有
f (x)
1-
/2
P{Z / 2
X
/
n
Z /2}
1
-z/2
0
z/2 x
由此可得 P{x Z /2 / n x Z /2 / n}1
从而的置信度为 1- 的置信区间为
( x Z /2 / n , x Z /2 / n )
为便于记忆和理解，将 的置信区间表示为如下形式：
解：由题意，要推断的是总体成数，
p =0.036，1-p = 0.964，d = 0.02，α = 0.05，
zαn/2=Zz20/ 2.0pd2(521=
1p).96
1.96 2
0.036 0.02 2
0.964
333 .3 (件)
故每次至少应抽查 334 件产品。
由此可知，在总体比例的区间估计问题中，要达 到30一定的精度要求，样本容量至少要在几百以上。
n
1.962 0.5 0.5 0.032
1067.1
1068（人）
24
案例思考题解答(2)
如果要求置信度达到99%，则 Z/2=Zn0.0025.=5725.502 .70503.，25 0.5 1841.8 1842（人）
25
§6.3 样本容量确定
前面的分析都是在给定的样本容量和样本 数据下求置信区间。但在实际应用中，应当 在随机抽样前就确定所需抽取的样本容量。
设 X～N(0, 1)，Y～ 2(n)， 且 X 与 Y 相互
独立， 则随机变量
t X
Y/n 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 t～t(n)。
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t 分布密度函数的图形
f (x) n = ∞，N (0, 1) n = 10 n=4 n=1
x 0
标准正态分布分布是 t 分布的极限分布。 当 n 很大时，t 分布近似于标准正态分布。
n
X
2 i
i 1
4
2 分布密度函数的图形
f (x)
n=1 n=4
n=10
o
x
5
2 (n)
2 分布的右侧 分位点
2 (n) 为 2分布中满足下式的的右侧 分位
点： P{ 2 2 (n) }
f (x)
o
x 2 (n)
由给定的概率 和自由度，可查表得到 2 (n)
6
用
Excel
求
2
(n)
(x d, x d) , d Z/2 / n
12其中 d 称为估计的允许误差。
用 Excel 求 Zα
可用 Excel 的统计函数 NORMSINV 返回 Z 。
语法规则如下：
格式：NORMSINV(1-)
功能： 返回 Z 的值。
说明： NORMSINV() 返回的是 Z1- 的
值。
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3. t 分布
2.总体比例区间估计时样本容量的确定
由 d Z /2 p(1 p) / n ，可得
n
Z2/ 2 p(1 d2
p)
其中样本成数 p 同样可先通过小规模抽样 作出估计，也可根据其他信息估计，或取 0.5。
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某企业要重新制【定产例品7抽】样检验的规范。
已知过去检验的次品率在3.6%左右，现要求 允许误差不超过2%，置信度为95%。问每次 至少应抽查多少产品？
2
(n 1)S 2
2
～
2 (n 1)
由
P{12 / 2 (n 1)
(n 1)S 2
2
2 / 2 (n 1)} 1
可得
P{ (n 1)S 2 2 (n 1)S 2 } 1
2/ 2 (n 1)
2 1
/
2
(n
1)
从而 2 的置信度为1-
的置信区间为：
f (x)
/2
1-
8
(n
2 /
1)S 2 2 (n 1)
d t /2 (n 1)S / n
可得 n t /2 (n 1)S 2 z /2 2 z /2S 2
d d d
其中总体标准差或样本标准差也是未知的，通 常可以先通过小规模抽样作出估计。
由于使用的是近似公式，可知实际采用的最低 样本容量应比计算结果稍大。
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【例6】在例3 元件平均寿命的区间估计问题中，要
90.01，90.01，90.02，90.03，89.99
89.98，89.97，90.00，90.01，89.99
S 2 0.018532
(
)
求 σ 2 的置信度为 95% 的置信区间。
10
二. 总体均值μ的区间估计
1. 标准正态分布的右侧 分位点 Z
Z 是标准正态分布中满足下式的右侧分位点：
（
，
）
求 μ 的置信度为95%的置信区间；
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【例4】某厂为了解产品的质量情况，随机抽取了300件产品 进行检验，其中有5件次品，求该厂产品次品率的置信度为 95%的置信区间。