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第二章 总体比例

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统计学原理公式

统计学原理公式

统计学原理公式第二章数据描述1、组距=上限―下限2、简单平均数： x=Σx/n3、加权平均数：x=Σxf/Σf4、全距： R=xmax-xmin5、方差和标准差：方差是将各个变量值和其均值离差平方的平均数。

其计算公式：22未分组的计算公式：σ=Σ（x-x）/n22分组的计算公式：σ=Σ（x-x）f/Σf 样本标准差则是方差的平方根：21/2未分组的计算公式：s=[Σ（x-x）/（n-1）]2 1/2分组的计算公式：s=[Σ（x-x）f/(Σf-1)]1/2σ=[Σ（x-x）/n] 6、离散系数：总体数据的离散系数：Vσ=σ/x 样本数据的离散系数：Vs=s/x 10、标准分数：标准分数也称标准化值或Z分数，它是变量值与其平均数的离差除以标准差后的值，用以测定某一个数据在该组数据的相对位置。

其计算公式为：Zi=（xi-x）/s标准分数的最大的用途是可以把两组数组中的两个不同均值、不同标准差的数据进行对比，以判断它们在各组中的位置。

第三章参数估计1、统计量的标准误差：（样本误差）（1）在重复抽样时；样本标准误差：σx=σ/n 或σx=s/n 样本的比例误差可表示为：1/21/2σp=[π(1-π)/n] 或σp=[p（1-p）/n] （2）不重复抽样时： 22σx=σ/n×(N-n/N-1) 2σp=p（1-p）/n×(N-n/N-1)2、估计总体均值时样本量的确定，在重复抽样的条件下：222n= Zσ/E3、估计总体比例时样本量的确定，在重复抽样的条件下：22n=Z×p（1-p）/E 4、（1）在大样本情况下，样本均值的抽样分布服从正态分布，因此采用正态分布的检验统计量，当总体方差已知时，总体均值检验统计量为：Z=(x-μ)/( σ/n)（2）当总体方差未知时，可以用样本方差来代替，此时总体均值检验的统计量为：Z=(x-μ)/( s/n) 5、小样本的检验：在小样本（n＜30）情况下，检验时，首先假定总体均值服从正态分布。

总体比例的假设检验

总体比例的假设检验

学
是 的无偏估计量。
天津财经大学 统计学系
n1=135 和 n2=102 都充分大时， 下面的检验统计量近似服从标准正态分布
统
Z
P1 P2
~ N (0,1)
计
P(1 - P)(1/n1 +1/n2 )
其中，三个比例的样本值分别为
学
P1=25/135=0.2254
P2=23/102=0.1852
P=(23+25)/(102+135)=0.2025
天津财经大学 统计学系
Z
0.1852 0.2254
1.897
统
1 135
1 102
025)
计 由于 Z 1.96,在显著水平0.05下，农村家庭和
城市家庭拥有计算的比例无显著差异
学
天津财经大学 统计学系
算机。在显著水平=0.05下，能否认为
计 农村家庭和城市家庭拥有计算的比例相 同
学
天津财经大学 统计学系
设农村家庭拥有计算机的比例为 1
统
城市家庭拥有计算机的比例 2
原假设 H0： 1 2 。
计
在原假设成立的条件下，有
P (a1 a2）/（n1 n2 ) (n1 p1 n2 p2 ) /(n1 n2 )
随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，样本比例分别 记作 P1=a1/n1 和 P2=a2/n2。
天津财经大学 统计学系
为 检 验 1 和 2 是 否 相 等 ， 建 立 原 假 设 H0 ：
1 2 。 在 原 假 设 成 立 的 条 件 下 ， 有
统 P (a1 a2）/（n1 n2 ) (n1 p1 n2 p2 ) /(n1 n2 ) 是 的

总体比例的检测和置信区间

总体比例的检测和置信区间

补充：二项分布检验实例
实例：为验证某批产品的一等品率是否达到90％， 现从该批产品中随机抽取23个样品进行检测，结果 有19个一等品（1－一等品，0－非一等品）。（变 量2个：一等品和个数，Cases 2个：1 19 和0 4）
加权：Data－>Weight Cases：个数 Analyze－> Nonparametric Tests－> Binomial
情P况(X 的概率9P(7x≥99)79)作i1 为795p729值。1i7520.5i0.51752i
4.718694e070.00000
第二节 大总体情况—二项分布及大样本正态近似 因此，即使对于通常的显著性水平α=0.001，也可以拒绝零假设， 得出大部分支持减少必修课的结论。同时可以计算出π的95%置信 区间为(0.53517,0.58221). 正态近似：在样本量n很大时，可用均值为nπ，方差为nπ(1-π)的 正态分布来对二项分布Bin(n,π)近似.这时，检验的假设为Ｈ0: π=π0对单边或双边的Ｈ1。检验统计量
当总体量N很大时，超几何分布 Hyper(x,k,N-k,n)用二项分 布Bin(n,π)近似。
例2.1（续）检验假设不变，二项分布的模型是Bin(50,π)，
在 的
按
零概二假率项设分P(x成布≤立的1)时公的为 式值Bin(50P ,0(.1X )。下x面) 计i算 x0至少in有1i人(1不赞成)ni,(0in)
下限b2=19，由于n(1)＜b1，因此接受H0，即认为成功 概率没达到0.8。
二项分布检验的SPSS软件使用说明
二项分布：在现实生活中有很多的取值是 两类的，如人群的男和女、产品的合格和 不合格、学生的三好学生和非三好学生、 投掷硬币的正面和反面。这时如果某一类 出现的概率是P，则另一类出现的概率就 是1-P。这种分布称为二项分布。

抽样技术期末知识点(附考点大题)

抽样技术期末知识点(附考点大题)

抽样期末知识点汇总一．绪论（一）抽样调查抽样调查是指非全面调查的总称。

只要是从研究的对象中抽取部分单位加以调查，用来说明全体，就统称为抽样调查。

（广义）选样方法：非概率抽样&概率抽样1.非概率抽样抽样方法：目的抽样、判断抽样、任意抽样、方便抽样、配额抽样(盖洛普民意测验、自愿样本原因：（1）受客观条件限制，无法进行严格的随机抽样。

（2）为了快速获得调查结果。

（3）在调查对象不确定，或无法确定的情况下采用，例如，对某一突发(偶然)事件进行现场调查等。

（4）总体各单位间离散程度不大，且调查员具有丰富的调查经验时。

优点：成本低，而且容易完成；缺点：不能对估计的精度作出客观、准确的说明。

2.概率抽样（狭义抽样调查）按照概率统计的原理，从研究的总体中按随机原则来抽选样本,通过对样本的调查获取数据,以此来对总体的特征作出估计推断;对推断中可能出现的抽样误差可以从概率的意义上加以控制。

特点:(1)对于一个具体的调查，要求总体中的每一个单元都有一个已知的非零概率被抽中。

(2)抽取样本的方法必须是随机的。

(3)根据样本来计算估计值的方法，应符合抽样的方法确定合适的估计量。

(4)能够以一定的概率控制抽样误差的范围。

概率抽样：等概率抽样&不等概率抽样（二）抽样调查的常用概念1. 目标总体：可简称为总体，是指所要研究对象的全体，或者说是希望从中获取信息的总体，它是由研究对象中所有性质相同的个体所组成，组成总体的各个个体称作总体单元或单位。

2.抽样总体：指从中抽取样本的总体。

3.抽样框：抽样总体的具体表现。

通常抽样框是一份包含所有抽样单元的名单。

4.总体参数：总体的特征。

5. 统计量（估计量）：样本观察值的函数。

6.抽样误差：由于抽样的非全面性和随机性所引起的偶然性误差。

7.非抽样误差：由随机抽样的偶然性因素以外的原因所引起的误差。

8.抽样误差表现形式：抽样实际误差、抽样标准误和抽样极限误差。

9. 抽样标准误（S ），抽样方差（V ），V=S 210.偏差：样本估计量的数学期望与总体真值间的离差，ˆˆE()-()ˆB θθθ=。

第二章参数估计(作业)

第二章参数估计(作业)

3 . 7 0 3 . 3 0
3 . 2 8 3 . 0 5
3 . 3 5 3 . 3 3
3 . 2 0 3 . 2 7
3 . 1 2 3 . 2 8
3 . 2 5 3 . 2 5
2 。构造两个总体方差比 1
2 的 95%的置信区间。 2
2 答案： 已知, x1 =3.33， =0.006， 根据自由度 n1=21-1=20 和 n2=21-1=20， x 2 =3.27， s12 =0.06， s2
z 2
s =3.31± 0.53，则该校大学生平均上网时间 n
的置信区间为（2.78，3.84） 。 当置信水平为 99%时，z/2=2.58 ， x 的置信区间为（2.62，0.69，则该校大学生平均上网时间 n
3、在一项家电市场调查中，随机抽取了 200 个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视 机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为 90% 和 95%。 答案：已知 n=200，P=23%，则
第二章参数估计
1、某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客
组成了一个简单随机样本。 （1） 假定总体标准差为 15 元，求样本均值的抽样标准误差； （2） 在 95%的置信水平下，求边际误差； （3） 如果样本均值为 120 元，求总体均值 的 95%的置信区间。
6、生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对工序进行改进以减 小方差。两部机器生产的袋茶重量（单位：g）的数据如下：
机 3 3 器 . . 1 4 2 5 0 机 3 3 器 . . 2 2 3 2 8
3 . 2 2 3 . 3 0

样本比例估计总体比例

样本比例估计总体比例

样本比例估计总体比例在统计学的广阔领域中，样本比例估计总体比例是一项极为重要的任务。

它就像是在茫茫大海中，通过手中的一小片拼图去推测整幅画面的模样。

为了理解这一概念，咱们先从“样本”和“总体”说起。

总体，简单来讲，就是我们所关心的整个群体。

比如说，一个城市所有居民的收入情况，这就是一个总体。

而样本呢，是从这个总体中抽取出来的一部分。

就好像从一大桶豆子中抓出一小把来观察。

那为什么我们不直接研究总体，而要通过样本去估计总体呢？这主要是因为在很多情况下，要对整个总体进行研究，要么太耗费时间，要么成本太高，甚至根本就不可能实现。

比如要了解全国所有成年人的身高情况，这几乎是无法做到的，所以我们只能抽取一部分人作为样本进行研究。

样本比例，就是样本中具有某种特征的个体所占的比例。

比如说，在抽取的 100 个人中，有 30 个人喜欢运动，那么样本中喜欢运动的人的比例就是 30%。

而通过这个样本比例来估计总体比例，就是我们要探讨的重点了。

想象一下，如果我们抽取的样本是具有代表性的，也就是说能够很好地反映总体的特征，那么这个样本比例就能够为我们估计总体比例提供有价值的线索。

但是，这里面存在着不确定性和误差。

毕竟样本只是总体的一部分，它不可能完全等同于总体。

就好像通过一个小窗口看外面的风景，虽然能看到一些，但不可能看到全部。

为了更准确地通过样本比例估计总体比例，我们需要考虑很多因素。

首先就是样本的大小。

一般来说，样本越大，估计的准确性就越高。

这就好比小桶里的豆子数量少，估计整桶豆子中某种颜色豆子的比例可能偏差较大；但如果桶里的豆子数量很多，估计就会更准确一些。

抽样的方法也至关重要。

如果抽样是随机的、均匀的，那么样本就更有可能具有代表性。

如果抽样存在偏差，比如只在某个特定的区域或者特定的人群中抽样，那么得到的样本比例很可能不能准确地估计总体比例。

另外，我们还需要考虑置信水平和置信区间。

置信水平就像是我们对估计结果的信心程度，比如 95%的置信水平意味着我们有 95%的把握认为估计结果是准确的。

统计学第二章-统计量及其分布-重点难点归纳及答案解析

统计量及其分布习题知识点精析与应用一、填空题(将正确答案的序号填在括号内，共5小题，每小题2分，共10分)1、简单随机抽样样本均值X 的方差取决于 和_________，要使X 的标准差降低到原来的50％，则样本容量需要扩大到原来的 倍。

2、设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，则a =____________。

（注：20.99(17)33.4χ=, 20.995(17)35.7χ=, 20.99(16)32.0χ=, 20.995(16)34.2χ=）3、若(5)X t ，则2X 服从_______分布。

4、已知0.95(10,5) 4.74F =，则0.05(5,10)F 等于___________。

5、中心极限定理是说：如果总体存在有限的方差，那么，随着 的增加，不论这个总体变量的分布如何，抽样平均数的分布趋近于 。

，二、选择题(将正确答案的序号填在括号内，共5小题，每小题2分，共10分)1、中心极限定理可保证在大量观察下A 样本平均数趋近于总体平均数的趋势B 样本方差趋近于总体方差的趋势C 样本平均数分布趋近于正态分布的趋势D 样本比例趋近于总体比例的趋势2、设随机变量()(1)X t n n >，则21/Y X =服从21/Y X = 。

A 正态分布B 卡方分布C t 分布D F 分布3、根据抽样测定100名4岁男孩身体发育情况的资料，平均身高为95cm ，，标准差为0.4cm 。

至少以 的概率可确信4岁男孩平均身高在93.8cm 到96.2cm 之间。

A 68.27%B 90%C 95.45%D 99.73%4、某品牌袋装糖果重量的标准是（500±5）克。

为了检验该产品的重量是否符合标准，现从某日生产的这种糖果中随机抽查10袋，测得平均每袋重量为498克。

下列说法中错误的是（ ）A 、样本容量为10B 、抽样误差为2C 、样本平均每袋重量是统计量D 、498是估计值5、设总体均值为100，总体方差为25，在大样本情况下，无论总体的分布形式如何，样本平均数的分布都是服从或近似服从A (100/,25)N nB NC (100,25/)N nD (100,N 三、判断题1、所有可能样本平均数的方差等于总体方差。

第二章抽样调查基本原理

第二章抽样调查基本原理第一节有关基本概念一、总体总体也叫母体，它是所要认识对象的全体，是具有同一性质的许多单位的集合。

组成总体的每个个体叫做单位。

总体可以是有限的，也可以是无限的。

如果总体中所包含个体的数目为有限多个，则该总体就是有限总体，反之是无限总体。

总体也可区分成计量总体(由测量值组成的)和计数总体(由品质特征组成的)。

在抽样以前，必须根据实际情况把总体划分成若干个互不重叠并且能组合成总体的部分，每个部分称为一个抽样单元，不论总体是否有限，总体中的抽样单元数一定是有限的，而且是已知的，因此说抽样调查的总体总是有限的。

抽样单元又有大小之分，一个大的抽样单元可以分成若干个小的抽样单元，最小的抽样单元就是每一个个体。

如一项全国性的调查，如果把省作为一级单元，则可以把县作为二级单元，乡作为三级单元，村作为四级单元等等。

又如在流动人口抽样中，可以以居委会作为抽样单元，而在家计调查中，则以户为抽样单元。

总体应具备同质性、大量性和差异性的特征。

在抽样调查中，通常将反映总体数量特征的综合指标称为总体参数。

常见的总体参数主要有：1.总体总和Y：例如全国人口数。

Y=∑yi =y1+y2+…+yN2.总体均值Y：例如职工平均工资。

Y=Y/N=∑y i /N3.总体比率R：是总体中两个不同指标的总和或均值的比值。

如总收入与总支出之比。

R=Y/X=Y/X4.总体比例P：是总体中具有某种特性的单元数目所占比重。

如产品的合格率。

二、样本样本是由从总体中所抽选出来的若干个抽样单元组成的集合体。

抽样前，样本是一个n 维随机变量，属样本空间；抽样后，样本是一个n元数组，是样本空间的一个点。

样本是总体的缩影，是总体的代表。

抽样的效果好不好，依赖于样本对总体是否有充分的代表性。

样本的代表性愈强，用样本指标对总体全面特征的推断就愈精确，即推断的误差就愈小；反之，如果样本的代表性愈弱，推断的误差就愈大，推断结果就愈不可靠。

如何增强样本的代表性，使其能达到估计或推断的预期效果，就必须分析影响样本代表性的因素，以便加强控制。

第二章 抽样技术的基本概念

样本均值的抽样分布类型一般有三种： 1、正态分布的再生定理；
2、中心极限定理；
3、t分布定理；
对于样本比例，在重复抽样时服从二项分布，在 不重复抽样时服从超几何分布，它们的极限形式都是 正态分布。
正态分布是最重要、最常用的抽样分布。 我们可 以根据正态分布理论，在一定的概率保证下，以所抽 样本所给出的估计值为依据对总体指标作出区间估计。
4、在实践中，我们还经常要对总体中某 特定的组或类进行调查研究，这样的组或类就 称为研究域或子总体。
5
二、调查单位与抽样单位
总体是由单位构成的，单位有调查单位与 抽样单位之分。
调查单位就是调查项目的承担者，即我们 想通过调查取得其观测值的单位，它通常是构 成总体的最基本单位。但有时调查单位与基本 单位并不相同。
标θ ，也就是要在一定的概率保证下，想办 法找出两个数值θ1和θ2（θ1≤θ2），使θ处
于这两个数值之间，即：
Pr(θ1 ≤ θ ≤ θ2 )=1- α
27
区间（θ1,θ2）就被称为抽样的置信区 间或估计区间，θ1被称为置信区间的下限， θ2被称为置信区间的上限 。
在正态分布下，估计量关于总体指标对称
23
二、抽样误差的表现形式
抽样误差的表现形式一般有三种：抽样实 际误差、抽样标准误和抽样极限误差。
抽样实际误差是指抽样估计值与总体指标 值之间的离差。
特点： 1、若估计量无偏，所有可能的实际误差 的总和为0； 2、每一次抽样的实际误差是不可知的； 3、抽样实际误差是随机变量。
24
抽样标准误是衡量抽样误差大小的核心指标，是对总 体指标作出区间估计的一个重要因素，狭义上所指的抽样 误差就是抽样标准误。它就是抽样分布或抽样估计量的标 准差，是抽样分布方差或抽样估计量方差（均方误差）的 平方根。

2总体比率和方差的估计

质量管理
实验二
学实验 总体比率和方差的估计
1 一个（单）总体比率的估计 2 两个（双）总体比率之差的估计 3 一个（单）总体方差的估计 4 两个（双）总体方差比的估计
1 -1
单总体比率的区间估计
假定条件：
总体服从二项分布 样本比例可以由正态分布来近似（即大样本：nπ≥5，
n（1-π）≥5)
使用正态分布统计量z
学实验
(图示)
总体方差的
1 的置信区间
2
1
2
2
2
2
自由度为n-1的2
1 -8
质量管理 总体方差的区间估计
学实验
(例题分析)
【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某
天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如 下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95% 的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间
• 1. 假定条件
▪ 两个总体服从二项分布 ▪ 可以用正态分布来近似 ▪ 两个样本是独立的
• 2. 两个总体比例之差1- 2在1- 置信
水平下的置信区间为
p1 p2 z 2
1 -4
p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 )
n1
n2
质量管理两个总体比例之差的估计
学实验
(例题分析)
【例】在某个电视节目的收
质量管理 总体方差的区间估计
学实验
(例题分析)
解:已知n＝25，1-＝95% ,根据样本数据计算得
s2 =93.21
2
22 (置n 信1)度 为02.09255(2%4)的 3置9.信364区1 间1为2 2 (n
1)
2 0.9
75
(
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p值 = Φ ( z ) = Φ (−1.885618) ≈ 0.02967322
连续性修正: x − nπ 0 + 0.5 z= ≈ −1.649916 nπ 0 (1 − π 0 )
p值 = Φ ( z ) = Φ (−1.649916) ≈ 0.04948008 k1应该为满足不等式
的最大的k. 的最大的k.
R软件的应用
检验问题
R软件: 软件:
H1 : π < π 0 H 0 : π = π 0 ⇔ 或H1 : π > π 0 或H : π ≠ π 1 0
PH 0 ( X ≤ x)
• phyper(x,k0,N-k0,n) phyper(x,k0,N-
(2)如何计算总体中感兴趣个体的比例 π = k N的置 信度为1 − α 的置信区间?
模型的选择
总体量N比较小 选择超几何分布 总体量 比较小,选择超几何分布 比较小 选择超几何分布Hyper(x,k,N-k,n); 总体量N比较大 可用二项分布模型Bin(n,π )近似 在 比较大,可用二项分布模型 近似;在 总体量 比较大 可用二项分布模型 近似 小样本时,可对该近似的二项分布模型求精确解 可对该近似的二项分布模型求精确解; 小样本时 可对该近似的二项分布模型求精确解 在大总体及大样本时,即 很大同时 也很大时,而且 很大同时n也很大时 在大总体及大样本时 即N很大同时 也很大时 而且 二项分布的解不易求出时,可用正态分布来近似二项分 二项分布的解不易求出时 可用正态分布来近似二项分 布.
n
例2.2的解答
要检验:
H 0 : π = 0.5 ⇔ H1 : π > 0.5
在零假设下,我们的模型是Bin(1752,0.5).
1752 i P( X ≥ 979) = ∑ π (1 − π )1752−i ≈ 0.0000 i i = 979
1752
因此,对于显著性水平为0.05时,可以拒绝零假设,认为大部分学 生都支持减少必修课的建议.
一般的问题
假定总体由N个个体组成,具有某种感兴趣性质的个体数目
π 为未知的k,其在总体中的比例为 = k N.抽取样本量为n的一个 样本,其中感兴趣的个体有x个. 问题:(1) H1 : π < π 0
H 0 : π = π 0 ⇔ 或H1 : π > π 0 或H : π ≠ π 1 0
2.2 大总体情况---二项分布及其大样本正态近似
例2.1(续)若总体量很大,则可以用二项分布来进行检验及求其置 信区间.
H 0 : π = 0.1 ⇔ H1 : π < 0.1
在零假设下,我们的模型为Bin(50,0.1)
n i P ( X ≤ 1) = ∑ π (1 − π ) n −i ≈ 0.03379 i =0 i
第二章 总体比例的检测和置信区间
在校园中,很多学生认为乘车出入校园不用下车 很多学生认为乘车出入校园不用下车,而骑自 例2.1 在校园中 很多学生认为乘车出入校园不用下车 而骑自 行车必须下车的规定很不公平,是对无机动车族的歧视 于是, 是对无机动车族的歧视.于是 行车必须下车的规定很不公平 是对无机动车族的歧视 于是 在有N个学生的校园中对学生进行 个学生的校园中对学生进行” 在有 个学生的校园中对学生进行”骑自行车出入是否应该 下车”的调查. 下车”的调查 假定总体中支持 该规定的人数占总学生人数的比例为未 在随机调查了n=50个学生之后 结果仅有 个学生之后,结果仅有 知的 π .在随机调查了 在随机调查了 个学生之后 结果仅有x=1人认为 人认为 应该下车. 应该下车 问题:(1)能不能说该校不足有 能不能说该校不足有10%学生支持规定 学生支持规定? 问题 能不能说该校不足有 学生支持规定 (2)总体比例的置信度为 1 − α)的置信区间如何估计 总体比例的置信度为( 的置信区间如何估计? 总体比例的置信度为 的置信区间如何估计
1
因此,对于显著性水平为0.05时,可以拒绝零假设,即支持出入 下车的学生不足十分之一的结论.
置信区间
精确置信区间 (π 1 , π 2 ) π2 : x n i n −i
∑ i π (1 − π )
i =0

=α 2
π1 :
n i π (1 − π ) n −i = α 2 ∑i i=x
π 的置信区间
必须在(0,1)内.
ˆ (π − 3
ˆ ˆ π (1 − π ) n
ˆ ,π + 3
ˆ ˆ π (1 − π ) n
)
例2.1(续)
利用大样本正态近似进行检验: H 0 : π = 0.1 ⇔ H1 : π < 0.1 检验统计量Z有实现值 x − nπ 0 1 − 50 × 0.1 = ≈ −1.885618 z= nπ 0 (1 − π 0 ) 50 × 0.1(1 − 0.1)
40 400 − 40 1 i 50 − i P ( X ≤ 1) = ∑ ≈ 0.02637 400 i =0 50
因此,对于显著性水平为0.05时,可以拒绝零假设,即支持出入 下车的学生不足十分之一的结论.
问题2 问题2的解答
在超几何分布模型中,问题2转化为: 在超几何分布模型中,问题2转化为: 求关于k 求关于k的1 − α 置信区间 ( k1 , k2 ). 不加证明地有: 不加证明地有:
2.1 小总体情况---超几何分布
例2.1(续)假定该校区有N=400个学生. 问题1: H : π = 0.1 ⇔ H : π < 0.1
0 1
在超几何分布模型中,问题转化为:
H 0 : k = 40 ⇔ H1 : k < 40
问题1的解答
解:在零假设下,总体X为Hyper(1,40,400-40,50).
H1 : π < π 0
H1 : π > π 0
H1 : π ≠ π 0
• 1-phyper(x-1,k0,N-k0,n) P ( X ≥ x) phyper(x-1,k0,NH0
• 2*phyper(xs,k0,N-k0,n) 2 PH ( X ≤ min( x, n − x)) 2*phyper(xs,k0,N0
在某城市多所大学校园随机抽查了n=1752个学生, n=1752个学生 例2.2 在某城市多所大学校园随机抽查了n=1752个学生,有 x=979个支持减少必修课的建议 个支持减少必修课的建议. x=979个支持减少必修课的建议. 问题:(1)能不能说本市学生中有多于50%的学生都支持这个 问题:(1)能不能说本市学生中有多于50%的学生都支持这个 :(1)能不能说本市学生中有多于50% 建议? 建议? (2)能不能找到支持这个建议的总体比例的置信区间 能不能找到支持这个建议的总体比例的置信区间? (2)能不能找到支持这个建议的总体比例的置信区间?
p值 = 1 − Φ ( z ) ≈ 0.0000
使用连续性修正: 使用连续性修正:
z= x − nπ 0 − 0.5 nπ 0 (1 − π 0 ) ≈ 4.897639
p值 = 1 − Φ ( z ) ≈ 0.0000
大样本结论(置信区间)
总体比例 π 的置信度为(1 − α )的置信区间为:
大样本结论(假设检验)
当样本量n大的时候, 当样本量n大的时候,可用均值为 nπ ,方差为nπ (1 − π )的正态分 布来对二项分布Bin(n, )近似 近似. 布来对二项分布Bin(n,π )近似. H1 : π < π 0 此时,对于检验: 此时,对于检验: H 0 : π = π 0 ⇔ 或H1 : π > π 0 或H : π ≠ π 1 0 检验统计量
Z=
ˆ nπ − nπ 0 nπ 0 (1 − π 0 )
在零假设下,Z有近似的标准正态分布( 在零假设下,Z有近似的标准正态分布(通常用 Φ ( • )表示其累积 ,Z有近似的标准正态分布 分布函数). 分布函数).
例2.2的解答(续)
应用正态近似解答: 应用正态近似解答: 检验统计量的实现值 x − nπ 0 979 − 1752 × 0.5 z= = ≈ 4.9215 nπ 0 (1 − π 0 ) 1752 × 0.5(1 − 0.5)
k2 应该为满足不等式
的最小的k. 的最小的k.
k N − k x i n − k P ( x, k , N − k , n ) = ∑ ≤α 2 N i =0 n
k N − k x i 50 − k P ( x, k , N − k , n ) = ∑ ≥ 1−α 2 N i =0 n
ˆ (π − zα 2
例2.2(续)
ˆ ˆ π (1 − π ) n
ˆ , π − zα 2
ˆ ˆ π (1 − π ) n
)
大样本近似需要甚么条件?
没法说出充分条件,只有一些必要条件. 较粗率的标准是: π 0 (1 − π 0 ) π 0 (1 − π 0 ) ,π 0 + 3 ) 对于检验 H 0 : π = π 0 ,区间 (π 0 − 3 n n 必须在(0,1)内;