高中数学学案：函数模型及其应用

函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。

函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。

一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。

2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。

3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。

4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。

2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。

3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。

4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。

5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。

三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。

2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。

3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。

4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。

四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。

第11讲函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调□1递增单调□2递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与□3y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与□4x 轴平行随n 值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)与指数函数相关的模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与对数函数相关的模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与幂函数相关的模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)实际问题中函数要有意义，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.常用结论1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，增长速度缓慢.2.“对勾”函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时f (x )取最小值2a .1.回源教材(1)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A.40万元B.60万元C.80万元D.120万元解析：D 当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元).(2)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S ＝a e －kt (a ，k 为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S (单位：克)代表t 分钟末未溶解糖块的质量，则k ＝()A.ln 2 B.ln 3C.ln 25D.ln 35解析：C 由题意可得，当t ＝0时，S ＝a ＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e －5k ，解得k ＝ln 25.2.易错自纠(1)已知f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f (x )>g (x )>h (x )B.g (x )>f (x )>h (x )C.g (x )>h (x )>f (x )D.f (x )>h (x )>g (x )解析：B在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x ∈(4，＋∞)时，增长速度大小排列为g (x )>f (x )>h (x ).(2)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.11解析：C设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为(12)n ，由(12)n <11000，得n ≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.利用函数图象刻画实际问题的变化过程1.某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数图象正确的是()解析：A 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A ，C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，A 中总产量增长，C 中总产量不变，因此A 正确.2.如图所示，△OAB 是边长为2的等边三角形，直线x ＝t 截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y (见图中阴影部分)，则函数y ＝f (t )的大致图象为()解析：D 根据题意，△OAB 是边长为2的等边三角形，则A 点的坐标为(1，3)，B 点的坐标为(2，0)，所以直线OA 的方程为y ＝3x ，直线AB 的方程为y ＝－3(x －2)，所以当0≤t ≤1时，y ＝f (t )＝12×t ×3t ＝3t 22；当1＜t ≤2时，y ＝f (t )＝12×2×3－12(2－t )×3(2－t )＝3－32(2－t )2；当t ＞2时，y ＝f (t )＝12×2×3＝3，它的图象如D 选项所示.故选D.反思感悟判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案.已知函数模型解决实际问题例1(多选)(2024·德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R 0，1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 个人中有V 个人接种过疫苗(VN 称为接种率)，那么1个感染者传染人数为R 0N (N －V ).已知某种传染病在某地的基本传染数R 0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能为()A.45%B.55%C.65%D.75%解析：ABC 为了使1个感染者传染人数不超过1，只需R0N(N －V )≤1，即R 0·(1－VN)≤1，因为R 0＝4，故1－V N ≤14，可得V N ≥34.反思感悟已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.训练1(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6解析：C 4.9＝5＋lg V ⇒lg V ＝－0.1⇒V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.构造函数模型解决实际问题构建二次函数模型例2某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元解析：C设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.构建分段函数模型例3某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的连续函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年.(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.解：(1)由题意得当0<x≤4时，v＝2，当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，a＋b＝0，a＋b＝2，＝－18，＝52，所以v＝－18x＋52.故函数v，0<x≤4，－18x＋52，4<x≤20.(x∈N*)(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，由(1)得f(x)x，0<x≤4，－18x2＋52x，4<x≤20.(x∈N*)当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；当4<x≤20时，f(x)＝－18x2＋52x＝－18(x2－20x)＝－18(x－10)2＋252.所以f(x)max＝f(10)＝12.5.所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.构建对勾函数模型例4某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为.解析：根据图象求得y＝－(x－6)2＋11(x＞0)，∴年平均利润yx＝12－(x＋25x)，∵x＋25x≥10，当且仅当x＝5时等号成立，∴要使营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5.答案：5反思感悟在应用函数解决实际问题时需注意以下4个步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.(3)解模：求解函数模型，得出数学结论.(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题.训练2(2024·临沂测试)已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x千件(0<x≤25)并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)(单位：万元)，且R(x)108－13x2，0<x≤10，－x＋175x＋57，10<x≤25.(1)写出年利润f(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解：(1)当0<x≤10时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝81x－x33－100；当10<x≤25时，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝－x2＋30x＋75.故f(x)81x－x33－100，0<x≤10，－x2＋30x＋75，10<x≤25.(2)当0<x≤10时，由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)(x－9)，得当x∈(0，9)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(9，10)时，f′(x)<0，f(x)单调递减.故f(x)max＝f(9)＝81×9－13×93－100＝386.当10<x≤25时，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.综上，当x＝9时，年利润取最大值386.所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.限时规范训练(十六)A 级基础落实练1.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x 1.99234 5.15 6.126y1.5174.04187.51218.01A.y ＝2x －2B.y ＝12(x 2－1)C.y ＝log 2xD.y ＝log 12x解析：B由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.2.据统计，第x 年某湿地公园越冬的白鹭数量y (只)近似满足y ＝k log 3(x ＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)()A.1530只 B.1636只C.1830只 D.1930只解析：B∵第x 年某湿地公园越冬的白鹭数量y (只)近似满足y ＝k log 3(x ＋1)，且当x ＝2时，y ＝1000，∴1000＝k log 33，解得k ＝1000，∴当x ＝5时，y ＝1000×log 36＝1000×(log 33＋log 32)＝1000×(1＋ln 2ln 3)≈1636.3.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为()A.3.75元/瓶B.7.5元/瓶C.12元/瓶D.6元/瓶解析：D设销售价每瓶定为x 元，利润为y 元，则y ＝(x －3)(400＋4－x0.5×40)＝80(x －3)·(9－x )＝－80(x －6)2＋720(x ≥3)，所以x ＝6时，y 取得最大值.4.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，下列结论正确的是()A.甲同学从家出发到乙同学家走了60minB.甲从家到公园的时间是30minC.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D.当0≤x ≤30时，y 与x 的关系式为y ＝115x 解析：BD在A 中，甲在公园休息的时间是10min ，所以只走了50min ，A错误；由题中图象知，甲从家到公园的时间是30min ，B 正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C 错误；当0≤x ≤30时，设y ＝kx (k ≠0)，则2＝30k ，解得k ＝115，D 正确.5.(2024·潍坊期末)由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验标准》(GB/T19522－2010)于2011年7月1日正式实施.车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f (x )（π3x ）＋13，0≤x <2，－0.5x ＋14，x ≥2，则该人喝1瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)()车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类型阈值(mg/100mL)饮酒后驾车≥20，<80醉酒后驾车≥80A.5hB.6hC.7hD.8h解析：B由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e －0.5x ＋14<20，解得x >5.42，取整数，故为6个小时.故选B.6.(2024·连云港质检)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A.8 B.10C.12 D.13解析：B 设该企业需要更新设备的年数为x (x ∈N *)，设备年平均费用为y万元，则x 年的设备维护费用为2＋4＋6＋…＋2x ＝x （2＋2x ）2＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用y ＝100＋0.5x ＋x （x ＋1）x ＝x ＋100x ＋32≥2x ·100x ＋32＝432(万元)，当且仅当x ＝10时，等号成立，因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.7.如图所示，学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60m ，要所建造的每个花圃的面积最大，则宽x 应为m.解析：设每个花圃的面积为y，则y＝x·60－3x2＝－32x2＋30x＝－32(x－10)2＋150(0<x<20)，所以当x＝10时，y最大.答案：108.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣优惠率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为元.解析：由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，y 0，0<x≤600，0.05（x－600），600<x≤1100，0.1（x－1100）＋25，x>1100，∵y＝30>25，∴x>1100，∴0.1(x－1100)＋25＝30，解得x＝1150，1150－30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元.答案：11209.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2－T5730(N0表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的3 7至12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到年之间.(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)解析：∵N ＝N 0·2－T5730，∴当T ＝5730时，N ＝N 0·2－1＝12N 0，∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12.由题意可知2－T5730>37，两边同时取以2为底的对数得log 22－T5730>log 237，∴－T5730>lg 37lg 2＝lg 3－lg 7lg 2≈－1.2，∴T <6876，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间.答案：12687610.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，即a ＋2b ＝1.＋b ＝0，＋2b ＝1，＝－1，＝1.取a ，b 的值分别为－1和1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，故－1＋log3Q10≥2，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s时，其耗氧量至少要270个单位.11.某公司生产某种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为x(单位：台)，已知总收入R(单位：元)满足函数：Rx－12x2－15000（0≤x≤200），000－25000000x（x＞200）.(1)将利润P表示为月产量x的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？(总收入＝总成本＋利润)解：(1)由题知，利润P ＝－12x2＋300x－35000，0≤x≤200，000－100x－25000000x，x＞200.(2)当0≤x≤200时，P＝－12(x－300)2＋10000，所以当x＝200时，P有最大值5000；当x＞200时，P＝150000－100x－25000000x≤150000－2100×25000000＝50000，当且仅当x＝500时，等号成立，所以当x＝500时，P有最大值50000.综上，当月产量为500台时，公司所获利润最大，最大利润为5万元.B级能力提升练12.大气压强p＝压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”(Pa，1Pa＝1N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000126m－1)，p0是海平面大气压强.已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，p1p2＝13，那么A 1，A 2两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln 3≈1.099)()A.660mB.2340mC.6600mD.8722m解析：D 设A 1，A 2两处的海拔高度分别为h 1，h 2，则p 1p 2＝13＝p 0e －0.000126h 1p 0e －0.000126h 2＝e0.000126(h 2－h 1)，∴0.000126(h 2－h 1)＝ln 13＝－ln 3≈－1.099，得h 2－h 1＝－1.0990.000126≈－8722(m).∴A 1，A 2两处的海拔高度的差约为8722m.13.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x (单位：mg)与给药时间t (单位：h)近似满足函数关系式ln kx ＝ln k 0＋ln(1－e －kt )，其中k 0，k 分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，对于某种药物，给药时间12h 后，人体内的药物含量为3k 04k，则该药物的消除速率k 的值约为(参考数据：ln 2≈0.693)()A.0.1055B.0.1065C.0.1165D.0.1155解析：D 由题意，ln(k ·3k 04k )＝ln k 0＋ln(1－e －12k )⇒e －12k ＝14⇒－12k ＝－2ln 2，即6k ＝ln 2≈0.693，解得k ≈0.1155.14.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入a (单位：万元)满足P ＝42a －6，乙城市收益Q 与投入a (单位：万元)满足Q ＝＋2，80≤a ≤120，，120<a ≤160，设甲城市的投入为x (单位：万元)，两个城市的总收益为f (x )(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？解：(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，所以f(128)＝4×2×128－6＋14×112＋2＝88(万元).因此，此时公司的总收益为88万元.(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，≥80，－x≥80，解得80≤x≤160，当80≤x<120，即120<240－x≤160时，f(x)＝42x－6＋32＝42x＋26<26＋1615；当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，f(x)＝42x－6＋14(240－x)＋2＝－14x＋42x＋56.令t＝x，则t∈[230，410]，所以y＝－14t2＋42t＋56＝－14(t－82)2＋88.当t＝82，即x＝128时，y取最大值88.因为88－(26＋1615)＝2×(31－815)>0，故f(x)的最大值为88.因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元.。

高中数学函数应用模型教案
目标：学生能够在实际问题中运用函数模型解决问题。

一、引入
1. 通过一个实际问题引入本节课的主题：如何利用函数模型解决实际问题。

2. 引导学生思考函数模型在日常生活中的应用和重要性。

二、概念讲解
1. 复习函数的概念：输入、输出、定义域、值域等。

2. 解释函数模型在解决实际问题中的作用：通过建立数学模型来描述实际情况，并利用函数求解问题。

3. 引入常见的函数模型：线性函数、二次函数、指数函数等，并解释其特点和应用场景。

三、案例分析
1. 给出一个实际问题，如某商品的需求量随时间变化的情况，要求学生建立相应的函数模型。

2. 引导学生分析问题，确定变量间的关系，并建立对应的函数模型。

3. 让学生利用函数模型解决问题，如预测未来需求量、制定合理的生产计划等。

四、练习与拓展
1. 针对不同类型的函数模型，设计练习题让学生巩固所学内容。

2. 拓展延伸，让学生探索更复杂的实际问题，并运用函数模型解决。

五、总结与展望
1. 总结本节课的主要内容，强调函数模型在解决实际问题中的重要性。

2. 展望下节课的内容，引入更多的实际问题让学生继续探索函数模型的应用。

以上是一份高中数学函数应用模型的教案范本，希朋针对实际教学情况做出适当调整。

高一数学必修1《函数模型及其应用》教案教学设计一、教学目标1. 知识目标：（1）认识到函数的概念及其分类。

（2）掌握函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法。

（3）了解函数的基本性质。

（4）学会应用函数进行实际问题的解决。

2. 能力目标：（1）能够分析函数图像，判断函数的单调性和奇偶性。

（2）能够利用函数求解实际问题。

3. 情感目标：（1）了解函数在数学中的应用价值，增强数学学科的兴趣和信心。

（2）培养学生分析问题和解决问题的能力。

（3）培养学生的创新思维和实践能力。

二、教学重点和难点1. 教学重点：函数的符号表示、图像表示与应用。

2. 教学难点：函数模型的建立和应用题的解决。

三、教学方法1. 演示法。

通过演示，帮助学生理解函数的概念及其符号表示、图像表示和应用。

2. 实验法。

通过实验让学生探究函数的性质和应用，增强学生的实践能力。

3. 讲授法。

注重理论的概括和归纳，掌握函数的基本知识。

四、教学步骤1. 函数的概念及其分类初始练习：小组讨论，举例说明实际生活中函数的应用。

①引入函数的概念和分类，让学生观察一些常见的图像。

②讲解一元函数和多元函数的概念，引导学生理解函数的本质。

③引导学生根据一系列具体问题分类讨论实践中不同的函数：1. 一元函数：y=f(x)。

2. 二元函数：z=f(x,y)。

3. 多元函数：f(x1,x2,x3,……,xn)。

4. 隐函数：F(x,y)=0。

2. 函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法①通过实例来说明函数的符号表示和图像表示。

②掌握函数的定义域与值域的求法。

③针对各种具体问题进行训练，巩固理论知识点，引导学生学会函数的应用。

3. 函数的基本性质①单调性和奇偶性的判定。

②零点和极值的确定。

③函数的连续性和可导性。

④复合函数的构造与性质。

⑤利用函数的基本性质进行具体问题的求解。

4. 函数模型及其应用①通过实际案例引入函数模型的建立。

②通过练习加深学生对模型的理解。

函数模型及其应用教案一、教学目标1. 理解函数的概念，了解函数模型的产生和应用；2. 学习两种常见函数模型的基本形式和参数，并能解决实际问题应用；3. 认识函数模型在现实生活和工程实践中的重要作用；4. 提高学生分析和解决实际问题的能力。

二、教学重点1. 函数的概念与应用；2. 两种常见函数模型的基本形式与参数；3. 实际问题中函数模型的应用。

三、教学难点1. 函数模型在数学联系与实际应用展示之间的联系；2. 如何将实际问题转化为基本形式的函数模型。

四、教学方法1. 讲授教学法；2. 课堂互动式教学法；3. 问题式教学法。

五、教学准备1. 多媒体教学设备；2. 函数模型案例资料。

六、教学过程1. 引入函数是一种重要的数学概念，也是自然科学、经济学、工程技术等领域的基础。

而函数模型则是在实际问题中应用函数的过程中，通过对数据和经验的分析产生的数学模型，可用于预测、控制、优化等目的。

今天我们将学习两种常见函数模型及其应用。

2. 基础知识讲解（1）函数的概念函数是一个输入输出关系的特殊情况。

数学上定义一个函数是指一组数对，其中第一个数（称为自变量）从一个特定集合中取任意一个值，；第二个数（称为因变量或函数值）则从另一集合中取一个值，这个取值完全由第一个数决定。

（2）线性函数模型线性函数模型可以写为 y=a*x+b 的形式，其中 a 称为斜率，b称为截距。

它的应用非常广泛，比如经济学中的供给函数、消费函数，工程学中的动力学方程等等，都可以通过线性函数模型来描述。

（3）指数函数模型指数函数模型可以用 y=a^x+b 的形式表示，其中 a 称为底数，b 称为位移。

指数函数具有非常广泛的应用，在物理学、天文学、化学、生物学、经济学等领域中都有其用途，比如放射性衰变过程、细胞增殖过程、经济增长过程等等都可以使用指数函数模型来描述。

3. 练习将下列实际问题转化为线性函数模型或指数函数模型，并求出相应的参数或曲线。

高一数学《函数模型及其应用》教课设计函数模型及其应用(1)【学习导航】知识网络学习要求1.认识解实质应用题的一般步骤;2.初步学会依据已知条件成立函数关系式的方法;3.浸透建模思想，初步拥有建模的能力.自学评论1.数学模型就是把实质问题用数学语言抽象归纳，再从数学角度来反应或近似地反应实质问题，得出对于实质问题的数学描绘 .2. 数学建模就是把实质问题加以抽象归纳成立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的重点.3. 实质应用问题成立函数关系式后一般都要观察定义域.【精模典范】例 1.写出等腰三角形顶角 (单位：度 )与底角的函数关系 . 例 2.某计算机企业企业生产某种型号计算机的固定成本为万元 ,生产每台计算机的可变为本为元,每台计算机的售价为元 .分别写出总成本(万元 )、单位成本(万元 )、销售收入(万元 )以及收益(万元 )对于总产量(台 )的函数关系式.剖析：销售收益销售收入成本,此中成本(固定成本可变成本 ).【解】总成本与总产量的关系为课本、报刊杂志中的成语、名言警语等俯首皆是 ,但学生写作文运用到文章中的甚少 ,即便运用也很难做到恰到好处。

为什么?仍是没有完全“记死”的缘由。

要解决这个问题 ,方法很简单,每天花3-5 分钟左右的时间记一条成语、一则名言警语即可。

能够写在后黑板的“累积专栏”上每天一换 ,能够在每天课前的3 分钟让学生轮番解说 ,也可让学生个人收集 ,每天往笔录本上抄录 ,教师按期检查等等。

这样 ,一年便可记 300 多条成语、300 多则名言警语 ,与日俱增 ,终归会成为一笔不小的财产。

这些成语典故“储藏”在学生脑中 ,自然会下笔成章 ,写作时便会为所欲为地“提取”出来 ,使文章添色添辉。

单位成本与总产量的关系为销售收入与总产量的关系为要练说，得练看。

看与说是一致的，看禁止就难以说得好。

练看，就是训练幼儿的察看能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在察看事物、察看生活、察看自然的活动中，累积词汇、理解词义、发展语言。

函数模型及其应用的教学教案教学教案：函数模型及其应用一、教学目标1.了解函数模型的基本概念和特性；2.掌握函数模型在实际问题中的应用；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。

二、教学重点和难点1.函数模型的基本概念和特性；2.函数模型在实际问题中的应用。

三、教学方法1.讲授与示范相结合；2.小组合作学习；3.课堂实践。

四、教学过程步骤一：导入新知识（10分钟）1.复习函数的基本概念和性质；2.提出问题：“函数模型是什么？它有什么特点？”；3.学生回答问题并进行讨论。

步骤二：讲解函数模型的基本概念（20分钟）1.介绍函数模型的定义和表示方法；2.引导学生理解函数模型的含义：根据已知条件，建立函数模型来描述一个实际问题；3.示范几个常见的函数模型。

步骤三：探究函数模型的特性（20分钟）1.引入函数模型的性质：单调性、奇偶性、周期性等；2.以实例为例，让学生观察并总结函数模型的特性；3.学生合作完成几个练习题。

步骤四：应用函数模型解决实际问题（30分钟）1.通过实例介绍函数模型在实际问题中的应用，如物体自由落体、物种数量增长等；2.让学生进行小组合作，选择一个实际问题，建立相应的函数模型并解决问题；3.学生展示他们的解决方案，进行评价和讨论。

步骤五：巩固与拓展（20分钟）1.让学生复习巩固所学的内容，完成一篇小结；2.引导学生思考：函数模型在其他学科中的应用；3.教师进行点评和总结。

五、教学评估1.课堂表现评价：学生是否积极参与讨论、是否能熟练运用函数模型解决实际问题等；2.书面作业评价：布置相关练习题，检查学生的掌握程度。

六、教学资源1.教材：《数学教材》；2.多媒体教学工具；3.实际问题的资料。

七、教学反思通过本节课的教学，学生能够理解函数模型的基本概念和特性，能够应用函数模型解决实际问题。

在教学过程中，我注重将知识与实际问题相结合，让学生能够在解决问题的过程中感受到函数模型的重要性和应用价值。

高一数学必修一教案《函数模型及其运用》【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，坚强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！作者高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其运用》》期望对你的学习有帮助！【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发觉或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的运用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。

在一个具体问题的解决进程中，学生可以从知道知识升华到熟练运用知识，使他们能辩证地看待知识知道与知识运用间的关系，与所学的函数知识前后牢牢相扣，相辅相成。

;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正知道函数模型的运用和在运用进程中函数模型的建立与解决问题的进程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中发掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。

同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的挑选与建立。

由于建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和运算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析进程来挑选适当的函数模型和函数模型的构建进程。

在这个进程中，要使学生侧重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。

【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本进程.(2)了解函数模型的广泛运用(3)通过学生进行操作和探究提高学生发觉问题、分析问题、解决实际问题的能力(4)提高学生探究学习新知识的爱好,培养学生,勇于探索的科学态度【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本进程,了解函数模型的广泛运用【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理【教学目标解析】通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本进程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究进程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本进程中让学生亲身体验函数运用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的爱好,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的运算速度④运算终止后不进行检验针对上述可能显现的问题,我在课前课上处理是,课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性,同时让学生使用运算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应运算速度,在解析式得出后引导学生得出的标准应当是只有一个的较好的,不能有很多的标准,这样以期引导学生想到对结果进行挑选从而引出检验.【教学用具】多媒体辅助教学(ppt、运算机)。

高中函数模型的应用教案我们要明确函数模型教学的目标。

这不仅仅是让学生掌握函数的定义和性质，更重要的是让他们能够将函数模型应用于解决实际问题。

因此，我们的教案需要围绕这一核心展开，引导学生从具体问题出发，逐步抽象出函数模型，再应用到其他类似情境中去。

我们来看一个具体的教学案例。

假设我们要教授的是线性函数模型。

我们可以从学生们熟悉的生活实例入手，比如手机套餐的选择。

我们可以通过设计一个活动，让学生们根据不同的通话时长和流量需求，选择最合适的手机套餐。

在这个过程中，学生们需要分析数据，建立成本与服务之间的线性关系，从而抽象出线性函数的模型。

在这个活动中，教师的角色是引导者和协助者。

我们需要提供必要的数据信息，帮助学生们理解如何从表格中提取关键信息，如何将这些信息转化为图表，并最终建立起函数模型。

同时，我们还要鼓励学生们进行小组讨论，通过交流思考，共同解决问题。

为了让学生们更好地掌握函数模型的应用，我们还可以在课堂上引入更多的实践活动。

例如，我们可以让学生们调查学校周边的房价，然后利用他们收集到的数据，建立一个描述房价与房屋面积、地理位置等因素之间关系的函数模型。

这样的活动不仅能够提高学生们的实践能力，还能让他们体会到数学在实际生活中的广泛应用。

在教学过程中，我们还要注意培养学生们的批判性思维。

当学生们建立了函数模型之后，我们应该引导他们思考这个模型的局限性和适用范围。

比如，在房价的例子中，我们可以让学生们讨论还有哪些其他因素可能影响房价，以及他们的模型是否能够涵盖这些因素。

我们要确保学生们能够将所学的知识内化为自己的东西。

这意味着他们不仅要会建立和应用函数模型，还要能够在遇到新问题时，独立地思考和使用这些模型。

为此，我们可以设计一些开放性的问题，让学生们自己探索和解决。

这样不仅能够巩固他们的知识，还能激发他们的创造力和解决问题的能力。

人教版高中必修13.2函数模型及其应用教学设计一、教学目标1.理解函数模型的概念，并掌握基本函数模型的构成和性质；2.掌握函数模型在实际问题中的应用方法；3.学会使用函数模型解决实际问题。

二、教学重点1.函数模型的构成和性质；2.函数模型在实际问题中的应用方法；3.使用函数模型解决实际问题的能力。

三、教学难点1.函数模型的抽象概念；2.函数模型在实际问题中的应用方法的理解和掌握；3.解决实际问题的能力培养。

四、教学内容和教学方法1. 教学内容本节课的教学内容是函数模型及其应用，其具体包括如下几个方面。

(1) 函数模型的概念•函数的定义；•函数的性质；•基本函数模型的构成和性质。

(2) 函数模型在实际问题中的应用•通过实际问题建立函数模型；•利用函数模型解决实际问题；•利用函数模型进行分析和预测。

2. 教学方法本节课的教学方法包括如下几种。

(1) 导入新知识引入新知识需要考虑让学生能够以不同的方式理解和掌握知识点。

推荐以下两种方式：•讲授法：通过讲解、演示、PPT等方式，向学生介绍函数模型及其应用的基本概念；•互动式教学法：引导学生进行讨论和思考，提高学生对知识的探究和理解能力。

(2) 训练实际应用能力针对练习实际应用能力的训练，可以采用以下方式：•例题讲解法：通过讲解一些有代表性的例题，引导学生了解函数模型的实用性；•自主创作法：鼓励学生尝试自行分析实际问题，创作并解决问题。

(3) 评估学习效果通过考试和检测学生的作品，了解学生掌握知识和应用能力的程度，为后续教学打好基础。

五、教学步骤1. 教师引入通过PPT、讲课、互动等方式，向学生介绍函数模型和应用的基本概念，引导学生开始对新知识感兴趣并逐渐理解。

2. 学生探究将学生分为小组，给每个小组分配一组实际问题，让他们分析并在小组内讨论问题的解决办法，然后将结果展示给全班。

3. 老师讲解针对学生提出的问题和讨论，教师进行针对性的讲解，帮助学生掌握和理解函数模型的应用方法。

函数模型及其应用一、教材分析本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤。

函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功。

本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、以及简单的一次函数类的分段函数。

其中，最重要的是二次函数模型。

二、教学目标分析知识与技能：1、通过社会生活、生产中的例子，使学生体会函数模型的广泛应用；2、让学生学会对数据进行分析、处理，建立模拟函数的方法和步骤，并解决实际问题；3、了解一些简单的数学模型，熟悉数学建模；过程与方法：1、了解数学建摸，掌握根据已知条件建立函数关系式；2、培养学生分析问题、解决问题的能力；3、培养学生应用数学的意识；情感与态度：1、认识数学和生活的相互联系；2、了解数学在实际中的应用。

三、教学重难点：重点：通过仔细审题，建立数学模型，计算并解决实际问题；难点：数学建模的意识；关键：一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型的应用。

四、教法分析：通过布置作业的形式让学生阅读课本，完成“自主学习”部分的习题，了解数学模型的概念及数学建模的思想方法。

课堂上通过讨论与学生一起分析得出数学应用题的解决应达到哪些能力要求，再通过“合作探究”与大家一起总结解答应用题的基本步骤；最后留出足够的时间，让学生完成“巩固提高”中的练习题，巩固学生对数学应用题的认识，同时加强对相关知识点的熟悉程度。

五、学法分析：现代教育心理学的研究认为：有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的。

在初中，函数类的应用题已有所知，从直观上接触过函数模型．因此，在设计教案时，通过自主完成课案中的“自主学习”部分，让学生从一些简单的数学模型入手，熟悉函数模型，再通过课堂上的“合作探究”加深函数模型的理解，拓展函数模型，学会建立模拟函数的方法和步骤。

最后通过“巩固提高”题巩固本节内容。

整个学习过程由简入难，循序渐进，逐步提高数学能力。

目的是为了培养学生应用数学的能力。

函数模型及其应用一．课标要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

二．命题走向函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。

高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。

出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。

预测2007年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。

（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。

三．要点精讲1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。

函数模型及其应用1三维目标一、知识与技能1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义.3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题.二、过程与方法1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型.2.探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势.三、情感态度与价值观培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情.教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义.教学难点怎样选择数学模型分析解决实际问题.教具准备多媒体课件、投影仪、计数器.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，能否举出一些函数模型的具体例子?生：指数函数、对数函数、幂函数等等.师：当我们面临一个实际问题时，应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？如果我们能够找出相应的数学模型，又是如何去研究它的性质呢?本节课先通过具体实例来比较几类不同增长的函数模型的增长趋势.（板书几类不同增长的函数模型）二、讲解新课例题剖析【例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？师：我们先对题目仔细分析，这里问的是如何选择投资方案，我们应从哪个方面考虑？应该选择回报最多的投资方案.那么如何来比较这三种方案所取得的效益最大？生：先建立适当的函数模型，然后再比较大小.师：我们知道，在这里每种方案的回报效益与投资的天数有着密切的关系，因此可以以天数作为自变量，建立三种投资方案所对应的回报效益的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供理论依据，那么如何建立函数模型呢？生：设第x天所得回报为x元，则：方案一可以用函数y=40（x∈N*）进行描述；方案二可以用函数y=10x（x∈N*）进行描述；方案三可以用函数y×2x－1（x∈N*）进行描述.师：很好，哪位同学说说这三个函数分别是哪种类型的函数，它们的增减性又是怎样的?生：这三个函数模型中，第一个是常数函数模型，第二个是一次函数模型，第三个是指数函数模型，而且第二、三个函数都是递增函数的模型.师：要对这三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，那么如何进行分析呢？先用计数器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况，列出相应的表格.如下表：师：通过表格你能分析出这三种方案所得回报的增长情况吗？为什么会产生这种情况呢？生：一开始几天方案一的回报多，接下来方案二的回报多，到最后方案三的回报多.从表格中可以看出，方案一的函数是一个常数函数，每天的回报数是一个常量；方案二、方案三的函数都是增函数，每天的回报数都在不断增加.师：既然方案二、方案三的函数都是增函数，每天的回报数都在不断增加，那么为什么先是方案二的回报数多，后来方案三的回报数多呢？因为两者增长的情况不同，不同在哪里？生：方案二的增长量是固定不变的，方案三的增长量是每天都成倍增加的.师总结：很好，实际上从表格中可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报数分别是方案三的100倍和25倍，但是它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”“爆炸增长”的.师：前面我们已经学习过函数的表示方法，有列表法、函数图象法、函数解析式法等，实际上，我们还可以借助计数器作出函数的图象，因为函数图象比较直观，能直接反映出函数的一些性质，我们可以通过这三个函数的图象从总体上把握不同函数模型的增长情况.（图象如课本P113－1）师：这三个函数图象有什么共同点?生：都是一群离散的点.因为这里的自变量为天数，即x∈N*.师：函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线来连接这些离散的点.从每天所得回报看，在第1～4天，方案一最多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.根据这里的分析，是否能作出这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5～8天选择方案二，投资8天以上选择方案三呢？（难点）我们来分析影响方案选择的因素，除了考虑每天的收益，更要考虑一段时间内的总收益.接下来让学生自主进行交流活动，来获得累计收益并给出本题的完整解答，然后在全班进行交流.下面看累计的回报数，通过计数器列表如下：因此，投资8天以下（不含8天），应该选择方案一；投资8～10天应该选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应该选择方案三.“指数爆炸”增长.y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数型函数变化的变量是________.答案：y2【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：yx，y=log7x+1，y x，其中哪个模型能符合公司的要求？师：本例涉及了哪几类函数模型（一次函数、对数函数、指数函数的模型）?其实质是什么？这里实际上问的是哪个模型能符合公司的要求，即依据这个模型进行奖励时，应满足所给定的条件，这些条件有哪些？生：（1）奖金总数不超过5万元；（2）奖金不超过利润的25%.师：这样我们就必须知道这个公司的销售利润应是多少，根据实际问题的实际意义，要使得奖励方案生效，销售部门利润必须达到10万元.同时，该公司是为了实现1000万元利润的目标，而准备制定的一个激励的奖励方案.因此，部门销售利润一般不会超过公司总的利润.因此我们只需在区间［10，1000］上考虑即可.这里现有三个奖励模型可供选择，因此只需在区间［10，1000］内检验这三个函数模型是否满足公司提出的两个条件.我们先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.让学生借助计数器列出表格，再作出函数yx，y=log7x+1，y x的图象（如下图）.观察图象发现，在区间［10，1000］上，模型yx，y x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在直线y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求，但是这里只是直观判断，并且也只满足条件一，奖金总数不超过5万元.还要考虑奖金不超过利润的25%.下面通过计算确认上述判断.首先计算在区间［10，1000］内，哪个模型的奖金总数不超过5万元.对于模型yx，它在区间［10，1000］上是递增的，当x∈（20，1000］时，y＞5，因此该模型不符合要求.对于模型y x ，它在区间［10，1000］上也是递增的，结合图象，并利用计数器，可知在区间（805，806）内有一个点x 00x =5，当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求.对于模型y =log 7x +1，它在区间［10，1000］上也是递增的，而且当x =1000时，y =log 71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.（从这里可以看出对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律）再计算按模型y =log 7x +1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈［10，1000］时，是否有xy =x x 1log 7+≤0.25成立.令f （x ）=log 7xx ，x ∈［10，1000］，利用计数器作出函数f （x ）的图象（如课本P 115－3），由图象可知它是递减的，因此f （x ）≤f （10）≈－0.3176＜0，即log 7xx .所以当x ∈［10，1000］时，xx 1log 7+＜0.25， 由此说明，按模型y =log 7x +1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y =log 7x +1确实能符合公司要求.师：从以上两个实例分析可知指数函数、对数函数、幂函数等几类不同增长的函数的增长差异.一次函数是直线上升，指数函数是“指数爆炸”增长，对数增长是一个比较平缓的增长，因此在实际问题中，可以通过递增的实际情况选择适当的函数模型.练习2.某种计算机病毒是通过电子进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染其他没感染的20台计算机.现有10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？答案：160台. 三、课堂小结本节课主要通过两个具体的例子说明不同函数模型有着不同的变化规律，让我们对“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”这几类不同增长类型的函数有了一个感性的认识.四、布置作业板书设计3.2.1 几类不同增长的函数模型（1）例1例2课堂小结与布置作业。

函数模型及其应用1．教学目标（1）能根据实际问题的情境建立函数模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．（2）理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助现代计算工具解决一些简单的实际问题．（3）能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，启发、引导学生数学地观察世界、感受世界，引导学生合作交流．（4）培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力．2．编写意图与教学建议ⅰ）教材从实例出发，让学生体验用函数描述实际问题的价值，感受到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验一次函数、正(反)比例函数、二次函数、指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．ⅱ）在教学过程中，应指出建立函数模型就是将实际问题转化为数学问题，是数学地解决问题的关键．结合对函数性质的研究，通过数学问题的解决，达到解决实际问题的目的．ⅲ）三个例题分别涉及一次函数、二次函数、正（反）比例函数、指数型函数的求解析式、求函数值（或自变量值）、最值、单调性等问题。

涉及生活实际、自然科学、经济学方面。

通过三个例子归纳实际问题的求解程序，指出其关键是建立数学模型，考察的是函数的哪方面内容。

ⅳ）数据拟和为链接内容可视学生情况选用。

作为函数模型的应用，这里通过实际问题，说明数据拟合在预测、规划等方面的重要作用，进一步学会用数学的知识、思想和方法解决实际问题，提高学生运用数学的能力．ⅴ）常见的数据拟合有：直线型（一次函数）、抛物线型（二次函数或幂函数）、指数型（指数函数）、对数型（对数函数）等．结合实例体会这些不同函数类型增长（尤其是直线上升、指数增长）的含义．ⅵ）在教学过程中，函数模型的建立应尽量利用Excel等现代信息技术手段．ⅶ）鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例进行探索实践．探究案例钢琴与指数曲线通过钢琴曲线这一实例，体验数学与现实世界有着密切联系，是分析、研究客观世界变化规律的重要工具，这既利于培养学生探究、解决问题的能力，又利于激发学生用数学知识研究现实世界的欲望．本节内容应属于数学探究内容，教学时应着眼与：激发学生学习数学的兴趣，拓展学生的数学视野，反映数学的应用价值，人文价值，注意渗透对数学文化的教育。

《函数模型及其应用》教案1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：例1. 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB=a ，BC=b （b ＜a ）,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.解： 设四边形EFGH 的面积为S ，则S △AEH =S △CFG =21x 2,S △BEF =S △DGH =21（a-x ）（b-x ），∴S=ab-2［x 212+21（a-x ）（b-x ）］=-2x 2+（a+b ）x=-2（x-)4b a +2+,8)(2b a + 由图形知函数的定义域为{x|0＜x ≤b}.又0＜b ＜a,∴0＜b ＜2b a +,若4b a +≤b,即a ≤3b 时，则当x=4ba +时，S 有最大值8)(2b a +;若4b a +＞b,即a ＞3b 时，典型例题基础过关实际问题函数模型抽象概括实际问题的函数模型的还原说运用函数的性质S（x）在（0,b］上是增函数，此时当x=b时，S有最大值为-2(b-4ba+)2+8)(2ba+=ab-b2,综上可知，当a≤3b时，x=4ba+时，四边形面积Smax =8) (2ba+,当a＞3b时，x=b时，四边形面积Smax=ab-b2.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.解：设每个提价为x元（x≥0），利润为y元，每天销售总额为（10+x）（100-10x）元，进货总额为8（100-10x）元，显然100-10x＞0,即x＜10,则y=（10+x）（100-10x）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x＜10).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.例2. 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）.（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由.解：（1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12,∴s=21×4×12=24.（2）当0≤t ≤10时，s=21·t ·3t=23t 2，当10＜t ≤20时，s=21×10×30+30（t-10）=30t-150；当20＜t ≤35时，s=21×10×30+10×30+(t-20)×30-21×(t-20)×2(t-20)=-t 2+70t-550.综上可知s=[](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-+-∈-∈.35,20,55070,20,10,15030,10,0,2322t t t t t t t(3)∵t ∈［0，10］时，s max =23×102=150＜650.t ∈（10，20］时，s max =30×20-150=450＜650. ∴当t ∈（20，35］时，令-t 2+70t-550=650.解得t 1=30,t 2=40,∵20＜t ≤35,∴t=30，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-22x （万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数； （2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？ 解：（1）当x ≤5时，产品能售出x 百台； 当x ＞5时，只能售出5百台，故利润函数为L （x ）=R （x ）-C （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--).5(25.012),50(5.0275.4)5()25.05.0()2555()50()25.05.0()25(222x x x x x x x x x x x(2)当0≤x ≤5时，L （x ）=4.75x-22x -0.5，当x=4.75时，L(x)max =10.781 25万元. 当x ＞5时，L （x ）=12-0.25x 为减函数，此时L （x ）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.（3）由⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤.025.0125,05.0275.4,502x ，x x x x 或 得x ≥4.75-5562.21=0.1(百台）或x ＜48(百台). ∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨.（1）求y 关于x 的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨， y=（5x+3x ）×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4且5x ＞4,y=4×1.8+3x ×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14x x x x x x (2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x ∈［0，54］时,y ≤f （54）＜26.4;当x ∈（54，34］时，y ≤f （34）＜26.4;当x ∈（34,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S 1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);乙户用水量为3x=4.5吨，付费S 2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2解：（1）设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y ，则y ·(1+x)n =60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 两边取对数，则40lg(1+x)=lg2， 则lg （1+x ）=402lg =0.007 525，∴1+x ≈1.017，得x=1.7%. （2）依题意，y ≤12.48（1+1%）10，得lgy ≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,∴y ≤13.78，故人口至多有13.78亿.答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.小结归纳解决函数应用问题应着重注意以下几点：1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.。

2．6 函数模型及应用（一）教学目标1． 会解数学模型为一次函数、二次函数、反比例函数的有关实际问题． 2． 培养学生数学的分析问题、探索问题、解决问题的能力． 教学重点与难点本节课的重点是一次函数、二次函数、反比例函数模型的建立． 教学过程一、 问题情境● P82页例1回答二、 学生活动、建构数学● 回顾解答应用题的基本步骤 三、 数学理论、数学运用 1． 解决函数应用题的基本步骤第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成数学问题，即实际问题数学化；第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解； 第三步：将所得函数问题的解进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答 2． 流程图3． 解决函数应用题的关键一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图、引入变量，建立直角坐标系等手段，把实际问题转化成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言； 二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，注重数学能力的培养． 4． 应用示例例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元．分别写出总成本C (万元)、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式．解：总成本和总产量的关系为C =200+0．3x ， x ∈N*．单位成本和总产量的关系为P =x200+0．3 ， x ∈N*．销售收入与总产量的关系为R =0．5x ， x ∈N*．利润与总产量的关系为L =R-C =0．2x -200 ， x ∈N*．例2 在经济学中，函数)(x f 的边际函数)(x Mf 定义为)()1()(x f x f x Mf -+=．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台（*N x ∈）的收入函数为2203000)(x x x R -=（单位：元），其成本函数为4000500)(+=x x C （单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数)(x P 及边际利润函数)(x MP ；（2）利润函数)(x P 与边际利润函数)(x MP 是否具有相同的最大值？ 解：由题意知，∈x [1，100]，且*N x ∈．（1）)()()(x C x R x P -=)4000500(2030002+--=x x x 40002500202-+-=x x ，)()1()(x P x P x MP -+=]4000250020[4000)1(2500)1(2022-+---+++-=x x x x x 402480-=．（2）74125)2125(20)(2+--=x x P ，当6362==x x 或时，)(x P 的最大值为74120（元）．因为x x MP 402480)(-=是减函数，所以当1=x 时，)(x MP 的最大值为2440（元）．因此，利润函数)(x P 与边际利润函数)(x MP 不具有相同的最大值．例3 某人购物，进价已按原价a 扣去25%，他希望对所购的货物定一个新的价格，以便按新的价格让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，求此人经销这种货物的件数x 与按新的价格让利总额y 之间的函数关系式．解：设新的价格为b ，则售价为%)201(-b ，因为原价为a ，所以进价为%)251(-a ，根据题意，得%25%)201(%)251(%)201(⋅-=---b a b ，化简得，a b 45=．故x a x b y ⋅⋅=⋅⋅=%2045%20，因而有x ay 4=，其中∈x N*． 答：此人经销这种货物的件数x 与按新的价格让利总额y 之间的函数关系式是x ay 4=，其中∈x N*．例4 某城市上一年度电价为0．8元，年用电量为1亿度，半年度计划将电价调至0．55~0．75元之间．经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y （亿度）与（4.0-x ）（元）成反比，又当65.0=x 时，8.0=y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为4.0-=x ky ，因为65.0=x 时8.0=y ，代入4.0-=x k y ，求得2.0=k ．所以，所求的y 与x 之间的函数关系式为4.02.0-=x y ． （2）根据题意得：%)201()3.08.0(1)3.0)(14.02.0(+⨯-⨯=-+-x x ，整理得03.01.12=+-x x ，解得5.0=x 或6.0=x ．答：（1）y 与x 之间的函数关系式为4.02.0-=x y ；（2）若每度电的成本价为0．3元，则电价调至0．6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%． 5． 课内练习● 教材P84 练习1、2、4● 冬季来临，某商场进了一批单价为30元的电暖瓶，如果按照40元一个销售，能卖40个，若销售单价每上涨1元，销售量就减少1个，要获得最大利润时，电暖瓶的销售单价应该为多少？解：设单价为x 元，利润为y 元．则 y =(x -30)[40-(x -40)] = -(x -55)2+625，∴x =55时，y 有最大值625元．答：要获得最大利润，单价应该为55元． 四、 回顾反思本节课我们学习了函数模型为一次函数、二次函数及反比例函数型的问题，在解实际问题时，一定要理清各种数量关系，寻求各种关系之间的联系．课后作业1． 教材第88页 习题2．6 1、2、3函数模型及应用（二） 教学目标3． 会解数学模型为分段函数、指数函数、对数函数的有关实际问题． 4． 培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力． 教学重点与难点本节课的重点是分段函数、指数函数、对数函数模型的建立． 教学过程五、 问题情境以前，一位国王奖励大臣，大臣要求：第一天在围棋的第1个格子放1粒米，第2天在第2个格子放2粒米，第3天再第3个格子放4粒米，第4天再第4个格子放8粒米，……六、 学生活动、建构数学思考并解答：（1） 第64天应奖励多少？ （2） 第x 天，应奖励多少？ 七、 数学理论、数学运用 6． 应用示例例1 国内投寄信函（外埠），邮资按下列规则计算：（1） 信函质量不超过100g 时，每20g 付邮资80分，即信函质量不超过20g ，付邮资80分，信函质量超过20g ，且不超过40g 付邮资160分，依此类推； （2） 信函质量超过100g 且不超过2000g 时，每100g 付邮资200分，即信函质量超过100g ，但不超过200g 付邮资（A +200）分，A 为质量为100g 的信函的邮资，信函质量超过200g ，但不超过300g 付邮资（A +400）分，依此类推． 设一封xg （0≤x ≤200）的信函应付的邮资为y （单位：分），试写出y 与x 之间的函数关系式，并画出这个函数的图像．解：这个函数的定义域为}2000|{≤<x x ，函数解析式为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈∈=].200,100(,600]100,80(,400]80,60(,320]60,40(,240]40,20(,160]20,0(,80x x x x x x y ，，，，， 它的图像是6条线段（不包括左端点），都平行于x 轴，如图所示．例2若每月用气量不超过最低限度A 立方米，只支付基本费3元和每户每月的定额保险费C 元，若用气量超过A 立方米，则超出部分每立方米支付B 元，又已知保险费C 不超过5元，试根据上面的表格求A 、B 、C 的值．解：设每月的用气量为x 立方米，支付的费用为y 元，则由题意可得：⎩⎨⎧>+-+≤≤+=)(,)(3)0(,3A x C A x B A x C y ，因为50≤<C ，所以有833≤+<C ，由于二月份和三月份的费用都大于8，二月份和三月份的用气量都大于最低限度A 立方米．因此有⎩⎨⎧=+-+=+-+,19)35(3,14)25(3C A B C A B 将两式相减，得5.0=B ，所以32+=C A ．下面分析一月份的用气量是否超过最低限度．不妨设4<A ，将4=x 代入C A x B +-+)(3，得4)]23(4[5.03=++-⨯+C C ，由此推得3．5=4，而45.3≠，因此4<A 不成立，所以4≥A ．一月份支付的费用为C +3，所以43=+C ，解得1=C ，将1=C 代入32+=C A ，得5=A ，所以，所求的A 、B 、C 的值分别为5=A ，5.0=B ，1=C ．例3 某公司准备投入资金100万元进行新产品开发和生产，公司策划部门提出两种方案供公司决策层选择．方案一：年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息．方案二：年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．问那一种投资方案更有利（即最终获得的利润大）？这种投资方案比另一种投资方案在5年后可多获利多少元？（结果精确到0．01万元） 解：本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×10%×5+100=100×（1+10%×5）=150（万元），本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是86.153%)91(1005≈+⨯（万元），由此可见，按照方案二进行投资更有利，投资方案二比方案一在5年后可多获利约3．86万元．例4 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一定时间t 后的温度是T ，则h ta a T T T T )21()(0⋅-=-，其中a T 表示环境温度，h 称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20 min ，那么降温到35℃时，需要多长时间（结果精确到0．1）．解：由题意知，h 20)21()2488(2440⋅-=-，即h 20)21(41=，解之得，h =10，故10)21()2488(24tT ⋅-=-，当T =35时，代入上式，得 10)21()2488(2435t⋅-=-，即6411)21(10=t，两边取对数，用计算器求得≈t 25．4，因此，约需要25．4 min ，可降温到35℃．7． 课内练习● 教材P84 练习3．● 按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8%，零存每月利息2%，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币___________万元．● 电信局为了方便客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案代表应付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系，如图所示实现部分（注：图中MN //CD ）．试问：（1）若通话时间为2小时，按方案A 、B 各付话费多少元？ （2）方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠？八、 回顾反思通过本节课的学习，进一步了解了实际应用问题的策略． 课后作业1 据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为B ，2003年产生的垃圾量为A 吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为_________吨，2008年的垃圾量为_________吨．2 一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10%衰减． （1）求t 年后，这种放射性元素质量w 的表达式； （2）求这种放射性元素的半衰期（精确到0．1年）．3 某科技公司生产一种产品的固定成本为20000元，每生产一个产品增加投资100元，已知总收益满足函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-=)400(,80000)4000(,21400)(2x x x x x R （其中X 是产品的月产量），求每月生产多少个产品时该科技公司的利润最大？最大利润是多少？（注：总收益=总成本+利润）2．6 函数模型及应用（二） 教学目标5． 能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答． 6． 理解数据拟合是对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助现代计算工具解决一些简单的实际问题．7． 培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力． 教学重点与难点本节课的重点是选择恰当的函数模型． 教学过程九、 问题情境（1）根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数by+a=ln，xaxy+=，b x=中找到一个函数，使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x y⋅ba的函数关系？试写出这个函数的解析式，并求出ba,的值．（2）若体重超过相同身高男性平均值的1．2倍为偏胖，低于0．8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高175cm、体重78kg，他的体重是否正常？解：（1）以身高为横坐标、体重为纵坐标画出散点图（图1）．根据图1，选择函数xy⋅=进行拟合．不妨取其中的两组数据（70，7．90），（160，47．25），代入abx=，如果保留两位小数可得02y⋅aba，所以，该地区未成年男性体重关=b.1,2=于身高的函数关系式可以选为x=．将已知数据代入所得函数关系式，或2⨯.1y02作出所得函数的图像2，可以发现，这个模型与已知数据的拟合程度较好，这说明所求函数能较好地反映该地未成年男性体重与身高的关系．图1图2（2）将175=x 代入x y 02.12⨯=得17502.12⨯=y ，计算得98.63=y ，由于2.122.198.6378>≈，所以，这个男生体重略胖． 十一、 数学理论、数学运用 8． 数据拟合及应用例 估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据．从人口统计年鉴中可查得我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示，试估计我国2004年的人口数．知拟合模型为59.527453.14+=x y（ ）A ．t v 2log =B ．t v 21log = C ．212-=t v D ．22-=t v（2）一个高为H 、盛水量为0V 的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数)(h f V =的图像大致是 （ ）（3）如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积)(2m y 与时间)(月t 的关系：t a y =，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30m 2；③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1．5个月； ④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所经过的时间分别为321t t t 、、，则321t t t =+．其中正确的是（ ） A ． ①②③ B ． ①②③④ C ． ②③④⑤ D ． ①②⑤（4）据报道，1992年底世界人口达到54．8亿，若世界人口的年平均增长率为x %，到2008年底全世界人口数为y 亿，则y 与x 的函数关系是_________________________．（5）某种放射性元素的原子数N 随时间t 的变化规律是t e N N λ-=0，其中λ,0N 是正常数．（1）说明该函数是增函数还是减函数；（2）把t 表示成原子数N 的函数；（3）求当2N N =时，t 的值． （6）甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个方面的信息，如图甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只． 乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个． 请你根据提供的信息说明：（1）第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；（2）到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由； （3）哪一年的规模最大？说明理由． 十二、 回顾反思本节课利用了数据拟合解决一些实际问题，并综合运用各种不同函数模型．要学会根据题意建立恰当模型． 课后作业1. 自学教材P86 例5、例6．2. 一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口或出水口的进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则以上3个论断中一定正确的是______________．3. 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使第 11 页 共 11 页 水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为_______________．（参考数据lg2=0．3010，lg3=0．4771）4. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线（OA 为线段，AB 为某二次函数图像的一部分，O 为原点）．（1） 写出服药后y 与时间t 之间的函数关系式)(t f y ；（2） 据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于94微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．。

高一数学《函数模型及其应用》教案
函数模型及其应用(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.了解解实际应用题的一般步骤;
2.初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法;
3.渗透建模思想，初步具有建模的能力.
自学评价
1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述.
2. 数学建模就是把实际问题加以抽象概括
建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键.
3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义
域 .
【精典范例】
例1.写出等腰三角形顶角 (单位：度)与底角的函数关系. 例2.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本 (万元)、单位成本 (万元)、销售收入 (万元)以及利润 (万元)关于总产量 (台)的函数关系
式.
分析：销售利润销售收入成本 ,其中成本 (固定成本可变成本).
【解】总成本与总产量的关系为
单位成本与总产量的关系为
销售收入与总产量的关系为
利润与总产量的关系为。