现代控制理论课后题及答案

第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答

2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u，输出为2u，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。

u2R1RuC1C2u12u

图P2.1

解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。

设1C两端电压为1cu，2C两端的电压为2cu，则

212221cccduuCRuudt (1)

112121cccduuduCCdtRdt

(2)

选择状态变量为11cxu，22cxu，由式(1)和(2)得：

1121121121212111cccduRRCuuudtRRCRCRC

2121222222111cccduuuudtRCRCRC

状态空间表达式为：

12111211212121212122222221111111RRCxxxuRRCRCRCxxxuRCRCRCyuux 即: 12121121211112222222211111RRCRCRRCRCxxuxxRCRCRC

11210xyux

2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。

1B2BK1M2M)(tf

图P2.2

解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令()ft为输入量，即uf，1M，2M的位移量1y，2y为输出量，

选择状态变量1x1y，2x= 2y，3x=1dydt，24dyxdt。

根据牛顿定律对1M有：

211311()dxxMxKxBdt

对2M有：

2122412()()dxxdxMxftBBdtdt

经整理得：

状态方程为：

132411313411111243422221()xxxxBBKxxxxMMMBBBxxxuMMMM

输出方程为： 1122yxyx

写成矩阵形式为：

11221111133441122222112234001000001000100()10000100xxxxBBKuMMMxxxxBBBMMMMxyxyxx

2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的1x、2x、3x作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u、y分别为系统的输入、输出，1、2、3均为标量。

1/s1/s1/sda1a2a3321uy3x2x1x3x2x1x++++

图P2.5系统结构图

解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。

着眼于求和点①、②、③，则有

①：2111xxx

②：3222xxx

③：uxx333

输出y为1yxdu，得

111222333100010001xaxxaxuxax 123100xyxdux

2.7 试求图2.8P中所示的电网络中，以电感1L、2L上的支电流1x、2x作为状态变量的状态空间表达式。这里u是恒流源的电流值，输出y是3R上的支路电压。

uR1R2R3x1x2y1L2L

图P2.8 RL电网络

解 采用机理分析法求状态空间表达式。由电路原理可得到如下微分方程

1232222xxRRxLx

1111231/uxLxxxRR

123yxxR

整理得状态空间表达式为

133111111223232213320RRRRLLxxLuxxRRRLLxyRRx

2.8 已知系统的微分方程 (1) uyyyy354；

(2) uuyy32；

(3) uuyyyy75532。

试列写出它们的状态空间表达式。

(1) 解 选择状态变量1yx，2yx，3yx，则有： 122331231543xxxxxxxxuyx

状态空间表达式为：

112233123010000105413100xxxxuxxxyxx

(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件下取拉氏变换得：

3222332()3()()()11()1223()232sYssYssUsUssYssUsssss

由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为

1122330100001031002xxxxuxx

12311022xyxx

(3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件下取拉氏变换得：

323()2()3()5()5()7()sYssYssYsYssUsUs

332()57()235YssUssss

在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即m是否小于n，若mn需作如下处理

323232()571015185()235235YssssUsssssss 再由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为

112233010000105321xxxxuxx

1231005xyxux

2.9 已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。

(1)3321()6116ssgssss (2)23223()231ssgssss

(1) 解

首先将传函(1)化为严格真有理式即：

232()6105()11()()6116YsssgsgsUssss

令()()()YsgsUs，则有

1231236105()()16116sssYsUssss，

1231()()16116EsUssss，

即：

123123()()6()11()6()()6()10()5()EsUssEssEssEsYssEssEssEs

由上式可得状态变量图如下：

+++1xyu2x3x+e+-6-11-6

由状态变量图或公式(2.14)、(2.15)直接求得能控标准型状态空间表达式 1122330100001061161xxxxuxx

123xyxux=-6-11-6

(2) 解 由已知得：

12312323()()123sssYsUssss，

令： 1231()()123EsUssss，

得： 123123()()2()3()()()()2()3()EsUssEssEssEsYssEssEssEs

状态变量图如下：

3+++1xyu2x3x+e+-1-3-22

状态表达式如下：

112233010000101321xxxxuxx

123321xyxx

2.13 列写图P2.10所示系统的状态空间表达式。 1u2u1y2yascbsd--

图P2.10

解 设

11()()xsys (7)

22()()xsys

(8)

则由系统方框图2.10P可得

112()()()cxsusxssa

(9)

221()()()dxsusxssb (10)

对式710进行拉氏反变换得

112121221122()()()()()()()()()()()()xtaxtcxtcutxtdxtbxtdutytxtytxt

则系统状态空间表达式为

1112221122001001xxuaccxxudbdyxyx

2.14 试将下列状态方程化为对角标准形。

(1) 1122010561xxuxx

(2) 111222330102330215127671xxuxxuxx

(1) 解

① 求特征值