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基础知识1.常用术语和定义按相近名词术语比较式介绍2、法定计量单位复习性介绍3、数据处理重点讲解，掌握处理方法4、量值溯源重点讲解，理解溯源有关内容5、测量误差掌握基本概念6、测量不确定度尽可能（初步）掌握评定步骤能力验证（比对）结果评价7、抽样技术自学- 1 -一、常用术语和定义1.认证、认可（P161）认证：是指由认证机构证明产品、服务、管理体系符合相关技术规范、相关技术规范的强制性要求或者标准的合格评定活动。
（符合规定要求的第三方证明）CCC认证就是强制性产品认证、ISO9001标准为依据开展的质量管理体系认证认可：是指由认可机构对认证机构、检查机构、实验室以及从事评审、审核等认证活动人员的能力和执业资格，予以承认的合格评定活动。
（具备工作能力的第三方证明）2.能力验证、实验室间比对（P161～P162）●实验室间比对：按规定条件，对同一被测物进行检测（组织、实施、评价）●能力验证：利用比对方法确定检测能力（组织、实施、评价）3.测量（P166）、计量（P167）测量：确定量值的一组操作计量：实现单位统一，量值准确的活动- 2 -4.校准（P162）、（示值误差）检定（P165）、（法定要求）（表1）检验（P166）、检查（P162）、检验：符合性评价－观察、判断、测量、试验检查：符合性活动－审查、判断、确定（必须有符合或不符合的结论）检测（P162）、测试（技术操作）（只有结果）5.测量结果（P167）、[测量结果]重复性（P168）、复现性（P168）（表2）实验标准差（P168）：测量结果分散的量6.[测量]误差（P169）、偏差（P169）、修正值（P170）（表3）7.测量设备（P171）、测量仪器（P170）、量具（P170）、标准物质（有证）（P174）、基准（P172）、标准（P172）测量设备：所有计量器具（包括基标准、标准物质）、与测量结果有关的辅助设备及其资料8.测量范围（P171）、示值范围、标称范围、量程（见表4）分辨力（P171）、分度值、稳定性、准确度（等级）、最大- 3 -允许误差、示值误差（P172）、引用误差（P172）9.纠正措施（P164）、预防措施（P164）已出现的不合格与潜在的不合格（包括体系文件的修订）- 4 -检定与校准的异同点（表一）- 5 -[测量结果的]重复性与复现性的比较（表2）- 6 -误差、偏差、修正值关系表（表3）误差——测量结果减去被测量的真值偏差——一个值减去其参考值[一个值是指真值（实际值），一般用约定真值来代替]修正值——用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值。
单峰、双峰、宽峰、多峰的定义1.引言1.1 概述概述部分的内容：单峰、双峰、宽峰和多峰是在统计学和数据分析领域中常用的概念，用于描述数据分布的特征。
数据分布是指一组数据中各个取值出现的频率或概率分布情况，而单峰、双峰、宽峰和多峰则是对数据分布形态的不同描述。
首先，单峰是指数据分布具有一个主要的峰值或高峰。
这意味着在数据中存在唯一的最频繁出现的取值或范围。
单峰数据分布通常表示数据集中的一个主要趋势或中心集中点。
相反，双峰是指数据分布具有两个主要的峰值或高峰。
这表示数据集中存在两个不同的主要取值或范围，可能代表了两个不同的数据子集或两种不同的趋势。
而宽峰是指数据分布具有宽而平坦的特点，没有明显的高峰或峰值。
这意味着数据集中的值相对均匀地分布在整个取值范围内，而没有明显的集中趋势。
最后，多峰则指数据分布具有多个主要的峰值或高峰。
这表示数据集中存在多个不同的主要取值或范围，可能代表了多个不同的数据子集或多种不同的趋势。
通过对这些不同的数据分布形态进行定义和描述，我们可以更好地理解和解释数据的特点和趋势，并且在数据分析和决策过程中提供更有价值的信息。
在接下来的文章中，我们将详细介绍和探讨单峰、双峰、宽峰和多峰的定义及其相关特性。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将围绕单峰、双峰、宽峰和多峰进行定义和探讨。
文章将按照以下结构进行展开：2.1 单峰的定义2.1.1 第一个要点：介绍单峰的基本概念和定义，解释何谓单峰分布。
2.1.2 第二个要点：阐述单峰分布的特点和应用领域，举例说明单峰分布的实际案例。
2.2 双峰的定义2.2.1 第一个要点：介绍双峰的概念，解释双峰分布的特性。
2.2.2 第二个要点：阐述双峰分布的实际背景和应用场景，以及双峰分布的意义和作用。
2.3 宽峰的定义2.3.1 第一个要点：探讨宽峰的基本概念和定义，解释宽峰分布的特征。
2.3.2 第二个要点：说明宽峰分布的应用领域和意义，分析宽峰分布的可能原因和影响因素。
导数专题书目录第一篇独孤九剑——导数基础专题1总诀式——导数的前世今生第一讲导数基本定义第二讲导数运算法则第三讲复合函数求导第四讲同构函数求导专题2破剑式——数形结合遇导数第一讲导数的几何意义第二讲在点的切线方程第三讲过点的切线方程专题3破刀式——基本性质与应用第一讲单调性问题第二讲极值与最值第三讲恒能分问题专题4破枪式——抽象函数的构造第一讲求导法则与抽象构造第二讲幂函数及其抽象构造第三讲指数函数与抽象构造第四讲对数函数与抽象构造第五讲三角函数与抽象构造第六讲平移与奇偶抽象构造专题5破鞭式——分类讨论的策略第一讲不含参的四类问题第二讲含参数的五类问题专题6破索式——三次函数的探究第一讲基本性质第二讲切线问题第三讲四段论界定第四讲三倍角界定专题7破掌式——指对的破解逻辑第一讲指数模型第二讲对数模型专题8破箭式——六大同构函数论第一讲六大同构函数第二讲外部函数同构第三讲极值底层逻辑专题9破气式——零点与交点问题第一讲零点相关定理第二讲曲线交点问题第三讲零点个数问题第二篇如来神掌——导数选填的奇思妙解专题1心中有佛——秒解抽象函数构造第一讲抽象函数的积分构造第二讲“网红解法”的利弊专题2佛光初现——妙解参数取值范围第一讲零点比大小问题妙解双参比值问题第二讲零点比大小妙解指对单参数的问题第三讲恰到好处的取点妙解双参系列问题专题3金顶佛灯——数轴破整数个数解第一讲对数的取点技巧第二讲指数的取点技巧专题4佛动山河——平口单峰函数探秘第一讲平口二次函数问题第二讲平口对勾函数问题第三讲平口三次函数问题第四讲平口函数万能招数第五讲构造平口单峰函数第六讲必要探路最值界定第七讲倍角定理最值界定专题5佛问伽蓝——拉格朗日插值妙用第一讲三大微分中值定理简述第二讲拉格朗日中值定理应用专题6迎佛西天——构造函数速比大小第一讲构造基本初等函数第二讲构造母函数比大小第三讲构造混阶型比大小专题7天佛降世——琴生不等式破选填第一讲函数的凹凸性第二讲凹凸性的应用专题8佛法无边——极限思想巧妙应用第一讲前世今生论第二讲洛必达法则专题9万佛朝宗——选填压轴同构压制第一讲母函数原理概述第二讲同等双参需同构第三讲同构引出的秒解第三篇无涯剑道——导数三板斧升级篇专题1问剑求生——同类同构第一讲双元同构篇第二讲指对同构篇第三讲朗博同构篇第四讲零点同构篇第五讲同构保值篇第六讲同构导中切专题2持剑逆道——分类同构第一讲分而治之型第二讲端点效应型第三讲志同道合型第四讲分道扬镳型第五讲柳暗花明型专题3迎剑归宗——切点同构第一讲切线问题的进阶处理第二讲公切线问题几何探秘第三讲基本函数的切线找点第四讲跨阶函数的切线找点第五讲双变量乘积处理策略第四篇逍遥功——泰勒与放缩专题1逍遥剑法——泰勒展开第一讲泰勒基本展开式第二讲泰勒与切线找点第三讲泰勒与极值界定第四讲无穷阶极值界定第五讲泰勒与切线界定专题2逍遥刀法——京沪专线第一讲指数型“0”线第二讲对数型“0”线第三讲三角型“0”线专题3逍遥拳法——京九专线第一讲指数型“1”线第二讲对数型“1”线第三讲“e”线放缩论“n”线放缩论第四讲指对混阶放缩论第五讲指对三角放缩论第六讲高阶借位放缩论第七讲充分必要放缩论第八讲数列放缩系统论第五篇武当神功——点睛之笔专题1梯云纵——极点极值第一讲极值点本质第二讲唯一极值点第三讲存在极值点第四讲莫有极值点专题2太和功——隐点代换第一讲直接应用第二讲整体代换第三讲反代消参第四讲降次留参第五讲矛盾区间专题3峰回掌——跨阶找点第一讲找点初步认识第二讲找点策略阐述第三讲高次函数找点第四讲指对函数找点第五讲三角函数找点专题4太极剑——跳阶找点第一讲指对混阶找点第二讲指数三角找点第三讲对数三角找点第四讲终结混阶找点专题5八卦阵——必要探路第一讲端点效应第二讲极点效应第三讲显点效应第四讲隐点效应第五讲内点效应第六讲外点效应第七讲拐点效应第八讲弧点效应第六篇六脉神剑——明元之家专题1少商剑——三三来迟第一讲飘带函数减元第二讲点差法第三讲韦达定理的应用专题2商阳剑——四曾相识第一讲极值点偏移第二讲构造法第三讲拐点偏移第四讲泰勒公式专题3中冲剑——不讲五德第一讲换元构造第二讲对数平均不等式第三讲指数平均不等式第四讲广义对均第五讲深度剖析专题4関冲剑——七晴六遇第一讲零点差模型第二讲极值模型第三讲混合模型专题5少泽剑——第一讲复数三角形式第二讲棣莫弗定理第三讲复数的应用专题6少冲剑——第一讲斜率成等差等比问题第一讲数据逻辑及相关定理第二讲破解逻辑及突破压轴。
关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案一．平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响.在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换==-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题.由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理：①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；②以对称轴为中心，每增加m 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n ，增加的蝶高n 比为1:3:5::21n -；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q +-=时，()()()min 22b bg x M m f q f f p f =-=--=--；综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f+=，()()M f p f q ==.例1：在()2f x x px q =++中，找出使得2max 11x px q x ，++-取得最小值时的函数表达式为解：根据平口二次函数定理可知当仅当0M m +=时，2max ,11x px q x ++-能取得最小值，此时()()11M f f ==-110p q p q p \++=-+Þ=；又()0m f q ==，1102M m q q q +=++=Þ=-；()[]21,1,12f x x x \=-Î-.例2：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是。
凸函数的判定与应用凸函数是数学中一种常见的函数类型。
它在优化问题、经济学、工程和自然科学等领域中得到广泛应用。
本文将介绍凸函数的判定准则，以及凸函数在各个领域中的应用。
一、凸函数的定义与性质在数学中，凸函数可以通过其定义和性质来进行判定。
定义：设函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。
如果对于任意x1、x2∈[a, b]，以及任意0≤t≤1，都满足f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为[a, b]上的凸函数。
性质：凸函数具有以下性质：1. 对于凸函数f(x)，若f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)是凸函数。
2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数且在(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)是递增函数。
二、凸函数与判定方法凸函数的判定方法包括一阶导数、二阶导数和Jensen不等式等。
1. 一阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且对于任意x1、x2∈(a,b)，有f'(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
2. 二阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上两次可导，且对于任意x∈(a,b)，有f''(x)≥0，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
3. Jensen不等式对于凸函数f(x)，若λ1、λ2、...、λn为非负实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，以及x1、x2、...、xn为任意n个区间[a,b]上的数，则有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)三、凸函数的应用领域凸函数广泛应用于各个领域，包括优化问题、经济学、工程和自然科学。
1. 优化问题在优化问题中，凸函数常被用来描述目标函数或约束条件。
由于凸函数具有良好的性质，如弱凹性和全局极小值，因此可以通过凸优化算法来求解各种优化问题。
凸函数判定方法的研究凸函数是数学中一个非常重要且广泛应用的概念。
在优化问题、经济学、工程学等领域，凸函数都有着广泛的应用。
因此，研究凸函数判定方法是非常有意义的。
凸函数的定义是：若函数f 的定义域为凸集，并且对于所有的x1 和x2，以及任意的t∈[0,1]，总有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)成立，则f 称为凸函数。
也可以简单地理解为，凸函数的任意两点连线上的函数值，都小于等于连线上的两个端点对应的函数值之间的线性插值。
目前，已经有一些成熟的方法和定理可用于凸函数的判定。
下面将对其中比较常用的方法进行介绍。
一、一阶判定法一阶判定法是判定凸函数最简单、常用和基本的方法之一、其基本思想是利用函数的导数性质来判断函数是否为凸函数。
首先，对于凸函数而言，一阶导数必须是单调递增的。
也就是说，如果函数f在一些区间内的一阶导数是递增的，那么f就可以被判断为凸函数。
如果一阶导数是严格递增的，则f被称为严格凸函数。
其次，对于二次函数而言，如果它的二阶导数恒大于等于0，那么它也是凸函数。
也就是说，一阶导数是递增函数的充分必要条件是二阶导数为非负数。
二、二阶判定法二阶判定法是一种比一阶判定法更严格、更精确的方法，它使用函数的二阶导数来判断函数的凸性。
对于凸函数而言，其二阶导数必须是非负的。
也就是说，如果一个函数的二阶导数在定义域内都为非负数，那么该函数就是凸函数。
如果二阶导数严格大于零，则函数被称为严格凸函数。
三、线性规划判定法线性规划判定法是一种基于线性规划理论的凸函数判定方法。
其基本思路是将凸函数的判定问题转化为一个线性规划问题，然后利用线性规划的性质和算法来进行判定。
具体来说，设函数f的定义域为凸集D，对于所有的x∈D，有f′（x）为连续函数。
如果对于所有的x∈D，存在一个c∈D，使得f′（c）=0，并且对于所有的x∈D，有f′（x）≥0，则函数f是凸函数。
反之，如果对于所有的x∈D，有f′（x）≤0，则函数f是凹函数。
平口单峰函数一、定义平口单峰函数是指在一定区间内，函数值先增后减，在某处取得最大值，然后再逐渐减小到最小值的一个函数。
它的图像呈现出一个平缓的口形，并且只有一个峰顶。
二、特点1. 函数值先增后减，在某处取得最大值，然后再逐渐减小到最小值。
2. 只有一个峰顶，呈现出平缓的口形。
3. 通常用于模拟人体感知过程中的响应曲线。
三、数学表达式平口单峰函数可以用以下数学表达式表示：f(x) = (x-a)^2e^{-b(x-a)}\cos(c(x-a))其中a,b,c为常数，x为自变量。
该函数图像如下所示：四、Python实现下面给出Python实现平口单峰函数的代码：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef unimodal_function(x, a=0, b=1, c=1):return (x - a) ** 2 * np.exp(-b * (x - a)) * np.cos(c * (x - a))x = np.linspace(-5, 5, 1000)y = unimodal_function(x)plt.plot(x, y)plt.show()```五、参数调节通过调节参数a,b,c可以改变函数的形态。
下面给出一些例子：1. 增大参数b，使得函数在峰顶处更加陡峭。
```pythony = unimodal_function(x, b=5)```2. 增大参数c，使得函数在峰顶处更加平缓。
```pythony = unimodal_function(x, c=5)```3. 改变参数a，可以改变函数的位置。
构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。
二：引理证明bug 修正。
下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。
大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。
然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。
本文将给出一种极其简洁的做法及解释。
1.1()42,(,),x x f x a b a b R +=++∈，若对任意的[0,1]x ∈，1|()|2f x ≤都成立，则b=_____。
2.设函数4()||f x ax x=-，若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是______。
3.设函数()|,,f x ax b a b R =-∈，若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围为_______。
4.已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为M ，(,,0)a b R c ∈>为常数，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a+b+c=_______。
5.已知2()(4)3f x x a x a =+-+-对任意[0,4]a ∈，均存在0[0,2]x ∈，使得0|()|f x t ≥成立，则t 的取值范围是______。
6.设函数2()||f x ax b x=--，若对于任意实数a,b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。
7.设函数2()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。
8.已知函数1()||f x x ax b x =+--，当1[,2]2x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。
2012-2013（1）专业课程实践论文0.618法王硕，0818180112，R数学08-1班王曹旭，0818180106，R数学08-1班柳希元，0818180127，R数学08-1班一、算法理论618.0法适用于单峰函数，即在所论区间[]b a ,上，函数只有一个极小点x ，在极小点左边，函数单调下降；在极小点右边，函数单调上升。
易见，对于单峰函数，只需选择两个试探点1x ，[]b a x ,2∈，且1x 2x <，就可将包含极小点x 的区间缩短，事实上，必有：若),()(21x f x f >则[]b x x ,1∈；若),()(21x f x f ≤则[]2,x a x ∈.根据单峰函数的这个性质，就可不断迭代缩小包含极小点的区间，最终618.0法取试探点的规则为： ()k k k k a b a -+=382.0λ()k k k k a b a -+=618.0μ详细计算步骤如下：1. 置初始区间[]b a ,及精度要求,0>ε计算试探点)(382.01111a b a -+=λ)(618.01111a b a -+=μ和函数值)()(11μλf f 和，令1=k ；2. 若ε<-k k a b ，停止计算，[]k k b a ,中任意点均可作为所求极小点的近似. 否则，当()k k f f μλ>)(时，转3；当()k k f f μλ≤)(时，转4；3. 置,1,11,k k k k k k b b a μλλ===+++计算(),618.01111++++-+=k k k k a b a μ),(1+k f μ转5；4. 置k k k k k k b a a λμμ===+++111,,，计算()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ和(),1+k f λ转55. 令,1+=k k 回2#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;double f(double x)//在此输入单峰函数{return 2*pow(x,2)-x-1;}double computeTheValueOfR(double a,double b);//R是λ,a是Ak,b是Bk double computeTheValueOfM(double a,double b);//M是μ,a是Ak,b是Bk int computeMathod(double a,double b,double E);//a是A0,b是B0,E是εint getTheElements(double *a,double *b,double *E);//请求输入范围int main(){double a,b,E;double *a1,*b1,*E1;a1=&a;b1=&b;E1=&E;getTheElements(a1,b1,E1);if(a>=b||E<=0) //Error checking{cout<<"Values you input must be a0<b0, and E must greate than 0"<<endl;return 1;}computeMathod(a,b,E);return 0;}double computeTheValueOfR(double a,double b)//R是λ,a是Ak,b是Bk {return a+0.382*(b-a);}double computeTheValueOfM(double a,double b)//M是μ,a是Ak,b是Bk {return a+0.618*(b-a);}int computeMathod(double a,double b,double E)//a是A0,b是B0,E是ε{double R=computeTheValueOfR(a,b);//计算λ1double M=computeTheValueOfM(a,b);//计算μ1cout<<"a="<<a<<" b="<<b<<" R="<<R<<" M="<<M<<" f(R)="<<f(R)<<" f(M)="<<f(M)<<endl;while(b-a>E)//判断是否达到精度{if(f(R)>f(M)){a=R;b=b;R=M;M=computeTheValueOfM(a,b);cout<<"a="<<a<<" b="<<b<<" R="<<R<<" M="<<M<<"f(R)="<<f(R)<<" f(M)="<<f(M)<<endl;}else if(f(R)<=f(M)){a=a;b=M;M=R;R=computeTheValueOfR(a,b);cout<<"a="<<a<<" b="<<b<<" R="<<R<<" M="<<M<<"f(R)="<<f(R)<<" f(M)="<<f(M)<<endl;}}cout<<"The best solution is between "<<a<<" and "<<b<<endl;return 0;}int getTheElements(double *a,double *b,double *E){double element;cout<<"Please input a0 (a0<b0):"<<endl;cin>>*a;cout<<"Please input b0 (a0<b0):"<<endl;cin>>*b;cout<<"Please input E (E>0)"<<endl;cin>>*E;return 0;}四、算法实现例1.用0.618法解下列问题12)(min 2--=x x x f初始区间为[][]16.01,1,11=-=εb a 。
高中数学平口单峰函数(绝对值)的一些一．平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响.在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换==-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题.由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理：①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；②以对称轴为中心，每增加m 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n ，增加的蝶高n 比为1:3:5::21n -；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q +-=时，()()()min 22b bg x M m f q f f p f =-=--=--；综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f+=，()()M f p f q ==.例2：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的解题技巧二．平口对勾函数问题对勾函数涉及极值偏移，算数平均数的中点的值不代表最值，()[],,af x x b x p q x=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题，根据平口二次函数的推论，可以知道是()()f p f q =，如图4，求出参数a 以后再根据()0f p f+=确定参数b ；定理：当仅当a pq =时，对勾函数在区间[],p q 才能构成平口对勾函数，()f x 去最小值时取到了[],p q 的几何平均数中点.图4例3：（2018台州期末）已知()1f x x ax b x =+--，当1,22x Î时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b三．平口三次函数问题三次函数涉及到双峰问题，我们需要在给定的定义域内构造出单峰三次函数（即部分图像，通常是极大值到极大值等值点这一段），如下图，若[]12x ∈-，，我们可在此区间构造单峰函数.【例5】（2019•武汉调研）：已知函数()3f x x ax b =++的定义域为[1,2]-，记()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（）A.4B.3C.2D.秒杀秘籍：关于平口函数的万能招数例6：（2018呼和浩特期中）设函数(),,,f x ax b a b R =-Î若对于任意的实数,a b 总存在实数[]00,4x Î，使得f x m ³成立，则实数m 的取值范围为。
单峰式分布规律1.引言1.1 概述单峰式分布规律是指在某个领域或者某个数据集中，所观察到的现象呈现出一个明显的峰值，并且在峰值两侧逐渐减小的趋势。
这种分布规律在许多领域都有广泛的应用，例如人口统计学、经济学、生态学等等。
单峰式分布规律的特点是其分布形态呈现一个单个的峰值，而不是多个峰值或者没有峰值的情况。
这个峰值代表了某个特定的数值或区间在数据集中出现的最高频率。
在这个峰值两侧，数据的频率逐渐减小，形成一个由高到低的变化趋势。
这种分布规律的应用非常广泛。
在人口统计学中，我们可以观察到人口的年龄分布往往呈现出一个年龄段的高峰，代表了该年龄段的人口数量最多。
在经济学中，收入分布也往往呈现出一个收入水平的峰值，代表了该收入水平的人群最为集中。
在生态学中，物种数量的分布也常常呈现出一个物种丰富度的峰值，代表了该生态系统中物种的多样性程度。
单峰式分布规律的意义在于它可以帮助我们理解不同领域中的分布情况，并从中挖掘出有用的信息。
通过对数据的分析和对峰值的确定，我们可以更好地了解某个特定事件或现象在整个数据集中的分布情况，从而为决策制定提供科学依据。
此外，单峰式分布规律也可以用来比较不同数据集之间的差异和相似性，进一步加深我们对现象背后的原因和机制的认识。
在下文中，我们将具体介绍单峰式分布规律的定义、特点以及其在实际应用中的意义和应用案例，旨在帮助读者更好地理解和应用这一重要的分布规律。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该包括本文将分为几个主要部分来讨论单峰式分布规律。
以下是各部分的简要介绍：1. 引言部分（Chapter 1）：本部分将概述文章的研究主题和目的。
首先，我们将介绍单峰式分布规律的概念和定义，并说明其在实际应用中的重要性。
接着，我们将描述本文的结构和组织，以便读者能够理解整个文章的脉络。
2. 正文部分（Chapter 2）：本部分将详细介绍单峰式分布规律的定义和特点。
首先，我们将给出单峰式分布规律的准确定义，并解释其在不同领域中的应用情况。
构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”吴剑（野猪）2017.06.28一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。
二：引理证明bug 修正。
下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。
大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。
然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。
本文将给出一种极其简洁的做法及解释。
1.1()42,(,),x x f x a b a b R +=++∈，若对任意的[0,1]x ∈，1|()|2f x ≤都成立，则b=_____。
2.设函数4()||f x ax x=-，若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是______。
3.设函数()|,,f x ax b a b R =-∈，若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围为_______。
4.已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为M ，(,,0)a b R c ∈>为常数，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a+b+c=_______。
5.已知2()(4)3f x x a x a =+-+-对任意[0,4]a ∈，均存在0[0,2]x ∈，使得0|()|f x t ≥成立，则t 的取值范围是______。
6.设函数2()||f x ax b x=--，若对于任意实数a,b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。
7.设函数2()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。
8.已知函数1()||f x x ax b x =+--，当1[,2]2x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。
一什么叫优选法二单峰函数课标解读1.通过丰富的生活、生产案例，感受现实生活中存在大量的优选问题．2.理解单峰函数的概念，并能够判断函数在给定的区间上是否是单峰函数．3.了解最佳点、试验点、好点及差点的有关概念.1．优选法的有关概念(1)优选问题①最佳点的含义：在生产、生活和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目的，需要对有关因素的最佳组合(简称最佳点)进行选择．②优选问题：关于最佳点的选择问题，称为优选问题．(2)优选法①定义：是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法．②目的：优选法的目的在于减少试验的次数．2．单峰函数的有关概念(1)单峰函数：如果函数f(x)在区间[a，b]上只有唯一的最大值点(或最小值点)C，而在最大值点(或最小值点)C的左侧，函数单调增加(减少)；在点C的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间[a，b]上的单峰函数．(2)规定：区间[a，b]上的单调函数也是单峰函数．(3)因素的概念及分类①因素：一般地，把影响试验目标的诸多原因称为因素．②单因素问题：在一个试验过程中，只有(或主要有)一个因素在变化的问题，称为单因素问题．③分类：按影响因素是否可控分为⎩⎪⎨⎪⎧可控因素，不可控因素.(4)目标函数：在试验中能够表示目标与因素之间对应关系的函数，称为目标函数． (5)好点与差点：设x 1和x 2是因素范围[a ，b ]内的任意两个试点，C 点为最佳点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，效果较差的点称为差点．(6)存优范围：以差点为分界点，把因素范围分为两部分，称好点所在部分为存优范围．1．优选法的核心问题是什么？【提示】 如何安排试验，能以最少次数迅速找到最佳点，是优选法的核心问题． 2．利用优选法进行试验的步骤是什么？【提示】 (1)在因素区间上做两次试验，得到好点、差点； (2)以差点向好点一侧为存优区间，继续做试验，与原好点比较好坏； (3)重复第2步，直到找到最佳点或得到满意的试点.单峰函数的判断判断下列函数在区间[1,3]上是否为单峰函数．(1)y ＝x －4x；(2)y ＝sin x ；(3)y ＝x 3－5x 2＋8x ＋1.【思路探究】 可先借助导数或基本函数图象分析相应函数在[1,3]上的单调性，再利用单峰函数的定义作出相应判断．【自主解答】 (1)∵y ＝x －4x，∴y ′＝1＋4x2.又当x ∈[1,3]时，y ′＞0，∴函数y ＝x －4x在[1,3]上是单调递增函数．∴函数y ＝x －4x在区间[1,3]上是单峰函数．(2)∵y ＝sin x 在[0，π]上是先增后减的，又[1,3]⊂[0，π]， ∴y ＝sin x 在区间[1,3]上是单峰函数．(3)∵y ＝x 3－5x 2＋8x ＋1，∴y ′＝3x 2－10x ＋8.由y ′＝0，得x ＝2或43.又当x ∈[1，43)时，y ′＞0；当x ∈(43，2)时，y ′＜0；当x ∈(2,3]时，y ′＞0.∴x ＝43和x ＝2分别对应两个峰值．∴函数y ＝x 3－5x 2＋8x ＋1在区间[1,3]上不是单峰函数．1．单峰函数的判断可立足以下两点： (1)f (x )在[a ，b ]上只有唯一的最大(小)值点． (2)f (x )在[a ，c ]上递增(减)，在[c ，b ]上递减(增)． 2．注意单调函数是单峰函数．判断本例(3)中的函数在区间[－1,1]上是否为单峰函数．【解】 当x ∈[－1,1]时，y ′＞0，∴函数y ＝x 3－5x 2＋8x ＋1在[－1,1]上是单调递增的，故该函数在区间[－1,1]上是单峰函数．好、差点的判断某主要因素对应的目标函数如图1－1－1所示，若c 是最佳点，则下列说法中正确的是( )A ．d ，e 都是好点B ．区间[a ，d ]是一个存优范围C ．d 不是好点D ．a ，b 是分界点【思路探究】 本题主要考查好点、差点及存优范围的有关概念，求解本题可依相关概念求解．【自主解答】c、d比较，d为差点，c为好点，所以以d为分界点，含有好点的部分为存优范围．所以区间[a，d]是一个存优范围，故选B.【答案】 B1．若目标函数为单峰函数，则好点比差点更接近最佳点，且最佳点与好点必在差点的同侧．2．以差点为分界点，把因素分成两部分，并称好点所在部分为存优范围．3．好、差点是相对于区间而言的，在一个范围内是好点，但在另一个范围内可能就是差点．已知函数f(x)为区间[0,1]上的单峰函数，且f(x)在x＝a处取到最大值．若f(0.3)＜f(0.6)，则存优区间为________；若第3个试点为0.44，且相比0.6而言是好点，则存优区间缩小为________．【解析】由f(x)为[0,1]上的单峰函数，且f(x)在x＝a处取到最大值，又f(0.3)＜f(0.6)，故存优区间为[0.3,1]；由0.44是好点，从而存优区间缩小为[0.3,0.6]．【答案】[0,3,1] [0,3,0,6]1．下列各试验中，与优选方法无关的是( )A．营养师在调配饮料时，选取合适的“口感”B．在学校举行的诗歌朗诵大赛中，文艺班长先从班级中选出一名优秀队员C．景泰蓝生产过程中，寻找“合适”的操作和工艺条件D．篮球比赛中，上下半场交换比赛场地【解析】A中“合适的口感”、B中“优秀队员”、C中“合适的操作和工艺条件”都需要通过试验得到最佳效果，有优选法的思想，D只是交换场地，是比赛规则，不需要试验．【答案】 D2．在试验中，使用优选法的目的是________．【解析】为了避免浪费大量的人力、物力、财力，在试验中，使用优选法的目的是尽量减少试验次数．【答案】减少试验次数3．y＝sin x在[0，π]上________单峰函数(填“是”，“不是”)．【解析】y＝sin x在[0，π]上的图象如图所示：结合单峰函数的定义可知，y＝sin x在[0，π]上是单峰函数．【答案】是4．在炮弹发射中，影响试验目标的因素有：初速度、发射角、空气阻力等，其中可控因素是________．【解析】由可控因素的定义可知，发射角可以由人控制，而空气阻力和初速度不受人为控制，故发射角是可控因素．【答案】发射角(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每题5分，共20分)1．关于单峰函数，有下列说法：①在区间[a，b]上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数；②在区间[a，b]上的单调函数不是单峰函数；③区间[a，b]上的单峰函数可以是不连续函数．其中正确的个数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】①不正确，单峰函数未必有极大值点；②不正确，单调函数是单峰函数；③正确，单峰函数可以是不连续函数．【答案】 B2．下列问题是优选问题的有( )①手工制作玻璃钢模型舰艇，采用何种型号环氧树脂、固化剂，才能使作品的硬度和韧性适宜；②炸酱面如何配料使口感更好；③膏豆腐的制作过程中，如何配制热石膏同豆浆的关系，才能使豆腐作出后不老不嫩．A．①③ B．②③C．①②③ D．①【解析】以上3个例子从不同的方面说明了优选问题的普遍性，均属于优选问题．【答案】 C3．在区间[1,5]上不是单峰函数的是( )A．y＝tan x B．y＝x2C．y＝e x D．y＝lg x【解析】结合基本函数的图象知函数y＝tan x在[1,5]上不是单调的．因此不满足单峰函数的定义．故选A.【答案】 A4．若因素的目标函数f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,3]，则下列说法正确的是( ) A．最佳点是3B．最佳点是－2C．－2是好点，3是差点D．最佳点是－1【解析】由于f(x)在[－2,3]上是先减后增的函数，且在x＝－1时取得最小值，故x ＝－1是最佳点．【答案】 D二、填空题(每题5分，共10分)5．在粉笔加工设计中，每枝粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10 cm 至15 cm 范围内经过多次尝试，最后发现12 cm 长的粉笔最合适．根据上述描述，请回答下列问题：(1)这个问题的确定因素是________； (2)这个问题的最佳点是________．【解析】 (1)这个问题是优选问题．这个问题是寻找粉笔的合适长度，因此确定因素是粉笔的长度．(2)本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度，即12 cm. 【答案】 (1)粉笔的长度 (2)12 cm6．中老年人如果每天空腹喝一杯蜂蜜水可以起到较好的保健作用，但蜂蜜同水的勾兑比例不好把握，如果某人按1∶a 把蜂蜜同水勾兑，口感太甜，如果按1∶b (b ＞a )把蜂蜜勾兑，口感太淡，则较适合该人的勾兑比例的存优范围是________．【解析】 由题意可知，当勾兑的比例比1b 大，比1a小时，较适合该人的口感．【答案】 (1b ，1a)三、解答题(每题10分，共30分)7．在军事训练中，经常要考虑发射角度多大时，炮弹的射程最远，这是一个优选问题．图1－1－2如图1－1－2，设炮弹的初速度为v ，发射角为θ(0≤θ≤π2)，在时刻t ，炮弹距发射点的水平距离为x ，离地面的高度为y ，如果忽略空气阻力，则有y ＝x tan θ－12gv 2cos 2θx 2，其中v ＝|v |，g 为重力加速度．(1)求炮弹射程关于因素θ的函数f (θ)； (2)判断该函数是否为单峰函数．【解】 (1)令y ＝0，得x tan θ－12g v 2cos 2θx 2＝0.∴x ＝0或x ＝v 2gsin 2θ.∴炮弹射程关于因素θ的函数f (θ)＝v 2g sin 2θ，θ∈[0，π2]．(2)∵f ′(θ)＝2v2gcos 2θ，由f ′(θ)＝0得cos 2θ＝0. 又θ∈[0，π2]，∴θ＝π4.又当θ∈[0，π4]时，f ′(θ)＞0；当θ∈[π4，π2]时，f ′(θ)＜0.∴f (θ)在[0，π2]上有且只有一个最值点．∴f (θ)在[0，π2]上是单峰函数．8．一串钥匙中有外形类似的6片钥匙，分别对应编号为①、②、…⑥六把锁．为了给6片钥匙编号，需要用钥匙去试锁．(1)为①号锁找到钥匙最少要试几次？最多要试几次？ (2)最少试几次可以区分这6片钥匙？最多呢？【解】 如果试第一次就找到了，这是最少的次数，即为①号锁找到钥匙最少要试1次．如果试了5次还没打开①号锁，则剩下的那片就是①号锁的，故最多次数是5次．(2)若第1次试，打开了①号锁；然后第2次试②号锁，也打开了②号锁；… …；第5次试，打开了⑤号锁，剩下那片钥匙就是⑥号锁的，即最少次数是5次．最多次数的开锁情况是：找①号锁试了5次，然后从剩下5把锁中找②号锁，次数4次，… …，最后剩下⑤，⑥号锁时，只要试1次，即总次数是5＋4＋3＋2＋1＝15次．最多次数是试了15次．创新应用9．已知f (x )＝13x 3－2ax 2＋3a 2x ＋2的定义域是[0,4]．(1)若f (x )的最佳点是x ＝3，求a 的值； (2)若f (x )是单峰函数，求a 的取值范围． 【解】 (1)∵x ＝3∈[0,4]是f (x )的最佳点， ∴f ′(3)＝0.又f ′(x )＝x 2－4ax ＋3a 2， ∴f ′(3)＝9－12a ＋3a 2＝0， ∴a ＝1或3.(2)要使f (x )在[0,4]上是单峰函数，则f (x )在[0,4]上有一个极值点或f (x )在[0,4]上是单调函数．∵f ′(x )＝x 2－4ax ＋3a 2， 由f ′(x )＝0得x ＝a 或x ＝3a .①若f (x )在[0,4]上是单调函数，则a ≤0或a ≥4. ②若f (x )在[0,4]上只有一个极值点， 则f ′(0)·f ′(4)≤0，a ∈[43，4]．结合①②可知所求a 的范围是a ≤0或a ≥43.教师备选10．在12个外表相同的小球中，11个球的质量都是10克，另一个要重一些(但仅凭手感无法分辨)，给定一个没有砝码的天平，请设计一个试验方案，把这个重一点的小球挑出来．【解】 方案一 先把两个球放到天平两边的盘中，如果不平衡，则较重一边的小球就是要找的；如果平衡，就把其中一个球作为标准，用它来称量其它球，与它不同的就是我们要找的．方案二 把12个球平均分成6组，把每组的2个球分放在天平两边，如果不平衡，则较重一边的小球就是要找的，这种方法最多要称量6次．方案三 把12个球平均分成3组(每组4个)，先把其中两组分别放到天平的两边，如果平衡，则重一点的球一定在剩余一组中，如果不平衡，那么较重的一边的4个球中一定含有我们要找的球，这样最多3次就能完成任务．。
平口单峰函数之倍角界定法
满分秘籍：二倍角最值界定
2
1
cos cos 2+=
αα，22cos 2cos 222cos 2cos 2)(2c a b a c a b a c bx ax x f ++
+≤+++=++=αααα，往往02
20=+=c
a b ，时，取得最值，这个方法通常在一些选填甚至解答压轴题中给你一种秒得很爽的感觉.
例题1：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]004x ，Î，使得()0f x t ³成立，则实数
t 的取值范围是 ．
例题2：（2018•呼和浩特期中）设函数(),,,f x ax b a b R -?若对于任意的实数,a b 总存在实数
[]004x ，Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围为 ．
例题3：已知函数
()2f x x ax b
=++，
[]
01x ∈，，若
()
f x 的最大值是M ，则M 的最小值是 ．
满分秘籍：三倍角最值界定
ααααααααααααα322sin 4sin 3sin )sin 21(cos sin 2sin 2cos cos 2sin )2sin(3sin -=-+=+=+=； αααααααααααααcos 3cos 4cos sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 322-=--=-=+=；
由此得到降幂公式：4
3cos cos 3cos 43sin sin 3sin 33α
ααααα+=
-=
， 当][m m x ，-∈时，可以设])0[(cos παα，∈=m x ，当]2[m m x ，-∈时，可以设])
320[(cos παα，∈=m x ，以此类推；33|cos3+(+)cos +||cos3|+|(+)cos |+||4444a a a a b c b c αααα≤，往往0043
==+c a b ，时取得最值.
当ααααcos )3(2cos 3cos )(a c b a f +++=，且030>+>a c a ，，则0≤b 时，)()(min παf f =，当0≥b 时，)0()(max f f =α.
例题1：已知函数 ()328f x x ax bx =--，是否存在任意实数a b 、，使得()2f x ≤对任意的[]11x ∈-，
恒成立，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．
例题2：（2019•广东模拟）已知3
4
a ≥-，0
b ≥，函数3()f x x ax b =++，11x -≤≤，设|()|f x 的最大值为M ，
且对任意的实数a ，b 恒有M K ≥成立，则实数K 的最大值为( ) A ．4
B ．2
C ．
12
D ．
14
例3：（2020•武汉3月调研）如果关于x 的不等式012
3≥+-ax x 在]11[，-恒成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．0≤a
B ．1≤a
C ．2≤a
D ．
22
33≤
a
例 4.（2019•武汉模拟）已知函数3()f x x ax b =++定义域为[12]-，，记|()|f x 的最大值为M ，则M 的最小值为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D
2
2
2
例38.（2016•天津）设函数3()(1)f x x ax b =---，x R ∈，其中a ，b R ∈． （1）求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=； （3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[02]，上的最大值不小于1
4
． 解：（1）函数3()(1)f x x ax b =---的导数为2()3(1)f x x a '=--， 当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在R 上递增；
当0a >时，当1x >1x <()0f x '>，当11x <<+，()0f x '<，
可得()f x 的增区间为(1-∞，，(1+)+∞，减区间为(11； （2）证明：0()0f x '=，可得203(1)x a -=，由322000000()(1)3(1)(1)(21)f x x x x b x x b =----=----，
320000(32)(22)3(32)(1)f x x x x b -=-----2200000(1)(8896)(1)(21)x x x b x x b =---+-=----， 即为001(32)()()f x f x f x -==，即有0132x x -=，即为1023x x +=； （3）法一：证明：要证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于1
4
，只需证在[02]，上存在1x ，2x ，使得 121
()()2
f x f x -≥．当3a ≥时，()f x 在[0，2]递减，由(2)f 12a b =--，(0)1f b =--，得(0)(2)f f -1
2242
a =-≥>
，成立；
当03a <<时，3(1((1f a b a b =--=+a b =-，
3(1(1f a b a b =-+--a b =-， (2)f 12a b =--，(0)1f b =--，(2)f (0)22f a -=-，若304a <≤
时，1
(2)(0)222
f f a -=-≥成立；
若34a >
时，1(1(12f f -=成立．综上可得，()g x 在区间[02]，上的最大值不小于1
4
．
法二平口单峰：根据第二问的结论，先构造()()()1121f x f x f -++=证明三次函数的对称中心为()()
1,1f ，。
