平口单峰函数之倍角界定法

基础知识1.常用术语和定义按相近名词术语比较式介绍2、法定计量单位复习性介绍3、数据处理重点讲解，掌握处理方法4、量值溯源重点讲解，理解溯源有关内容5、测量误差掌握基本概念6、测量不确定度尽可能（初步）掌握评定步骤能力验证（比对）结果评价7、抽样技术自学- 1 -一、常用术语和定义1.认证、认可（P161）认证：是指由认证机构证明产品、服务、管理体系符合相关技术规范、相关技术规范的强制性要求或者标准的合格评定活动。

（符合规定要求的第三方证明）CCC认证就是强制性产品认证、ISO9001标准为依据开展的质量管理体系认证认可：是指由认可机构对认证机构、检查机构、实验室以及从事评审、审核等认证活动人员的能力和执业资格，予以承认的合格评定活动。

（具备工作能力的第三方证明）2.能力验证、实验室间比对（P161～P162）●实验室间比对：按规定条件，对同一被测物进行检测（组织、实施、评价）●能力验证：利用比对方法确定检测能力（组织、实施、评价）3.测量（P166）、计量（P167）测量：确定量值的一组操作计量：实现单位统一，量值准确的活动- 2 -4.校准（P162）、（示值误差）检定（P165）、（法定要求）（表1）检验（P166）、检查（P162）、检验：符合性评价－观察、判断、测量、试验检查：符合性活动－审查、判断、确定（必须有符合或不符合的结论）检测（P162）、测试（技术操作）（只有结果）5.测量结果（P167）、[测量结果]重复性（P168）、复现性（P168）（表2）实验标准差（P168）：测量结果分散的量6.[测量]误差（P169）、偏差（P169）、修正值（P170）（表3）7.测量设备（P171）、测量仪器（P170）、量具（P170）、标准物质（有证）（P174）、基准（P172）、标准（P172）测量设备：所有计量器具（包括基标准、标准物质）、与测量结果有关的辅助设备及其资料8.测量范围（P171）、示值范围、标称范围、量程（见表4）分辨力（P171）、分度值、稳定性、准确度（等级）、最大- 3 -允许误差、示值误差（P172）、引用误差（P172）9.纠正措施（P164）、预防措施（P164）已出现的不合格与潜在的不合格（包括体系文件的修订）- 4 -检定与校准的异同点（表一）- 5 -[测量结果的]重复性与复现性的比较（表2）- 6 -误差、偏差、修正值关系表（表3）误差——测量结果减去被测量的真值偏差——一个值减去其参考值[一个值是指真值（实际值），一般用约定真值来代替]修正值——用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值。

单峰、双峰、宽峰、多峰的定义1.引言1.1 概述概述部分的内容：单峰、双峰、宽峰和多峰是在统计学和数据分析领域中常用的概念，用于描述数据分布的特征。

数据分布是指一组数据中各个取值出现的频率或概率分布情况，而单峰、双峰、宽峰和多峰则是对数据分布形态的不同描述。

首先，单峰是指数据分布具有一个主要的峰值或高峰。

这意味着在数据中存在唯一的最频繁出现的取值或范围。

单峰数据分布通常表示数据集中的一个主要趋势或中心集中点。

相反，双峰是指数据分布具有两个主要的峰值或高峰。

这表示数据集中存在两个不同的主要取值或范围，可能代表了两个不同的数据子集或两种不同的趋势。

而宽峰是指数据分布具有宽而平坦的特点，没有明显的高峰或峰值。

这意味着数据集中的值相对均匀地分布在整个取值范围内，而没有明显的集中趋势。

最后，多峰则指数据分布具有多个主要的峰值或高峰。

这表示数据集中存在多个不同的主要取值或范围，可能代表了多个不同的数据子集或多种不同的趋势。

通过对这些不同的数据分布形态进行定义和描述，我们可以更好地理解和解释数据的特点和趋势，并且在数据分析和决策过程中提供更有价值的信息。

在接下来的文章中，我们将详细介绍和探讨单峰、双峰、宽峰和多峰的定义及其相关特性。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将围绕单峰、双峰、宽峰和多峰进行定义和探讨。

文章将按照以下结构进行展开：2.1 单峰的定义2.1.1 第一个要点：介绍单峰的基本概念和定义，解释何谓单峰分布。

2.1.2 第二个要点：阐述单峰分布的特点和应用领域，举例说明单峰分布的实际案例。

2.2 双峰的定义2.2.1 第一个要点：介绍双峰的概念，解释双峰分布的特性。

2.2.2 第二个要点：阐述双峰分布的实际背景和应用场景，以及双峰分布的意义和作用。

2.3 宽峰的定义2.3.1 第一个要点：探讨宽峰的基本概念和定义，解释宽峰分布的特征。

2.3.2 第二个要点：说明宽峰分布的应用领域和意义，分析宽峰分布的可能原因和影响因素。

导数专题书目录第一篇独孤九剑——导数基础专题1总诀式——导数的前世今生第一讲导数基本定义第二讲导数运算法则第三讲复合函数求导第四讲同构函数求导专题2破剑式——数形结合遇导数第一讲导数的几何意义第二讲在点的切线方程第三讲过点的切线方程专题3破刀式——基本性质与应用第一讲单调性问题第二讲极值与最值第三讲恒能分问题专题4破枪式——抽象函数的构造第一讲求导法则与抽象构造第二讲幂函数及其抽象构造第三讲指数函数与抽象构造第四讲对数函数与抽象构造第五讲三角函数与抽象构造第六讲平移与奇偶抽象构造专题5破鞭式——分类讨论的策略第一讲不含参的四类问题第二讲含参数的五类问题专题6破索式——三次函数的探究第一讲基本性质第二讲切线问题第三讲四段论界定第四讲三倍角界定专题7破掌式——指对的破解逻辑第一讲指数模型第二讲对数模型专题8破箭式——六大同构函数论第一讲六大同构函数第二讲外部函数同构第三讲极值底层逻辑专题9破气式——零点与交点问题第一讲零点相关定理第二讲曲线交点问题第三讲零点个数问题第二篇如来神掌——导数选填的奇思妙解专题1心中有佛——秒解抽象函数构造第一讲抽象函数的积分构造第二讲“网红解法”的利弊专题2佛光初现——妙解参数取值范围第一讲零点比大小问题妙解双参比值问题第二讲零点比大小妙解指对单参数的问题第三讲恰到好处的取点妙解双参系列问题专题3金顶佛灯——数轴破整数个数解第一讲对数的取点技巧第二讲指数的取点技巧专题4佛动山河——平口单峰函数探秘第一讲平口二次函数问题第二讲平口对勾函数问题第三讲平口三次函数问题第四讲平口函数万能招数第五讲构造平口单峰函数第六讲必要探路最值界定第七讲倍角定理最值界定专题5佛问伽蓝——拉格朗日插值妙用第一讲三大微分中值定理简述第二讲拉格朗日中值定理应用专题6迎佛西天——构造函数速比大小第一讲构造基本初等函数第二讲构造母函数比大小第三讲构造混阶型比大小专题7天佛降世——琴生不等式破选填第一讲函数的凹凸性第二讲凹凸性的应用专题8佛法无边——极限思想巧妙应用第一讲前世今生论第二讲洛必达法则专题9万佛朝宗——选填压轴同构压制第一讲母函数原理概述第二讲同等双参需同构第三讲同构引出的秒解第三篇无涯剑道——导数三板斧升级篇专题1问剑求生——同类同构第一讲双元同构篇第二讲指对同构篇第三讲朗博同构篇第四讲零点同构篇第五讲同构保值篇第六讲同构导中切专题2持剑逆道——分类同构第一讲分而治之型第二讲端点效应型第三讲志同道合型第四讲分道扬镳型第五讲柳暗花明型专题3迎剑归宗——切点同构第一讲切线问题的进阶处理第二讲公切线问题几何探秘第三讲基本函数的切线找点第四讲跨阶函数的切线找点第五讲双变量乘积处理策略第四篇逍遥功——泰勒与放缩专题1逍遥剑法——泰勒展开第一讲泰勒基本展开式第二讲泰勒与切线找点第三讲泰勒与极值界定第四讲无穷阶极值界定第五讲泰勒与切线界定专题2逍遥刀法——京沪专线第一讲指数型“0”线第二讲对数型“0”线第三讲三角型“0”线专题3逍遥拳法——京九专线第一讲指数型“1”线第二讲对数型“1”线第三讲“e”线放缩论“n”线放缩论第四讲指对混阶放缩论第五讲指对三角放缩论第六讲高阶借位放缩论第七讲充分必要放缩论第八讲数列放缩系统论第五篇武当神功——点睛之笔专题1梯云纵——极点极值第一讲极值点本质第二讲唯一极值点第三讲存在极值点第四讲莫有极值点专题2太和功——隐点代换第一讲直接应用第二讲整体代换第三讲反代消参第四讲降次留参第五讲矛盾区间专题3峰回掌——跨阶找点第一讲找点初步认识第二讲找点策略阐述第三讲高次函数找点第四讲指对函数找点第五讲三角函数找点专题4太极剑——跳阶找点第一讲指对混阶找点第二讲指数三角找点第三讲对数三角找点第四讲终结混阶找点专题5八卦阵——必要探路第一讲端点效应第二讲极点效应第三讲显点效应第四讲隐点效应第五讲内点效应第六讲外点效应第七讲拐点效应第八讲弧点效应第六篇六脉神剑——明元之家专题1少商剑——三三来迟第一讲飘带函数减元第二讲点差法第三讲韦达定理的应用专题2商阳剑——四曾相识第一讲极值点偏移第二讲构造法第三讲拐点偏移第四讲泰勒公式专题3中冲剑——不讲五德第一讲换元构造第二讲对数平均不等式第三讲指数平均不等式第四讲广义对均第五讲深度剖析专题4関冲剑——七晴六遇第一讲零点差模型第二讲极值模型第三讲混合模型专题5少泽剑——第一讲复数三角形式第二讲棣莫弗定理第三讲复数的应用专题6少冲剑——第一讲斜率成等差等比问题第一讲数据逻辑及相关定理第二讲破解逻辑及突破压轴。

关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案一．平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响.在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换==-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题.由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理：①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；②以对称轴为中心，每增加m 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n ，增加的蝶高n 比为1:3:5::21n -；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q +-=时，()()()min 22b bg x M m f q f f p f =-=--=--；综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f+=，()()M f p f q ==.例1：在()2f x x px q =++中，找出使得2max 11x px q x ，++-取得最小值时的函数表达式为解：根据平口二次函数定理可知当仅当0M m +=时，2max ,11x px q x ++-能取得最小值，此时()()11M f f ==-110p q p q p \++=-+Þ=；又()0m f q ==，1102M m q q q +=++=Þ=-；()[]21,1,12f x x x \=-Î-.例2：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是。

凸函数的判定与应用凸函数是数学中一种常见的函数类型。

它在优化问题、经济学、工程和自然科学等领域中得到广泛应用。

本文将介绍凸函数的判定准则，以及凸函数在各个领域中的应用。

一、凸函数的定义与性质在数学中，凸函数可以通过其定义和性质来进行判定。

定义：设函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。

如果对于任意x1、x2∈[a, b]，以及任意0≤t≤1，都满足f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为[a, b]上的凸函数。

性质：凸函数具有以下性质：1. 对于凸函数f(x)，若f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)是凸函数。

2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数且在(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)是递增函数。

二、凸函数与判定方法凸函数的判定方法包括一阶导数、二阶导数和Jensen不等式等。

1. 一阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且对于任意x1、x2∈(a,b)，有f'(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。

2. 二阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上两次可导，且对于任意x∈(a,b)，有f''(x)≥0，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。

3. Jensen不等式对于凸函数f(x)，若λ1、λ2、...、λn为非负实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，以及x1、x2、...、xn为任意n个区间[a,b]上的数，则有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)三、凸函数的应用领域凸函数广泛应用于各个领域，包括优化问题、经济学、工程和自然科学。

1. 优化问题在优化问题中，凸函数常被用来描述目标函数或约束条件。

由于凸函数具有良好的性质，如弱凹性和全局极小值，因此可以通过凸优化算法来求解各种优化问题。

凸函数判定方法的研究凸函数是数学中一个非常重要且广泛应用的概念。

在优化问题、经济学、工程学等领域，凸函数都有着广泛的应用。

因此，研究凸函数判定方法是非常有意义的。

凸函数的定义是：若函数f 的定义域为凸集，并且对于所有的x1 和x2，以及任意的t∈[0,1]，总有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)成立，则f 称为凸函数。

也可以简单地理解为，凸函数的任意两点连线上的函数值，都小于等于连线上的两个端点对应的函数值之间的线性插值。

目前，已经有一些成熟的方法和定理可用于凸函数的判定。

下面将对其中比较常用的方法进行介绍。

一、一阶判定法一阶判定法是判定凸函数最简单、常用和基本的方法之一、其基本思想是利用函数的导数性质来判断函数是否为凸函数。

首先，对于凸函数而言，一阶导数必须是单调递增的。

也就是说，如果函数f在一些区间内的一阶导数是递增的，那么f就可以被判断为凸函数。

如果一阶导数是严格递增的，则f被称为严格凸函数。

其次，对于二次函数而言，如果它的二阶导数恒大于等于0，那么它也是凸函数。

也就是说，一阶导数是递增函数的充分必要条件是二阶导数为非负数。

二、二阶判定法二阶判定法是一种比一阶判定法更严格、更精确的方法，它使用函数的二阶导数来判断函数的凸性。

对于凸函数而言，其二阶导数必须是非负的。

也就是说，如果一个函数的二阶导数在定义域内都为非负数，那么该函数就是凸函数。

如果二阶导数严格大于零，则函数被称为严格凸函数。

三、线性规划判定法线性规划判定法是一种基于线性规划理论的凸函数判定方法。

其基本思路是将凸函数的判定问题转化为一个线性规划问题，然后利用线性规划的性质和算法来进行判定。

具体来说，设函数f的定义域为凸集D，对于所有的x∈D，有f′（x）为连续函数。

如果对于所有的x∈D，存在一个c∈D，使得f′（c）=0，并且对于所有的x∈D，有f′（x）≥0，则函数f是凸函数。

反之，如果对于所有的x∈D，有f′（x）≤0，则函数f是凹函数。

平口单峰函数一、定义平口单峰函数是指在一定区间内，函数值先增后减，在某处取得最大值，然后再逐渐减小到最小值的一个函数。

它的图像呈现出一个平缓的口形，并且只有一个峰顶。

二、特点1. 函数值先增后减，在某处取得最大值，然后再逐渐减小到最小值。

2. 只有一个峰顶，呈现出平缓的口形。

3. 通常用于模拟人体感知过程中的响应曲线。

三、数学表达式平口单峰函数可以用以下数学表达式表示：f(x) = (x-a)^2e^{-b(x-a)}\cos(c(x-a))其中a,b,c为常数，x为自变量。

该函数图像如下所示：四、Python实现下面给出Python实现平口单峰函数的代码：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef unimodal_function(x, a=0, b=1, c=1):return (x - a) ** 2 * np.exp(-b * (x - a)) * np.cos(c * (x - a))x = np.linspace(-5, 5, 1000)y = unimodal_function(x)plt.plot(x, y)plt.show()```五、参数调节通过调节参数a,b,c可以改变函数的形态。

下面给出一些例子：1. 增大参数b，使得函数在峰顶处更加陡峭。

```pythony = unimodal_function(x, b=5)```2. 增大参数c，使得函数在峰顶处更加平缓。

```pythony = unimodal_function(x, c=5)```3. 改变参数a，可以改变函数的位置。

构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。

二：引理证明bug 修正。

下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。

大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。

然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。

本文将给出一种极其简洁的做法及解释。

1.1()42,(,),x x f x a b a b R +=++∈，若对任意的[0,1]x ∈，1|()|2f x ≤都成立，则b=_____。

2.设函数4()||f x ax x=-，若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是______。

3.设函数()|,,f x ax b a b R =-∈，若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围为_______。

4.已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为M ，(,,0)a b R c ∈>为常数，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a+b+c=_______。

5.已知2()(4)3f x x a x a =+-+-对任意[0,4]a ∈，均存在0[0,2]x ∈，使得0|()|f x t ≥成立，则t 的取值范围是______。

6.设函数2()||f x ax b x=--，若对于任意实数a,b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。

7.设函数2()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。

8.已知函数1()||f x x ax b x =+--，当1[,2]2x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。

2012-2013（1）专业课程实践论文0.618法王硕，0818180112，R数学08-1班王曹旭，0818180106，R数学08-1班柳希元，0818180127，R数学08-1班一、算法理论618.0法适用于单峰函数，即在所论区间[]b a ,上，函数只有一个极小点x ，在极小点左边，函数单调下降；在极小点右边，函数单调上升。

易见，对于单峰函数，只需选择两个试探点1x ，[]b a x ,2∈，且1x 2x <，就可将包含极小点x 的区间缩短，事实上，必有：若),()(21x f x f >则[]b x x ,1∈；若),()(21x f x f ≤则[]2,x a x ∈.根据单峰函数的这个性质，就可不断迭代缩小包含极小点的区间，最终618.0法取试探点的规则为： ()k k k k a b a -+=382.0λ()k k k k a b a -+=618.0μ详细计算步骤如下：1. 置初始区间[]b a ,及精度要求,0>ε计算试探点)(382.01111a b a -+=λ)(618.01111a b a -+=μ和函数值)()(11μλf f 和，令1=k ；2. 若ε<-k k a b ，停止计算，[]k k b a ,中任意点均可作为所求极小点的近似. 否则，当()k k f f μλ>)(时，转3；当()k k f f μλ≤)(时，转4；3. 置,1,11,k k k k k k b b a μλλ===+++计算(),618.01111++++-+=k k k k a b a μ),(1+k f μ转5；4. 置k k k k k k b a a λμμ===+++111,,，计算()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ和(),1+k f λ转55. 令,1+=k k 回2#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;double f(double x)//在此输入单峰函数{return 2*pow(x,2)-x-1;}double computeTheValueOfR(double a,double b);//R是λ,a是Ak,b是Bk double computeTheValueOfM(double a,double b);//M是μ,a是Ak,b是Bk int computeMathod(double a,double b,double E);//a是A0,b是B0,E是εint getTheElements(double *a,double *b,double *E);//请求输入范围int main(){double a,b,E;double *a1,*b1,*E1;a1=&a;b1=&b;E1=&E;getTheElements(a1,b1,E1);if(a>=b||E<=0) //Error checking{cout<<"Values you input must be a0<b0, and E must greate than 0"<<endl;return 1;}computeMathod(a,b,E);return 0;}double computeTheValueOfR(double a,double b)//R是λ,a是Ak,b是Bk {return a+0.382*(b-a);}double computeTheValueOfM(double a,double b)//M是μ,a是Ak,b是Bk {return a+0.618*(b-a);}int computeMathod(double a,double b,double E)//a是A0,b是B0,E是ε{double R=computeTheValueOfR(a,b);//计算λ1double M=computeTheValueOfM(a,b);//计算μ1cout<<"a="<<a<<" b="<<b<<" R="<<R<<" M="<<M<<" f(R)="<<f(R)<<" f(M)="<<f(M)<<endl;while(b-a>E)//判断是否达到精度{if(f(R)>f(M)){a=R;b=b;R=M;M=computeTheValueOfM(a,b);cout<<"a="<<a<<" b="<<b<<" R="<<R<<" M="<<M<<"f(R)="<<f(R)<<" f(M)="<<f(M)<<endl;}else if(f(R)<=f(M)){a=a;b=M;M=R;R=computeTheValueOfR(a,b);cout<<"a="<<a<<" b="<<b<<" R="<<R<<" M="<<M<<"f(R)="<<f(R)<<" f(M)="<<f(M)<<endl;}}cout<<"The best solution is between "<<a<<" and "<<b<<endl;return 0;}int getTheElements(double *a,double *b,double *E){double element;cout<<"Please input a0 (a0<b0):"<<endl;cin>>*a;cout<<"Please input b0 (a0<b0):"<<endl;cin>>*b;cout<<"Please input E (E>0)"<<endl;cin>>*E;return 0;}四、算法实现例1.用0.618法解下列问题12)(min 2--=x x x f初始区间为[][]16.01,1,11=-=εb a 。