第四讲 资本资产定价模型[1]

市场均衡的条件
性质：当市场达到均衡时，若记市场在风 险资产上的初始资产组合为WM，则 WM=Wp*。
特别地，当市场上午风险资产是零净供应 的金融证券时，则Wp*就是市场资产组合；
其他情况下，市场资产组合是连接(0,r)和 切点资产的切线上的左下边某处。
资本资产定价模型
Sharp-Lintner-Mossin CAPM 假设市场上无风险资产可以获得，当市场
为Ni ,记
mkti
Ni pi
n
Ni pi
i0
称mkt (mkt0, mkt1,....., mktn )为市场资产组合的初始禀赋。
市场资产组合
定义：市场资产组合
如果市场有K位投资者，且某一时刻，第K位投资者持有
第i种资产的数量为N
k i
,
若记
K
Nik pi
wi
k 1 nK
N
k i
pi
期望收益率关系式
定理2证明
考虑任意可分散组合Wd，令X d Wd ' X，则
E(X ) cov(X , X d ) cov(X , X )Wd Wd b 可分散组合收益率的方差为
σ
2 d
Wd 'Wd
Wd
'
1 E ( b
X
)
E(Xd ) b
因此,E( X
)
cov(X ,
σ
2 d
Xd
)
E(X
MaxU k (r W '(E( X ) r I),W 'W )
优化的一阶条件：
U1k ()(E( X ) r I) 2U2k ()W 0
因此，W
*
[U1k
()
/(2U 2k
())]1(E( X
)
r
I)
α(k
)W
* p
此时，投资者的市场资产组合为
K
Wi*H k
wi
k 1 K
,i 0,1,...n。H k为第k个投资者的初始财富。
Wu零beta相关，即σvu 0，从而
E(
X
)
E(
X
z
)
I
cov(X ,
σ
2 u
X
u
)
[E(
X
u
)
E(
X
z
ห้องสมุดไป่ตู้
)]
基础性假设
基础性假设
➢ 投资者是风险厌恶的，且其投资行为是使其终期财富的期 望效用最大；
➢ 投资者是价格接受者； ➢ 投资者都认同市场所有资产的收益率服从多元正态分布； ➢ 资本市场存在无风险资产，且可以无风险利率进行无限借
Cov(XA,XM)=0.045，sqrt(var(XM))=0.30,r=0.1, E(XM)=0.20。
求：每股的合理价值。
案例
案例二：
有一面值为100元的债券，约定到期付息8%,假 设在债券有效期内有70%的时间可以赎回本金 及获得利息，30%的时间不能还本付息，但将 支付50元的承保金。即可将债券在时期2的价值 表示为随机变量。
证券市场线
证券市场线(SML)，是过无风险资产对应 的点(0,r)和市场资产组合对应点(1,E(XM)) 的一条直线。
根据货币分离定理，所有投资者持有的资 产组合都可以表示成无风险资产和风险资 产组合的资产组合，我们把这一类资产组 合称为有效资产组合。
资本市场线
资本市场线(CML)：
无风险资产F与市场组合M的连线（射 线）。
期望收益率关系式
承接第三专题的假设。在市场存在无风险 资产情况，考虑期望收益关系式。
考虑切点组合，Wp*
1[E( X ) b ar
r]，
令，X
p
W
* p
'
X，则
cov( X
,
X
p)
cov( X
,
X
)W
* p
W
* p
切点组合收益率的方差为
σ
2 p
W
* p
'
Wp*
Wp*'
1[E( X ) b ar
资本资产定价模型
深圳大学经济学院
专题内容
期望收益率关系式 基础性假设 市场资产组合 市场均衡的条件 资本资产定价模型 证券市场线 资本市场线 案例
期望收益率关系式
定理1： 当市场存在无风险资产时，任意资产的收
益率Xi（i=1,2,3,…,n）的超额收益率等比 于切点资产组合的超额收益率，且比例系 数βi=cov(Xi, Xp)/σp2。 Xp表示切点组合的资产收益率。
贷； ➢ 资产数量是固定的，所有资产都可市场化且完全分割； ➢ 市场信息畅通无阻，投资者都可无代价获取所需信息； ➢ 资本市场没有缺陷，如税收，管理调节和卖空限制等。
市场资产组合
定义：市场资产组合
设市场上有n种风险资产，一种无风险资产。每种风险
资产的价格为pi，i 0,1,2,...., n，第i种资产的可交易数量
d
)
βd
E(Xd
)
期望收益率关系式
承接定理2证明
任意最小方差资产组合Wu可以表达为全局最小方差 资产组合Wg和可分散资产组合Wd。则 Wu (1 u)Wg uWd , (u 0,u 1)。令X u Wu ' X，则 cov(X , X u ) cov(X , X )Wu Wu [(1 u)Wg uWd ] (1 u)Wg uWd [(1 u) / a]I (u / b)E( X ) 可分散组合收益率的方差为 σu2 Wu 'Wu Wu '{[(1 u) / a]I (u / b)E( X )} (1 u) / a uE( X u ) / b 现在设Wv为另一个含风险资产的任意资产组合， σvu Wv 'Wu Wv '{[(1 u) / a]I (u / b)E( X )} (1 u) / a uE( X v ) / b 可以得到(1 u) / a和u / b的解。
期望收益率关系式
承接定理2证明
根据 cov(X , X u ) [(1 u) / a]I (u / b)E( X )，整理得到
E(X
)
E
(
X
v
)σ
2 u
σ
2 u
E( X u )σvu σ vu
I
E(Xu) E(Xv)
σ
2 u
σ vu
cov( X
,
Xu)
若我们选择资产组合Wv ,其收益率记为X z , 使得与资产组合
i0 k 1
则称w (w0,w1,....., wn, )为这一时刻的投资者市场组合。
市场均衡的条件
市场达到均衡的必要条件 (mkt1,…..mktn)等比于Wp*
如果理解呢？
市场均衡的条件
市场达到均衡的必要条件[证明]
根据基础性假设(1)和(3)。若记第k个投资者的效用函数
U k ,其中k 1,...., K。则该问题可以写为如下优化形式：
Hk
k 1
市场均衡条件
市场达到均衡的必要条件[证明]
市场均衡的条件必要条件是任意资产的供应量等于需求量。
此时，对i 0,1,2,3....n，有
K
K
α(k
)W
* pi
H
k
α(k)H k
mkti wi k1 K
k 1 K
W
* pi
(k
)W
* pi
Hk
Hk
k 1
k 1
所有(mkt1, mkt2 ,....mktn )等比于Wp*是市场达到均衡的必要条件。
风险的价格：
单位风险价格，资本市场线方程式中第二项 的系数。
案例
案例一：
公司A在时期1将发行100股股票，公司在时期2 的价值为随即变量V(2)，公司的资金都是通过 发行这些股票而筹措的，以致股票的持有者有 资格获得完全的收益流，最后给出数据如下：
V(2)有两种可能结果,以0.5的概率为1000元；以 0.5的概率为800元。
达到均衡时，任意风险资产的超额收益率 与风险资产的市场资产组合超额收益率成 比例，即：
E(X)-rI=βM(E(XM)-r) 其中βM=cov(X, XM)/var(XM)
资本资产定价模型
Black CAPM 假设市场上无风险资产不可以获得，当市
场达到均衡时，任意无风险资产的收益率 可以表达成： E(X) = E(Xz) I+βM(E(XM)- E(Xz) ) 其中Xz为与市场资产组合零beta相关的资 产组合的收益率。
B(2), 70%的概率为108, 30%的概率为50。 又设，cov(B,XM)=7，其他数据如上案例， 求：债券在1期的合理价值。
案例
资本资产定价模型在中国的实证研究。
r]
E(Wp*' X ) rWp*' b ar
E(X p) r b ar
,
因此,b
ar
E(X p)
σ
2 p
r
, E(X
)
r
cov(X ,
Xt)
E(X p)
σ
2 p
r
期望收益率关系式
定理2： 假设市场上的资产组合集仅由风险资产组
成，则可以任意选择最小方差资产组合 Wu及与Wu零beta相关的资产组合Wz，使 得任意风险资产的收益率Xi （i=1,2,…,n） 的期望收益率可以表示为： E(Xi)=E(Xz)+(E(Xu)-E(Xz))*βui
资本市场线上的点代表有效的资产组合。
资本市场线方程：
E(X
p
)
r
E(XM ) σM
r
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