2014届高考数学一轮复习教学案函数模型及其应用(含解析)

第11课 函数模型及其应用【考点导读】1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题．3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力．【基础练习】1今有一组实验数据如下： t 1.993.04.05.16.12 v1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个的序号是______③_______．2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x )－1×(1 + x ) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1） 整理得 y = －60x 2 + 20x + 200（0 < x < 1）.（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y 即⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x 解不等式得310<<x . 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0 < x < 0.33.【范例解析】例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p =f (t )；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为g (t )= 2001(t －150)2+100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )=f (t )－g (t )，即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.30020021025272001,2000217521200122t t t t t t t h ，，当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )=－2001(t －50)2+100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得：h (t )=－2001(t －350)2+100， 所以，当t =300时，h (t )取得区间（200，300]上的最大值87.5．综上:由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【反馈演练】1．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是___________2cm ． 2．某地高山上温度从山脚起每升高100m 降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m ．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1=5.06x －0.15 x 2和L 2=2 x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元．4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少时用料最省?43解：由题意得 xy +41x 2=8，∴y =x x 482-=48xx -(0<x <42).则框架用料长度为l =2x +2y +2(x 22)=(23+2)x +x 16≥4246+.当(23+2)x =x 16,即x =8－42时等号成立.此时，x =8－42，22y =，故当x 为8－42m ，y 为22m 时，用料最省.第4题 x y。

江苏省建陵高级中学2013—2014学年高考数学一轮复习函数模型及
应用导学案
①前三年中产量增长速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产；
④第三年后，年产量保持不变．
计算机的价格大约每的
三：课
天中该农户在哪一天的销售收入最大？
ABC
怎样截取
分钟，在乙地休息
数
．我们知道，烟酒对人的健康有危害作用，从而我国加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税
，则每年销售量将减少
．
试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？。

第十节函数模型及其应用[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．几种常见的函数模型2.三种函数模型性质比较[探究] 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．2．你认为解答数学应用题的关键是什么？提示：解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，将实际问题中的自然语言转化为相应的数学语言；二是要合理选取变量，设定变量后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A 的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A 的数量是B 的数量的两倍，需要的时间为( )A ．5 hB ．10 hC ．15 hD ．30 h解析：选B 假设一开始两种细菌数量均为m ，则依题意经过x 小时后，细菌A 的数量是f (x )＝m ·2x 2，细菌B 的数量是g (x )＝m ·4x 5，令m ·2x 2＝2·m ·4x5，解得x ＝10.2．(教材习题改编)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x2C ．y ＝12(x 2－1)D ．y ＝2.61cos x解析：选B 通过检验可知，y ＝log 2x 较为接近．3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系是( )A ．y ＝0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)D ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)解析：选D y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200.4．(教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．解析：因为储蓄按复利计算，所以本利和y随存期x变化的函数关系式是y＝a(1＋r)x，x∈N*.答案：y＝a(1＋r)x，x∈N*5．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________元．解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．答案：12.5[例1] 如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不．正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[自主解答] 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故下面的图象不正确，②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．[答案] A———————————————————用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．1．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.[例2] (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[自主解答] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标． ——————————————————— 利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．2．某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系式是p ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系式是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )．求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？解：设日销售金额为y (元)，则y ＝p ·Q ，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N ，＝⎩⎪⎨⎪⎧－t －2＋900，0<t <25，t ∈N ， ①t －2－900，25≤t ≤30，t ∈N . ②由①知，当t ＝10时，y max ＝900； 由②知，当t ＝25时，y max ＝1 125. 由1 125>900，知y max ＝1 125，即在第25天日销售额最大，为1 125元.[例3] 某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少1元则增加销售400枚，而每增加1元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．[自主解答] (1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋－x x －，0＜x ≤20，[2 000－x －x －，20<x <40，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x x －，0＜x ≤20，－xx －，20<x <40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－x －2＋81]，0＜x ≤20，100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4722＋1 0894，20<x <40.若0＜x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)．若20<x <40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)．综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元． ———————————————————把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口． (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系． (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨， 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．1个防范——实际问题的定义域要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 1个步骤——解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：答题模板——函数实际应用问题[典例] (2011·山东高考)(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r .[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为r ，圆柱的母线为l ，以及容器的体积―――――――――――――→可根据体积公式建立关系式 4πr 33＋πr 2l ＝80π3―――――――――――――――――――→利用表面积公式，可求球及圆柱的表面积S 球＝4πr 2， S 圆柱＝2πrl .2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域――――――――――――――――――――――――→求总造价y ，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价球形部分的造价为4πr 2c ，圆柱型部分的造价为2πrl ×3. 3．建联系，找解题突破口总造价y ＝球形部分的造价＋圆柱型部分的造价，即y ＝4πr 2c ＋2πrl ×3――――――――→应消掉l ，只保留r 由4πr 33＋πr 2l ＝80π3解得l ＝803r 2－4r 3，故可得建造费用y ＝160πr－8πr 2＋4πcr 2――――――――――――――――→由l ≥2r 可求r 的范围，即定义域0<r ≤2，问题得以解决． 第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：建造费用y ＝160πr－8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求该容器的建造费用最小时的r ―――――――――――――→建造费用最小，即y 最小问题转化为：当r 为何值时，y 取得最小值．3．建联系，找解题突破口 分析函数特点：含分式函数――――――――――――――――→可利用导数研究函数的最值 y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝8πc －r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2――――――――――→求导数为零的点 当r ＝ 320c －2时，y ′＝0(]02，的关系，求极值 分320c －2≥2和0< 320c －2<2两种情况讨论，并求得结论． [准确规范答题](1)设容器的容积为V ，由题意知 V ＝4πr 33＋πr 2l ，又V ＝80π3，⇨(1分)所以4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r3，⇨(2分)由于l ≥2r因此0<r ≤2.⇨(3分) 所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫803r 2－4r 3＝160π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以建造费用y ＝160πr－8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．⇨(4分)(2)由(1)，得y ′＝－160πr2－16πr ＋8πcr ＝8πc －r 2·⎝⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2，⇨(5分)由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令320c －2＝m ，则m >0.所以y ′＝8πc －r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．⇨(7分)①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0； 当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．⇨(9分) ②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点．⇨(11分)综上，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费最小时r ＝320c －2.⇨(12分) [答题模板速成]解决函数实际应用问题的一般步骤：⇒⇒⇒⇒⇒一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )解析：选C 由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变，故应选C.2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析：选B 设该公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，利润为L (x )＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15⎝⎛⎭⎪⎫x －153152＋0.15×1532225＋30，由于x 为整数，所以当x ＝10时，L (x )取最大值L (10)＝45.6，即能获得的最大利润为45.6万元．3．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)( )A ．90万m 2B ．87万m 2C ．85万m 2D ．80万m 2解析：选B 由题意＋10×7－500×610≈86.6(万m 2)≈87(万m 2)．4．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )A ．不能确定B ．①②同样省钱C ．②省钱D ．①省钱解析：选D 方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元) 方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元) 因为210<211.6，故方法①省钱．5．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着A －B －C －M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，将三角形APM 的面积y 看作路程x 的函数，则其函数图象大致是()解析：选A 当0≤x ≤1时，y ＝12·x ·1＝12x ；当1<x ≤2时，y ＝1－12(x －1)－14(2－x )－14＝－14x ＋34；当2<x ≤2.5时，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x ×1＝54－12x .则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x ≤1，－14x ＋34，1<x ≤2，－12x ＋54，2<x ≤2.5.根据函数可以画出其大致图象，故选A.6．(2013·武汉模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的范围为( )A ．[2,4]B ．[3,4]C ．[2,5]D ．[3,5]解析：选B 根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6.由y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2≤10.5得3≤x ≤4.∵[3,4]⊆[2,6)，∴腰长x 的范围是[3,4]． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象可能是图中的________．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢．答案：②8．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．解析：设矩形的宽为x m ， 则矩形的长为200－4x m(0<x <50)， 面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500. 故当x ＝25时，S 取得最大值2 500 (m 2)． 答案：2 500 m 29．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠； 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意知付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.6三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为y x(万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2 x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴x ＝210时，R (x )有最大值为R (210)＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．11．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h )内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12， ∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t2＋70t －550.综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈，20]，－t 2＋70t －550， t ∈，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650， 解得t 1＝30，t 2＝40. ∵20<t ≤35，∴t ＝30，即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．12．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？解：(1)当0<x ≤500时，f (x )＝0.05x －120 000x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12， 当x >500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－120 000x 2＋19400x －12，0<x ≤500，12－1400x ，x >500.(2)当0<x ≤500时，f (x )＝－x 220 000＋19400x －12＝－120 000(x －475)2＋34532， 故当x ＝475时，f (x )max ＝34532.当x >500时，f (x )＝12－1400x <12－54＝34432<34532， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．1．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，得x ＝1003时，y min ＝50 0003， 即核电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最少．2．目前某县有100万人，经过x 年后为y 万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)． 解：(1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)． (2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人．(3)设x 年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x ＝log 1.012120100≈15.3故大约16年后该县的人口总数将达到120万．3．某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在下图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解：(1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0<t ≤20，－110t ＋8，20<t ≤30(t ∈N *)．(2)设Q ＝at ＋b (a ，b 为常数)，把(4,36)，(10,30)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30，解得a ＝－1，b ＝40.所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝－t ＋40,0<t ≤30，t ∈N *.(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2－t ，0<t ≤20，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8－t ，20<t ≤30，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t －2＋125，0<t ≤20，110t －2－40，20<t ≤3(t ∈N *)．当0<t ≤20时，y 有最大值y max ＝125万元，此时t ＝15；当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小，y max <110(20－60)2－40＝120万元．所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元.。

2.9 函数的应用基础梳理1．常见的函数模型及性质(1)几类函数模型①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．④对数函数型模型：y＝m log a x＋n(a＞0，a≠1)．⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b.(2)三种函数模型的性质1.特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2.(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．题型一一次函数、二次函数函数模型的应用【例1】在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x2，C(x)＝500x＋4 000(x∈N*)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)；(2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．解 (1)由题意，得x ∈[1,100]，且x ∈N *.P (x )＝R (x )－C (x )＝(3 000x －20x 2)－(500x ＋4 000) ＝－20x 2＋2 500x －4 000，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝[－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000]－(－20x 2＋2 500x －4 000)＝2 480－40x .(2)P (x )＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －12522＋74 125，当x ＝62或x ＝63时，P (x )取得最大值74 120元； 因为MP (x )＝2 480－40x 是减函数， 所以当x ＝1时，MP (x )取得最大值2 440元．故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为71 680元.【变式1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )． (1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值． 解 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋200⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45－2t ＋200，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400； ②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数，∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210. ∵6 210＜6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.题型二 指数函数模型的应用【例2】►某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，t ＞1.当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得．a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25，或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得116≤t ≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时．【变式2】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题： (1)写出该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？ (参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)解 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2. 3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设x 年后该城市人口将达到120万人， 即100×(1＋1.2%)x＝120，x ＝log 1.012120100＝log 1.0121.20≈16(年)． (4)由100×(1＋x %)20≤120，得 (1＋x %)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x %)≤lg 1.2＝0.079，所以lg(1＋x %)≤0.07920＝0.003 95，所以1＋x %≤1.009，得x ≤0.9， 即年自然增长率应该控制在0.9%. 题型三 函数y ＝x ＋ax模型的应用【例3】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)由已知条件C (0)＝8则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5 (0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2 6x ＋108003x ＋5－10＝70(万元)， 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5即x ＝5时等号成立．所以当隔热层为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．【变式3】 某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？ 解 设温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800xm.∴蔬菜种植面积y ＝(x －4)⎝⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x <400)．∵x ＋1 600x ≥2x ·1 600x＝80，∴y ≤808－2×80＝648(m)2. 当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40，此时800x＝20 m ，y 最大＝648(m 2)．∴当矩形温室的左侧边长为40 m ，后侧边长为20 m 时，蔬菜的种植面积最大，为648 m 2. 重难点突破【例4】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[解析] (1)由题意：当0≤x ≤20时， v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20＜x ≤200.(4分)(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20＜x ≤200.(6分)当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；(7分) 当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋200－x 22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003.(10分)综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．(12分) 巩固提高1．从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于( )． A ．3～4万元 B ．4～5万元 C ．5～6万元D ．2～3万元解析 设存入的本金为x ，则x ·2%·20%＝138.64，∴x ＝1 386 40040＝34 660.答案 A2．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )．A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 设利润为f (x )(万元)，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，∴x ≥150. 答案 C3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )．A ．1 000米2B ．2 000米2C ．2 500米2D ．3 000米2解析 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x 米、y 米，如图，则4x ＋3y ＝200，又矩形场地的面积S ＝3xy ＝3x ·200－4x 3＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500，∴当x ＝25时，S max＝2 500.答案 C4．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍． 答案 6 10 0005．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x－2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x－2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x－2，因此，当y ＝14时，由14＝2x－2，解得x ＝4.答案 4。

第9讲函数的应用【2014年高考会这样考】1．考查二次函数模型的建立及最值问题．2．考查分段函数模型的建立及最值问题．3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．4．合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.对应学生34考点梳理1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝ax＋b(a≠0)；(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)指数函数模型：y＝N(1＋p)x(x>0，p≠0)(增长率问题)；(5)对数函数模型y＝b log a x(x>0，a>0且a≠1)；(6)幂函数模型y＝x n；(7)y＝x＋ax型(x≠0)；(8)分段函数型．2．三种函数模型图象与性质比较一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论．考点自测1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为( )．A ．95元B ．100元C ．105元D ．110元解析 设定价为(90＋x )元，则每件商品利润为90＋x －80＝(10＋x )(元)，利润y ＝(10＋x )(400－20x )＝20(x ＋10)·(20－x )＝－20(x －5)2＋4 500，当x ＝5时，利润最大，故售价定为95元．答案 A2．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.答案 D3．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再慢慢走余下的路程，图中纵坐标表示离学校的距离s，横坐标表示出发后的时间t，则如图所示的四个图形中较符合该学生走法的是()．解析纵轴表示离学校的距离，排除A，C，开始跑步，后慢慢走，说明函数开始下降较快，后来下降较慢．答案 D4．(2011·湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案610 0005．(人教A版教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．解析已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*答案y＝a(1＋r)x，x∈N*对应学生35考向一 一次函数、二次函数模型【例1】►据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．[审题视点] 正确理解s 的意义及函数v ＝f (t )的图象是解答此题的关键，该函数的定义域即风暴发生的时间由函数v ＝f (t )的图象确定，即0≤t ≤35. 解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650， t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．1.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．2．当两变量之间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数则可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点．【训练1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系；(2)求日销售额S 的最大值．解 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2t ＋200)⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N 45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎨⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N . (2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400；②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数，∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210.∵6 210<6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400. 考向二 指数函数模型【例2】►有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V m 3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r m 3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t 时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )＝p r ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r e －r V t (p ≥0)，其中g (0)是湖水污染的初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)求证：当g (0)<p r 时，湖泊的污染程度将越来越严重；(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%?[审题视点] 本题信息量大，解析式较繁，需要考生有较强的阅读理解能力和计算能力，同时，对题目的转化尤为重要，(2)中即证明g (t )递增；(3)中转化为解方程即可．(1)解 设0≤t 1<t 2，∴g (t )为常数，∴g (t 1)＝g (t 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫e －r V t 1－e －r V t 2＝0.∴g (0)＝p r .(2)证明 设0<t 1<t 2，则g (t 1)－g (t 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·(e －r V t 1－e －r V t 2) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·e r V t 2－e r V t 1e r V (t 1＋t 2). ∵g (0)－p r <0，t 1<t 2，∴g (t 1)<g (t 2)．故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重．(3)解 污染源停止，即p ＝0，此时g (t )＝g (0)·e －r V t .设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g (t )＝5%·g (0)，即有5%·g (0)＝g (0)·e －r V t .由实际意义知g (0)≠0，∴120＝e －r V t .∴t ＝V r ln 20，即需要V r ln 20天时间．1.指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．【训练2】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t >1. 当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4，得a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得116≤t ≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时． 考向三 函数y ＝x ＋a x模型【例3】►上海某玩具厂生产x 万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P 元，且P ＝1 000＋5x ＋110x 2，x ∈(0,200]，而每万套售出价格为Q 元，其中Q ＝a x ＋b (a >5 000，b >5)．(1)该玩具厂生产多少万套吉祥物时，使得每万套成本费用最低？(2)若产出的吉祥物能全部售出，产量多大时，厂家所获利润最大？[审题视点] 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件．解 (1)P x ＝1 000＋5x ＋110x 2x ＝1 000x ＋x 10＋5≥25(当且仅当x ＝100时，取等号)，∴生产100万套时，每万套成本费用最低．(2)由题设，利润f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b x －(1 000＋5x ＋110x 2)＝－110x 2＋(b －5)x ＋a －1 000＝－110[x －5(b －5)]2＋a －1 000＋52(b －5)2，x ∈(0,200]．当5(b －5)≤200，即5<b ≤45时，[f (x )]max ＝f [5(b －5)]＝52(b －5)2＋a －1 000，∴当产量为(5b －25)万套时，利润最大．当b >45时，函数f (x )在(0,200]上是增函数，∴当产量为200万套时，[f (x )]max ＝200b ＋a －6 000.对于y ＝x ＋a x (a >0)类型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，或利用函数的单调性求最值．【训练3】 (2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解(1)由已知条件C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥2 (6x＋10)8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5即x＝5时等号成立．所以当隔热层为 5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．对应学生36规范解答2——函数建模及函数应用问题【命题研究】从近三年的高考试题来看，建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．预测2014年高考仍将以函数建模为主要考点，同时考查利用导数求最值问题．【真题探究】►(本小题满分12分)(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[教你审题] 解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成x 的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解．[规范解答] 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )(0<x <30)．(2分) (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，(4分)所以当x ＝15时，S 取得最大值．(6分)(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，(8分)V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.(9分)当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．(11分)此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.(12分)[阅卷老师手记] (1)在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，但应注意结果与实际情况相符合． (2)用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．解函数应用题的一般程序是：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文学语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．【试一试】 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支 2 000元． Z&xx&k(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600(20<P ≤26)，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．对应学生241A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·成都调研)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为 ( )．解析 由题意可得y ＝(1＋10.4%)x .答案 D2．(2013·青岛月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )．A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 A3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )． A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(x ≥0)，∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案 B4．(2013·太原模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x－25x ＋12，∵x ∈N *，∴y x ≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的年平均利润最大．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案 46．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486. 答案 30 cm 、20 cm三、解答题(共25分)7．(12分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y (元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29，y 2＝12x .(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623 时，y 1>y 2，即使用“便民卡”便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即使用“如意卡”便宜．8．(13分)(2013·济宁模拟)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000，即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )(1＋0.2x %)万元，则10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )(1＋0.2x %)，所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x ＋1恒成立，因为2500x ＋1 000x ≥2 2x 500×1 000x ＝4，当且仅当2x 500＝1 000x ，即x ＝500时等号成立．所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·潍坊联考)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x ，y剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，记y ＝f (x )，则y ＝f (x )的图象是 ( )．解析 由题意得2xy ＝20，即y ＝10x ，当x ＝2时，y ＝5，当x ＝10时，y ＝1时，排除C ，D ，又2≤x ≤10，排除B.答案 A2．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )． A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克解析 由题意M ′(t )＝M 02－t 30⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2， M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10ln 2， ∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·阜阳检测)按如图所示放置的一边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y＝f (x )，则y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为________．解析 将P 点移到原点，开始运动，当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段首尾相接的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＋π4＝π＋1. 答案 π＋14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 解析 由已知条件y ＝⎩⎨⎧ 8，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6解得x ＝9.答案 9三、解答题(共25分)5．(12分)(2011·湖南)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速度移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v(3|v －c |＋10)． (2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5(3c ＋10)v－15； 当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5(10－3c )v＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5(3c ＋10)v －15，0<v ≤c ，5(10－3c )v ＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c. 6．(13分)(2013·徐州模拟)某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA ＝r (米)，设建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S (r )；(2)由于条件限制r ∈[30,40]，问当r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)解 (1)塑胶跑道面积S ＝π[r 2－(r －8)2]＋8×10 000－πr 22r ×2 ＝80 000r ＋8πr －64π.∵πr 2＜10 000，∴0＜r ＜100π.(2)设运动场的造价为y 元， y ＝150×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －64π＋30×⎝ ⎛10 000－80 000r)－8πr ＋64π＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π.令f (r )＝80 000r ＋8πr ，∵f ′(r )＝8π－80 000r 2， 当r ∈[30,40]时，f ′(r )＜0， ∴函数y ＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r ＝40时，y min ≈636 510，即运动场的造价最低为636 510元.。

2014届高三数学总复习 2.13函数模型及其应用教案 新人教A版,1. (必修1P 110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为________m.答案：1 900解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900.2. (必修1P 71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．答案：1 331解析：1 000×(1＋10%)3＝1 331. 3. (必修1P 35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则该函数的定义域为________．答案：(5，10)4. (必修1P 110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v ＝2000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s. 答案：e 6－1解析：由2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000，得1＋M m ＝e 6，所以M m ＝e 6－1.5. (必修1P 100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t<25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ，且该商品的日销售量Q 与时间t(天)的函数关系为Q ＝－t ＋40(0<t≤30，t ∈N )，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第________天．答案：25解析：设日销量金额为W 元，则W ＝P·Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧（t ＋20）（－t ＋40），0<t<25，t ∈N （－t ＋100）（－t ＋40），25≤t ≤30，t ∈N ， 当0<t<25，t ∈N 时，W(t)<W(25)；当25≤t≤30，t ∈N 时，W (t)≤W(25)．1. 常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．2. 指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n(n>0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次上”．随着x 的增大，y ＝a x(a>1)的增长速度越快，会越过并远远大于y ＝x n(n>0)的增长速度；而y ＝log a x(a>1)的增长速度会越慢．因此，总会存在一个x 0，当x>x 0时，有ax 0>x n 0>log a x 0(比较ax 0，x n0，log a x 0的大小)．3. 函数模型的应用实例的基本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题． (2) 建立合适的函数模型解决问题． (3) 建立拟合函数模型解决实际问题．4. 函数建模的基本程序题型1 一次、二次函数模型例1 市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k 为正常数)．目前该商品定价为每个a 元，统计其销售数量为b 个．(1) 当k ＝12时，该商品的价格上涨多少，才能使销售的总金额达到最大？(2) 在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k 的取值范围. 解：由题意，价格上涨x%以后，销售总金额为y ＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k)x ＋10 000]．(1) 当k ＝12时，y ＝ab 10 000(－12x 2＋50x ＋10 000)＝ab 20 000[22 500－(x －50)2]，因此当x ＝50，即价格上涨50%时，y 取最大值98ab.(2) y ＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k)x ＋10 000]，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝50（1－k ）k.在适当涨价的过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x>0}的一个子集内增大时，y 也增大，因此50（1－k ）k>0，解得0<k<1.备选变式（教师专享） 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k>0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1) 令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10.当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km. (2) 因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2＋64)≥0a ≤6.所以当a 不超过6(km)时，可击中目标．题型2 指数、对数函数模型例2 设在海拔xm 处的大气压强是yPa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝ce kx，其中c 、k为常量．已知某天的海平面的大气压为1.01×105 Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强．(保留3位有效数字)解：将x ＝0时，y ＝1.01×105Pa 和x ＝1000时，y ＝0.90×105Pa 分别代入函数式y ＝ce kx，得⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝ce 0，0.90×105＝ce 1 000k， ∴ c ＝1.01×105， ∴ e1 000k＝0.90×1051.01×105＝0.901.01， ∴ k ＝11000×ln 0.901.01，用计算器算得k≈－1.154×10－4， ∴ y ＝1.01×105×e －1.154×10－4x ，将x ＝600代入上述函数式，得y≈9.42×104Pa ，即在600m 高空的大气压强约为9.42×104Pa.备选变式（教师专享）我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变，经过5570年(叫做14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C 的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a′(与a 之间满足a′＝a·e －kt)．现测得出土的古莲子中14C 残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．解：因a′＝a·e－kt，即a′a＝e －kt.两边取对数，得lg a′a＝－ktlge.①又知14C 的半衰期是5570年，即t ＝5570时，a′a ＝12.故lg 12＝－5570klge ，即klge ＝lg25570.代入①式，并整理，得t ＝－5570lga′alg2.这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的a′a 是0.879，代入公式，得t ＝－5570lg0.879lg2≈1 036.即古莲子约是1 036年前的遗物．题型3 分段函数模型例3 已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x>40.(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解：(1) 当0<x≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x>40.(2) ① 当0<x≤40，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W(32)＝6 104；② 当x>40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x≥240 000x×16x＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104.备选变式（教师专享）经市场调查，某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格为g(t)＝12t ＋30(1≤t≤30，t ∈N )，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t ∈N )．(1) 写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系式； (2) 求日销售额S 的最大值． 解：(1)根据题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2t ＋200）⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45（－2t ＋200），31≤t ≤50，t ∈N ，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6400， 当t ＝20时，S 的最大值为6400；②当31≤t≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9000为减函数， 当t ＝31时，S 的最大值是6210，∵ 6210<6400，∴ 当t ＝20时，日销售额S 有最大值6400. 题型4 分式函数模型例4 如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD 、AB 距离分别为9m 、3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ∶NE ＝16∶9.线段MN 必须过点P ，端点M 、N 分别在边AD 、AB 上，设AN ＝x(m)，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S(m 2)．(1) 用x 的代数式表示AM ；(2) 求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域；(3) 当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？解：(1) AM ＝3xx －9(10≤x≤30)．(2) MN 2＝AN 2＋AM 2＝x 2＋9x2（x －9）.∵ MN ∶NE ＝16∶9，∴ NE ＝916MN. ∴ S ＝MN·NE＝916MN 2＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋9x 2（x －9）2， 定义域为[10，30]．(3) S′＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋18x （x －9）2－9x 2（2x －18）（x －9）4 ＝98×x[（x －9）3－81]（x －9）3，令S′＝0，得x ＝0(舍)或9＋333.当10≤x<9＋333时，S ′<0，S 关于x 为减函数；当9＋333<x ≤30时，S ′>0，S 关于x 为增函数．∴ 当x ＝9＋333时，S 取得最小值．故当AN 长为9＋333 m 时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小． 备选变式（教师专享）如图，两个工厂A 、B 相距2km ，点O 为AB 的中点，要在以O 为圆心，2km 为半径的圆弧MN 上的某一点P 处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB ⊥AB.据测算此办公楼受工厂A 的“噪音影响度”与距离AP 的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B 的“噪音影响度”与距离BP 的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A 、B 两厂的“总噪音影响度”y 是A 、B 两厂“噪音影响度”的和，设AP 为xkm.(1) 求“总噪音影响度”y 关于x 的函数关系式，并求出该函数的定义域； (2) 当AP 为多少时，“总噪音影响度”最小？解：(1) (解法1)如图，连结OP ， 设∠AOP＝α，则π3≤α≤2π3.在△AOP 中，由余弦定理得x 2＝12＋22－2×1×2cos α＝5－4cos α， 在△BOP 中，由余弦定理得 BP 2＝12＋22－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cos α，∴ BP 2＝10－x 2， ∴ y ＝1AP 2＋4BP 2＝1x 2＋410－x2 . ∵ π3≤α≤2π3，∴ 3≤x ≤ 7，∴ y ＝1x 2＋410－x2(3≤x ≤7)．(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(m ，n)，则PA 2＝(m ＋1)2＋n 2，PB 2＝(m －1)2＋n 2.∵ m 2＋n 2＝4，PA ＝x ，∴ PB 2＝10－x 2(后面解法过程同解法1)．(2) (解法1)y ＝1x 2＋410－x 2＝110(1x 2＋410－x 2)[x 2＋(10－x 2)]＝110(5＋10－x 2x 2＋4x 210－x 2)≥110(5＋210－x 2x 2·4x 210－x 2)＝910，当且仅当10－x2x2＝4x 210－x 2，即x ＝303∈[3，7]时取等号． 故当AP ＝303km 时，“总噪音影响度”最小． (解法2)由y ＝1x 2＋410－x 2，得y′＝－2x 3＋8x （10－x 2）2＝6x 4＋40x 2－200x 3（10－x 2）2＝2（x 2＋10）（3x 2－10）x 3（10－x 2）2. ∵ 3≤x ≤7 ，∴ 令y′＝0，得x ＝303，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3，303时，y ′<0；当x∈(303，7]时，y ′>0.∴ x ＝303时，y ＝1x 2＋410－x 2取极小值，也即最小值．故当AP ＝303km 时，“总噪音影响度”最小．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：① 报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；② 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③ 报销的医疗费用不得超过8万元．(1) 请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)作为报销方案；(2) 若该单位决定采用函数模型y ＝x －2lnx ＋a(a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)审题引导： 正确理解三个条件：① 要求模型函数在[2，10]上是增函数；② 要满足y≥x2恒成立；③ 要满足y 的最大值小于8.规范解答： 解：(1) 函数y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分)当x ＝10时，y 有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)但当x ＝3时，y ＝2920<32，即y≥x2不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2) 对于函数模型y ＝x －2lnx ＋a ，设f(x)＝x －2lnx ＋a ，则f′(x)＝1－2x ＝x －2x ≥0.∴ f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x －2lnx ＋a≥x2，即a≥2lnx－x 2在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx －x 2，则g′(x)＝2x －12＝4－x 2x ，由g′(x)>0得0＜x<4，∴ g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数． ∴ a ≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.另一方面，由x －2lnx ＋a≤x，得a≤2lnx 在x∈[2，10]上恒成立，∴ a ≤2ln2.(12分)综上所述，a 的取值范围为[4ln2－2，2ln2]， ∴ 满足条件的整数a 的值为1.(14分)1. (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．答案：20解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，所以y ＝40－x ，所以矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．2. (2013·通州模拟)将一个边长分别为a 、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ba的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 解析：设减去的正方形边长为x ，其外接球直径的平方R 2＝(a －2x)2＋(b －2x)2＋x 2，由R′＝0，∴ x ＝29(a ＋b)．∵ a<b ，∴ x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，∴ 0<29(a ＋b)<a 2， ∴ 1<b a <54.3. (2013·无锡期末)要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5(m 2)，其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h ＝12AB ，tan ∠FED ＝34，设AB ＝x m ，BC ＝y m.(1) 求y 关于x 的表达式；(2) 如何设计x 、y 的长度，才能使所用材料最少？解：(1) 如图，在等腰梯形CDEF 中，DH 是高．依题意：DH ＝12AB ＝12x ，EH ＝DH tan ∠FED ＝43×12x ＝23x ，∴ 392＝xy ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋43x 12x ＝xy ＋56x 2，∴ y ＝392x －56x.∵ x ＞0，y ＞0，∴ 392x －56x ＞0，解之得0＜x ＜3655.∴ 所求表达式为y ＝392x －56x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜3655.(2) 在Rt △DEH 中，∵ tan ∠FED ＝34，∴ sin ∠FED ＝35，∴ DE ＝DH sin ∠FED ＝12x ×53＝56x ，∴ l ＝(2x ＋2y)＋2×56x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×23x ＋x ＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x ＝39x ＋133x ≥239x ×133x ＝26， 当且仅当39x ＝133x ，即x ＝3时取等号，此时y ＝392x －56x ＝4，∴ AB ＝3 m ，BC ＝4 m 时，能使整个框架所用材料最少．4. (2013·南通一模)某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m ．这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB ＞AD)为长方形薄板，沿AC 折叠后AB′交DC 于点P.当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD 的面积最大时制冷效果最好．(1) 设AB ＝x m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； (2) 若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？(3) 若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ 解：(1) 由题意，AB ＝x ，BC ＝2－x.因x ＞2－x ，故1＜x ＜2.设DP ＝y ，则PC ＝x －y. 因△ADP≌△CB′P，故PA ＝PC ＝x －y.由PA 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y)2＝(2－x)2＋y2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，1＜x ＜2. (2) 记△ADP 的面积为S 1，则S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x (2－x)＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ≤3－22， 当且仅当x ＝2∈(1，2)时，S 1取得最大值．故当薄板长为2m ，宽为(2－2)m 时，节能效果最好． (3) 记多边形ACB′PD 的面积为S 2，则S 2＝12x(2－x)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x (2－x) ＝3－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x ，1＜x ＜2.于是S 2′＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4x 2＝－x 3＋2x2＝0x ＝32.关于x 的函数S 2在(1，32)上递增，在(32，2)上递减．所以当x ＝32时，S 2取得最大值．故当薄板长为32 m ，宽为(2－32)m 时，制冷效果最好．1. 某驾驶员喝了mL 酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式f(x)＝⎩⎨⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ＞1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过________h 后才能开车．(精确到1h)答案：4解析：当0≤x≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤0.02，得x≥4.2. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t s 内列车前进的距离为S ＝27t －0.45t 2m ，则列车刹车后________s 车停下来，期间列车前进了________m.答案：30 405解析：S′(t)＝27－0.9t ，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t ＝30(s)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(m)．3. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/km 时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km 时，车流速度为60km/h ，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出其最大值．(精确到1辆/小时)解：(1) 由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax ＋b.再由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003. 故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200. (2) 依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200. 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（200－x ）22＝100003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值100003. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值100003≈3333， 即当车流密度为100辆/km 时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/h.4. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)＝1－ax 2(a ＞0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设P(t ，f(t))．(1) 将△OMN(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数S(t)；(2) 若在t ＝12处，S(t)取得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值．解：(1) y′＝－2ax ，∴ 切线斜率是－2at ，∴ 切线方程为y －(1－at 2)＝－2at(x －t)．令y ＝0，得x ＝1＋at 22at ，∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋at 22at ，0， 令x ＝0，得y ＝1＋at 2，∴ N(0，1＋at 2)，∴ △OMN 的面积S(t)＝（1＋at 2）24at. (2) S′(t)＝3a 2t 4＋2at 2－14at 2＝（at 2＋1）（3at 2－1）4at 2， 由a ＞0，t ＞0，S ′(t)＝0，得3at 2－1＝0，即t ＝13a . 当3at 2－1＞0，即t ＞13a 时，S ′(t)>0； 当3at 2－1<0，即0<t<13a 时，S ′(t)<0. ∴ 当t ＝13a时，S(t)有最小值． 已知在t ＝12处，S(t)取得最小值，故有13a ＝12， ∴ a ＝43. 故当a ＝43，t ＝12时，S(t)min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋43·1424·43·12＝23.1. 与函数有关的应用型问题，函数模型可以是已知条件中给出其表达式，也可以是由已知条件建立函数模型，显然后者难度较大，在解题过程中不要忘记考虑函数的定义域．2. 解应用问题，首先，应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．要能顺利解答一个应用问题重点要过三关：(1) 事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生独立获取知识的能力；(2) 文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；(3) 数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型后，要正确解出数学问题的答案，需要扎实的基础知识和较强的数理能力． 请使用课时训练(B)第13课时(见活页)．[备课札记]。

第10课时 函数模型及其应用1．x 、y 分别表示问题中的变量；2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示是：（b ＜a ）,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF.S △BEF =S △DGH =21（a-x ）（b-x ），∴S=ab-2［x 212+21（a-x ）（b-x ）］=-2x 2+（a+b ）x=-2（x-)4b a +2+,8)(2b a +由图形知函数的定义域为{x|0＜x ≤b}.又0＜b ＜a,∴0＜b ＜2b a +,若4b a +≤b,即a ≤3b 时，则当x=4b a +时，S 有最大值8)(2b a +;若4b a +＞b,即a ＞3b 时，S （x ）在（0,b ］上是增函数，此时当x=b 时，S 有最大值为-2(b-4b a +)2+8)(2b a +=ab-b 2,综上可知，当a ≤3b 时，x=4b a +时， 四边形面积S max =8)(2b a +,当a ＞3b 时，x=b 时，四边形面积S max =ab-b 2.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.解：设每个提价为x 元（x ≥0），利润为y 元，每天销售总额为（10+x ）（100-10x ）元，进货总额为8（100-10x ）元，显然100-10x ＞0,即x ＜10,则y=（10+x ）（100-10x ）-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360 (0≤x ＜10).当x=4时，y 取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元.例2. 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v （km/h ）与时间t （h ）的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T （t ，0）作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t （h ）内沙尘暴所经过的路程s （km ）.（1）当t=4时，求s函数模型的的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由.解：（1）由图象可知：当t=4时，v=3×4=12,∴s=21×4×12=24.（2）当0≤t ≤10时，s=21·t ·3t=23t 2，当10＜t ≤20时，s=21×10×30+30（t-10）=30t-150；当20＜t ≤35时，s=21×10×30+10×30+(t-20)×30-21×(t-20)×2(t-20)=-t 2+70t-550.综上可知s=[](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-+-∈-∈.35,20,55070,20,10,15030,10,0,2322t t t t t t t (3)∵t ∈［0，10］时，s max =23×102=150＜650.t ∈（10，20］时，s max =30×20-150=450＜650.∴当t ∈（20，35］时，令-t 2+70t-550=650.解得t 1=30,t 2=40,∵20＜t ≤35,∴t=30，所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-22x （万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？解：（1）当x ≤5时，产品能售出x 百台；当x ＞5时，只能售出5百台，故利润函数为L （x ）=R （x ）-C （x ） =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--).5(25.012),50(5.0275.4)5()25.05.0()2555()50()25.05.0()25(222x x x x x x x x x x x (2)当0≤x ≤5时，L （x ）=4.75x-22x -0.5，当x=4.75时，L(x)max =10.781 25万元.当x ＞5时，L （x ）=12-0.25x 为减函数，此时L （x ）＜10.75(万元）.∴生产475台时利润最大.（3）由⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤.025.0125,05.0275.4,502x ，x x x x 或得x ≥4.75-5562.21=0.1(百台）或x ＜48(百台).∴产品年产量在10台至4 800台时，工厂不亏本.例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨.（1）求y 关于x（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解：（1）当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y=（5x+3x ）× 1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4即3x ≤4且5x ＞4,y=4×1.8+3x ×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8.当乙的用水量超过4即3x ＞4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6，所以y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14x x x x x x(2)由于y=f(x)在各段区间 当x ∈［0，54］时,y ≤f （54）＜26.4; 当x ∈（54，34］时，y ≤f （34）＜26.4; 当x ∈（34,+∞）时，令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲户用水量为5x=7.5付费S 1=4×1.8+3.5×3=17.70（元);乙户用水量为3x=4.5付费S 2=4×1.8+0.5×3=8.70（元).变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000对数lgN0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0 数N3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2 解：（1）设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y，则y ·(1+x)n =60，则当n=40时，y=30，即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2，两边取对数，则40lg(1+x)=lg2，则lg （1+x ）=402lg =0.007 525，∴1+x ≈1.017，得x=1.7%.（2）依题意，y ≤12.48（1+1%）10得lgy ≤lg12.48+10×lg1.01=1.139 2,∴y ≤13.78，故人口至多有13.78亿.答 每年人口平均增长率为1.7%，2008年人口至多有13.78亿.1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4．还原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论，作出回答.。

【重点知识梳理】一、利用函数刻画实际问题用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.【例1】如图所示，向高为H的容器A，B，C，D中同时以等速注水，注满为止：(1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(a)，则容器的形状是______;(2)若水量v与水深h的函数图象是下图中的(b)，则容器的形状是______;(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(c)，则容器的形状是______;(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的(d)，则容器的形状是______.【特别提醒】用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的图象、性质联系起来，从而使问题解决.二、利用已知函数模型解决实际问题利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.三、自建函数模型解决实际问题 建立函数模型解决实际问题的步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质； (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论． 【高频考点突破】考点一、画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．例1、作出下列函数的图象： (1)y ＝|x －x 2|； (2)y ＝x ＋2x －1.考点二 函数图象 例2、作出下列函数的图象：(1)y ＝2x ＋1－1； (2)y ＝sin|x |；(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.图2-10-3【归纳总结】为了正确地作出函数的图象，必须做到以下两点：①熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y ＝x ＋1x的函数．②掌握常用的图象变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等，利用这些方法来帮助我们简化作图过程．考点三 函数图象的变换例3、(1)已知函数y ＝1x ，将其图象向左平移a (a >0)个单位，再向下平移b (b >0)个单位后图象过坐标原点，则ab 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图2－10－4所示，则 y ＝－f (2－x )的图象为( )图2－10－4图2－10－5【归纳总结】图象的变换主要有三种：①平移变换，作图象平移时，要注意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只改变图象的位置，不改变图象的形状．②伸缩变换，注意x →ax ，y →by 的变化中，系数对伸长还是缩短的影响；伸缩变换改变图象的形状．③对称变换，包括轴对称、中心对称和翻折，注意对称变换与表达式中x ，y 的符号有关．考点四 函数图象的识别与应用 )(的图象只可能是x⎝⎛⎭⎫b a ＝y 与指数函数bx ＋2ax ＝y 在下列图象中，二次函数(1)、4例图2－10－6(2)下列四个图象中，可以表示函数y ＝x ·cos x 的图象的是( )图2－10－7【点评】第(1)题通过二次函数的顶点和指数函数的单调性判断两函数图象的位置关系；第(2)题则是通过函数的奇偶性来判断正确的函数图象．【特别提醒】函数图象的识辨可从以下方面入手：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．②从函数的单调性，判断图象的变化趋势．③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．)(的图象大致为ex ＋e －xex －e －x＝y 【变式探究】函数图2－10－8考点五 函数图象与函数性质的综合3|.＋x 4－2x |＝)x (f 、已知函数5例(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(2)若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【点评】作出函数的图像，即可得出函数的单调区间，根据函数f (x )的图像与直线y ＝x ＋a 至少有三个公共点，确定直线y ＝x ＋a 的活动范围，即可确定a 的范围．【特别提醒】 ①从图象的左右分布，分析函数的定义域；从图象的上下分布，分析函数的值域；从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．②利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，比如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．的取值a 都成立，则实数⎝⎛⎦⎤0，π4∈x 对于任意≠1)a 且>0a (x >sin2x a log 若不等式(1) 【变式探究】范围是________．(2)若函数y ＝f (x )(x ∈R)满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1，1)时，f (x )＝|x |.则函数y ＝f (x )的图象与函．________的图象的交点的个数为|x |4log ＝y 数 考点六 数形结合思想求参数的范围)(的取值范围是a ，则12)<x (f 时，均有1)，1－(∈x ，当x a －2x ＝)x (f ，≠1a 且>0a 、已知6例 ∞) ，＋[2∪⎝⎛⎦⎤0，12A. 4]，(1∪⎣⎡⎭⎫14，1B. 2] ，(1∪⎣⎡⎭⎫12，1C. ∞)，＋[4∪⎝⎛⎦⎤0，14D. ．________的取值范围是a 有四个交点，则a ＋|x |－2x ＝y 与曲线1＝y 直线(1)【变式探究】 (2)已知f (x )是以2为周期的偶函数．当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1，3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R 且k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．考点七 一次、二次函数模型的应用例7、(1)若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)的函数关系用图象表示为( )，<240x (0<2x 0.1－x 20＋3 000＝y 之间的函数关系式是)台(x 与产量)万元(y 某产品的总成本(2)x ∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台【特别提醒】①在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数关系，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．②有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．③在解决有关二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．考点八 指数、对数型函数模型的应用，kt 10e ＝y 倍，且知该细菌的繁殖规律为2培养，可繁殖为原来的60 min 某种细菌经(1) 、8例其中k 为常数，t 表示时间(单位：h)，y 表示细菌个数，10个细菌经过7 h 培养能达到的个数为( )A ．640B ．1 280C ．2 560D ．5 120A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A ，其中0A lg －A lg ＝M 的计算公式为：M 里氏震级(2)是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．考点九 分段函数模型的应用例9、某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，通1 450.－10 000x＋x 51＝)x (C 千件时，80；当年产量不小于x 10＋2x 13＝)x (C 千件时，80当年产量不足过市场分析，若每件售价为500元时，该厂当年生产的该产品能全部销售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润是多少？ 【特别提醒】①分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．考点十 函数应用问题的规范解答件之间的关系如≤100)x 80≤，*N ∈x (x 与日产量p 、某工厂统计资料显示，一种产品次品率10例下表所示：日产量x 80 81 82 … x … 98 99 100 次品率p128127126…P (x )…1101918．)为给定常数k (元k3元，生产一件次品损失k ．已知生产一件正品盈利)为常数a (1a －x＝)x (P 其中 (1)求出a ，并将该厂的日盈利额y (元)表示为日生产量x (件)的函数；(2)为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？【变式探究】济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k (k >0)．现在已知相距36 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a ，b ，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC ＝x (km)．(1)试将y 表示为x 的函数；(2)若a ＝1，y 在x ＝6时取得最小值，试求b 的值．【经典考题精析】（2013·湖北卷）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是( )图1－1（2013·陕西卷）设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( ) A ．[－x]＝－[x] B.⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[x] C ．[2x]＝2[x] D ．[x]＋⎣⎡⎦⎤x ＋12＝[2x].a ＋ax 2－3x 4＝)x (f ，函数R ∈a 已知）浙江卷2012·（ (1) 求f (x )的单调区间；(2)证明：当0≤x ≤1时，f (x )＋|2－a |>0..bx ＋3x ＝)x (g ，>0)a 1(＋2ax ＝)x (f 已知函数）北京卷2012·（ (1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．（2012·课标全国卷）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数； ②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．（2012·福建卷）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)908483807568；x b －y ＝a ，20＝－b ，其中a ＋bx ＝y ^求回归直线方程(1) (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【随堂巩固】1．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图像为( )2.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的平均利润最大( )A．3 B．4C．5 D．63某教科书2013年的销量比2011的销量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是()A．x>22%B．x<22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的销量确定4．国家规定某行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是() A．560万元B．420万元C．350万元D．320万元5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为() A．45.606 B．45.6C．45.56 D．45.516．某市2010年新建住房100万m2，其中有25万m2经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其经济适用房每年增加10万m2.按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28)()A．2012年B．2013年C．2014年D．2015年7．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：min)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：t 02060140n 128128 根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于()A．200 B．220C ．240D ．2608．对函数f (x )＝3x 2＋ax ＋b 作代换x ＝g (t )，则总不改变f (x )值域的代换是( )A ．g (t )＝log 12 tB ．g (t )＝(12)tC ．g (t )＝(t －1)2D ．g (t )＝cos t9．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min)为f (x )＝⎩⎨⎧ c x，x<A ，c A ，x≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min ，组装第A 件产品用时15min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16 10．如图，书的一页的面积为600cm 2，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A ，其中0A lg －A lg ＝M 的计算公式为：M ．里氏震级11，此时标准地震的1 000是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是0A 振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．，则现13年计算机的价格降低5．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔12在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________元．13．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，万元．________的最大值是)Q (L ，则总利润2Q 120－Q 40＝)Q (k 的函数，Q 是单位产品数k 又知总收入 14．某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．15.据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．16．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：km/h)是车流密度x(单位：辆/km)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/km时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km时，车流速度为60km/h.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/h)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/h)17．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？说明理由．。

知识归纳1．求解函数应用问题的思路和方法2．函数建模的基本流程误区警示求解函数应用题时，关键环节是审题，审题时：一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言，用数学表达式加以表示；三是弄清给出什么条件，解决什么问题，通过何种数学模型加以解决；四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算，并对运算结果作出实际解释．3．常见函数模型的理解（1）一次函数模型（其增长特点是直线上升（x 的系数0>k ），通过图象可很直观地认识它）、 二次函数型、正反比例函数型（2）指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快)1(>a ，常形象地称之为“指数爆炸”。

（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快)1(>a ，但随着x 的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。

（4）幂函数模型：能用幂函数表示表达的函数模型，其增长情况随nx 中n 的取值变化而定，常见的有二次函数模型。

（5）分式（“勾”） 函数模型：形如)0,0()(>>+=x a x a x x f 的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。

四．典例解析题型1：正比例、反比例、一次函数型和二次函数型例1．某种商品原来定价为每件a 元时，每天可售出m 件，现在把定价降低x 个百分点（即x ％）后，售出数量增加了y 个百分点，且每天的销售额是原来的k 倍。

（1） 设y=nx ，其中n 是大于1的常数，试将k 写成x 的函数；（2） 求销售额最大时x 的值（结果可用喊n 的式子表示）；（3） 当n ＝2时，要使销售额比原来有所增加，求x 的取值X 围。

解：（1）依题意有a(1-x%)×m(1+y%)=kam，将y=nx 代入，化简得2(1)110000100nx n x k -=-++ （2）由（1）知当50(1)n x n-=时，k 值最大。

第九节函数与方程[知识能否忆起]1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()答案：C2．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12解析：选C ∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.3．(教材习题改编)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)解析：选C 设函数f (x )＝e x －x －2，从表中可以看出f (1)·f (2)<0，因此方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．解析：由f (2)·f (3)<0可知x 0∈(2,3)． 答案：(2,3)5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上有零点． ∴f (0)f (1)<0.即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0. 答案：(－2,0)1.函数的零点不是点：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．对函数零点存在的判断中，必须强调： (1)f (x )在[a ，b ]上连续； (2)f (a )·f (b )<0；(3)在(a ，b )内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不必要．3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．典题导入[例1] (2012·唐山统考)设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)[自主解答] ∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0.∴函数f (x )在R 上单调递增．f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0，故零点x 0∈(1,2)．[答案] C由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续不断，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．以题试法1．(2013·衡水模拟)设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (1)·f (2)<0，且f (x )为单调函数，则x 0∈(1,2)．典题导入[例2] (1)(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(2012·北京东城区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[自主解答] (1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x 12与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x只有1个零点．(2)由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1， 又由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． [答案] (1)B (2)A由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．以题试法2．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C 令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝k π＋π2(k＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．典题导入[例3] (2011·辽宁高考改编)已知函数f (x )＝e x －x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．[自主解答] ∵f (x )＝e x －x ＋a ， ∴f ′(x )＝e x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，0)上是减函数； 当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 故f (x )min ＝f (0)＝1＋a .若函数f (x )有零点，则f (x )min ≤0， 即1＋a ≤0，得a ≤－1. [答案] (－∞，－1]若函数变为f (x )＝ln x －2x ＋a ，其他条件不变，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝ln x －2x ＋a ，∴f ′(x )＝1x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x ≤12时f ′(x )≥0，∴f (x )为增函数；当x >12时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数．∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12－1＋a . 若f (x )有零点，则f (x )max ≥0，即ln 12－1＋a ≥0.解得a ≥1－ln 12，a 的取值范围为[)1＋ln 2，＋∞.由题悟法已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．以题试法3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是______．解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)得，f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是周期为2的函数．∵f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，∴当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x ，易得当x ∈[1,2]时，f (x )＝－x ＋2，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x －2.在区间[－1,3]上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象如图所示，结合图形易知，k ∈⎝⎛⎦⎤0，14. 答案：⎝⎛⎦⎤0，141．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析：选D 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：选C 由f (x )在[－1,1]上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，知f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实数根．3．(2012·长沙模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，x 、f (x )的对应关系如下表：A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]解析：选C 因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．4．(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ； ②y ＝－2x ； ③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1.则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选D 由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x >0，所以y ＝2x 没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1，故选D.5．(2012·北京朝阳统考)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.6．(2013·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．10解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点个数是8.7．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．解析：因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．答案：(0,0.5) f (0.25)8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象交点的个数，易知当a >1时，两图象有两个交点；当0<a <1时，两图象有一个交点．答案：(1，＋∞)9．(2013·南通质检)已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．解析：因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)<0，即2<k <3.答案：(2,3)10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.11．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，0<－m －12<2，f (2)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)2－4≥0，－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1.由①②可知m 的取值范围(－∞，－1]．12．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．1．(2012·“江南十校”联考)已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15解析：选B 如图，函数y ＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称，将直线y ＝a 从下往上移动可知：P 中所有元素的和可能是6,9,12.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．解析：∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝12.∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．答案：23．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一个实根属于(x 1，x 2)．证明：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，∴函数f (x )有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 1)－f (x 2)2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 2)－f (x 1)2，∴g (x 1)·g (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)2·f (x 2)－f (x 1)2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2. ∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0. ∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．即f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]在(x 1，x 2)内必有一实根．1．对于定义域为D 的函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ]⊆D (a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的“等值区间”．给出下列四个函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝log 2x ＋1. 则存在“等值区间”的函数是________．(把正确的序号都填上)解析：问题等价于方程f (x )＝x 在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，由于2x >x ，故函数f (x )＝2x 不存在等值区间；由于x 3＝x 有三个不相等的实根x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，故函数f (x )＝x 3存在三个等值区间[－1,0]，[0,1]，[－1,1]；由于sin x ＝x 只有唯一的实根x ＝0，结合函数图象，可知函数f (x )＝sin x 不存在等值区间；由于log 2x ＋1＝x 有实根x 1＝1，x 2＝2，故函数f (x )＝log 2x ＋1存在等值区间[1,2]．答案：②④2．m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.京翰教育高考辅导——专业对高中学生开设高三数学辅导补习班京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班 (1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．解：(1)若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点， 则等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.(2)设两零点分别为x 1，x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2.则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4m 2－4(3m ＋4)>0，(x 1＋1)＋(x 2＋1)>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋(－2m )＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1或m >4，m <1，m >－5.故m 的取值范围是{m |－5<m <－1}．。