总体均值的区间估计

极端值处理问题
剔除极端值
在数据分析前，对极端值进行识别和处理，如采用箱线图、Zscore等方法剔除异常值。
转换数据
对数据进行适当的转换，如对数转换、平方根转换等，使极端值的 影响减小。
使用稳健统计量
采用对极端值不敏感的稳健统计量进行区间估计，如中位数、截尾 均值等。
多重比较问题
控制比较次数
在实验设计和数据分析阶段，合理控制比较次数，避免不必要的 多重比较。
02
抽样分布与中心极限定理
抽样分布概念及类型
抽样分布概念
从总体中随机抽取一定数量的样本，统计量的分布称为抽样分布。
常见抽样分布类型
正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。
中心极限定理内容及应用
中心极限定理内容
当样本量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的分布将近似于正态分布。
中心极限定理应用
在统计学中，中心极限定理是推断统计的理论基础，常用于区间估计、假设检验 等。
构造方法
根据样本均值、标准差和样本量，结 合正态分布或t分布的性质，可以构造 出总体均值的置信区间。
比例p置信区间构建方法
二项分布与比例估计
01
当总体服从二项分布时，样本比例是总体比例的一个良好估计
量。
置信区间的构造
02
利用样本比例、样本量和二项分布的性质，可以构造出总体比
例的置信区间。
注意事项
03
配对样本t检验原理及应用
原理
配对样本t检验是通过比较同一组样本在不同条件下的均值差异来检验两个总体均值是否存在显著差 异的方法。其原假设为两个总体均值相等，备择假设为两个总体均值不等或大于/小于另一个总体均 值。
应用
配对样本t检验适用于前后测量、两种处理方法等配对设计的数据分析。例如，在医学领域，可以通过 配对样本t检验来比较同一种药物在不同剂量下的疗效差异；在教育领域，可以通过配对样本t检验来 比较同一种教学方法在不同班级中的教学效果差异。

2 p
(n1
1)s12
(n2
1)s
2 2
n1 n2 2
3. 估计量x1-x2的抽样标准差
s
2 p
s
2 p
n1 n2
sp
11 n1 n2
两个总体均值之差的估计
(小样本: 1222 )
1. 两个样本均值之差的标准化
t
( x1
x2 ) 1
s p n1
(1
1 n2
2 )
~
t (n1
n2
2)
2. 两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的
x1
32.5
s12
15.996 x2
27.875
s
2 2
23.014
自由度为
15.996
23.014
2
v 12
8
13.188 13
15.996 122 23.014 82
12 1
8 1
(32.5 27.875) 2.1604 15.996 23.014 4.625 4.433
女学生： x2 480
s
2 2
280
试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方 差比的置信区间
两个总体方差比的区间估计 (例题分析)
解 : 根 据 自 由 度 n1=25-1=24 ， n2=25-1=24 ， 查 得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.505
12 /22置信度为90%的置信区间为
两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置
信区间为
x1 x2 t 2 (v)
s12
s
2 2
n1 n2
自由度 v

三、总体参数的区间估计
图5-10 “探索”对话框
图5-11 “探索:统计量”对话框
三、总体参数的区间估计
单击“统计量”按钮，弹出“探索：统计量”对话框，如图5-11所示。 该对话框中有如下四个复选框： （1）描述性：输出均值、中位数、众数、标准误、方差、标准差、极小值 、极大值、全距、四分位距、峰度系数和偏度系数的标准误差等。此处能够设 置置信区间，默认为90%(α=0.1),可根据需要进行调整。 （2）M 最大似然确定数。 （3）界外值：输出五个最大值和五个最小值。 （4）百分位数：输出第5%、10%、25%、50%、75%、90%、95%位数 。
三、总体参数的区间估计
【例5-17】 某餐馆随机抽查了50位顾客的消费额（单位：元）为 18 27 38 26 30 45 22 31 27 26 35 46 20 35 24 26 34 48 19 28 46 19 32 36 44 24 32 45 36 21 47 26 28 31 42 45 36 24 28 27 32 36 47 53 22 24 32 46 26 27 在90%的概率保证下，采用点估计和区间估计的方法推断餐馆顾客的平均消 费额。 解：执行“分析”→“描述统计”→“探索”命令，打开“探索”对话框。由于本例只 有消费额一个变量，且需要对消费额进行探索性分析，故选中左侧列表框中的“消 费额”选项，将其移入“因变量列表”框中，如图5-10所示。
解：已知n=31,α=0.01,=10.2;σ=2.4,z0.005=2.58，由于总 体方差已知，为大样本，可以利用式（5-23）来进行计算。
即（9.088，11.312 该学生每天的伙食费在显著性水平为99%时的置信区间为（ 9.088，11.312）。

估计理论估计理论提供了从样本统计量估计未知总体参数的方法。

样本统计量是某些测量值样本特征的经验性数值量度，不能将样本的经验抽样分布与样本理论抽样分布及总体概率分布混淆。

（回顾：通俗解释“大数据”及推断性统计学：抽样分布）两个概念估计量：指任何一个对总体参数给出估计值的样本统计量，例如样本均值。

估计值：指从某一样本计算得到的估计量的一个具体数值。

点估计对于来自一个测量总体的任何随机样本，如果对随机量（例如：样本的均值、方差或标准差）算得一个具体的数值（某个样本的均值、方差或标准差），用以估计总体的参数（例如：总体的均值、方差或标准差），则该数值称为总体参数（例如：总体的均值、方差或标准差）的一个点估计。

用点估计反映总体参数时，应该给出尽可能多的附加信息，使得便于评价估计值的准确度和精度。

准确度受度量方法和抽样设计影响；精度则由固定容量n的样本标准差决定，标准差越小越精确。

尽管有点估计及其准确度和精度的一些信息，但是仍然未能从样本跳跃到总体，即未能把点估计与待估总体参数联系起来，给出估计对参数的接近程度或确定在估计值中存在多大的可能误差，为了从样本信息推断总体参数，需要用到区间估计。

区间估计区间估计是一个从样本到总体的推断，区间估计将总体参数置于一个实区间上。

区间的边界值由三个因素决定：1、样本点估计值；2、联系总体参数和样本点估计的样本统计量（如Z统计量，做正态变换得到）；3、该统计量的抽样分布（例如，样本均值的理论抽样分布服从正态分布，则Z统计量的抽样分布是标准正态分布）；总体均值的区间估计公式推导上述推导给出了总体均值的区间估计的概率形式，基于要求：容量为n的单样本来自无限大且标准差已知的正态分布总体。

置信水平在进行数据分析时，经常需要输入置信水平，大多数情况选择95%的置信水平，当然也可以选择其他的置信水平。

什么是置信水平呢？通过上面的公式推导，得到了总体均值区间估计的概率表示：其中的1-α称为置信系数，它的百分数表示形式(1-α)100%称为置信水平。

么？或者在什么范围。
点估计：根据样本数据算出一个单一的估 计值，用来估计总体的参数值。 区间估计：计算抽样平均误差，指出估计 的可信程度，进而在点估计的基础上，确定总
体参数的所在范围或区间。
第二节 总体均值与方差的点估计
概括地说： 经常需要对总体进行估计的两个数字特征是： 总体的均值和方差。如果将总体的均值和方 差视为数轴上的两个点，这种估计称为点估 计。如果要求估计总体的均值或方差将落在 某一段数值区间，这种估计称为区间估计。
要对总体参数值进行区间估计，既要在一定 可靠度上求出总体参数的置信区间的上下限， 需要以下条件：
1.要知道与所要估计的参数相对应的样本统计 量的值，以及样本统计量的理论分布；



2.要求出该种统计量的标准误；
3.要确定在多大的可靠度上对总体参数作估计， 再通过查某种理论概率分布表，找出与某种可靠度 相对应的该分布横轴上记分的临界值，才能计算出 总体参数的置信区间上下限。

则称 [ T1 , T2 ]为 的置信水平为1 - 的
几点说明
置信区间的长度 T2 T1 反映了估计精度 T2 T1 越小, 估计精度越高.
反映了估计的可靠度, 越小, 越可靠. 越小, 1- 越大, 估计的可靠度越高,但
这时, T2 T1 往往增大, 因而估计精度降低.

n
n
X 1.96 X 1.96

n
) 0.95 ) 0.95
n
n
4、解释
在置信区间[X-1.96SEx，X+1.96SEx]内，正 确估计总体均值所在区间的概率为0.95。但 是，做这种区间估计不可能保证完全无误， 估计错误的概率大约为0.05。

⑩在单元格D8和D9中输入计算置信区间上限和下限 的公式，下限为样本均值减抽样极限误差，上限为 样本均值加抽样极限误差。其公式分别为“=D2D7”和“=D2+D7”，显示值为1285.057和1357.143。
这样，总体均值的95%的置信区间为：
1285.057 1357.143
总体均值区间估计结果如图所示：
估计总体比例的 必要样本容量
例 联想集团希望了解购买“天禧”品牌计算机 的消费者满意比例，集团确信“天禧”品牌计 算机满意比例不会小于70%。如果集团想使抽 样极限误差在±2%，置信度为99%，则需要多 大的样本？
①打开“参数估计.xls”工作簿，选择“比例样本容量”工 作表。
②在单元格B2中输入P值70%，在单元格B3中输入置信度 99%，在单元格B4中输入抽样误差2%。
②选择单元格D1，在“插入”菜单中选择“函数” 选
项，打开“粘贴函数”对话框如图所示。
③在“函数分类”列表中选择“统计”，在“函数名” 列表中选
择计数函数COUNT。单击“确定”按钮，打开计数函 数
对话框如图所示。
④在value1中输入数据范围。单击A列列头，或输 入“A:A”，这相当于选择整个列，包括标题和 所有的空单元格。单击“确定”按钮。单元格 D1中会显示结果为10，即A列中数据的个数
在单元格D5中输入置信度95%，注意加上百分号。 在单元格D6中使用TINV函数计算在95%置信度和 自由度下的t值。
⑥选择单元格D6，在“插入”菜单中选择“函数” 选项，打开“粘贴函数”对话框。
⑦在“函数分类”列表中选择“统计”，在“函数名” 列表中选
择TINV函数。单击“确定”按钮，打开TINV函数对话 框
为0.27113和0.36887。

100
2
x求解。若 x已知，则
x

即：
n
20
2 的正态分布。
x ~ N (82,2 )
STAT 8.1.2抽样误差的概率表述
x ~ N (82,22 )由概率论可知，
Z x
有以下关系式成立：
一般称，
x
服从标准正态分布，即， Z ~ N (0,1)
P(
x
1 为置信度，可靠程度等，反映估计结果的可信程度。若
STAT 8.1.3计算区间估计：已知时的大样本情况 在CJW公司的例子中，样本均值产生的抽样误差是3.92或更小 的概率是0.95。因此，可以构建总体均值的区间为，
x , x 82 3.92,82 3.92
x x
78.08,85.92
由于，从一个总体中抽取到的样本具有随机性，在一次偶然的 抽样中，根据样本均值计算所的区间并不总是可以包含总体均 值，它是与一定的概率相联系的。如下图所示：
抽样误差
x= x
（实际未知）
STAT 要进行区间估计，关键是将抽样误差 区间可表示为：
x x 此时，可以利用样本均值的抽样分布对抽样误差的大小进行 描述。
上例中，已知，样本容量n=100,总体标准差 20 ，根据 中心极限定理可知，此时样本均值服从均值为 ，标准差为
x , x
本章难点
1、一般正态分布标准正态分布； 2、t分布； 3、区间估计的原理； 4、分层抽样、整群抽样中总方差的分解。
8.1总体均值的区间估计（大样本n>30）
点估计的缺点：不能反映估计的误差和精确程度
STAT
区间估计：利用样本统计量和抽样分布估计总体参数的可能区 间 【例1】CJW公司是一家专营体育设备和附件的公司，为了监控 公司的服务质量， CJW公司每月都要随即的抽取一个顾客样本 进行调查以了解顾客的满意分数。根据以往的调查，满意分数 的标准差稳定在20分左右。最近一次对100名顾客的抽样显示， 满意分数的样本均值为82分，试建立总体满意分数的区间。 8.1.1抽样误差 抽样误差：一个无偏估计与其对应的总体参数之差的绝对值。

双正态总体参数的区间估计双正态总体参数的区间估计是统计学中的一种方法，用于估计由两个正态分布组成的总体的参数。

这种方法适用于当我们需要估计两个总体的平均值或比例时，且这两个总体可以被假定为来自两个不同的正态分布。

下面我们将详细介绍双正态总体参数的区间估计的原理和步骤。

双正态总体参数的区间估计可以分为两种情况：一种是当我们需要估计两个总体的平均值，另一种是当我们需要估计两个总体的比例。

首先，假设我们需要估计两个总体的平均值。

我们可以用样本平均值来估计总体平均值，并通过计算标准误差来构建置信区间。

如果我们假设两个总体的方差相等，则可以使用统计学中的配对t检验方法来进行推断。

具体步骤如下：1.收集样本数据。

从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本的观测值。

2.计算样本平均值。

对于每个总体，计算对应样本的平均值。

3.计算差值。

对于每个配对样本，计算它们的差值。

如果我们关注的是总体平均值的差异，则用两个总体对应样本的平均值之差来作为差值。

4.计算标准差。

计算差值样本的标准差，用来估计差值的标准误差。

5.确定置信水平。

选择一个置信水平，通常为95%。

这意味着我们希望有95%的置信度认为估计的区间包含真实的总体差异。

6.计算临界值。

确定配对t检验的自由度，并使用自由度和置信水平来查找相应的t临界值。

7.构建置信区间。

使用差值平均值±t临界值*标准误差来构建置信区间，这个区间将包含真实的总体差异。

另一种情况是当我们需要估计两个总体的比例。

在这种情况下，我们可以使用两个样本中的比例差异来估计总体的比例差异。

具体步骤如下：1.收集样本数据。

从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本中的成功次数和总次数。

2.计算样本比例。

对于每个总体，计算对应样本的比例，即成功次数除以总次数。

3.计算差异。

对于每个配对样本，计算它们的比例之差。

4.计算标准误差。

计算比例差异样本的标准误差，用来估计比例差异的标准误差。

即
，且 未知时，
这时两个样本均值之差（ 为
）的抽样分布
整理课件
37
所以
因为 未知，则用共同方差 的合并估计 量
整理课件
38
两个总体均值差 区间为
的置信度为1-α的置信
其中， 是α水平的自由度为 的t分布双侧分位数。
整理课件
39
例题：
某公司为了解男女推销员的推销能力是否 有差别，随机抽取16名男推销员和25名女 推销员进行测试。男推销员的平均销售额 为30250元，标准差为18400元，女推销 员的平均销售额为33750元，标准差为 13500元。假设男女推销员的销售额服从 正态分布，且方差相等。试建立男女推销 员销售额之差的95%的置信区间。
点估计是指根据抽取到的具体样本数据， 代入估计量得到的一个估计值。
区间估计是在点估计的基础上估计出总体 参数一个可能的范围，同时还给出总体参 数以多大的概率落在这个范围之内。
整理课件
2
二、为什么要区间估计呢？
在上述警察逮捕人数的例子中，你计算得出 均值为15.6人，你的上司可能会问，这一均 值的确是15.6吗？
小样本 (<30)
大样本 (>=30)
——
整理课件
X
Z
2
n
N n N 1
X Z
2
n
N n N 1
——
X
Z
2
n
Nn N 1
32
总体 分布
正态 分布
非正 态分 布
总体均值μ的区间估计（置信度为1-α） [简单随机抽样和等距抽样]
样本 容量
σ未知重复抽样
小样本
(<30)
大样本

与点估计相比区间估计的主要优点是一、点估计：1、优点：简单易懂，能够提供总体参数的估计值。

2、缺点：用抽样指标直接代替全体指标，不可避免的会有误差。

二、区间估计：1、优点：可以在一定的概率水平上来判断估计值的取值范围自，从而认识样本序列的聚集程度和离散程度2、缺点：受异常值影响可能导致估计的区间不准确，同时知由于是在一定概率陈水平上道的推断，忽略了小概率事件可能产生的影响。

点估计目的是依据样本X=(X1、X2…Xi)估计总体分布所含的未知参数θ或θ的函数g(θ)。

一般θ或g(θ)是总体的某个特征值，如数学期望、方差、相关系数等。

点估计的常用方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等。

与点估计不同，进行区间估计时，根据样本统计量的抽样分布可以对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。

区间估计（interval estimate）是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。

与点估计不同，进行区间估计时，根据样本统计量的抽样分布可以对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。

下面将以总体均值的区间估计为例来说明区间估计的基本原理。

区间估计，是参数估计的一种形式。

1934年，由统计学家J.奈曼所创立的一种严格的区间估计理论。

置信系数是这个理论中最为基本的概念。

通过从总体中抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，以作为总体的分布参数(或参数的函数)的真值所在范围的估计。

用数轴上的一段距离或一个数据区间，表示总体参数的可能范围.这一段距离或数据区间称为区间估计的置信区间。

区间估计（interval estimation）是从点估计值和抽样标准误差出发，按给定的概率值建立包含待估计参数的区间.其中这个给定的概率值称为置信度或置信水平(confidence level），这个建立起来的包含待估计参数的区间称为置信区间（confidence interval），指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。

根据样本数据构造一个检验统计量，并设定一个 拒绝域，当检验统计量落入拒绝域时，则拒绝原 假设。
利用置信区间进行假设检验步骤
构造置信区间
首先根据样本数据构造出总体 均值的置信区间。
计算p值
为了进一步量化检验结果，可 以计算p值，即观察到的样本结 果或更极端结果出现的概率。
判断原假设是否成立
如果置信区间完全位于原假设 的拒绝域内，则可以拒绝原假 设；否则，不能拒绝原假设。
中心极限定理
即使原始数据不服从正态分布，只要 样本量足够大，样本均值的分布也会 趋近于正态分布，从而可以使用Z分 布法。
小样本情况下构建方法
t分布法
当样本量较小且总体方差未知时，样本均值的分布将服从t分布。此时，可以使用t分布法来构建总体 均值的置信区间。
Welch修正
当两个样本的方差不同或样本量不相等时，可以使用Welch修正的t检验来构建总体均值的置信区间。
样本量增加到一定程度后，置信区间收窄速度减缓
当样本量已经足够大时，再增加样本量对置信区间宽度的减小作用将变得有限。
如何确定合适样本量
根据预期效应大小确定样本量
考虑可接受的误差范围
如果预期效应较大，则所需样本量相对较 小；反之，如果预期效应较小，则需要更 大的样本量来检测这种效应。
在确定样本量时，还需要考虑可接受的误 差范围。较小的误差范围需要更大的样本 量来保证估计的精度。
总体均值估计方法
点估计
点估计是用样本统计量直接作为总体参数的估计值，例如用样本均值估计总体 均值。
区间估计
区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数的一个估计区间，即置信区间。 通过构造合适的统计量，并利用抽样分布理论，可以确定置信区间的上下限。

均值置信区间
均值置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体均值的范
围。在实际应用中，我们往往只能通过样本来推断总体的特征，而
均值置信区间就是一种基于样本的估计方法。

均值置信区间的计算方法比较简单，首先需要确定置信水平，通常

取95%或99%。然后根据样本的均值、标准差和样本量，计算出置
信区间的上下限。例如，对于一个样本均值为x，标准差为s，样本
量为n，置信水平为95%，则置信区间的上下限为x±1.96s/√n。

均值置信区间的意义在于，我们可以通过样本均值的范围来估计总

体均值的范围。例如，如果我们对某个产品的质量进行抽样检验，
得到的样本均值为90分，置信水平为95%，则可以认为总体均值
的范围在87.2分到92.8分之间。这个范围是基于样本的统计推断，
具有一定的不确定性，但是可以提供一定的参考价值。

均值置信区间的应用范围非常广泛，例如在医学研究中，可以通过

抽样检验来估计某种药物的疗效；在市场调研中，可以通过抽样调
查来估计某种产品的市场占有率；在质量控制中，可以通过抽样检
验来估计产品的平均质量水平等等。

需要注意的是，均值置信区间只是一种估计方法，其结果具有一定

的不确定性。因此，在实际应用中，需要根据具体情况来确定置信
水平和样本量，以提高估计的准确性和可靠性。同时，还需要注意
样本的选取和抽样方法，以避免样本偏差对估计结果的影响。

均值置信区间是一种常用的统计方法，可以用于估计总体均值的范

围。在实际应用中，需要根据具体情况来确定置信水平和样本量，
以提高估计的准确性和可靠性。

应用Excel求置信区间一、总体均值的区间估计（一）总体方差未知例：为研究某种汽车轮胎的磨损情况，随机选取16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止。

记录所行驶的里程（以公里计）如下：41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400假设汽车轮胎的行驶里程服从正态分布，均值、方差未知。

试求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。

步骤：1.在单元格A1中输入“样本数据”，在单元格B4中输入“指标名称”，在单元格C4中输入“指标数值”，并在单元格A2：A17中输入样本数据。

2.在单元格B5中输入“样本容量”，在单元格C5中输入“16”。

3.计算样本平均行驶里程。

在单元格B6中输入“样本均值”，在单元格C6中输入公式：“=AVERAGE（A2，A17）”，回车后得到的结果为41116.875。

4.计算样本标准差。

在单元格B7中输入“样本标准差”，在单元格C7中输入公式：“＝STDEV(A2，A17)”，回车后得到的结果为1346.842771。

5.计算抽样平均误差。

在单元格B8中输入“抽样平均误差”，在单元格C8中输入公式：“＝C7/SQRT(C5)” ，回车后得到的结果为336.7106928。

6.在单元格B9中输入“置信度”，在单元格C9中输入“0.95”。

7.在单元格B10中输入“自由度”，在单元格C10中输入“15”。

8.在单元格B11中输入“t分布的双侧分位数”，在单元格C11中输入公式：“ ＝TINV(1-C9，C10)”，回车后得到α＝0.05的t分布的双侧分位数t＝2.1315。

9.计算允许误差。

在单元格B12中输入“允许误差”，在单元格C12中输入公式：“＝C11*C8”，回车后得到的结果为717.6822943。

10.计算置信区间下限。

在单元格B13中输入“置信下限”，在单元格C13中输入置信区间下限公式：“＝C6－C12”，回车后得到的结果为40399.19271。

第19讲 正态总体参数的区间估计教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行区间估计的方法。

教学重点：置信区间的确定。

教学难点：对置信区间的理解。

教学时数： 2学时。

教学过程：第六章 参数估计§6.3正态总体参数的区间估计1. 区间估计的概念我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。

因此，对于未知参数θ，除了求出它的点估计ˆθ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数θ真值的可信程度。

设ˆθ为未知参数θ的估计量，其误差小于某个正数ε的概率为1(01)αα-<<，即ˆ{||}1P θθεα-<=-或αεθθεθ-=+<<-1)ˆˆ(P这表明，随机区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-包含参数θ真值的概率（可信程度）为1α-，则这个区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-就称为置信区间，1α-称为置信水平。

定义 设总体X 的分布中含有一个未知参数θ。

若对于给定的概率1(01)αα-<<，存在两个统计量1112(,,,)n X X X θθ= 与2212(,,,)n X X X θθ= ，使得12{}1P θθθα<<=-则随机区间12(,)θθ称为参数θ的置信水平为1α-的置信区间，1θ称为置信下限，2θ称为置信上限，1α-称为置信水平。

注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为n ），每一组样本值确定一个区间12(,)θθ，每个这样的区间要么包含θ的真值，要么不包含θ的真值。

按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含θ真值的约占100(1)%α-，不包含θ真值的约仅占100%α。

例如：若0.01α=，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含θ真值的约为10个。

（2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而置信水平表示估计结果的可靠性。

S/ n
3
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
4 n ( X i )2 ~ 2 (n)
i1
证明2. 由于 X ~ N(, 2 ) ,
n 所以 X ~ N(0,1)
/ n
又
(n 1)
2
S
2
~
（2 n 1)
且与 X 相互独立
/ n
则
X
/ n
(n 1)S 2
2
/ (n 1)
( X ) ~ t(n 1)
区间估计：就是用样本来确定一个
区间，使这个区间以很大的概率包含所
估计的未知参数，这样的区间称为置信
区间.
3
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第2节 区间估计
第七章 参数估计
一、参数的区间估计法
设总体X的分布中含有未知参数θ , 若由来自总体X
的一个样本确定的两个统计量：
ˆ1 ˆ1(X1X2,..., Xn ) , ˆ2 ˆ2(X1X2,..., Xn ) ,
置信区间
X
u
2
n
X
t (n 1)
2
S
n
μ已知
σ2
μ未知
1
2
n
(Xi
i1
)2
~
2 (n)
n
(Xi )2
i1
2
2
(n)
,
n
(Xi
)2
i1
2 1
(n)
2
(n 1)S 2 2
~ 2 (n 1)
(n x2
1)S 2 (n 1)
,
2
(n 1)S 2
x12 2

点估计是用一个点(即一个数)去估计未知参数， 而区间估计，就是用一个区间去估计未知参数.
3
, 给定 ,0 1 ， 定义 设是总体的一个未知参数
确定两个统计量
ˆ , ˆ 分别称为置信下限和置信上限. 区间. 1 2
ˆ , ˆ ]为 的 置信水平为 1 的 置信 则称区间 [ 1 2
1.75 1.96 1.96 0.49, n 50
所以 的置信区间为
（4.10 0.49, 4.10 0.49 ） （3.61, 4.59 ） .
10
例3 在上例中 , 为使 的置信水平是 0.95 的置信区间
的长度 L 1.5, 求样本容量 .
， u0.025 1.96, 1.75, 解 0.05
u / 2
x
X | | u / 2 X u / 2 X u / 2 / n n n
于是所求 的置信区间为 ( X u 有时简记为 ( X u / 2
2

n
, X u 2 )， n n
7
).
2 某厂生产滚珠，直径 X 服从正态分布 N ( , ). 例1 为了估计 ， 抽检 6 个滚珠， 测得直径为 ( mm) ： 14.70， 15.21，14.90，14.91，15.32，15.32，
对给定的置信水平 1 ,
按标准正态分布的 水平双侧分位数的定义,
查正态分布表得 u 2 ,
6
1.
已知时 的置信区间
2
/2
( x)
X U ~ N (0,1) ， / n
1
O
/2
X P{ | | u 2 } 1 ， n