2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用学案

第十节函数模型及其应用[知识能否忆起]1．几种常见的函数模型2.[小题能否全取]1．(教材习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)答案：选B 由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意h ＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件D ．9万件解析：选B 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值．4．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y 是经过年数x(0<x≤m)的函数，其关系式y ＝f(x)可写成___________________________．解析：依题意有y ＝a(1－p%)x(0<x≤m)． 答案：y ＝a(1－p%)x(0<x≤m)5.有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的长为x m ，宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)．当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2.答案：2 500 m21.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：2．解函数应用题常见的错误(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．典题导入[例1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？[自主解答] 设该单位每月获利为S ， 则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．由题悟法1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解．2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决．3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．以题试法1．(2018·抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm 与60 cm ，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？解：如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x ，CF ＝y ， 则AF ＝40－y.∵△AFE ∽△ACB ，∴AF AC ＝FEBC ，即40－y 40＝x 60.∴y ＝40－23x.剩下的残料面积为S ＝12×60×40－x·y＝23x 2－40x ＋1 200＝23(x －30)2＋600. ∵0<x<60，∴当x ＝30时，S 取得最小值为600，这时y ＝20.∴在边长60 cm 的直角边CB 上截CD ＝30 cm ，在边长为40 cm 的直角边AC 上截CF ＝20 cm 时，能使所剩残料最少．典题导入[例2] (2018·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元．(1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f(x)，求f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？[自主解答] (1)当0<x≤500时，f(x)＝0.05x －120 000x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12， 当x>500时，f(x)＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ， 故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－120 000x 2＋19400x －12，0<x≤500，12－1400x ，x>500.(2)当0<x≤500时，f(x)＝－x 220 000＋19400x －12＝－120 000(x －475)2＋34532，故当x ＝475时，f(x)max ＝34532. 当x>500时，f(x)＝12－1400x<12－54＝34432<34532， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．由题悟法1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．以题试法2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨， y ＝1.8(5x ＋3x)＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时， y ＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ，0≤x≤45，20.4x －4.8，45<x≤43，24x －9.6，x>43.(2)由于y ＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨， 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70元； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70元．典题导入[例3] (2018·广州模拟)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[自主解答] (1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)．则 a(1－x)10＝12a ，即(1－x)10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a(1－x)m＝22a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a(1－x)n. 令22a(1－x)n ≥14a ，即(1－x)n≥24， ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 10≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1232，n 10≤32，解得n≤15. 故今后最多还能砍伐15年．由题悟法增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N(1＋p)x(其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a(1＋x)n(其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解．以题试法3．某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2019年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，2019年预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x ，则有40040%×(1＋x)2＝1 690,1＋x ＝1310，因此2019年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．答案：1 3001．设甲、乙两地的距离为a(a ＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )解析：选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.2．(2018·湖北三校联考)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8] B ．[6,10] C ．[4%,8%]D ．[6%,100%]解析：选A 根据题意得，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R ∈[4,8]．3．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为( )A ．2 000元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 000元解析：选B 设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝2 400.4．(2018·温州月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析：选A 依题意可设s A (t)＝20＋kt ，s B (t)＝mt ，又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2.于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元． 5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．6．(2018·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n 次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．7．(2018·河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7拆优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为______．解析：依题意，价值为x 元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x≤200，0.9x ，200<x≤500，500×0.9＋－，x>500.当f(x)＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x ＝168；当f(x)＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x ＝470.所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．答案：546.6元8．(2018·镇江模拟)如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出 2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b)≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486.答案：30 cm,20 cm9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000， 即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66， 令t ＝1＋x%，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t≥65或者t≤－115(舍去)，故1＋x%≥65，解得x≥20.答案：2010．(2018·湖南十二校联考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.请分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因．解：对于函数模型y ＝f(x)＝x150＋2， 当x ∈[10,1 000]时，f(x)为增函数， f(x)max ＝f(1 000)＝1 000150＋2＝203＋2<9， 所以f(x)≤9恒成立．但当x ＝10时，f(10)＝115＋2>105，即f(x)≤x5不恒成立． 故函数模型y ＝x150＋2不符合公司要求．11．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台．当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a 台．市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元．(1)写出月利润y 与x 的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．解：(1)依题意，销售价提高后变为6 000(1＋x)元/台，月销售量为a(1－x 2)台，则y ＝a(1－x 2)[6 000(1＋x)－4 500]．即y ＝1 500a(－4x 3－x 2＋4x ＋1)(0<x<1)． (2)由(1)知y′＝1 500a(－12x 2－2x ＋4)， 令y′＝0，得6x 2＋x －2＝0， 解得x ＝12或x ＝－23(舍去)．当0<x<12时，y′>0；当12<x<1时，y′<0.故当x ＝12时，y 取得最大值．此时销售价为6 000×32＝9 000(元)．故笔记本电脑的销售价为9 000元时，该公司的月利润最大．12.如图，已知矩形油画的长为a ，宽为b.在该矩形油画的四边镶金箔，四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画．设壁画的左右两边金箔的宽为x ，上下两边金箔的宽为y ，壁画的总面积为S.(1)用x ，y ，a ，b 表示S ；(2)若S 为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大．求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x ，y 的值．解：(1)由题意可得S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ，其中x>0，y>0. (2)依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大值即求4xy 的最大值．因为a ，b ，x ，y 均大于0，所以2bx ＋2ay≥22bx·2ay，从而S≥4abxy ＋4xy ＋ab ，当且仅当bx ＝ay 时等号成立．令t ＝xy ，则t>0，上述不等式可化为4t 2＋4ab ·t＋ab －S≤0， 解得－S －ab 2≤t≤S －ab2. 因为t>0，所以0＜t≤S －ab2， 从而xy≤ab ＋S －2abS4.由⎩⎪⎨⎪⎧bx ＝ay ，S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝abS －ab2b ，y ＝abS －ab2a.所以当x ＝abS －ab 2b ，y ＝abS －ab2a时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab ＋S －2abS.1．某地2019年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)( )A ．90万m 2B ．87万m 2C ．85万m 2D ．80万m 2解析：选B 由题意＋10×7－500×610≈86.6(万m 2)≈87(万m 2)．2.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f(h)的大致图象可能是图中的________．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢． 答案：②3．(2018·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解：(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60； 当20≤x≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0≤x≤20，13－，20≤x≤200. (2)依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ，0≤x≤20，13－，20≤x≤200. 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤ 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ， 即x ＝100时，等号成立． 所以当x ＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．(2018·浙江金华阶段性检测)某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资x(万元)的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元．解：(1)当投资为x 万元，设A 产品的利润为f(x)万元，B 产品的利润为g(x)万元，由题意可设f(x)＝k 1x ，g(x)＝k 2x.由图知f(1)＝14，故k 1＝14.又g(4)＝52，故k 2＝54.从而f(x)＝14x(x≥0)，g(x)＝54x (x≥0)． (2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10－x)万元，设企业利润为y 万元．y ＝f(x)＋g(10－x)＝14x ＋5410－x (0≤x≤10)． 令t ＝10－x ，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t≤10)． 当t ＝52时，y max ＝6516，此时x ＝3.75,10－x ＝6.25. 即当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润为6516万元．。

第九节 函数模型及其应用[考纲传真] (教师用书独具)1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(对应学生用书第29页)[基础知识填充]1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．(2)反比例函数模型：y ＝kx＋b (k ，b 为常数且k ≠0)． (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ＞0，b ≠1，a ≠0)． (5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a ＞0，a ≠1，m ≠0)． (6)幂函数模型：y ＝a ·x n＋b (a ≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图2­9­1表示如下：图2­9­1[知识拓展] “对勾”函数形如f (x )＝x ＋a x(a ＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．(2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x 0，使a x 0＜x n0＜log a x 0.( )(4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )＜f (x )＜g (x )．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( ) A ．100只 B ．200只 C ．300只D ．400只B [由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 3 9＝200.]3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( ) A ．减少7.84% B ．增加7.84% C ．减少9.5%D ．不增不减A [设某商品原来价格为a ，依题意得：a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ，(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]4．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为( )B[由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，其图像为B．]5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．(1＋p)(1＋q)－1[设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)·(1＋q)，所以x＝(1＋p)(1＋q)－1.](对应学生用书第30页)(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是( )(2)如图2­9­2所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用容器下面所对的图像表示该容器中水面的高度h和时间t 之间的关系，其中正确的有( )图2­9­2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(1)A(2)C[(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A．(2)将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来，(1)中的增长应该是匀速的，故下面的图像不正确；(2)中的增长速度是越来越慢的，正确；(3)中的增长速度是先快后慢再快，正确；(4)中的增长速度是先慢后快再慢，也正确，故(2)(3)(4)正确．选C．]钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为( )【导学号：79140066】D[y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D．](1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如图2­9­3所示的一次函数图像确定，那么乘客可免费携带行李的重量最大为________ kg.图2­9­3(2)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y ＝a e－b t(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．(1)19 (2)16 [(1)由图像可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.(2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， 所以e －8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －b t＝18a ， e－b t＝18＝(e －8 b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min.]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B (x －A )，x ＞A .已知某家庭2017年前三个月的煤气费如下表：【导学号：79140067】A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元A [根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12(x －5)，x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A ．](2017·山西孝义模考)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115. 令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N ＋，∴3≤x ≤6，x ∈N ＋. 当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0. 又x ∈N ＋，∴6＜x ≤20(x ∈N ＋)，故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈N ＋)，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈N ＋).(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N ＋)，显然当x ＝6时，y max ＝185.对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈N ＋)，当x ＝11时，y max ＝270.又∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．[跟踪训练] (2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年B [设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．]。

第9课时函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．『梳理自测』一、常见的函数模型1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A．y＝2x－2 B．y＝12(x2－1)C．y＝log3x D．y＝2x－23．(教材改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．『答案』A 2.B 3.y＝a(1＋r)x，x∈N* 4.2 500◆以上题目主要考查了以下内容：二、三种增长型函数之间增长速度的比较(教材改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)『答案』B◆此题主要考查了以下内容：(1)指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时有a x＞x n．(2)对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)对数函数y＝log a x(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x＞x0时有log a x＜x n．由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时有a x＞x n＞log a x(a＞1，n ＞0)．『指点迷津』1．一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．二个关键一个关键是正确选择自变量，第二个关键是抓住某些量之间的相等关系列函数式．3．四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论．考向一由函数图象模拟实际问题如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不．正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个『审题视点』等速度注入水，即等容量注入水，当时间t等量变化时，可考虑水面高度h的变化快慢．『典例精讲』①中，平行于底面的横截面处处相等，水面高度h随着时间t的等量增加，h也等量增加，故h是t的一次函数关系，其对应图象是错的．②中，随着时间等量增加，横截面越来越大，水面高度h增加的也越来越小，其图象符合题意．③中，在中截面以下，h随t等量增加，其增加量越来越小，在中截面以上，其增加量越来越大，其图象符合题意．④中，随着t等量增加，h变化先是越来越大后又越来越小，其图象符合题意．『答案』A『类题通法』将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．1．如图所示，向高为H的容器A，B，C，D中同时以等速注水，注满为止：(1)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的(a )，则容器的形状是________；(2)若水量v 与水深h 的函数图象是下图中的(b )，则容器的形状是________；(3)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的(c )，则容器的形状是________；(4)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的(d )，则容器的形状是________．『解析』(1)若h (t )的图象是(a )，h (t )是t 的正比例函数，h 随t 等比例增，其容器为C.(2)若v (h )的图象是(b )即指数型，v 随h 的变化越来越大，所以容器是A.(3)若h (t )的图象是(c )，h 随t 的变化是先快后缓再快，呈对称变化为容器D.(4)若t (h )的图象是(d )，当同样深度的水所用时间的变化由大到小，即相对于前一次注水的容量越来越少，时间的变化越来越小，容器为B.『答案』(1)C (2)A (3)D (4)B考向二 利用已知函数模型解决实际问题(2014·山东高考命题原创卷)随着全球债务危机的深化，中国某陶瓷厂为了适应发展，制定了以下生产计划，每天生产陶瓷的固定成本为14 000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量f (x )(单位：件)与产量x (单位：件)之间的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1625x 2（0≤x ≤400）x －144（400＜x ＜500），每件产品的售价g (x )(单位：元)与产量x 之间的关系式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－58x ＋750（0≤x ≤400）－x ＋900（400＜x ＜500）. (1)写出该陶瓷厂的日销售利润Q (x )(单位：元)与产量x 之间的关系式；(2)若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产多少件产品，并求出最大利润． 『审题视点』 利用f (x )与g (x )及成本函数l (x )之间的关系构造Q (x )，并按分段函数求最值．『典例精讲』 (1)设总成本为c (x )(单位：元)，则c (x )＝14 000＋210x ，所以日销售利润Q (x )＝f (x )g (x )－c (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－11 000x 3＋65x 2－210x －14 000（0≤x ≤400）－x 2＋834x －143 600（400＜x ＜500）. (2)由(1)知，当0≤x ≤400时，Q ′(x )＝－31 000x 2＋125x －210. 令Q ′(x )＝0，解得x ＝100或x ＝700(舍去)．易知当x ∈『0，100)时，Q ′(x )＜0；当x ∈(100，400』时，Q ′(x )＞0.所以Q (x )在区间『0，100)上单调递减，在区间(100，400』上单调递增．因为Q (0)＝－14 000，Q (400)＝30 000，所以Q (x )在x ＝400时取到最大值，且最大值为30 000.当400＜x ＜500时，Q (x )＝－x 2＋834x －143 600.当x ＝－8342×（－1）＝417时，Q (x )取得最大值，最大值为 Q (x )max ＝－4172＋834×417－143 600＝30 289.综上所述，若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产417件产品，其最大利润为30 289元．『类题通法』 若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．2．某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在下图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？『解析』(1)P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0＜t ≤20，－110t ＋8，20＜t ≤30.(t ∈N *) (2)设Q ＝at ＋b (a ，b 为常数)，把(4，36)，(10，30)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30.∴a ＝－1，b ＝40. 所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝－t ＋40，0＜t ≤30，t ∈N *.(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫15t ＋2×（40－t ），0＜t ≤20，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8×（40－t ），20＜t ≤30.即y ＝⎩⎨⎧－15（t －15）2＋125，0＜t ≤20.110（t －60）2－40，20＜t ≤30，(t ∈N *) 当0＜t ≤20时，y 有最大值y max ＝125万元，此时t ＝15；当20＜t ≤30时，y 随t 的增大而减小，y max ＝110(20－60)2－40＝120万元． 所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．考向三 自建函数模型应用题诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：2013年诺贝尔奖金发放后基金总额约为26 136万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(2013年记为f (1)，2014年记为f (2)，……依次类推)(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式计算2023年度诺贝尔奖各项奖金的数目．(参考数据：1.0 3129＝1.32)『审题视点』 当年奖金发放后的总数就是该年的本息之和去掉该年利息的一半．『典例精讲』 由题意知：f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)×6.24%＝f (1)(1＋3.12%) f (3)＝f (2)(1＋6.24%)－12f (2)×6.24% ＝f (2)(1＋3.12%)＝f (1)(1＋3.12%)2∴f (x )＝26 136×(1＋3.12%)x －1(x ∈N *)(2)2022年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝26 136×(1＋3.12%)9＝34 499.52(万美元)故2023年各项奖金为16×12f (10)×6.24%≈179.4(万美元) 2023年诺贝尔奖各项奖金为179.4万美元．『类题通法』 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．3．某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)．试求f (x )和g (x )；(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？『解析』(1)f (x )＝5x ，15≤x ≤40，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤302x ＋30，30＜x ≤40. (2)由f (x )＝g (x )得，⎩⎪⎨⎪⎧15≤x ≤305x ＝90，或⎩⎪⎨⎪⎧30＜x ≤405x ＝2x ＋30， 即x ＝18或x ＝10(舍)．当15≤x ＜18时，f (x )－g (x )＝5x －90＜0，∴f (x )＜g (x )，即选甲家；当x ＝18时，f (x )＝g (x )，既可以选甲家，也可以选乙家；当18＜x ≤30时，f (x )－g (x )＝5x －90＞0，∴f (x )＞g (x )，即选乙家；当30＜x ≤40时，f (x )－g (x )＝5x －(2x ＋30)＝3x －30＞0，∴f (x )＞g (x )，即选乙家．综上所述，当15≤x ＜18时，选甲家，当x ＝18时，可以选甲家，也可以选乙家，当18＜x ≤40时，选乙家．函数实际应用题的解答方法(2014·郑州市高三质检)如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？『方法分析』 ①弄清条件是什么，解题目标是什么：题目条件：汽车行驶方向及速度，人所在位置M 及到公路的垂直距离．解题目标：人至少提前到达公路与汽车会合时所应有的速度．②关于探索：M 到公路的垂直距离隐含了直角三角形，可求角的余弦值．当摩托车行驶的距离到达公路时，恰好与汽车会合，形成三角形，是摩托车的最小速度转化为三角形的余弦定理，研究三角形边的关系．『解答过程』 作MI 垂直公路所在直线于点I ，则MI ＝3，∵OM ＝5，∴OI ＝4，∴cos ∠MOI ＝45. 设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时，追上汽车的时间为t 小时，由余弦定理得(vt )2＝52＋(50t )2－2×5×50t ×45， 即v 2＝25t 2－400t ＋2 500＝25(1t－8)2＋900≥900， ∴当t ＝18时，v 取得最小值为30， ∴其行驶距离为vt ＝308＝154公里． 故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了154公里． 『回归反思』 ①此题大胆构造三角形(直角三角形和一般三角形)是解题的入手点，从此可发现速度v 与时间t 的关系．②此题目标是求v 的最小值，故利用二次函数求最小值．1．(2013·高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．『15，20』B．『12，25』C．『10，30』D．『20，30』『解析』选C.利用三角形相似求出矩形的边长，再利用面积关系求解自变量的取值范围．设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，x40＝40－y40，∴y＝40－x.∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是()『解析』选C.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先匀速运动，故前段是直线段，途中停留距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.3．(2012·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．『解析』(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)『解析』(1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20＜x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13（200－x ）， 20＜x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x （200－x ）， 20＜x ≤200. 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎡⎦⎤x ＋（200－x ）22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间『20，200』上取得最大值10 0003.高三数学一轮复习教案11 综上，当x ＝100时，f (x )在区间『0，200』上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。

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第9节函数模型及其应用【选题明细表】知识点、方法题号一次、二次函数模型2，3，7，8指数、对数函数模型1,4,10函数模型的综合应用5，6,9，11,12,13基础巩固(时间:30分钟）1.某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( C ）（A)y=100x （B）y=50x2-50x+100(C)y=50×2x(D)y=100log2x+100解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数函数模型。

故选C.2.(2017·广元三模)某城区按以下规定收取水费:若每月用水不超过20 m3,则每立方米水费按2元收取；若超过20 m3,则超过的部分按每立方米3元收取，如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，则这户居民这月共用水( D )（A)46 m3（B）44 m3(C）26 m3(D）25 m3解析：设这户居民这个月共用水x立方米,20×2+(x-20）×3=2.2x,40+3x-60=2.2x，0。

第九节 函数模型及其应用2019考纲考题考情1．三种函数模型性质比较2.几种常见的函数模型“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢。

一、走进教材1．(必修1P 107A 组T 1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：A ．y ＝2xB ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意。

故选D 。

答案 D 二、走近高考2．(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何。

”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________。

解析 因为z ＝81，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11。

答案 8 113．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080。

下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)( )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析 因为M N ＝33611080>0，所以lg M N ＝lg 33611080＝lg3361－lg1080＝361lg3－80≈93.28。

所以M N≈1093。

故选D 。

答案 D 三、走出误区微提醒：①对三种函数增长速度的理解不深致错；②建立函数模型出错；③计算出错。