江西省南昌市2020届高三上学期开学摸底考试数学(理)(带答案)

数学（理）试题一、选择题1.已知全集为实数集R ，集合2{|280}A x x x =+->，2{|log 1}B x x =<，则()R C A B ⋂=（ ）A.[4,2]-B.[4,2)-C.(4,2)-D.(0,2) 答案：D2.在复平面内，复数z i =对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ） A.1322i -+ B.3122i -+ C.1322i -- D.3122i -- 答案： A3.一个正三棱柱的正视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A.16B.12C.8D.6 答案：B4.由实数组成的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“98S S >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案： C5.已知向量a ，b ，||2b =，且a 在b 方向上的投影为12，则a b ⋅等于（ ） A.2 B.1 C.12D.0 答案： B6.函数cos 1ln(),1(),1x x x f x xe x π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ） A.B.C.D.答案： A7.根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设ln u y =，2(4)v x =-，利用最小二乘法，得到线性回归方程为0.52u v =-+，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A.e B.2e C.ln 2 D.2ln 2 答案： B8.已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ y ⊥轴于点Q ，则PQ PF ⋅的最小值为（ ）A.14-B.12-C.1-D.1 答案： A9.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.21 答案：B10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）.控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术.一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若50AE cm =，40EF cm =，30FC cm =，60AEF CFE ∠=∠=︒，则该正方形的边长为（ ）A.502cmB.402cmC.50cmD.206cm 答案： D11.如图，点E 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点，点F ，M 分别在线段AC ，1BD （不包含端点）上运动，则（ ）A.在点F 的运动过程中，存在1//EF BCB.在点M 的运动过程中，不存在1B M AE ⊥C.四面体EMAC 的体积为定值D.四面体11FAC B 的体积不为定值 答案： C解答：在长方体1111ABCD A BC D -中，平面11//A BC 平面1D AC ，又因为点F 在AC 上运动，则不存在1//EF BC ；当11B M BD ⊥时，1B M AE ⊥，其理由如下：设AC 与BD 相交于点O ，因为11B M BD ⊥，所以1B M OE ⊥，易证AC ⊥平面11BDD B ，所以1AC B M ⊥，故1B M ⊥平面EAC ，∴1B M AE ⊥；因为1//BD 平面EAC ，所以M EAC V -为定值；因为11//AC AC ，所以点F 到平面11AC B 的距离为定值，所以四面体11FAC B 的体积为定值.12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，03πϕ<<）满足()()f x f x π+=，()112f π=，则()12f π-等于（ ）A.2-B.2C.12-D.12答案： C二、填空题13.曲线2()()ln f x x x x =+在点(1,(1))f 的切线方程为 . 答案：220x y --=14.已知7270127(21)x a a x a x a x -=++++，则2a = .答案：84-15.已知函数22,0()2,0xxx f x x -⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则11(lg )(lg )(lg 2)(lg 5)52f f f f +++的值为.答案：416.如图所示，一列圆222:()n n n C x y a r +-=（0n a >，0n r >）逐个外切，且均与曲线2y x =相切，若11r =，则1a = ，n r = .答案：54n三、解答题17.如图，D 是在ABC ∆边AC 上的一点，BCD ∆与ABD ∆面积比为2， 22CBD ABD θ∠=∠=.（1）若6πθ=，求sin sin AC的值； （2）若4BC =，22AB =AC 的长. 答案： 见解析. 解答：（1）23CBD ABD π∠=∠=，所以11sin 2sin 2326BC BD BA BD ππ⋅=⨯⋅， 所以sin 23sin 33BC A BA C =⇒==（2）11sin 22sin 22BC BD BA BD θθ⋅=⨯⋅， 所以242sin cos 222cos 2θθθθ⨯=⨯⇒=，所以4πθ=，334ABC πθ∠==， 所以221682422()402AC =+-⨯⨯⨯-=， 所以边210AC =.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是菱形，2AC BC ==，13CBB π∠=，点A 在平面11BCC B 上的投影为棱1BB 的中点E .（1）求证：四边形11ACC A 为矩形；（2）求二面角11E B C A --的平面角的余弦值. 答案： 见解析 解答：（1）因为AE ⊥平面11BBC C ，所以1AE BB ⊥，又因为1112BE BB ==，2BC =，3EBC π∠=，所以3CE =222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥，因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥，从而1AA AC ⊥，即四边形11ACC A 为矩形.（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以(0,0,1)A ，1(0,2,1)A ，1(0,1,0)B ，(3,0,0)C .平面1EBC 的法向量(0,0,1)m =，设平面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，由1303n CB x y y x ⊥⇒-+=⇒=，由110n B A y z ⊥⇒+=，令13x y =⇒=3z =-(1,3,3)n =-，所以321cos ,717m n -<>==-⨯，所以二面角11E B C A --的余弦值是217-.19.已知函数2()xf x e x kx =--（其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点.（1）求实数k 的取值范围； （2）证明()f x 的极大值不小于1. 答案： 见解析 解答：（1）()2xf x e x k '=--，由()02xf x e x k '=⇒-=，记()2xg x e x =-，()2xg x e '=-，由()0ln 2g x x '=⇒=，且ln 2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(22ln 2,)g x ∈-+∞；ln 2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，由题意，方程()g x k=有两个不同解，所以(22ln 2,)k ∈-+∞.（2）由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x k e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)x x x f x e x e x x x e x =---=-+，记2()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，则()2(2)t th t te t t e '=-+=-，因为(,ln 2)t ∈-∞，所以20te ->，所以0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减，0t >时，()0h t '>，()h t 单调递增，所以()(0)1h t h ≥=，即函数()f x 的极大值不小于1.解法二：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x k e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)x x x f x e x e x x x e x =---=-+，因为110x ->，111x e x ≥+，所以21111()(1)(1)1f x x x x ≥-++=，即函数()f x 的极大值不小于1.20.已知圆2221:(1)(13)F x y r r ++=≤≤，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-. （1）证明：圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（2）过点2F ，斜率为k 的直线与（1）中轨迹E 相交于M ，N 两点，点(,0)(0)Q m m <，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由. 答案： 见解析 解答：（1）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以12||2F F =，因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，又因为13r ≤≤，所以|4|2r r --≤，即12|4|||r r F F --≤，所以圆1F 与圆2F 有公共点.设交点为P ，因此12||||4PF PF +=，所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，所以24a =，12c a =⇒=，b =E 的方程为22143x y +=. （2）设过点2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得到2222(43)84120k x k x k +-+-=，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+①，因为111y k x m =-，222y k x m =-，所以121212()()y y k k k k x m x m+=+=--2212121221121212(1)(1)(1)(1)(1)()(1)()[][]()()k x k x x x x x m x x m k k k x m x m x m x m x m x m ------+--+=+==------21212212122(1)()2()x x m x x mk x x m x x m -+++-++，将①式代入整理得212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-，因为0m <，所以当23120m -=时，即2m =-时，12()1k k k +=-.21.某工厂生产零件A ，工人甲生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为14，12，14，工人乙生产一件零件A ，是--等品、二等品、三等品的概率分别为13，13，13.已知生产一件一等品、二等品、三等品零件A 给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元（1）试根据生产一件零件A 给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏：（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产--件零件A ，如果一方生产的零件A 品级优于另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分1-分，如果两人生产的零件A 品级一-样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜，4(4,3,2,,4)i P i +=---，表示甲总分为i 时，最终甲获胜的概率. ①写出0P ，8P 的值；②求决赛甲获胜的概率. 答案： 见解析 解答：（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为X 元、Y 元，随机变量X ，Y 的分布列分别为所以1111110524242EX =⨯+⨯+⨯=，1111710523333EY =⨯+⨯+⨯=，所以EX EY <，即乙的技术更好.（2）①0P 表示的是甲得4-分时，甲最终获胜的概率，所以00P =，8P 表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以81P =.②每轮比赛甲得1分的概率111111()433233⨯++⨯=，甲得0分的概率为11111114323433⨯+⨯+⨯=，甲得1-分的概率为111111()234333⨯+⨯+=，所以当1,2,3,4,5,6,7n =时，11111112333n n n n n n n P P P P P P P -+-+=++⇒=+，所以{}n P 是等差数列，则084122P P P +==，即决赛甲获胜的概率是12. 四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线gm试题 11 1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，曲线2C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）设射线(0)6πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求AB 的值.答案：见解析解答：（1）曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=， 2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-=.（2）令(0)6πθρ=>，则1(,)6A πρ，2(,)6B πρ， 则2222222cos 3sin 6066ππρρ+-=，即22924ρ=，所以2OB ρ==，12cos 6OA πρ===AB OA OB =-=23.已知0a >，0b >，2a b +=.（1）求111a b ++的最小值； （2）证明2a b b a ab +≥. 答案：见解析解答：（1）11111114()[(1)]2131313b a a b a b a b a b ++=+++=++≥+++（），当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时，111a b ++的最小值为43. （2）要证明2a b b a ab +≥，由0a >，0b >，也即证222a b +≥.因为2a b +≤a b =1≥，即222a b +≥.。

2020届南昌市高三零模数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|20,{1,0,1,2}M x x x N =+-≤=-，则M N ⋂的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【分析】解出集合M 中的不等式即可【详解】因为{}}{2|2021M x x x x x =+-≤=-≤≤， {1,0,1,2}N =-所以{}1,0,1M N ⋂=-所以M N ⋂的子集个数为328= 故选：C【点睛】含有n 个元素的集合的子集个数为2n .2．已知复数2z i =+，则在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数对应的点()2,1即可判断.【详解】复数2z i =+在复平面上对应的点为()2,1，在第一象限. 故选：A.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.3．在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 4＝24，则a 9＝（ ） A ．﹣5 B ．﹣7 C ．﹣9 D ．﹣11【答案】B【分析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案.【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝5，S 4＝24， ∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24， 联立解得a 1＝9，d ＝﹣2，则a 9＝9﹣2×8＝﹣7． 故选：B .【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题. 4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ） A ．3()f x x x =+ B ．()31x f x =- C ．1()f x x=-D ．3()log ||f x x =【答案】A【分析】依次判断每个函数的单调性和奇偶性得到答案.【详解】B 中函数非奇非偶，D 中函数是偶函数，C 中函数是奇函数，但不在定义域内递增，只有A 中函数符合题意：3()f x x x =+，()3()f x x x f x -=--=-，奇函数.2'()310f x x =+>恒成立，故函数单调递增.故选：A .【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【分析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 故选：D【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.6．设α，β是两平面，a ，b 是两直线．下列说法正确的是（ ） ①若//,//a b a c ，则//b c ②若a α⊥，b α⊥，则//a b ③若a α⊥，a β⊥，则//αβ④若a β⊥，b αβ=，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④【答案】D【分析】根据空间中平行和垂直的相关命题逐一判断即可. 【详解】由平行公理知①对，垂直于同一平面的两条直线平行，故②对， 垂直于同一直线的两个平面平行，故③对， 由面面垂直性质定理知④对． 故选：D【点睛】本题考查的是空间中平行和垂直的相关命题的判断，较简单 7．如图是一程序框图，若输入的12A =，则输出的值为（ ）A ．25B ．512C ．1229D ．2960【答案】C【分析】依次执行循环，直到3k >结束循环，输出A . 【详解】由程序框图可知， 第一次执行循环，121522A ==+,1123k =+=≤，继续执行循环； 第二次执行循环，1521225A ==+,2133k =+=≤，继续执行循环；第三次执行循环，112529212A ==+,3143k =+=>，结束循环，输出1229A =. 故选：C.【点睛】本题考查程序框图的读取，属于基础题.8．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把()13sin cos 22g x x x ωω=-的图象上所有点（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度【答案】B【分析】先由图象求出()f x 的解析式，然后根据三角函数的平移变换选出答案即可 【详解】由题意知1A =，由于741234T πππ=-=，故2T ππω==， 所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+， 由2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求得3πϕ=，故()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()13sin 2x x g x ωω=sin 26x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故需将()g x 图像上所有点向左平移3π个单位长度得到()f x . 故选：B【点睛】本题考查的是根据三角函数的图象求解析式及图象的平移变换，较简单.9．8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中22x y 项的系数是（ ） A ．420 B ．-420C ．1680D ．-1680【答案】A【分析】8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示的是8个122y x +-相乘，要得到22x y ，则其中有2个因式取2x ，有两个因式取2y-，其余4个因式都取1，然后算出即可. 【详解】8212y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示的是8个122y x +-相乘， 要得到22x y ，则其中有2个因式取2x ，有两个因式取2y- 其余4个因式都取1所以展开式中22x y 项的系数是44222286124202C C C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查的是二项式定理，属于典型题.10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗⋯⋯，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,11110x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭或，设点(,)∈x y A ，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[25-5]B ．[25-25]C ．[5-25]D ．[4-，25]【答案】C【分析】结合图形，平移直线2z x y =+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．【详解】如图，作直线20x y +=，当直线上移与圆22(1)1y x +-=相切时，2z x y=+此时，圆心(0,1)到直线2z x y =+的距离等于1，即|2|15z -=，解得z 的最大值为：25+，当下移与圆224x y +=相切时，2x y +取最小值， 同理||25z -=，即z 的最小值为：25-，所以[25,25]z ∈-+．故选C ．【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．11．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b >>）的右焦点为,,F A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 5【答案】C【分析】先由已知条件求出AF 的中点M 的坐标，再代入到另一条渐近线方程中求解即可.【详解】解：由双曲线2222:1x y C a b-=，则其渐近线方程为by x a=±， 因为0AF BF ⋅=AO BO FO c ===不妨设A (),a b -,则B (),a b -, 又(c,0)F ，可得AF 的中点坐标为M ,22c a b -⎛⎫⎪⎝⎭，所以22b bc a a -=⨯， 解得：2ce a==，故选C.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，属中档题.12．已知函数()()xe a e xf m x a =--+，（,m a 为实数），若存在实数a ，使得()0f x ≤对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．[,)eC ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,e e⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】先求出()f x 的单调性，得出11ln0ma a e--+≤-，即1ln()()a e m a e a a-≥-->，然后求出右边的最小值即可【详解】()()xe a e xf m x a =--+，则()()1xe e x af =-+'，若0e a -≥，可得0fx，函数()f x 为增函数，当x →+∞时，()f x →+∞，不满足()0≤f x 对任意x ∈R 恒成立； 若0e a -<，由0fx，得1x e a e =-，则1ln x a e =-， ∴当1,ln x a e ⎛⎫∈-∞ ⎪-⎝⎭时，0f x，当1ln,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时，0f x ，()1ln max1ln ()a ef x f e a e ma a e -⎛⎫∴==-- ⎪-⎝⎭11ln 1ln ma a e a e +=--+--， 若()0≤f x 对任意x ∈R 恒成立，则11ln 0()ma a e a e--+≤>-恒成立， 若存在实数a ，使得11ln0ma a e--+≤-成立， 则11ln ma a e ≥-+-，1ln()()a e m a e a a -∴≥-->， 令1ln()()a e F a a a-=--，则22ln()1()aa e a e F a a a ---'=-2()ln()()a e a e ea a e ---=-. ∴当2a e <时，()0F a '<，当2a e >时，()0F a '>，则min 1()(2)F a F e e==-.1m e ∴≥-.即实数m 的取值范围是1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A【点睛】1.本题考查的是利用导数解决函数的单调性问题，属于较难题 2.恒成立问题一般通过分离变量法转化为最值问题.二、填空题13．平面内不共线的三点,,O A B ，满足1OA =，2OB =，点C 为线段AB 的中点，若32OC =，则AOB ∠=__________. 【答案】120°【分析】由1()2OC OA OB =+平方即可算出1cos 2AOB ∠=-，然后即可得出答案 【详解】点C 为线段AB 的中点，1()2OC OA OB ∴=+，()222124OC OA OB OA OB =++⋅1(14212cos )4AOB =++⨯⨯⨯∠，解得1cos 2AOB ∠=-，120AOB ∴∠=︒.故答案为：120︒【点睛】本题考查的是数量积的有关的运算，较简单.14．已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S =__________. 【答案】48-【分析】由123n n a a +=--得()1121n n a a ++=-+，即数列{}1n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，即可求出n a ，进而求得6S【详解】因为123n n a a +=--，所以()1121n n a a ++=-+，因为1120a +=≠，所以数列{}1n a +是以2为首项，以2-为公比的等比数列，所以112(2)n n a -+=⨯-，即12(2)1n n a -=⨯--，()21(2)3nn S n =---，所以()662126483S =--=-. 故答案为：48-【点睛】本题考查的是数列通项公式及前n 项和的求法，属于基础题.15．已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____． 【答案】()()22445x y -+-=【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l 的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程. 【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB 的斜率()221424A BA B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点D 在直线l 的下方，则22102t t -+>，点D 到直线l 的距离为()22121544455t t t d -+--==，当4t =时，d 5 此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=.故答案为()()22445x y -+-=.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于__________. 【答案】514【分析】设正三棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为R ，先得出4ah =，然后222433h R r =+≥=，即3a h =时其外接球的表面积取最小值。

2019-2020 学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试数学理一、选择题（本大题共12小题，每小题 5 分，共60 分。

每小题只有一个选项最符合题意。

）1．已知集合，，则（）A. B. C. D.2．已知复数的实部和虚部相等，则A. B.C. D.3．使不等式2x2－5x－3≥0 成立的一个充分而不必要条件是（）A. x<0B. x≥0C. x∈{－1，3，5}D. x≤－或x≥34．若，则=（）A. 1B.C.D.5．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测广告费用为9 万元时，销售轿车台数为（）A. 17B. 18C. 19D. 206．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（）A. B. C. D.7．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的8．已知命题 ， ；命题 ， ，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 9．函数 , 则（）A. B. C. D.的大小关系不能确定 10．函数 的定义域和值域都是 ，则 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 11．已知与 都是定义在 上的奇函 数，且当 时， （ ），若 恰有 4 个零点，则正实数 的取值范围是（ ）A. ；B. ；C.； D.12．已知定义在 上的函数 满足条件 ，且函数 是偶函 数，当 时， （ ），当 时， 的最小值为 3，则 a 的值等于（ ）-2A. B. e -2C. 2D. 1是（ ）D. D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。

请将答案填在答题纸的对应位置上。

）13．已知集合，, 若A∩B=B，则实数a的取值范围为；14．已知, 则15. 已知正实数满足，则的最大值为16．已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解, 则满足条件的所有实数的取值集合为_________ ．三、解答题（本大题共7 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. （本小题满分12分）已知命题，命题。

2018届南昌市高三摸底调研考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分.考试时间120分钟. 一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的. 已知复数z 满足(1 i)^2，则复数z 的虚部为 A . 1 B . -1 C . 设集合 A -\x|—2m x m 1, B = lx| y = log 2(x 2 A . [-2,1) 已知 sin v -1, v 3 A . -2 C .一 2 4 1. 2. 3. 4. B . (-1,1] JI (，二)，则 tanv 二 2 B . - 2 D .一辽8 n 为 5. 6. 7. 执行如图所示的程序框图，输出的 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 工X y -1 _0I 设变量x, y 满足约束条件 x -2y • 2 一 0 , 2x - y - 2 _0A . -2B . 2 已知m , n 为两个非零向量，则“A .充分不必要条件C .充要条件 如图，网格纸上小正方形的边长为 是某多面体的三视图，2A.— 3 i D . - i -2x -3)?，则 Ap|B 二 C . 3 D . m 与n 共线”是“ m n =| m n |"的 B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件1，粗实线及粗虚线画出的 则该多面体的体积为 4 B. 3 C.2 8 D.- 3 x y = cos- 函数y 二sin( )的图像可以由函数 2 6 A .向右平移一个单位长度得到 3 C .向左平移一个单位长度得到3某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必 的图像经过 2 向右平移空个单位长度得到3 向左平移—个单位长度得到 3 9. 须排在 前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 A. 120种 B. 156种 C. 188 种 D. 240种 10 .已知占棱锥P - ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， ABC 满足 A B = 2 • 2 , A C B 9,0 PA 为球O 的直径且PA 二f ，则点P 到底面ABC 的距离为 A . 2 B . 2 2 C . I 3 D . 2、3 11.已知动直线I 与圆O:x 2 • y 2 =4相交于A, B 两点，且满足| AB |=2，点C 为直线l 上一占八、、：5 uirCA ，若M 是线段AB 的中点，则 2第二象K限内一点，若直线 y = —x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线 C 的离心率为 a A . 2 B . .3 C . 、、5 D . 6 二.填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13•高三(2)班现有64名学生，随机编号为0, 1, 2,…，63,依编号顺序平均分成 8组，组号依次为1, 2, 3,…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为 ____________ .14.二项式(X-?)5的展开式中X 3的系数为 ______________ .X15•已知 ABC 的面积为2.. 3，角代B,C 所对的边长分别为 a,b,c , A ，则a 的最 3小值为 _________ . 「In(x +1) x > 016.已知函数f (x)= 2' '，若不等式I f(x)| -mx • 2 —0恒成立，则实数 m 的 I —x 2+3x,x 兰0取值范围为 __________ .三•解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第17LI 21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60分.17. (12 分)已知数列｛a n ｝的前n 项和S H =2n 1 -2，记b^a n S n (N*).(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛b n ｝的前n 项和T n .uir 且满足CBOC OM 的值为12.已知双曲线2xC : paB . 2、, 32y2 =1(a ■ 0,b ■ 0)的左右焦点分别为 F 「F 2 , P为双曲线C 上 bC. 2微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号•手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞•现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下表：(1)若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为积极型”，否则评定为懈怠型根据题意完成下面的2 2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为评定类型”与性别有关？(2)如果从小明这3人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E(X).2附: K2n ad心(a+b j(c+d [a+c)(b+d )19. (12 分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，.ABC =/ACD =90°, BAC =/CAD =60°,PA _平面ABCD , PA =2,AB =1.设M ,N分别为PD, AD的中点.(1)求证：平面CMN //平面PAB ;(2)求二面角N - PC -A的平面角的余弦值.C2 2已知椭圆C :笃•爲=：1(a b 0)的离心率为a b(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线I : y = kx • m 与椭圆C 交于M , N 两点，O 为坐标原点，若k OM k ON 求原点O 到直线I 的距离的取值范围21. (12 分)设函数 f(x)=lnx-2mx 2-n(m, n R ). (1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f (x)有最大值-ln 2，求m • n 的最小值•(二)选考题：共10分•请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分. 22.［选修4—4:坐标系与参数方程］(10分)l x —3 ' 2cos ■-在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为＜ V(口为参数)，i y = 2 2sin 二直线C 2的方程为y3x ,以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 .3(1) 求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2) 若直线C 2与曲线C 1交于P,Q 两点，求|OP| |OQ |的值•23 .［选修4—5:不等式选讲］(10分) 设函数 f (x) =|2x-3|. (1 )求不等式f(x)・5-|x ・2|的解集；二3，短轴长为22.(2)若g(x)二f (x m) f (x -m)的最小值为4，求实数m的值•20仃-2018学年江西省南昌市高三(上)摸底数学试卷(理科)参考答案与试题解析一•选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分■在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1 •已知复数z满足(1+i) z=2,贝U复数z的虚部为( )A. 1B.- 1 C . i Di【考点】A2:复数的基本概念.【专题】34 :方程思想；4R:转化法；5N :数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.【解答】解：(1+i) z=2,.z= 2〜加-i)十_ i则复数z的虚部为-1.故选：B.【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2.设集合A={x| _ 2<x< 1}，丘|尸lo呂2(兴一能-3)}，则A n B=( )A. [ _ 2, 1)B. (_ 1，1]C. [ _ 2，_ 1)D. [ _ 1, 1)【考点】1E:交集及其运算.【专题】11 :计算题；37 :集合思想；40:定义法；5J :集合.【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可.【解答】解：由B可得：x2_ 2x _ 3>0,即(x_ 3) (x+1)> 0，解得x v_ 1 或x > 3,即卩B= (_x,—1)U( 3, +x),•••集合A={x| —2<x< 1}=[ —2, 1]••• A n B=[ —2,_ 1)故选：c.【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.1 TT3 .已知sin 0 二弓，® C 它-、兀），则tan 0 （）A. - 2B. -C. 'D.—4 8【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.【专题】35 :转化思想；49 :综合法；56 :三角函数的求值.【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tan 的值.【解答】解：•••已知siM二寺，与-*兀），二cos 0 = 6 =-笃左，则tan 0 八=-二cos d 4故选：C.【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题.4.执行如图所示的程序框图，输出的门为（）【考点】EF:程序框图.【专题】11 :计算题；28 :操作型；5K :算法和程序框图.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：当n=1时，f (x) =1，满足f (x)=f (- x),不满足f (x) =0有解，故n=2;当n=2 时，f (x) =2x，不满足 f (x) =f (- x)，故n=3;2当n=3 时，f (x) =3x，满足 f (x) =f (- x)，满足 f (x) =0 有解，故输出的n为3，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.x+y-1^05.设变量x，y满足约束条件x-2y+2>0，则z=3x- 2y的最大值为(C. 3D. 4【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解 决本题的关键.6.已知m ，"为两个非零向量，贝U m 与"共线”是m? =1 m?"l”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】 7C : 简单线性规划.【专题】 11 :计算题；31 :数形结合；41 :向量法；5T :不等式.【分析】 作出约束条件 \+y-1^0^2y+2>0对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可 得到结论.\+y-l^O【解答】解：作出约束条件x-2y+2>0,对应的平面区域如图： 3 由 z=3x - 2y 得 y=^x - 3 平移直线尸K+y _l =0 i2x-y-2=0此时 Z max =3 X 1 - 0=3,x ，经过点A 时，直线yf的截距最小，此时z 最大.，解得 A (1, 0)，【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】40:定义法；5H :空间向量及应用；5L :简易逻辑.【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线的性质进行判断即可.【解答】解：当-与•-夹角为180°时，满足向量共线，，呻T 耐一耐T 耐T 耐T 呻T但m?n= - | ml ?| n|，| m?n| =| ml ? n，| 此时m?i=| m? \不成立，即充分性不成立，右m?n=| m?n|，贝U m?n=| m| ? n| cos v m，n > =| m || n|| cos v m，n >|，则| cos v m，>| =cos v m，- >，则cos v m，□>》0，即0°wv m，口>w 90°,此时m与n不一定共线，即必要性不成立，则m与•「共线”是吊？「=|爲？「|”的既不充分也不必要条件.故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量共线的定义是解决本题的关键.7 •如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(【专题】11 :计算题；5F :空间位置关系与距离；5Q :立体几何.【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥， 画出直观图，代入锥体 体积公式，可得答案.【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥， 其直观图如下图所【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积， 根据已知中的三视图分 析出几何体的形状，是解答的关键.8. 函数y=sin(y-P^)的图象可以由函数 尸c □冷的图象经过( A .向右平移 B. 向右平移,兀C.向左平移 个单位长度得到D - I【考点】L!:由三视图求面积、体积.个单位长度得到 个单位长度得到故选：AD •向左平移亍HJ :函数y=Asin （3X®的图象变换.【点评】本题主要考查函数y=Asin 的图象变换规律，属于基础题.9. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求： 节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出 顺序的编排方案共有（ ） A . 120 种 B . 156 种 C . 188 种 D . 240 种 【考点】D8:排列、组合的实际应用.【专题】11 :计算题；32 :分类讨论；35 :转化思想；50 :排列组合.【分析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论， 依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法， 由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分 3种情况讨论： ① 、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有 4个，考虑两者的顺序，有 2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有 A 33=6种安排方法， 则此时有4X 2X 6=48种编排方法； ② 、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有 3个，考虑两者的顺序，有 2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有 A 33=6种安排方法， 则此时有3X 2X 6=36种编排方法；个单位长度得到【考点】 【专题】 【分析】 【解答】 35 :转化思想；49 :综合法；57 :三角函数的图像与性质. 利用函数y=Asin （^x©）的图象变换规律，得出结论. ）的图象向右平移7 解：把函数. = .u-： ； =sin （得函数y=sin （专-今n+ 2兀个单位长度，可2故选：B .）的图象,③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3X 2X 6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A.【点评】本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素.10. 已知三棱锥P- ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ ABC满足AB二2伍，Z ACB-90^ ，PA为球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为（_）_ ——A. -B. 一C. 一D. 一【考点】MK :点、线、面间的距离计算.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；44 :数形结合法；5F :空间位置关系与距离. 【分析】推导出球心O是PA的中点，球半径R=OC=#PA二2，过O作OD丄平面ABC，垂足是D，贝U D是AB中点，且AD=BD=CD=「，从而求出OD，点P到底面ABC的距离为d=2OD.【解答】解：•••三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA为球O的直径且PA=4，•••球心O是PA的中点，球半径R=OC=*PA二2，过O作OD丄平面ABC，垂足是D，•••△ ABC 满足扭二2徒，，••• D 是AB 中点，且AD=BD=CD= 「，•••OD=二：-二•••点P到底面ABC的距离为d=2OD=2「.故选：B.【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查球、三棱锥等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题.11 •已知动直线I与圆o：x2+y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2,点C为直线I 上一点，且满足=--.■'，若M是线段AB的中点，则三、75的值为( ) A. 3 B. 一C. 2 D3【考点】9V:向量在几何中的应用.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；44 :数形结合法；5A :平面向量及应用. 【分析】由题意设动直线I为y=J5 (x+2)，表示出B，C的坐标，再根据中点坐标公式以及向量共线定理和向量的数量积即可求出【解答】解：动直线I与圆O: x2+y2=4相交于A，B两点，且满足| AB| =2，则厶OAB为等边三角形，于是可设动直线I为y W5 (x+2)，根据题意可得B (- 2, 0)，A (- 1, 一)，••• M是线段AB的中点，设 c (x，y)，* 5 事•••(- 2-x，- y) = _ (- 1-x，-y)，【点评】本题考查了向量在几何中的应用， 关键构造直线，考查了向量的坐标运 算和向量的数量积，属于中档题12•已知双曲线C ：七齐 1G>O, b>0）的左右焦点分别为Fi , F2, P 为双曲 a b 线C 上第二象限内一点，若直线v 「，恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线 C a 的离心率为（_ ） _ _ A . - B . 一 C .匚 D .—【考点】KC :双曲线的简单性质.【专题】34 :方程思想；48 :分析法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设F 2 (C , 0),渐近线方程为y 二“X ,对称点为P (m , n ),运用中点坐a标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,求出对称点的坐标，代入双曲线 的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.（—丄巫)?(—=3,【解答】解：设F2 (c, 0),渐近线方程为y=£x ,对称点为P (m, n),即有丄=—寻，m-c b且' ?n= ?丄2 2 a 5解得m= | T' , n= b ,c c将P C ,仝)，即( ，「汁)，c C C C代入双曲线的方程可得---- °; 匕=1 ,c a c b2化简可得七■- 4=1,即有e2=5 ,a解得e=.故选：C.【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1,以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力, 属于中档题.二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 高三(2)班现有64名学生，随机编号为0 , 1 , 2,…，63 ,依编号顺序平均分成8组，组号依次为1 , 2 , 3,…,8 .现用系统抽样方法抽取一个容量为8 的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为45 . 【考点】B4：系统抽样方法.【专题】11 :计算题；34 :方程思想；40:定义法；5I :概率与统计.64【分析】先求出分组间隔为… ,再由在第一组中随机抽取的号码为5，能求出在第6组中抽取的号码.【解答】解：高三（2）班现有64名学生，随机编号为0, 1, 2,…，63, 依编号顺序平均分成8组，组号依次为1, 2, 3， (8)分组间隔为,•••在第一组中随机抽取的号码为5,•••在第6组中抽取的号码为：5+5X 8=45.故答案为：45.【点评】本题考查样本号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用.14. ，：…•的展开式中含X3的系数为 -10 .（用数字填写答案）x ------------【考点】DB:二项式系数的性质.【专题】38 :对应思想；40:定义法；5P :二项式定理.【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中含x3的系数.【解答】解：V二；：展开式的通项公式为x―二瑞尸（子）匚霭（/严，令 5 -2r=3,解得r=1,所以展开式中含x3的系数为Q （-2）1 二-10.故答案为：-10.【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题.15.已知△ ABC的面积为_,角A, B, C所对的边长分别为a, b, c, , 则a的最小值为2 —.【考点】HP:正弦定理.【专题】11 :计算题；56 :三角函数的求值；58 :解三角形.【分析】利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，利用基本不等式求出 a 的最小值即可.【解答】解：由三角形面积公式得：S^bcsinA= ' bc=2 [，即bc=8,根据余弦定理得：a=b2+c2- 2bccosA=b2+c2- bc> 2bc- bc=bc=8,则a>2「，即a的最小值为2「,故答案为：2 ~ .【点评】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.16.已知函数f(x)=^，若不等式|f (x) | - mx+2> 0恒成立，则实数m的取值范围为_ —. • ° .【考点】R4:绝对值三角不等式.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；4G :演绎法；5T :不等式.【分析】将原问题转化为两个函数图象之间的关系的问题，然后数形结合即可求得最终结果.【解答】解：不等式即：mx w|f (x)|+2恒成立，绘制函数|f (x) |+2的图象，则正比例函数y=mx恒在函数|f (x) |+2的图象下方，考查函数：y=x2-3x+2经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为> - -，据此可得：实数m的取值范围为】•..・°故答案为：.-[-1 ' -【点评】本题考查了分段函数的应用，数形结合的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题.三•解答题：共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤■第仃〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）已知数列｛an｝的前n项和I」」…丄，记b n=a n S n （n€ N*）. （1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）求数列｛b n｝的前n项和T n.【考点】8E:数列的求和；8H :数列递推式.【专题】34 :方程思想；4R:转化法；54 :等差数列与等比数列.【分析】（1）利用数列递推关系即可得出.（2）禾U用等比数列的求和公式即可得出.【解答】解：（1）：当n=1时，引二Ei二戈⑷-2二2 ；当n>2 时，1又•••「；£ :?,：..」.…（6 分）（2）由（1）知，〔.•；*——"二「…: i 一.…(12 分)1-4 1-2 3 3【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18. (12分)微信已成为人们常用的社交软件，微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.手机用户可以通过关注微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞.现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如表：A 7 ：■■■：I ■：■ ■■■ I ■：■. -. ■ ■ ■■ I I ■■■ - .：：■ ：■：：：'(1)若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为积极型”否则评定为懈怠型”根据题意完成下面的2X2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为评定类型”与性别”有关？(2)如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3 人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E (X).【考点】BO :独立性检验的应用；CH :离散型随机变量的期望与方差. 【专题】38 :对应思想；4A :数学模型法；51 :概率与统计.【分析】（1）根据题意填写2X 2列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值 即可得出结论；（2）根据题意，抽取的女性人数 X 服从超几何分布， 计算X 的概率值，写出X 的分布列，计算数学期望值.【解答】解：（1）根据题意完成2X 2列联表如下：由表中数据计算•••没有90%的把握认为 评定类型”与 性别”有关；…（6分）（2）由（1）知，从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中男性 6人，女性2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为0, 1, 2；E 56厂］厂2 W — AP （X=2）=^—^18••• X 的分布列如下:20 30 6 数学期望为■ .■- :::::.【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问20_56且.丄.P （X=1）=5S 30，…（9 分）题，是中档题.19. (12 分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，/ ABC= /ACD=90，/ BAC= /CAD=60 , PA丄平面ABCD , PA=2, AB=1 .设M , N 分别为PD, AD 的中点.(1)求证：平面CMN //平面PAB;【考点】L@ :组合几何体的面积、体积问题；LU :平面与平面平行的判定；MT :二面角的平面角及求法.【专题】11 :计算题；31 :数形结合；49 :综合法；5F :空间位置关系与距离；5G :空间角.【分析】（1）证明MN // PA.推出MN //平面PAB.证明CN // AB .即可证明CN //平面PAB.然后证明平面CMN //平面PAB.（2）以点A为原点，AC为x轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCN 的法向量，平面PAC的法向量，利用空间向量的数量积求解面角N-PC —A的平面角的余弦值.【解答】解：（1）证明：：M , N分别为PD, AD的中点，…（12分）贝U MN // PA.又T MN?平面PAB, PA?平面PAB,••• MN //平面PAB.在Rt A ACD 中，/ CAD=60 , CN=AN ,•••/ ACN=60 .又•••/ BAC=60，二CN // AB .T CN?平面PAB, AB?平面PAB,A CN //平面PAB.…（4 分）又••• CN A MN=N，二平面CMN //平面PAB.…（6 分）（2）T PA丄平面ABCD，二平面PAC丄平面ACD ,又••• DC 丄AC ,平面PAC n 平面ACD=AC ，二DC 丄平面PAC ,设n = (x , y , z )是平面PCN 的法向量，贝U j 又平面PAC 的法向量为CD=C0, 2血，0),由图可知，二面角N - PC - A 的平面角为锐角，•••二面角N - PC - A 的平面角的余弦值为£「••••( 12分)【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用， 平面与平面平行的判定定 理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力，以及空间想象能力.2 z 厂分1 (a>b>0)的离心率为弓, b < (1)求椭圆C 的标准方程;（2）设直线I ：y=kx+m 与椭圆C 交于M,N 两点，0为坐标原点，若k 0H -k 0N =|,求A 为原点，AC 为x 轴, AP 为z 轴建立空间直角坐标系, 0）T C （2, CL 0）, P （0, 0. 2）, D （2,陌 0）, N （l, V5，0）,V3i 0),屁二(1,岳_2）,n-H=0—* ---- * ?ln-PN=0 _我3尸° x+^/3y _2z =O,可取二心匕:-- —i M ________ =_ 2忑=街 j 打=_「_ = L， 20. (12分)已知椭圆- 短轴长为2.如图，以点原点0到直线I的距离的取值范围.【考点】K4:椭圆的简单性质.【专题】15 :综合题；34 :方程思想；4P:设而不求法；5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】（1）由已知求得b,再由椭圆离心率及隐含条件求得a,则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0 求得m2v4k2+1，再由比诚叱帥今，可得，从而求得k的范围，再由点到直线的距离公式求出原点0到直线I的距离，贝U取值范围可求.【解答】解：（1）设焦距为2c，由已知「——，2b=2，A b=1，a 2又a2=1+c2，解得a=2，2 “•••椭圆C的标准方程为—I-- | ；(2)设M (x i，y i)，N (X2，y2)，y=kx4-jn联立*/ 9得(4k2+1) x2+8kmx+4m2—4=0，依题意，△ = (8km) 2—4 (4k2+1) (4m2—4)> 0，化简得m2v4k2+1，①8km，」4k'+l 4k^+l2 ■->…I ，一I 二一■ ./■ 1/ _ - .1 - j.-:二二'、 1.1 ，5 71^2 5若k oM*k oN=7，则，即令必二女风，2 2I ，: :. : I 1..・，•••（4k「5）•如工计业时（一）+加2二。

2020 届高三摸底测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B B B A C D C B C A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分．813．24014．3 15．316．3三．解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第 17 题-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分．17．【解析】（Ⅰ）因为sin(2 ) , (0, ) CC π3 C π ,即2 π ( π , 2π)32 23 3 3即 π2C C………2 分π π 3 3 3 2 2 2 32所以sin A，………4 分sinsin2A3又因为ac ，所以0π ，因此 πA CA ；………6 分3 4（Ⅱ）在ABC 中，由c 2 a 2 b 2 2ab cos C ,得12 a 2 b 2 abab …8 分 1sin 3 3 ， Sab CABC2当且仅当时a b ，即ABC 为等边三角形时，上式等号成立，………10 分，所以面积的最大值是．………12 分ABC 3 31 118.【解析】（Ⅰ）连接AE，AF ，在ABC中，AB AC BCAEsin 1202 2故AE 1.由于三棱柱 1 ，ABC A B C是直三棱柱，故AA 平面ABC AA AE1 1 1 11直角三角形A1 AE中，因为AA 1 3 ，AE 1，所以A1E 2 EF ，2AEA E1 为直角，即A E AF又因AFE 1 . ………3 分EF AE再由E为BC 中点并且ABC为等腰三角形可知AE BC,1 ，AA AE A1结合AA BC 1 得BC 平面A AE ，BC AF，综合A1E AF，BC AF，BC A E E，得到AF 平面A BC，………6 分1 1（Ⅱ）由于AE BC，如图以点E为坐标原点建立空间直角坐标系，AEBE 3 ，故B3, 0, 0，A ，E 0,0,0，1 0, 1, 3 B 1 3, 0, 3 ，tan 60—理科数学（摸底）答案第1 页—3, 0,0，，EBEA 10,1, 3EB, 0,33，设面BA En 1 x , y , z ，111B 11 法向量为1222面B A E n 2 x , y , z ，nn EB 0 3xz,得11，取 1110,3,1，n EA 0y 3z 01111nB，取z 21，得2(1, 3,1)n EBx z 0 332122n EAy3z 02122，yA 1 A zFEC 1Cxnn42 512则二面角B A 1E B 1 的余弦值cos. ………12 分4 5 5 nn1219.【解析】（Ⅰ）获得三等奖学金的频率为：(0.0080.016 0.04)50.15(0.045000.32 160， 0.056 0.016) 5 0.4 (0.016 0.008) 5 0.4 0.32 故这 500 名学生获得专业三等奖学金的人数为160人. ………3 分（Ⅱ）每周课外学习时间不超过 35 小时的“非努力型”学生有5000.008 0.016 0.04 0.04 0.056 0.016 5 440 人，………4 分其中获得一、二等奖学金学生有5000.0080.016 0.0450.055000.040.056 0.01650.250.0592 (5)分每周课外学习时间超过35 小时称为“努力型”学生有5000.12 60人，………6 分其中获得一、二等奖学金学生有600.350.2536 人,………7 分列2 2 联表如图所示：“非努力型”学生“努力型”学生总计获得一二等奖学金学生92 36 128未获得一二等奖学金学生348 24 372总计440 60 50022 500 348 36 92 24K42.36 10.8344060128372故有99.9%的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关；…8 分（Ⅲ）X的可能取值为0,600,1500,3000P(X600) 0.32, P(X1500) 0.198, P(X3000) 0.058,P X………11 分( 0) 1 0.32 0.198 0.058 0.424其期望为EX00.424 6000.32 15000.19830000.058=192+297+174=663元.………12 分—理科数学（摸底）答案第2 页—。

江西省南昌市2020届高三第三次模拟考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()1i z i +=为虚数单位)，则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{A x =|||1},{1,0,}(0)x a B b b -==>，若A B ，则对应的实数(),a b 有A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分(10分制)的频数分布表如下设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x <<D ．0e m m x <<4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．3πB ．9πC ．12π．36π5．在ABC ∆中，D 为线段AB 上一点，且BD=3AD ，若,CD CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r 则λμ= A. 13 B ．3 C. 14D ．4 6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,1,c b a b c a b a c+=++则下列说法不一定成立的是 A ．△ABC 可能为正三角形 B ．角A ，B ，C 为等差数列C ．角B 可能小于3π D ．角B+C 为定值 7．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>的最小正周期为π，若将其图像沿x 轴向右平移m(m>0)个单位，所得图像关于3x π=对称，则实数m 的最小值为 A.4πB ．3π C.34πD ．π 8．函数()s ,0(1co f x x x x x x ππ⎛⎫=--≤≠ ⎪⎝⎭且）…的图象可能为9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束)．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为A ．0.162B ．0.18C ．0.168D ．0.17410．已知双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的右支上， 1MF 与y 轴交于点2,A MAF ∆的内切圆与边2AF 切于点B ，若12||4||,F F AB =则C 的渐近线方程是A 0y ±=B ．0x ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=11．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20,210,45⨯⨯=种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解.当(),N p q p q q p +≤⨯∈且是正整数n 的最佳分解时，定义函数(),f n q p =-则数列(){}()N 3nf n +∈的前100项和100S 为A ．5031+B ．5031-C ．50312-D ．50312+ 12．已知函数()()|2|4ln 1,()x f x e g x -=+=2,0,2,0a x x a x x +-≥⎧⎨--<⎩若存在a [](),1,Z n n n ∈+∈使得方程()()f x g x =有四个不同的实根，则n 的最大值是。

2019-2020学年江西省南昌市高三上学期开学摸底考试数学理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项最符合题意。

）1．已知集合，，则 ( )A. B. C. D.2．已知复数的实部和虚部相等，则A. B.C. D.3．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是（）A. x＜0B. x≥0C. x∈{－1，3，5}D. x≤－或x≥34．若，则=（）A. 1B.C.D.5．某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）A. 17B. 18C. 19D. 206．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（）A. B. C. D.7．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）.A. A B. B C. C D. D8．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.9．函数,则（）A. B.C. D. 的大小关系不能确定10．函数的定义域和值域都是，则（）A. 1B. 2C. 3D. 411．已知与都是定义在上的奇函数，且当时，（），若恰有4个零点，则正实数的取值范围是（）A. ；B. ；C. ；D. ．12．已知定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，（），当时，的最小值为3，则a 的值等于（）A. B. e-2 C. 2 D. 1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题纸的对应位置上。

）13．已知集合，,若A∩B=B，则实数a 的取值范围为；14．已知,则15.已知正实数满足，则的最大值为16．已知函数若关于的方程恰有三个不同的实数解,则满足条件的所有实数的取值集合为_________．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分12分)已知命题，命题。

第一次模拟测试卷理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x N y =∈=，{}21,B x x n n Z ==+∈，则A B =I ( ) A.(],4-∞B.{}1,3C.{}1,3,5D.[]1,32.欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”。

根据欧拉公式可知，3x i e 表示的复数位于复平面中的( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知角α的终边经过点()sin 47,cos 47P °°，则()sin 13α-=°( ) A.12C.12-D. 4.已知奇函数()'f x 是函数()()f x x R ∈是导函数，若0x >时()'0f x >，则( ) A.()()()320log 2log 3f f f >>- B.()()()32log 20log 3f f f >>- C.()()()23log 3log 20f f f ->>D.()()()23log 30log 2f f f ->>5.设不等式组3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为M ，若直线y kx =经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( ) A.1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦B.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.平面内直角三角形两直角边长分别为,a b，间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为123,,S S S则三棱锥顶点到底面的距离为( )7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为( )A.33 64+ B.152C.63+ D.88.执行如图程序框图，则输出的n等于( )A.1B.2C.3D.49.函数()()()2sinx xe e xf x xeππ-+=-≤≤的图象大致为( )A B C D10.已知具有线性相关的五个样本点()10,0A，()22,2A，()33,2A，()44,2A，()56,4A，用最小二乘法得到回归直线方程1:l y bx a=+，过点1A，2A的直线方程2:l y mx n=+，那么下列4个命题中，①,m b a n>>；②直线1l过点3A；③()()552211i i i ii iy bx a y mx n==--≥--∑∑④5511i i i ii iy bx a y mx n==--≥--∑∑.(参考公式()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix y nxy x x y ybx nx x x====---==--∑∑∑∑，a y bx=-)正确命题的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个11.设函数()1,121,1x ax af xx a x a-⎧⎛⎫<+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+-≥+⎩，若()f x的最大值不超过1，则实数a的取值范围为( )A.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭C.5,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.35,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭12.已知椭圆22:12412x yE+=，O为坐标原点，,A B是椭圆上两点，,OAOB的斜率存在并分别记为OAk、OBk，且12OA OBk k⋅=-，则11OA OB+的最小值为( )A.2B.13C.2D.2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()3121xx⎛⎫+-⎪⎝⎭展开式中的常数项为________________.14.平面向量()1,a m=r，()4,b m=r，若有()()20a b a b-+=r r r r r，则实数m=________________.15.在圆224x y+=上任取一点，则该点到直线220x y+-=的距离[]0,1d∈的概率为________________.16.已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的200公里处，若()24cos25αβ-=，则v=__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等比数列{}n a的前n项和为n S，满足4421S a=-，3321S a=-.(1)求{}n a的通项公式；(2)记()21logn n nb a a+=⋅，数列{}n b的前n项和为n T，求证：121112nT T T+++<….18.某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[]50,100，按照区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.(1)完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；(2)从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)80,90发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望.19.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，132AB BC AP AD ====，AC BD O =I ，过O 点作平面α平行于平面PAB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H .(1)求GH 的长度；(2)求二面角B FH E --的余弦值.20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，124y y =-.(1)求抛物线方程；(2)点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD △面积的最小值及此时直线AD 的方程.21.已知函数()()ln f x ax bx =+在点()()1,1f 处的切线是0y =. (1)求函数()f x 的极值；(2)当()()210x mx e f x x m e e-≥+<恒成立时，求实数m 的取值范围(e 为自然对数的底数).22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 的极坐标方程；(2)若直线12,l l 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()2=3R πθρ∈，设直线12,l l 与曲线C 的交点为O ，M ，N ，求OMN △的面积.23.已知()223f x x a =+.(1)当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；(2)对于任意实数x ，不等式()212x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.第一次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二.13．4 14. 2± 15.1316.100 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17.【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由434S S a -=得，43422a a a -=, 所以432a a =， 所以2q =. 又因为3321S a =-， 所以11112481a a a a ++=-， 所以11a =. 所以12n n a -=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1212log ()log (22)21n n n n n b a a n -+=⋅=⨯=-，所以21(21)2n n T n n +-==， 所以22212111111111+++1121223(1)n T T T n n nL L L +++=<++++创- 11111111222231n n n=+-+-++-=-<-L .18.（Ⅰ）依题意得2240(12202820) 3.333 2.70640403248K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”（Ⅱ）从乙班[70,80),[80,90),[90,100]分数段中抽人数分别为2，3，2… 依题意随机变量X 的所有可能取值为0123，，，2134343377418(0),(1),3535C C C P X P X C C ======1234333377121(2),(3)3535C C C P X P X C C ====== 所以18121459()123353535357E X =???= 19. 【解析】（Ⅰ）【法一】（Ⅰ）因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF Î，平面PAB I 平面ABCD AB =，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ，因为BC ∥,6,3AD AD BC ==，所以BOC D ∽DOA D ，且12BC CO AD AO ==，所以12EO OF =，11,23CE CB BE AF ====，同理13CH EH CO PC PB CA ===，连接HO ，则有HO ∥PA ， 所以HO EO ⊥，1HO =，所以13EH PB ==，同理，223FG PA ==，过点H 作HN ∥EF 交FG 于N ，则GH ==【法二】因为//a 平面PAB ，平面a I 平面ABCD EF =，O EF Î, 平面PAB I 平面ABCD AB =，根据面面平行的性质定理，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ， 因为//,2BC AD AD BC =,所以BOC DOA ∽D D ，且12BC CO AD OA ==, 又因为COE D ∽AOF D ，AF BE =,所以2BEEC =， 同理2AF FD =,2PG GD =，123,233EF AB EH PB FG AP ====== 如图：作//,,//,HN BC HN PB N GM AD GM PA M ==I I 所以//,HN GM HN GM =，故四边形GMNH 为矩形，即GH MN =, 在PMN D 中,所以MN ==，所以GH =（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系(3,0,0),(0,2,0),(3,2,0),(2,2,1)B F E H ,(1,2,1),(2,0,1)BH FH =-=u u u r u u u r , 设平面BFH 的法向量为(,,)n x y z =r, 2020n BH x y z n FH x z ìï?-++=ïíï?+=ïîr u u u r r u u u r ,令2z =-，得3(1,,2)2n =-r , 因为平面//EFGH 平面PAB ，所以平面EFGH 的法向量(0,1,0)m =u r3cos ,||||m nm n m n ×===u r ru r r u r r ，二面角B FH E -- 20.【解析】（Ⅰ）依题意(,0)2pF ， 当直线AB 的斜率不存在时，2||4,2AB p p =-=-= 当直线AB 的斜率存在时，设:()2p AB y k x =-由22()2y pxpy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化简得2220p y y p k --= 由124y y =-得24p =，2p =，所以抛物线方程24y x =.（Ⅱ）设00(,)D x y ，2(,)4t B t ，则(1,)E t -，又由124y y =-，可得244(,)A t t-因为2EF t k =-，AD EF ⊥，所以2AD k t =，故直线2424:()AD y x t t t+=- 由2248240y xx ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩， 化简得2216280y ty t ---=，所以10102162,8y y t y y t +==--. 所以10|||AD y y =-==设点B 到直线AD 的距离为d，则22222816|4||8|t t t d ---++== 所以1||162ABD S AD d ∆=⋅=≥，当且仅当416t =，即2t =± 2:30t AD x y =--=时，, 2:30t AD x y =-+-=时，.21. 【解析】（Ⅰ）因为()ln()f x ax bx =+，所以1()a f x b b ax x¢=+=+， 因为点(1,(1))f 处的切线是0y =，所以(1)10f b ¢=+=，且(1)ln 0f a b =+= 所以,1a e b ==-，即()ln 1f x x x =-+（(0,)x ??） 所以11()1xf x x x-¢=-=，所以在(0,1)上递增，在(1,)+?上递减 所以()f x 的极大值为(1)ln 10f e =-=，无极小值.（Ⅱ）当21()x mx ef x x ee-?(0)m <在(0,)x ??恒成立时, 由（Ⅰ）()ln 1f x x x =-+， 即ln 112x mx x e x e+?+(0)m <在(0,)x ??恒成立， 【法一】设ln 11(),()2e e x mx x g x h x x +==+-，则(1)()e x m x g x -'=，2ln ()xh x x '=-， 又因为0m <，所以当01x <<时，()0,()0g x h x ''<>；当1x >时，()0,()0g x h x ''><. 所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，min ()(1)emg x g ==； ()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max 1()(1)1eh x h ==-.所以(),()g x h x 均在1x =处取得最值，所以要使()()g x h x ≥恒成立， 只需min max ()()g x h x ≥，即11e em ≥-，解得1e m ≥-，又0m <， 所以实数m 的取值范围是[10)e ，-. 【法二】设ln 11()2x x mx g x x e e +=--+（(0,)x ??），则2ln (1)()xx m x g x x e --¢=+当01x << 时，ln 0x ->，10x -<，则2ln 0x x ->，(1)0xm x e->，即()0g x ¢> 当1x > 时，ln 0x -<，10x ->，则2ln 0x x -<，(1)0xm x e-<，即()0g x ¢< 所以()g x 在(0,1)x Î上单调递增，在(1,)x ??上单调递减. 所以max 1()(1)120m g x g e e ==-+-?，即11m e e?，又0m < 所以实数m 的取值范围是[10)e ，-. 22. 【解析】（Ⅰ）由参数方程2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=+⎩2，得普通方程22(2)4x y -+=，所以极坐标方程2222cos sin 4sin 0r q r q r q +-=，即4sin r q =. （Ⅱ）直线()1π:R 6l q r =?与曲线C 的交点为,O M ，得||4sin 26M OM pr ===，又直线()22π:R 3l q r =?与曲线C 的交点为,O N ，得2||4sin 3N ON pr ===且2MON π∠=，所以11||||222OMN S OM ON D ==创. 23. 【解析】（Ⅰ）当0a =时，()|2||2||2|3f x x x x +-=+-?，0223x x x ì<ïïíï-+-?ïî 得13x ?；02223x x x ì＃ïïíï+-?ïî 得12x ＃；2223x x x ì>ïïíï+-?ïî 得2x >，所以()|2|2f x x +-?的解集为1(,][1,)3-?+?U . （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，即2|21||23|2x x a a +-+<恒成立， 又因为222|21||23||2123||31|x x a xx a a +-+?--=-，要使原不等式恒成立，则只需2|31|2a a -<，当0a <时，无解；当03a＃时，2132a a -<，解得133a <?；当3a >时，2312a a -<，解得13a <<. 所以实数a 的取值范围是1(,1)3.。

江西省南昌市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知()1i i z +=（i 为虚数单位），在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求出复数z ，写出z ，即得z 对应的点所在的象限.【详解】()11111,122222i i i z i z i i -===+∴=-+，∴复数z 的共轭复数z 对应的点是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.2. 设集合{}1A x x a =-=，{}()1,0,0B b b =>，若A B ⊆，则对应的实数(),a b 有( ) A. 1对 B. 2对C. 3对D. 4对【答案】B 【解析】 【分析】先解出集合A ，再根据集合的包含关系，即可确定．【详解】因为{}{}11,1A x x a a a =-==-+，若A B ⊆，而{}()1,0,0B b b =>，()()112a a +--=，所以，只能101a a b -=⎧⎨+=⎩或111a a b -=⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或23a b =⎧⎨=⎩． 故选：B ．【点睛】本题主要考查集合包含关系的理解，属于基础题．3. 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 310 63222设得分的中位数为e m ，众数为0m ，平均数为x ，则（ ） A. 0e m m x ==B. 0e m m x =<C. 0e m m x <<D.0e m m x <<【答案】D 【解析】 【分析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可． 【详解】由图知，众数是05m =； 中位数是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6， 所以中位数是565.52e m +==； 平均数是()1233410566372829210630x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈； ∴0e m m x <<． 故选：D ．【点睛】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题． 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 3πB. 9πC. 12πD. 36π【答案】A 【解析】 【分析】根据题意还原几何体，根据圆锥的体积计算公式，即可容易求得.【详解】根据三视图可知，该几何体是底面半径为3，高为4的四分之一圆锥.故其体积211343V r h ππ=⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆锥体积的求解，属综合基础题.5. 在ABC 中，D 为线段AB 上一点，且3BD AD =，若CD CA CB λμ→→→=+，则λμ=( )A.13B. 3C.14D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据3BD AD =，以,CA CB →→为基底，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】3BD AD =3331()4444CD CB BD CB BA CB CA CB CA CB →→→→→→→→→→∴=+=+=+-=+，又CD CA CB λμ→→→=+，31,44λμ∴==，3λμ∴=， 故选：B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了向量的加法、减法，基底的概念，属于中档题.6. 在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，1c b a b a c+=++，则下列说法不一定成立的是( )A. ABC 可能为正三角形B. 角,,A B C 为等差数列C. 角B 可能小于3π D. 角B C+定值【答案】B 【解析】 【分析】已知条件化简可得222c b a bc +-=，根据余弦定理可解得3A π=，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】1c b a b a c+=++, ()()()()c a c b a b a c a b ∴+++=++,化简可得：222c b a bc +-=，2221cos 222c b a bc A bc bc +-∴===，即3A π=，23B C π+=. 所以ABC 可能为正三角形，角B 可能小于3π,角B C +为定值,一定成立，只有当A B C ==时，角,,A B C 为等差数列，所以角,,A B C 为等差数列不一定成立. 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查逻辑推理能力，属于基础题. 7. 已知函数()()22sin0f x x ωω=>的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移()0m m >个单位，所得图象关于3x π=对称，则实数m 的最小值为( )A.4π B.3π C.34π D. π【答案】B 【解析】 【分析】先利用降幂公式将函数式化简为cos()y A x k 的形式，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m 的值． 【详解】化简得()cos21f x x ω=-+， ∵函数()f x 的最小正周期为π1ω∴=，所以()cos21f x x =-+，将其图象沿x 轴向右平移(0)m m >个单位，所得图象对应函数为cos(22)1y x m =--+， 因为其图象关于3x π=对称，则有2cos(2)13m π-=±， ∴223m k ππ-=，k Z ∈，解得32k m ππ=-，k Z ∈ 由0m >，实数m 的最小值为3π． 故选：B ．【点睛】本题考查考生对余弦型三角函数的图象变换与性质，考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力．8. 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.9. 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1.则甲以3:1取得胜利的概率为( ) A. 0.162 B. 0.18C. 0.168D. 0.174【答案】D 【解析】 【分析】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件1234,,,A A A A ，则所求概率()1234P P A A A A =()()12341234P A A A A P A A A A ++，再根据概率的计算公式即可求得答案．【详解】解：设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件1234,,,A A A A ， 由题意，甲要以3:1取得胜利可能是1234A A A A ，1234A A A A ，1234A A A A ， ∴由概率得，甲以3:1取得胜利的概率()1234P P A A A A =()()12341234P A A A A P A A A A ++0.50.60.30.6=⨯⨯⨯0.50.40.50.6+⨯⨯⨯0.50.40.50.6+⨯⨯⨯ 0.174=，故选：D ．【点睛】本题主要考查独立事件概率乘法公式的应用，属于基础题．10. 知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF 的内切圆与边2AF 切于点B .若124||FF AB =，则C 的渐近线方程为( )0y ±=B. 0x ±=C. 20x y ±=D. 20x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的定义和内切圆的性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，可求出渐进线方程.【详解】如图所示：设,,G B N 分别为2MAF 三边与其内切圆的切点，圆心为I . 已知MGI △≌MNI △，2F BI △≌2F NI △,AGI △≌ABI △. 即22,,NM MG AG AB F B F N === 由双曲线的定义有：122MF MF a -=.则121212MF MF MF MN NF MF MG BF -=--=--222AF BF AG AB AG AB =-+=+=.所以22AB a =,即AB a =.又124F F AB =. 所以24c a =，又222+=a b c ，解得3ba=. 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为：3b y x x a=±=±.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、性质和渐进线方程，考查圆的切线性质，属于中档题. 11. 将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的.我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且,N p q +∈）是正整数n 的最佳分解时，定义函数()f n q p =-，则数列(){}()N3nf n +∈的前100项和100S 为( )A. 5031+ B. 5031-C. 50312-D. 50312+【答案】B 【解析】 【分析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(3)330nnn f =-=； 当n 为奇数时，111222(3)3323n n n n f +--=-=⨯， 所以01400912(333)S =++⋯+，5031231-=-，5031=-．故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12. 已知函数()()|2|4ln 1x f x e -=+，()2,02,0a x x g x a x x +-≥⎧=⎨--<⎩，若存在[]()Z ,1a n n n ∈+∈，使得方程()()f x g x =有四个不同的实根，则n 的最大值是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】依题意，转化可得函数()()2222ln ,0()ln ,0x x x x e e x F x ee x ----+⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩与直线y a =有且仅有四个不同的交点，且易发现函数()F x 为偶函数，利用导数研究函数()F x 的性质，作出函数图象，观察图象可得实数a 的取值范围，进而得到n 的最大值.【详解】令()()2424ln 1(2),0()()()ln 1(2),0x x e x a x h x f x g x e x a x ---⎧+---≥⎪=-=⎨+++-<⎪⎩，则()()()()24222242221ln ln ,0()ln 1ln ,0x x xx x x x x e a e e a x e h x e e a e e a x ------+--+⎧⎛⎫+-=+-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎡⎤+-=+-<⎪⎣⎦⎩， 依题意，函数()()2222ln ,0()ln ,0x x x x e e x F x ee x ----+⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩与直线y a =有且仅有四个不同的交点，易知函数()F x 为偶函数，故先研究0x ≥时的情况，当0x ≥时，2222()x xx xe e F x e e--'---=+， 令()0F x '<，解得02x ≤<，令()0F x '>，解得2x >，故函数()F x 在()0,2上单调递减，在()2+∞，上单调递增，且()()2ln 2F x F ==极小值， 由偶函数的对称性，可作出函数()F x 的图象，如下图所示，由图可知，()()22ln 2ln a e e -∈+，，又0ln 21<<，()222ln 3e e -<+<，∴n 的最大值为2， 故选：C.【点睛】本题考查函数与导数的综合运用，考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想与数形结合思想，将问题转化为函数()F x 的图象与直线y a =有且仅有四个不同的交点，进而通过数形结合确定实数a 的取值范围是解题的关键，属于难题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分. 13. 执行如图所示的框图程序，输出的结果S =_________.【答案】5 【解析】 【分析】列出前几步循环，可得出输出的S 为数列(){}1nn -⋅的前10项和，进而可求得结果.【详解】第一次循环，1S =-，112n =+=，10n >不成立； 第二次循环，12S =-+，213n =+=，10n >不成立； 第三次循环，123S =-+-，314n =+=，10n >不成立；依此类推，最后一次循环，12310S =-+-++，10111n =+=，10n >成立. 跳出循环体，输出的S 为123105S =-+-++=.故答案为：5.【点睛】本题考查利用循环结构框图计算输出结果，一般列举出循环的每一步，找出规律，考查计算能力，属于基础题.14. 已知函数()||22x f x x =+，21log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.17n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系是_________.【答案】p m n >> 【解析】 分析】利用函数的奇偶性与单调性，结合自变量的大小，求解即可．【详解】解：∵||2()2x f x x =+，定义域为R ， ∴()()2||()2x x f x x f --=+-=，∴函数()f x 为偶函数，且易知函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∵221|log |log 3(1,2)3=∈，0.17(0,1)-∈，42log 25log 5(2,3)=∈， ∴p m n >>， 故答案为：p m n >>．【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于基础题．15. 已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6tan 3παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭__________. 【答案】13- 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，对三角函数表达式进行变形应用． 【详解】5cos cos cos ,666πππααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭tan tan cot 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5cos cos cos sin 16666sin 63tan cot cos 366ππππααααπαπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴===-+=- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-【点睛】本题考查了三角函数诱导公式和同角三角函数关系式的综合应用．熟练掌握“奇变偶不变，符号看象限”的判断原则，属于中档题． 16. 已知长方体1111ABCD A B C D -，32AB =，2AD =，1AA =已知P 是矩形ABCD内一动点，1PA 与平面ABCD 所成角为3π，设P 点形成的轨迹长度为α，则tan α=_________；当1C P 的长度最短时，三棱锥1D DPC -的外接球的表面积为_____________.【答案】(1). -292π【解析】 【分析】先确定1PA 与平面ABCD 所成角为1APA ∠,即得2AP =，从而根据弧长公式得α，再根据二倍角正切公式得结果；先确定1C P 的长度最短时P 点位置，再确定三棱锥1D DPC -的外接球的球心，根据DPC △外接圆半径求得球半径，即得球的表面积. 【详解】因长方体1111ABCD A B C D -中1AA ⊥平面ABCD ，所以1PA 与平面ABCD 所成角为1APA ∠, 因为1PA 与平面ABCD 所成角为3π，所以13APA π∠=因为1AA =2AP = 从而P 点形成的轨迹为以A 为圆心，2为半径的圆在矩形ABCD 内一段圆弧DM ，设其圆心角为θ，则332sin tan 24θθ==∴=因此22tan tan tan 21tan 17θαθθ====---因为1C P =所以CP 最小时，1C P 长度最短，此时P 为AC 与上面圆弧DM 的交点,设DPC △外接圆圆心为1O ，半径为r，4cos 5ADCAD AC∠====则3322 2sin sin()cos222CDrCAD CADCPDπ===∠∠∠-2299954441cos48cos12252rCAD CAD====∠+∠+设三棱锥1D DPC-的外接球的球心为O，半径为R,从而222211529388R OO O C=+=+=因此球的表面积为22942Rππ=故答案为：37-292π【点睛】本题考查线面角、立体动点轨迹、三棱锥外接球表面积，考查空间想象能力以及运算能力，属较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 已知数列{}n a中，12a=，112pnn na a++=（p为常数）.（1）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值. （2）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？若存在，求{}n a 的前n 项和n S ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1；（2）存在，122n n S +=-.【解析】 【分析】（1）首先利用递推公式112pn n n a a ++=求出24,a a 的值，再根据1a -，212a ，4a 成等差数列得到241a a a =-，代入数值即可得到答案.（2）首先假设存在p ，使得{}n a 是等比数列，根据2213a a a 求出2p =，再验证即可.【详解】（1）当1n =时，111222222p p p a a a ++⇒===，当2n =时，212123312222p p p p a a a +++=⇒==，当3n =时，3131344212222p p p p a a a +++=⇒==，因为1a -，212a ，4a 成等差数列，则241a a a =-，即：2222p p =-. 整理得：2(2)22(22)(21)0p ppp--=-+=， 因20p >，解得22p =，即1p =.（2）假设存在p ，使得{}n a 是等比数列.由（1）知：12a =，22p a =，132p a +=，得到2213a a a ，即21(2)22p p +=⋅，则22p p =+，2p =.此时2112n n n a a ++=，23122n n n a a +++=，则23122211242n n n n n n n n a a a a a a ++++++===，又因为221222a a ==，所以存在实数2p=，使得{}n a是等比数列.其前n项和()12122212nnnS+-==--.【点睛】本题第一问考查数列递推公式，同时考查了等差中项的性质，第二问考查等比数列的判断，同时考查了等比数列前n项和的计算，属于中档题.18. 三棱柱111ABC A B C-中，2AB=，2BC=，2AC=，四边形11ABB A为菱形，且160ABB∠=︒，1AC CC⊥.（Ⅰ）求证：平面11ABB A⊥平面11BB C C；（Ⅱ）求1BB与平面ABC的夹角正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；21.【解析】【分析】（1）利用线面、面面垂直的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值等于直线和平面所成角的正弦值即可.【详解】（Ⅰ）取1BB中点O，连接1AB，OA，OC，菱形中160ABB∠=︒，故三角形1ABB是等边三角形，则1AO BB⊥，1BO=，3AO=又11//BB CC，1AC CC⊥，所以1AC BB⊥，又1AO BB⊥，AO AC A⋂=，故1BB⊥平面AOC，所以1BB CO⊥，在Rt BOC中，221CO BC BO-=，所以222CO AO AC +=，故CO AO ⊥， 又1AO BB ⊥，所以AO ⊥平面11BB C C ，又AO ⊆平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）以O 为原点，如图建立空间直角坐标系， 则)3,0,0A，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()3,1,0BA =-，()0,1,1BC =-，设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =，由m BAm BC ⎧⊥⎨⊥⎩，得00m BA m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即30x y y z -=-+=⎪⎩，令3x ，知3y =，3z =，所以()3,3,3m =，设1BB 上的单位向量为()0,1,0n =，则1BB 与平面ABC 的夹角正弦值21sin cos ,||||7m n m n m n θ⋅=〈〉==⋅.【点睛】本题主要考查面面垂直的证明和线面角，主要考查学生的计算能力，属于中档题. 19. 在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败.根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图.（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为()11911,2,31010n n P n P n --⎛⎫+= ⎪⎝=⎭，其中i P 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且1P 定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立.①求该团队挑战成功的概率；②该团队以i P 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望.【答案】（1）0.026a =，0.024b =，甲在1分钟内解密成功的频率0.9；（2）①0.999361；②详见解析，() 1.109E X =. 【解析】 【分析】（1）根据中位数左右两边的矩形面积之和均为0.5可求得a 、b 的值，并根据频率分布直方图求得甲在1分钟内解密成功的频率；（2）①由（1）得出10.9P =，求出2P 、3P 的值，由此得出该团队挑战成功的概率为()()()1231111P P P ----；②由题意可得出随机变量X 的可能取值有1、2、3，利用独立事件的概率乘法公式计算出随机变量X 在不同取值下的概率，据此可得出随机变量X 的分布列，结合期望公式可计算出X的数学期望值.【详解】（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，()0.0150.014550.034547450.040.5a ∴⨯+⨯++⨯+-⨯=，解得0.026a =，0.0430.032550.01100.5b ⨯+⨯++⨯=，解得0.024b =，由频率分布直方图知，甲在1分钟内解密成功的频率是10.01100.9f =-⨯=；（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为10.9P =， 第二个出场选手解密成功的概率为2910.910.911010P =⨯+⨯=， 第三个出场选手解密成功的概率为23910.920.9291010P ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭， 所以该团队挑战成功的概率为()()()123111110.10.090.0710.999361P P P P =----=-⨯⨯=； ②由①可知按()1,2,3i P i =从小到大的顺序的概率分别1P 、2P 、3P ， 根据题意知X 的取值为1、2、3，则()10.9P X ==，()()210.90.910.091P X ==-⨯=，()()()310.910.910.009P X ==-⨯-=，所以所需派出的人员数目X 的分布列为：X 1 2 3因此，()10.920.09130.009 1.109E X =⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查利用频率分布直方图中的中位数求参数，同时也考查概率的计算、随机变量分布列以及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20. 在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1（，0），A 2，0），再取两个动点N 1（0，m ），N 2（0，n ），且mn ＝2.（1）求直线A 1N 1与A 2N 2交点M 的轨迹C 的方程；（2）过R （3，0）的直线与轨迹C 交于P ，Q ，过P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP RQ λ=（λ＞1），求证：NF FQ λ=.【答案】（1）2262x y +=1（x ）；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意先写出两直线的方程，再根据条件化简即可求得答案；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），设l ：x ＝ty +3，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理得y 1+y 2263t t =-+且y 1y 2233t =+，根据题意得 x 1﹣3＝λ（x 2﹣3），y 1＝λy 2，再代入即可证明结论．【详解】（1）解：依题意知直线A1N 1的方程为：y =x ）…①；直线A2N 2的方程为：y =x 设Q （x ，y ）是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①、②相乘，得y 26mn=-（x 2﹣6） 由mn ＝2整理得：2262x y +=1∵N 1、N 2不与原点重合，可得点A 1，A 2不在轨迹M 上，∴轨迹C 的方程为2262x y +=1（x）； （2）证明：设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0. 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 1，﹣y 1），可得y 1+y 2263t t =-+且y 1y 2233t =+， RP RQ λ=，可得（x 1﹣3，y 1）＝λ（x 2﹣3，y 2），∴x 1﹣3＝λ（x 2﹣3），y 1＝λy 2， 证明NF FQ λ=，只要证明（2﹣x 1，y 1）＝λ（x 2﹣2，y 2），∴2﹣x 1＝λ（x 2﹣2），只要证明11223232x x x x --=---，只要证明2t 2y 1y 2+t （y 1+y 2）＝0， 由y 1+y 2263t t =-+且y 1y 2233t =+，代入可得2t 2y 1y 2+t （y 1+y 2）＝0， ∴NF FQ λ=．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题． 21. 已知()()21ln 112a x a x f x =+-+（a ∈R ）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()12211212x f x x f x mx x x x ->-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）5112em ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，通过①当1a 时，②当01a <<时，③当0a 时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）当1a =-时，2()ln 1f x x x =--+，不妨设120x x <<，则12211212()()||x f x x f x mx x x x ->-等价于212121()()||()f x f x m x x x x ->-，考查函数()()f x g x x=，求出导函数，令22ln 2()x x h x x --=，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明()g x 在(0,)+∞上单调递减．得到1122()()g x mx g x mx +>+恒成立，设()()x g x mx ϕ=+，则()ϕx 在(0,)+∞上恒为单调递减函数，然后转化求解m 的范围即可．【详解】（1）()()()211a x a aa x x x xf -+='+-=（0x >）.①当1a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；②当01a <<时，()()1a x f xx x ⎛- ⎝⎭⎝⎭'=，所以当x >()0f x '<，当0x <<()0f x '>， 所以()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫⎪+∞⎭⎪上单调递减； ③当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减.（2）当1a =-时，()2ln 1x x f x =--+，不妨设120x x <<，则()()12211212x f x x f x mx x x x ->-等价于()()()212121f x f x m x x x x ->-，考查函数()()f x g x x =，得()22ln 2x x x x g --'=， 令()22ln 2x h x x x--=，()352ln x x x h -'=， 则520,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，52e ,x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间520,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，在区间52,e ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减函数. 故()5251e 102eg g x ⎛⎫'=-< ⎪⎝'⎭≤，所以()g x 在()0,∞+上单调递减.从而()()12g x g x >，即()()2121f x f x x x <，故()()()122112f x f x m x x x x ->-，所以()()121212f x f x mx mx x x +>+，即()()1122g x mx g x mx +>+恒成立， 设()()x g x mx ϕ=+，则()x ϕ在()0,∞+上恒为单调递减函数， 从而()()0x g x m ϕ''=+≤恒成立，故()()51102e x m g x m ϕ'≤-'++≤=， 故5112e m ≤-. 【点睛】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查学生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查学生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在极坐标系中，曲线:4cos C ρθ=，以极点O 为旋转中心，将曲线C 逆时针旋转3π得到曲线C '.（Ⅰ）求曲线C '的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 与曲线C '的公共部分面积. 【答案】（Ⅰ）4cos 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）8233π-. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）设点P(),ρθ是曲线:4cos C ρθ=上任意一点，用点P 的极坐标表示出点P 旋转之后对应的点P '，而点P 在曲线:4cos C ρθ=上，代入即可求出曲线C '的极坐标方程；（Ⅱ）根据几何知识可知， 四边形'OC AC 为菱形，即可求出23OCA π∠=，再根据曲线C 与曲线C '的公共部分等于两个弓形面积，即可求出． 【详解】（Ⅰ）设点P (),ρθ是曲线:4cos C ρθ=上任意一点，旋转之后点P '(),ρθ''，满足3ρρπθθ=⎧⎪⎨=+''⎪⎩，即3ρρπθθ=⎧⎪⎨=-''⎪⎩代入曲线:4cos C ρθ=，得曲线:4cos 3C πρθ⎛⎫'''=- ⎪⎝⎭，即曲线:4cos 3C πρθ⎛⎫'=-⎪⎝⎭． （Ⅱ）如图，两圆相交于点O ，A ，连接OA ，AC ，OC ，OC '，AC '， 显然四边形'OC AC 为菱形，故23OCA π∠=．由曲线:4cos C ρθ=知，圆的半径为2，所以曲线C 与曲线C '的公共部分的面积为两个弓形的面积，即()212128222222sin23233OC A OC A OC A S S S S πππ'''⎛⎫==-=⨯⨯-⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭△弓形扇形【点睛】本题主要考查相关点代入法求轨迹方程，以及平面几何知识和扇形面积公式的应用，属于基础题． 选修4-5：不等式选讲23. 已知()|||1|.f x k x x =+- （Ⅰ）若2k =，解不等式()5f x ≤.（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1||22|f x x x ≤++-的充分条件是1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）(],2-∞. 【解析】 【分析】（Ⅰ）分区间讨论，去掉绝对值号即可求解；（Ⅱ）由题意可转化为11x x k x ++-≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，根据绝对值不等式可求出11112x x x x x x++-++-≥=，即可求解.【详解】（Ⅰ）若2k =，不等式()5f x ≤可化为215x x +-≤. 当0x <时，()215x x ---≤，即43x ≥-，∴403x -≤<； 当01x ≤<时，()215x x --≤，即4x ≤，∴01x ≤<； 当1≥x 时，()215x x +-≤，即2x ≤，∴12x ≤≤.故不等式的解集为4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）关于x 的不等式()122f x x x ≤+++在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即1221k x x x x ≤+++--在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，∴11x x k x ++-≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，∵11112x x x x x x++-++-≥=，等号在1x +，1x -同号时等号成立， 所以，所求实数k 的范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，不等式恒成立求参数取值范围，分类讨论思想，转化思想，属于中档题.。

2020届高三摸底测试卷理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3.非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合3{|0},{|1x M x N x y x -=≥==-，则()M N R I ð等于 A.(1，2] B.[1，2] C. (2，3] D.[2，3] 2.复数z 满足1i1i z+=-，则||z = A.2i B.2 C.i D.13.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l ⊥β”是“α⊥β”的 A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.等比数列{a n }中，若a 1a 5＝a m a n ，则mn 不可能．．．为 A.5 B.6 C.8 D.95.已知一组样本数据点()()()()11223366,,,,,,,,x y x y x y x y ⋅⋅⋅，用最小二乘法得到其线性回归方程为$24y x =-+，若数据1236,,,,x x x x ⋅⋅⋅的平均数为1，则1236y y y y +++⋅⋅⋅+等于A.10B.12C.13D.146.在平面直角坐标系xOy 中，已知M(－1，2)，N(1，0)，动点P 满足||||PM ON PN ⋅=u u u u r u u u r u u u r，则动点P的轨迹方程是A.y 2＝4xB.x 2＝4yC.y 2＝－4xD.x 2＝－4y7.已知二元一次不等式组20,20220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，命题p ：点(0，1)在区域D 内；命题q ：点(1，1)在区域D 内，则下列命题中，真命题是A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()p q ⌝∧D.()()p q ⌝∧⌝8.已知△ABC 的垂心为H ，且AB ＝3，AC ＝5，M 是BC 的中点，则HM BC ⋅=u u u u r u u u rA.5B.6C.7D.89.圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是A. B.55(,)32 C.55(,)42D.1)+ 10.已知正实数a ，b ，c 满足：221211()log , ()log , log 23aba b c c ===，则A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b11.自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制计算机。

2020届高三摸底测试卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合3{|0},{|2}1x M x N x y x x -=≥==--，则()R M N ⋂=ð（ ） A. (1,2] B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法和函数的定义域，求得集合{|1M x x =<或3}x ≥，{|2}N x x =≤，再利用集合的运算，即可求解。

【详解】由题意，集合3{|0}{|11x M x x x x -=≥=<-或3}x ≥，{|2}{|2}N x y x x x ==-=≤，则{|13}R C M x x =≤<，所以(){|12}[1,2]R C M N x x =≤≤=I ， 故选B 。

【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中利用分式不等式的解法和函数的定义域求得集合,M N 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2.复数z 满足1i1i z+=-，则||z =（ ） A. 2i B. 2C. iD. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得复数z i =，即可得到复数的模，得到答案。

【详解】由题意，复数11ii z+=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D 。

【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

3.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理，以及充分条件和必要条件的判定方法，即可求解。

2020届江西省南昌市⾼三上学期开学摸底考试数学（理）试题答案— 理科数学（摸底）答案第1页—2020届⾼三摸底测试卷理科数学参考答案及评分标准⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀13．240 14． 15．3 16．83三．解答题：共70分. 解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答．第22题、23题为选考题，考⽣根据要求作答．（⼀）必考题：共60分． 17．【解析】（Ⅰ）因为ππsin(2),(0,)322C C,即ππ2π2(,333Cππ233C即π3C………2分所以sin sin 2sin 3A A ， ………4分⼜因为a c ，所以π03A C ，因此π4A ；………6分（Ⅱ）在ABC 中，由2222cos c a b ab C ,得2212a b ab ab…8分 1sin 2ABC S ab C ，当且仅当时a b ，即ABC 为等边三⾓形时，上式等号成⽴， ………10分所以ABC ⾯积的最⼤值是 ………12分1120sin 21 ，故1 AE .由于三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，故1AA 平⾯ABC AE AA 1，直⾓三⾓形AE A 1中，因为31 AA ，1 AE ，所以2121 EF E A ，⼜因AFE AEE A EF AE 1为直⾓，即AF E A 1. ………3分再由E 为BC 中点并且ABC 为等腰三⾓形可知BC AE ,结合BC AA 1，A AE AA 1得BC 平⾯1A AE ，BC AF ，综合AF EA 1，AF BC ，E E ABC 1 ，得到AF 平⾯1A BC ， ………6分（Ⅱ）由于BC AE，如图以点E 为坐标原点建⽴空间直⾓坐标系，60tan AEBE3 ，故 B ， 1A ， 0,0,0E ， 1B ，— 理科数学（摸底）答案第2页—B BEB， 1EA ， 1EB，设⾯E BA 1法向量为 1111,,z y x n ，⾯E A B 11法向量为 2222,,z y x n ，1111110000n EB n EA y，取11 z ,得10,n212221220000n EB n EA y，取12 z ，得2(1,n，则⼆⾯⾓11BA EB 的余弦值552544cos. ………12分19.【解析】（Ⅰ）获得三等奖学⾦的频率为：(0.0080.0160.04)50.15(0.040.0560.016)50.4(0.0160.008)50.40.32 5000.32160 ，故这500名学⽣获得专业三等奖学⾦的⼈数为160⼈. ………3分（Ⅱ）每周课外学习时间不超过35⼩时的“⾮努⼒型”学⽣有5000.0080.0160.040.040.0560.0165440 ⼈， ………4分其中获得⼀、⼆等奖学⾦学⽣有 5000.0080.0160.0450.055000.040.0560.01650.250.0592………5分每周课外学习时间超过35⼩时称为“努⼒型”学⽣有5000.1260 ⼈， ………6分其中获得⼀、⼆等奖学⾦学⽣有 600.350.2536⼈, ………7分列22 联表如图所⽰：250034836922442.3610.8344060128372K 故有99.9%的把握认为获得⼀⼆等奖学⾦与学习“努⼒型”学⽣的学习时间有关；…8分（Ⅲ）X 的可能取值为0,600,1500,3000(600)0.32,P X (1500)0.198,P X (3000)0.058,P X(0)10.320.1980.0580.424P X ………11分其期望为00.4246000.3215000.19830000.058EX=192+297+174=663元. ………12分— 理科数学（摸底）答案第3页—20．【解析】（Ⅰ）由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的⼀个构成等边三⾓形，,ab，即3,a b ，所以椭圆E 的⽅程为22193x y ； ………5分（Ⅱ）圆22:2O x y ，直线y kx m 与圆22:2O x y 相切，，即 2221m k ， ………7分联⽴⽅程：22193x y y kx m得： 222136330k x kmx m 设 1122,,,M x y N x y ， 2121222336,1313m km x x x x k k………8分由弦长公式得：12MN x x将2221m k代⼊得：MN………10分22222712132k k k 当且仅当：222271k k 即215k时等号成⽴，弦长MN 最⼤值为2.……12分 21．【解析】（Ⅰ） 2'e 1,1,1 axf x x x ， ………2分由 '1e a f 知e e a，1a ； ………4分（Ⅱ）由题知： 0,x 时， 2e 101axf x x有解当 1,x 时， 2'e 101axf x x恒成⽴，不存在单调递减区间；………5分当 0,1x 时， 2e 101axf x x 有解等价于1ln 01x ax x有解 ………6分设 212ln ,',0,111x x ax x a x x x ，因为 220,1,21x x …8分①当2a 时， 22'01x a x 恒成⽴，1ln 1xx ax x在 0,1x 单调递减， 00x 恒成⽴，不符合题意…10分— 理科数学（摸底）答案第4页—②当2a 时，201a a，当x时， 22'01x a x ， 1ln 1x x ax x在x 单调递增， 00x 即1ln 01xax x ，综上所述，2a ． ………12分22.【解析】（Ⅰ）由曲线C 的参数⽅程为2cos 2sin x y（ 0,2, 为参数），得224x y所以曲线C 的直⾓坐标⽅程为224x y ； ………2分曲线C 经过伸缩变换得到1C 的参数⽅程为'4cos '2sin x y ，得22416x y ，所以曲线1C 的极坐标⽅程为2222cos 4sin 16 ； ………5分（Ⅱ）将 0 代⼊2222cos 4sin 16 得2221cos sin 164即2221cos sin 164OA， ………8分同理222cos (sin ()122164OB22sin cos 164 ， 221111516416OAOB． ………10分23．【解析】（Ⅰ）由题意，当1a 时， 23,1,1,1223,2x x f x x x x＜＜当1x 时， 233f x x ，解得0x ；当12x ＜＜时， 13f x ，⽆解当2x 时， 233f x x 解得3x ;所以 3f x 的解集为 ,03, ． ………5分（Ⅱ）由题关于x 的不等式 f x g x 解集包含 1,221|||1|41a x x x a 在 1,2x 恒成⽴；210,2a a a1,2x 不等式2113a x x x a 恒成⽴，即14a x a在 1,2x 恒成⽴12a a ⼜10,21a a a a即a 的取值集合是 1． ………10分。

2020届江西省南昌市高三第一次模拟测试试题 理 数一、选择题1.已知全集为实数集R ，集合2{|280}A x x x =+->，2{|log 1}B x x =<，则()R C A B ⋂=（ ）A.[4,2]-B.[4,2)-C.(4,2)-D.(0,2) 答案： D解答： 依题意，[4,2]R C A =-，(0,2)B =，则()(0,2)R C A B ⋂=.2.在复平面内，复数z i =对应的点为Z ，将向量OZ uuu r 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ）A.122i -+B.122i -+C.122--D.12i 答案： A解答：复数Z 对应的点的坐标是(0,1)，将点(0,1)按逆时针方向旋转到点的坐标是22(cos,sin )33ππ，对应的复数为12-.3.一个正三棱柱的正视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A.16B.12C.8D.6 答案： B解析：由题意可知，正三棱柱的底面边长为2，高为2，∴侧面积32212S =⨯⨯=.4.由实数组成的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“98S S >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案： C解答：81919800a a a q S S >⇔=>⇔>.5.已知向量a r ，b r ，||2b =r ，且a r 在b r 方向上的投影为12，则a b ⋅r r 等于（ ）A.2B.1C.12D.0 答案： B 解答：1||||cos 212a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯=r r r r .6.函数cos 1ln(),1(),1x x x f x xe x π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ）A.B.C.D.答案： A解析：当1x >时，1()ln()f x x x =-，此时令1t x x =-，2110t x'=+>，∴()f x 在(1,)+∞上单调递增，故排除B ，C ，当1x ≤时，cos ()xf x e π=，当(0,1)x ∈时，cos cos ()(cos )0x x f x e e πππ'=⋅=-<，∴()f x 在(0,1)上单调递减，且cos ()0x f x e π=>，故排除D ，综上所述，选A.7.根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设ln u y =，2(4)v x =-，利用最小二乘法，得到线性回归方程为$0.52uv =-+，则变量y 的最大值的估计值是（ ）A.eB.2e C.ln 2 D.2ln 2 答案： B解答：依题意，x ，y 模拟函数为20.5(4)2x y e --+=，所以最大值为2e .8.已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ y ⊥轴于点Q ，则PQ PF ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A.14-B.12-C.1-D.1 答案： A 解答：因为(1,0)F ，设点2(,2)P m m ，则(0,2)Q m ，则2(,0)PQ m =-u u u r ，2(1,2)PF m m =--u u u r ，则2422111()244PQ PF m m m ⋅=-+=--≥-u u u r u u u r .9.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为（ ）C.21 答案：B解答：设双曲线左焦点为F '，因为OA OF OF c '===，所以90FAF '∠=︒，设点4(,)3A m m ，则2163()()95m c m c m m c =+-⇒=，所以点34(,)55A c c ，所以 222291612525c c a b -=，所以224222216925991625251e e e e e e e -=⇒--=--42222950250(95)(5)05e e e e e e ⇒-+=⇒--=⇒=⇒=10.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）.控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术.一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若50AE cm =，40EF cm =，30FC cm =，60AEF CFE ∠=∠=︒，则该正方形的边长为（ ）A.B. C.50cmD. 答案： D解答：作EG 与FC 平行且相等，得到AGC ∆，依题意，80AG cm =，40GC cm =，60AGC ∠=︒，由余弦定理可以求得AC =，从而边长为.11.如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点F ，M 分别在线段AC ，1BD （不包含端点）上运动，则（ ）A.在点F 的运动过程中，存在1//EF BCB.在点M 的运动过程中，不存在1B M AE ⊥C.四面体EMAC 的体积为定值D.四面体11FA C B 的体积不为定值 答案： C解答：在长方体1111ABCD A B C D -中，平面11//A BC 平面1D AC ，又因为点F 在AC 上运动，则不存在1//EF BC ；当11B M BD ⊥时，1B M AE ⊥，其理由如下：设AC 与BD 相交于点O ，因为11B M BD ⊥，所以1B M OE ⊥，易证AC ⊥平面11BDD B ，所以1AC B M ⊥，故1B M ⊥平面EAC ，∴1B M AE ⊥；因为1//BD 平面EAC ，所以M EAC V -为定值；因为11//A C AC ，所以点F 到平面11A C B 的距离为定值，所以四面体11FA C B 的体积为定值.12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，03πϕ<<）满足()()f x f x π+=，()112f π=，则()12f π-等于（ ）A.2-C.12-D.12答案： C解答：因为()()f x f x π+=，则函数()f x 的周期为π，所以最小正周期为mπ，所以2m ω=（*m N ∈），因为()112f π=，则226m k ππϕπ=-+，k Z ∈，因为03πϕ<<，则112312122k m k m k +<<+⇒=+，则22236k k πππϕππ=--+=，所以()sin[(244)]6f x k x π=++，则1()122f π-=-.二、填空题13.曲线2()()ln f x x x x =+在点(1,(1))f 的切线方程为 . 答案：220x y --=解答：由题意可得：21()(21)ln ()(21)ln 1f x x x x x x x x x'=+++⋅=+++，又(1)0f =，(1)2f '=，故该切线方程为220x y --=.14.已知7270127(21)x a a x a x a x -=++++L ，则2a = . 答案：84-解答：525272(1)84a C =⨯⨯-=-.15.已知函数22,0()2,0xxx f x x -⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则11(lg )(lg )(lg 2)(lg5)52f f f f +++的值为.答案：4解答：由于函数()f x 的图像关于点(0,1)对称，所以()()2f x f x -+=， 所以1(lg )(lg 2)22f f +=，1(lg )(lg5)25f f +=，所以原式等于4.16.如图所示，一列圆222:()n n n C x y a r +-=（0n a >，0n r >）逐个外切，且均与曲线2y x =相切，若11r =，则1a = ，n r = .答案：54 n解答：当圆221()1x y a +-=与2y x =相切时，消去x 可得方程2211(12)10y a y a +-+-=， 由0∆=可得154a =. 当圆222()n n x y a r +-=与2y x =相切时， 消去x 可得方程222(12)0n n n y a y a r +-+-=， 由0∆=可得214n n r a =-，从而21114n n r a ++=-，两式相减得2211n n n n r r a a ++-=-， 而因为圆1n C +与圆n C 外切，故11n n n n a a r r ++-=+，从而221111n n n n n n r r r r r r +++-=+⇒-=，即{}n r 是以1为首项，1为公差的等差数列， 则n r n =，221144n n a r n =+=+. 三、解答题17.如图，D 是在ABC ∆边AC 上的一点，BCD ∆与ABD ∆面积比为2，22CBD ABD θ∠=∠=.（1）若6πθ=，求sin sin AC的值；（2）若4BC =，AB =AC 的长.答案： 见解析. 解答：（1）23CBD ABD π∠=∠=，所以11sin 2sin 2326BC BD BA BD ππ⋅=⨯⋅，所以sinsin BC A BA C =⇒==. （2）11sin 22sin 22BC BD BA BD θθ⋅=⨯⋅，所以42sin cos 2cos θθθθ⨯=⨯⇒= 所以4πθ=，334ABC πθ∠==，所以216824(40AC =+-⨯⨯=，所以边AC =18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是菱形，2AC BC ==，13CBB π∠=，点A 在平面11BCC B 上的投影为棱1BB 的中点E .（1）求证：四边形11ACC A 为矩形；（2）求二面角11E B C A --的平面角的余弦值. 答案： 见解析 解答：（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥，又因为1112BE BB ==，2BC =，3EBC π∠=，所以CE =222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥，因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥，从而1AA AC ⊥，即四边形11ACC A 为矩形.（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以(0,0,1)A ，1(0,2,1)A ，1(0,1,0)B，C .平面1EB C 的法向量(0,0,1)m =u r，设平面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =r，由10n CB y y ⊥⇒+=⇒=r u u u r ，由110n B A y z ⊥⇒+=r u u u u r，令1x y =⇒=z =n =r，所以cos ,7m n <>==-u r r ，所以二面角11E B C A --的余弦值是.19.已知函数2()xf x e x kx =--（其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点.（1）求实数k 的取值范围； （2）证明()f x 的极大值不小于1. 答案： 见解析 解答：（1）()2x f x e x k '=--，由()02x f x e x k '=⇒-=，记()2xg x e x =-，()2x g x e '=-，由()0ln 2g x x '=⇒=，且ln 2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(22ln 2,)g x ∈-+∞；ln 2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，由题意，方程()g x k =有两个不同解，所以(22ln 2,)k ∈-+∞.（2）由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x k e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)x x x f x e x e x x x e x =---=-+，记2()(1)((,ln 2))th t t e t t =-+∈-∞，则()2(2)tth t te t t e '=-+=-，因为(,ln 2)t ∈-∞，所以20t e ->，所以0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减，0t >时，()0h t '>，()h t 单调递增，所以()(0)1h t h ≥=，即函数()f x 的极大值不小于1. 解法二：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112x k e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)x x x f x e x e x x x e x =---=-+，因为110x ->，111x e x ≥+，所以21111()(1)(1)1f x x x x ≥-++=，即函数()f x 的极大值不小于1.20.已知圆2221:(1)(13)F x y r r ++=≤≤，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-.（1）证明：圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（2）过点2F ，斜率为k 的直线与（1）中轨迹E 相交于M ，N 两点，点(,0)(0)Q m m <，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由.答案：见解析解答：（1）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以12||2F F =，因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，又因为13r ≤≤，所以|4|2r r --≤，即12|4|||r r F F --≤，所以圆1F 与圆2F 有公共点.设交点为P ，因此12||||4PF PF +=，所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，所以24a =，12c a =⇒=，b =E 的方程为22143x y +=. （2）设过点2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得到2222(43)84120k x k x k +-+-=，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+①，因为111y k x m =-，222y k x m =-，所以121212()()y y k k k k x m x m+=+=--2212121221121212(1)(1)(1)(1)(1)()(1)()[][]()()k x k x x x x x m x x m k k k x m x m x m x m x m x m ------+--+=+==------21212212122(1)()2()x x m x x m k x x m x x m -+++-++，将①式代入整理得212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-，因为0m <，所以当23120m -=时，即2m =-时，12()1k k k +=-.21.某工厂生产零件A ，工人甲生产一件零件A ，是一等品、二等品、三等品的概率分别为14，12，14，工人乙生产一件零件A ，是--等品、二等品、三等品的概率分别为13，13，13.已知生产一件一等品、二等品、三等品零件A 给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元（1）试根据生产一件零件A 给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏： （2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产--件零件A ，如果一方生产的零件A 品级优于另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分1-分，如果两人生产的零件A 品级一-样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜，4(4,3,2,,4)i P i +=---L ，表示甲总分为i 时，最终甲获胜的概率.①写出0P ，8P 的值；②求决赛甲获胜的概率.答案：见解析解答：（1）记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为X 元、Y 元，随机变量X ，Y 的分布列分别为所以1111110524242EX =⨯+⨯+⨯=，1111710523333EY =⨯+⨯+⨯=，所以EX EY <，即乙的技术更好.（2）①0P 表示的是甲得4-分时，甲最终获胜的概率，所以00P =，8P 表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以81P =.②每轮比赛甲得1分的概率111111()433233⨯++⨯=，甲得0分的概率为11111114323433⨯+⨯+⨯=，甲得1-分的概率为111111()234333⨯+⨯+=，所以当1,2,3,4,5,6,7n =时，11111112333n n n n n n n P P P P P P P -+-+=++⇒=+，所以{}n P 是等差数列，则084122P P P +==，即决赛甲获胜的概率是12. 四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为22(1)1x y -+=，曲线2C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）设射线(0)6πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求AB 的值.答案：见解析解答：（1）曲线1C 的极坐标方程为2cos 0ρθ-=， 2C 的极坐标方程为22222cos 3sin 60ρθρθ+-=.（2）令(0)6πθρ=>，则1(,)6A πρ，2(,)6B πρ， 则2222222cos 3sin 6066ππρρ+-=，即22924ρ=，所以23OB ρ==，12cos 6OA πρ===，故3AB OA OB =-=. 23.已知0a >，0b >，2a b +=.（1）求111a b ++的最小值； （2）证明2a b b a ab +≥. 答案：见解析解答：（1）11111114()[(1)]2131313b a a b a b a b a b ++=+++=++≥+++（），当且仅当21a b a b +=⎧⎨=+⎩，即32a =，12b =时，111a b ++的最小值为43. （2）要证明2a b b a ab+≥，由0a >，0b >，也即证222a b +≥.因为2a b +≤a b =1≥，即222a b +≥.。