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关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案一．平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响.在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换==-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题.由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理：①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；②以对称轴为中心，每增加m 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n ，增加的蝶高n 比为1:3:5::21n -；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q +-=时，()()()min 22b bg x M m f q f f p f =-=--=--；综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f+=，()()M f p f q ==.例1：在()2f x x px q =++中，找出使得2max 11x px q x ，++-取得最小值时的函数表达式为解：根据平口二次函数定理可知当仅当0M m +=时，2max ,11x px q x ++-能取得最小值，此时()()11M f f ==-110p q p q p \++=-+Þ=；又()0m f q ==，1102M m q q q +=++=Þ=-；()[]21,1,12f x x x \=-Î-.例2：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是。
一种可有双峰形状的概率密度函数概率密度函数（PDF）是一种常见的统计学用语，用于表示在某范围内某种随机变量的可能数值和概率分布的结果。
率密度函数可以是单峰形状的，或者可以有双峰形状，也可以是多峰形状的。
峰形状的概率密度函数是一种比较常见的形式，它可以用于描述复杂的概率分布情况。
在这种概率分布中，两个或多个峰的大小可能会发生变化，给人以多种不同的“形状”和“谱线”。
双峰形状的概率密度函数具有广泛的应用，既可以用于分析离散的概率规律，也可以用于分析连续的概率规律。
于离散的概率规律，可以使用双峰形状的概率密度函数来表示，并用其来研究这种离散性质。
例如，可以用双峰形状的概率密度函数来表示像生物进化、心理发展、社会发展等社会经济活动中的变量，以及没有明显的离散性的变量，如天气变化。
双峰形状的概率密度函数也可以用来分析连续性的概率规律。
例如，可以使用双峰形状的概率密度函数来分析股票市场和投资者行为中的概率分布情况，以及货币市场、贸易市场以及这些市场中的因素对交易时间和价格的影响。
双峰形状的概率密度函数可以使用统计学方法，如最大似然估计等方法来估计其参数，或者使用蒙特卡洛技术来模拟其结果。
估计双峰形状的概率密度函数的参数时，可以运用极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）公式来估计出该函数的参数。
MLE是一种统计学方法，用于估计参数的概率分布的最大似然估计。
在估计双峰形状的概率密度函数参数时，可以运用蒙特卡洛方法从数据中抽取出概率密度函数，从而构造出具有双峰形状的概率密度函数。
特卡洛方法是一种模拟技术，通过从样本中采样，做出不断尝试以获得概率结果的一种方法，可以非常有效地估计出双峰形状的概率密度函数。
双峰形状的概率密度函数可以用来识别多元统计分析中的多种模式。
如，可以用双峰形状的概率密度函数来表示因子贡献的分布情况，因子贡献是一种统计模型，用于衡量分析某个变量时各因素对结果的贡献。
单峰分布假设-回复什么是单峰分布假设？单峰分布假设是概率论中的一种假设，用于描述随机变量的概率分布形状。
它假设了随机变量的概率分布中只存在一个峰值，即分布是单峰的。
峰值是分布曲线上的最高点，代表着概率密度函数在该点取得最大值。
单峰分布假设认为除此峰值外，其他点上的概率密度较小，随着离峰值的距离增加，概率密度逐渐减小。
这一假设意味着随机变量的分布是单峰陡峭的。
单峰分布假设在实际应用中有广泛的应用，特别是在描述连续型随机变量的分布时较为常见。
它可以帮助我们更好地理解和分析随机变量的概率分布特征，从而有助于进行相关的统计推断和决策。
下面将逐步回答有关单峰分布假设的一些重要问题。
第一步：为什么要假设分布是单峰的？在实际应用中，我们经常需要对随机变量的概率分布进行建模和分析。
而分布的峰值通常代表了变量可能取得的最可能的值，因此具有重要的统计和实践意义。
假设分布是单峰的，可以简化分析过程，减少模型复杂度，并且更加符合实际情况。
在现实应用中，很多随机变量的分布确实是单峰的，例如人的身高、体重、收入等。
这些变量往往具有一个主要的集中区间，其他取值较少。
当然，并非所有随机变量都满足单峰分布假设，有些变量可能具有多个峰值或者没有明显的峰值，对于这类变量，我们需要使用其他更为复杂的分布假设进行建模。
第二步：如何判断分布是否是单峰的？为了判断一个随机变量的概率分布是否满足单峰分布假设，我们需要借助统计方法和图形分析。
首先，可以通过观察直方图或频率分布图来初步判断分布形态。
单峰分布的直方图通常呈现一个明显的峰值和两侧逐渐下降的趋势。
其次，我们可以使用一些统计工具来进一步验证单峰分布假设。
例如，可以计算随机变量的偏度(skewness)和峰度(kurtosis)等统计量。
单峰分布具有偏度接近0的特点，而峰度通常较高。
除此之外，还可以使用正态性检验或者其他的假设检验方法来验证单峰分布假设。
这些方法旨在判断随机变量的分布是否与正态分布或其他特定的分布相似，从而进一步验证单峰分布假设。
平口单峰函数之倍角界定法满分秘籍：二倍角最值界定21cos cos 2+=αα，22cos 2cos 222cos 2cos 2)(2c a b a c a b a c bx ax x f +++≤+++=++=αααα，往往0220=+=ca b ，时，取得最值，这个方法通常在一些选填甚至解答压轴题中给你一种秒得很爽的感觉.例题1：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]004x ，Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是 ．例题2：（2018•呼和浩特期中）设函数(),,,f x ax b a b R -?若对于任意的实数,a b 总存在实数[]004x ，Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围为 ．例题3：已知函数()2f x x ax b=++，[]01x ∈，，若()f x 的最大值是M ，则M 的最小值是 ．满分秘籍：三倍角最值界定ααααααααααααα322sin 4sin 3sin )sin 21(cos sin 2sin 2cos cos 2sin )2sin(3sin -=-+=+=+=； αααααααααααααcos 3cos 4cos sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 322-=--=-=+=；由此得到降幂公式：43cos cos 3cos 43sin sin 3sin 33αααααα+=-=， 当][m m x ，-∈时，可以设])0[(cos παα，∈=m x ，当]2[m m x ，-∈时，可以设])320[(cos παα，∈=m x ，以此类推；33|cos3+(+)cos +||cos3|+|(+)cos |+||4444a a a a b c b c αααα≤，往往0043==+c a b ，时取得最值.当ααααcos )3(2cos 3cos )(a c b a f +++=，且030>+>a c a ，，则0≤b 时，)()(min παf f =，当0≥b 时，)0()(max f f =α.例题1：已知函数 ()328f x x ax bx =--，是否存在任意实数a b 、，使得()2f x ≤对任意的[]11x ∈-，恒成立，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．例题2：（2019•广东模拟）已知34a ≥-，0b ≥，函数3()f x x ax b =++，11x -≤≤，设|()|f x 的最大值为M ，且对任意的实数a ，b 恒有M K ≥成立，则实数K 的最大值为( ) A ．4B ．2C ．12D ．14例3：（2020•武汉3月调研）如果关于x 的不等式0123≥+-ax x 在]11[，-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0≤aB ．1≤aC ．2≤aD ．2233≤a例 4.（2019•武汉模拟）已知函数3()f x x ax b =++定义域为[12]-，，记|()|f x 的最大值为M ，则M 的最小值为( )A ．4B ．3C ．2D222例38.（2016•天津）设函数3()(1)f x x ax b =---，x R ∈，其中a ，b R ∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=； （3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14． 解：（1）函数3()(1)f x x ax b =---的导数为2()3(1)f x x a '=--， 当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在R 上递增；当0a >时，当1x >1x <()0f x '>，当11x <<+，()0f x '<，可得()f x 的增区间为(1-∞，，(1+)+∞，减区间为(11； （2）证明：0()0f x '=，可得203(1)x a -=，由322000000()(1)3(1)(1)(21)f x x x x b x x b =----=----，320000(32)(22)3(32)(1)f x x x x b -=-----2200000(1)(8896)(1)(21)x x x b x x b =---+-=----， 即为001(32)()()f x f x f x -==，即有0132x x -=，即为1023x x +=； （3）法一：证明：要证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14，只需证在[02]，上存在1x ，2x ，使得 121()()2f x f x -≥．当3a ≥时，()f x 在[0，2]递减，由(2)f 12a b =--，(0)1f b =--，得(0)(2)f f -12242a =-≥>，成立；当03a <<时，3(1((1f a b a b =--=+a b =-，3(1(1f a b a b =-+--a b =-， (2)f 12a b =--，(0)1f b =--，(2)f (0)22f a -=-，若304a <≤时，1(2)(0)222f f a -=-≥成立；若34a >时，1(1(12f f -=成立．综上可得，()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14．法二平口单峰：根据第二问的结论，先构造()()()1121f x f x f -++=证明三次函数的对称中心为()()1,1f ，。
305专题5 关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案秒杀秘籍：第一讲 平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响．在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换=揪揪揪揪井=-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++?时，()f x c £，求c 最小值问题．由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围．图1 图2 图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理： ①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；①以对称轴为中心，每增加m D 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n L ，增加的蝶高n D 比为1:3:5::21n L -； ①如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q+-=时，()()()min 22b b g x M m f q f f p f 骣骣琪琪=-=--=--琪琪桫桫； 综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f 骣+琪=琪桫，()()M f p f q ==． 【例1】在()2f x x px q =++中，找出使得2max 11x px q x ，++-＃取得最小值时的函数表达式为 ．【例2】设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是 ．秒杀秘籍：第二讲 平口对勾函数问题对勾函数涉及极值偏移，算数平均数的中点的值不代表最值，()[],,af x x b x p q x =++?时，()f x c £，求c 最小值问题，根据平口二次函数的推论，可以知道是()()f p f q =，如图4，求出参数a 以后再根据())0f p fa +=确定参数b ．306定理：当仅当a pq =时，对勾函数在区间[],p q 才能构成平口对勾函数，()f x 去最小值时取到了[],p q 的几何平均数中点．图4【例3】（2018•台州期末）已知()1f x x ax b x =+--，当1,22x 轾Î犏犏臌时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 最小值为 ．【例4】（2018•青浦二模）设函数()2f x ax b x=--，对于任意的实数,a b ，总存在[]01,2x Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围是 ．秒杀秘籍：平口三次函数问题三次函数涉及到双峰问题，我们需要在给定的定义域内构造出单峰三次函数（即部分图像，通常是极大值到极大值等值点这一段），如下图，若[]12x ∈-，，我们可在此区间构造单峰函数．【例5】（2019•武汉调研）已知函数()3f x x ax b =++的定义域为[1,2]-，记()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．3秒杀秘籍：第三讲 关于平口函数的万能招数所有的平口函数()y f x =一定满足一个共性：出现求()maxmin f x ，[],x p q Î时，一定为平口函数，若()y f x =有一个极值点，也叫平口单峰函数，若()maxf x M =，()minf x m =，()()0f p f q M m ì=ïíï+=î此为平口单峰函数的万能招数．既然如此，再来几道题，都可以直接秒杀了．建议大家边写题边拍一下参考答案给的解法，对比一下，这种类型题能减少讨论是最好的．307【例6】（2018•呼和浩特期中）设函数(),,,f x x ax b a b R -?若对于任意的实数,a b 总存在实数[]00,4x Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围为 ．【例7】（2018•秋杭州期中）已知()ln f x x ax b =--，对于任意的0a <，b R Î，都存在[]01,x m Î使得()01f x ³成立，则实数m 的取值范围为 ．【例8】求()[]min max ln 101x ax b x a b R ，，、+++挝．下面给出一个平口单峰函数的解答题证明过程：若函数()f x 在区间[],p q 为连续的单峰函数，且()()f p f q =，此函数为平口单峰函数，0x 为其极值点．秒杀秘籍:()()max g x f x ax b =++的最小值为()()02f p f x -，当仅当0a =，()()02f p f x b +=-时取得．【例9】（2018•台州月考）已知函数()1f x x ax b x =+--，当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，设()f x 的最大值为()M a b ，，则()M a b ，的最小值是（ ）A ．2B ．21C ．4D ．41 秒杀秘籍：第四讲 构造平口函数若题目给的基本函数为非“平口单峰”，则我们需要构造“平口单峰”， 此处注意：构造平口单峰函数的后边应为一次函数．下面以几道最近模拟考非常火又颇有难度的题作为例题，秒杀之．【例10】（2019•济南二模）已知函数()22x f x ax bx -=--+，若对任意的实数a b ，，总存在[]012x ∈-，，使得()0f x m≥成立，则实数m 的取值范围是 ．A ．14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．(]1-∞，【例11】（2019•武汉调研）已知函数()3f x x ax b =++的定义域为[1,2]-，记()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．3【例12】（2019•青浦二模）设函数()()2f x ax b a R x=-+∈,若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得()0f x m ≥，求实数m 的最小值为 ．308【例13】（2016•天津理）设函数3()(1)f x x ax b =---，x R ∈，其中a ，b R ∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=； （3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[0，2]上的最大值不小于14．秒杀秘籍：第五讲 常见方法之三点控制（多点控制）在这类求最大值的最小值问题中，多点控制也是一个非常好用的处理手段，这里给到大家一些总结，怎么取点控制：①对于二次函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和区间中点；①对于平口打勾函数一般用三点控制，这三点分别是区间的两个端点和极值点，对于一般的打勾函数，这三点分别是区间的两个端点和打勾函数两区间端点连线平行且与打勾函数相切的直线与打勾函数的切点； ①对于一般的三次函数，一般需要四点控制，这四点分别是区间的两个端点和分别靠近两端点的两个四等分点．注意：对于缺少常数项的二次函数和缺项的三次函数，选取点的原则可能会发生改变，视情况而定． （注：此公式参考微信公众号《万卷归宗文献》） 【例14】已知函数()2f x x ax b=++，[]01x ∈，，若()f x 的最大值是M ，则M 的最小值是 ．【例15】已知函数 ()328f x x ax bx =--，是否存在任意实数a b 、，使得()2f x ≤对任意的[]11x ∈-，恒成立，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．【例16】已知函数()f x x ax b -，a b R ∈、，若对任意的[]004x ∈，，使得()0f x M ≥，求实数M 的取值范围是 ．309达标训练1．（2018•永康模拟）记()()ln 0f x x ax b a =++>在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若(){},ln 2t b M a b a R ≥+=，则实数t 的最大值是（ ） A ．2B ．1C ．34D ．232．已知34a ≥-，0b ≥，函数()3f x x ax b =++，11x -≤≤，设()f x 的最大值为M ，对任意的,a b R ∈恒有M k ≥，则实数k 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．12D ．143．（2016•沙坪坝月考）已知函数()()3223(33)1,f x x x a x +b a b R =-+-≥∈，当[]0,2x ∈时，记()f x 的最大值为M ，有M k ≥，则实数k 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．（2018•诸暨二模）已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0，]c 内的最大值为(M a ，b R ∈，0c >位常数） 且存在实数a ，b ，使得M 取最小值 2 ，则a b c ++= ． 5．（2017•温州二模）若存在]1,1[0-∈x 使得不等式0001|421|2x x x a +-⋅+…成立，则实数a 的取值范围是 ．6．（2016•浙江二模）设1()42(,)x x f x a b a b R +=+⋅+∈，若对于[0x ∀∈，1]，1|()|2f x …都成立， 则b = ． 7．函数()2f x x ax =-在[]01，上的最大值的最小值为 ，此时a = ．8．函数()2f x x ax =-在[]36，上的最大值的最小值为 ，此时a = ． 9．函数()2f x x ax =-在[]13，上的最大值的最小值为 ，此时a = ．10．若函数()224f x x ax b π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭在302x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上最大值为M ，则的M 最小值为 ． 11．已知函数()1f x x ax b x =+--，当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，设()f x 的最大值为M ，则的M 最小值为 ．12．若存在实数a b 、使得()221x ax b m x ++≤+对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，则的m 最小值为 ．13．设函数()32f x x ax bx c a b c R=+++∈，、、，若对任意的实数a b c 、、，总存在[]00,4x ∈，使得不等式()0f x M≥成立，则实数M 的取值范围是 ．14．（2018•温州期末）已知函数2()(4)3f x x a x a =+-+-． （1） 若()f x 在区间[0，1]上不单调， 求a 的取值范围；（2） 若对于任意的(0,4)a ∈，存在0[0x ∈，2]，使得0|()|f x t …，求t 的取值范围 ．31015．（2009•湖北）在R 上定义运算：1()()4(3p q p c q b bc b ⊗=---+、c R ∈是常数），已知21()2f x x c =-，2()2f x x b =-，12()()()f x f x f x =⊗．（1）如果函数()f x 在1x =处有极值43-，试确定b 、c 的值；（2）求曲线()y f x =上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；（3）记()|()|(11)g x f x x ='-剟的最大值为M ，若M k …对任意的b 、c 恒成立，试求k 的取值范围．（参考公式：323234()(2))x bx b x b x b -+=+-16．（2016•浙江二模）已知函数2()2(,)f x x ax b a b R =-+∈，记M 是|()|f x 在区间[0，1]上的最大值． （1）当0b =且2M =时，求a 的值； （2）若12M …，证明01a 剟．17．（2016•天津）设函数3()f x x ax b =--，x R ∈，其中a ，b R ∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=； （3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[1-，1]上的最大值不小于14．。
湖北省随州市（新版）2024高考数学统编版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若存在非零实数，使得成立，则的最小值为（）．A．B．C．16D．4第(2)题已知函数，则关于的方程（）的实根个数不可能为A．B．C．D．第(3)题若复数z满足，则（）A．B．C．D．第(4)题在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知函数若对区间内的任意实数，都有，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(7)题如果椭圆的离心率为，则（）A．B．或C．D．或第(8)题记集合，，则（）A．B．或C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数（）的初相为，且函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（）A ．的图象关于直线对称B．函数的一个单调递减区间为C．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数D ．若函数在区间上的值域为，则第(2)题下列有关回归分析的结论中，正确的有（）A．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本点的中心B．若相关系数的绝对值越接近于1，则相关性越强.C．若相关指数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好.D．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高第(3)题固定电话用户指在电信企业营业网点办理开户登记手续并已接入固定电话网上的全部电话用户．固定电话在许多场合依然起到重要的作用，而且固定电话在许多方面有着手机没有的优势，这也使得固定电话至今仍在中国市场上有一定的保有量．某电信部门统计了所辖区域2021年和2022年固定电话用户数的同比增长率（），并绘制如图所示的折线图．则下列说法中正确的有（）A．2022年固定电话用户数的同比增长率比2021年固定电话用户数的同比增长率稳定B．2021年和2022年固定电话用户数的同比增长率数据的中位数分别为，C．这两年中，固定电话用户数的同比增长率数据同期相差最大的是4月份D．2021年固定电话用户数的同比增长率数据的第80百分位数为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数的系数，可组成不同的一次函数共有____________个，不同的二次函数共有____________个．（用数字作答）第(2)题已知，，，，则________．第(3)题大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上的第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，则此数列的第50项为___________，前项和___________.(附：)四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知盒中有形状､大小都相同的3个黑球和1个白球，每次从中取1个球，取到黑球记1分，取到白球记2分，有放回地抽取3次，用随机变量表示取3次所得的分数之和，求：（1）3次都取到黑球的概率；（2）随机变量的分布列.第(2)题在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点，点P为圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为C.(1)求C的方程.(2)斜率存在且不为0的直线l与C交于M，N两点，点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件，证明另外一个成立.①轴；②直线l经过点；③D，B，N三点共线.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.第(3)题已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）求函数的图象与轴围成的三角形面积.第(4)题已知函数 .（1）若在处，和图象的切线平行，求的值；（2）设函数，讨论函数零点的个数.第(5)题在数列中,若是正整数,且, ,则称为“D-数列”.(1)举出一个前六项均不为零的“D-数列”(只要求依次写出该数列的前六项);(2)若“D-数列”中,,,数列满足,,分别判断当时,与的极限是否存在?如果存在,求出其极限值(若不存在不需要交代理由);(3)证明:任何“D-数列”中总含有无穷多个为零的项.。
单峰映射python-概述说明以及解释1.引言1.1 概述单峰映射是一种在数学和计算机领域中常见的概念，它描述了一个函数在定义域上存在且仅存在一个极值点或者局部最值点的映射关系。
在实际应用中，单峰映射常常用于优化问题的求解，例如在遗传算法、模拟退火算法等优化算法中的应用较为广泛。
本文将重点介绍单峰映射在Python编程语言中的应用。
通过对单峰映射的概念和原理进行深入剖析，我们将探讨如何利用Python编程实现单峰映射，并通过实际案例加以说明。
最后，我们还将总结单峰映射的重要性，归纳Python中实现单峰映射的方法，以及展望单峰映射在未来的应用前景。
通过本文的阐述，读者将能够更好地理解和应用单峰映射这一重要概念。
1.2 文章结构文章结构部分主要介绍了整篇文章的框架和组成部分，包括引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们会对单峰映射这一概念进行概述，介绍文章的结构和目的。
在正文部分，我们将深入探讨单峰映射的定义、在Python中的应用以及实际案例。
最后在结论部分，我们将总结单峰映射的重要性，总结Python中实现单峰映射的方法，并展望单峰映射在未来的应用前景。
整篇文章将以逻辑清晰、内容丰富的方式呈现给读者，让他们更好地了解和掌握单峰映射在Python中的应用。
1.3 目的：本文旨在介绍单峰映射在Python中的应用以及实际案例，旨在帮助读者更好地理解和应用单峰映射这一概念。
通过深入探讨单峰映射的概念和原理，读者可以了解其在数据处理、优化算法等领域中的重要性和实际应用场景。
同时，本文还将介绍Python中实现单峰映射的方法，帮助读者通过具体的实例更好地掌握相关知识和技能。
通过本文的阅读，读者可以深入了解和学习单峰映射这一概念，了解其在Python编程中的应用，从而为进一步学习和应用相关算法奠定基础。
希望本文能够帮助读者更好地理解单峰映射，激发读者对该领域的兴趣，为其在相关领域的研究和实践提供帮助和指导。
建立单峰分布密度函数的探讨孔建新1孔建勇21云南驰宏公司会泽技术监督处质量统计组云南会泽者海镇（654211）E-mail：kongfanjx@2 广东省中山市中等专科学校中山市（528404.）E-mail：kjy0029@摘要：随机变量的频数分布在单峰的情况下客观存在两种分布形态：对称的正态分布，不对称的偏斜分布。
本文以偏斜分布密度函数建立的成果为基础，将这两种分布形态归结为：“单峰分布”，并对单峰分布曲线密度函数的定义和性质与两种分布形态的关系展开讨论。
关键词：单峰分布；密度函数；正态分布；偏斜分布；探讨中图分类号：0212.21.引言如果用正态分布拟合描述单峰分布，当分布的数据不对称时必然发生一定程度的统计误差。
从现实社会和经济现象的统计过程中，随机变量的频数分布在单峰的情况下客观存在两种分布形态：对称的正态分布和不对称偏斜分布。
正态分布是“德国数学家高斯（C.F.Gauss，1777～1855）在研究误差理论时最早使用这一分布，所以正态分布又称高斯分布。
[1]”依据高斯分布原理笔者提出了不对称偏斜分布密度函数[2]，在所建立的数学表达式中描述（包括）了这两种分布形态。
虽然这两种分布形态都具有单峰性，但是在统计实践中它们还存在着差异性。
正态分布和偏斜分布的差异性主要表现在是否满足以下的三个条件：1．平均数与众数是否相等；2．众数左右两边的频数是否相等；3．众数左右两边的离散程度是否相等。
当三个条件均相等的情况下才呈现对称性的正态分布。
当三个条件中任意一个条件不相等时则呈现不对称偏斜分布。
笔者提出的偏斜分布密度函数的数学表达式中已经包含了两种分布形态，显然用“偏斜分布”来命名两种分布形态是不严谨的，必须重新命名以示区别。
从满足它们的前提条件“单峰”的共性来考虑，应将它们归类为“单峰分布”。
但是从网上查询的结果来看“单峰分布”一词早在这以前已经有众多的学者在统计分布的研究中都提到过。
北京联合大学学报1996年12月刊登的《单峰分布的置信区间》[3]一文仅给出了单峰分布的概念，没有给出确切的定义和基本的性质。
构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。
二：引理证明bug 修正。
下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。
大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。
然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。
本文将给出一种极其简洁的做法及解释。
1.1()42,(,),x x f x a b a b R +=++∈，若对任意的[0,1]x ∈，1|()|2f x ≤都成立，则b=_____。
2.设函数4()||f x ax x=-，若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是______。
3.设函数()|,,f x ax b a b R =-∈，若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围为_______。
4.已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为M ，(,,0)a b R c ∈>为常数，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a+b+c=_______。
5.已知2()(4)3f x x a x a =+-+-对任意[0,4]a ∈，均存在0[0,2]x ∈，使得0|()|f x t ≥成立，则t 的取值范围是______。
6.设函数2()||f x ax b x=--，若对于任意实数a,b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。
7.设函数2()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。
8.已知函数1()||f x x ax b x =+--，当1[,2]2x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。
飞狐基本函数简介之指标函数飞狐基本函数简介之指标函数所谓指标函数，就是头疼函数。
一些指标的算法极为繁琐，做成基本函数，用起来就方便了。
我自己也是摸着石头过河。
一、函数： ZIG(K,N)参数： N为常数，参数K可为序列或常数,K取0--3，表示0:开盘价,1:最高价,2:最低价,3:收盘价；也可为ma(close,5)等。
返回：返回数组说明：当价格变化量超过N%时转向示例： ZIG(3,5) 表示收盘价的5%的ZIG转向ZIG(MA(C,20),5)表示均线的5%的ZIG转向ZIG，之字形。
1、K可以作为参数调整，也可以直接写其它的指标线，如"kd.k"。
N也可以做成参数调整。
2、在K线中，ZIG只能对一根指标线进行转向处理。
要想高点在H位置，低点在L位置，ZIG是做不到的。
3、ZIG到底是如何体现“未来”的？即它是怎么画出来的？见最后的说明。
4、ZIG输出的是数值，不是直线。
5、ZIG一般使用在看波浪、看形态上。
ZIG函数是未来函数之第二大嫌疑。
在交易系统中用未来函数，就是用BACKSET或ZIG，可以使许多人“梦想成真”。
由于“未来函数”在交易系统中可以大大作弊，才使其在指标和选股公式中也一起“臭名昭著”。
二、函数： PEAK(K,N,M)参数： N为常数，参数K可为序列或常数,K取0--3，表示0:开盘价,1:最高价,2:最低价,3:收盘价；也可为ma(close,5)等，M为大于等于1的整数返回：返回数组说明：表示之字转向ZIG(K,N)的前M个波峰的数值示例：PEAK(1,5,1) 表示%5最高价ZIG转向的上一个波峰的数值PEAK(MA(C,20),5,1) 表示均线的5%的ZIG转向的上一个波峰的数值PEAK，高峰。
这个函数可以取到ZIG波峰的数值。
如果K取1，波峰取的是H。
如果K取3，波峰是C的波峰，可不是H。
三、函数： PEAKBARS(K,N,M)参数： N为常数，参数K可为序列或常数,K取0--3，表示0:开盘价,1:最高价,2:最低价,3:收盘价；也可为ma(close,5)等，M为大于等于1的整数返回：返回数组说明：表示之字转向ZIG(K,N)的前M个波峰到当前的周期数示例： PEAKBARS(1,5,1)表示%5开盘价ZIG转向的上一个波峰到当前的周期数PEAKBARS(MA(C,20),5,1)表示均线的5%的ZIG转向的上一个波峰到当前的周期数这个函数用来定波峰的位置的。
高中数学秒算大招1.奇偶性速算技巧：同偶异奇。
）复合函数的单调性：（调性。
调区间内具有相反的单性，偶函数在对称的单区间内具有相同的单调）奇函数在对称的单调（奇函数。
偶函数偶函数；奇函数奇函数奇函数偶函数；偶函数奇函数；偶函数奇偶函数；奇偶）偶（。
处有意义，则为奇函数且在）若（43///20)0(0)(1=÷⨯=÷⨯=÷⨯=±=±==f x x f 2.跳跳老师是这样理解函数的奇偶性：13579是奇数，2468是偶数，我们很容易发现偶数能够平分，所以偶函数也能被平分，奇函数不能被平分。
于是推出偶函数的结论：偶函数能够被y 轴平分。
奇函数关于原点对称。
（1）从图像上理解，偶函数被y 轴平分，奇函数关于原点对称。
（2）从函数表达式上理解，鸡吐骨头，狗不吐骨头。
Eg1.奇函数f(x)=-f(-x),我们把负号想象是骨头，看到奇函数外面有骨头，所以称为鸡吐骨头。
Eg2.偶函数f(x)=f(-x),我们把负号想象是骨头，看到偶函数外面没有骨头，所以称为狗不吐骨头。
3.美眉奇函数求值秒杀技巧：⎩⎨⎧=-+=+⇒+=+=⎩⎨⎧=-+=+⇒=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=-=±+=---常常肠（鸡肠问题）鸡常数奇函数奇函数）常见奇函数（2)()(2)()3(0)()(0)()2()()()1)((log )(12a f a f m M x f a f a f m M x f a a a a x f a a x f ax ax x f x x x x xx a （备注：M+m 两个m 开头的，我们把这类型称为美眉函数模型。
）4.多值相加模型方法更爽快：?)2(,4)2(3)1ln()(.2?,M ],[)319ln(113)(.12)0(21)0(02-.22,11sin 2)()(.1?,,1sin )1()(.1)(3)(22122222==-+-+==+--++++====∞+∞+==++++==++++====+f f ax x a x f m M m k k x x e e x f f f x m M x x x x f x f m M m M x x x x f eg n x nf x f x x x x x 则且已知函数则，最小值为的最大值为在自己试一下这两道题：瞧瞧，怎么样？第三步：第二步：计算）（第一步：步骤求值。
★飞狐常用函数大全入口[含示意及用法]一.常数函数1.常数函数CAPITAL 流通盘大小用法:CAPITAL，返回流通盘大小，单位为手。
对于A股得到流通A股，B股得到B股总股本，指数为0注意：该函数返回常数CURRENTDATE 计算时的当前日期用法:CURRENTDATE，返回计算时的日期，该日期是从1900年开始的天数，例如2003年8月1日表示为1030801。
注意：该函数返回常数CURRENTTIME 计算时的当前时间返回计算时的时间。
用法:CURRENTTIME，返回计算时的时间，格式为时分秒，有效范围(000000-235959)注意：该函数返回常数DATACOUNT 序列数据量用法ATACOUNT，返回序列数据数量。
注意：该函数返回常数DATAPERIOD 数据周期类型当前数据周期类型。
用法ATAPERIOD。
返回值范围为0-12，分别表示分笔成交(0)、1分钟(1)、5分钟(2)、15分钟(3)、30分钟(4)、60分钟(5)、日(6)、周(7)、月(8)、年(9)、多日(10)、多分钟(11)、多秒(12)LBOUND(X) 序列下界序列最小下标。
用法:LBOUND(X)，返回序列X的下界(最小下标),即为第一个有效数据下标,若无有效数据返回0可通过SETLBOUND(X,N)函数设置序列变量X的下界(最小下标)MINDIFF 最小变动价位返回当前证券最小变动价位。
用法:MINDIFF，对于深沪股票为0.01，深沪基金为0.001注意：该函数返回常数STKTYPECATEGORY 证券类型当前证券类型。
用法:STKTYPE返回值范围为0-13，分别表示指数、A股、B股、基金、债券、其它证券、外汇、期货、其它股票、商品现货、选择权、凭证权证、投资指数、板块指数UBOUND(X) 序列上界序列最大下标。
用法:UBOUND(X)，返回序列的上界(最大下标)VOLUNIT 每手股数每手股数。
多维单峰函数解析1. 定义多维单峰函数是指在多维空间中具有单个凸起或下凹的函数。
这种函数在机器学习、优化和图像处理等领域有广泛的应用。
多维单峰函数的定义基于以下几个要素：•输入空间：多维单峰函数定义在一个n维欧几里德空间中，通常表示为R^n。
其中n表示空间的维度，即输入变量的个数。
•函数值：对于给定的n维输入向量x=(x1, x2, …, xn)，多维单峰函数会计算出一个实数值作为输出。
通常情况下，我们将多维单峰函数记作f(x)。
•单峰性质：多维单峰函数在输入空间中只有一个局部极值点（凸起或下凹）。
这意味着函数在其他点上的斜率都是递增或递减的。
•全局最优点：多维单峰函数具有一个全局最优点，也称为单峰函数的极值点。
在最优化问题中，我们通常希望找到该点或接近该点的解。
2. 用途多维单峰函数在实际问题中有广泛的应用，特别是在优化和搜索领域。
以下是多维单峰函数的一些常见应用场景：•模式搜索：多维单峰函数的单峰性质使得其在图像处理和计算机视觉领域中应用广泛。
例如，用于检测图像中的最亮或最暗区域，以及寻找图像中的特定模式。
•优化问题：多维单峰函数可以用于解决各种优化问题，如函数最小化、参数估计和机器学习中的参数调优。
通过寻找单峰函数的全局最优点，我们可以获得问题的最优解。
•算法评估：多维单峰函数常被用于评估优化算法的性能。
通过在已知的多维单峰函数上测试算法，可以比较不同算法的效率和收敛速度。
•数据分析：多维单峰函数可以用于聚类分析和数据建模中。
通过拟合多维单峰函数到给定的数据集上，我们可以提取数据的特征并进行模式识别。
3. 工作方式多维单峰函数的工作方式取决于具体的函数形式和应用领域。
通常情况下，对于给定的输入向量x=(x1, x2, …, xn)，我们需要计算函数f(x)的值。
以下是多维单峰函数的一般计算流程：1.初始化参数：首先，我们需要定义多维单峰函数的具体形式和参数。
这些参数可以包括函数的类型、形状、峰值位置和范围等。
构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”吴剑（野猪）2017.06.28一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。
二：引理证明bug 修正。
下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。
大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。
然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。
本文将给出一种极其简洁的做法及解释。
1.1()42,(,),x x f x a b a b R +=++∈，若对任意的[0,1]x ∈，1|()|2f x ≤都成立，则b=_____。
2.设函数4()||f x ax x=-，若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是______。
3.设函数()|,,f x ax b a b R =-∈，若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围为_______。
4.已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为M ，(,,0)a b R c ∈>为常数，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a+b+c=_______。
5.已知2()(4)3f x x a x a =+-+-对任意[0,4]a ∈，均存在0[0,2]x ∈，使得0|()|f x t ≥成立，则t 的取值范围是______。
6.设函数2()||f x ax b x=--，若对于任意实数a,b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。
7.设函数2()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。
8.已知函数1()||f x x ax b x =+--，当1[,2]2x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。
湖南省常德市（新版）2024高考数学统编版（五四制）模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，则下列结论错误的是（）A．B．的零点为3C．在上为增函数D．的定义域为第(3)题已知直线和平面，则“”是“直线与平面无公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(4)题已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．第(5)题已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(7)题若是角的终边上一点，则（）A．B．C．D．第(8)题已知抛物线的焦点为F，点，点P为该抛物线上一动点，则周长的最小值是（）A．B．3C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题给出下列说法，其中正确的是（ ）A．若数据，，…，的方差为0，则此组数据的众数唯一B．已知一组数据2，3，5，7，8，9，9，11，则该组数据的第40百分位数为6C．一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似相等D．经验回归直线恒过样本点的中心（），且在回归直线上的样本点越多，拟合效果一定越好第(2)题下列说法正确的有（）A．若随机变量，则B．残差和越小，模型的拟合效果越好C．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05D．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8第(3)题已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（）A．P在直线l上，则的最小值为B．直线l上一点使最大C．当最小时的方程是D．当最小时的方程是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．第(2)题在，已知向量，，，则角B的余弦值为__________.第(3)题已知圆的方程是，经过圆上一点的切线方程为，类比上述方法可以得到椭圆类似的性质为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图1，四边形为菱形，，，分别为，的中点，如图2．将沿向上折叠，使得平面平面，将沿向上折叠．使得平面平面，连接.(1)求证：，，，四点共面：(2)求平面与平面所成角的余弦值.第(2)题已知函数，其中.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，求实数的取值范围.第(3)题选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.第(4)题已知数列满足.(1)证明为常数列，并求数列的通项公式；(2)设为数列落在区间内的项的个数，求数列的前项和.第(5)题已知函数，其中.(1)若，求的值；(2)已知时，单调递增，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使函数存在，求m的最大值.条件①：；条件②：；条件③：的图像与直线的一个交点的横坐标为.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.。
