资本资产定价模型的推导

(一)资本市场线（CML）在建立了上述假设后，现在我们考虑所有投资者的投资行为。

显然，当所有投资者对风险资产（证券）的预期一致，而且每个投资者都可以不受限制地以固定的无风险利率借入或贷出资金时，根据我们上面的分析，每个投资者投资组合的有效界面都表现为从无风险资产出发、并与风险资产有效界面相切的同一条射线；每个投资者最优投资组合（最优证券组合）中所包含的对风险证券的投资部分都可以归结为对同一个风险资产组合M（在上一节我们称之为“切点处的资产组合”）的投资，即在每个投资者的最优证券组合中，对各种风险证券投资的相对比重均与M相同；不同投资者的最优证券组合的唯一区别仅在于，由于每个投资者的风险偏好不同，每个投资者投资于无风险资产和风险资产组合M的比例不同。

资本资产定价模型的这一特征常被称为“分离定理”。

换句话说，投资者对风险和收益的偏好状况与其应当持有的风险资产组合无关。

实际上，根据分离定理，我们还可以得到另一个重要的结论：在均衡状态下，每种证券在切点处的风险资产组合M中都有一个非零的比例，而且这个比例就等于该种证券在整个资本市场的相对市值。

这是因为，根据分离定理，每个投资者都持有相同的风险资产组合M。

如果某种证券在组合M中的比例为零，那么就没有人购买该证券，该证券的价格就会下降，从而使该证券的预期收益率上升，一直到在最终的切点处的风险资产组合M中该证券的比例非零为止。

反之，如果投资者对某种证券的需要量超过其供给量，则该证券的价格将上升，导致其预期收益率下降，从而降低其吸引力，它在切点处的风险资产组合M中的比例也将下降，直至对其需要量等于其供给量为止。

当所有证券的供求达到均衡时，整个市场就被带入一种均衡状态：（1）每个投资者对每一种证券都愿意持有一定的数量；（2）市场上每种证券的价格都处在使得需求与供给相等的水平上；（3）无风险利率的水平正好使得借入资金的总量等于贷出资金的总量。

结果，在均衡状态下，切点处的风险资产组合M中每种证券的比例就等于该种证券的相对市值，也就是每种证券的总市值在所有证券的市值总和中所占的比重。

证券投资学market line，CML），如图5-1所示。

组合的倾向，最终所有个人的资产组合会趋于一致，每种资产的权重都与市场组合中每种资产的权重相同。

依据前文给定的假设条件，投资者在一个相同的时期内计划他们的投资，他们对证券收益率的概率分布预期也是一致的，并且都按马科维茨的投资组合理论选择证券，那么他们的效率边界必然是相同的，从无风险资产出发的直线效率边界也必然是相同的，都会经过相同的最优风险资产组合，图5-1 资本市场线与市场组合即切点组合。

这意味着，所有投资者都会持有切点组合，而所有投资者的持股总和就是市场组合，因此，直线效率边界上的切点组合就是市场组合。

例如，若A公司在一个普通投资者的风险资产组合中所占的比例为1%，那么A公司的市值在市场组合中的比例也是1%。

这一结果对任何投资者的风险资产组合中的每一只股票都适用。

结果，所有投资者的最优风险资产组合只不过是市场组合的一部分。

不难看出，所有的投资者均倾向于持有同样的风险资产组合。

此外，现在假设最优资产组合中不包括B公司的股票。

当所有投资者对B公司股票的需求为零时，B公司的股价将相应下跌，当这一股价变得异乎寻常的低廉时，它对于投资者的吸引力就会超过任意其他一支股票的吸引力。

最终，B公司的股价会回升到这样一个水平，在这一水平上，B公司完全可以被接受进入最优股票的资产组合之中。

这样的价格调整过程保证了所有股票都被包括在最优资产组合之中，这也说明了所有的资产都必须包括在市场组合之中，区别仅仅在于，在一个什么样的价位上投资者才愿意将一支股票纳入其最优风险资产组合。

以上分析看起来好像是绕了一个大圈才得到一个简单的结果：如果所有的投资者均持有同样的风险资产组合，那么这一资产组合一定就是市场组合。

应当讲，这一均衡过程是证券市场运作的基础。

第二节资本资产定价模型的推导资本资产定价模型被誉为金融市场的基石。

为了更好地理解这一模型，本节介绍了两种推导方法。

一是来自兹维·博迪编写的《投资学》（第五版），二是来自威廉·夏普——CAPM模型的创始人。

资本资产定价模型目录CAPM模型的提出 (2)一. 资本资产定价模型公式 (5)二. 资本资产定价模型的假设 (6)三. 资本资产定价模型的优缺点 (7)四. Beta系数 (9)五. 资本资产定价模型之性质 (10)六. CAPM 的意义 (10)七. 资本资产订价模式模型之应用——证券定价 (12)八. 资本资产定价模型之限制 (13)CAPM模型的提出马科维茨（Markowitz,1952）的分散投资与效率组合投资理论第一次以严谨的数理工具为手段向人们展示了一个风险厌恶的投资者在众多风险资产中如何构建最优资产组合的方法.应该说，这一理论带有很强的规范（normative）意味，告诉了投资者应该如何进行投资选择.但问题是，在20世纪50年代,即便有了当时刚刚诞生的电脑的帮助,在实践中应用马科维茨的理论仍然是一项烦琐、令人生厌的高难度工作;或者说，与投资的现实世界脱节得过于严重，进而很难完全被投资者采用——美国普林斯顿大学的鲍莫尔（william Baumol)在其1966年一篇探讨马科维茨一托宾体系的论文中就谈到，按照马科维茨的理论，即使以较简化的模式出发，要从1500只证券中挑选出有效率的投资组合,当时每运行一次电脑需要耗费150~300美元，而如果要执行完整的马科维茨运算，所需的成本至少是前述金额的50倍;而且所有这些还必须有一个前提，就是分析师必须能够持续且精确地估计标的证券的预期报酬、风险及相关系数，否则整个运算过程将变得毫无意义.正是由于这一问题的存在，从20世纪60年代初开始,以夏普(w．Sharpe，1964)，林特纳（J．Lintner，1965)和莫辛（J．Mossin，1966）为代表的一些经济学家开始从实证的角度出发，探索证券投资的现实，即马科维茨的理论在现实中的应用能否得到简化?如果投资者都采用马科维茨资产组合理论选择最优资产组合，那么资产的均衡价格将如何在收益与风险的权衡中形成？或者说，在市场均衡状态下，资产的价格如何依风险而确定？这些学者的研究直接导致了资本资产定价模型(capital asset pricing model，CAPM)的产生。

资本资产定价模型的推导过程
资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，CAPM）是一种用于确定资产期望收益率的定量模型，其核心思想是资产的期望收益率与市场风险成正比。

以下是资本资产定价模型的推导过程：
1. 假设市场中存在一个风险资产组合，即市场组合。

市场组合是由所有可投资的资产按照其市值加权得到的。

2. 根据市场组合的风险收益特征，我们可以通过计算市场组合的预期收益率和风险来确定风险资产的收益率。

3. 根据资本市场线（Capital Market Line，CML）的概念，我们可以将无风险资产和市场组合的线性组合构建为一个投资组合线。

4. 假设我们投资的资产组合是市场组合与无风险资产的组合，那么资产组合的预期收益率可以通过资本市场线与资产组合的权重组合得到。

5. 根据市场组合的风险和资产组合的系统风险，我们可以得到资产组合的期望收益率与市场组合的风险之间的线性关系，即资本资产定价模型。

CAPM的数学表示如下：
Rp = Rf + βp(Rm - Rf)
其中，Rp是资产组合的期望收益率，Rf是无风险资产的收益率，βp是资产组合的系统风险（即β系数），Rm是市场组合
的预期收益率，Rm - Rf是市场组合的超额收益率。

通过上述推导过程，我们可以确定资产组合的预期收益率，并衡量其系统风险与市场的相关性。

这对于投资者来说非常重要，可以帮助他们合理定价资产，并据此制定投资策略。

资本资产定价模型理论研究资本资产定价模型理论研究一、引言资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, 简称CAPM）是金融学中的重要理论，用于解释和预测资本市场的资产定价问题。

该模型是根据资产收益率与市场的关系来进行资产估值的模型，其应用广泛，被广泛认可和应用于金融市场。

本文将介绍CAPM的基本原理、假设和模型推导，同时探讨其在实证研究中的应用和局限性。

二、CAPM的基本原理与假设1. 基本原理资本资产定价模型的基本原理是，资产的预期收益率与市场组合的风险有关。

市场组合即包含所有可能投资资产的投资组合，如证券、股票等。

CAPM认为，资产的风险是由一种称为系统性风险（Systematic Risk）的不可分散风险决定的，而非系统性风险（Unsystematic Risk）是可以通过资产组合来消除的。

2. 假设CAPM建立在一些基本假设之上，包括：（1）投资者是理性的、风险厌恶的：投资者追求最大化预期回报同时最小化风险，且会适当的考虑时间价值。

（2）无风险利率存在：市场上存在无风险利率可以用来度量风险资产的风险溢价。

（3）投资者只关心市场组合的收益：投资者只关注市场组合的预期收益，忽略其他因素。

（4）市场是完全竞争的：投资者可以自由买卖，并可以借入和贷出无风险资产。

三、CAPM模型推导CAPM模型推导的核心是资产的预期收益率与市场组合的风险之间的关系。

假设市场组合的预期收益率为Rm，资产的预期收益率为Ri，无风险利率为Rf，资产与市场组合的协方差为cov(Ri, Rm)，资产的风险溢价为Ri - Rf。

根据CAPM模型的推导，可以得到以下等式：R i = Rf + βi * (Rm - Rf)其中，βi是资产的系统性风险系数，代表了资产相对于市场组合的相对风险敏感性。

四、CAPM模型实证研究CAPM模型的实证研究主要包括两方面：一是研究CAPM模型的有效性，即预测市场收益的能力；二是研究CAPM模型的解释性，即资产收益率的变动是否与模型中的因素一致。

资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model, CAPM）是现代金融理论中的一种重要的资产定价模型，它是由沃尔夫勒姆·舒维茨在1964年提出的。

CAPM模型基于投资组合的平均预期收益率与组合的风险之间的关系来对资产的预期回报进行估计。

这个模型可以用来评估股票、债券和其他资产的合理价格，也可以帮助投资者优化投资组合，分散风险。

这个模型的基本原理包括以下几点：1. 市场风险溢价：CAPM模型认为，投资者应该获得与市场风险成正比的回报。

市场风险溢价是指超过无风险利率的部分收益率。

投资者所要求的预期收益率由无风险利率和市场风险溢价共同决定。

2. 个体资产与市场的关系：CAPM模型通过计算资产的β值来度量个体资产与市场的关联程度。

β值的计算公式为：β=ρ*(σa/σm)，其中ρ为资产收益率与市场收益率之间的相关系数，σa为资产的收益率标准差，σm为市场收益率标准差。

3. 无风险资产的存在：CAPM模型假设存在无风险资产，投资者可以放弃风险获得无风险收益。

在CAPM模型中，无风险利率被视为投资者可以获得的最低预期收益。

4. 投资者的理性行为：CAPM模型假设投资者是理性的，他们在资产配置时会充分考虑风险和收益的权衡。

5. 单一期模型：CAPM模型是一个单期模型，即只对一期的投资收益进行评估，不考虑多期的投资情况。

CAPM模型的基本原理构成了现代金融理论的基础之一，它为资本市场的参与者提供了一个理性的框架，有助于他们进行有效的投资决策。

然而，CAPM模型也存在一些局限性，这包括对市场投资者行为的理性假设和对资产收益率的预测不确定性等。

CAPM模型的基本原理对于理解资本市场的风险与收益关系、评估资产的合理价格以及优化投资组合都具有重要意义。

随着金融市场的不断发展和变化，CAPM模型也在不断完善和拓展，为投资者提供更多更准确的参考信息。

CAPM模型作为资产定价的重要模型，在实践中有着广泛的应用。

资本资产定价模型杨长汉1在资本市场中，影响资产价格的因素是多种多样的，学者们若想致力对资产定价的定量研究，就必须借助简化的资产定价模型，这导致资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model，简称CAPM)的产生。

CAPM模型是在马克维兹现代资产组合理论的基础上发展起来的，它研究的是在不确定的条件下证券资产的均衡定价问题(这里证券资产的价格用收益率表示)，并开创了现代资产定价理论(与基本分析法中基于现值理论定价的区别)的先河。

夏普(Willian F. Sharp)于1964年在《金融学学刊》上发表了《资本资产价格：在风险条件下的市场均衡理论》2，第一提出了CAPM模型，同时，林特纳(John Lintner)于1965年在《经济学和统计学评论》上发表的《风险资产评估与股票组合中的风险资产选择以及资本预算》一文，以及莫森(Jan Mossin)于1966年在《计量经济学》上发表的《资本资产市场中的均衡》一文也提出了CAPM模型。

因此，资本资产定价模型也叫做夏普—林特纳—莫森模型。

一、标准的资本资产定价模型(一) 资本资产定价模型的基本假设资本资产定价模型是以马克维兹的现代资产组合理论和有效市场假说理论为基础的，因此该模型也基于一系列严格的假设，其假设条件如下：1、所有的投资者都是风险厌恶者，其投资目标遵循马克维兹模型中的期望效用最大化原则。

2、资本市场是一个完全竞争市场，所有的投资者都是资产价格的接受者，单个投资者的买卖行为不会对资产的价格产生影响。

3、资产是无限可分的，投资者可以以任意数量的资金投资于每种资产。

4、存在无风险资产，也就是说投资者可以以无风险资产借入或贷出任意数量的资金。

5、不存在卖空限制、个人所得税以及交易费用等额外成本，也就是说资本市场是无摩擦的。

6、每个资产或资产组合的分析都是在单一时期进行。

资本市场是有效的市场，信息可以在该市场中自由迅速的传递。

1文章出处：《中国企业年金投资运营研究》杨长汉著杨长汉，笔名杨老金。