【高中数学】关于平口单峰函数的一些秒杀方案

关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案一．平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响.在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换==-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题.由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理：①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；②以对称轴为中心，每增加m 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n ，增加的蝶高n 比为1:3:5::21n -；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q +-=时，()()()min 22b bg x M m f q f f p f =-=--=--；综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f+=，()()M f p f q ==.例1：在()2f x x px q =++中，找出使得2max 11x px q x ，++-取得最小值时的函数表达式为解：根据平口二次函数定理可知当仅当0M m +=时，2max ,11x px q x ++-能取得最小值，此时()()11M f f ==-110p q p q p \++=-+Þ=；又()0m f q ==，1102M m q q q +=++=Þ=-；()[]21,1,12f x x x \=-Î-.例2：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是。

高中数学48个考试秒杀公式work Information Technology Company.2020YEAR高中数学48条秒杀型公式与方法，看过的都说好除了课本上的常规公式之外，掌握一些必备的秒杀型公式能够帮你在考试的时候节省大量的时间，通哥这次的分享就是48条爆强的秒杀公式，直接往下看！1.适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。

x为分离比，必须大于1。

注上述公式适合一切圆锥曲线。

如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。

2.函数的周期性问题(记忆三个)：(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。

注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。

c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。

3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：(1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4.函数奇偶性：(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空5.数列爆强定律：(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6.数列的终极利器，特征根方程。

高中数学52个秒杀技巧，是从大量的数学题目和考试中总结出的快速解题方法，这些技巧可以帮助学生在考试中节省时间，提高解题效率。

以下是一些常用的秒杀技巧：
1. 因式分解法：对于多项式，通过分解成几个一次或二次因式的乘积形式，使其变得更简单。

2. 配方法：将一个多项式通过配方转化为另一个多项式，常常用于解决平方项问题。

3. 代数变换法：通过代数运算，将复杂的问题转化为简单的问题，例如通过移项、合并同类项等。

4. 数形结合法：利用几何图形直观地解决代数问题，或者利用代数方法解决几何问题。

5. 特殊值法：在解决方程或不等式问题时，可以先假设一些特殊值，看看是否能得到有用的信息。

6. 排除法：在做选择题时，可以通过排除明显错误的选项，来找到正确答案。

7. 整体法：将多个变量或者多个方程作为一个整体来处理，简化问题。

8. 方程组解法：对于多个方程组成的方程组，可以利用代入法、消元法等方法求解。

9. 函数性质法：利用函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，来解决函数问题。

10. 微积分法：在高中数学中，微积分主要用来解决变化率问题，
如求函数的导数和积分。

以上只是部分秒杀技巧，实际上还有很多其他的技巧，如不等式的性质、概率的计算方法、排列组合等。

这些技巧需要学生在平时的学习中不断积累和练习，才能在考试中熟练运用。

1.函数的定义域（m 为自变量）①m10≠⇒m ②m ⇒m 0≥③m 0=mm≠⇒m ④R m m n ∈⇒-12（n 是正整数）⑤02≥⇒m m n（n 是正整数）⑥log a m ⇒m ＞0⑦log m b ⇒m ＞0且m 1≠⑧ma log 1⇒m ＞0且m 1≠⑨m a ⇒m R∈⑩函数)(m f 的定义域是[]b a ,⇒函数)(n f 的定义域也是[]b a ,（函数f （）小括号里面的任何代数式整体的地位都相同）函数定义域的秒杀秘诀：（整体法分析）在高考中或者平时的考试中求函数的定义域，往往是以x 的代数式出现的，上面10个秘诀就是把x 的代数式形式看成一个整体m1.函数=)(x f 11+x 的定义域是_____________（秒杀秘诀①）解：1+=x m ⇒-≠⇒1x 正确答案是()()+∞-⋃-∞-,11,2.函数=)(x f 2log 12-x 的定义域为_________（秒杀秘诀⑧）解：x >0,log 22-x 0≠,0>⇒x 且x 4≠⇒正确答案是()()+∞⋃,44,03.函数)(x f =0)1(12-+-x x 的定义域是___________（秒杀秘诀⑤与③）解：12-x 01,0≠-≥x 1,21≠≥⇒x x ⇒正确答案是()+∞⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡,11,21【高中数学】函数秒杀秘诀4.函数=)(x f 25-x 的定义域是___________（秒杀秘诀④）解：由秒杀秘诀④2-⇒x 为任何实数R ⇒R x ∈正确答案是()+∞∞-,5.函数)1(+x f 的定义域为[]3,2-，则)12(-=x f y 的定义域是________（秒杀秘诀⑩）解：41132≤+=≤-⇒≤≤-x m x 12-=⇒x n 与m 的范围相同2505204121≤≤⇒≤≤⇒≤-≤-⇒x x x ⇒正确答案是⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,0学生心得与体会：xyOxyO2.1二次函数1.c bx ax x f y ++==2)(（a 的符号决定了二次函数的开口方向）（1）0>a (2)0<a 学生心得与体会：xyOxyOxyO2.二次函数的三种解析式（1）交点式))(()(21x x x x a x f --=秒杀秘诀1：已知)(x f 与x 轴的交点2,1xx 与a，用交点式求二次函数的解析式（2）顶点式kh x a x f +-=2)()(秒杀秘诀2：已知)(x f 的顶点（k h ,）与a，用顶点式求二次函数的解析式（3）一般式cbx ax x f ++=2)(秒杀秘诀3：已知)(xf 上的三个点的坐标，用一般式求二次函数的解析式xyO2.二次函数的对称轴与二次函数的单调性（1）对称轴是ab x2-=学生心得与体会：xyO二次函数3.二次函数的单调性对称轴（1）看图发现二次函数的总增区间是二次函数单调递增的全集集合=A =A 秒杀秘诀4：若题目告诉二次函数在集合B 对应的区间单调递增，则集合B 必定是全集集合A 的子集即B A ⊆（集合思想，也叫子集思想）（2）看图发现二次函数的总减区间是二次函数单调递减的全集集合=A cbx ax x f ++=2)(xyOxyO秒杀秘诀5：若题目告诉二次函数在集合B 对应的区间单调递减，则集合B 必定是全集集合A 的子集即B A⊆（集合思想，也叫子集思想）4.二次函数的值域（1）当自变量R x ∈时，c bx ax x f ++=2)(c ab a a b x a +⨯-+=22242(⇒①0>a 时aa acb a ac b a b x a c a b a b x a x f 444442(4)2()(22222∆-=--≥--+=+-+=此时)(x f 有最小值（判别式ac b 42-=∆）②0<a 时aa acb a ac b a b x a c a b a b x a x f 44444)2(4)2()(22222∆-=--≤--+=+-+=此时)(x f 有最大值（判别式ac b 42-=∆）这样在推导理解之后更好记忆由右图数形结合发现0>a 时，)(x f 有最小值由右图数形结合发现0<a 时，)(x f 有最大值xyO秒杀秘诀6：（2）当自变量x 不是任何实数R 时，二次函数)(x f 的值域要通过数形结合的方法分析5.二次函数的恒成立问题与存在性问题（1）二次函数的恒成立问题①二次函数0)(≥x f 对R x ∈恒成立⇒（易错点）秒杀秘诀7：0)(≥x f 是0)(>x f 或0)(=x f 的“p 或q ”形式的复合命题当0=∆时p:0)(>x f 是真命题,q ：0)(=x f 是真命题，0)(≥x f 是真命题当0<∆时p:0)(>x f 是真命题,q ：0)(=x f 是假命题，0)(≥x f 是真命题⇒所以最后取并集0≤∆xyO由右图分析开口向上⇒0>a ⇒判别式0≤∆0=∆0<∆xyOxyO（秒杀秘诀7与秒杀秘诀8容易混淆，下面是我的注解）易错点：c bx ax x f ++=2)(的值域是[)+∞,0（秒杀秘诀8）解：)(x f 值域是[)+∞,0就是)(x f 的值取遍0和所有的正数由左图分析⇒,0=∆>a 主要区别：秒杀秘诀7.0)(≥x f 是一种“p 或q ”形式的复合命题秒杀秘诀8.)(x f 值域是[)+∞,0就是)(x f 的值取遍0和所有的正数所以秒杀秘诀7与秒杀秘诀8是截然不同的②二次函数0)(>x f 对R x ∈恒成立⇒秒杀秘诀9：由右图分析开口向上⇒0>a )(x f 与x 轴没有交点，⇒判别式0<∆xyOxyOxyO③c bx ax x f ++=2)(的值域是(]0,∞-（秒杀秘诀10）解：)(x f 值域是(]0,∞-就是)(x f 的值取遍0和所有的负数由左图分析⇒,0=∆<a ④二次函数0)(≤x f 对R x ∈恒成立⇒秒杀秘诀11：⑤已知d 为常数，)(x f 为二次函数，)(x f d的定义域为全体实数R ⇒二次函数0)(≠x f 对R x ∈恒成立⇒秒杀秘诀12：由右图分析开口向下⇒0<a ⇒判别式0≤∆)(x f 与x 轴没有交点，⇒判别式0<∆0=∆0<∆xyOxyO（2）：二次函数的存在性问题也叫二次函数的有解问题1已知二次函数)(x f ，0>a ，0)(<x f 有解⇒秒杀秘诀13：②已知二次函数)(xf ，0<a ，0)(>x f 有解⇒秒杀秘诀14：由右图分析)(x f 与x 轴有2个交点，⇒判别式0>∆由右图分析)(x f 与x 轴有2个交点，⇒判别式0>∆xyO二次函数经典例题1.已知c bx x x f ++=2)(，0)2()1(==f f ,求)(x f 的解析式（秒杀秘诀1）解：由交点式⇒23)2)(1()(2+-=--=x x x x x f 2,3=-=⇒c b ⇒23)(2+-=x x x f 2.已知c mx x x f +-=2)(2，)(x f 在()+∞,1单调递增，则m 的取值范围是_______（秒杀秘诀4）解：由题意)(x f ⇒的总增区间是()+∞,m ⇒()+∞,1⊆()+∞,m 1≤⇒m ⇒正确答案是(]1,∞-3..已知c mx x x f +-=2)(2，)(x f 在()2,∞-单调递减，则m 的取值范围是_______（秒杀秘诀5）解：由题意)(x f ⇒的总减区间是()m ,∞-⇒()2,∞-⊆()m ,∞-2≥⇒m ⇒正确答案是[)+∞,24.12)(2+-=mx mx x f 的值域是[)+∞,0，求m 的值（秒杀秘诀8）解：)(x f 值域是[)+∞,0就是)(x f 的值取遍0和所有的正数由左图分析⇒0,0=∆>m 10442=⇒=-=∆⇒m m m 或0=m （舍去）1=⇒m ⇒正确答案是1=m 此题是易错题：第8页和第9页有注解区别秒杀秘诀7与秒杀秘诀8xyOxyO5.12)(2+-=mx mx x f 0≥恒成立，求m 的取值范围（秒杀秘诀7）解：①当0=m 时，1)(=x f 0>恒成立0=⇒m 符合②当0≠m 时，)(x f 为二次函数，由右图分析⇒0,0≤∆>m 100442≤<⇒≤-=∆⇒m m m 由①②可以⇒10≤≤m ⇒正确答案是[]1,06.=)(x g mmx x ++21的定义域为全体实数R ，求m 的取值范围(秒杀秘诀11)解：由题意02≠++⇒m mx x 对全体实数R 恒成立即=)(x f m mx x ++2与x 轴没有交点0)4(42<-=-=∆⇒m m m m 40<<⇒m ⇒正确答案是()4,07.若存在实数x 使m mx x x f +-=2)(0<，求m 的取值范围（秒杀秘诀12）解：由题意及右图0)4(42>-=-=∆⇒m m m m 0<⇒m 或4>m ⇒正确答案是()()+∞⋃∞-,40,xyOxyO3.指数运算及指数函数1.指数运算①n m n m a a a +=⨯②mn n m a a =)(③nn n b a b a =⨯)(④nn a a 1=-⑤na 1)(=a n⑥==nmnm a a 1)()(mna 2.指数函数x a x f =)()1,0(≠>a a （1）1>a ①图像如右图②定义域：Rx ∈③单调性：在定义域R x ∈单调递增④值域：()+∞,0⑤易错点：当0<x 时由图1)(0<<⇒x f （秒杀秘诀1）（2）10<<a ①图像如右图②定义域：Rx ∈③单调性：在定义域R x ∈单调递减④值域：()+∞,0⑤易错点：当0>x 时由图1)(0<<⇒xf3.指数函数的复合性（复合函数）)()(x h a x f =，)(x h 的增区间是A ，)(x h 的减区间是B（秒杀秘诀2）（1）1>a )(x f ⇒的增区间是A ，)(x f 的减区间是B（秒杀秘诀3）（2）10<<a )(x f ⇒的增区间是B ，)(x f 的减区间是A4.指数函数的单调性（秒杀秘诀4）（1）1>a )(x f ⇒在R 上单调递增⇒2121)()(x x x f x f >⇔>此时)0(1)(f x f =>⇒0>x （1一般都写成)0(f 的形式）（秒杀秘诀5）（2）10<<a )(x f ⇒在R 上单调递减⇒2121)()(x x x f x f <⇔>此时)0(1)(f x f =>⇒0<x （1一般都写成)0(f 的形式）学生心得与体会：1.若关于x 的方程15+=m x 有负根，则m 的取值范围是___________解：（秒杀秘诀1）由题意0<⇒x 150<<⇒x 01110<<-⇒<+<⇒m m ⇒正确答案是()0,1-2.当0>x 时，函数x a x f )23()(-=1>恒成立，求a 的取值范围解：x a x f )23()(-=1>=0),0()()0()23(0>>⇒=-x f x f f a （秒杀秘诀4）⇒x a x f )23()(-=是增函数1123>⇒>-⇒a a ⇒正确答案：a 的取值范围是()+∞,13.求函数xx x f 2231()(-=的单调区间解：（秒杀秘诀3）131<=a ，令)(x h =x x 22-=1)1(2--x ⇒)(x h 的增区间是()+∞,1，)(x h 的减区间是()1,∞-)(x f ⇒的增区间是()1,∞-，)(x f 的减区间是()+∞,1学生心得与体会：4.对数运算及对数函数1.对数运算),(21t t a N a M ==（1）11log log t a M t a a ==（2）Na Na =log 证明：Na aat t a Na a ===22log log （3）)(log log log MN N M a a a =+证明:左边=2121log log t t a a t at a +=+,右边=212121log )(log t t aa a t t a tt a +==⨯+，⇒左边=右边⇒原命题成立（4）)(log log log NMN M a a a =-证明:左边=2121log log t t a a t at a -=-,右边=212121log (log t t a aa t t a t t a -==-，⇒左边=右边⇒原命题成立（5）)(log log R x M x M a xa ∈=证明:左边=111log )(log xt a a xt ax t a ==,右边=11log xt a x ta =，⇒左边=右边⇒原命题成立换底公式),(21t t a N aM ==（6）aMM b b a log log log =证明:左边=11log t a t a=,令右边x =⇒11log log log log log t x a a M a a x M x aMt x x b b b b b =⇒==⇒==⇒=右边=左边1t =⇒原命题成立（秒杀秘诀1）应用①当10=b 时⇒===NMa M a M Mb b a lg lg log log log log log 1010（秒杀秘诀2）应用②当e b =时⇒===NMa M a M Mb b a lg lg log log log log log 1010（秘诀秘诀3）应用③（互为倒数）⇒=⨯=⨯1lg lg lg lg log log baa b a b b a （秒杀秘诀4）应用④⇒===N mn a m N n a N N a m nna mlog lg lg lg lg log 1.=⨯4log 9log 32________解：=⨯4log 9log 32=⨯23222log 3log 4142log 3log 2232=⨯=⨯⨯⨯⇒正确答案是42.=+10log 21009log 33_______解：=+10log 21009log 33233310log 100log 9log +-=2100log 100log 233=+-1log log =⨯a b baxyOxyOxyO2.对数函数图象x x f a log )(=（1,0≠>a a ）（1）0>a ①定义域：()+∞,0②值域：()+∞∞-,③单调性：在定义域：()+∞,0上单调递增④图象：右图⑤易错点：当10<<x 时由图0)(<⇒x f ，0)1(=f （2）10<<a ①定义域：()+∞,0②值域：()+∞∞-,③单调性：在定义域：()+∞,0上单调递减④图象：右图⑤易错点：当10<<x 时由图0)(>⇒x f ，0)1(=f （秒杀秘诀5）：x x f a log )(=（偶函数）1>a 1图象：右图2定义域：()),0(0,+∞⋃∞-③值域：()+∞∞-,④单调性：在定义域：()+∞,0上单调递增，在()0,∞-上单调递减⑤奇偶性：偶函数，图象关于Y 轴对称xyOxyO（秒杀秘诀6）：x x f a log )(=（偶函数）10<<a 3图象：右图4定义域：()),0(0,+∞⋃∞-③值域：()+∞∞-,④单调性：在定义域：()+∞,0上单调递减，在()0,∞-上单调递增⑤奇偶性：偶函数，图象关于Y 轴对称（秒杀秘诀7）xx f a log )(=（1>a 的图象与10<<a 的图象几乎差不多）5图象：右图6定义域：),0(+∞③值域：[)+∞,0④单调性：在定义域：()1,0上单调递减，在()+∞,1上单调递增⑤重要结论：若))(()(n m n f m f ≠=1=⇒mn 证明：设b y ==))(()(n m n f m f ≠=⇒直线b y =与)(x f 有两个交点，两个交点的横坐标分别是nm ,由图发现n m ,中必有一个大于1，另外一个小于1大于0，不妨设1,10><<n m 0log ,0log ><⇒n m a a ,log log )(,log log )(n n n f m m m f a a a a ==-==⇒)()(n f m f =n m a a log log =-⇒0)(log 0log log =⇒=+⇒mn n m a a a 1=⇒mn学生心得与体会：对数函数的复合性（复合函数）)(log )(x h x f a =，)(x h 的单调增区间是A ，)(x h 的单调减区间是B（秒杀秘诀8）（1）1>a )(x f ⇒的单调增区间是A ，)(x f 的单调减区间是B（秒杀秘诀9）（2）10<<a )(x f ⇒的单调增区间是B ，)(x f 的单调减区间是A1.若函数)(x f x a )(log 21=在R 上为增函数，则a 的取值范围是________解：由题意⇒=>1log 21a 2100,2121log 21<<⇒><⇒a a a ⇒正确答案是⎪⎭⎫⎝⎛21,02.如果,0log log 3131<<y x 则（）.1.B x y A <<1<<y x .1.D yx C <<xy <<1解：=)(m f m31log 在定义域>x 上是减函数，=<<0log log 3131y x 1log 31)0()()(f y f x f <<⇒1>>⇒y x ⇒xy <<1⇒正确答案是DxyO3.x x f a log )(=在[)+∞∈,2x 上总有,1)(>x f 求a 的取值范围解：x x f a log )(=axlg lg =，[)+∞∈,2x 0lg 01lg 2lg lg >⇒=>≥⇒x x ⇒=)(x f 1lg lg lg lg >=axax ，0lg >a a x lg lg >⇒⇒a x lg 2lg lg >≥⇒1当1>a 时⇒a a lg lg 2lg =>1,2>>⇒a a 21<<⇒a 2当10<<a 时⇒a a a a 1lglg lg lg 2lg 1==-=>-a12>⇒（a 是正数）去分母⇒12110,2112<<⇒<<>⇒>a a a a 由①②对a 取并集21<<⇒a 或121<<a ⇒正确答案：a 的取值范围是()2,11,21⋃⎪⎭⎫⎝⎛4.x x f a log )(=，若))(()(n m n f m f ≠=，求22n m +的取值范围（秒杀秘诀7）解：设b y ==))(()(n m n f m f ≠=⇒直线b y =与)(x f 有两个交点，两个交点的横坐标分别是nm ,由图发现n m ,中必有一个大于1，另外一个小于1大于0，不妨设1,10><<n m 0log ,0log ><⇒n m a a ,log log )(,log log )(n n n f m m m f a a a a ==-==⇒)()(n f m f =n m a a log log =-⇒0)(log 0log log =⇒=+⇒mn n m a a a 1=⇒mn ⇒22n m +mn 2≥=2，)(n m ≠⇒22n m +2>⇒正确答案：22n m +的取值范围是()∞+,2xyO5.求)34(log )(261+-=x x x f 的单调区间（秒杀秘诀9）解：由题意⇒10)3)(1(0342<⇒>--⇒>+-x x x x x 或3>x 令=)(x h 1)2(3422--=+-x x x ⇒)(x h 的单调增区间是()∞+,3，)(x h 的单调减区间是()1,∞-，)(log )(61x h x f =在定义域1<x 或3>x 是减函数⇒)(x f ⇒的单调增区间是()1,∞-，)(x f 的单调减区间是()∞+,3学生心得与体会：易错点：任何函数题目先求定义域2=x )(x h 定义域是1<x 或3>xxyO5.反比例函数xkx f =)(（奇函数）1.0>k ，xk x f =)(（1）图像：如右图（2）定义域：()),0(0,+∞⋃∞-（3）值域：()),0(0,+∞⋃∞-（4）单调性：①在单调分区间()0,∞-上单调递减，在单调分区间在),0(+∞上单调递减（易错点）②在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上不是单调递减函数，更不是单调递增函数举反例：比如,11<-但是)1(0)1(f f <<-⇒)1()1(f f <-⇒)(x f 在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上不是单调递减函数，更不是单调递增函数)(x f ⇒在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上没有单调性（秒杀秘诀1）学生心得与体会：xyO2.0<k ，xk x f =)(（1）图像：如右图（2）定义域：()),0(0,+∞⋃∞-（3）值域：()),0(0,+∞⋃∞-（4）单调性：①在单调分区间()0,∞-上单调递增，在单调分区间在),0(+∞上单调递增（易错点）②在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上不是单调递增函数，更不是单调递减函数举反例：比如,11<-但是)1(0)1(-<<f f ⇒)1()1(-<f f ⇒)(x f 在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上不是单调递增函数⇒)(x f 在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上不是单调递减函数，更不是单调递增函数)(x f ⇒在总区间()),0(0,+∞⋃∞-整体上没有单调性（秒杀秘诀2）学生心得与体会：6.函数的性质（重点）1．函数的增减性①)(x f 的定义域总区间A 内的一个子区间B 上，如果对于任意两个实数21,x x ∈B当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么)(x f 在A 的子区间B 上是单调递增的（B 是A 的子集，B ⊆A ）②)(x f 的定义域总区间A 内的一个子区间B 上，如果对于任意两个实数21,x x ∈B当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么)(x f 在A 的子区间B 上是单调递减的（B 是A 的子集，B ⊆A ）2．函数的单调区间（A 是定义域总区间）①如果)(x f 在A 的子区间B 上是单调递增的，那么B 是)(x f 单调增区间②如果)(x f 在A 的子区间B 上是单调递减的，那么B 是)(x f 单调减区间3.函数的单调性①在整个定义域总区间具有单调性的函数：一次函数，指数函数，对数函数②在整个定义域总区间的子区间具有单调性的函数：二次函数，反比例函数，4.复合函数的单调性)(),(x h x m 在相同的区间A 上具有单调性（秒杀秘诀1）①)(x m 为增函数，)(x h 为增函数⇒)()(x m x f =+)(x h 为增函数（秒杀秘诀2）②)(x m 为减函数，)(x h 为减函数⇒)()(x m x f =+)(x h 为减函数（秒杀秘诀3）③)(x m 为增函数，)(x h 为减函数⇒)()(x m x f =—)(x h 为增函数（秒杀秘诀4）④)(x m 为减函数，)(x h 为增函数⇒)()(x m x f =—)(x h 为减函数学生心得与体会：myO5.复合函数的代表（重点）（1）指数函数的复合函数：已知)()(x h a x f =，)(x h 的增区间是B ，)(x h 的减区间是C （秒杀秘诀5）（1）1>a )(x f ⇒的增区间是B ，)(x f 的减区间是C（秒杀秘诀6）（2）10<<a )(x f ⇒的增区间是C ，)(x f 的减区间是B（2）对数函数的复合函数：已知)(log )(x h x f a =，)(x h 的单调增区间是B ，)(x h 的单调减区间是C （秒杀秘诀7）（1）1>a )(x f ⇒的单调增区间是B ，)(x f 的单调减区间是C（秒杀秘诀8）（2）10<<a )(x f ⇒的单调增区间是C ，)(x f 的单调减区间是B（3）幂函数的复合函数：（秒杀秘诀9）已知m m x f ==21)(，)(x h 只有一个总单调增区间D=[)+∞,0当)(x h m =时，)(x h 的单调增区间是B ，)(x h 的单调减区间是C)(x f ⇒的单调增区间是B ，)(x f 的单调减区间是C6.函数的奇偶性（秒杀秘诀10）奇函数（1）定义：)(x f 的图像关于原点对称)(x f ⇒是奇函数（2）公式：①)(x f 定义域),(n m 关于原点对称)0(=+n m n m ,(互为相反数)②0)()(=-+x f x f （)(),(x f x f -互为相反数）1②同时满足)(x f ⇔是奇函数（3）当)(x f 在原点有定义⇒0)0(=f （秒杀秘诀11）偶函数（1）定义：)(x f 的图像关于y 轴对称)(x f ⇒是偶函数（2）公式：①)(x f 定义域),(n m 关于原点对称)0(=+n m n m ,(互为相反数)②)()(x f x f -=①②同时满足)(x f ⇔是偶函数（秒杀秘诀12）偶函数的重要结论：)()(x f x f =（秒杀秘诀13）奇函数的代表函数，当)(x f 定义域关于原点对称时①)(x f kx =（正比例函数，特殊的一次函数）②)(x f 12-=n x （Z n ∈）（特殊的幂函数）③)(x f =⨯)(x h )(x p ，)(x h 是奇函数，)(x p 是偶函数（)(x h 与)(x p 的定义域相同）学生心得与体会：（秒杀秘诀14）偶函数的代表函数，当)(x f 定义域关于原点对称时①)(x f kx =（带绝对值的正比例函数）②)(x f x a =（带绝对值的指数函数）③)(x f x a log =（带绝对值的对数函数）④)(x f n x 2=（Z n ∈）（特殊的幂函数）⑤)(x f =⨯)(x h )(x p ，)(x h 与)(x p 奇偶性相同（)(x h 与)(x p 的定义域相同）（秒杀秘诀15）①奇函数⨯偶函数=奇函数②奇函数⨯奇函数=偶函数③偶函数⨯偶函数=偶函数学生心得与体会：1.)0()(2≥++=x m bx x x f 是单调函数的充要条件是_________解：)(x f 开口向上⇒)(x f 在[)+∞,0上只能是单调递增)(x f 的总单调增区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2b ⇒[)+∞,0⊆⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2b 002≥⇒≤-⇒b b ⇒正确答案是[)+∞,02.求函数x x x f --+=63)(的值域解：06,03≥-≥+x x 63≤≤-⇒x ，=)(x m 3+x 在63≤≤-x 是增函数，=)(x h x -6在63≤≤-x 是减函数⇒)()(x m x f =—)(x h 在63≤≤-x 为增函数33090)3()(min -=-=-=-=⇒f x f 30309)6()(max =-=-==⇒f x f 正确答案是)(x f 的值域是[]3,3-3.已知偶函数)(x f 的定义域是()22,+-t t ，则实数=t ______解：由题意⇒2022-=⇒=++-t t t 正确答案是2-=t 4.求)1(log )(2+=x x f 的单调区间解：令1)(+==x x m A 10->⇒>x （定义域），A x f 2log )(=在0>A 上是增函数1)(+==x x m A 在定义域1->x 上是增函数⇒)(x f 在定义域1->x 上是增函数)(x f 只有一个单调递增区间：()+∞-,15.已知偶函数)(x f 在区间[)+∞,0上单调递增，则满足)51()12(f x f <-求x 的取值范围解：由偶函数)()(x f x f =⇒)12()12(-=-x f x f ，[)+∞∈-,012x ，[)+∞∈,05151()12(f x f <-⇒)12(-x f )51(f <，)(x f 在区间[)+∞,0上单调递增⇒5352562545112515112<<⇒<<⇒<-<-⇒<-x x x x ⇒正确答案：x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛5352，学生心得与体会：函数的对称性与周期性1.函数的对称性①若)2()(x m f x f -=恒成立⇒)(x f 图像关于直线m x =对称（直线m x =是)(x f 的一条对称轴）②若0)2()(=-+x m f x f 恒成立⇒)(x f 图像关于点P ()0,m 对称（点P ()0,m 是)(x f 的一个对称中心）2.函数的周期性如果)(x f 的最小正周期是T ，m nT k +=)()(m f k f =⇒（作用是简化计算）1.)4()(,)(2x f x f n mx x x f -=+-=，求____=m 解：2)4()(=⇒-=x x f x f 是)(x f 的对称轴，2m x =也是)(x f 的对称轴422=⇒=⇒m m ⇒正确答案：4=m 2.)(x f 的最小正周期是10，1)3(=f ，求)2003(f 解：⇒=10T )2003(f ==+)3200(T f 1)3(=f ⇒正确答案：)2003(f 1=7.函数的值域1.=)(x f 整式+根式⇒优先考虑用换元法2.=)(x f 根式+根式⇒优先考虑用复合函数的单调性3.=)(x f fex dx c bx ax ++++22，定义域为任意的实数R （d a ,不能同时为0）⇒优先考虑用判别式法4.=)(x f x k⇒优先考虑用数形结合法5.bkx x f +=)(⇒优先考虑用数形结合法6.c bx ax x f ++=2)(（0≠a ）①定义域为任意的实数R 时⇒一定用公式法)(x f 的最小值或者最大值是a 4-∆②定义域不为任意的实数R 时⇒优先考虑用数形结合法7.)()(x h a x f =⇒优先考虑用复合函数的单调性8.)(log )(x h x f a =⇒优先考虑用复合函数的单调性9.)()(x h x f =⇒优先考虑用复合函数的单调性学生心得与体会：1.求函数12)(--=x x x f 的值域（换元法）解：令)0(1≥-=m x m 12+=⇒m x ⇒m m m f x f -+==22)()(2222+-=m m )0(≥m 利用二次函数的图像与数形结合的方法很容易⇒)(x f 的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-,8152.求函数)45(log )(23+-=x x x f 的值域（复合函数法）解：10452<⇒>+-x x x 或5>x ，452+-x x 在定义域1<x 或5>x 可以取到()∞+,0上所有的数⇒)45(log )(23+-=x x x f 的值域是R3.求11)(2-+--=x x x x f 的值域（判别式法）解：令1)(2-+-=x x x h ，判别式1∆341)1()1(412-=-=-⨯-⨯-=0)(<⇒x h 恒成立⇒分母不为0恒成立⇒)(x f 的定义域为R 令=y 11)(2-+--=x x x x f 01)1(2=-+-+⇒y x y yx ①当0=y 时1=⇒x ②当0≠y ⇒01230)1(4)1(222≤--⇒≥---=∆y y y y y 1310)1)(13(≤≤-⇒≤-+⇒y y y 且0≠y 由①②⇒131≤≤-y )(x f ⇒的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,314.求x x x f 4log )(4+=，[]4,1∈x ，求)(x f 的值域（复合函数的单调性）解：x x h x x m 4)(,log )(4==在[]4,1∈x 单调递增⇒x x x f 4log )(4+=在[]4,1∈x 单调递增⇒==)1()(min f x f 441log 4=+5.求函数x x x f --+=63)(的值域（复合函数的单调性）解：06,03≥-≥+x x 63≤≤-⇒x ，=)(x m 3+x 在63≤≤-x 是增函数，=)(x h x -6在63≤≤-x 是减函数⇒)()(x m x f =—)(x h 在63≤≤-x 为增函数33090)3()(min -=-=-=-=⇒f x f 30309)6()(max =-=-==⇒f x f 正确答案是)(x f 的值域是[]3,3-学生心得与体会：6.设e b a ,0,0>>是自然对数的底数，（）（复合函数的单调性）.A 若b e a e b a 32+=+，则ba >.B 若b e a e b a 32+=+，则ba <.C 若b e a e b a 32-=-，则ba >.D 若b e a e b a 32-=-，则b a <解：我们不妨先看A 选项b e a e b a 32+=+>b e b 2+)0(>b ⇒b e a e b a 22+>+令)()()(x h x m x f +=，=)(x m x x h e x 2)(,==)(x m x x h e x 2)(,=这两个函数在R 上都是单调递增的函数⇒x e x h x m x f x 2)()()(+=+=在R 上是单调递增，b e a e b a 22+>+)()(2)(,2)(b f a f b e b f a e a f b a >⇒+=+=，)(x f 在R 上是单调递增b a >⇒⇒A 选项正确，又因为高考数学选择题只有一个正确答案⇒A 选项是正确答案（D C B ,,三个选项不需要看）（自然对数7.2≈e ⇒>1=)(x m x e 在R 上是增函数）学生心得与体会：7.设,0,0>>b a （）（复合函数的单调性）.A 若b a b a 3222+=+，则ba >.B 若b a b a 3222+=+，则ba <.C 若b a b a 3222-=-，则ba >.D 若b a b a 3222-=-，则b a <解：我们不妨先看A 选项b a b a 3222+=+>b b 22+)0(>b ⇒b a b a 2222+>+令)()()(x h x m x f +=，=)(x m x x h x 2)(,2==)(x m x x h x 2)(,2=这两个函数在R 上都是单调递增的函数⇒x x h x m x f x 22)()()(+=+=在R 上是单调递增，b a b a 2222+>+)()(22)(,22)(b f a f b b f a a f b a >⇒+=+=，)(x f 在R 上是单调递增b a >⇒⇒A 选项正确，又因为高考数学选择题只有一个正确答案⇒A 选项是正确答案（D C B ,,三个选项不需要看）学生心得与体会：。

平口单峰函数之倍角界定法满分秘籍：二倍角最值界定21cos cos 2+=αα，22cos 2cos 222cos 2cos 2)(2c a b a c a b a c bx ax x f +++≤+++=++=αααα，往往0220=+=ca b ，时，取得最值，这个方法通常在一些选填甚至解答压轴题中给你一种秒得很爽的感觉.例题1：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]004x ，Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的取值范围是 ．例题2：（2018•呼和浩特期中）设函数(),,,f x ax b a b R -?若对于任意的实数,a b 总存在实数[]004x ，Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围为 ．例题3：已知函数()2f x x ax b=++，[]01x ∈，，若()f x 的最大值是M ，则M 的最小值是 ．满分秘籍：三倍角最值界定ααααααααααααα322sin 4sin 3sin )sin 21(cos sin 2sin 2cos cos 2sin )2sin(3sin -=-+=+=+=； αααααααααααααcos 3cos 4cos sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 322-=--=-=+=；由此得到降幂公式：43cos cos 3cos 43sin sin 3sin 33αααααα+=-=， 当][m m x ，-∈时，可以设])0[(cos παα，∈=m x ，当]2[m m x ，-∈时，可以设])320[(cos παα，∈=m x ，以此类推；33|cos3+(+)cos +||cos3|+|(+)cos |+||4444a a a a b c b c αααα≤，往往0043==+c a b ，时取得最值.当ααααcos )3(2cos 3cos )(a c b a f +++=，且030>+>a c a ，，则0≤b 时，)()(min παf f =，当0≥b 时，)0()(max f f =α.例题1：已知函数 ()328f x x ax bx =--，是否存在任意实数a b 、，使得()2f x ≤对任意的[]11x ∈-，恒成立，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．例题2：（2019•广东模拟）已知34a ≥-，0b ≥，函数3()f x x ax b =++，11x -≤≤，设|()|f x 的最大值为M ，且对任意的实数a ，b 恒有M K ≥成立，则实数K 的最大值为( ) A ．4B ．2C ．12D ．14例3：（2020•武汉3月调研）如果关于x 的不等式0123≥+-ax x 在]11[，-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0≤aB ．1≤aC ．2≤aD ．2233≤a例 4.（2019•武汉模拟）已知函数3()f x x ax b =++定义域为[12]-，，记|()|f x 的最大值为M ，则M 的最小值为( )A ．4B ．3C ．2D222例38.（2016•天津）设函数3()(1)f x x ax b =---，x R ∈，其中a ，b R ∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=； （3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14． 解：（1）函数3()(1)f x x ax b =---的导数为2()3(1)f x x a '=--， 当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在R 上递增；当0a >时，当1x >1x <()0f x '>，当11x <<+，()0f x '<，可得()f x 的增区间为(1-∞，，(1+)+∞，减区间为(11； （2）证明：0()0f x '=，可得203(1)x a -=，由322000000()(1)3(1)(1)(21)f x x x x b x x b =----=----，320000(32)(22)3(32)(1)f x x x x b -=-----2200000(1)(8896)(1)(21)x x x b x x b =---+-=----， 即为001(32)()()f x f x f x -==，即有0132x x -=，即为1023x x +=； （3）法一：证明：要证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14，只需证在[02]，上存在1x ，2x ，使得 121()()2f x f x -≥．当3a ≥时，()f x 在[0，2]递减，由(2)f 12a b =--，(0)1f b =--，得(0)(2)f f -12242a =-≥>，成立；当03a <<时，3(1((1f a b a b =--=+a b =-，3(1(1f a b a b =-+--a b =-， (2)f 12a b =--，(0)1f b =--，(2)f (0)22f a -=-，若304a <≤时，1(2)(0)222f f a -=-≥成立；若34a >时，1(1(12f f -=成立．综上可得，()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14．法二平口单峰：根据第二问的结论，先构造()()()1121f x f x f -++=证明三次函数的对称中心为()()1,1f ，。

构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。

二：引理证明bug 修正。

下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。

大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。

然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。

本文将给出一种极其简洁的做法及解释。

1.1()42,(,),x x f x a b a b R +=++∈，若对任意的[0,1]x ∈，1|()|2f x ≤都成立，则b=_____。

2.设函数4()||f x ax x=-，若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是______。

3.设函数()|,,f x ax b a b R =-∈，若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围为_______。

4.已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为M ，(,,0)a b R c ∈>为常数，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则a+b+c=_______。

5.已知2()(4)3f x x a x a =+-+-对任意[0,4]a ∈，均存在0[0,2]x ∈，使得0|()|f x t ≥成立，则t 的取值范围是______。

6.设函数2()||f x ax b x=--，若对于任意实数a,b ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。

7.设函数2()||f x x ax b =++，若对于任意实数a,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是_______。

8.已知函数1()||f x x ax b x =+--，当1[,2]2x ∈时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为______。

高中数学高考数学50条秒杀型公式与方法高中数学是高考的重要科目之一，其中有许多公式和方法需要掌握。

本文将介绍50条秒杀型公式和方法，供高中生备考高考使用。

一、代数1. 二次函数顶点坐标公式：对于一般式二次函数f(x)=ax^2+bx+c，顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ=b^2-4ac。

2. 一元二次方程求根公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，解为x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)。

3. 幂函数指数规律公式：(a^m)^n=a^(mn)，(ab)^n=a^n*b^n，(a^n)^m=a^(nm)。

4. 对数换底公式：loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中a、b、c为正数且a≠15.平均值与方差的性质公式：n个数的平均值为平方和除以n，方差为平方和减去平均值的平方再除以n。

6. 二次差公式：an=a1+(n-1)d+(n-1)(n-2)/2!c，其中a1表示首项，d表示公差，c表示公差的变化量。

7.等比数列求和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示前n项和，a为首项，q为公比。

二、几何1.圆的周长和面积公式：圆的周长为2πr，面积为πr^2，其中r为圆的半径。

2.直角三角形勾股定理：直角三角形任意一条直角边的平方等于另外两条直角边的平方的和。

3. 三角形面积公式：三角形面积为底乘以高的一半，即S=(1/2)bh。

4. 三角形的正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度，R为三角形的外接圆半径。

5. 三角形的余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为对应的角度。

6.直角三角形的高与斜边的关系公式：直角三角形的高为两直角边乘积除以斜边长。

7.正多边形内角和公式：正n边形的内角和为(n-2)180°。

高中数学48条秒杀型公式与方法，看过的都说好除了课本上的常规公式之外，掌握一些必备的秒杀型公式能够帮你在考试的时候节省大量的时间，通哥这次的分享就是48条爆强的秒杀公式，直接往下看！1.适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。

x为分离比，必须大于1。

注上述公式适合一切圆锥曲线。

如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。

2.函数的周期性问题(记忆三个)：(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。

注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。

c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。

3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：(1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4.函数奇偶性：(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空5.数列爆强定律：(1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6.数列的终极利器，特征根方程。

高考数学32条秒杀公式如何秒杀数学大题高考数学中有哪些秒杀公式呢，对数学公式的掌握能够奠定大家做题的基础，下面小编为大家提供高考数学秒杀公式，仅供大家参考。

 高考数学秒杀公式1、向量。

做向量运算时可以利用物理上矢量法的正交分解做，对解一些向量难题有好处。

 2、四面体。

在三条棱两两垂直的四面体中，设三条棱长为abc底面的高为h，则有，1/h∧2＝1/a∧2+1/b∧2+1/c∧2 3、平面方程。

空间直角坐标系中的平面方程，先求平面的一个法向量n=（a，b，c）再取平面内任意一点A（e，f，g），则平面的方程为a（x-e）+b（y-f）+c（z-g）=0，化成一般式Ax+By+Cz+D=0，之后就可以解很多东西，比如求点M（o，p，q）到面距离，用公式d=丨Ao+Bp+Cq+D丨/√（A∧2+B∧2+C∧2）（类似点到直线距离公式） 4、正弦、余弦的和差化积公式 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 5、函数的周期性问题(记忆三个)：1）若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;2）若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;3）若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。

注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。

c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。

高中数学平口单峰函数(绝对值)的一些一．平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a ，一切b c ，这些系数与二次函数的形状没有任何影响.在初中的课本中提到的()22y ax y a x h k 平移变换==-+，我们将坐标轴去掉，单纯研究二次函数，解决当()[]2f x x bx c x p q ，，=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题.由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离叫蝶宽2m ，此时函数定顶点到蝶宽弦的距离称为蝶高n ，相对应的角叫蝶角，定义tan nma =，可以得出以下定理：①tan m a =，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；②以对称轴为中心，每增加m 的蝶宽，相对应的蝶高比为21:4:9::n ，增加的蝶高n 比为1:3:5::21n -；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M 和最小值m 的差值()g x M m =-在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，()g x M m =-在区间中点距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点22b p q +-=时，()()()min 22b bg x M m f q f f p f =-=--=--；综上，如图3，当0M m +=，()f x c £时，c 取得最小值，此时2p qm f+=，()()M f p f q ==.例2：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]00,4x Î，使得()0f x t ³成立，则实数t 的解题技巧二．平口对勾函数问题对勾函数涉及极值偏移，算数平均数的中点的值不代表最值，()[],,af x x b x p q x=++Î时，()f x c £，求c 最小值问题，根据平口二次函数的推论，可以知道是()()f p f q =，如图4，求出参数a 以后再根据()0f p f+=确定参数b ；定理：当仅当a pq =时，对勾函数在区间[],p q 才能构成平口对勾函数，()f x 去最小值时取到了[],p q 的几何平均数中点.图4例3：（2018台州期末）已知()1f x x ax b x =+--，当1,22x Î时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b三．平口三次函数问题三次函数涉及到双峰问题，我们需要在给定的定义域内构造出单峰三次函数（即部分图像，通常是极大值到极大值等值点这一段），如下图，若[]12x ∈-，，我们可在此区间构造单峰函数.【例5】（2019•武汉调研）：已知函数()3f x x ax b =++的定义域为[1,2]-，记()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（）A.4B.3C.2D.秒杀秘籍：关于平口函数的万能招数例6：（2018呼和浩特期中）设函数(),,,f x ax b a b R =-Î若对于任意的实数,a b 总存在实数[]00,4x Î，使得f x m ³成立，则实数m 的取值范围为。