浙江省知行联盟2019年2月高三仿真考数学解析

浙江省2019届高三高考全真模拟（二）数学试题参考公式柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高； 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高；台体的体积公式：121()3V S S h =，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高；球的表面积公式：24S R π=，球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径； 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+； 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅；如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)kkn kn n p k C p p k n -=-=.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =（ ）A. [2,3]B. (1,5)C. {2,3}D. {2,3,4}『答案』C 『解析』2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤，{}23A x x ∴=≤≤，又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.2.双曲线22132x y -=的焦距是（ ）A. 1B. 2C.D. 『答案』D『解析』22132x y a b -=⇒又c =D.3.已知i 是虚数单位，复数z 满足2(1)1i i z-=+，则z =（ ）A.B. 2C. 1D.『答案』A『解析』22(1)(1)22(1)1(1)111(1)(1)i i i i i i z i i i z i i i i ----⋅-=+⇒====--=--+++⋅-，所以1z i =--== A.4.若x ，y 满足约束条件20404x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A. 16,83⎛⎫⎪⎝⎭B. 16,163⎛⎫⎪⎝⎭C. 16,163⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 16,163⎡⎤⎢⎥⎣⎦『答案』C『解析』可行解域如下图所示：在可行解域内，平行移动直线0.52z y x =-+，可以发现当直线0.52zy x =-+经过A 点时，在纵轴上的截距最小，当经过点B 时，在纵轴上的截距最大，解方程组：8,4,843(,)204333x x y A x y y ⎧=⎪+=⎧⎪⇒∴⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，解方程组：4,8,(8,4)204y x B x y y ==⎧⎧⇒∴⎨⎨-==⎩⎩,所以min 84162,333z =+⨯=由于点B 不在可行解域内，所以1682416,[,16)3z z <+⨯=∴∈，故本题选C.5.将函数()2sin(2)26f x x π=-+向左平移6π个单位后得函数()g x ，则()g x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是（ ） A. [2,2]- B. [3,4] C. [0,3] D. [0,4]『答案』D『解析』因为函数()2sin(2)26f x x π=-+向左平移6π个单位后得函数()g x ，所以()2sin[2()]22sin(2)2666g x x x πππ=+-+=++， 230,(2)[,]sin((2)[1,1]3662)[0,4]6x x x g x πππππ∈⎡⎤∴+∈∴+∈-∴⎢⎥⎣⎦∈，故本题选D.6.设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』因为lg()0ab >，所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符. 由lg()0a b +>，可得1a b +>，,a b 与1的关系不确定，显然由“lg()0ab >”可以推出lg()0a b +>，但是由lg()0a b +>推不出lg()0ab >，当然可以举特例：如23a b ==，符合1a b +>，但是不符合1ab >，因此“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的充分不必要条件，故本题选A.7.已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)『答案』B『解析』由函数f (x )的图象可知，0＜f (0)＝a ＜1，f (1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2. 又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝e x ＋2x －b ，所以g ′(x )＝e x ＋2＞0，所以g (x )在R 上单调递增， 又g (0)＝1－b ＜0，g (1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g (x )的零点所在的区间是(0，1)， 故选B.8.若a ，4，3a 为等差数列的连续三项，则2101...a a a ++++=（ ） A. 1023 B. 1024C. 2047D. 2048『答案』C『解析』因为a ，4，3a 为等差数列的连续三项，所以3242a a a +=⨯⇒=，112101(12)1 (204712)a a a ⨯-++++==-，故本题选C.9.已知01b a <<+，若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个，则a 的取值范围为（ ） A. (1,1)- B. (0,2) C. (1,3) D. (2,5)『答案』C『解析』由22()()x b ax ->，可得()222120a x bx b -+-<，由题意可知不等式的解应在两根之间，即有210a ->，结合01b a <<+，所以1a >，()2222244140b b a a b ∆=+-=>，不等式的解集为11b bx a a -<<-+或 011b b x a a -<<<+-舍去，不等式的解集为11b b x a a -<<-+，又因为01b a <<+，所以011b a <<+，故当32,0111b b a a --<-<<-+时，不等式的解集为2,1,0--，这样符合题意，故2(1)3(1)a b a -<-，而1a >，01b a <<+，当满足2(1)1a a -<+时，就能符合题意，即3a <，而1a >，所以a 的取值范围为(1,3)，故本题选C. 10.在ABC ∆中，BC CA CA AB ⋅=⋅，2BA BC +=，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅取值范围是（ ）A. [2,1)-B. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 22,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦『答案』D『解析』()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD +=，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ⋂=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中，1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠， 设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈-， 所以当11[,]22x ∈-时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈-，因此本题选D.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，股十五步。

2019届浙江省联盟校高三下学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，则M N =I （ ）．A ．{2,4,6}B ．{2,4}C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{3,5,6} 【答案】B【解析】根据交集的定义求解.【详解】因为{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，所以{2,4}M N ⋂=.故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2．已知21i z i =+（其中z 为z 的共轭复数，i 为虚数单位），则复数z =（ ）． A ．1i -B ．1i --C ．1i +D ．1i -+ 【答案】A【解析】先根据复数代数形式的四则运算将z 化简为a bi +（其中a ，b 为实数）的形式，然后根据共轭复数的概念求复数z 即可．【详解】 由题意得，22(1)(1)11(1)(1)i i i z i i i i i i -===-=+++-， 故1z i =-.故选：A ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算、共轭复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题. 3．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）． A ．14y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．4y x =±【答案】B【解析】先根据双曲线的实轴长为4求得a 的值，再求双曲线的近线方程即可．【详解】因为双曲线的实轴长为4，所以24a =，2a =， 所以双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．函数||2x y x e =-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】用特殊值法取4x =，排除A ，B ，再用导数法研究当0x >时的单调性，再用特殊值进一步确定.【详解】取4x =，则2422440y ee =-=->，排除A ，B ； 当0x >时，22x y x e x '=-⨯∴1214111e e012222xy==-⨯=-<⨯'，因此在原点右侧附近，2xy x e=-应该为减函数.故选：C．【点睛】本题主要考查函数图象的判断，对函数性质的理解、求导运算、数值估算，还考查了运算求解辨析的能力，属于基础题.5．已知,a b∈R，则“||||a ba b>”是“a b>”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由||||a ba b>可得0a>，0b<，判断充分性，用特殊值法取2a=，1b=，判断必要性．【详解】由||||a ba b>可得0a>，0b<，故a b>，故充分；取2a=，1b=，则a b>，此时||||=a ba b，故不必要．故选：A．【点睛】本题考查充要关系的判断及不等式的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A．6 B．62C．14 D．2【解析】由三视图可知该几何体是从长、宽、高分别为4，4，3的长方体截取而来，其中高为4，底面是一个等腰梯形.【详解】将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥A BCDE -所示，故S 四边形114422622BCDE =⨯⨯-⨯⨯=， 四棱锥A BCDE -的高3h =， 故该几何体的体积13V S =四边形16363BCDE h =⨯⨯=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图及体积的计算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．已知随机变量ξ的分布列为 ξ0 1 2 Px y 2y x -则当102x <<时，随着x 的增大，（ ）． A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小再增大D ．()D ξ先增大再减小 【答案】D【解析】先根据分布列的性质求得y 的值，进而可求出随机变量ξ的数学期望和方差的表达式，然后根据二次函数的图象与性质即可判断()D ξ的变化趋势．因为21x y y x ++-=， 所以13y =，所以5()2(2)23E y y x x ξ=+-=-， 所以()D x ξ=⨯2225550212(2)22333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⨯-++-⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x y x y x x ， 282439=-++x x ， 212433⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭x ， 因为102x <<， 所以由二次函数的图象和性质知，随着x 的增大，()D ξ先增大再减小.故选：D ．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，二次函数的图象与性质，还考查了运算求解能力及分析问题、解决问题的能力，属于中档题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知AC 与BD 交于点O ，E 是1DD 的中点，F 为棱11A B 上的任意一点（不与端点重合），则平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】D【解析】先根据线线垂直证得AE ⊥平面1OFB ，然后根据面面垂直的判定定理证平面ABE ⊥平面1OFB ，即可得到平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小．【详解】如图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，过点O 作OP AD ⊥于点P ，则P 为AD 的中点， 因为11A B ⊥平面11ADD A ，AE ⊂平面11ADD A ，所以11AE A B ⊥．在正方形11ADD A 中，连接1A P ，易知1AE A P ⊥，又1111A B A P A ⋂=，所以AE ⊥平面11OB A P ，所以AE ⊥平面1OFB ，又AE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面1OFB ，因此平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为90︒.故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系、二面角的求法，还考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题.9．已知函数(1)ln ,1(),1f x x x f x ex +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数(())1y f f x =-的零点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先将函数的零点个数问题等价转化为方程根的个数问题，再分情况讨论方程的根的个数，即可得到函数(())1y f f x =-的零点个数．【详解】函数(())1y f f x =-的零点个数即方程(())1f f x =的根的个数．令()f x t =，则原问题转化为()1(0)f t t =≥的根的个数问题．当1t ≥时，由ln 1t =，解得t e =，所以()f x e =，则当1x ≥时，ln x e =，解得e e x =；当1x <时，(||1)f x e e +=，得(||1)1f x +=，又||11x +≥，所以ln(||1)1x +=，解得1x e =-或1x e =-，又1x <，所以1x e =-．当01t ≤<时，由(||1)1f t e +=，得(||1)0f t +=，所以ln(||1)0t +=，解得0t =，所以()0f x =，所以ln 0x =，解得1x =．综上，函数(())1y f f x =-有e e ，1e -，1这3个零点．故选：C ．【点睛】本题主要考查分段函数、函数的零点等，还考查了转化化归的思想好运算求解能力，属于难题.10．已知数列{}n a 满足112a =，211n n n a a a +=++，若12111n n S a a a =++⋯+，对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，则M 的最小值为（ ）．A ．83B ．269C ．2627D ．3【答案】D【解析】先根据已知的递推关系式得到0n a >，然后结合基本不等式得到1103n n a a +<<，进而得到*11111(2,3)n n n n N a a -<⋅≥∈，最后利用此不等式对n S 放缩，并利用等比数列的前n 项和公式求解即可．【详解】由211n n n a a a +=++，得2111n n n a a a +-=+>，又112a =，所以0n a >． 由211n n n a a a +=++， 可得1113n n n na a a a +=++≥，当且仅当21n a =时等号成立， 因为112a =，11n n a a +->， 所以21n a ≠，所以1103n n a a +<<， 所以111103n na a +<<⋅， 所以()*2112111111112,333n n n n n n N a a a a ---<⋅<⋅<<⋅≥∈…， 所以2111211111111111111111111313333333n n n n n S a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=++++⋅+⋅++⋅=+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………． 又对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，所以3M ≥，故M 的最小值为3．故选：D【点睛】本题主要考查数列的递推关系式、放缩法的应用、基本不等式、等比数列的前n 项和公式、不等式恒成立问题等，还考查了运算求解和逻辑推理能力．属于难题.二、双空题11．我国唐代天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题编写了如下一道题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗（计量单位），三遇店和花，喝光壶中酒．”问最后一次遇花时有酒________斗，原有酒________斗．【答案】1 78【解析】用倒推的方法，根据最后一次喝光酒，且见花喝一斗，可知最后一次遇花时有酒1斗，然后设原有酒x 斗，根据他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗，递推可得第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，再根据最后一次喝光酒，令()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=求解即可.【详解】因为最后一次喝光酒，且见花喝一斗，所以最后一次遇花时有酒1斗，设原有酒x 斗，由他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗得：第一次见店又见花后酒有21x -斗，第二次见店又见花后酒有()2211x --斗，第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，因为最后一次喝光酒，所以()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=， 解得78x =. 故答案为：(1). 1 (2).78 【点睛】本题主要考查合情推理，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.12．已知实数x ，y 满足约束条件0,02020x y x y x y ≥≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2x y +的最小值为________，最大值为________．【答案】0 10【解析】先根据约束条件作出可行域，然后数形结合求最值即可．【详解】作出可行域如图中阴影部分所示：阴影三角形区域的三个顶点坐标分别为(0,0)，(2,0)，(4,2)，作出直线20x y +=并平移，当平移后的直线经过点(0,0)时，2x y +取得最小值，且最小值为0；当平移后的直线经过点(4,2)时，2x y +取得最大值，且最大值为10．故答案为：(1). 0 (2). 10【点睛】本题主要考查线性规划问题，还考查作图能力和运算求解能力，属于基础题.13．若1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则n =________，二项展开式中的常数项为________．【答案】6 20【解析】先根据二项式系数之和为64求得n 的值，然后根据二项式定理写出二项展开式的通项，令x 的次数为0，求得r 的值，即可求得二项展开式中的常数项．【详解】由二项式系数之和为64，得264n =，故6n =， 所以二项展开式的通项6161r r r r T C xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭626r r C x -=， 令620r -=，得3r =，则项展开式中的常数项为34620T C ==．故答案为： (1). 6 (2). 20【点睛】本题主要考查二项式系数之和及二项展开式中的常数项的求解，还考查了运算求解能力，属于基础题.14．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，则角B 的大小为________，若b =AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为________．【答案】3π6+ 【解析】先根据正弦定理将已知等式转化为a ，b ，c 之间的关系，然后利用余弦定理即可求出角B 的大小，最后利用正弦定理及向量数量积的几何意义求AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值． 【详解】因为222sin sin sin sin sin A C A C B +-=， 所以222a c ac b +-=，即222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==．又(0,)B π∈， 所以3B π=．设ABC V 的外接圆半径为r ，则2sin b r B=42==， 即2r =．cos AB AC bc A ⋅=u u u r u u u r ，且cos c A 为AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影，而max (cos )c A 2b r =+，故max ()62b AB AC b r ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v故答案为：(1). 3π(2). 6+ 【点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题15．某人将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球随机放入编号分别为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子中放一个小球若球的编号与盒子的编号相同，则视为“放对”，否则视为“放错”，则全部“放错”的情况有________种． 【答案】44【解析】可以利用计数原理从正面求解问题，先算出所有情况的种数，然后分别计算有1，2，3，4，5个小球“放对”的情况，最后相减即可得到结果． 【详解】解法一 第一步，若1号盒子“放错”，则1号盒子有14C 4=种不同的情况；第二步，考虑与1号盒子中所放小球的编号相同的盒子中的情况，若该盒子中的小球编号恰好为1，则5个小球全部“放错”的情况有122C =（种），若该盒子中的小球编号不是1，则5个小球全部“放错”的情况有()113219C C +=（种）． 由计数原理可知，5个小球全部“放错”的情况有4(29)44⨯+=（种）．解法二 将5个小球放入5个盒子中，共有55120A =种不同的放法，其中恰有1个小球“放对”的情况有()111532145C C C +=（种），恰有2个小球“放对”的情况有215220C C =（种），恰有3个小球“放对”的情况有3510C =（种）， 恰有4个小球“放对”的情况有0种， 恰有5个小球“放对”的情况有1种，故全部“放错”的情况有120452010144----=（种）． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查排列组合的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.16．在四边形ABCD 中，3AB BC ==，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅=u u u r u u u r________．【答案】92【解析】先根据平面向量的线性运算将AC BD ⋅u u u v u u u v转化为AC AD AC AB ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，然后根据平面向量的数量积和余定理求解即可． 【详解】因为()AC BD AC AD AB AC AD AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，||||cos ,AC AB AB AC AB AC ⋅=⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AB AC BC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， 222||||||2+-=AB AC BC u u u r u u u r u u u r ， ||||cos AC AD AD AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,〈〉AD AC u u u r u u u r ，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AD AC CD AD AC AD AC u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 222||||||2+-=AD AC CD u u u r u u u r u u u r 因为3AB BC ==，4CD =，5DA =， 所以BD A A C AD B C AC A ⋅=⋅-⋅uu u u u u u r u u u r u u u r u u u r r u ur ，222||||||2AD AC CD +-=-u u u r u u u r u u u r 222||||||922AB AC BC +-=u u u r u u u r u u u r ． 故答案为：92【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、数量积，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力和化归与转化思想，属于中档题.17．已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点(2,4)T -，从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，121k k =-，则||TM 的取值范围为________．【答案】4]-+【解析】先根据题意得到直线OP ，OQ 的方程，再根据直线与圆的位置关系得到12k k ，结合121k k =-，即可求得圆心M 的轨迹方程，最后数形结合可得||TM 的取值范围． 【详解】由题意可知，直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =， 因为直线OP ，OQ 与圆M 相切，==两边同时平方整理可得()2221010008280k x k x y y -++-=，()2222020008280k x k x y y -++-=，所以1k ，2k 是方程()2220008280(0)kx kx yy k -++-=≠的两个不相等的实数根，所以212288y k k x -=-．又121k k =-， 所以202818y x -=--，即220016x y +=．又||TO ==， 所以||4||||4TO TM TO -≤≤+，即4||4TM ≤≤．故答案为：4] 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题.四、解答题18．已知向量(cos ,1)(0)m a x a =-≠r，cos ,)n x x b =-r，函数()f x m n =⋅r r． （1）求函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程； （2）若0a >，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的最小值是1-，最大值是2，求实数a ，b 的值．【答案】（1）22T ππ==；（2）实数a ，b 的值分别为2，1-． 【解析】（1）先由向量的数量积及三角恒等变换求出函数()f x 的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程即可；（2）先根据x 的取值范围求出26x π-的取值范围，然后根据正弦函数的图象和性质求出函数()f x 的最值，最后根据已知条件列出方程组，解之即可得实数a ，b 的值． 【详解】（1）由题意得()cos cos )=⋅=--f x m n a x x x b r r31cos 2sin 22⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭x a x b， sin =a 262ax b π⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==． 令262x k πππ-=+，k Z ∈，解得32k x ππ=+，k Z ∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为32k x ππ=+，k Z ∈．（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 因为0a >， 所以当266x ππ-=-，即0x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为22a ab ---，即a b --，当226x ππ-=，即3x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为2a ab --，即2ab -， 所以122a b a b --=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩．故实数a ，b 的值分别为2，1-． 【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数的图象与性质，还考查了运算求解能力与分析问题、解决问题的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知四边形ABCD 是菱形，60BAD ︒∠=，PD AD =，PB AB =，二面角A DB P --的大小为120︒，E 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）21313. 【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，根据三角形的中位线定理证得//OE AP ，然后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）先根据（1）得到直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角，然后过点O 作OF BE ⊥，利用面面垂直的性质定理得到OF ⊥平面PBC ，进而得OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角，最后求OEB ∠的正弦值即可． 【详解】 （1）如图所示：连接AC 交BD 于点O ，则O 是AC 的中点，连接OE ． 又E 是PC 的中点，所以//OE AP ， 因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以//PA 平面BDE ．（2）过点O 作OF BE ⊥，垂足为F ，连接OP ． 由（1）知//OE AP ，所以直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角． 易知BP BC =，又E 是PC 的中点， 所以BE PC ⊥．同理DE PC ⊥，又DE BE E ⋂=， 所以PC ⊥平面BDE ， 因为PC ⊂平面PBC ， 所以平面BDE ⊥平面PBC ．因为平面BDE ⋂平面PBC BE =，OF ⊂平面BDE ，OF BE ⊥， 所以OF ⊥平面PBC ，所以OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角．因为PD PB =，所以EO DB ⊥，又AC DB ⊥，EO AC O =I ， 所以DB ⊥平面ACP ，所以AOP ∠为二面角A DB P --的平面角， 所以120AOP ∠=o ，设菱形ABCD 的边长2AB =，又60BAD ︒∠=，所以AO OP ===由余弦定理得：2222cos1209AP AO OP AO OP =+-⋅=o ， 所以3AP =，在Rt EOB V 中，1322OE AP ==，1OB =，BE ==所以sin OB OEB BE ∠==， 所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为13． 【点睛】本题主要考查线面平行的证明、线面角的寻找与求解，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数列{}n a 满足132a =，111,213,2n n n a n n k a a n k--+-=+⎧=⎨=⎩，其中*k N ∈．记2112n n b a n -=++，*n N ∈． （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）记212212n n n S a a a a -=++++…，试比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）2(1)213333n n n nS S ++++>理由见解析. 【解析】（1）根据题意求1n nb b +及1b ，即可得到数列{}n b 是等比数列；（2）根据（1）得到数列{}n b 的通项公式及前n 项和，然后根据题意将2n S 和数列{}n b 的前n 项和联系起来，得到2n S ，进而得22n S +，最后利用作差法比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小即可． 【详解】（1）由题意得21221121212113312332223111222n n n n nn n n a n a n n a n b b a n a n a n +-+---++++++++====++++++， 且11332b a =+=，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）知，3nn b =，所以()11231333132n n n b b b +--+++==-…．因为2112n n b a n -=++，*n ∈N ， 所以123112n n b a n --=+-+，……23122b a =++， 11112b a =++，所以()121321(1)22n n n n nb b b a a a -++++=+++++……． 而212212n n n S a a a a -=++++…，11212133…--=++++n n a a a a ，()13214…-=+++n a a a .所以1212233242324622n n n n n S n n ++⎛⎫-+=-=⨯--- ⎪⎝⎭，故222222232(1)4(1)6232812n n n S n n n n +++=⨯-+-+-=⨯---，而()2(1)2(1)22111333333333+++++++++-=-n n n n n n n n S S S S ， ()221211232893232433+++⎡⎤=⨯----⨯---⎣⎦n n n n n n n ， ()2114403n n n +=+>，故2(1)213333n n n nS S ++++>． 【点睛】本题主要考查等比数列的证明、通项公式，数列求和，作差法比较大小等，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．21．已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率e =且经过点(1,0)，P 是抛物线22:2(0)C x py p =>上一点，过点P 作抛物线2C 的切线l ，与椭圆1C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线14x =-平分弦AB ，求p 的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）0p <<【解析】（1）易得1b =，结合椭圆的离心率及222a b c =+即可求出a ，c 的值，进而可得椭圆1C 的方程；（2）先根据题意得出切线l 的方程，然后将切线方程代入椭圆方程，最后利用根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性求解即可． 【详解】（1）由题意可知，c e a ==，1b =， 又222a b c =+，所以2a =，c =，所以椭圆1C 的方程是2214y x +=．（2）由题意可设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22x py =，即22x y p=，所以x y p '=，所以切线l 的方程是()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p=-， 将其代入椭圆方程得23420002224404x x x x x p p p ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 故62400042244404x x x p p p ⎛⎫⎛⎫∆=-+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即422004160x x p --<．① 设()11,A x y ，()22,B x y ，则312224x x x p x +=+， 又直线14x =-平分弦AB ，所以1212x x +=-，所以30220142x p x =-+，即2320042p x x =--，② 将②代入①得430080x x +<，③由②③得0182x -<<-． 设32()2f x x x =--，则21()62603⎛⎫'=--=-+< ⎪⎝⎭f x x x x x ，18,2⎛⎫∈--⎪⎝⎭x 恒成立， 所以()f x 在18,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 所以320()288960f x <<⨯-=， 所以294006<<p ，解得0p << 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系、抛物线方程等，还考查了直观想象、逻辑推理、运算求解的能力，属于难题． 22．已知函数()322133222f x ax x a x =-+，其中a R ∈． （1）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值 （2）函数()()()232g x f x f x a x '=+-，当[]0,2x ∈时，()g x 在0x =处取得最大值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2a =-；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）由题意得出()10f '=，可求得实数a 的值，然后将实数a 的值代入导数，就函数()y f x =是否在1x =处极大值进行检验，由此可得出实数a 的值； （2）求得()()32213313222g x ax a x x a =+--+以及()()232122g x ax a x '⎡⎤=+--⎣⎦，对实数a 分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =在区间[]0,2的单调性，结合函数()y g x =在0x =处取得最值进行验证或得出不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()322133222f x ax x a x =-+Q ，()2233322f x ax x a '∴=-+， 由题意可得()23313022f a a '=-+=，整理得220a a +-=，解得1a =或2a =-. 当1a =时，()()22333310222f x x x x '=-+=-≥恒成立， 此时，函数()y f x =在R 上单调递增，无极值；当2a =-时，()()()()2233632312f x x x x x x x '=--+=-+-=--+. 令()0f x '>，得21x -<<；令()0f x '<，得2x <-或1x >.此时，函数()y f x =在1x =处取得极大值，合乎题意.综上所述，2a =-；（2）()()()()23223133132222g x f x f x a x ax a x x a '=+-=+--+， ()()()223331321222g x ax a x ax a x '⎡⎤∴=+--=+--⎣⎦. ①当0a =时，()330g x x '=--<对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =单调递减，()()max 0g x g =，合乎题意；②当0a >时，对于函数()y g x '=，()2910a ∆=+>恒成立， 设方程()0g x '=的两根分别为1x 、2x ，则1220x x a=-<，设12x x <，则120x x <<. （i ）若202x <<，则当20x x <<时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减； 当22x x <≤时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增.所以，()()(){}()max max 0,20g x g g g ==，则()()20g g ≤，即10120a -≤，解得65a ≤， 此时()()23430g a '=->，解得34a >，则3645a <≤； （ii ）当22x ≥时，即()()23430g a '=-≤，得304a <≤， 则()0g x '≤对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减， 则()()max 0g x g =，合乎题意；③当0a <时，对任意的[]0,2x ∈，()0g x '<，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减，则()()max 0g x g =，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数的极值点和最值点求参数，解题时要注意对参数的取值范围进行分类讨论，并学会利用导数分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。

绝密★启用前2019届浙江省高三新高考仿真演练卷（二）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2},{|}A B x y x A =--==∈，则A B =ð（）A ．{1,0,1}-B ．{2,2}-C ．{2,1,0,1}--D ．{2}答案：A列出不等式220x -≥，结合x A ∈，可得集合B ，根据补集的定义即可得结果. 解：由220x -≥，得x ≤x ≥又x A ∈，所以{2,2},{1,0,1}A B B =-=-ð， 故选：A ． 点评：本题主要考查集合的运算、函数的定义域及二次不等式的解法，属于基础题. 2．已知复数13iz i-=则(1)i z -=（） A ．42i -+ B ．42i --C ．42i +D ．42i -答案：A根据复数的乘除法求解即可. 解：1324(24)(1)(1)1i i i i i z i i i ------=-⋅===-42421ii -=-+-. 故选：A ． 点评：本题考查复数的运算,属于基础题.3．已知双曲线222:13x y C a -=的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程是（）A ．3y x =± B ．13y x =±C ．y =D ．3y x =±答案：C由题意双曲线的离心率2，求得1a =，得出双曲线的标准方程，进而可求得渐近线的方程，得到答案. 解：由题意,双曲线222:13x y C a -=的离心率2，即232ca e a a+===，解得1a =， 即双曲线的方程为2213y x -=，可得1,3a b ==，所以双曲线的渐近线方程为3by x x a=±=±. 故选：C 点评：本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 4．如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A 1687π+ B ．16873π+ C ．8716π+D ．1687π+答案：C由三视图可知，得到该几何体是由圆柱与正四棱锥组合体，且圆柱的底面圆的直径为4，高为4；正四棱锥的底面正方形的边长为227. 解：由三视图可知，该几何体是由圆柱与正四棱锥组合而成的一个组合体，且圆柱的底面圆的直径为4，高为4；正四棱锥的底面正方形的边长为27， 故该几何体的体积2218724(22)71633V ππ=⨯⨯+⨯=+. 故选:C ． 点评：本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 5．下列命题错误的是A ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 平行B ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 异面C ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 垂直D ．若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 相交 答案：D分析：利用空间中线线、线面间的位置关系求解．详解：A.若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 平行，正确； B.若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 异面，正确；C.若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 垂直，正确，可能异面垂直；D.若直线l 平行于平面α，则平面α内存在直线与l 相交，错误，l 平行于平面α，l 与平面α 没有公共点. 故选D.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题． 6．已知函数(),()f x g x 的图象如图所示，则函数()1()f x yg x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：A根据函数图象，分别从定义域，特殊值角度分析，可快速鉴别出正确答案. 解：由函数()g x 的图象可知0x ≠，值域{|0}y y ≠， 所以函数()1()f x yg x =+的定义域为{|0}x x ≠，观察图象可排除B ，C ； 因为(2)(2)0f g >>，所以(2)12(2)f g +>，排除D. 故选：A 点评：本题主要考查了函数的图象与性质，有些函数图象题，从完整的性质并不好去判断，作为选择题，可以利用特殊值法（特殊点）特性法（奇偶性、单调性、最值）结合排除法求解，既可以节约考试时间，又事半功倍，属于中档题.7．已知某口袋中有2个白球和2个黑球，若从中随机取出1个球，再放回1个不同颜色的球，此时袋中的白球个数为X ；若从中随机取出2个球，再放回2个不同颜色的球（若取出的是1个黑球1个白球，则放回1个白球1个黑球），此时袋中的白球个数为Y ，则（）A ．()(),()()E X E Y D X D Y ==B ．()(),()()E X E Y D X D Y =≠C ．()(),()()E X E YD X D Y ≠= D ．()(),()()E X E Y D X D Y ≠≠答案：B由题意随机变量X 的可能取值为1,3，随机变量Y 的可能取值为0,2,4，由古典概型求出其概率，计算期望、方差即可求解. 解：由题意得X 的可能取值为1，3，且11(1),(3)22P X P X ====， 则11()13222E X =⨯+⨯=，2211()(12)(32)122D X =-⨯+-⨯=， Y 的可能取值为0，2，4，且1(0)6P Y ==，21(2),(4)36P Y P Y ====，则12()0263E Y =⨯+⨯+1426⨯=，2221214()(02)(22)(42)6363D Y =-⨯+-⨯+-⨯=，所以()(),()()E X E Y D X D Y =≠， 故选：B 点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.8．如图，已知四边形ABCD 是底角为60o 的等腰梯形，且2AB CD =，沿直线AC 将ADC V 翻折成AD C 'V ，所成二面角D AC B '--的平面角为θ，则（）A ．D AB θ'∠≥ B ．D AB θ'∠≤C ．D CB θ'∠≥ D ．D CB θ'∠≤答案：B 作出图形，设2CD a =，作出二面角D AC B '--的平面角，由余弦定理求出D AB '∠、θ、D CB '∠的余弦值，结合余弦函数的单调性可得出D AB '∠、θ、D CB '∠的大小关系. 解：设AB 的中点为点F ，连接DF 交AC 于点E ，在底面ABCD 内，过点D 、N 分别作DM AB ⊥、CN AB ⊥，垂足分别为点M 、N ，设2CD a =，由四边形ABCD 为底角为60o 的等腰梯形，且2AB CD =，可得2AB CDAM BN a -===，2AD BC a ∴==，//AB CD Q ，F 为AB 的中点，则//AF CD 且AF CD =，∴四边形AFCD 为菱形，所以，DF 为线段AC 的垂直平分线，则AC DF ⊥，AC D E '⊥，DF D E E '=I ，AC ∴⊥平面DD F '， 在翻折的过程中，点D ¢在底面ABCD 内的投影在线段DF 上， 所以，D EF '∠为二面角D AC B '--的平面角，即D EF θ'=∠， 当点D ¢在底面ABCD 内的投影在线段DE 上时，90D EF '∠≥o ， 而60D AB DAB '∠≤∠=o ，所以此时D AB θ'>∠；当点D ¢在底面ABCD 内的投影在线段EF 上时，则D E DE EF a '===，2D A DA AF a '===，D F ⎡⎤'∈⎣⎦，则在D EF 'V 中，由余弦定理得22222cos 12||2D E EF D F D FD EF DE EF a '''+-'∠==-'⋅， 在D AF 'V 中，由余弦定理得22222cos 128D A AF D F D FD AF D A AF a'''+-'∠==-'⋅， 则cos cos D EF D AF ''∠≤∠，当且仅当0D F '=时，等号成立， 所以此时D EF D AF D AB θ'''=∠≥∠=∠． 综上所述，D AB θ'≥∠. 故选：B ． 点评：本题考查二面角、余弦定理，正确作出二面角的平面角是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．正ABC ∆边长为2，点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足BP =AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+的最小值是（）A ．12B C ．2D 答案：A以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 垂直于BC 为y 轴，将向量都坐标化，由AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v 可得：1333xy λμλμ-=-+⎧⎪⎨-=--⎪⎩，故31y λμ+=-+，进而得到最值. 解：如图：以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 垂直于BC 为y 轴则(3A ，，()00B ，，()20C ， 设()P x y ，，32BP =Q 则P 点轨迹为2234x y +=由AP AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v 可得：1333x y λμλμ-=-+⎧⎪⎨=⎪⎩故31y λμ+=+ 当3y =时，()12min λμ+=故选A 点评：这个题目考查了向量坐标化以及建系方法在向量中的应用，(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10．定义：若向量列123,,,,n a a a a r r r rL ，满足条件：从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量（即坐标都是常数的向量），即1n n a a d -=+r r u r（2n …，且*n N ∈，d u r为常向量），则称这个向量列{}n a r 为等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差，且向量列{}n a r 的前n 项和为n S ．已知等差向量列{}n a r满足124(1,1),(6,10)a a a =+=r r r，则向量列{}n a r 的前n 项和n S =（）A ．22,2n n n ⎛⎫+⎪⎝⎭ B ．22,(1)2n n n ⎛⎫+-⎪⎝⎭C ．22,(1)2n n n ⎛⎫++⎪⎝⎭D ．22(1)(1),(1)2n n n ⎛⎫++++⎪⎝⎭答案：A根据题意分析等差数列的性质对于等差向量列也适合，再由等差数列的通项公式和前n 项和公式，可类比出等差向量列的通项公式和前n 项和公式，求解即可． 解：由题易知等差数列的性质对于等差向量列也适合，类比等差数列的性质得3242(6,10)a a a =+=r r r ，解得3(3,5)a =r，所以等差向量列{}n a r 的公差为31(1,2)2a a d -==r r u r ．类比等差数列的通项公式，得等差向量列{}n a r 的通项公式为n a =r 1(1)(1,1)(1)(1,2)(1,1)(1,22)(11,122)(,21)a n d n n n n n n n +-=+-=+--=+-+-=-r u r．进而再类比等差数列的前n 项和公式，可以得到等差向量列{}n a r的前n 项和公式为()12nn n a a S +==r r 22,2n n n ⎛⎫+⎪⎝⎭．故选：A 点评：本题考查向量的坐标运算、等差数列的性质及前n 项和公式，考查学生类比推理的应用． 二、双空题11．已知a ，b R ∈，2()4a bi i +=（i 是虚数单位），则||a bi +=______，ab =_______. 答案：22由复数运算法则求出a 、b 的值再代入|i |a b +和ab 计算即可. 解：解：因为222()24a bi a b abi i +=-+=， 所以220a b -=且2ab =， 所以2a b ==或2a b ==-，则||2a bi +=，2ab =. 故答案为：2；2. 点评：本题主要考查复数的基本运算和复数的模长计算，属于基础题.12．若变量,x y 满足约束条件30,240,2,x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪⎩…则x z y =的最小值为______，最大值为______． 答案：272根据题意，作出不等式组表示的可行域，利用00y y u x x -==-，即点(),x y 与原点()0,0连线的斜率的最值，再取倒数即可得到结论. 解：由题意，不等式组表示的可行域如图中阴影部分（含边界）所示，欲求x z y =的最小（大）值，只需求yu x=的最大（小）值，即在可行域内找一点，使得该点与原点连线所在直线的斜率取得最大（小）值．由30240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得2373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以27,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由302x y x +-=⎧⎨=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以()2,1C ．当直线x z y =经过点27,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，z 取得最小值27；当直线xz y=经过()2,1C 时，z 取得最大值2． 点评：本题考查简单的线性规划问题，属于基础题．线性规划的目标函数主要有三种形式：①截距式：即z ax by =+，主要根据目标函数在y 轴上的截距判断最值；②斜率式：即y bz x a-=-，主要根据可行域内的点与定点(,)a b 连线所在直线的斜率判断最值；③距离式：即z =据可行域内的点与定点(,)a b 的距离判断最值． 13．在ABC ∆中，3B π=，设,,A B C 所对的三边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，且6ac =，则ABC S ∆=_____，b =______．答案：2直接根据三角形面积公式，再利用余弦定理得等式解得即可. 解：由题意得ABC S =V 11sin 6sin 223ac B π=⨯⨯=因为,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，在ABC ∆中，由余弦定理得22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac +-+--==，即22(2)26cos 326b b π-⨯-=⨯，即2318b =，解得b =．. 点评：本题考查等差数列的概念、三角形的面积公式、余弦定理，熟记三角形的面积公式是解题的关键．14．若等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，关于x 的不等式21022d d x a x c ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭的解集为[]0,10，则c =_____，使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是_____． 答案：05根据题意列方程组解得数列{}n a 为首项为正的递减数列，再由560,022d da a =->=<，可得数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数5n =. 解：因为关于x 的一元二次不等式21022d d x a x c ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭的解集为[]0,10， 所以212102000221010022dd d a c d d a c ⎧<⎪⎪⎪⎛⎫⨯+-⨯+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⨯+-⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得100902d c a d ⎧⎪<⎪=⎨⎪⎪=->⎩则数列{}n a 为首项为正的递减数列，且560,022d da a =->=<， 所以使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数5n =． 故答案为：0，5. 点评：本题考查等差数列的性质、一元二次不等式的解法，根据一元二次不等式的解集得到数列{}n a 的首项和公差的关系是解题的关键． 三、填空题15．设20292100129012101010(12)(1)(1)x b b x b x b x a a x a x a x x x +++++=+++++++L L ，则10a =______．答案：202将原等式变形，再利用左右边的系数，建立方程，即可得到结论. 解： 由题意，()()()()201021029012100129121x a a x a x a x x b b x b x b x +=++++++++++L L ，所以，等式左边20x 的系数为202，等式右边20x 的系数为1010101010a x C x ⋅⋅⋅， 所以20102a =．故答案为：202. 点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的突破点在于利用等式左、右边20x 的系数相等，建立方程．16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()21xf x =-，则当[2,6]x ∈-时，方程1()2f x =-的所有根之和为_____． 答案：4根据题意，得函数关于直线1x =对称，进而得()f x 是以4为周期的函数，再得其单调性，再分段探究方程的根的情况，即可得到结论. 解：由(1)(1)f x f x +=-，得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(2)()f x f x +=-，又因为()f x 是奇函数，则有(2)()f x f x +=-=()f x -，从而有(4)()f x f x +=，所以()f x 是以4为周期的函数，由周期性知，函数()f x 的图象关于直线21()x k k Z =+∈对称．由题意，()f x 在[0,1]上单调递增，其值域为[0,1]，此时方程1()2f x =-无解， 由对称性知()f x 在[1,2]上单调递减，其值域为[0,1]，此时方程1()2f x =-也无解，由函数()f x 的图象关于原点成中心对称知，方程1()2f x =-在[2,1]--和[1,0]-上各有一根，由对称性知两根之和为2-． 由周期性知方程1()2f x =-在[2,3]和[3,4]上各有一根，由对称性知两根之和为6．在区间[4,6]上无解．所以()f x 在[2,6]-上共有4个根，其和为4． 故答案为：4. 点评：本题考查函数性质的应用、函数的零点．函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略：①函数单调性与奇偶性结合，注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性；②周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；③周期性、奇偶性与单调性结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.17．有一堆大小和形状完全相同的红球、蓝球，从中选7个球排成一列，要求相邻两个球不都为红球，共有_____种不同的排列方法．（用数字作答） 答案：34根据题意，可得红球的个数可能为0，1，2，3，4，再分类讨论，利用插空法即可. 解：由题意，得红球的个数可能为0，1，2，3，4， 当红球个数为0时，有1种排列方法； 当红球个数为1时，有71C 种排列方法； 当红球个数为2时，有26C 种排列方法； 当红球个数为3时，有35C 种排列方法； 当红球个数为4时，有1种排列方法.综上所述，不同的排列方法共有1237651134C C C ++++=． 故答案为：34. 点评：本题考查计数原理，根据题意合理分类是解题的关键． 四、解答题18．已知函数()2sin cos 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1()2c f C ==．若sin 2sin B A =，求边,a b 的值．答案：（Ⅰ）最大值为12，最小正周期为π（Ⅱ）2,4a b ==． （Ⅰ）用二倍角公式、差角的正弦公式把()f x 化为()()sin f x A x k ωϕ=++的形式，再利用三角函数的图象与性质求解；（Ⅱ）根据已知条件求角C ，再利用正弦定理、余弦定理列出关于,a b 的方程组，解方程组即可． 解：解：（Ⅰ）21cos 21()cos cos 2sin 22262x f x x x x x x π+⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭Q ()f x ∴的最大值为12，最小正周期为π （Ⅱ）由（1）知11()sin 2622f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．110,022,2666C C C πππππ<<∴<<∴-<-<Q ， 2,623C C πππ∴-=∴=．sin 2sin ,2B A b a =∴=Q ，①由余弦定理得2222cos3ca b ab π=+-，即2212a b ab +-=，②由①②解得2,4a b ==． 点评：本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理．利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，其试题为基础题，考查有以下三个命题角度：①由已知求边和角；②解三角形与三角函数性质结合；③解三角形与三角恒等变换结合． 19．如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且直线PA ABCD ⊥平面，又棱2PA AB ==，E 为CD 的中点，60.ABC ∠=︒ (Ⅰ)求证：直线AE PAB ⊥平面； (Ⅱ)求直线AE 与平面PCD 的正切值.答案：（1）见解析（2）23试题分析：（1）由线面垂直的判定定理证明，EA⊥AB，EA⊥PA，得EA⊥平面PAB；（2）∠AEP为直线AE与平面PCD所成角，所以23 tan3PAAEPAE∠===．试题解析：解：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2 ∴△AED是以∠AED为直角的Rt△又∵AB∥CD,∴EA⊥AB又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,∴EA⊥平面PAB,（2）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点∵CD⊥EA,CD⊥PA∴CD⊥平面PAE,∴AH⊥CD，又AH⊥PE∴AH⊥平面PCD∴∠AEP为直线AE与平面PCD所成角在Rt△PAE中，∵PA=2，AE3∴tan3PAAEPAE∠===20．已知数列{}n a，12a=，26a=，且满足1121n nna aa+-+=+（2n≥且*n N∈）（1）求证：{}1n na a+-为等差数列；（2）令()10112nnnba+=-，设数列{}n b的前n项和为n S，求{}2n nS S-的最大值.答案：（1）见解析；（2）42296S S--.(1)将式子变形得到()()112n n n na a a a+----=，故得到数列{}1n na a+-是公差为2的等差数列；（2）通过第一问的结论，以及累加法的应用得到()1na n n=+，代入表达式得到n b，设2n n nM S S=-，()()110121222n nM Mn n+-=-++，将此式和0比即可得到最大项.解：（1）1122n n na a a+-+=+，则()()112n n n na a a a+----=.所以{}1n na a+-是公差为2的等差数列.（2）()()()()12111 2242212n n nn nn a a a a a a n n nL L，-+≥=-++-+=+++=⋅=+. 当11,2n a==满足.则()1na n n=+.()()1011101!22nnbn n n+=-=-+∴1110122nnSn⎛⎫=+++-⎪⎝⎭L，∴211111210121222nnSn n n n⎛⎫=+++++++-⎪++⎝⎭L L，设2111101222n n nnM S Sn n n⎛⎫=-=+++-⎪++⎝⎭L，∴121111111023221222n n n n M SS n n n n n ++⎛⎫=-=+++++-⎪++++⎝⎭L ， ∴()()1111111110110102122122122221222n n M M n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=+--=--=- ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭，∴当1n =时，11010342n n M M +-=->⨯， 即12M M <，当2n ≥时，10n n M M +-<，即234M M M >>>L ，∴()2max 1129101346n M M ⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭， 则{}2n n S S -的最大值为42296S S -- 点评：数列最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列{}n a 的最大值，可通过解不等式组11{n n n n a a a a +-≥≥()2,n n Z ≥∈求得n 的取值范围；求数列{}n a 的最小值，可通过解不等式组11{n n n n a a a a +-≤≤()2,n n Z ≥∈求得n 的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式n a 对应函数()y f x =的特点，借助函数()y f x =的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过1n n a a +-差值的正负确定数列{}n a 的单调性．21．已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ，,A B 是E 上两点，且||||AF BF m +=.（1）若4m =，求线段AB 中点M 到x 轴的距离；（2）若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值. 答案：（1）32M y =.（2）3m =. 试题分析：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线定义求得AB 中点M 到x 的距离；（2）设:AB l y kx n =+，联立方程组，得到122x x k +=，即2(,)M k k n +，进而求得2221k n m ++=，根据垂直，即可求解实数m 的值.试题解析：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义可知：1234232M M y y p y y ++=⇒=⇒=. （2）设:AB l y kx n =+（显然斜率存在），联立222202y kx nx kx n x y=+⎧⇒--=⎨=⎩， 所以122x x k +=，得()2,M k k n +，又1212121y y m kx kx n m ++=⇒+++=，得2221k n m ++=（）， 又212MCk n k k k+-=-⇒211k n k =-⇒=-， 代入（）式，得：3m =.22．已知函数()()()2f x x 1aln 2x 1blnx =-+-+，a,b 为常数（Ⅰ）若a 0=时，已知()f x 在定义域内有且只有一个极值点，求b 的取值范围； （Ⅱ）若b 2a =-，已知[)x 1,∞∈+，()f x 0≥恒成立，求a 的取值范围. 答案：（1）12b <（2）1a ≤ ⑴将0a =代入，求出()f x 的表达式，求导，然后综合只有一个极值点即可求出结果； ⑵法一：将2b a =-代入，求导后利用单调性来求解；法二：整体思想，采用放缩法进行求 解：（Ⅰ）当0a =时，()()21ln f x x b x =-+，()()22221b x x bf x x x x='-+=-+，12x > 因为()f x 在定义域内有且只有一个极值点，所以2220x x b -+=在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内有且仅有一根，则有图知0∆>，所以12b <（Ⅱ）2b a =-，()()()21ln 212ln f x x a x a x =-+-- 法1：()()()()()()()21222121211212121a x a a af x x x x x x x x x x ⎡⎤-=-+-=-+=--⎢⎥---⎢⎣⎦'⎥ ()()222121x x a x x x ⎡⎤--=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦因()10f =，[)1,x ∈+∞，()0f x ≥恒成立，则[)1,x ∈+∞内，先必须递增，即()f x '先必须0≥，即()22h x x x a =--先必须0≥，因其对称轴14x =，有图知()10h ≥（此时在[)1,x ∈+∞()0f x '≥），所以1a ≤法2：因()0f x ≥，所以()221ln 212ln 0x x a x a x -++--≥，所以()()22ln 21ln 21x a x x a x -≥---，令()ln g x x a x =-，因()1,x ∈+∞，221x x >-， 所以()g x 递增，()0g x '≥，所以10ax-≥，1a ≤ 点评：本题考查了含有参量的导数极值问题和恒成立问题，在解答此类题目时将参数代入，然后根据题意进行转化，结合导数的单调性进行证明，本题有一定难度.。

2019届浙江省高三新高考仿真演练卷（三）数学试题一、单选题1．已知集合{}2|4A x x =<，{|31}B x x =-<<，则A B =U （ ） A ．()3,2- B ．()2,1- C ．()2,2- D ．()3,1-【答案】A【解析】先求得集合{}|22A x x =-<<，再结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}{}2|4|22A x x x x =<=-<<，又由{|31}B x x =-<<，可得{}()|323,2A B x x =-<<=-U . 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合A ，再结合集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2．双曲线221169x y -=的焦点坐标是A ．（）±B ．0,（C ．5,0（）±D ．0,5（）± 【答案】C【解析】分析：由题意求出,a b ，则c =，可得焦点坐标详解：由双曲线221169x y -=，可得4,3,5a b c ==∴==，故双曲线221169x y -=的焦点坐标是5,0±（） 选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.3．212ii +=-（ ） A ．4355i -- B ．iC ．i -D ．4355i -+ 【答案】B【详解】由题意可得：2(2)(12)12(12)(12)i i iii i i+++==--+，故选：B【点睛】本题考查了复数的除法计算，考查了学生的计算能力，属于容易题.4．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,该几何体是由一个长方体截去一部分后所得,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．12B．14C．2D．429【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是由长方体截去一个四棱锥所得,故在长方体中画出直观图,再利用体积公式求解即可.【详解】由题知,该几何体是由长方体1111ABCD A B C D-截去四棱锥11M ADD A-所得,所以111111113123AA D DAA D D AA D DABSVV S AB S AB==-⋅⋅⋅四边形截去部分剩余部分四边形四边形.故选：A．5．函数||2()1x e f x x =+的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的解析式，化简得到()()f x f x -=，得出函数()f x 为偶函数，排除B 、D ，再利用导数求得函数的单调性，利用单调性和极值点的性质，排除C ，即可求解. 【详解】由题意，函数||2()1x e f x x =+，其定义域R ，且满足||||22()()()11x x e e f x f x x x --===-++， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，故排除B ，D ； 当0x >时，函数2()1xef x x =+，则()()()22222212(1)()011x xx e x xe e x f x xx'+--==≥++，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又()01f '=，故排除C . 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，函数的基本性质，以及利用导数在函数中的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及利用导数求得函数的单调性，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．设x ∈R ，则“11x -≤”成立的必要不充分条件是（ ） A ．02x ≤≤ B ．2x ≤C ．02x <<D ．0x >【答案】B【解析】求解不等式|1|1x -≤，进而可得出“11x -≤”成立一个必要不充分条件.由11x -≤得111x -≤-≤，解得02x ≤≤. 所以，“11x -≤”成立的必要不充分条件是2x ≤. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的寻找，同时也考查了绝对值不等式的求解，考查计算能力与推理能力，属于基础题.7．设随机变量X 的分布列如下：则方差()D X =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由分布列中概率的和为1可求得a ，再求出均值，代入方差计算公式求解即可. 【详解】由分布列得10.10.30.40.2a =---=，则()00.110.220.330.4=2E X =⨯+⨯+⨯+⨯，则2222()(02)0.1(12)0.2(220.3320.4=1D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯)(). 故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和方差，熟记离散型随机变量的方差公式是解题的关键，属于基础题．8．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC AB AC BC ======，点Q 为ABC ∆ 所在平面内的动点，若PQ 与PA 所成角为定值θ，π(0,)4θ∈，则动点Q 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，根据题意，求出Q 轨迹方程，可得其轨迹.由题，三棱锥P ABC -为正三棱锥，顶点P 在底面ABC 的射影O是底面三角形ABC 的中心，则以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得1OA OP ==，设Q 为平面ABC 内任 一点，则()()()()()1,0,0,0,0,1,,,0,1,0,1,,,1A P Q x y PA PQ x y =-=-u u u v u u u v，由题PQ 与PA 所成角为定值θ，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则, 22cos 21PA PQ PA PQ x y θ⋅==⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 则()()22222cos11x y x θ++=+ ，化简得222cos22cos 2cos20x y x θθθ⋅+⋅-+= ，ππ0,,20,,cos 20,42θθθ⎛⎫⎛⎫∈∴∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q故动点Q 的轨迹是椭圆. 选B 【点睛】本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题.9．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数()f x 在[,]a b 上连续，且在(,)a b 上可导，则必有一(,)a b ξ∈，使得()()()()f b a f b f a ξ'-=-．已知函数21()(1)ln(1)2f x x x x x =+⋅+--，1,1,e 1e a b ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦，()()f b f a b a λ-=-，那么实数λ的最大值为（ ） A ．-2e B ．0 C ．1eD ．ln 2【答案】B【解析】由题意可得()()()f b f a f b aλξ'-==-，即要求21()(1)ln(1)2f x x x x x =+⋅+--导函数()ln(1)f x x x '=+-的最大值，令()ln(1)h x x x =+-，对()ln(1)h x x x =+-进行求导判断它的单调性，从而求出最大值即可. 【详解】本题考查导数的应用．由题意知，a ∀，11,1b e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，(,)a b ξ∃∈， 使得()()()f b f a f b aλξ'-==-．因为21()(1)ln(1)2f x x x x x =++--， 则()ln(1)f x x x '=+-， 令()ln(1)h x x x =+-，则1()111x h x x x'-=-=++． 当110x e-<<时，()0h x '>， 即()h x 在11,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数； 当0e 1x <<-时，()0h x '<， 即()h x 在(0,1)e -上为减函数． 所以()ln(1)(0)0f x x x f ''=+-=…，所以max ()0f x '=，所以实数λ的最大值为0 故选：B 【点睛】本题考查了导数的应用，关键要结合所给的定义解题，属于一般题. 10．已知空间向量 向量且,则不可能是【答案】A 【解析】由题求得的坐标，求得，结合可得答案.【详解】，利用柯西不等式可得.故选A. 【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.二、双空题11．向量(2,1,3)a x =r ,(1,,9)b y =r ,若a r 与b r共线,则x =________,y =________.【答案】163 【解析】根据空间向量共线的公式求解即可. 【详解】由题意得29130,1930,x y ⨯-⨯=⎧⎨⨯-=⎩解得16x =,3y =.故答案为：(1) 16；(2)3 【点睛】本题考查空间向量共线的条件,属于基础题. 12．若sin 2sin 62ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=________，cos2=α________．3 12-【解析】31cos 2cos 2ααα+=，求得tan 3α=cos2α的值，得到答案.由sin 2sin 62ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin cos cos sin 2cos 66ππααα+=，1cos 2cos 2ααα+=，可得sin tan cos ααα== 又由22222222cos sin 1tan 1cos2cos sin sin cos 1tan 2ααααααααα--=-===-++．12-． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系和三角恒等变换的公式，同时注意隐含条件22sin cos 1αα+=在解题中的应用是解题的关键，着重考查了推理与运算能力．13．若等边三角形ABC 的边长为2,点P 为线段AB 上一点,且(01)AP AB λλ=u u u r u u u r剟,则AP CP ⋅u u u r u u u r的最小值是________,最大值是________.【答案】14-2 【解析】根据平面向量的线性运算以及基底向量的方法可得2()42AP CP AP CA AP λλ⋅=⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,再根据二次函数的性质求解在区间[]0,1λ∈上的范围与最值即可. 【详解】 由题意得222()||42AP CP AP CA AP AB CA AB λλλλ⋅=⋅+=⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u r u u u r ,则当[]0,1λ∈时,221142444AP CP λλλ⎛⎫⋅=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,当14λ=时取最小值14-；当1λ=时取最大值2.即AP CP ⋅u u u r u u u r 的最小值为14-,最大值为2.故答案为：(1)14-；(2)2 【点睛】本题考查平面向量的运算,对向量进行合理分解是解题的关键.属于中档题.14．若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++,则【答案】15 64【解析】根据展开式的结构有66(2)[(1)1]x x +=++,再根据二项展开式的通项公式求解2a ,再利用赋值法求解0123456a a a a a a a ++++++即可. 【详解】66(2)[(1)1]x x +=++,且二项式6[(1)1]x ++的展开式的通项为66(1)r r C x -+,则42615a C ==,令0x =,得60123456264a a a a a a a ++++++==.故答案为：(1)15；(2)64 【点睛】本题考查二项式定理,根据二项式定理合理展开是解题的关键.属于中档题.三、填空题15．已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最大值为________．【答案】2【解析】画出不等式组1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义（截距）求出最大值． 【详解】解：画出不等式组1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示，由31010x yx y-+=⎧⎨--=⎩，解得12xy=-⎧⎨=-⎩，即点()1,2C--，由32z x y=-得2233y x z=-，则23z-表示直线2233y x z=-在y轴上的截距（即纵截距），纵截距越小，23z-越小，z越大，∴目标函数32z x y=-在点()1,2C--处取得最大值max3(1)(2)22z=--⨯-=，故答案为：2．【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于基础题．16．已知函数12log(1),1,()31,1,x xf xxx-<⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩…若方程()0f x a-=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．【答案】(0,1)【解析】方程()0f x a-=有三个不同的解可转化为,函数()f x的图象与直线y a=有三个交点,作出图形,可得出答案.【详解】在平面直角坐标系内画出分段函数()f x的图象如图所示，由图易得要使方程()0f x a-=有三个不同的实数根，即函数()f x的图象与直线y a=有三个不同的交点，则01a<<．【点睛】本题考查函数与方程、函数的图象与性质、数形结合思想的应用.将方程的解转化为函数图象的交点问题是解题的关键,考查了学生的推理能力,属于中档题.17．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数共有________个． 【答案】108【解析】先考虑奇数不相邻的情况，利用插空法可得出奇数不相邻的六位数的个数，然后考虑2放在第二位且奇数不相邻的六位数的个数，相减可得出所求的六位数的个数. 【详解】1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，这样的六位数有3334A A 个.其中2在第二位，则第一位必为奇数，然后将剩余的2个偶数排序，将另外两个奇数插空，这样的六位数的个数为122323C A A .综上所述，则符合题意的六位数共有3312234323108A A C A A -=个．故答案为：108. 【点睛】本题考查数的排列问题，考查插空法以及正难则反的原理的应用，考查计算能力，属于中等题.四、解答题18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知c =sin 2sin B C =，且1cos 22A =-．（1）求ABC ∆的面积；（2）若角A 为钝角，点D 为BC 中点，求线段AD 的长度．【答案】（1（2）32【解析】（1）由2sinB sinC =，根据正弦定理可证得2b c =，2212cos A sin A =-，利用面积公式求得结果；（2）运用公式2 22AB AC AD⎛⎫+= ⎪⎝⎭u u u v u u u vu u u v即可求得结果.【详解】（1）sin2sin223B C b c=∴==Q，213cos212sin sin2A A A=-=-∴=Q，133sin2S bc A==（2）由A为钝角可得1cos2A=-，22222cos9244AB AC b c bc AAD⎛⎫+++===⎪⎝⎭u u u v u u u vu u u v3.2AD∴=【点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理求三角形边长，再运用面积公式求出三角形面积，在求解过程中要注意公式的运用，尤其是边角的互化，熟练掌握公式是本题的解题关键19．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，E，O分别为AB，AD的中点．（Ⅰ）求证：平面PCE⊥平面POB；（Ⅱ）求直线AP与平面PDB所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）217【解析】（I）根据题意，利用线面垂直、面面垂直的判定定理与面面垂直的性质定理证明；（Ⅱ）根据题意，分别以OP，OD，OM所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，用向量法求解． 【详解】（Ⅰ）证明：设直线CE ，BO 交于点F ， ∵2BE AO ==，4BC AB ==， ∴Rt CBE Rt BAO V V ≌．∴BCE ABO ∠=∠，则90BCF FBC ︒∠+∠=． 故90BFC ︒∠=，∴CE BO ⊥．∵O 为AD 的中点，PAD △为正三角形， ∴PO AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PO ⊥平面ABCD ， ∴CE PO ⊥， ∵PO BO O I =， ∴CE ⊥平面POB ， 又CE ⊂平面PCE ， ∴平面PCE ⊥平面POB ．（Ⅱ）设BC 的中点为M ，连接OM ．∵平面ABCD ⊥平面PAD ，∴OM OD ⊥，OM OP ⊥，由（Ⅰ）知，OP OD ⊥．以点O 为原点，分别以OP ，OD ，OM 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0)O ，(0,2,0)A -，(0,2,4)B -，(0,2,0)D ，(23,0,0)P ．设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r，又(0,4,4)DB =-u u u r，2,0)DP =-u u u r ，∴44020y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得,,y z y =⎧⎪⎨=⎪⎩取1x =，得n =r ． 设直线AP 与平面PDB 所成角为α，AP =u u u r ，∴||sin |cos ,|7||||AP n AP n AP n α⋅=〈〉==u u u r ru u u r r u u u r r ，故直线AP 与平面PDB所成角的正弦值为7． 【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理、直线与平面所成角．利用空间向量求直线与平面所成角，主要有两种方法：①通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是直线和平面所成的角；②分别求出直线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角（或其补角）．注意直线与平面所成角的取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦．20．设*N n ∈,圆n C :222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M ,与曲线y =的交点为1(,)n N y n,直线MN 与x 轴的交点为0(),n A a . (1)用n 表示n R 和n a ; (2)求证:12n n a a +>>;(3)设123n n S a a a a =++++L ,111123n T n=++++L ,求证:72352n n S n T -<<. 【答案】（1）n R =,11n a n =++；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）根据点1(N n在圆n C 上，在直线MN 上，即可求得n a ； （2）利用函数的单调性即可得证12n n a a +>>； （3）首先证明不等式11)12xx +≤+，进而可证得13222n a n n≤<+，累加求和即可得证． 【详解】（1）由点N在曲线y =1(N n ，又点在圆n C 上，则222111()n n R n n n+=+=，n R =，从而直线MN 的方程为1n n x y a R +=，由点1(N n 在直线MN上得：11n na +=，将n R =代入，化简得：11n a n =++. （2）∵111n +>1>，∴*n N ∀∈，112n a n =++>， 又∵11111n n +>++>，∴11n a n =++>1111n a n +++=+. （3）先证：当01x ≤≤时，11)12xx +≤≤+，事实上，不等式2211)1[11)]1(1)22x x x x x +≤≤+⇔+≤+≤+22222211)1)113)1)044x x x x x x x x ⇔++≤+≤++⇔+≤≤，后一个不等式显然成立，而前一个不等式2001x x x ⇔-≤⇔≤≤， 故当01x ≤≤时，不等式11)12xx +≤≤+成立，∴1111)12n n +≤<+，∴1132122n a n n n+≤=++<+(等号仅在1n =时成立)，求和得：3222n n n n T S n T <<+⋅，∴72352n n S n T -<<． 【点睛】解决数列与不等式相结合的综合题常用的解题策略有：1．关注数列的通项公式，构造相应的函数，考查该函数的相关性质（单调性，值域，有界性）加以放缩；2．重视题目设问的层层递进，最后一小问常常要用到之前的中间结论；3．数学归纳法． 21．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的A B 、两点．（1）如果直线l 过抛物线的焦点，求·OA OB u u u v u u u v的值；（2）如果·4OAOB =-u u u v u u u v，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 【答案】（Ⅰ）-3（Ⅱ）过定点()2,0，证明过程详见解析.【解析】(Ⅰ)根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积．(Ⅱ)设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于4-，做出数量积表示式中的b 的值，即得到定点的坐标． 【详解】(Ⅰ)由题意：抛物线焦点为()1,0设l ：x ty 1=+代入抛物线2y 4x =消去x 得，2y 4ty 40--=，设()11A x ,y ，()22B x ,y则12y y 4t +=，12y y 4=-()()12121212OA OB x x y y ty 1ty 1y y ∴⋅=+=+++u u u r u u u r()2121212t y y t y y 1y y =++++224t 4t 143=-++-=-．(Ⅱ)设l ：x ty b =+代入抛物线2y 4x =，消去x 得2y 4ty 4b 0--=设()11A x ,y ，()22B x ,y则12y y 4t +=，12y y 4b =-()()12121212OA OB x x y y ty b ty b y y ∴⋅=+=+++u u u r u u u r()22121212t y y bt y y b y y =++++22224bt 4bt b 4b b 4b =-++-=-令2b 4b 4-=-，2b 4b 40b 2∴-+=∴=．∴直线l 过定点()2,0．【点睛】从最近几年命题来看，向量为每年必考考点，都是以选择题呈现，从2006到现在几乎各省都对向量的运算进行了考查，主要考查向量的数量积的运算，结合最近几年的高考题，向量同解析几何，三角函数，立体几何结合起来考的比较多．22．已知函数e 1()x f x x-=．（Ⅰ）求证：对于任意(0,)x ∈+∞，不等式1()12f x x >+恒成立； （Ⅱ）设函数()2()1ln(1)xg x e x x =-+-，[0,)x ∈+∞，求函数()g x 的最小值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）0. 【解析】（I ）证明不等式1()12f x x >+恒成立，转化为证明21102x e x x --->，构造新函数21()e 12xm x x x =---，利用导数研究函数的单调性，即可求解； （Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，由（Ⅰ）知 1112x e x x ->+，要证112ln(1)x x x +>+，只需证1(1)ln(1)2x x x +⋅+>，构造新函数1()1ln(1)2s x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性与极值，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意，对于任意(0,)x ∈+∞，要证1()12f x x >+，只需证21102xe x x --->， 令21()e 12xm x x x =---，则()1x m x e x '=--， 令()()h x m x '=，则()10xh x e '=->，所以()h x 在(0,)x ∈+∞上单调递增， 所以()(0)0h x h >=，即()0m x '>，所以()m x 在(0,)x ∈+∞上单调递增， 所以()(0)0m x m >=，故不等式1()12f x x >+恒成立． （Ⅱ）当(0,)x ∈+∞时，由（Ⅰ）知 1112x e x x ->+，要证：112ln(1)x x x +>+，只需证1(1)ln(1)2x x x +⋅+>， 令1()1ln(1)2s x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，则1112()ln(1)121x s x x x '+=++-+， 令()()t x s x '=，则2211(1)1122()02(1)(1)2(1)x x x t x x x x '⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+=>+++， 所以函数()t x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，所以()(0)0t x t >=，即()0s x '>， 所以()s x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，可得()(0)0s x s >=，所以1(1)ln(1)2x x x +⋅+>，所以112ln(1)x x x +>+得证， 即1ln(1)x e x x x ->+，即()21ln(1)x e x x -+>，所以()2()e 1ln(1)0x g x x x =-+->，又(0)0g =，所以当[0,)x ∈+∞时，()0g x ≥，且0x =时，等号成立， 故()g x 的最小值为0． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及函数与方程的综合应用，着重考查了分类讨论，等价转化思想的应用，以及推理与运算能力，属于难题.。

2019年浙江省普通高中高三新高考统一模拟考试数学试卷★祝考试顺利★ (含答案)选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1,0,1,2,3}U =-，集合{0,1,2}A =，{1,0,1}B =-，则()UA B =A ．{1}-B ．{0,1}C ．{1,2,3}-D ．{1,0,1,3}- 2．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是A ．2B ．1 C．2 D ．2 3．若实数,x y 满足约束条件340,340,0,+x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则32z x y =+的最大值是A. 1-B. 1C. 10D. 12 4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不V Sh =柱体，其容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A. 158B.162C. 182D. 324 5．设0,0a b >>，则“4a b +≤”则“4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1log ()2ay x =+(01)a a >≠，且的图象可能是（第4题图）俯视图侧视图正视图663342A. B. C. D.7．设01a <<．随机变量X 的分布列是则当a 在(0,1)内增大时，A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则A. βγ<，αγ<B. βα<，βγ<C. βα<，γα<D. αβ<，γβ<9．设,R a b ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．1a <-，0b <B ． 1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ． 1a >-，0b >10．已知,a b ∈R ，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，n ∈*N ，则 A ．当12b =时，1010a > B ．当14b =时，1010a > C ．当2b =-时，1010a > D ．当4b =-时，1010a >非选择题部分（共110分）。

○…………外………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班○…………内………○…………装…………○浙江省2019 年高考模拟训练卷数学（三）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合U={1,2,3,4,5}，A ={0,1,2,3}，B ={1,2,3,4}，则C U (A ∩B )=（ （A. {1,2,3}B. {3,4,5}C. {4,5}D. ∅ 2.已知双曲线C:x 2a 2−y 2a 2=1，则C 的离心率是（ ）A. √52B. √2C. 2D. √5 3.已知a +bi =2−i 1+i（i （（（（（（（（√a 2+b 2（ （A.3√22 B. √102 C. 92 D. 524.函数f (x )=cosx x 2的图像可能是（ ）A. B.C. D.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）答案第2页，总17页…………○……※※在※※装※※订※※线…………○……A. 2 B. √3 C. √32 D. √366.已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有（ ） A. 1880 B. 1440 C. 720 D. 2567.在ΔABC 中，“sinA<cosB ”是“ΔABC 为钝角三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.设函数f (x )={e x +x 2(x ≥0)1ex+x 2(x <0) .已知对任意的a ∈[√3,2√3]，若x 1∈[a −k a ,a −k 2a ]（x 2∈[a −k 3a ,a −k4a ]，恒有f (x 1)≥f (x 2)，则正实数k 的取值范围是（ ）A. (0,4]B. (0,8]C. [8,+∞)D. [32,+∞)9.如图，C,D 是以AB 直径的圆O 上的动点，已知|AB |=2，则AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是（ ）A. 12B. √5−√3C. √22 D. √3−1 10.已知数列{a n }满足a 1>0（a 11=4（a n+1=a n +12a n 2，数列{b n }满足b n >0（b 1=a 12（b n =b n+1+12b n+12，n ∈N ∗若存在正整数m,n (m ≤n )，使得b m +b n =14，则（ ） A. m=10,n =12 B. m =9,n =11 C. m =4,n =6 D. m =1,n =3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11.已知函数f (x )={log 2x,x >02x ,x ≤0，则f (4)=__________；f (f (13))=__________（12.若实数x,y （（（（（（{2x +y +2≥0x +y −1≤0y ≥0，则z =y −2x （（（（（__________（13.若(x −2)8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 8(x −1)8，则a 0+a 1+a 2+⋯+……外……………○…………订……___班级：___________考号：___……内……………○…………订……a 8=__________（14.在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边a,b,c ，点E 为边AC 上的中点，已知a=2，b =4，c =3，则cosC =__________；BE =__________（15.（（x,y∈R ，若x +2y =4（（x 2+4y 2（（（（（__________（（x 2+4y 2=4，则x +y （（（（（__________（16.已知直线l:y=x +1与抛物线C:x 2=y 交于A,B 两点，点P (0,1)，Q (−1,0)，且PQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λQA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =μQB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ (λ,μ∈R )，则λ+μ=__________（ 17.如图，在三棱锥P−ABC 中，点O 为AB 的中点，点P 在平面ABC 的投影恰为OB 的中点.已知AB =2PO =2，点C 到OP 的距离为√3，则当∠ACB 最大时，二面角P −AC −B 的余弦值是__________（三、解答题（题型注释）18.已知函数f (x )=√2sin (2x +π4),x ∈R .（1）求函数f (x )在[0,π4]上的值域； （2）若f (x 0)=13，求tanx 0.19.在三棱锥P−ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AQ =QC ，PA =PC =AB =2，BC =1，PB =√3.（1）证明：BC ⊥BQ （（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值. 20.已知数列{a n }的前n 项为S n=3a n −2n ,n ∈N ∗.答案第4页，总17页订…………○………※※答※※题※※订…………○………（1）证明：{a nn−1}为等比数列； （2（（（（{na n2n}的前n （（（T n . 21.如图，直线l:y =kx +m (k >0,m <0)交椭圆C:x 24+y 23=1于A,B 两点，点E 是线段AB 的中点，连接EO 并延长EO 交椭圆C 于点F .（1）设直线EF 的斜率为k ′，求kk ′的值； （2）若k=32，求ΔFAB 面积的最大值.22.知函数f (x )=x 2+a x+a，g (x )=2lnx +2a (a ∈R ).（1）求f (x )的单调区间； （2）证明：存在a∈(0,1)，使得方程f (x )=g (x )在(1,+∞)上有唯一解.参数答案1.C【解析】1.先求出A ∩B ，然后再在全集U ＝{1，2，3，4，5}下求∁U （A ∩B ）． ∵A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{1，2，3}，又∵全集U ＝{1，2，3，4，5}， ∴∁U （A ∩B ）＝{4，5}． 故选：C ． 2.B【解析】2.由题意知双曲线为等轴双曲线，由此得离心率. ∵双曲线方程为C:x 2a 2−y 2a 2=1，∴双曲线为等轴双曲线， ∴e=√2. 故选B. 3.B【解析】3. 由于a +bi ＝1−3i 2，故有a ＝12，b ＝-32，即可得结果． 由于a +bi ＝2−i 1+i =（2−i ）（1−i ）（1+i ）（1−i ）=1−3i 2， ∴a +bi ＝1−3i2，∴a ＝12，b ＝-32，∴√a 2+b 2=√102故选B ． 4.C答案第6页，总17页装…………○………※※要※※在※※装※※订※※线装…………○………【解析】4.利用奇偶性及函数值的正负进行排除即可. ∵f (x )=cosx x 2=cos （−x ）（−x)2=f (−x )，∴函数f (x )为偶函数，排除A 、B ， 又当0<x<π2时，f (x )>0，排除D ，故选C. 5.D【解析】5.由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面高为1的棱锥，利用锥体体积公式可得到答案． 由三视图可知：该几何体是如下的一个三棱锥，如图：∴该几何体的体积=13×12×1×√3×1=√36．故选：D ． 6.B【解析】6.先从5辆白色汽车选3辆全排列后视为一个整体，再将剩余2辆白色汽车全排列后视为一个整体，再将这两个整体全排列，共有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空排列即可．由题意知，白颜色汽车按3，2分两组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共A 53种排法，再将剩余2辆白色汽车全排列共A 22种排法，再将这两个整体全排列，共A 22种排法，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共A 33种排法，由分步计数原理得共A 53A 22A 22A 33=1440 种.故选B. 7.A【解析】7.先由诱导公式将正弦化余弦，利用余弦函数的单调性得到角A 或角C 为钝角，再举反例说明必要性不成立即可. ∵sinA<cosB ⇔cos (π2−A)<cosB ，且B 必为锐角，可得π2−A >B 或A −π2>B ，即角A 或角C 为钝角；反之，当A=100°，B =30°时，cosB =√32，而sinA>sin120°=√32=cosB ，所以sinA <cosB 不成立，所以“sinA <cosB ”是“ΔABC 为钝角三角形”的充分不必要条件，故选A . 8.D【解析】8.利用函数的性质将不等式转化为|x 1|≥|x 2|，由对称性结合区间端点的大小得到a 与k 的关系，即8a 2≤3k 在a ∈[√3,2√3]上恒成立，求得8a 2的最值即可得到k 的范围. 因为f (−x )={e −x +（−x ）2(−x ≥0)1e−x+（−x ）2(−x <0) ={e x +x 2(x >0)1e x +x 2(x ≤0) =f (x ), ∴f (x )为偶函数且在(0,+∞)上单调递增， 由对称性得在(−∞,0)上单调递减， ∴f (x 1)≥f (x 2)⇔|x 1|≥|x 2|，又a −k 3a>a −k 2a，只需-（a −k 2a）≥a −k 4a，即2a −3k 4a≤0，即8a 2≤3k 在a ∈[√3,2√3]上恒成立，∴3k≥8×12，则正实数k 的取值范围是[32,+∞).答案第8页，总17页…………订………※订※※线※※内※※答※※题…………订………故选D. 9.A【解析】9.过点O 作AC 的平行线交圆O 于点E ，交BC 于M ，且M 为垂足，设D 在OE 的投影为N ，由向量的几何意义可知，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|MN |，只需当N 落在E 处时，MN 最大，求得AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2cosθ∙(1−cosθ)，再由θ∈[0，π2）求得最值即可. 如图，先将C 视为定点，设∠CAB ＝θ，θ∈[0，π2），则AC=2cosθ，连接CB ，则CB ⊥AC ，过O 作AC 的平行线交圆O 于E ，交BC 于M ，且M 为垂足， 又知当D 、C 在AB 同侧时，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取最大值， 设D 在OE 的投影为N ，当C 确定时，M 为定点，则当N 落在E 处时，MN 最大，此时AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 取最大值， 由向量的几何意义可知，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|MN |，最大时为|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|ME |， 又OM=|OB |cosθ, ∴|ME |=1−cosθ，∴AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 最大为|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |∙|ME |=2cosθ∙(1−cosθ)≤2×[cosθ+(1−cosθ)2]2=12,当且仅当cosθ=12时等号成立，即θ=π3， ∴ AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值为12.故选A. 10.D【解析】10.由题意得a n+1>a n >⋯>a 1>0，b 1>b 2>⋯>b n >0，利用单调性可得b 1=a 12，代入已知求得b 2=a 11=4，b 3=a 10=2,…,b m =a 13−m ，又a 12=12，得到b m +b n =a 10+a 12，可得所求. 因为a n+1=a n +12a n 2，b n =b n+1+12b n+12，则有a n+1>a n >⋯>a 1>0，b 1>b 2>⋯>b n >0，且函数y =12x 2+x 在(0,+∞)上单调递增，故有b 1=a 12=b 2+12b 22=a 11+12a 112，得b 2=a 11=4， 同理有b 3=a 10=2,…,b m =a 13−m ， 又因为a 12=a 11+12a 112=12， 故b m +b n =a 10+a 12，所以m=1,n =3.故选D. 11.2 13【解析】11.由已知利用分段函数及对数函数的性质求解．∵函数f (x )={log 2x,x >02x ,x ≤0，∴f （4）＝log 24＝2，f (f (13))＝f （log 213）＝2log 213＝13， 故答案为：(1). 2 (2). 1312.10【解析】12.作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 由z ＝y ﹣2x ，得y ＝2x +z ， 作出不等式对应的可行域， 平移直线y ＝2x +z ，由平移可知当直线y ＝2x +z 经过点A 时，答案第10页，总17页线y ＝2x +z 的截距最大，此时z 取得最大值， 由{2x +y +2=0x +y −1=0，得{x =−3y =4 ，即A （-3，4）代入z ＝y ﹣2x ，得z ＝4﹣2×（-3）＝10， 即z ＝y ﹣2x 的最大值为10． 故答案为：10． 13.0【解析】13.利用二项式定理可知，对已知关系式中的x 赋值，即可求得a 0+a 1+a 2+⋯+a 8的值． ∵(x −2)8=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 8(x −1)8令x ＝2得：0＝a 0+a 1+a 2+⋯+a 8，即a 0+a 1+a 2+⋯+a 8＝0； 故答案为：0． 14.1116 √102【解析】14.直接利用余弦定理可得cosC ，利用中线定理的向量表示法将BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 表示出，平方可得模. 在ΔABC 中，cosC=a 2+b 2−c 22ab=1116，同理可得cosB =-14， 又BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )，平方得BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=14(4+9+2×2×3×cosB )=104， 所以BE=√102，故答案为(1). 1116 (2). √102 15.8 √5【解析】15.根据题意，由基本不等式的性质可得4＝x +2y ≥2√2xy ，变形可得2xy ≤4，进而可得x 2+4y 2＝（x +2y ）2﹣4xy ＝16﹣4xy ，分析可得第一个空；再利用柯西不等式求得第二个式子的最值.根据题意，x ，y ∈R +，且x +2y ＝4，则有4＝x +2y ≥2√2xy ，变形可得2xy ≤4，（当且仅当x ＝2y =2时等号成立）x 2+4y 2＝（x +2y ）2﹣4xy ＝16﹣4xy ，又由4xy ≤8，则有x 2+4y 2≥8， 即x 2+4y 2的最小值为8； 若x 2+4y 2=4，则由柯西不等式得（x 2+4y 2）（1+14）≥(x +y)2，（当且仅当x ＝4y =4√55时等号成立），所以(x +y)2≤4×54即x+y 的最大值为√5，故答案为：(1). 8 (2). √5． 16.-3【解析】16.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，将条件坐标化，利用向量相等与点在抛物线上，得到λ2+3λ+1=0，μ2+3μ+1=0，构造方程x 2+3x +1=0，求得结果.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则PQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,−1)，λQA ⃑⃑⃑⃑⃑ =λ(x 1+1,y 1)，μQB⃑⃑⃑⃑⃑ =μ(x 2+1,y 2)，则有x 1=−1λ−1,y 1=−1λ，代入方程x 2=y ，故有λ2+3λ+1=0，同理μ2+3μ+1=0，有，即可视λ,μ为方程x 2+3x +1=0的两根，则λ+μ=−3.故答案为-3. 17.3√1313【解析】17.由条件得到点C 的轨迹是以AB 为长轴的椭圆，利用椭圆的对称性知当∠ACB 最大时有AC =BC ，做出二面角P −AC−B 的平面角，在ΔPFE 中求解即可.因为点C 到OP 的距离为√3，则点C 是以OP 为旋转面的轴的圆柱与平面ABC 的公共点，答案第12页，总17页即点C 的轨迹是以AB 为长轴，以2√3为短轴长的椭圆，又由椭圆的对称性可知， 则当∠ACB 最大时有AC=BC =2.如图，在AC 上取一点F ，满足|AF |=34， 连接EF,PF ，则有EF ⊥AC ，又因为PE ⊥AC ，则∠PFE 是二面角P−AC −B 的平面角，在ΔPEO 中，OP=1,OE=12, ∴PE=√32, ∴PF=√PE 2+EF 2,在ΔPFE 中，EF =3√34,∴PF =√394，故二面角的余弦值是3√1313. 故答案为3√1313. 18.（1）[1,√2]（2）3±√174【解析】18.（1）根据正弦函数的定义域求得2x+π4的范围，利用正弦函数在[π4，3π4]的图像特点求得函数f （x ）=√2sin （2x +π4）的值域．（2）将f (x )展开，结合二倍角公式及同角基本关系式，将弦化切，直接解方程即可. （1）因为x ∈[0,π4],∴π4≤2x +π4≤3π4， 当2x +π4=π2时，f (x )最大为√2，当2x+π4=π4时，f (x )最小为1，所以f (x )在[0,π4]的值域为[1,√2]； （2）因为f (x )=√2sin (2x +π4)=sin2x +cos2x =2sinxcosx+cos 2x−sin 2xcos 2x+sin 2x=13，即2tan 2x −3tanx −1=0， 所以tanx =3±√174.∴tanx 0=3±√174.19.（1）详见解析（2）3√9191【解析】19.（1）利用面面垂直，可证PQ⊥平面ABC ，从而有PQ ⊥BC ，再利用勾股定理证明PB ⊥BC ，可证BC ⊥平面PQB ，证得结论.（2）先证得平面PHQ⊥平面PAB ，过点Q 作QO ⊥PH 于点O ，有QO ⊥平面PAB ，可证明∠QAO 是AC 与平面PAB 所成的角，在△ABC 中，求得QH ，可得PH ，由等面积法知OQ ，即可求解直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值. （1）由题意平面PAC ⊥平面ABC ，PQ ⊂平面PAC ，平面PAC⋂平面ABC =AC ，又PA =PC ，AQ =QC （ ∴PQ ⊥AC ，∴PQ⊥平面ABC ，从而有PQ ⊥BC ，又由勾股定理得PB ⊥BC ，PB ∩PB =P ，∴BC⊥平面PQB ，即BC ⊥BQ ；（2）设BO=x ，则AQ =QC =2+1，在ΔABC 中，222=4(x 2+1)+4−12，即BO =x =√32.故AQ=√72，PQ =32，过Q 作QH ⊥AB 于点H ，连接PH ，过点Q 作QO ⊥PH 于点O ，连接AO ，因为PQ ⊥AB 且QP ∩QH =Q ，故AB⊥平面PQH ，又因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PHQ ⊥平面PAB ， 进而有QO⊥平面PAB ，故∠QAO 是AC 与平面PAB 所成的角， 在ΔABC 中，有cos∠CAB =2√7=AH AQ，得AH =54，故QH=√34，PH =√394， 由等面积法知OQ =3√1326，所以sin∠QAO=OQ AQ=3√9191，故直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值为3√9191.答案第14页，总17页20.（1）详见解析（2）T n =12−(12+3n )(34)n+n 2+n2.【解析】20.（1）由已知数列递推式求出数列首项，进一步可得当n ≥2时，S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2n−1，与原递推式联立可得结论；（2）把（1）中求得的数列通项公式代入na nn，利用分组求和及错位相减法即可求得T n ． （1）当n =1时，a 1=12，当n ≥2时，S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2n−1， ∴a n=S n −S n−1=3a n −3a n−1−2n−1， 即2a n =3a n−1+2n−1，故a n2n=34•a n−12n−1+14， 所以a n2n−1=34(a n−12n−1−1)， 故{a n 2n −1}是−34为首项，以34为公比的等比数列； （2）由（1）知a n2n=1−(34)n ，故na n2n=n −n (34)n，令数列{n }，{n (34)n}的前n 和为A n ,B n ，则T n=A n −B n ，因为A n =n 2+n2， B n =1•(34)1+2•(34)2+⋯+n (34)n，34B n =1•(34)2+2•(34)3+⋯+(n −1)(34)n +n (34)n+1， 则14B n =34+(34)2+(34)3+⋯+(34)n −n (34)n+1，即B n =12−(12+3n )(34)n ，故T n=12−(12+3n )(34)n+n 2+n2. 21.（1）−34（2）92【解析】21.（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，利用点差法能得到kk ′的值．（2）由（1）知k ′，则可求点F 坐标，利用点F 到直线AB 的距离公式求得ΔFAB 的高，联立{y =32x +m 3x 2+4y 2=12，由韦达定理求得|AB |，将面积表示为关于m 的函数，求导求得最值. （1）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)， 则E (x 1+x 22,y 1+y 22)，将A 、B 点坐标代入椭圆方程，有x 124+y 123=1……①，x 224+y 223=1……②，①-②得x 12−x 224+y 12−y 223=0，即y 1−y 2x 1−x 2•y 1+y2x 1+x 2=−34，即kk ′=−34；（2）由（1）知，当k =32时，有k ′=12，则有直线l:y =32x +m ，直线EF:y =−12x ， 不妨设m<0，则有F (−√3,√32)，故点F 到直线AB 的距离d =√3−2m|13，联立方程组{y =32x +m 3x 2+4y 2=12， 即3x 2+3mx +m 2−3=0，则|AB |=√132√m 2−4m 2−33=√132√12−m 23，故ΔFAB 面积S =12(2√3−√12−m 2√3=2√3(2√3−m)2(12−m 2)，令f (m )=(2√3−m)2(12−m 2)，则f ′(m )=2(2√3−m )(2m 2−2√3m −12)，令f ′(m )=0，则m =−√3或2√3（舍去）∴m=−√3时，f (m )有最大值243，即ΔFAB 面积的最大值为92. 22.（1）详见解析（2）详见解析【解析】22.（1）求出函数f （x ）的定义域，对函数f （x ）求导得到y=x 2+2ax −a ，分Δ≤0与Δ>0,得到导函数在各区间段内的符号,得到函数f （x ）的单调区间； （2）构造ℎ(x )=f (x )−g (x )，求导分析ℎ(x )的单调性，找到12≤a<1时，ℎ(x )<0在(1,1+√1+a )上恒成立，在(1+√1+a,+∞)上递增，而h(x 1)<0，ℎ(e 2)>0,由函数零点存答案第16页，总17页在定理得到存在a 0∈(0,1)，使得方程ℎ(x )=0在(1,+∞)上有唯一解，即证得结论.（1）函数f （x ）的定义域为(−∞,−a )∪(−a,+∞)， 因为f ′(x )=x 2+2ax−a(x+a )2， 令y =x 2+2ax −a ，则Δ=4a 2+4a ≤0，即−1≤a ≤0，则f ′(x )≥0在(−∞,−a )∪(−a,+∞)上恒成立， 当a<−1或a >0，由x 2+2ax −a >0有x >−a +√a 2+a 或x <−a −√a 2+a ，由x 2+2ax −a <0有−a −√a 2+a <x <−a +√a 2+a ，综上，当−1≤a ≤0时，f (x )的递增区间是(−∞,−a ),(−a,+∞)，当a<−1或a >0时，f (x )的递增区间是(−∞,−a −√a 2+a ),(−a +√a 2+a,+∞)，递减区间是(−a −√a 2+a,−a ),(−a,−a +√a 2+a )； （2）令ℎ(x )=f (x )−g (x )=x 2+a x+a−2lnx −2a ， 当a∈(0,1)时，则ℎ′(x )=x 2+2ax−a (x+a )2−2x=(x+2a )(x 2−2x−a )(x+a )2x=(x+2a )[x−(1−√1+a)][x−(1+√1+a)](x+a )2x，因为x∈(1,+∞)，故当1<x <1+√1+a 时，ℎ′(x )<0，当1+√1+a <x 时，ℎ′(x )>0，所以ℎ(x )在(1,1+√1+a )上递减，在(1+√1+a,+∞)上递增，即当x 1=1+√1+a 时，ℎ(x )有最小值，又h （1）=1-2a ， 当12≤a<1时，h （1）≤0，即ℎ(x )<0在(1,1+√1+a )上恒成立，又12≤a<1时,ℎ(x )=x 2+a x+a−2lnx −2a >x 2x−2lnx −2a >x 2x−2lnx −2=x −2lnx −2，取x=e 2,则x−2lnx −2=e 2−4−2=e 2−6>0，即ℎ(e 2)>0，又ℎ(x )在(1+√1+a,+∞)上递增，而h(x 1)<0，由函数零点存在定理知ℎ(x )在(1+√1+a,+∞)上存在唯一零点， 所以当12≤a<1时即存在a∈(0,1)，使得方程ℎ(x )=0在(1,+∞)上有唯一解，即方程f (x )=g (x )在(1,+∞)上有唯一解.。

2019年浙江省高考第二次模拟考试数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A.B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是.10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3.12.已知，若，则a=，b=.13.设数列的前n 项和为，若 ，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.15.已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，学.科.网若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e |，则a ·b 的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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无偿分享！18【考点】频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；（2）由频率分布直方图得从[45，65）的产品数中抽取5件，记为A，B，C，D，E，从[65，75）的产品数中抽取1件，记为a，由此利用列举法求出概率．【点评】本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中档题19【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥DE，CD⊥DE，从而DE⊥平面ABCD，由此能证明平面ABCD⊥平面EDCF．（Ⅱ）三棱锥A﹣BDF的体积VA﹣BDF＝VF﹣ABD＝，由此能求出结果．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20【考点】直线与椭圆的综合．【分析】（1）由已知得关于a，c的方程组，求解可得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设直线l的方程为y＝﹣，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及斜率乘积证得即可．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查等比数列的判定，是中档题．21【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的符号研究函数的单调性；（2）不等式恒成立等价于恒成立，利用导数分别分析函数f（x）、的单调性与最值，证明f（x）min＞h（x）max即可证明原不等式恒成立．【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，利用导数证明不等式恒成立，属于难题．22【考点】椭圆的性质．【分析】（1）由伸缩变换得代入椭圆方程即可；（2）先求出直线的普通方程，再化成极坐标方程．【点评】本题考查椭圆的方程，涉及直线与椭圆的交点，极坐标方程，属于基础题．。

浙江省2019年高考全真模拟卷（一）数学试卷第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以.故选A.2.若复数满足，在复数的虚部为（）A. B. 1 C. -1 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算公式可得，从而可求出z的共轭复数，即可得出结果.【详解】由题意可知，，故，所以其虚部为-1.【点睛】本题主要考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属于基础题型.3.已知是双曲线渐近线上的点，则双曲线的离心率是（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由在双曲线的渐近线上，得=，由e=计算可得.【详解】因为双曲线的渐近线方程为y=，在渐近线上，所以=，则e==2.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.4.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】满足约束条件的可行域如图：化为，平移直线，经过可行域的时，目标函数取得最小值，由，解得，则的最小值是，故选C .【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：圆C:(x−1)2+y2=r2(r>0).圆心(1,0)到直线的距离.由条件q:圆C上至多有2个点到直线x−y+3=0的距离为1，则0<r<3.则p是q的充要条件。

试卷第1页，共6页浙江省杭州高级中学 2019 届高三2月高考模拟数学试卷第I 卷（选择题）一、选择题1、如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（ ）A ．B ．C ．D ．2、已知双曲线方程为 是双曲线的左顶点，是双曲线的左焦点，直线与相交于，若双曲线离心率为，则的余弦值为( )A ．B ．C ．D ．3、已知不等式组所表示的平面区域为 ，不等式组所表示的平面区域为，若中存在点在圆内，但中不存在点在圆内，则的取值范围是 （ ）试卷第2页，共6页A ．B ．C ．D ．4、已知数列的前项和为，对任意正整数，，则下列关于的论断中正确的是（ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列 5、设中，角所对的边分别为，则“”的一个充分非必要条件是 ( )A ．B ．，C ．D ．6、已知，且 ，则的值是( ) A ．7 B ．C ．D ．987、已知函数，则函数在区间上的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、已知集合则=（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题9、如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成角为，顶点在平面上的射影为点，当试卷第3页，共6页顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为__________。

10、在和中，是的中点，，若，则与的夹角的余弦值等于__________。

11、设为正数，且，则的最大值为__________。

12、设圆与抛物线相交于两点，为抛物线的焦点，若过点且斜率为的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次为，则的值__________，若直线与抛物线相交于两点，且与圆相切，切点在劣弧上，则的取值范是__________。

13、函数的部分图象如图，则函数表达式为_________；若将该函数向左平移 1个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍得到函数__________。