现代控制理论课后习题答案
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现代控制理论课后习题答案
第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:
()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?
+-??D N 解：()()22
232321s s s s s s s
++ =++ ? ?
D S N S ； ()3r 2,1,2
E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?
- ? ???；
()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?
；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?
；
所以⼀个gcrd 为001s ??
；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=
A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵t
A e 。
(2) 已知412102113-?? ?
= ? ?-??
A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解：(1)11()41s s s --??-= ?--??
I A
1110.50.5
0.250.2511(3)(1)(3)(1)1
3131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --
+-
--+-+??-+-+ ? ?
-=== ? ?---+ ?
-+ ? ?-+-+-+-+?
I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t t
t t s ------??+-??=-= ??? ?-+?
A L I A (2)由241
2()1
2(1)(3)0113λλλλλλ--?? ?
=--=--= ? ?--??
A I -，得1,233,1λλ== 对1,23λ=，可以计算1,2()2rank λ=A I -，所以该特征值的⼏何重数为1。⽽31λ=的⼏
何重数显然是1。由此可写出其Jordan 形为310030001?? ?= ? ???
J 。
将特征值代⼊⽅程2012()()()e t t t t λααλαλ++=，并计及第⼀个根是⼏何重数为1的重
根，可得如下⽅程组330301233312
1012332
953()e e e 442()3()9()e 33()6()e ()e e 2e 22()()()e 11()e e e 442t t t t t
t t t t
t t t t t t t t t t t t t t t t t t ααααααααααα?
=-+??++=+=?=---++=???
=-+??
于是，2012e ()()()t t t t ααα?
=+=
A A A I +
1.14给出下列有理函数的Smith-Mcmillan 规范型
222
21(1)(2)(2)()12
(2)s s s s s s s s s ??+
+++ = - ++
G 解：()s G 的最⼩公分母为2()(1)(2)d s s s =++，于是()s G 可表⽰为
22211(1)()()()(1)(2)(1)(1)(2)s s s s d s s s s s s s ??
+== ?++-+++??
G N 对()s N 进⾏⾏列变换，导出Smith 规范型 3r 3r 1c 2c 2c 2r 23r 2r 2
(1,2,1):(2,1,(25)):(1,2):(2,3):(2,1,):(1,13):
(2,1,2(1)(21)):
10(2,12):()0(1)(20.5)s s s s s s s s s s +++-??
-= ?+++??
E E E E E E E E Λ
基此得到Smith-Mcmillan 规范型为22210
(1)(2)
()(20.5)0(2)s s s s s s s ?
++
=
++ ?
+
M ，显然它满⾜有
关互质性与整除性的属性。
第⼆章习题2.1求⽆源电路⽹络的模型。
下⾯是RC 电路，请根据原理画出其⽅框图，并求其传递函数和状态空间描述。R
i
i
u o
u C
图P2.1 ⼀阶RC ⽹络
解：利⽤基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得i o
u u i R
-=，o idt u c =?
对其进⾏拉⽒变换得i o ()()()U s U s I s R -=
o ()
()I s U s sC
= 因此图P2.1即可转换为下图运算电路形式。
R
)
(s U i sC
1)
(s I )
(s U o
图SP2.1-1 ⼀阶RC
⽹络运算电路
由此分别得到下图a 和b ，将图a 和b 组合起来即得到图c ，图c 为该⼀阶RC ⽹络的⽅框
图。)(s U i )
(s U o -
＋R
1
)
(s I (
I U sC
1-＋
1(I 1 -＋)(s I )(s U o sC 1-＋(s I 1
-＋)(s U i -
＋R
1)
(s I )
(s U o sC
1)
(s U o
(a) (b) (c)图SP2.1-2 ⼀阶RC ⽹络的⽅框图
显然系统是⼀阶的，只有⼀个状态变量，令o x u =，i u u =则状态空间描述为 11x x uRC RC y x =-+=
2.2求⽆源电路⽹络的模型。
已知R -L -C ⽹络如图所⽰，试求以i u 为输⼊，o u 为输出的传递函数和状态空间描述。i
u o
u +
-
+
-
1
R 2
R 3
R L
C
1i 3
i 2
i
图P2.2 R-L-C ⽹络
解：电感⽅程：3o 11i d d i L
u R i u t ++=...(1) 电容⽅程：c 2d d u
C i t
= (2)
有6个变量，列出微分⽅程模型时保留2个，因此要消掉4个变量，还需要列出3个⽅程：
由KVL ：11c 22i R i u R i u ++=...(3) 由KCL ：123i i i =+...(4) 在输出端：33o R i u = (5)
将(5)代⼊(1)、(4)可消去3i ，然后将(4)代⼊(1)、(3)消去1i 得到： oo o 12i 33
o 12c 22i 3d ()(6)d ()(7)u u L u R i u R t R u R i u R i u R ?+++=
+++=
⽤⽅程(2)消去c u ：将(7)整理为1o c 122i 3
()R u u R R i u R +++=后取时间的导数，再将(2)代⼊，得到：o 122i 123d d d ()d d d u R i i u
R R R t C t t
+++= o 2i 1323123d d d ()d d d u i u
R C
R i R R R C R C t t t
+++=...(8) 最后，将(6)整理为o 1323i 31o d [()]d u
R R i R u L R R u t
=-++，代⼊1(8)R ?得到
2o o 13i 31o 2o o i i
12331132d d {[()]}
d d d d d d (){[()]}d d d d u u
R C R u L R R u t t
u u u u R R C R L R R R R C
t t t t +-++++-++=
经整理，可得到系统的微分⽅程模型为2o 121323o
23312i o
i 2
13131313d d ()d d d d u R R C R R C R R C L u R R C R R R LC u u u R R R R t R R t R R t ++++++=+++++
所以其传递函数阵为233
1212212132312()()()1
()R R C R s R R LC R R LC
W s R R C R R C R R C L s s R R LC
+
++=++++++
这⾥写出能控标准I 型的状态状态空间描述11121323221213232121201011(),()()x x u R R C R R C R R C L x x R R LC x R R R C y x R R LC R R LC ??
?=++++ ? ? ? ?-- ?+= ? ?++??
2.3求有源电路⽹络的模型。
已知有源⽹络如下图，求传递函数与状态空间模型。-+
i 1
i 2KR 2
R 2
R 1R 1C 1
C 2
u i
u o
图P2.3 有源电路⽹络
解：1122o ,,c c x u x u y u ===令i 11
1121111111122222222221111211121222o 12
2222222222111210220()22u x x C x R C R C x x R R R C R u s R x x R x x R C R W s R R C R R x u x x R C R C C x y u RR x R R C --=+ ? ? ? ??=++ ? ? ? ??- ? ?=-??=-????-??-=+?=- ? ? ??1111C s R C +
2.4求弹簧阻尼器系统的模型。
已知弹簧阻尼器系统(忽略质量)如下图，f 是阻尼系数数，x 、x B 、y 分别是A 、B 、C 三点的位置变量，以x 为输⼊，y 为输出，求传递函数。并思考：传递函数求出的阶次与系统中储能元件的个数⼀致吗？为什么？x
y
f B A
C
B
x 1
k 2
k
图P2.4 弹簧阻尼器系统
解：设B 点位移为B x ，根据B 、C 点⼒平衡关系列写⽅程 对于B 点1()
()B B d x y k x x f
dt
--= 对于C 点
2()B d x y f k y dt
-=
上⾯两个⽅程两边同时进⾏拉⽒变换(初始条件为0)，有[][]1()()()()B B k X s X s sf X s Y s -=-
[]2()()()B sf X s Y s k Y s -=
解上述⽅程组，得11212()
