18版高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学第三章函数的应用§3.2.1 几类不同增长的函数模型教案新人教A版必修1一、教学目标:1.知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2.过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3.情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、教学重点、难点：1.教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、学法与教学用具：1.学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1.观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2.作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1.教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益.学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2.教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

3.2.2 几类不同增长的函数模型（一）教学目标1．知识与技能利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.2．进程与方法在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.3．情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.（二）教学重点与难点重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.（四）教学过程例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x，y= log7x+ 1，y= 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？1 0.42 0.8 0.43 1.6 0.84 3.2 1.65 6.4 3.26 12.8 6.47 25.6 12.88 51.2 25.69 102.4 51.210 204.8 102.4………30 214748364.8 107374182.4再作三个函数的图象在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.例 2 解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x +1，y=1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有7log10.25xyx x+=≤成立.令f(x)=log7x+1– 0.25x，x∈[10,1000]巩固练习1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表1．解：y22．解：设第1轮病毒发作时有动手尝试提升解题备选例题例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x 台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用280020,(118)440,(18)x x x y x x ⎧-≤≤=⎨>⎩在乙商场购买，费用y = 600x .（1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x ∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x ∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x ∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题. 例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y =ax 2+ bx + c ，y = a21x + b ，y = ab x+ c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）. （1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有⎩⎨⎧=+=+2.123.13b a b a ，解得⎩⎨⎧==11.0b a所以得y =0.1x +1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax 2+ bx + c ，将A 、B 、C 三点代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3.1392.1241c b a c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=7.035.005.0c b a ，所以y = – 0.05x 2+0.35x +0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x =3.5），不合实际.（3）设y =x a +b ，将A ，B 两点的坐标代入，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2.121b b b a ，解得⎩⎨⎧==52.048.0b a ，所以y =52.08.4+x .因此把x = 3和4代入，分别得到y =1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = ab x+ c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+3.12.1132c ab c ab c ab ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=4.15.08.0c b a ，所以y = – 0.8×(0.5)x+1.4.因此把x = 4代入得y = – 0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.。

§3.2.1几类不同增长的函数模型(1)1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.9598阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．二、新课导学※典型例题例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？反思：①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？② 根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型： 0.25y x =；7log 1y x =+； 1.002x y =.问：其中哪个模型能符合公司的要求？反思：① 此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？② 根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？※ 动手试试练1.如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y 与净化时间t （月）的近似函数关系：t y a =(t ≥0，a >0且a ≠1)．有以下叙述① 第4个月时，剩留量就会低于15； ② 每月减少的有害物质量都相等；③ 若剩留量为111,,248所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=. 其中所有正确的叙述是 .练2. 经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前n 个月，对某种商品需求总量()f n (万件)近似地满足关系()()()()113521,2,3,,12150f n n n n n =+-=． 写出明年第n 个月这种商品需求量()g n (万件)与月份n 的函数关系式.t (月)三、总结提升※学习小结1. 两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；2. 几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；3. 应用建模（函数模型）；※知识拓展解决应用题的一般程序：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（）.A．1= B. y=21x- C. y=2x D. y=2xy+2x2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（）.A. 一次函数B. 二次函数C. 指数型函数D. 对数型函数3. 一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（）.A. y=20-2x（x≤10）B. y=20-2x（x<10）C. y=20-2x （5≤x≤10）D. y=20-2x（5<x<10）4. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成 .5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有台计算机被感染. （用式子表示）某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售. 这样，仍可获得25%的纯利. 求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.。

3.2.1 几类不同增长函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律根本数学模型，不同变化规律需要用不同函数模型来描述．本节教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长函数模型认识及应用，都是通过实例来实现．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用．三维目标1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比拟指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．2．恰当运用函数三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题．3．让学生体会数学在实际问题中应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1．(事例导入)一张纸厚度大约为0.01 cm，一块砖厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次厚度与n块砖厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们厚度．你直觉与结果一致吗？解：纸对折n次厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节课学习大家对这些问题会有更深了解．思路2．(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数图象与性质，本节我们将通过实例比拟它们增长差异．推进新课新知探究提出问题(1)如果张红购置了每千克1元蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x函数．(2)正方形边长为x，面积为y，把y表示为x函数．(3)某保护区有1单位面积湿地，由于保护区努力，使湿地面积每年以5%增长率增长，经过x年后湿地面积为y，把y表示为x函数．(4)分别用表格、图象表示上述函数．(5)指出它们属于哪种函数模型．(6)讨论它们单调性．(7)比拟它们增长差异．(8)另外还有哪种函数模型与对数函数相关．活动：先让学生动手做题后再答复，经教师提示、点拨，对答复正确学生及时表扬，对答复不准确学生提示引导考虑问题思路．(1)总价等于单价与数量积．(2)面积等于边长平方．(3)由特殊到一般，先求出经过1年、2年…(4)列表画出函数图象．(5)引导学生回忆学过函数模型．(6)结合函数表格与图象讨论它们单调性．(7)让学生自己比拟并体会．(8)其他与对数函数有关函数模型．讨论结果：(1)y＝x.(2)y＝x2.(3)y＝(1＋5%)x.(4)如下表图1 图2 图3(5)它们分别属于：y＝kx＋b(直线型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，抛物线型)，y＝ka x＋b(指数型)．(6)从表格与图象得出它们都为增函数．(7)在不同区间增长速度不同，随着x增大y＝(1＋5%)x增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．(8)另外还有与对数函数有关函数模型，形如y＝log a x＋b，我们把它叫做对数型函数．应用例如例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再答复．教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应函数模型，再通过比拟它们增长情况，为选择投资方案提供依据．解：设第x天所得回报是y元，那么方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进展描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进展描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)进展描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它增长情况进展分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报增长情况.图4由表与图4可知，方案一函数是常数函数，方案二、方案三函数都是增函数，但方案二与方案三函数增长情况很不一样．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三100倍与25倍，但它们增长量固定不变，而方案三是“指数增长〞，其“增长量〞是成倍增加，从第7天开场，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一与方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开场，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累积回报数．通过计算机或计算器列表如下：因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，那么应选择方案三．针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天回报数还是累积回报数．②课本把两种回报数都列表给出意义何在？③由此得出怎样结论．答案：①选择哪种方案依据是累积回报数．②让我们体会每天回报数增长变化．③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同函数增长模型，其增长变化存在很大差异.销售人员奖励方案：在销售利润到达10万元时，按销售利润进展奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润25%.现有三个奖励模型：yx，y＝log7x＋1，y x，其中哪个模型能符合公司要求？活动：学生先思考或讨论，再答复．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进展奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润25%，由于公司总利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数yx，y＝log7x＋1，y x图象(图6)．图6观察函数图象，在区间[10,1 000]上，模型yx，y x图象都有一局部在直线y＝5上方，只有模型y＝log7x＋1图象始终在y＝5下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进展奖励时才符合公司要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型奖金总数不超过5万．对于模型yx，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x＝20时，y ＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润25%，即当x ∈[10,1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．图7令f (x )＝log 7xx ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )图象(图7)，由函数图象可知它是递减，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，即log 7xx .所以当x ∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不超过利润25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求.知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样玻璃重叠起来，设光线原来强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来13以下．(lg3≈0.477 1)解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)kk；k2k；2k 3k ；光线经过x x k . ∴y x k (x ∈N *)．xk ＜k 3x ＜13.两边取以10为底对数，x lg 0.9＜lg 13.∵lg 0.9＜0，∴x ＞lg 13lg 0.9.∵lg 13lg 0.9＝lg 31－2lg 3≈10.4，∴x min ＝11. ∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来13以下．拓展提升某池塘中野生水葫芦面积与时间函数关系图象(如图8所示)．假设其关系为指数函数，并给出以下说法：①此指数函数底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦面积就会超过30 m 2； ③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所需时间分别为t 1、t 2、t 3，那么有t 1＋t 2＝t 3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延平均速度．哪些说法是正确？图8解：①说法正确．∵关系为指数函数，∴可设y＝a x(a＞0且a≠1)．∴由图知2＝a1.∴a＝2，即底数为2.②∵25＝32＞30，∴说法正确．③∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再答复．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从根本知识与根本技能两方面来总结．答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．作业课本习题组1,2.设计感想本节设计由学生熟悉素材入手，结果却出乎学生意料，由此使学生产生浓厚学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型应用，而且体会到它们之间差异；我们补充例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用素材．其中拓展提升中问题紧贴本节主题，很好地表达了指数函数性质特点，是不可多得素材．第2课时张建国导入新课思路1．(情境导入)国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋创造者，问他要什么．创造者说：“请在棋盘第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，……，依次类推，每个格子里麦粒数都是前一个格子里放麦粒数2倍，直到第64个格子．请给我足够麦粒以实现上述要求．〞国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足创造者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数增长差异．思路2．(直接导入)我们知道，对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数增长是有差异．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数增长差异．推进新课新知探究提出问题(1)在区间(0，＋∞)上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2单调性.(2)列表并在同一坐标系中画出三个函数图象.(3)结合函数图象找出其交点坐标.(4)请在图象上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2与log2x＜x2＜2x成立自变量x取值范围.(5)由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：(1)在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为增函数．(2)见下表与图9.(3)从图象看出y＝log2x图象与另外两函数图象没有交点，且总在另外两函数图象下方，y＝2x图象与y＝x2图象有交点．(4)不等式log2x＜2x＜x2与log2x＜x2＜2x成立自变量x取值范围分别是(2,4)与(0,2)∪(4，＋∞)．(5)我们在更大范围内列表作函数图象(图10)，容易看出：y＝2x图象与y＝x2图象有两个交点(2,4)与(4,16)，这说明2x与x2在自变量不同区间内有不同大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x图象就像与x 轴垂直一样，2x值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微缺乏道，如图11与下表所示．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x 一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x增长快于x n增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x增大，log a x增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x增长慢于x n增长，因此总存在一个x0，当x ＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们增长速度不同，而且不在同一个“档次〞上．随着x增大，y＝a x(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)增长速度，而y ＝log a x(a＞1)增长速度那么会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.虽然幂函数y＝x n(n＞0)增长快于对数函数y＝log a x(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸〞．应用例如例1 某市一家报刊摊点，从报社买进晚报价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进份数必须一样，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再答复．教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当xx；②可卖出250份10天里，收入为10×0.30×250；③10天里多进报刊退回给报社收入为10×0.05×(xx.解：设摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为yx＋10×0.30×250＋10×0.05×(xxx＋625，x∈[250,400]．因函数y在[250,400]上为增函数，故当x＝400时，y有最大值825元．图12例2 某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中含药量y与时间t之间近似满足如图12所示曲线．(1)写出服药后y与t之间函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假假设某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最正确？解：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1<t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，那么－23t 1＋203＝4，t 1＝4.因而第二次服药应在11：00；设第三次服药在第一次服药后t 2小时，那么此时血液中含药量应为两次服药量与，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9，故第三次服药应在16：00；设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3＞10)，那么此时第一次服进药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次与，－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5，故第四次服药应在20：30.知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图13(1)一条折线表示；西红柿种植本钱与上市时间关系用图13(2)抛物线段表示．(1)写出图13(1)表示市场售价与时间函数关系P＝f(t)；写出图13(2)表示种植本钱与时间函数关系式Q＝g(t)；(2)认定市场售价减去种植本钱为纯收益，问何时上市西红柿纯收益最大？(1) (2)图13(注：市场售价与种植本钱单位：元/102 kg ，时间单位：天) 活动：学生在黑板上书写解答．教师在学生中巡视其他学生解答，发现问题及时纠正．解：(1)由图13(1)可得市场售价与时间函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300.由图13(2)可得种植本钱与时间函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300.(2)设t 时刻纯收益为h (t )，那么由题意得h (t )＝f (t )－g (t )．即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0≤t ≤200时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100，所以当t＝300时，h(t)取得区间[200,300]上最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开场第50天时，上市西红柿纯收益最大．点评：此题主要考察由函数图象建立函数关系式与求函数最大值问题，考察运用所学知识解决实际问题能力．拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式．②分段函数解析式求法．③函数应用中最大值、最小值问题．举例探究：某跨国公司是专门生产健身产品企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后国内外市场销售情况进展调研，结果如图14(1)、图14(2)、图14(3)所示．其中图14(1)折线表示是国外市场日销售量与上市时间关系；图14(2)抛物线表示是国内市场日销售量与上市时间关系；图14(3)折线表示是每件产品A销售利润与上市时间关系．图14(1)分别写出国外市场日销售量f(t)、国内市场日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t关系式；(2)第一批产品A上市后哪几天，这家公司国内与国外日销售利润之与超过6 300万元？分析：1．利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式．2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段．3．回忆函数最值求法．解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40，g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)． (2)每件A 产品销售利润h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤20，60，20<t ≤40. 该公司日销售利润222338,020203()608,203020360240,304020t t t t F t t t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，＜，＜， 当0≤t ≤20时，F (t )＝3t (－320t 2＋8t )，先判断其单调性． 设0≤t 1＜t 2≤20，那么F (t 1)－F (t 2)＝3t 1(－320t 21＋8t 1)－3t 2(－320t 22＋8t 2)＜0. ∴F (t )在区间[0,20]上为增函数．∴F (t )max ＝F (20)＝6 000＜6 300.当20＜t ≤30时，令60(－320t 2＋8t )＞6 300， 那么703＜t ＜30； 当30＜t ≤40时，F (t )＝60(－320t 2＋240)＜60(－320×302＋240)＝6 300，故在第24,25,26,27,28,29天日销售利润超过6 300万元． 点评：1．利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点．2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，t ＝20，t ＝30两点把区间分为三段．3．二次函数最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一．课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数应用．作业课本习题组3,4.设计感想本节设计从精彩故事开场，让学生从故事中体会数学带来震撼，然后借助计算机感受不同函数模型巨大差异．接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题能力；并且重点训练了由图象转化为函数解析式能力，因为这是高考一个重点．本节每个例题都很精彩，可灵活选用．备课资料【备选例题】【例1】某西部山区某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产销售投资收益为：每年投入x 万元，可获得利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元．当地政府拟在新十年开展规划中加快开展此特产销售，其规划方案为：在规划后对该工程每年都投入60万元销售投资，在未来10年前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售投资收益为：每年投入x 万元，可获利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192(60－x )万元． 问从10年累积利润．．．．看，该规划方案是否可行？ 解：在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．那么10年总利润为W 1＝100×10＝1 000(万元)．实施规划后前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100，知每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)． 前5年利润与为7958×5＝3 9758(万元)． 设在公路通车后5年中，每年用x 万元投资于本地销售，而用剩下(60－x )万元用于外地区销售投资，那么其总利润为W 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1160(x －40)2＋100×5＋－159160x 2＋1192x ×5 ＝－5(x －30)2＋4 950.当x ＝30时，(W 2)max ＝4 950(万元)．从而10年总利润为3 9758＋4 950(万元)． ∵3 9758＋4 950＞1 000， ∴该规划方案有极大实施价值．。

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3。

2。

1几类不同增长的函数模型学习过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式,你知道它们的变化规律吗?二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三:第一天回报0。

4元,请问,你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y方案一：y＝40（x∈N＋）方案二：y＝10x(x∈N＋）方案三:y＝0。

4×12 x（x∈N＋）方案一是常数函数，方案二是增函数，呈直线型增长,方案三也是增函数，呈指数型增长,增长速度比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸"。

投资5天以下选方案一,投资5――8天选方案二,投资8天以上选方案三。

再看累计回报数表P114。

投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案,投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天(含11天）以上，则应选择第三种方案.例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位:万元）随销售利润x（单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％。

3．2.1 几类不同增长的函数模型[学习目标] 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．[预习导引]1．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x (a ＞1)y ＝log a x(a ＞1) y ＝x n(n ＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x 增大逐 渐变陡随x 增大逐 渐变缓随n 值 而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x(a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n(n ＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次〞上．(2)在区间(0，＋∞)上随着x 的增大，y ＝a x(a ＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度那么会越来越慢． (3)存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，有log a x ＜x n＜a x.要点一 函数模型的增长差异例1 (1)当x 越来越大时，以下函数中，增长速度最快的应该是( ) A ．y ＝10 000x B ．y ＝log 2x C ．y ＝x1 000D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x(2)四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：x 1 5 10 15 20 25 30 y 1 2 26 101 226401626901 y 22321 02432 768 1.05×1063.36×1071.07×109y 3 2 10 20 30 40 50 60 y 424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x 呈指数函数变化的变量是________． 答案 (1)D (2)y 2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，那么当x 越来越大时，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，变量y 1，y 2，y 3，y 4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，可知变量y 2关于x 呈指数函数变化．规律方法 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x(a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n(n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次〞上．随着x 的增大，y ＝a x(a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度那么会越来越慢，总会存在一个x 0，当x ＞x 0，就有log a x ＜x n＜a x.跟踪演练1 如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝〞所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2答案 A解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数． 要点二 几种函数模型的比较例2 某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份 2010 2011 2012 产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？解 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． (1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，那么f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1. (2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42.那么g (x )＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系． 规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数．2．理解“模型能更好反映该公司年销量y 与年份x 的关系〞的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣．跟踪演练2 函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图．(1)指出C 1，C 2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． 解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知 曲线C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1， 曲线C 2对应的函数为f (x )＝lg x ， (2)当x ∈(0，x 1)时，g (x )＞f (x )； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＜f (x )；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．函数g(x)＝0.3x－1呈直线增长，函数f(x)随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式〞增长.1．当x越来越大时，以下函数中，增长速度最快的应该是( )A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100 D．y＝100x答案 D解析几种函数模型中，指数函数增长最快，应选D.2．当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是( )A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x答案 B解析方法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x.方法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知选B.3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，那么函数y＝f(x)的图象大致是( )答案 D解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的图象大致为D中图象．4．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到( )A．300只 B．400只C．500只 D．600只答案 A解析由第一年有100只，得a＝100.将a ＝100，x ＝7代入y ＝a log 2(x ＋1)， 得y ＝300.5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，那么每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，那么这个函数解析式为________． 答案 y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)．解析 设解析式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧30＝k ×80＋b ，20＝k ×120＋b ，解得k ＝－14，b ＝50，∴y ＝－14x ＋50(0＜x ＜200)．三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y ＝x n(n ＞0)，那么可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；n 值较大(n ＞1)时，增长较快．一、基础达标1．以下函数中，增长速度最慢的是( ) A ．y ＝6xB ．y ＝log 6xC ．y ＝x 6D ．y ＝6x 答案 B解析 对数函数增长的越来越慢，应选B.2．甲从A 地到B 地，途中前一半路程的行驶速度是v 1，后一半路程的行驶速度是v 2(v 1＜v 2)，那么甲从A 地到B 地走过的路程s 与时间t 的关系图示为( )答案 B解析 ∵v 1＜v 2，∴前半段路程用的时间长．3．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，假设按此规律，设2013年的湖水量为m ，从2013年起，经过x 年后湖水量y 与x 的函数关系为( ) A ．y ＝0.950x B ．y ＝(1－0.150x )mC ．y ＝0.950x m D ．y ＝(1－0.150x )m答案 C解析 设每年湖水量为上一年的q %， 那么(q %)50＝0.9，∴q %＝0.9501.∴x 年后的湖水量为y ＝0.950x m .4．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，那么沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10 D ．y ＝0.2＋log 16x答案 C解析 将x ＝1,2,3，y ＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．5．某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·(0.5)x＋b ，现该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．那么此厂3月份该产品产量为________万件． 答案 1.75解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ·0.51＋b ，1.5＝a ·0.52＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x＋2，所以3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件．6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如下图．现给出以下说法：①前5 min 温度增加的速度越来越快；②前5 min 温度增加的速度越来越慢；③5 min 以后温度保持匀速增加；④5 min 以后温度保持不变．其中正确的说法是________．答案 ②④解析 因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平，即5 min 前每当t 增加一个单位增量Δt ，那么y 相应的增量Δy 越来越小，而5 min 后是y 关于t 的增量保持为0，那么②④正确． 7．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一X ，其余人可享受半票优惠．〞乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23优惠．〞这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．解 设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)， 旅游收费y ，旅游原价为a .甲旅行社收费：y ＝a ＋12(x ＋1)a ＝12(x ＋3)a ；乙旅行社收费：y ＝23(x ＋2)a .∵23(x ＋2)a －12(x ＋3)a ＝16(x －1)a ， ∴当x ＝1时，两家旅行社收费相等． 当x ＞1时甲旅行社更优惠． 二、能力提升8．假设x ∈(1,2)，那么以下结论正确的选项是( ) A ．2x＞x 21＞lg x B ．2x＞lg x ＞x 21 C ．x 21＞2x＞lg x D ．x 21＞lg x ＞2x答案 A解析 ∵x ∈(1,2)， ∴2x ＞2.∴x 21∈(1，2)， lg x ∈(0,1)． ∴2x ＞x 21＞lg x .9.向高为H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如下图，那么水瓶的形状是( )答案 B解析 取OH 的中点(如图)E 作h 轴的垂线，由图知当水深h 达到容量一半时，体积V 大于一半．易知B 符合题意．10．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料质量M kg 、火箭(除燃料外)质量m kg 的关系是v ＝2 000ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m，那么当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案 e 6－1解析 由题意2 000ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m＝12 000.∴ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，从而M m＝e 6－1.11．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1.(1)求出V 关于Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数． 解 (1)设V ＝k ·log 3Q100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100，∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V ＝12log 3Q 100.(2)令V ＝1.5，那么1.5＝12log 3Q100，∴Q ＝2 700，所以，一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2 700个单位． 三、探究与创新12．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问： (1)工厂每月生产3 000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明．(2)假设工厂每月生产6 000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？解 设工厂每月生产x 件产品时，依方案一的利润为y 1，依方案二的利润为y 2，由题意知y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30 000＝24x －30 000， y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x .(1)当x ＝3 000时，y 1＝42 000，y 2＝54 000， ∵y 1＜y 2，∴应选择方案二处理污水． (2)当x ＝6 000时，y 1＝114 000，y 2＝108 000，∵y 1＞y 2，∴应选择方案一处理污水．13．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10 lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的X 围为多少？解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10 lg I 2I 0＝10 lg 1＝0(分贝)； 耳语的强度水平为L 3＝10 lg I 3I 0＝10 lg102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10lg I 4I 0＝10lg104＝40(分贝)；(2)由题意知0≤L 1＜50，即0≤10lg II0＜50，所以1≤II0＜105，即1×10－12≤I＜1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I的X围为[1×10－12,1×10－7)．。

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3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质、并体会增长快慢;理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题,并进行数学建模解决实际问题(重点)．预习教材P95－P101,完成下面问题:知识点三种函数模型的性质y＝a x（a〉1）y＝log a x（a>1）y＝x n（n〉0）在（0,＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随n值而不同增长速度①y＝a x(a〉1)：随着x的增大,y增长速度越来越快，会远远大于y＝x n(n〉0)的增长速度，y＝log a x（a>1）的增长速度越来越慢②存在一个x0,当x>x0时，有a x>x n〉log a x(1）当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．( ）(2）函数y＝错误!x衰减的速度越来越慢．( )(3）不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.（)提示(1)√因为一次函数的图象是直线,所以当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值．(2)√由函数y＝错误!x的图象可知其衰减的速度越来越慢．（3）×根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x〉m时，1.1x〉x100。

3.2.1 几类不同增长的函数模型1.知识与技能在掌握好函数基本性质的前提下,使学生探求函数在实际中的应用,并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题.2.过程与方法(1)培养学生应用数学的意识及分析问题、解决问题的能力;(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力.3.情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,认识事物之间的普遍联系与相互转化,在实践研究中,培养学生的创新精神,团结协作精神,激发学生学习数学的兴趣.重点:将实际问题转化为函数模型,训练学生通过实践探求函数在实际中的应用.难点:怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题.重难点突破:主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解.首先对具体函数y=2x,y=x2,y=log2x 的增长的差异性进行比较.在比较函数y=2x,y=x2的增长的差异性时,分别选择了三个不同的步长进行研究,这样就更能反映这两类函数的增长的特点,在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究,能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择.在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法,然后将结论推广到一般的指数函数y=a x(a>1)、对数函数y=log a x(a>1)、幂函数y=x n(n>0)在区间(0,+∞)的增长的差异性,即存在一个x0,当x>x0时,a x>x n>log a x,充分体现了“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”的特点.整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法,培养学生全面分析问题、解决问题的能力.1.澳大利亚的兔子数“爆炸”1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口,这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至20世纪50年代,科学家采用粘液瘤病毒杀死了90%的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.一般而言,在理想条件(食物或养料充足,空间条件充裕,气候适宜,没有敌害等)下,种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线;在有限的环境(空间有限,食物有限,有捕食者存在等)中,种群增长到一定程度(K)后不再增长,曲线呈“S”型.从数学上来看,可以用指数函数描述一个种群的前期增长情况,用对数函数描述后期增长的情况.2.碳14测年法利用宇宙射线产生的放射性同位素碳14测定含碳物质的年龄的方法,就叫碳14测年法.已故著名考古学家夏鼐先生对碳14测定考古年代的作用,给了极高的评价:“由于碳14测定年代法的采用,使不同地区的各种新石器文化有了时间关系的框架,使中国的新石器考古学因为有了确切的年代序列而进入了一个新时期.”那么,碳14测年法是如何测定古代遗存物的年龄呢?原来,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,后为动物纳入,只要植物或动物生存着,它们就会持续不断地吸收碳14,在机体内保持一定的水平,而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并逐渐消失,对于任何含碳物质,只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代.碳14测年法分为常规碳14测年法和加速器质谱碳14测年法两种.两者相比,后者具有明显的优点:一是样品用量少,只需1~5毫克样品就可以了,如一小片织物、骨屑、古陶瓷器表面或气孔中的微量碳粉都可测量(常规碳14测年法却需1~5克样品);二是灵敏度高,其测量同位素比值的灵敏度可达10~15至10~16(常规碳14测年法则与之相差5~7个数量级);三是测量时间短,测量现代碳若要达到1%的精度,只需10~20分钟(常规碳14测年法却需12~20小时).可以说,对测定50 000年以内的文物样品,加速器质谱碳14测年法是测定精度最高的一种.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。