2015届高考数学总复习第二章函数与导数第13课时函数模型及其应用教学案(含最新模拟、试题改编)

函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。

函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。

一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。

2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。

3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。

4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。

2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。

3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。

4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。

5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。

三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。

2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。

3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。

4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。

四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。

2．9 函数模型及其应用[知识梳理]1．七类常见函数模型2．指数、对数、幂函数模型的性质3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：特别提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．[诊断自测]1．概念思辨(1)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．( )(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) (3)当a >1时，不存在实数x 0，使.( )(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 59T 6)如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771，lg 109＝2.0374，lg 0.09＝－2.9543)( )A ．2015年B ．2011年C ．2010年D ．2008年 答案 B解析 设1995年总值为a ，经过x 年翻两番，则a ·(1＋9%)x＝4a .∴x ＝2lg 2lg 1.09≈16.故选B.(2)(必修A1P 107T 1)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x答案 B解析 由题意得，表中数据y 随x 的变化趋势，函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大越来越快．∵A 中函数是线性增加的函数，C 中函数是比线性增加还缓慢的函数，D 中函数是减函数，∴排除A ，C ，D ，∴B 中函数y ＝12(x 2－1)符合题意．故选B.3．小题热身(1) (2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月30日大约卖出了西红柿 ________千克．答案1909解析 前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10,30)代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x )＝p ·q x(q >0，q ≠1)； ②f (x )＝log p x ＋q (p >0，p ≠1)； ③f (x )＝x 2＋px ＋q .能较准确反映商场月销售额f (x )与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x )＝________.答案 ③ x 2－8x ＋17解析 (ⅰ)因为f (x )＝p ·q x ，f (x )＝log q x ＋q 是单调函数，f (x )＝x 2＋px ＋q 中，f ′(x )＝2x ＋p ，令f ′(x )＝0，得x ＝－p2，f (x )出现一个递增区间和一个递减区间，所以模拟函数应选f (x )＝x 2＋px ＋q .(ⅱ)∵f (1)＝10，f (3)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝10，9＋3p ＋q ＝2，解得p ＝－8，q ＝17，∴f (x )＝x 2－8x ＋17，故答案为③；x 2－8x ＋17.题型1 二次函数及分段函数模型典例为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？本题用函数法，再由均值定理解之．解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5000，当x ＝200时，S 取最小值－20000，所以国家每月补偿数额的范围是[5000,20000]． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为yx ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，x ∈[120，144)，12x ＋80000x－200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240， 所以当x ＝120时，yx取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80000x －200≥2 12x ×80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 方法技巧一次函数、二次函数及分段函数模型的选取与应用策略1．在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．2．实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．见典例．3．实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解，但应关注以下两点：(1)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； (2)分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值． 提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)对构建的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解．冲关针对训练(2017·广州模拟)某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？解 (1)设A ，B 两种产品分别投资x 万元(x ≥0)，所得利润分别为f (x )，g (x )万元． 由题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x (x ≥0)，所以根据图象可解得f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)．(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6，所以总利润y ＝8.25万元． ②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,3 2 ]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2，所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．题型2 指数函数模型典例(2017·西安模拟)我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品的关税与市场供应量P 的关系近似满足：y ＝P (x )＝2(1－kt )(x －b )2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图：(1)根据图象求b ，k 的值；(2)若市场需求量为Q ，它近似满足Q (x )＝211－x2.当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t 的最小值．本题用函数思想，采用换元法．解方法技巧构建指数函数模型的关注点1．指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．2．应用指数函数模型时关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y ＝a (1＋x )n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．冲关针对训练某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y (单位：万人)与年份x (单位：年)的函数关系式； (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)． (1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210，log 1.0121.2≈15.3) 解 (1)1年后该城市人口总数为y ＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3，……x 年后该城市人口总数为y ＝100×(1＋1.2%)x .所以该城市人口总数y (万人)与年份x (年)的函数关系式是y ＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． 所以10年后该城市人口总数约为112.7万人．(3)设x 年后该城市人口将达到120万人，即100(1＋1.2%)x ≥120，于是1.012x≥120100，所以x ≥log 1.012120100＝log 1.0121.2≈15.3≈15(年)，即大约15年后该城市人口总数将达到120万人． 题型3 对数函数模型典例某企业根据分析和预测，能获得10万～1000万元的投资收益，企业拟制定方案对科研进行奖励，方案：奖金y (万元)随投资收益x (万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y ＝f (x )模拟此方案．(1)写出模拟函数y ＝f (x )所满足的条件；(2)试分析函数模型y ＝4lg x －3是否符合此方案要求，并说明理由．用函数思想，采用导数法．解 (1)由题意，y ＝f (x )所满足的条件是： ①f (x )在[10,1000]上为增函数， ②f (x )≤9， ③f (x )≤15x .(2)对于y ＝4lg x －3，显然在[10,1000]上是增函数，满足条件①.当10≤x ≤1000时，4lg 10－3≤y ≤4lg 1000－3，即1≤y ≤9，满足条件②. 证明如下：f (x )≤15x ，即4lg x －3≤15x ，对于x ∈[10,1000]恒成立．令g (x )＝4lg x －3－15x ，x ∈[10,1000]，g ′(x )＝20 lg e －x 5x ，∵e<10，∴lg e<lg 10＝12，∴20lg e<10，又∵x ≥10，∴20lg e －x <0，∴g ′(x )<0对于x ∈[10,1000]恒成立，∴g (x )在[10,1000]上是减函数． ∴g (x )≤g (10)＝4lg 10－3－15×10＝－1<0，即4lg x －3－15x ≤0，即4lg x －3≤15x ，对x ∈[10,1000]恒成立，从而满足条件③.方法技巧本例属奖金分配问题，奖金的收益属对数增长，随着投资收益的增加，奖金的增加会趋向于“饱和”状态，实际中很多经济现象都是这种规律，并注意掌握直接法、列式比较法、描点观察法．冲关针对训练候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．1．(2015·北京高考)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升 答案 B解析 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，故选B.2．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1答案 D解析 设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝(1＋p )(1＋q )－1，故选D.3．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 依题意有192＝e b,48＝e22k ＋b＝e 22k ·e b ，所以e 22k ＝48e b ＝48192＝14，所以e 11k＝12或－12(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．4．(2017·江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝10x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6. (1)若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；(2)试确定产品A 的销售价格x 的值，其使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．(保留1位小数)解 (1)当x ＝4时，y ＝102＋4×(4－6)2＝21千件，此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4－2)×21＝42千元．(2)该店每日销售产品A 所获得的利润f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，易知在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·福州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则y 关于x 的函数关系与下列函数最接近的(其中a ，b 为待定系数)是( ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x答案 B解析 由x ＝0时，y ＝1，排除D ；由f (－1.0)≠f (1.0)，排除C ；由函数值增长速度不同，排除A.故选B.2．(2017·云南联考)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系可用图象表示的是( )答案 A解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A ；后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( )A ．2.4元B ．3元C ．2.8元D ．3.2元 答案 B解析 设每本定价x 元(x ≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×104－x －20.2×4×103·x＝104·x (9－2x )≥9×104.∴2x 2－9x ＋9≤0⇒32≤x ≤3，故选B.4．(2017·南昌期末)某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处 答案 A解析 设仓库与车站距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，于是y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k 110，8＝10k 2，解得k 1＝20，k 2＝45.设总费用为y ，则y ＝20x ＋4x5≥220x ·4x5＝8. 当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．故选A.5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D解析 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误；对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少；对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误；对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．故选D.6．(2017·北京朝阳测试)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a en t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 D解析 根据题意知12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.故选D.7．(2016·天津模拟)国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( )A ．560万元B ．420万元C ．350万元D ．320万元 答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元，纳税额为y 万元，则由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ×p %，x ≤280，280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%，x >280，依题有280×p %＋(x －280)×(p ＋2)%x＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故选D.8．(2017·北京朝阳区模拟)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是( )A ．投资3天以内(含3天)，采用方案一B ．投资4天，不采用方案三C ．投资6天，采用方案一D ．投资12天，采用方案二 答案 D解析 由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A 正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B 正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C 正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D 错误．故选D.9．(2017·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <11000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.10．(2017·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3000元B ．3300元C ．3500元D ．4000元 答案 B解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )．则y ＝(3000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2900＋50x )·(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润，故选B.二、填空题11．(2017·金版创新)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．12．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e －8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min. 13．(2014·北京高考改编)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．答案 3.75分钟解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1 (2)0.6解析 (1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)．由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a ，解得a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1(t >0.1)． (2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室． 三、解答题15．(2017·济宁期末)已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x 元/件(1≤x ≤2)，则新增的年销量P ＝4(2－x )2(万件)．(1)写出今年商户甲的收益f (x )(单位：万元)与x 的函数关系式；(2)商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？请说明理由．解 (1)由题意可得：f (x )＝[1＋4(2－x )2](x －1)，1≤x ≤2.(2)甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．f ′(x )＝8(x －2)(x －1)＋1＋4(2－x )2＝12x 2－40x ＋33＝(2x －3)(6x －11)，可得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32时，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，116时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤116，2时，函数f (x )单调递增．∴x ＝32时，函数f (x )取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1；又f (2)＝1. ∴当x ＝32或x ＝2时，函数f (x )取得最大值1(万元)．因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益． 16．(2017·北京模拟)已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2－4x ＋6，g (x )＝a 2·3x＋b 2(a 1，a 2，b 2∈R )．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式； (2)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(3)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解 (1)依题意：由f (1)＝6，解得a 1＝4， 所以f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝6，g (2)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8，解得a 2＝13，b 2＝5，所以g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5.(2)由(1)知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(3)作函数图象如下：从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润： 当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )； 当x ＝2,3,4时，有f (x )>g (x )； 当x ＝6,7,8,9,10时，有f (x )<g (x )．。

函数模型及其应用教案一、教学目标1. 理解函数的概念，了解函数模型的产生和应用；2. 学习两种常见函数模型的基本形式和参数，并能解决实际问题应用；3. 认识函数模型在现实生活和工程实践中的重要作用；4. 提高学生分析和解决实际问题的能力。

二、教学重点1. 函数的概念与应用；2. 两种常见函数模型的基本形式与参数；3. 实际问题中函数模型的应用。

三、教学难点1. 函数模型在数学联系与实际应用展示之间的联系；2. 如何将实际问题转化为基本形式的函数模型。

四、教学方法1. 讲授教学法；2. 课堂互动式教学法；3. 问题式教学法。

五、教学准备1. 多媒体教学设备；2. 函数模型案例资料。

六、教学过程1. 引入函数是一种重要的数学概念，也是自然科学、经济学、工程技术等领域的基础。

而函数模型则是在实际问题中应用函数的过程中，通过对数据和经验的分析产生的数学模型，可用于预测、控制、优化等目的。

今天我们将学习两种常见函数模型及其应用。

2. 基础知识讲解（1）函数的概念函数是一个输入输出关系的特殊情况。

数学上定义一个函数是指一组数对，其中第一个数（称为自变量）从一个特定集合中取任意一个值，；第二个数（称为因变量或函数值）则从另一集合中取一个值，这个取值完全由第一个数决定。

（2）线性函数模型线性函数模型可以写为 y=a*x+b 的形式，其中 a 称为斜率，b称为截距。

它的应用非常广泛，比如经济学中的供给函数、消费函数，工程学中的动力学方程等等，都可以通过线性函数模型来描述。

（3）指数函数模型指数函数模型可以用 y=a^x+b 的形式表示，其中 a 称为底数，b 称为位移。

指数函数具有非常广泛的应用，在物理学、天文学、化学、生物学、经济学等领域中都有其用途，比如放射性衰变过程、细胞增殖过程、经济增长过程等等都可以使用指数函数模型来描述。

3. 练习将下列实际问题转化为线性函数模型或指数函数模型，并求出相应的参数或曲线。

函数模型及其应用的教学教案教学教案：函数模型及其应用一、教学目标1.了解函数模型的基本概念和特性；2.掌握函数模型在实际问题中的应用；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。

二、教学重点和难点1.函数模型的基本概念和特性；2.函数模型在实际问题中的应用。

三、教学方法1.讲授与示范相结合；2.小组合作学习；3.课堂实践。

四、教学过程步骤一：导入新知识（10分钟）1.复习函数的基本概念和性质；2.提出问题：“函数模型是什么？它有什么特点？”；3.学生回答问题并进行讨论。

步骤二：讲解函数模型的基本概念（20分钟）1.介绍函数模型的定义和表示方法；2.引导学生理解函数模型的含义：根据已知条件，建立函数模型来描述一个实际问题；3.示范几个常见的函数模型。

步骤三：探究函数模型的特性（20分钟）1.引入函数模型的性质：单调性、奇偶性、周期性等；2.以实例为例，让学生观察并总结函数模型的特性；3.学生合作完成几个练习题。

步骤四：应用函数模型解决实际问题（30分钟）1.通过实例介绍函数模型在实际问题中的应用，如物体自由落体、物种数量增长等；2.让学生进行小组合作，选择一个实际问题，建立相应的函数模型并解决问题；3.学生展示他们的解决方案，进行评价和讨论。

步骤五：巩固与拓展（20分钟）1.让学生复习巩固所学的内容，完成一篇小结；2.引导学生思考：函数模型在其他学科中的应用；3.教师进行点评和总结。

五、教学评估1.课堂表现评价：学生是否积极参与讨论、是否能熟练运用函数模型解决实际问题等；2.书面作业评价：布置相关练习题，检查学生的掌握程度。

六、教学资源1.教材：《数学教材》；2.多媒体教学工具；3.实际问题的资料。

七、教学反思通过本节课的教学，学生能够理解函数模型的基本概念和特性，能够应用函数模型解决实际问题。

在教学过程中，我注重将知识与实际问题相结合，让学生能够在解决问题的过程中感受到函数模型的重要性和应用价值。

高一数学必修一教案《函数模型及其运用》【导语】心无旁骛，全力以赴，争分夺秒，坚强拼搏脚踏实地，不骄不躁，长风破浪，直济沧海，我们，注定成功！作者高一频道为大家推荐《高一数学必修一教案《函数模型及其运用》》期望对你的学习有帮助！【篇一】【内容】建立函数模型刻画现实问题【内容解析】函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发觉或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的运用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。

在一个具体问题的解决进程中，学生可以从知道知识升华到熟练运用知识，使他们能辩证地看待知识知道与知识运用间的关系，与所学的函数知识前后牢牢相扣，相辅相成。

;另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正知道函数模型的运用和在运用进程中函数模型的建立与解决问题的进程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中发掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。

同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的挑选与建立。

由于建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和运算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析进程来挑选适当的函数模型和函数模型的构建进程。

在这个进程中，要使学生侧重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。

【教学目标】(1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本进程.(2)了解函数模型的广泛运用(3)通过学生进行操作和探究提高学生发觉问题、分析问题、解决实际问题的能力(4)提高学生探究学习新知识的爱好,培养学生,勇于探索的科学态度【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本进程,了解函数模型的广泛运用【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理【教学目标解析】通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理,，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本进程和提高解决实际问题的能力,在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究进程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本进程中让学生亲身体验函数运用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的爱好,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标4)【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的运算速度④运算终止后不进行检验针对上述可能显现的问题,我在课前课上处理是,课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性,同时让学生使用运算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应运算速度,在解析式得出后引导学生得出的标准应当是只有一个的较好的,不能有很多的标准,这样以期引导学生想到对结果进行挑选从而引出检验.【教学用具】多媒体辅助教学(ppt、运算机)。

第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是非空的数集设A，B是非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (3)函数是一种特殊的映射．( )(4)若A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝|x |，则对应f 可看作从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2) B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B 对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.4．下列图形中可以表示为以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析：选C A 选项，函数定义域为M ，但值域不是N ，B 选项，函数定义域不是M ，值域为N ，D 选项，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应，不能构成函数关系．故选C.5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.解析：若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1； 若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1. 故a ＝±1. 答案：±16．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.解析：令t ＝1x ，则x ＝1t (t ≠0)，即f (t )＝1t 2＋5t，∴f (x )＝5x ＋1x2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)考点一 函数的定义域基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考]求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解.常以选择题形式考查，属于基础题.1．(2018·石家庄模拟)函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．(2018·济南模拟)函数f (x )＝1log 2x2－1的定义域为________________．解析：要使函数f (x )有意义，则(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12，故所求函数的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)[题型技法] 已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．考法(二) 抽象函数的定义域3．已知函数f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，解得1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．答案：[1,3]4．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2][题型技法] 抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．[怎样快解·准解]1．如何避免失误(1)函数f (g (x ))的定义域指的还是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．(如第4题)(2)求函数定义域时，对函数解析式先不要化简，求出定义域后，一定要将其写成集合或区间的形式．若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．(如第2题)2．重要的知识结论要熟记常见基本初等函数定义域的基本要求： (1)分式函数中分母不等于零；(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0； (3)一次函数、二次函数的定义域均为R ； (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}；(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R ； (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)；(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .考点二 求函数的解析式 重点保分型考点——师生共研函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，常以选择题、填空题的形式出现.(1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求函数f (x )的解析式．(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )的解析式．解：(1)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg2t －1， 又x >0，所以t >1， 故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ∈(1，＋∞)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)由f (－x )＋2f (x )＝2x，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3. [解题师说]1．依题型准确选用4种方法速求函数解析式(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x 的取值范围．(如典题领悟第1题、第2题)(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．如已知f (x )＝x ＋1，求函数f (x )的解析式，可通过换元的方法得f (x )＝x 2＋1，函数f (x )的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．[冲关演练]1．(尝试用换元法解题)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1解析：选B 令1x ＝t ，得x ＝1t(t ≠0且t ≠1)，∴f (t )＝1t1－1t＝1t －1(t ≠0且t ≠1)，∴f (x )＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．2．(尝试用待定系数法解题)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析：选A 设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝d ＝0，f 2＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′0＝c ＝－1，f ′2＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .3．(尝试用配凑法解题)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1解析：选C f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1， 所以f (x )＝x 2－x ＋1. 4．(尝试用解方程组法解题)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (x )＝________.解析：∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，① 把①中的x 换成1x，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x ，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)． 答案：2x －1x(x ≠0)考点三 分段函数 题点多变型考点——追根溯源分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，试题常以选择题、填空题的形式出现，难度一般.,常见的命题角度有：,1求值问题；,2求参数或自变量的值或范围.角度(一) 求值问题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx ，x ≤0，f x －1＋1，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1 C.32D.52解析：选B 依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1.[题型技法] 求分段函数的函数值的方法求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．角度(二) 求参数或自变量的值(或范围)2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞[题型技法]求分段函数的参数或自变量的值(或范围)的方法求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．[题“根”探求]看个性角度(一)是求分段函数的函数值；角度(二)是在角度(一)的基础上迁移考查分段函数已知函数值或范围求参数或自变量的值或范围找共性(1)无论角度(一)还是角度(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件； (2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题[冲关演练]1．已知f (x )＝{ log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A.()－∞，－3B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选C 若a <0，则f (a )<1⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综合可得－3<a <1.故选C.3．(2018·铜陵模拟)设函数f (x )＝{ x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由已知得f (1)＝3，当x ≥0时，由f (x )>f (1)得x 2－4x ＋6>3， 解得0≤x <1或x >3.当x <0时，由f (x )>f (1)得x ＋6>3， 解得－3<x <0.综上所述，不等式f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．(2018·濮阳检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12解析：选D 由1－2x ＞0，且x ＋1≠0，得x ＜12且x ≠－1，所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．已知f (x )＝{ 2x ，x ＞0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：选B 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝4.5．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴{ a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得{ a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .6．已知函数f (x )＝{ 2x，x ≤1，log 3x －1，x ＞1，且f (x 0)＝1，则x 0＝( )A ．0B ．4C ．0或4D ．1或3解析：选C 当x 0≤1时，由f (x 0)＝2x 0＝1，得x 0＝0(满足x 0≤1)；当x 0＞1时，由f (x 0)＝log 3(x 0－1)＝1，得x 0－1＝3，则x 0＝4 (满足x 0＞1)，故选C.7．函数f (x )＝ln(x ＋1)＋(x －2)0的定义域为________．解析：要使函数有意义，需满足{ x ＋1＞0，x －2≠0，解得x ＞－1且x ≠2，所以该函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．答案：(－1,2)∪(2，＋∞)8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x >1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．解析：∵f (2)＝12，∴f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12－2＝－52. 当x >1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， ∴f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－52[－3，＋∞)9．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝{ 2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2＞0，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－310．已知函数f (x )＝{ x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝9＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1,3)B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·石家庄质检)设函数f (x )＝{ 2x ＋n ，x ＜1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 的值为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ， 当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，符合题意，故选D.2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 由x 2＋1＝1，得x ＝0，由x 2＋1＝3，得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．3．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x；③f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎨⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或{ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]5．(2018·锦州模拟)已知函数f (x 2－3)＝lgx 2x 2－4，则f (x )的定义域为________．解析：设t ＝x 2－3(t ≥－3)，则x 2＝t ＋3，所以f (t )＝lg t ＋3t ＋3－4＝lg t ＋3t －1，由t ＋3t －1>0，得t >1或t <－3，因为t ≥－3，所以t >1，即f (t )＝lgt ＋3t －1的定义域为(1，＋∞)，故函数f (x )的定义域为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)6．设函数f (x )＝{ ax ＋b ，x ＜0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得{ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得{ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝{ －x ＋1，x ＜0，2x，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．7.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m ，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70 km/h. C 级——重难题目自主选做1．(2017·山东高考)设f (x )＝{ x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.2．已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m ＞n )，映射f 由下表给出：(x ，y )(n ，n )(m ，n )(n ，m )f (x ，y ) nm －n m ＋n则f (3,5)＝x．解析：由题表得f (x ，y )＝{ x ，x ＝y ，x －y ，x ＞y ，x ＋y ，x ＜y .可知f (3,5)＝5＋3＝8.∵∀x ∈N *，都有2x ＞x ，∴f (2x ，x )＝2x－x ， 则f (2x，x )≤4⇔2x－x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x＝2，x ＋4＝5,2x≤x ＋4成立；当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x≤x ＋4成立； 当x ≥3(x ∈N *)时，2x＞x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 答案：8 {1,2}(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2.(2018·濮阳一高第二次检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12解析：选D 由1－2x ＞0，且x ＋1≠0，得x ＜12且x ≠－1，所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2018·石家庄质检)设函数f (x )＝{ 2x ＋n ，x ＜1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 的值为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ， 当32＋n ＜1，即n ＜－12时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2， 解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，符合题意，故选D.5．(2017·山东高考)设f (x )＝{ x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.6.(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤1，log 12x ，x ＞1，则f (f (4))＝________.解析：依题意得f (4)＝log 124＝－2，所以f (f (4))＝f (－2)＝2－2＝14.答案：147.函数f (x )＝ln2x －x 2x －1的定义域为________．解析：要使原函数有意义，则{ 2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x ＜2，且x ≠1. 所以函数f (x )＝ln2x －x 2x －1的定义域为(0,1)∪(1,2)．答案：(0,1)∪(1,2)8.已知函数f (x )＝{ x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝9＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1,3)9.如图，已知点A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为点B (1,4)在反比例函数y ＝m x上，所以m ＝4.又因为点A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x上，所以n ＝－2.又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，则{ －2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得{ k ＝2，b ＝2，即y ＝2x ＋2，所以反比例函数的解析式为y ＝4x，一次函数的解析式为y ＝2x ＋2.(2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)， 所以△AOC 的面积S ＝12×2×2＝2.10．设函数f (x )＝{ ax ＋b ，x ＜0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得{ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得{ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝{ －x ＋1，x ＜0，2x，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f (f (x ))的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞) D ．[－9,1)解析：选Bf (f (x ))＝f (lg(1－x ))＝lg[1－lg(1－x )]，则{ 1－x ＞0，1－lg 1－x ＞0⇒－9＜x ＜1.2．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．设函数f (x )＝{ 3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围为________．解析：由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a ＜1时，有3a －1≥1， 所以a ≥23，所以23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a≥1， 所以a ≥0，所以a ≥1.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞4．已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m ＞n )，映射f 由下表给出：(x ，y )(n ，n )(m ，n )(n ，m )f (x ，y ) nm －n m ＋n则f (3,5)＝x．解析：由题表得f (x ，y )＝{ x ，x ＝y ，x －y ，x ＞y ，x ＋y ，x ＜y .可知f (3,5)＝5＋3＝8.∵∀x ∈N *，都有2x ＞x ，∴f (2x ，x )＝2x－x ， 则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x≤x ＋4成立； 当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x≤x ＋4成立； 当x ≥3(x ∈N *)时，2x＞x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}．答案：8 {1,2}5.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两用户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x (吨)，3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，x ≤45时，乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )×1.8＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4且5x ＞4，45<x ≤43时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8；当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4，x >43时，y ＝2×4×1.8＋3(5x －4)＋3(3x －4)＝24x －9.6，所以y ＝⎩⎨⎧14.4x ，0≤x ≤45，20.4x －4.8，45＜x ≤43，24x －9.6，x ＞43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＜26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＜26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，所交水费为y 甲＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，所交水费y 乙＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．6.已知x 为实数，用[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f (x )，若存在m ∈R 且m ∉Z ，使得f (m )＝f ([m ])，则称函数f (x )是Ω函数．(1)判断函数f (x )＝x 2－13x ，g (x )＝sin πx 是否是Ω函数(只需写出结论)；(2)已知f (x )＝x ＋a x，请写出a 的一个值，使得f (x )为Ω函数，并给出证明． 解：(1)f (x )＝x 2－13x 是Ω函数，g (x )＝sin πx 不是Ω函数．(2)法一：取k ＝1，a＝32∈(1,2)，则令[m ]＝1，m ＝a 1＝32，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝f (1)， 所以f (x )是Ω函数．证明：设k ∈N *，取a ∈(k 2，k 2＋k )，令[m ]＝k ，m ＝a k ，则一定有m －[m ]＝a k －k ＝a －k 2k∈(0,1)，且f (m )＝f ([m ])，所以f (x )是Ω函数．法二：取k ＝1，a ＝12∈(0,1)，则令[m ]＝－1，m ＝－12，此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝f (－1)，所以f (x )是Ω函数．证明：设k ∈N *，取a ∈(k 2－k ，k 2)，令[m ]＝－k ，m ＝－ak ，则一定有m －[m ]＝－a k－(－k )＝k 2－a k∈(0,1)，且f (m )＝f ([m ])，所以f (x )是Ω函数．第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)增函数、减函数增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象 描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为函数y ＝f (x )的最大值 M 为函数y ＝f (x )的最小值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．( ) (3)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)所有的单调函数都有最值．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 2．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 3．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．4．若函数y ＝x 2－2ax ＋1在(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]B ．[－2，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：选C 函数y ＝x 2－2ax ＋1图象的对称轴方程为x ＝a ，要使该函数在(－∞，2]上是减函数，则需满足a ≥2.5．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]和[5,7] 6．函数f (x )＝2x －1在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________． 解析：易知f (x )在[－2,0]上是减函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (－2)－f (0)＝－23－(－2)＝43.答案：43考点一 确定函数的单调性区间重点保分型考点——师生共研确定函数的单调性是函数单调性问题的基础，是高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，但有时也出现在解答题的某一问中，属于低档题目.1．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：法一：设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：f ′(x )＝ax ′x －1－ax x －1′x －12＝a x －1－ax x －12＝－ax －12.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 2．求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．解：易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．[解题师说]1．掌握确定函数单调性(区间)的3种常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(如典题领悟第1题)(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(如典题领悟第2题)(3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．(如典题领悟第1题) 2．熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f x的单调性相反；(4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f x 的单调性相同．3．谨防3种失误(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则．(如冲关演练第1题)(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示．(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D 由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x－x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．已知函数y ＝1x －1，那么( ) A ．函数的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞) B ．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．函数的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞) D ．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：选A 函数y ＝1x －1可看作是由y ＝1x 向右平移1个单位长度得到的，∵y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y ＝1x －1的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A. 4．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋a x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 考点二 求函数的值域最值基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]函数的值域最值是高考的重要内容之一，函数、方程、不等式，还有立体几何、解析几何等很多问题都需要转化为函数的值域最值问题.高考中选择题、填空题、解答题都有考查.1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为________．解析：由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y 1－y ≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)． 答案：[－1,1)2．若函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.答案：1 52[方法点拨](1)先进行转化与分离，再利用函数的性质(如x 2≥0，e x>0等)求解即可．(2)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，那么f (x )在区间端点处取最值；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减，那么y max ＝f (b )；如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增，那么y min ＝f (b )，从而得出值域．方法(二) 数形结合法求函数的值域(最值) 3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． 解析：函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，函数g (x )是二次函数，若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |<1的图象过点(1,1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1.画出函数y＝f (x )的大致图象如图所示，观察图象可知，当纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．而f (x )的值域为[－1，＋∞)，f (g (x ))的值域为[0，＋∞)，因为g (x )是二次函数， 所以g (x )的值域是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) [方法点拨]先作出函数的图象，再观察其最高点或最低点，求出值域或最值． 方法(三) 换元法求函数的值域(最值) 5．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________． 解析：由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，θ∈[]0，π，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2. 答案：[2]6．已知函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则函数g (x )＝f (x )＋1－2f x 的值域为________．解析：∵38≤f (x )≤49，∴13≤1－2f x ≤12. 令t ＝1－2f x ， 则f (x )＝12(1－t 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12，令y ＝g (x )，则y ＝12(1－t 2)＋t ，即y ＝－12(t －1)2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤t ≤12.∴当t ＝13时，y 有最小值79；当t ＝12时，y 有最大值78.∴g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤79，78 [方法点拨]对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值；换元法求值域时，一定要注意新元的范围对值域的影响．方法(四) 分离常数法求函数的值域(最值) 7．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________．解析：y ＝3x ＋1x －2＝3x －2＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3， 所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．答案：{y |y ∈R 且y ≠3}8．当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为________．解析：由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－742x ＋1.∵－3≤x ≤－1，∴720≤－742x ＋1≤74，∴85≤y ≤3 ∴所求函数的最小值为85答案：85[方法点拨]通过配凑函数解析式的分子，把函数分离成常数和分式的形式，而此式的分式，只有分母中含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．[怎样快解·准解]求函数值域（最值）的类型及其方法(1)若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；当函数解析式中出现偶次方幂、绝对值等时，可利用函数的性质(如x 2≥0，|x |≥0，x ≥0，e x>0等)确定函数的值域或最值．(2)若函数解析式的几何意义较明显(如距离、斜率等)或函数图象易作出，可用数形结合法求函数的值域或最值．(3)形如求y ＝ax ＋b ＋(cx ＋d )(ac ≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解．(4)形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． 另外，基本不等式法、导数法求函数值域或最值也是常用方法，在后面章节中有重点讲述．考点三 函数单调性的应用题点多变型考点——追根溯源函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力.在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等.常见的命题角度有： 1比较函数值的大小； 2解函数不等式；3利用单调性求参数的取值范围或值.。

函数模型的应用实例教案教案：函数模型的应用实例一、课程背景在数学教学中，函数是一个非常重要的概念，在实际生活中也有许多应用。

函数模型是数学中一种常用的模型方法，它可以很好地描述和解决一些实际问题。

本课程将以函数模型的应用实例为切入点，帮助学生理解函数模型的概念和运用方法。

二、教学目标1.知识与能力目标：-理解函数模型的基本概念；-掌握函数模型的建立方法；-运用函数模型解决实际问题。

2.过程与方法目标：-引导学生发现问题和解决问题的方法；-培养学生的创新思维和实际应用能力；-培养学生的合作学习和表达能力。

3.情感态度和价值观目标：-培养学生对数学的兴趣和热爱；-培养学生的团队协作和分享精神；-培养学生的实际问题解决能力。

三、教学过程1.引入（10分钟）-介绍函数的概念和作用，以及函数模型在实际中的应用；-分享一个有关函数模型的实际问题，如汽车行驶的距离与时间的关系。

2.探究（20分钟）- 提出一个问题：假设一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶时间为t小时，求行驶的距离d；-学生们自主讨论解决此问题的思路和方法；-指导学生建立函数模型：行驶距离d与行驶时间t之间的关系可以用函数d(t)表示，其中d(t)=60t。

3.拓展（30分钟）-提出更多有关函数模型的实际问题，如货物运输成本与距离的关系、人口增长与时间的关系等；-学生们自主讨论解决这些问题的方法，并建立相应的函数模型；-学生们分为小组，互相分享并比较各自的解决方法和函数模型。

4.总结（15分钟）-引导学生总结函数模型的建立方法：观察题目中的各种因素，确定变量及其之间的关系，建立函数模型；-引导学生总结函数模型的应用领域：经济、物理、生物等各个领域均有函数模型的应用。

5.展示（20分钟）-邀请几个学生上台演示他们解决实际问题的步骤和函数模型；-学生们展示自己的函数模型，分享成功的经验和困惑；-整理和归纳学生们的展示内容，进行点评和讨论。

六、教学评价1.形成性评价：观察学生的探究过程和成果，给予及时的反馈和指导；2.自评和互评：学生们根据课堂表现、参与度和拓展能力进行自我评价和互评；3.总结性评价：布置作业，让学生运用函数模型解决其他实际问题，并提交书面报告。

2014届高三数学总复习 2.13函数模型及其应用教案 新人教A版,1. (必修1P 110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为________m.答案：1 900解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900.2. (必修1P 71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件．答案：1 331解析：1 000×(1＋10%)3＝1 331. 3. (必修1P 35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则该函数的定义域为________．答案：(5，10)4. (必修1P 110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v ＝2000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s. 答案：e 6－1解析：由2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000，得1＋M m ＝e 6，所以M m ＝e 6－1.5. (必修1P 100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t<25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ，且该商品的日销售量Q 与时间t(天)的函数关系为Q ＝－t ＋40(0<t≤30，t ∈N )，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第________天．答案：25解析：设日销量金额为W 元，则W ＝P·Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧（t ＋20）（－t ＋40），0<t<25，t ∈N （－t ＋100）（－t ＋40），25≤t ≤30，t ∈N ， 当0<t<25，t ∈N 时，W(t)<W(25)；当25≤t≤30，t ∈N 时，W (t)≤W(25)．1. 常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．2. 指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n(n>0)都是增函数，但是它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次上”．随着x 的增大，y ＝a x(a>1)的增长速度越快，会越过并远远大于y ＝x n(n>0)的增长速度；而y ＝log a x(a>1)的增长速度会越慢．因此，总会存在一个x 0，当x>x 0时，有ax 0>x n 0>log a x 0(比较ax 0，x n0，log a x 0的大小)．3. 函数模型的应用实例的基本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题． (2) 建立合适的函数模型解决问题． (3) 建立拟合函数模型解决实际问题．4. 函数建模的基本程序题型1 一次、二次函数模型例1 市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x>0)，销售数量就减少kx%(其中k 为正常数)．目前该商品定价为每个a 元，统计其销售数量为b 个．(1) 当k ＝12时，该商品的价格上涨多少，才能使销售的总金额达到最大？(2) 在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k 的取值范围. 解：由题意，价格上涨x%以后，销售总金额为y ＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k)x ＋10 000]．(1) 当k ＝12时，y ＝ab 10 000(－12x 2＋50x ＋10 000)＝ab 20 000[22 500－(x －50)2]，因此当x ＝50，即价格上涨50%时，y 取最大值98ab.(2) y ＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k)x ＋10 000]，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x ＝50（1－k ）k.在适当涨价的过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x|x>0}的一个子集内增大时，y 也增大，因此50（1－k ）k>0，解得0<k<1.备选变式（教师专享） 如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km ，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k>0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1) 令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10.当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km. (2) 因为a>0，所以炮弹可击中目标存在k>0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根判别式Δ＝(－20a)2－4a 2(a 2＋64)≥0a ≤6.所以当a 不超过6(km)时，可击中目标．题型2 指数、对数函数模型例2 设在海拔xm 处的大气压强是yPa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝ce kx，其中c 、k为常量．已知某天的海平面的大气压为1.01×105 Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强．(保留3位有效数字)解：将x ＝0时，y ＝1.01×105Pa 和x ＝1000时，y ＝0.90×105Pa 分别代入函数式y ＝ce kx，得⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝ce 0，0.90×105＝ce 1 000k， ∴ c ＝1.01×105， ∴ e1 000k＝0.90×1051.01×105＝0.901.01， ∴ k ＝11000×ln 0.901.01，用计算器算得k≈－1.154×10－4， ∴ y ＝1.01×105×e －1.154×10－4x ，将x ＝600代入上述函数式，得y≈9.42×104Pa ，即在600m 高空的大气压强约为9.42×104Pa.备选变式（教师专享）我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变，经过5570年(叫做14C 的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半，经过科学家测定知道，若14C 的原始含量为a ，则经过t 年后的残余量a′(与a 之间满足a′＝a·e －kt)．现测得出土的古莲子中14C 残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．解：因a′＝a·e－kt，即a′a＝e －kt.两边取对数，得lg a′a＝－ktlge.①又知14C 的半衰期是5570年，即t ＝5570时，a′a ＝12.故lg 12＝－5570klge ，即klge ＝lg25570.代入①式，并整理，得t ＝－5570lga′alg2.这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的a′a 是0.879，代入公式，得t ＝－5570lg0.879lg2≈1 036.即古莲子约是1 036年前的遗物．题型3 分段函数模型例3 已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x>40.(1) 写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解：(1) 当0<x≤40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40；当x>40，W ＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40 000x －16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x>40.(2) ① 当0<x≤40，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W(32)＝6 104；② 当x>40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x≥240 000x×16x＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104.备选变式（教师专享）经市场调查，某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )，前30天价格为g(t)＝12t ＋30(1≤t≤30，t ∈N )，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t ∈N )．(1) 写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系式； (2) 求日销售额S 的最大值． 解：(1)根据题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2t ＋200）⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N ，45（－2t ＋200），31≤t ≤50，t ∈N ，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9000，31≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6400， 当t ＝20时，S 的最大值为6400；②当31≤t≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9000为减函数， 当t ＝31时，S 的最大值是6210，∵ 6210<6400，∴ 当t ＝20时，日销售额S 有最大值6400. 题型4 分式函数模型例4 如图，ABCD 是正方形空地，边长为30m ，电源在点P 处，点P 到边AD 、AB 距离分别为9m 、3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF ，MN ∶NE ＝16∶9.线段MN 必须过点P ，端点M 、N 分别在边AD 、AB 上，设AN ＝x(m)，液晶广告屏幕MNEF 的面积为S(m 2)．(1) 用x 的代数式表示AM ；(2) 求S 关于x 的函数关系式及该函数的定义域；(3) 当x 取何值时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小？解：(1) AM ＝3xx －9(10≤x≤30)．(2) MN 2＝AN 2＋AM 2＝x 2＋9x2（x －9）.∵ MN ∶NE ＝16∶9，∴ NE ＝916MN. ∴ S ＝MN·NE＝916MN 2＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋9x 2（x －9）2， 定义域为[10，30]．(3) S′＝916⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋18x （x －9）2－9x 2（2x －18）（x －9）4 ＝98×x[（x －9）3－81]（x －9）3，令S′＝0，得x ＝0(舍)或9＋333.当10≤x<9＋333时，S ′<0，S 关于x 为减函数；当9＋333<x ≤30时，S ′>0，S 关于x 为增函数．∴ 当x ＝9＋333时，S 取得最小值．故当AN 长为9＋333 m 时，液晶广告屏幕MNEF 的面积S 最小． 备选变式（教师专享）如图，两个工厂A 、B 相距2km ，点O 为AB 的中点，要在以O 为圆心，2km 为半径的圆弧MN 上的某一点P 处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB ⊥AB.据测算此办公楼受工厂A 的“噪音影响度”与距离AP 的平方成反比，比例系数为1；办公楼受工厂B 的“噪音影响度”与距离BP 的平方也成反比，比例系数为4，办公楼与A 、B 两厂的“总噪音影响度”y 是A 、B 两厂“噪音影响度”的和，设AP 为xkm.(1) 求“总噪音影响度”y 关于x 的函数关系式，并求出该函数的定义域； (2) 当AP 为多少时，“总噪音影响度”最小？解：(1) (解法1)如图，连结OP ， 设∠AOP＝α，则π3≤α≤2π3.在△AOP 中，由余弦定理得x 2＝12＋22－2×1×2cos α＝5－4cos α， 在△BOP 中，由余弦定理得 BP 2＝12＋22－2×1×2cos(π－α)＝5＋4cos α，∴ BP 2＝10－x 2， ∴ y ＝1AP 2＋4BP 2＝1x 2＋410－x2 . ∵ π3≤α≤2π3，∴ 3≤x ≤ 7，∴ y ＝1x 2＋410－x2(3≤x ≤7)．(解法2)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设P(m ，n)，则PA 2＝(m ＋1)2＋n 2，PB 2＝(m －1)2＋n 2.∵ m 2＋n 2＝4，PA ＝x ，∴ PB 2＝10－x 2(后面解法过程同解法1)．(2) (解法1)y ＝1x 2＋410－x 2＝110(1x 2＋410－x 2)[x 2＋(10－x 2)]＝110(5＋10－x 2x 2＋4x 210－x 2)≥110(5＋210－x 2x 2·4x 210－x 2)＝910，当且仅当10－x2x2＝4x 210－x 2，即x ＝303∈[3，7]时取等号． 故当AP ＝303km 时，“总噪音影响度”最小． (解法2)由y ＝1x 2＋410－x 2，得y′＝－2x 3＋8x （10－x 2）2＝6x 4＋40x 2－200x 3（10－x 2）2＝2（x 2＋10）（3x 2－10）x 3（10－x 2）2. ∵ 3≤x ≤7 ，∴ 令y′＝0，得x ＝303，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3，303时，y ′<0；当x∈(303，7]时，y ′>0.∴ x ＝303时，y ＝1x 2＋410－x 2取极小值，也即最小值．故当AP ＝303km 时，“总噪音影响度”最小．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：① 报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；② 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③ 报销的医疗费用不得超过8万元．(1) 请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)作为报销方案；(2) 若该单位决定采用函数模型y ＝x －2lnx ＋a(a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)审题引导： 正确理解三个条件：① 要求模型函数在[2，10]上是增函数；② 要满足y≥x2恒成立；③ 要满足y 的最大值小于8.规范解答： 解：(1) 函数y ＝0.05(x 2＋4x ＋8)在[2，10]上是增函数，满足条件①，(2分)当x ＝10时，y 有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③.(4分)但当x ＝3时，y ＝2920<32，即y≥x2不恒成立，不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案．(6分)(2) 对于函数模型y ＝x －2lnx ＋a ，设f(x)＝x －2lnx ＋a ，则f′(x)＝1－2x ＝x －2x ≥0.∴ f(x)在[2，10]上是增函数，满足条件①.由条件②，得x －2lnx ＋a≥x2，即a≥2lnx－x 2在x∈[2，10]上恒成立，令g(x)＝2lnx －x 2，则g′(x)＝2x －12＝4－x 2x ，由g′(x)>0得0＜x<4，∴ g(x)在(0，4)上是增函数，在(4，10)上是减函数． ∴ a ≥g(4)＝2ln4－2＝4ln2－2.(10分)由条件③，得f(10)＝10－2ln10＋a≤8，解得a≤2ln10－2.另一方面，由x －2lnx ＋a≤x，得a≤2lnx 在x∈[2，10]上恒成立，∴ a ≤2ln2.(12分)综上所述，a 的取值范围为[4ln2－2，2ln2]， ∴ 满足条件的整数a 的值为1.(14分)1. (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．答案：20解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，所以y ＝40－x ，所以矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．2. (2013·通州模拟)将一个边长分别为a 、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ba的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54 解析：设减去的正方形边长为x ，其外接球直径的平方R 2＝(a －2x)2＋(b －2x)2＋x 2，由R′＝0，∴ x ＝29(a ＋b)．∵ a<b ，∴ x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，∴ 0<29(a ＋b)<a 2， ∴ 1<b a <54.3. (2013·无锡期末)要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5(m 2)，其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h ＝12AB ，tan ∠FED ＝34，设AB ＝x m ，BC ＝y m.(1) 求y 关于x 的表达式；(2) 如何设计x 、y 的长度，才能使所用材料最少？解：(1) 如图，在等腰梯形CDEF 中，DH 是高．依题意：DH ＝12AB ＝12x ，EH ＝DH tan ∠FED ＝43×12x ＝23x ，∴ 392＝xy ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋43x 12x ＝xy ＋56x 2，∴ y ＝392x －56x.∵ x ＞0，y ＞0，∴ 392x －56x ＞0，解之得0＜x ＜3655.∴ 所求表达式为y ＝392x －56x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜3655.(2) 在Rt △DEH 中，∵ tan ∠FED ＝34，∴ sin ∠FED ＝35，∴ DE ＝DH sin ∠FED ＝12x ×53＝56x ，∴ l ＝(2x ＋2y)＋2×56x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×23x ＋x ＝2y ＋6x ＝39x －53x ＋6x ＝39x ＋133x ≥239x ×133x ＝26， 当且仅当39x ＝133x ，即x ＝3时取等号，此时y ＝392x －56x ＝4，∴ AB ＝3 m ，BC ＝4 m 时，能使整个框架所用材料最少．4. (2013·南通一模)某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4 m ．这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB ＞AD)为长方形薄板，沿AC 折叠后AB′交DC 于点P.当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD 的面积最大时制冷效果最好．(1) 设AB ＝x m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； (2) 若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？(3) 若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ 解：(1) 由题意，AB ＝x ，BC ＝2－x.因x ＞2－x ，故1＜x ＜2.设DP ＝y ，则PC ＝x －y. 因△ADP≌△CB′P，故PA ＝PC ＝x －y.由PA 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y)2＝(2－x)2＋y2y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，1＜x ＜2. (2) 记△ADP 的面积为S 1，则S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x (2－x)＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ≤3－22， 当且仅当x ＝2∈(1，2)时，S 1取得最大值．故当薄板长为2m ，宽为(2－2)m 时，节能效果最好． (3) 记多边形ACB′PD 的面积为S 2，则S 2＝12x(2－x)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x (2－x) ＝3－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x ，1＜x ＜2.于是S 2′＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4x 2＝－x 3＋2x2＝0x ＝32.关于x 的函数S 2在(1，32)上递增，在(32，2)上递减．所以当x ＝32时，S 2取得最大值．故当薄板长为32 m ，宽为(2－32)m 时，制冷效果最好．1. 某驾驶员喝了mL 酒后，血液中的酒精含量f(x)(mg/mL)随时间x(h)变化的规律近似满足表达式f(x)＝⎩⎨⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ＞1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过________h 后才能开车．(精确到1h)答案：4解析：当0≤x≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤0.02，得x≥4.2. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t s 内列车前进的距离为S ＝27t －0.45t 2m ，则列车刹车后________s 车停下来，期间列车前进了________m.答案：30 405解析：S′(t)＝27－0.9t ，由瞬时速度v(t)＝S′(t)＝0得t ＝30(s)，期间列车前进了S(30)＝27×30－0.45×302＝405(m)．3. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(km/h)是车流密度x(辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/km 时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/km 时，车流速度为60km/h ，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出其最大值．(精确到1辆/小时)解：(1) 由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax ＋b.再由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003. 故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200. (2) 依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200. 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（200－x ）22＝100003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20，200]上取得最大值100003. 综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值100003≈3333， 即当车流密度为100辆/km 时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/h.4. 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上)，公共设施边界为曲线f(x)＝1－ax 2(a ＞0)的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，交曲线于点P ，设P(t ，f(t))．(1) 将△OMN(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数S(t)；(2) 若在t ＝12处，S(t)取得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值．解：(1) y′＝－2ax ，∴ 切线斜率是－2at ，∴ 切线方程为y －(1－at 2)＝－2at(x －t)．令y ＝0，得x ＝1＋at 22at ，∴ M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋at 22at ，0， 令x ＝0，得y ＝1＋at 2，∴ N(0，1＋at 2)，∴ △OMN 的面积S(t)＝（1＋at 2）24at. (2) S′(t)＝3a 2t 4＋2at 2－14at 2＝（at 2＋1）（3at 2－1）4at 2， 由a ＞0，t ＞0，S ′(t)＝0，得3at 2－1＝0，即t ＝13a . 当3at 2－1＞0，即t ＞13a 时，S ′(t)>0； 当3at 2－1<0，即0<t<13a 时，S ′(t)<0. ∴ 当t ＝13a时，S(t)有最小值． 已知在t ＝12处，S(t)取得最小值，故有13a ＝12， ∴ a ＝43. 故当a ＝43，t ＝12时，S(t)min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋43·1424·43·12＝23.1. 与函数有关的应用型问题，函数模型可以是已知条件中给出其表达式，也可以是由已知条件建立函数模型，显然后者难度较大，在解题过程中不要忘记考虑函数的定义域．2. 解应用问题，首先，应通过审题，分析原型结构，深刻认识问题的实际背景，确定主要矛盾，提出必要假设，将应用问题转化为数学问题求解；然后，经过检验，求出应用问题的解．要能顺利解答一个应用问题重点要过三关：(1) 事理关：通过阅读，知道讲的是什么，培养学生独立获取知识的能力；(2) 文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；(3) 数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生有对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型后，要正确解出数学问题的答案，需要扎实的基础知识和较强的数理能力． 请使用课时训练(B)第13课时(见活页)．[备课札记]。

《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。

1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。

（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。

1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。

（2）函数模型在实际问题中的应用实例。

第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。

2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。

2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。

（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。

第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。

3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。

3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。

（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。

第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。

4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。

（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。

4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。

（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。

第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。

5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。

（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。

5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。

（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。

人教版高中必修13.2函数模型及其应用教学设计一、教学目标1.理解函数模型的概念，并掌握基本函数模型的构成和性质；2.掌握函数模型在实际问题中的应用方法；3.学会使用函数模型解决实际问题。

二、教学重点1.函数模型的构成和性质；2.函数模型在实际问题中的应用方法；3.使用函数模型解决实际问题的能力。

三、教学难点1.函数模型的抽象概念；2.函数模型在实际问题中的应用方法的理解和掌握；3.解决实际问题的能力培养。

四、教学内容和教学方法1. 教学内容本节课的教学内容是函数模型及其应用，其具体包括如下几个方面。

(1) 函数模型的概念•函数的定义；•函数的性质；•基本函数模型的构成和性质。

(2) 函数模型在实际问题中的应用•通过实际问题建立函数模型；•利用函数模型解决实际问题；•利用函数模型进行分析和预测。

2. 教学方法本节课的教学方法包括如下几种。

(1) 导入新知识引入新知识需要考虑让学生能够以不同的方式理解和掌握知识点。

推荐以下两种方式：•讲授法：通过讲解、演示、PPT等方式，向学生介绍函数模型及其应用的基本概念；•互动式教学法：引导学生进行讨论和思考，提高学生对知识的探究和理解能力。

(2) 训练实际应用能力针对练习实际应用能力的训练，可以采用以下方式：•例题讲解法：通过讲解一些有代表性的例题，引导学生了解函数模型的实用性；•自主创作法：鼓励学生尝试自行分析实际问题，创作并解决问题。

(3) 评估学习效果通过考试和检测学生的作品，了解学生掌握知识和应用能力的程度，为后续教学打好基础。

五、教学步骤1. 教师引入通过PPT、讲课、互动等方式，向学生介绍函数模型和应用的基本概念，引导学生开始对新知识感兴趣并逐渐理解。

2. 学生探究将学生分为小组，给每个小组分配一组实际问题，让他们分析并在小组内讨论问题的解决办法，然后将结果展示给全班。

3. 老师讲解针对学生提出的问题和讨论，教师进行针对性的讲解，帮助学生掌握和理解函数模型的应用方法。

第13课时 函数模型及其应用教学目标：会抽象概括实际问题从而建立函数模型，会求解函数模型。

一、基础训练1.某种茶杯，每个0.5元，把买茶坏的钱数y （元）表示为茶杯个数x （个）和函数___________.2．建筑一个容积为8000米3，深6米的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a 元/米2，池底造价为2a 元/米2，把总造价y 元表示为一底的边长x 米的函数____________________.3．一种产品的成本原来是a 元，在今后m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式__________________.4．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资（分）表示为信重x （0<x ≤40）克的函数，其表达式为f(x)=_______.5．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是：二、合作探究例1. 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB=a ，BC=b （b ＜a ）,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.例2. 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v （km/h ）与时间t （h ）的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T （t ，0）作横轴 的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t （h ）内沙尘暴所经过的路程s （km ）.（1）当t=4时，求s 的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由.变式训练2：某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R （x ）=5x-22x （万元）(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量（单位：百台）.（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？例3. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨.（1）求y 关于x（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.（1）世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？（2）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000对数lgN 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0数N3.000 5.000 12.48 13.11 13.78 对数lgN 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2三、能力提升1. .等腰梯形ABCD 的两底分别为AB=10，CD=4，两腰AD=CB=5，动点P 由B 点沿折线BCDA 向A 运动，设P 点所经过的路程为x ，三角形ABP 的面积为S（1）求函数S=f(x)的解析式；（2）试确定点P 的位置，使△ABP 的面积S 最大.2.据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3 000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x (x ＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a 元 (a ＞0).（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x 多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大.四、当堂训练1. ．快艇和轮船分别从A 地和C 地同时开出，如图各沿箭头所指的方向航行，快艇和轮船的速度 分别是45公里/小时和15公里/小时，已知AC=150公里，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？最短距离是多少？2．商店经销某货物，年销售量为P 件，每件商品一年的库存费用为a 元，每批进货为Q 件，每次进货所需的手续费为S 元，现假设商店在卖完该货时立即进货，平均有2Q 件货物在仓库内（初进货时为Q 件，卖完为O 件，平均2Q 件），试求每批的进货量Q 为多少件时，整个费用最省？。

１．常见的几种函数模型（１）一次函数模型：y＝kx＋b（k≠0）.（２）反比例函数模型：y＝错误!＋b（k，b为常数且k≠0）.（３）二次函数模型：y＝ax２＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）.（４）指数函数模型：y＝a·b x＋c（a，b，c为常数，b＞0，b≠１，a≠0）.（５）对数函数模型：y＝m log a x＋n（m，n，a为常数，a＞0，a≠１，m≠0）.（6）幂函数模型：y＝a·x n＋b（a≠0）.２．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝a x（a＞１）y＝log a x（a＞１）y＝x n（n＞0）在（0，＋∞）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x（１）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（２）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（３）解模：求解数学模型，得出数学结论；（４）还原：将数学问题还原为实际问题.错误!形如f（x）＝x＋错误!（a＞0）的函数模型称为“对勾”函数模型：（１）该函数在（—∞，—错误!］和［错误!，＋∞）内单调递增，在［—错误!，0）和（0，错误!］上单调递减.（２）当x＞0时，x＝错误!时取最小值２错误!，当x＜0时，x＝—错误!时取最大值—２错误!.一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝２x与函数y＝x２的图象有且只有两个公共点.（）（２）幂函数增长比直线增长更快. （）（３）不存在x0，使ax0＜x错误!＜log a x0. （）（４）f（x）＝x２，g（x）＝２x，h（x）＝log２x，当x∈（４，＋∞）时，恒有h（x）＜f（x）＜g（x）. （）［答案］（１）×（２）×（３）×（４）√二、教材改编１．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（）（注：结余＝收入—支出）Ａ．收入最高值与收入最低值的比是３∶１Ｂ．结余最高的月份是7月Ｃ．１至２月份的收入的变化率与４至５月份的收入的变化率相同Ｄ．前6个月的平均收入为４0万元D［由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为３0万元，其比是３∶１，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80—２0＝60（万元），故B正确；由题图可知，１至２月份的收入的变化率与４至５月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为错误!×（４0＋60＋３0＋３0＋５0＋60）＝４５（万元），故D错误.］２．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：x0．５00．99２．0１３．98y—0．990．0１0．98２．00则对x，yＡ．y＝２xＢ．y＝x２—１Ｃ．y＝２x—２Ｄ．y＝log２xD［根据x＝0．５0，y＝—0．99，代入计算，可以排除A；根据x＝２．0１，y＝0．98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log２x，可知满足题意，故选Ｄ．］３．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝错误!x２＋２x＋２0（万元）.一万件售价为２0万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为万件.１8 ［利润L（x）＝２0x—C（x）＝—错误!（x—１8）２＋１４２，当x＝１8时，L（x）有最大值.］４．用长度为２４的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为.３［设隔墙的长度为x（0＜x＜6），矩形面积为y，则y＝x×错误!＝２x（6—x）＝—２（x—３）２＋１8，∴当x＝３时，y最大.］考点１用函数图象刻画变化过程判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的２种方法（１）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.（２）验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.１．（２0１9·遵义模拟）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是４m和a m（0＜a＜１２）.不考虑树的粗细，现用１6 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f（a）（单位：m２）的图象大致是（）A B C DB［设AD的长为x m，则CD的长为（１6—x）m，则矩形ABCD的面积为x（１6—x）m２.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤１２．当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝6４；当8＜a ＜１２时，u＝a（１6—a）.画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选Ｂ．］２．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是（）A B C DB［由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细.再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，选Ｂ．］３．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗１升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）Ａ．消耗１升汽油，乙车最多可行驶５千米Ｂ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多Ｃ．甲车以80千米/小时的速度行驶１小时，消耗１0升汽油Ｄ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D［根据图象知消耗１升汽油，乙车最多行驶里程大于５千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为１0千米/升，行驶１小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.］准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键.考点２应用所给函数模型解决实际问题求解所给函数模型解决实际问题的３个关注点（１）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.（２）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.（３）利用该模型求解实际问题.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为３万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元，在年产量不足8万件时，W（x）＝错误!x２＋x（万元）.在年产量不小于8万件时，W（x）＝6x＋错误!—３8（万元）.每件产品售价为５元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.（１）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入—固定成本—流动成本）（２）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？［解］（１）因为每件商品售价为５元，则x万件商品销售收入为５x万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L（x）＝５x—错误!—３＝—错误!x２＋４x—３；当x≥8时，L（x）＝５x—错误!—３＝３５—错误!.所以L（x）＝错误!（２）当0＜x＜8时，L（x）＝—错误!（x—6）２＋9．此时，当x＝6时，L（x）取得最大值L（6）＝9万元，当x≥8时，L（x）＝３５—错误!≤３５—２错误!＝３５—２0＝１５，此时，当且仅当x＝错误!，即x＝１0时，L（x）取得最大值１５万元.因为9＜１５，所以当年产量为１0万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为１５万元.解决实际问题时，应注意自变量的取值范围，如本例中x∈（0，＋∞）.一个容器装有细沙a cm３，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e—bt（cm３），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.１6 ［当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝a e—8b＝错误!a，∴e—8b＝错误!，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e—b t＝错误!a，e—b t＝错误!＝（e—8 b）３＝e—２４b，则t＝２４，所以再经过１6 min.］考点３构建函数模型解决实际问题构建函数模型解决实际问题的步骤构造二次函数、分段函数模型国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在３0或３0以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于３0，则给予优惠：每多１人，机票每张减少１0元，直到达到规定人数7５为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费１５000元.（１）写出每张飞机票的价格关于人数的函数；（２）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？［解］（１）设每团人数为x，由题意得0＜x≤7５（x∈N*），每张飞机票价格为y元，则y＝错误!即y＝错误!（２）设旅行社获利S元，则S＝错误!即S＝错误!因为S＝900x—１５000在区间（0,３0］上为增函数，故当x＝３0时，S取最大值１２000．又S＝—１0（x—60）２＋２１000，x∈（３0,7５］，所以当x＝60时，S取得最大值２１000．故当x＝60时，旅行社可获得最大利润.解题过程——谨防２种失误（１）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.（２）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小得解.构造y＝x＋错误!（a＞0）模型某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料２00千克，每千克饲料的价格为１．8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0．0３元，购买饲料每次支付运费３00元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.［解］设该养殖场x（x∈N*）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少２00×0．0３＝6（元），所以x天饲料的保管费与其他费用共是6（x—１）＋6（x—２）＋…＋6＝（３x２—３x）（元）.从而有y＝错误!（３x２—３x＋３00）＋２00×１．8＝错误!＋３x＋３５7≥２错误!＋３５7＝４１7，当且仅当错误!＝３x，即x＝１0时，y有最小值.故该养殖场１0天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.利用模型f（x）＝ax＋错误!求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.构建指数函数、对数函数模型（１）世界人口在过去４0年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（参考数据lg ２≈0．３0１0,１00．007 ５≈１．0１7）（）Ａ．１．５% Ｂ．１．6%Ｃ．１．7% Ｄ．１．8%（２）十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从５４万亿元增加到8２．7万亿元，年均增长7．１%，占世界经济比重从１１．４%提高到１５%左右，对世界经济增长贡献率超过３0%,发展的预期目标是国内生产总值增长6．５%左右.如果从开始，以后每年的国内生产总值都按6．５%的增长率增长，那么的国内生产总值约为（提示：１．06５３≈１．２08）（）Ａ．9３．8万亿元Ｂ．99．9万亿元Ｃ．97万亿元Ｄ．１06．３9万亿元（１）C（２）B［（１）设每年人口平均增长率为x，则（１＋x）４0＝２，两边取以１0为底的对数，则４0lg（１＋x）＝lg ２，所以lg（１＋x）＝错误!≈0．007 ５，所以１00．007 ５＝１＋x，得１＋x≈１．0１7，所以x≈１．7%.故选Ｃ．（２）由题意可知，我国国内年生产总值约为：8２．7×（１＋6．５%）３≈99．9（万亿元）.故选Ｂ．］（１）与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型（底数大于１）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.（２）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.１．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0．１%，若初时含杂质２%，每过滤一次可使杂质含量减少错误!，至少应过滤次才能达到市场要求.（已知lg ２≈0．３0１0，lg ３≈0．４77 １）8 ［设至少过滤n次才能达到市场要求，则２%错误!错误!≤0．１%，即错误!错误!≤错误!，所以n lg 错误!≤—１—lg ２，所以n≥7．３9，所以n＝8．］２．某景区提供自行车出租，该景区有５0辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日１１５元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过１元，租不出的自行车就增加３辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）.（１）求函数y＝f（x）的解析式；（２）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？［解］（１）当x≤6时，y＝５0x—１１５，令５0x—１１５＞0，解得x＞２．３，∵x为整数，∴３≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝［５0—３（x—6）］x—１１５＝—３x２＋68x—１１５．令—３x２＋68x—１１５＞0，有３x２—68x＋１１５＜0，结合x为整数得6＜x≤２0，x∈Z.∴y＝错误!（２）对于y＝５0x—１１５（３≤x≤6，x∈Z），显然当x＝6时，y max＝１8５；对于y＝—３x２＋68x—１１５＝—３错误!错误!＋错误!（6＜x≤２0，x∈Z），当x＝１１时，y max ＝２70．∵２70＞１8５，∴当每辆自行车的日租金定为１１元时，才能使一日的净收入最多.。

第十三节 导数与函数的综合问题►考法1 证明不等式【例1】 已知函数f (x )＝x ＋a e x(a ∈R)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ＜0，a ≤1时，证明：x 2＋(a ＋1)x ＞xf ′(x )． [解] (1)由f (x )＝x ＋a e x可得f ′(x )＝1＋a e x.当a ≥0时，f ′(x )＞0，则函数f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．当a ＜0时，由f ′(x )＞0可得x ＜ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，由f ′(x )＜0可得x ＞ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上为减函数．(2)证明：设F (x )＝x 2＋(a ＋1)x －xf ′(x )＝x 2＋ax －ax e x＝x (x ＋a －a e x)． 设H (x )＝x ＋a －a e x ，则H ′(x )＝1－a e x.∵x ＜0，∴0＜e x ＜1，又a ≤1，∴1－a e x ≥1－e x＞0.∴H (x )在(－∞，0)上为增函数，则H (x )＜H (0)＝0，即x ＋a －a e x＜0. 由x ＜0可得F (x )＝x (x ＋a －a e x)＞0，所以x 2＋(a ＋1)x ＞xf ′(x )． ►考法2 解决不等式恒成立(存在性)问题 【例2】 设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M .由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23.令g ′(x )＞0得x ＜0，或x ＞23，令g ′(x )＜0得0＜x ＜23，又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上是减少的，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上是增加的， 所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527，又g (0)＝－3，g (2)＝1，所以g (x )max ＝g (2)＝1. 故[g (x 1)－g (x 2)]max ＝g (x )max －g (x )min ＝11227≥M ，则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )max ，由(1)可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1. 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ，h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令m (x )＝x ln x ，由m ′(x )＝ln x ＋1＞0 得x ＞1e.即m (x )＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上是增函数， 可知h ′(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数， 又h ′(1)＝0，所以当1＜x ＜2时，h ′(x )＜0； 当12＜x ＜1时，h ′(x )＞0. 即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上递增，在区间(1,2)上递减，所以h (x )max ＝h (1)＝1， 所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x－ln x －1.证明：当a ≥e时，f (x )≥0.[解] 证明：当a ≥1e 时，f (x )≥exe －ln x －1.设g (x )＝e xe －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x.当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0.所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.【例3】 (2019·黄山模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ， 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，当c ＞0且c －27＜0，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．设函数f (x )＝2－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[解] (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k ＞0)，得x ＞0且f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：k－ln k2值f (k )＝k－ln k2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k－ln k2.因为f (x )存在零点，所以k－ln k2≤0，从而k ≥e，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k ＞e 时，f (x )在区间(1，e)上递减，且f (1)＝12＞0，f (e)＝e －k2＜0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．【例4】 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路分别为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于点P ，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．[解] (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)． 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2，设公路l 交x 轴，y 轴分别为A ，B 两点，如图所示， 又y ′＝－2 000x3，则直线l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5,20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t4，t ∈[5,20]，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈[5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20]时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 所以当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300， 此时f (t )min ＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为1 60元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又根据题意知200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)，令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大.1．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ax 2＋x －1ex.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，－1)处的切线方程； (2)证明：当a ≥1时，f (x )＋e≥0. [解] (1)f ′(x )＝－ax 2＋a －x ＋2ex，f ′(0)＝2.因此曲线y ＝f (x )在(0，－1)处的切线方程是2x －y －1＝0. (2)当a ≥1时，f (x )＋e≥(x 2＋x －1＋e x ＋1)e －x.令g (x )＝x 2＋x －1＋ex ＋1，则g ′(x )＝2x ＋1＋e x ＋1.当x <－1时，g ′(x )<0，g (x )递减；当x >－1时，g ′(x )>0，g (x )递增．所以g (x )≥g (－1)＝0.因此f (x )＋e≥0.2．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点； 当a >0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上是增加的，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上是增加的， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上是增加的．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上是减少的，在(x 0，＋∞)上是增加的，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.。

第二章函数与导数第14课时函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)37～39页)考点分析考点新知函数是高考的热点内容，主要是以基本初等函数为载体，考查函数的性质及有关问题，如单调性、奇偶性、值域和最值问题，同时考查函数思想与其他数学知识的综合运用．①能利用函数的各种性质解决如求最值、不等式和方程有关的问题，提高对函数图象的识图、作图和用图的能力.②熟练利用函数的知识方法解决函数的综合问题，注意函数与其他知识的联系，灵活选择适当方法解决问题.1. (必修1P87习题13改编)已知集合A＝{x|33－x<6}，B＝{x|lg(x－1)<1}，则A∩B＝________．答案：(2－log32，11)解析：由33－x<6，知3－x<log36，即x>3－log36，所以A＝(2－log32，＋∞)．由lg(x－1)<1，知0<x－1<10，即1<x<11，所以B＝(1，11)，所以A∩B＝(2－log32，11)．2. 已知a、b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．答案：－32解析：因为a、b为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a＋b＋2＝4，即a＋b ＝2.所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(－1)＝－(a ＋b)＋12＝－32.3. (原创)若函数f(x)＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案：[5，7]解析：f′(x)＝x 2－ax ＋(a －1)，由题意，f ′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a ≥x ＋1在(1，4)上恒成立且a ≤x ＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a ≤7.4. (原创)已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，给出下列命题：① f(3)＝0；② 直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③ 函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④ 函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点． 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：①②④解析：令x ＝－3，得f(－3)＝0，由y ＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x ＋6)＝f(x)，所以y ＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y 轴对称，所以直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；由题意知，y ＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y ＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确．5. (2013·宿迁一模)已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m ∈R )恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．答案：(－3，0)解析：f(x)＝||x －1|－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－1，x ≤0或x ≥2，1－|x －1|，0<x<2，方程f(x)＝m 的解就是y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 交点的横坐标，由图可知，x 2＝－x 1，x 3＝2＋x 1，x 4＝2－x 1，且－1<x 1<0.设t ＝x 1x 2x 3x 4＝(x 21－2)2－4，则t ＝(x 21－2)2－4，易得－3<t<0.[备课札记]题型1 已知函数解析式研究函数的性质例1 已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2. (1) 求函数f(x)的定义域； (2) 判断函数f(x)的奇偶性； (3) 求函数f(x)的值域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，1＋x>0，得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2) 由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3) f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2， 设t ＝1－x 2，由x ∈(－1，1)，得t ∈(0，1]． 所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]，设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，t 21<t 22， 所以lgt 1＋(t 21－1)<lgt 2＋(t 22－1)， 所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t ∈(0，1]上为增函数， 所以函数f(x)的值域为(－∞，0]． 备选变式（教师专享）关于函数f(x)＝lg x 2＋1|x|(x>0，x ∈R )，下列命题正确的是________．(填序号)① 函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；② 在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③ 函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④ 在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数． 答案：①③④解析：由f(－x)＝lg （－x ）2＋1|－x|＝lg x 2＋1|x|＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg 52＝f ⎝⎛⎭⎫－12，知②错误；由x 2＋1|x|＝|x|＋1|x|≥2，知f(x)＝lg x 2＋1|x|≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x ＋1x 在(1，＋∞)上为增函数，所以y ＝f(x)在(1，＋∞)上也是增函数，故④正确．综上所述，①③④均正确．题型2 函数图象与函数性质的联系例2 已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1) 若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2) 设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3) 设h(x)＝f （x ）x ，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝x 2－|x|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x<0，x 2－x ＋1，x ≥0.作图如下．(2) 当x ∈[1，2]时，f(x)＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f(x)＝－x －1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a ≠0，则f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f(x)图象的对称轴是直线x ＝12a . 当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.当0<12a <1，即a>12时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g(a)＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a－1. 当12a >2，即0<a<14时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.综上可得g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3，a<14，2a －14a －1，14≤a ≤12，3a －2，a>12.(3) 当x ∈[1，2]时，h(x)＝ax ＋2a －1x －1，在区间[1，2]上任取x 1、x 2，且x 1<x 2，则h(x 2)－h(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋2a －1x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 1＋2a －1x 1－1 ＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1x 1x 2＝(x 2－x 1)·ax 1x 2－（2a －1）x 1x 2. 因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x 2)－h(x 1)>0. 因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0， 即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立． 当a>0时，x 1x 2>2a －1a ，由1<x 1x 2<4，得2a －1a ≤1，解得0＜a ≤1.当a<0时，x 1x 2<2a －1a ，由1<x 1x 2<4，得2a －1a ≥4，解得－12≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1. 备选变式（教师专享）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x>0，其中b>0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若方程f(x)＝x ＋a(a ∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合．解：(1) ∵ 当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2. ∴ 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴ b ＝4，c ＝2.∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x>0.(2) 记方程①：2＝x ＋a(x>0)， 方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a(x ≤0)． 分别研究方程①和方程②的根的情况： (ⅰ) 方程①有且仅有一个实数根a<2，方程①没有实数根a ≥2.(ⅱ) 方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4（2－a ）>02－a ≥0⎩⎪⎨⎪⎧a>－14a ≤2－14<a ≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根． ∴ 2－a<0或Δ＝0，即a>2或a ＝－14.综上可知，当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a<2；当方程f(x)＝x ＋a(a ∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.∴ 符合题意的实数a 取值的集合为⎣⎡⎦⎤－14，2. 题型3 函数的最值与不等式恒成立问题例3 已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝－x 2＋ax －3.(1) 求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(2) 对一切x ∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx>1e x －2ex成立．(1) 解：f′(x)＝lnx ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．① 当0<t<t ＋2<1e 时，t 无解；② 当0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ； ③ 当1e ≤t<t ＋2，即t ≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ，所以f(x)min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t<1e，tlnt ，t ≥1e.(2) 解：由题意，要使2xlnx ≥－x 2＋ax －3在x ∈(0，＋∞)恒成立，即要使a ≤2lnx ＋x ＋3x恒成立． 设h(x)＝2lnx ＋x ＋3x (x>0)，则h′(x)＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x ∈(0，1)时，h ′(x)<0，h(x)单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)单调递增． 所以x ＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值， 即[h(x)]min ＝h(1)＝4，所以a ≤4.(3) 证明：问题等价于证明xlnx>x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)．由(1)知，f(x)＝xlnx 在(0，＋∞)上最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e 时取得．设m(x)＝x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)，则m′(x)＝1－xex ，易得[m(x)]max ＝m(1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取得，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有lnx>1e x －2ex成立．变式训练定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . (1) 当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2) 若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝1＋⎝⎛⎭⎫12x＋⎝⎛⎭⎫14x.因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)， 故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M 成立， 所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． (2) 由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．－3≤f(x)≤3，－4－⎝⎛⎭⎫14x≤a ·⎝⎛⎭⎫12x≤2－⎝⎛⎭⎫14x，所以－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x≤a ≤2·2x －⎝⎛⎭⎫12x在[0，＋∞)上恒成立．所以⎣⎡⎦⎤－4·2x －⎝⎛⎭⎫12xmax ≤a ≤⎣⎡⎦⎤2·2x －⎝⎛⎭⎫12xmin ， 设2x ＝t ，h(t)＝－4t －1t ，p(t)＝2t －1t ，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t 1<t 2，h(t 1)－h(t 2)＝（t 2－t 1）（4t 1t 2－1）t 1t 2>0，p(t 1)－p(t 2)＝（t 1－t 2）（2t 1t 2＋1）t 1t 2<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a ≠1)．(1) 当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2) 若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3) 若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围．审题引导： 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1”转化成|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．规范解答： (1) 证明：f′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x －1)·lna.(2分)由于a>1，故当x ∈(0，＋∞)时，lna>0，a x －1>0，所以f ′(x)>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)(2) 解：当a>0，a ≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝0.(6分)所以x 、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x (－∞，0)0 (0，＋∞)f′(x) － 0 ＋ f(x)极小值又函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝f(x)min ＝f(0)＝1，解得t ＝2.(10分)(3) 解：因为存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1，1]时，|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1.(12分)由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[－1，1]时，f(x)min ＝f(0)＝1，f(x)max ＝max{f(－1)，f(1)}．而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－lna)－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋lna ＝a －1a－2lna ， 记g(t)＝t －1t －2lnt(t>0)，因为g′(t)＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t －12≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －1t －2lnt 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)．(14分) ① 当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －1a －lna ≥e －1a ≥e ， ② 当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －11a＋lna ≥e －10＜a ≤1e，综上知，所求a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．(16分)1. (2013·南京期初)已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12－ln2 解析：由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx ，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x 2－lnx ＋m ，则h′(x)＝4x －1x ，由h′(x)＝0，得x ＝12.易知当x ＝12时，h(x)有极小值为12＋ln2＋m ，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h ⎝⎛⎭⎫12<0，即12＋ln2＋m<0，所以m<－12－ln2.2. (2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝1x(x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．答案：－1，10解析：设P ⎝⎛⎭⎫x ，1x ，x>0，则 PA 2＝(x －a)2＋⎝⎛⎭⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2a 2－2. 令t ＝x ＋1x，则由x>0，得t ≥2， 所以PA 2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a)2＋a 2－2.由PA 取得最小值，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝（22）2，或⎩⎪⎨⎪⎧a>2，a 2－2＝（22）2，解得a ＝－1或a ＝10. 3. (2013·四川)设函数f(x)＝e x ＋x －a(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________．答案：[1，e]解析：若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则A(b ，f(b))，A′(f(b)，b)都在y ＝f(x)的图象上．又f(x)＝e x ＋x －a 在[0，1]上单调递增，所以(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0，即(f(b)－b)(b －f(b))≥0，所以(f(b)－b)2≤0，所以f(b)＝b ，从而f(x)＝x 在[0，1]上有解， 即e x ＋x －a ＝x 在[0，1]上有解，所以a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，令φ(x)＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，则φ′(x)＝e x －2x ＋1≥0，所以φ(x)在[0，1]上单调递增．又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以φ(x)∈[1，e]，即a ∈[1，e]．4. (2013·南京期末)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1－（x －1）2，0≤x ＜2，f （x －2），x ≥2.若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝2524t 2－6t ＋7的值域为________． 答案：⎣⎡⎭⎫－4125，－1 解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝2524t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝7225＞3，g(t)的最小值为g ⎝⎛⎭⎫7225＝－4125，直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故124<k 2<18，而k 2＝124时，直线与半圆相切，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝1－（x －3）2，得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0，取k 2＝124，得2524x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝2524t 2－6t ＋7＜－1.1. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x ，则函数g(x)的最小值是________． 答案：1解析：由f(x)＋g(x)＝2x ，得f(－x)＋g(－x)＝2－x ，由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴ －f(x)＋g(x)＝2－x ，∴ g(x)＝12(2x ＋2－x )， ∴ g(x)≥1.2. 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t ∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为________．答案：－4解析：|x 1－x 2|＝f max (x)，b 2－4ac a 2＝4ac －b 24a ，|a|＝2－a ，∴ a ＝－4.3. 对于实数a 和b ，定义运算“”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a>b.设f(x)＝(2x －1)(x －1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0 解析：由新定义得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ，x ≤0，－（x －1）x ，x>0.作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<14时，f(x)＝m(m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1、x 2、x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴ x 2x 3<14. 令⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ＝14，x<0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)， ∴ 1－34<x 1<0，∴ 1－316<x 1x 2x 3<0. 4. 已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x.(1) 讨论f(x)的单调性；(2) 设a>0，证明：当0<x<1a时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＋x >f ⎝⎛⎭⎫1a －x ； (3) 若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f ′(x 0)＜0.(1) 解：f(x)的定义域为(0，＋∞),f ′(x)＝1x －2ax ＋(2－a)＝－（2x ＋1）（ax －1）x. ① 若a ≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．② 若a>0，则由f′(x)＝0得x ＝1a ，且当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x)>0，当x>1a时，f ′(x)<0.所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是减函数. (2) 解：设函数g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＋x －f ⎝⎛⎭⎫1a －x ，则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax ，g ′(x)＝a 1＋ax ＋a 1－ax －2a ＝2a 3x 21－a 2x 2. 当0<x<1a时，g ′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0. 故当0<x<1a时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＋x >f ⎝⎛⎭⎫1a －x . (3) 证明：由(1)可得，当a ≤0时，函数y ＝f(x)的图象与x 轴至多有一个交点，故a>0，从而f(x)的最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ，且f ⎝⎛⎭⎫1a >0. 不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<1a<x 2. 由(2)得f ⎝⎛⎭⎫2a －x 1＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＋1a －x 1>f(x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a. 由(1)知，f ′(x 0)<0.1. 恒成立问题的处理方法：第一步，分清参数和自变量；第二步，确定是否要分离；第三步，构造新函数求最值；第四步，解不等式．2. 有双重量词出现的不等式恒成立问题，先把其中一个自变量当成已知的参数，解决一个量词，然后再解决另一个量词．3. 证明与函数有关的不等式主要是利函数的最值和单调性来判断．4. 方程的根的个数问题往往考查函数与方程思想和函数零点问题，需注意等价转化．请使用课时训练(A)第14课时(见活页)．[备课札记]。

函数与导数第13课时　函数模型及其应用(对应学生用书(文)、(理)33～36页) 考情分析考点新知函数模型应用问题的考查是江苏高考比较固定的考查题型要非常重视复习时应在准确把握各种函数的特征基础上根据具体实际问题的情境建立相关函数模型利用函数知识分析解决问题． 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.了解函数模型(如二次函数、指., 1. (必修1练习1)某地高山上温度从山脚起每升高降低0.6 已知山顶的温度是14.6 山脚的温度是26 则此山的高为________答案：1 900解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900.(必修1习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件若计划从明年开始每年的产量10%，则3年后的产量为________件．答案：1 331解析：1 000×(1＋10)3＝1 331.(必修1练习3改编)已知等腰三角形的周长为20底边长y是关于腰长x的函数则该函数的定义域为________答案：(5) 4. (必修1复习10)在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v(单位：)和燃料的质量M(单位：)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：)的函数关系式为v＝.当燃料质量是火箭质量的________倍时火箭的最大速度可以达到12 答案：－1解析：由2 000＝12 000得＋＝所以＝－1.(必修1练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系为P＝且该商品Q与时间t(天)的函数关系为Q＝－t＋40(0<t≤30)，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第________天．答案：25解析：设日销量金额为W元则W＝P·Q＝当0<t<25时(t)1)，y＝(a>1)和y＝x(n>0)都是增函数但是它们的增长速度不同而且不在同一个“档次上”．随着x的增大＝a(a>1)的增长速度越快会越过并远远大于y＝x(n>0)的增长速度；而y＝(a>1)的增长速度会越慢．因此总会存在一个x当x>x时有a>logax0(比较a，logax0的大小)．函数模型的应用实例的基本题型 (1) 给定函数模型解决实际问题．(2) 建立合适的函数模型解决问题．(3) 建立拟合函数模型解决实际问题．函数建模的基本程序 题型1　一次、二次函数模型例1　市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x(x>0)，销售数量就减少kx(其中k为正常数)．目前该商品定价为每个a元统计其销售数量为b个．(1) 当k＝时该商品的价格上涨多少才能使销售的总金额达到最大？(2) 在适当的涨价过程中求使销售总金额不断增加时k的取值范围. 解：由题意价格上涨x以后销售总金额为y＝a(1＋x)·b(1－kx)＝[－kx＋100(1－k)x＋10 000]．(1) 当k＝时＝(－＋50x＋)＝[22 500－(x－50)]， 因此当x＝50即价格上涨50时取最大值(2) y＝[－kx＋100(1－k)x＋10 000]此二次函数的图象开口向下对称轴为x＝在适当涨价的过程中销售总金额不断增加即要求此函数当自变量x在{x|x>0}的一个子集内增大时也增大因此解得0<k0)表示的曲线上其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)其飞行高度为3.2 试问它的横坐标a不超过多少时炮弹可以击中它？请说明理由． 解：(1) 令y＝0得kx－(1＋k)x2＝0由实际意义和题设条件知x>0故x＝＝＝10.当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 (2) 因为a>0所以炮弹可击中目标存在k>0使3.2＝ka－(1＋k)a2成立关于k的方程a－20ak＋a＋64＝0有正根判别式＝(－20a)－4a(a2＋64)≥0所以当a不超过6()时可击中目标．题型2　指数、对数函数模型例2　设在海拔x处的大气压强是y与x之间的函数关系为y＝ce其中c、k为常量．已知某天的海平面的大气压为1.01×高空的大气压为0.90×求600高空的大气压强．(保留3位有效数字)解：将x＝0时＝1.01×和x＝时＝0.90×分别代入函数式y＝ce得＝1.01×＝＝＝，用计算器算得k≈－1.154×－4＝1.01×－1.154×－4将x＝600代入上述函数式得y≈即在600m高空的大气压强约为 我国辽东半岛普兰附近的泥炭层中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代可用放射性碳法．在动植物的体内都含有微量的放射性动植物死亡后停止了新陈代谢不再产生且原有的会自动衰变经过5570年(叫做的半衰期)它的残余量只有原始量的一半经过科学家测定知道若的原始含量为a则经过t年后的残余量a′(与a之间满足a′＝a·e－kt)．现测得出土的古莲子中残余量占原量的87.9%试推算古莲子的生活年代．解：因a′＝a·e－kt即＝ekt. 两边取对数得lg＝－ktlge又知的半衰期是5570年即t＝5570时＝故lg＝－5即klge＝代入①式并整理得t＝－这就是利用放射性碳法计算古生物年代的公式．现测得古莲子的是0.879代入公式得t＝－即古莲子约是1 036年前的遗物．题型3　分段函数模型例3　已知美国苹果公司生产某款手机的年固定成本为40万美元每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完每万只的销售收入为R(x)万美元且R(x)＝(1) 写W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万只时苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解：(1) 当040＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.所以＝(2) ① 当040时＝－－16x＋7 360由于＋16x≥2＝1 600当且仅当＝16x即x＝50∈(40＋∞)时取最大值为5 760.综合①②知当x32时取最大值为6 104. 经市场调查某种商品在过去50天的销量和价格均为销售时间t(天)的函数且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200()，前30天价格为g(t)＝＋30(1≤t≤30)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50)．(1) 写出该种商品的日销售额S与t的函数关系式；(2) 求日销售额S的最大值．解：(1)根据题意得＝即S＝(2)①当1≤t≤30时＝－(t－20)＋6当t＝20时的最大值为6；当31≤t≤50时＝－90t＋9为减函数当t＝31时的最大值是6当t＝20时日销售额S有最大值6题型4　分式函数模型例4　如图是正方形空地边长为30电源在点P处点P到边AD、AB距离分别为9、3某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF＝16∶9.线段MN必须过点P端点M、N分别在边AD、AB上设AN＝x()，液晶广告屏幕MNEF的面积为(m2)．(1) 用x的代数式表示AM；(2) 求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；(3) 当x取何值时液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？ 解：(1) AM＝(10≤x≤30)．(2) MN2＝AN＋AM＝x＋＝16∶9＝＝MN·NE＝＝定义域为[10]．(3) S′＝＝， 令S′＝0得x＝0(舍)或＋3当10≤x0得0＜x<4(x)在(04)上是增函数在(4)上是减函数．(4)＝2－2＝4－2.(10分)由条件③得f(10)＝10－2＋a≤8解得a≤2－2.另一方面由x－2＋a≤x得a≤2在x∈[2]上恒成立(12分)综上所述的取值范围为[4－2]， ∴ 满足条件的整数a的值为1.(14分) 1. (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)则其边长x为________()． 答案：20解析：设矩形花园的宽为y 则＝所以y＝40－x所以矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x＋40x＝－(x－20)＋400当x＝20时面积最大．(2013·通州模拟)将一个边长分别为a、b(00；当3at－1<0即0<t<时(t)<0. ∴ 当t＝时(t)有最小值．已知在t＝处(t)取得最小值故有＝＝故当a＝＝时(t)min＝S＝＝ 1. 与函数有关的应用型问题函数模型可以是已知条件中给出其表达式也可以是由已知条件建立函数模型显然后者难度较大在解题过程中不要忘记考虑函数的定义域．解应用问题首先应通过审题分析原型结构深刻认识问题的实际背景确定主要矛盾提出必要假设将要能顺利解答一个应用问题重点要过三关：(1) 事理关：通过阅读知道讲的是什么培养学生独立获取知识的能力；(2) 文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言用数学式子表达数学关系；(3) 数理关：在构建数学模型的过程中要求学生有对数学知识的检索能力认定或构建相应的数学模型完成由实际问题向数学问题的转化构建了数学模型后要正确解出数学问题的答案需要扎实的基础知识和较强的数理能力．请使用课时训练()第13课时(见活页)．[备课札记]。