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《应用统计学》第6章：置信区间估计

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2020秋江南大学《应用统计学》第二阶段练习

2020秋江南大学《应用统计学》第二阶段练习

江南大学现代远程教育第二阶段测试卷考试科目:《统计学》第6章至第9章（总分100分）时间：90分钟学习中心（教学点）批次：层次：专业：学号：身份证号：姓名：得分：一、单项选择题（共20小题，每小题2分，共计40分）1. 掷二枚骰子，事件A为出现的点数之和等于3的概率为（）A.1/11B. 1/18C. 1/6D. 都不对2．在抽样推断中，必须遵循( )抽取样本A随意原则B随机原则C可比原则D对等原则3．能够事先加以计算和控制的误差是( )A抽样误差B登记误差C系统性误差D测量误差4．极限误差与抽样平均误差数值之间的关系为( )A前者一定小于后者B前者一定大于后者C前者一定等于后者D前者既可以大于后者，也可以小于后者5．抽样调查的主要目的在于( )A计算和控制抽样误差B了解全及总体单位的情况C用样本来推断总体D对调查单位作深入的研究6．某企业连续性生产，为检查产品质量，在24小时中每隔30分钟取下一分钟的产品进行全部检查，这是( )A整群抽样B简单随机抽样C类型抽样D纯随机抽样7．在抽样调查中( )A既有登记误差，也有代表性误差B既无登记误差，也无代表性误差C只有登记误差，没有代表性误差D没有登记误差，只有代表性误差8．在抽样调查中，无法避免的误差是( )A登记误差B系统性误差C计算误差D抽样误差9．置信区间的大小表达了区间估计的( )A可靠性B准确性C显著性D及时性10．抽样推断中的概率保证程度表达了区间估计的( )A显著性B准确性C可靠性D规律性11. 常见的离散型分布有：（）A 正态分布B 二项分布C t分布 D.F 分布12.若随机变量X～B(5,0.2)，则X的平均值（）A 5B 0.2C 1 D.2.513.若随机变量X～N(5,1)，则X落入下列哪个区间的概率为95.45%（）。

A [-1，1]B [-2，2]C [4，6] D. [3，7]14. 若某校男生身高X～N(175,9)，则从总体中取得样本容量为100的随机样本，其样本平均值x的标准差为（）。

统计学 第 6 章 抽样与参数估计

统计学 第 6 章 抽样与参数估计

第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k,r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值，样本比例，样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布，也不是样本分布，是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。

统计学假设检验与置信区间

统计学假设检验与置信区间

统计学假设检验与置信区间统计学假设检验与置信区间是统计学中两个重要且常用的概念。

它们的主要作用是在样本数据的基础上对总体的特征进行推断和判断。

本文将从统计学假设检验和置信区间的定义、计算方法以及实际应用等方面进行论述。

一、统计学假设检验的基本概念统计学假设检验是用统计原理对总体的某个特征进行推断和判断的一种方法。

其基本思想是：根据样本数据推断总体参数，然后进行统计推断，判断总体参数是否满足某个事先给定的假设。

在进行统计学假设检验时，我们常常会对总体均值、总体比例、总体方差等进行检验。

对于总体均值的检验，通常会使用t检验、z检验等方法；对于总体比例的检验，则常常使用卡方检验、比例检验等方法；而总体方差的检验则可以使用F检验等方法。

根据具体的问题和数据类型，我们可以选择适当的检验方法进行分析。

二、统计学假设检验的步骤统计学假设检验通常包括以下几个步骤：1. 提出原假设和备择假设。

原假设（H0）是对总体参数的一个假设，备择假设（H1）则是对原假设的一个反面假设。

通常情况下，原假设被假定为不成立或不满足的情况，而备择假设则是我们要进行推断和判断的目标。

2. 选择合适的统计量。

在假设检验中，我们需要选择适当的统计量来对总体参数进行估计和判断。

根据检验的要求和数据的特点，我们可以选择t统计量、z统计量、卡方统计量等。

3. 设置显著性水平。

显著性水平通常用α表示，表示我们允许出现的错误的概率。

常用的显著性水平有0.05和0.01。

4. 计算检验统计量的观察值。

根据样本数据进行计算，得到检验统计量的观察值。

5. 判断拒绝域。

根据显著性水平和检验的方法，判断处于拒绝域的观察值，如果观察值落入拒绝域内，则拒绝原假设，否则不拒绝。

6. 得出结论。

根据观察值的判断结果，得出对原假设的结论。

三、置信区间的基本概念置信区间是指对总体参数的估计范围，用于描述样本对总体的推断和判断。

在统计学中，置信区间通常由点估计和标准误差构成。

应用统计学置信区间估计

应用统计学置信区间估计
15
t 分布旳右侧 分位点 t(n)
t(n)为 t 分布中满足下式旳右侧 分位点：
P{ t > t ( n ) }=
由给定旳概率 ，可查表得到 t(n)。
由 t 分布旳对称性，可得：t1-(n)=-t(n)。
f (x)
t1-(n) = - t(n) 0
x t(n)
16
用 Excel 求 t /2(n) 可用 Excel 旳统计函数 TINV 返回 t (n)。 语法规则如下：
（
，
）
求xμ旳9置0.0信01度为9S5%2 旳0置.01信85区32间；
21
【例4】某厂为了解产品旳质量情况，随机抽取了300件产品 进行检验，其中有5件次品，求该厂产品次品率旳置信度为 95%旳置信区间。
解：产品次品率为百分比， =1-0.95=0.05， /2=0.025，n=300,，查表得 Z0.025=1.96，
18
§6.2 总体百分比旳区间估计
设总体百分比为 P，则当 nP 和 n (1-P) 都不小于5时， 样本成数 p 近似服从均值为 P，方差为 P (1-P)/n 旳正态 分布。从而
pP
P(1 P) / n 近似服从 N (0, 1)
对给定旳置信度1-，由
P{Z / 2
pP P(1 P) / n
(x d , x d ) , d Z /2 / n
其中 d 称为估计旳允许误差。
12
用 Excel 求 Zα
可用 Excel 旳统计函数 NORMSINV 返回 Z 。 语法规则如下：
格式：NORMSINV(1-)
功能： 返回 Z 旳值。
阐明： NORMSINV() 返回旳是 Z1- 旳值。

经济应用统计学-第六章抽样推断

经济应用统计学-第六章抽样推断

非参数检验优缺点总结
• 易于理解和实现：非参数检验方法通常基于直观和易于理解的思想，计算和实现相对简单。
非参数检验优缺点总结
检验效能较低
与参数检验方法相比，非参数检 验方法的检验效能通常较低，即 当原假设为真时，非参数检验方 法更容易犯第二类错误（接受原 假设）。
对数据信息的利用不 充分
非参数检验方法通常只利用数据 的部分信息（如排序信息），而 忽略了数据的其他有用信息（如 数值大小），因此可能无法充分 利用数据信息。
两配对样本非参数检验
包括Wilcoxon 符号秩次检验、McNemar 检验 等方法，用于比较同一总体内两个配对样本的差 异是否显著。
两独立样本非参数检验
包括Mann-Whitney U 检验、Kruskal-Wallis H 检验等方法，用于比较两个独立样本所来自的 总体的分布位置或分布形状是否存在差异。
考虑样本量大小
在选择置信水平时，应充分考虑样本量的大小。当样本量较小时，应选择较低的置信水平以避免过大的估计误差；当 样本量较大时，可以选择较高的置信水平以获得更精确的估计结果。
参考相关文献或行业标准
在选择置信水平时，可以参考相关领域的文献或行业标准，了解通常采用的置信水平及其依据。这有助 于确保研究结果的可比性和可靠性。
04
假设检验原理与步骤
假设检验基本概念阐述
原假设与备择假设
原假设通常是研究者想要推翻的 假设，而备择假设则是研究者希 望证实的假设。
检验统计量与拒绝域
检验统计量是根据样本数据计算出 的用于检验原假设的统计量，而拒 绝域则是根据显著性水平和检验统 计量的分布确定的，当检验统计量 落入拒绝域时，我们拒绝原假设。
单侧检验
当研究者对备择假设的方向有明确预期时，即备择假设只可能大于或小于原假设时，应选择单侧检验 。例如，在比较两种药物疗效的研究中，如果研究者预期新药疗效优于旧药，则应选择单侧检验。

统计学复习第6章+抽样调查

统计学复习第6章+抽样调查
研究工人的生活水平，按工人月工资额高 低排队。
机械抽样按样本单位抽选的方法不 同，可分为三种： 1.随机起点等距抽样
示意图：
a k k k+a 2k+a k (n-1)k+a (k为抽取间隔)
k
2.半距起点等距抽样
示意图：
k 2
k
k
k k 2 2k k 2
k
(n 1)k k 2
k
(k为抽取间隔)
解： N 4000， 0.2，t 3， 1.5 t 2 2 N 32 (1.5) 2 4000 n 2 450(人) 2 2 2 2 2 N t (0.2) 4000 3 (1.5) 1 若误差范围缩小 (即0.1M 3 )，保证程度不变 2 32 (1.5) 2 4000 则 n 1344(人) 2 2 2 (0.1) 4000 3 (1.5)
在抽样调查中应用的总体指标和样本指标还有： 方差：总体方差 、样本方差s
2 2
标准差：总体标准差 、样本标准差s
抽样框 ——即总体单位的名单，是指对可以选择作为
样本的总体单位列出名册或顺序编号，以 确定总体的抽样范围和结构。 样本个数——指从总体中可能抽取的样本的数量。
样本容量——指一个样本所包括的单位数。
第二节 抽样调查的组织形式
• • • • • 一、简单随机抽样(纯随机抽样) 二、类型抽样(分类抽样) 三、机械抽样(等距抽样) 四、整群抽样 五、多阶段抽样
一、简单随机抽样(纯随机抽样)
即从总体单位中不加任何分组、排队， 完全随机地抽取调查单位。
随机抽选可有各种不同的具体做法，如： 1.直接抽选法； 2.抽签法； 3.随机数码表法；

第六章参数估计范文

第六章参数估计范文第六章是统计学中的重要章节，讨论了参数估计的原理和方法。

参数估计是根据样本数据推断总体参数值的过程，它是统计推断的基础和核心。

在参数估计中，我们常常面临两个问题：点估计和区间估计。

点估计是通过样本数据得到总体参数的一个估计值，例如样本均值可以估计总体均值。

区间估计是在点估计的基础上，给出一个参数估计的区间，用于描述参数估计的不确定性。

常用的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。

矩估计法基于样本矩的性质，将样本矩和总体矩进行匹配，得到参数的估计值。

最大似然估计法是利用已知样本数据求取未知参数值，使样本观察到的概率最大化。

这两种方法都是有效的参数估计方法，但在特定情况下可能会有一定差异。

区间估计是对参数估计值的不确定性的度量，它给出了一个信任水平下参数取值的范围。

常用的区间估计方法有置信区间和预测区间。

置信区间是在给定置信水平下，对参数范围进行估计。

置信水平是指对总体参数落在区间内的置信程度，通常使用95%或99%。

预测区间是对未来观测值的取值范围进行估计，它比置信区间更宽泛。

在实际应用中，我们会根据问题的性质和数据的特点选择适合的参数估计方法。

参数估计方法的选择是统计分析的基础，它直接影响着最后结果的可靠性和准确性。

因此，正确选择和应用参数估计方法对于准确推断总体参数具有重要意义。

总结起来，第六章参数估计是统计推断的重要内容，包括点估计和区间估计两个方面。

点估计是通过样本数据得到总体参数的一个估计值，常用的方法有矩估计法和最大似然估计法。

区间估计是对参数估计值的不确定性的度量，常用的方法有置信区间和预测区间。

正确选择和应用参数估计方法对于准确推断总体参数具有重要意义。

应用统计学试题和答案

六、计算题：（要求写出计算公式、过程，结果保留两位小数，共4题，每题10分）1、某快餐店对顾客的平均花费进行抽样调查，随机抽取了49名顾客构成一个简单随机样本，调查结果为：样本平均花费为12.6元，标准差为2.8元。

试以95.45%的置信水平估计该快餐店顾客的总体平均花费数额的置信区间；（φ（2）=0.9545）49=n 是大样本，由中心极限定理知，样本均值的极限分布为正态分布，故可用正态分布对总体均值进行区间估计。

已知:8.2,6.12==S x 0455.0=α 则有: 202275.02==Z Z α 平均误差=4.078.22==n S极限误差8.04.0222=⨯==∆nS Z α据公式x x ±=±∆ 代入数据，得该快餐店顾客的总体平均花费数额95.45%的置信区间为（11.8，13.4）3附：1080512)(=∑-=i x x i8.392512)(=∑-=i y y i 58=x 2.144=y17900512=∑=i x i104361512=∑=i y i4243051=∑=yx ii i3题 解① 计算估计的回归方程：∑∑∑∑∑--=)(221x x n y x xy n β)==-⨯⨯-⨯290217900572129042430554003060=0.567 =-=∑∑nxnyββ))10144.2 – 0.567×58=111.314估计的回归方程为：y )=111.314+0.567x② 计算判定系数：222122()0.56710800.884392.8()x x R y y β-⨯===-∑∑4计算下列指数：①拉氏加权产量指数；②帕氏单位成本总指数。

4题 解：① 拉氏加权产量指数= 1000001.1445.4 1.13530.0 1.08655.2111.60%45.430.055.2q p q q p q ⨯+⨯+⨯==++∑∑② 帕氏单位成本总指数=11100053.633.858.5100.10%1.1445.4 1.13530.0 1.08655.2q p q q p q ++==⨯+⨯+⨯∑∑ 模拟试卷(二) 一、填空题（每小题1分，共10题）1、我国人口普查的调查对象是 ，调查单位是。

《应用统计学》置信区间估计

引入贝叶斯方法：贝叶斯方法可以综合考虑先验信息和样本数据，从而得到更准确的置 信区间估计。
考虑多参数问题：对于多参数问题，应开发更有效的统计方法来计算置信区间，以满足 实际应用的需求。
结合其他统计方法：可以结合其他统计方法，如回归分析、方差分析等，以提高置信区 间估计的精度和可靠性。
感谢您的观看
与点估计相比， 置信区间估计 考虑了估计的 不确定性，因 此更具有信息
性。
置信区间估计 可以用于进行 假设检验，帮 助确定参数的
取值范围。
置信区间估计 可以用于进行 区间预测，为 未来的数据提
供参考。
置信区间估计的缺点
计算复杂：置信区间估计的计算过程较为复杂，需要较高的数学和统计知识。
对数据分布敏感：置信区间估计的准确性受数据分布的影响较大，对于非正态分布的数据， 其估计效果可能不佳。
汇报人：XX
点估计的方法有很多种，包 括最小二乘法、最大似然法
等
点估计的精度取决于样本数 据的数量和质量
区间估计的概念
定义：根据样本 数据推断总体参 数所在的区间范 围
目的：估计总体 参数的可能取值 范围
方法：根据样本 数据的分布情况， 利用统计量计算 出置信区间
置信水平：表示 估计的可靠程度， 一般为95%或 99%
应用统计学置信区间 估计
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录 /目录
01
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04
置信区间的估 计方法
02
应用统计学概 述
05
置信区间在应 用统计学中的 应用
03
置信区间的概 念
06
置信区间估计 的优缺点

关于区间估计的课程设计

关于区间估计的课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解区间估计的基本概念，掌握其定义和性质。

2. 学生能够运用区间估计方法，对总体参数进行估计，并解释估计结果的含义。

3. 学生能够掌握区间估计的误差分析，了解影响区间估计精度的因素。

技能目标：1. 学生能够运用统计软件或计算器进行区间估计的计算。

2. 学生能够根据实际问题，选择合适的区间估计方法，并解决实际问题。

3. 学生能够通过实例分析，提高数据处理和分析能力。

情感态度价值观目标：1. 学生能够认识到统计学在实际生活中的广泛应用，增强学习统计学的兴趣。

2. 学生能够培养严谨的科学态度，注重数据分析的客观性和准确性。

3. 学生能够通过小组合作，培养团队协作能力和沟通表达能力。

课程性质分析：本课程为高中统计学课程，旨在帮助学生掌握区间估计的基本方法，提高数据处理和分析能力。

学生特点分析：高中学生具备一定的数学基础和逻辑思维能力，但对于统计学方法的应用还较为陌生，需要通过实例和实际操作来加深理解。

教学要求：1. 注重理论与实践相结合，让学生在实际问题中感受区间估计的应用价值。

2. 强调计算能力的培养，引导学生熟练使用统计软件或计算器进行计算。

3. 鼓励学生积极参与讨论和分享，提高课堂互动效果。

二、教学内容1. 区间估计基本概念：总体参数、样本统计量、估计量、置信区间。

2. 区间估计的原理与方法：中心极限定理、标准误差、正态分布的性质。

3. 置信区间的计算与应用：- 单个总体均值的区间估计。

- 单个总体比例的区间估计。

- 两个总体均值差的区间估计。

- 两个总体比例差的区间估计。

4. 影响区间估计精度的因素：样本容量、总体标准差、置信水平。

5. 实际问题中的应用：分析实际问题，选择合适的区间估计方法，解决实际问题。

教学大纲安排：第一课时：区间估计基本概念，总体参数与样本统计量。

第二课时：中心极限定理，标准误差，正态分布性质。

第三课时：单个总体均值和比例的区间估计。

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10
总体均值µ的区间估计 二. 总体均值 的区间估计
1. 标准正态分布的右侧 α 分位点 Zα Zα 是标准正态分布中满足下式的右侧α分位点： P{ Z > Zα } = α
f (x) 1- α zα
α
x
0
如图所示，Φ ( Zα )=1- α ，因此， 可由正态分布表 得到 Zα 。 如：要查 Z0.025， 由正态分布表可查得：
X −µ 可以证明： t = ～ t(n-1) S/ n
因此，对给定的置信度 1-α，有
X −µ P{−tα / 2 (n − 1) < < tα / 2 (n − 1)} = 1 − α S/ n
即 P{ X − tα / 2 (n − 1) S / n < µ < X + tα / 2 (n − 1) S / n } = 1 − α
故所求σ 2的置信区间为 (135.22，358.82)
9
课堂练习1 课堂练习
某车床加工的缸套外径尺寸 X ~ N(µ, σ 2)，现随机测 得的 10 个加工后的某种缸套外径尺寸(mm) 如下： 90.01，90.01，90.02，90.03，89.99 89.98，89.97，90.00，90.01，89.99 ( ) S 2 = 0.018532 求 σ 2 的置信度为 95% 的置信区间。
6
2 用 Excel 求 χ α ( n )
2 χ α ( n) 可用 Excel 的统计函数 CHIINV 返回 语法规则如下：
格式：CHIINV (α , n )
2 χα (n) 的值。 功能：返回
7
2. 总体方差 σ 2 的区间估计
设总体 X~N( µ, σ2 )， X1, X2, ··· , Xn 为 X 的容量为n的样本， X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。 可以证明，
19
【例3】求例 中元件平均寿命 µ 的95%置信区间。 求例1中元件平均寿命 置信区间。 求例 置信区间
S=196.5， α =1-0.95=0.05， 解：由例1， x =1423.1，
α /2=0.025， n=10， 查表得 t0.025(9)=2.2622
d = tα / 2 ( n − 1) S / n = 2.2622 × 196.5 / 10 = 140.6
26
1.总体均值区间估计时样本容量的确定 总体均值区间估计时样本容量的确定
d = Zα / 2 p (1 − p ) / n
= 1.96 0.0167 (1 − 0.0167 ) / 300 = 1.45%
该厂产品次品率的置信度为95%的置信区间为
( p − d , p + d ) = (0.22%, 3.12% )
22
案例思考题
国外民意调查机构在进行民意调查时，通常要求 在95%的置信度下将调查的允许误差(即置信区间的 d 值)控制在3%以内。 ⑴问为满足该调查精度要求，至少需要多大的样 本？ ⑵如果要求置信度达到99%，调查误差仍为3%， 此时至少需要多大的样本？
χ =
2
(n − 1) S 2
σ2
～σ22源自χ 2 (n − 1)2 < χ α / 2 ( n − 1)} = 1 − α
由 可得
P { χ 12− α / 2 ( n − 1) <
( n − 1) S 2
( n − 1) S 2 P{ 2 <σ χ α / 2 ( n − 1)
( n − 1) S 2 < 2 } = 1−α χ 1 − α / 2 ( n − 1)
由此可得 µ 的置信度为 1-α 的置信区间为 ( x − d , x + d ) , d = tα / 2 (n − 1) S / n
18
§6.2 总体比例的区间估计
设总体比例为 P， 则当 nP 和 n (1-P) 都大于5时， 样本成数 p 近似服从均值为 P， 方差为 P (1-P)/n 的正态 分布。从而
24
案例思考题解答(2) 案例思考题解答
如果要求置信度达到99%，则Zα/2=Z0.005=2.575，
2.5752 × 0.5 × 0.5 = 1841.8 ≈ 1842 （人） n= 2 0.03
25
§6.3 样本容量确定
前面的分析都是在给定的样本容量和样本数据下 求置信区间。但在实际应用中，应当在随机抽样前 就确定所需抽取的样本容量。 抽取的样本容量过大，虽然可以提高统计推断的 精度，但将增加不必要的人力、物力、费用和时间 开支； 如果抽取的样本容量过小，则又会使统计推断的 误差过大，推断结果就达不到必要的精度要求。 确定样本容量的原则 ——在满足所需的置信度和允许误差条件(置信区 间的 d 值)下，确定所需的最低样本容量。
从而 σ 2 的置信度为1-α 的置信区间为：
( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 2 , 2 χ ( n − 1) χ 1 − α / 2 ( n − 1 ) α /2
f (x)
α/2
0χ 2 (n −1) 1−α / 2
1-α
α/2
2 χα / 2 (n −1) x
χ =∑X
2 i =1
n
2 i
为服从自由度为 n 的 χ 2 分布，记为 自由度为
χ 2 ～χ 2(n)
3
“自由度”的含义 自由度” 自由度
若对于随机变量 X1, X2, ··· , Xn， 存在一组不全为 零的常数 c1, c2, ··· , cn， 使 c1 X1+ c2 X2 + ··· + cn Xn = 0 则称变量 X1, X2, ··· , Xn 线性相关，或称它们间存在 一个线性约束条件； X1, X2, ··· , Xn 间存在 k 个独立 若 的线性约束条件， 则它们中仅有 n-k 个独立的变量， 并称平方和 的自由度为 n-k。
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【例4】某厂为了解产品的质量情况，随机抽取了300件产品 例 】 进行检验，其中有5件次品，求该厂产品次品率的置信度为 95%的置信区间。 解：产品次品率为比例，α =1-0.95=0.05， α/2=0.025，n=300,，查表得 Z0.025=1.96， 样本成数
p = 5 / 300 = 1.67%
1 2
ˆ ˆ 则称随机区间 ( θ1 , θ 2 ) 为 θ 的置信度 置信度为1-α 的 置信度 置信区间。 置信区间
2
2
§6.1 单个正态总体均值和方差的区间估计 一. 总体方差 σ 2 的区间估计 1.χ 2 分布
设总体 X～N (0, 1)， X1, X2, ···, Xn 为 X 的 一个样本，则它们的平方和
4
i =1
∑ X i2
n
χ2 分布密度函数的图形
f (x)
n=1 n=4 n=10 x
o
5
χ 2 分布的右侧
α 分位点 χα (n)
2
2 χα (n) 为χ 2分布中满足下式的的右侧α 分位点：
2 P{χ 2 > χα (n) } = α
f (x)
α
o
2 χ α ( n)
x
2 χ α ( n) 由给定的概率 α 和自由度，可查表得到
Φ (1.96) = 0.975 = 1-0.025， 故 Z0.025 =1.96
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2.σ 2 已知时总体均值µ的区间估计 时总体均值 的区间估计
由正态分布的性质可得 X −µ Z= ～N(0,1) σ/ n f (x) 1- α
对给定的置信度1-α， 有 -zα/2 0 zα/2 x X −µ P{− Zα / 2 < < Zα / 2 } = 1 − α σ/ n 由此可得 P{x − Zα / 2σ / n < µ < x + Zα / 2σ / n } = 1 − α 从而µ的置信度为 1-α 的置信区间为
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用 Excel 求 tα /2(n)
可用 Excel 的统计函数 TINV 返回 tα (n)。 语法规则如下： 格式：TINV( 2α , n ) 功能:返回 tα (n)的值。 说明：TINV(α, n )返回的是 tα/2(n)的值。
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4.σ 2 未知时总体均值 µ 的区间估计
设总体 X~N( µ, σ 2 )， X1, X2, ···, Xn 为 X 的容量为 n 的样本， X 和 S2 分别为样本均值和样本方差。
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【例2】求例1中元件寿命方差 σ 2 的 95% 置信区间。
解：由例1，S2 =196.52，n =10，α/2=0.025， 2 2 χ 0.975 (9) = 2.7 1-α/2=0.975, χ 0.025 (9) = 19.023， (n-1)S2/ (n-1)S2/
2 χ 0.025 (9) = 9×196.52/19.023 = 135.22 2 χ 0.975 (9) = 9×196.52/2.7 = 358.82
α/2
α/2
( x − Zα / 2σ / n , x + Zα / 2σ / n )
为便于记忆和理解，将 µ 的置信区间表示为如下形式：
( x − d , x + d ) , d = Zα / 2σ / n
其中 d 称为估计的允许误差 允许误差。 允许误差
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用 Excel 求 Zα
可用 Excel 的统计函数 NORMSINV 返回 Zα 。 语法规则如下： 格式：NORMSINV(1-α) 功能： 返回 Zα 的值。 说明： NORMSINV(α) 返回的是 Z1-α 的值。
故所求 µ 的 95% 置信区间为
( x − d , x + d ) = (1282.5, 1563.7)