2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章 2.10 函数模型及其应用 (含解析)

考点１函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路（１）解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．（２）解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f（x１）＞f（x２）或f （x１）＜f（x２）的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式（组），要注意函数定义域对参数的影响．（１）（２0１9·全国卷Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，＋∞）单调递减，则（）（２）（２0１7·全国卷Ⅰ）函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数．若f（１）＝—１，则满足—１≤f（x—２）≤１的x的取值范围是（）Ａ．[—２,２] Ｂ．[—１,１]Ｃ．[0,４] Ｄ．[１,３]（１）C（２）D[（１）∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（—x）＝f（x）．∴f错误!＝f（—log３４）＝f（log３４）．又∵log３４＞log３３＝１，且１＞２错误!＞２错误!＞0，∴log３４＞２错误!＞２错误!＞0．∵f（x）在（0，＋∞）上单调递减，∴f（２错误!）＞f（２错误!）＞f（log３４）＝f错误!.故选Ｃ．（２）∵f（x）为奇函数，∴f（—x）＝—f（x）．∵f（１）＝—１，∴f（—１）＝—f（１）＝１．故由—１≤f（x—２）≤１，得f（１）≤f（x—２）≤f（—１）．又f（x）在（—∞，＋∞）上单调递减，∴—１≤x—２≤１，∴１≤x≤３．][逆向问题] 设f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，且在[—２b,0]上为增函数，则f（x—１）≥f（３）的解集为（）Ａ．[—３,３] Ｂ．[—２,４]Ｃ．[—１,５] Ｄ．[0,6]B[因为f（x）是定义在[—２b,３＋b]上的偶函数，所以有—２b＋３＋b＝0，解得b＝３，由函数f（x）在[—6,0]上为增函数，得f（x）在（0,6]上为减函数，故f（x—１）≥f（３）⇒f（|x—１|）≥f（３）⇒|x—１|≤３，故—２≤x≤４．]（１）函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小．（２）对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x１）＞f（x２）的形式，再结合单调性脱去法则“f”变成常规不等式，如x１＜x２（或x１＞x２）求解．１．已知函数f（x）满足以下两个条件：１任意x１，x２∈（0，＋∞）且x１≠x２，（x１—x２）·[f（x１）—f（x２）]＜0；２对定义域内任意x有f（x）＋f（—x）＝0，则符合条件的函数是（）Ａ．f（x）＝２xＢ．f（x）＝１—|x|Ｃ．f（x）＝—x３Ｄ．f（x）＝ln（x２＋３）C[由条件１可知，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则可排除A、D选项，由条件２可知，f（x）为奇函数，则可排除B选项，故选Ｃ．]２．函数y＝f（x）在[0,２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，则下列结论成立的是（）Ａ．f（１）＜f错误!＜f错误!Ｂ．f错误!＜f（１）＜f错误!Ｃ．f错误!＜f错误!＜f（１）Ｄ．f错误!＜f（１）＜f错误!B[∵函数y＝f（x）在[0,２]上单调递增，且函数f（x＋２）是偶函数，∴函数y＝f（x）在[２,４]上单调递减，且在[0,４]上函数y＝f（x）满足f（２—x）＝f（２＋x），∴f（１）＝f（３），f错误!＜f（３）＜f错误!，即f错误!＜f（１）＜f错误!.]３．（２0１9·滨州模拟）设奇函数f（x）定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）上，f（x）在（0，＋∞）上为增函数，且f（１）＝0，则不等式错误!＜0的解集为（）Ａ．（—１,0）∪（１，＋∞）Ｂ．（—∞，—１）∪（0,１）Ｃ．（—∞，—１）∪（１，＋∞）Ｄ．（—１,0）∪（0,１）D[∵奇函数f（x）定义在（—∞，0）∪（0，＋∞）上，在（0，＋∞）上为增函数，且f（１）＝0，∴函数f（x）的图象关于原点对称，且过点（１,0）和（—１,0），且f（x）在（—∞，0）上也是增函数．∴函数f（x）的大致图象如图所示．∵f（—x）＝—f（x），∴不等式错误!＜0可化为错误!＜0，即xf （x）＜0．不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围，据图象可知x∈（—１,0）∪（0,１）．]考点２函数的周期性与奇偶性已知f（x）是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．（２0１9·福州质量检测）已知函数f（x）对任意的x∈R都满足f（x）＋f（—x）＝0，f错误!为偶函数，当0＜x≤错误!时，f（x）＝—x，则f（２0１7）＋f（２0１8）＝________.—２[依题意，f（—x）＝—f（x），f错误!＝f错误!，所以f（x＋３）＝f（—x）＝—f（x），所以f（x＋6）＝f（x），所以f（２0１7）＝f（１）＝—１，f（２0１8）＝f（２）＝f错误!＝f错误!＝f（１）＝—１，所以f（２0１7）＋f（２0１8）＝—２．]解奇偶性、周期性的综合性问题的２个关键点（１）利用奇偶性和已知等式求周期．（２）将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解．１．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝—f错误!，且f（１）＝２，则f（２0１8）＝________.—２[因为f（x）＝—f错误!，所以f（x＋３）＝f错误!＝—f错误!＝f（x）．所以f（x）是以３为周期的周期函数．则f（２0１8）＝f（67２×３＋２）＝f（２）＝f（—１）＝—f（１）＝—２．]２．已知f（x）是定义在R上以３为周期的偶函数，若f（１）＜１，f（５）＝２a—３，则实数a 的取值范围为________．（—∞，２）[∵f（x）是定义在R上的周期为３的偶函数，∴f（５）＝f（５—6）＝f（—１）＝f （１），∵f（１）＜１，∴f（５）＝２a—３＜１，即a＜２．]考点３单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[一题多解]（２0１8·全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（—∞，＋∞）的奇函数，满足f （１—x）＝f（１＋x）．若f（１）＝２，则f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝（）Ａ．—５0 Ｂ．0 Ｃ．２Ｄ．５0C[法一：（直接法）∵f（x）是奇函数，∴f（—x）＝—f（x），∴f（１—x）＝—f（x—１）．由f（１—x）＝f（１＋x），得—f（x—１）＝f（x＋１），∴f（x＋２）＝—f（x），∴f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），∴函数f（x）是周期为４的周期函数．由f（x）为奇函数得f（0）＝0．又∵f（１—x）＝f（１＋x），∴f（x）的图象关于直线x＝１对称，∴f（２）＝f（0）＝0，∴f（—２）＝0．又f（１）＝２，∴f（—１）＝—２，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＝f（１）＋f（２）＋f（—１）＋f（0）＝２＋0—２＋0＝0，∴f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）＋…＋f（４9）＋f（５0）＝0×１２＋f（４9）＋f（５0）＝f（１）＋f（２）＝２＋0＝２．法二：（特例法）由题意可设f（x）＝２sin错误!，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为４，所以f（１）＋f（２）＋f（３）＋…＋f（５0）＝１２[f（１）＋f（２）＋f（３）＋f（４）]＋f（４9）＋f（５0）＝１２×0＋f（１）＋f（２）＝２．]（１）函数的奇偶性与对称性的关系１若函数f（x）满足f（a＋x）＝f（a—x），则其函数图象关于直线x＝a对称；当a＝0时可以得出f（x）＝f（—x），函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．２若函数f（x）满足f（２a—x）＝２b—f（x），则其函数图象关于点（a，b）对称；当a＝0，b ＝0时得出f（—x）＝—f（x），函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．（２）函数的对称性与周期性的关系１若函数f（x）关于直线x＝a与直线x＝b对称，那么函数的周期是２|b—a|.２若函数f（x）关于点（a,0）对称，又关于点（b,0）对称，那么函数的周期是２|b—a|.３若函数f（x）关于直线x＝a对称，又关于点（b,0）对称，那么函数的周期是４|b—a|.（３）函数的奇偶性、周期性、对称性的关系其中a≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．[教师备选例题]（１）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋１）＝—f（x），若f（x）在[—１,0]上单调递减，则f（x）在[１,３]上是（）Ａ．增函数Ｂ．减函数Ｃ．先增后减的函数Ｄ．先减后增的函数１函数f（x）的图象关于直线x＝４k＋２（k∈Z）对称；２函数f（x）的单调递增区间为[8k—6,8k—２]（k∈Z）；３函数f（x）在区间（—２0１8,２0１8）上恰有１008个极值点；４若关于x的方程f（x）—m＝0在区间[—8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±４或±8．其中真命题的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（１）D（２）C[（１）根据题意，因为f（x＋１）＝—f（x），所以f（x＋２）＝—f（x＋１）＝f（x），所以函数f（x）的周期是２．又因为f（x）在定义域R上是偶函数，在[—１,0]上是减函数，所以函数f（x）在[0,１]上是增函数，所以函数f（x）在[１,２]上是减函数，在[２,３]上是增函数，所以f （x）在[１,３]上是先减后增的函数，故选Ｄ．（２）１正确，∵定义在R上的连续奇函数f（x）满足f（x—４）＝—f（x），∴f[（x—４）—４]＝—f（x—４）＝f（x），即f（x—8）＝f（x），∴f（x）是以8为周期的周期函数，8k（k∈Z且k≠0）也是其周期．又f（x）为R上的连续奇函数，由f（x—４）＝—f（x），即f（x）＝—f（x—４），得f （x）＝f（４—x），∴函数f（x）的一条对称轴为x＝错误!＝２．又8k（k∈Z且k≠0）是f（x）的周期，∴f（x）＝f（x＋8k）＝f（４—x），∴函数的对称轴为x＝错误!＝４k＋２（k∈Z且k≠0）．综上，函数f（x）的图象关于直线x＝４k＋２（k∈Z）对称，故１正确；２错误，作图如下：由图可知，函数f（x）的单调递减区间为[8k—6,8k—２]（k∈Z），故２错误；３正确，由图可知，f（x）在一个周期内有两个极值点，在区间（—２0１6,２0１6）上有５0４个完整周期，有１008个极值点，在区间（—２0１8，—２0１6]和[２0１6,２0１8）上没有极值点，故在区间（—２0１8,２0１8）上有１008个极值点，３正确；４正确，由图中m１，m２，m３，m４，m５五条直线可知，关于x的方程f（x）—m＝0在区间[—8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±４或±8，故４正确．综上所述，１３４正确，故选Ｃ．]１．（２0１6·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），若函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!（x i＋y i）＝（）Ａ．0 Ｂ．mＣ．２mＤ．４mB[函数f（x）（x∈R）满足f（—x）＝２—f（x），即f（x）＋f（—x）＝２，可得f（x）的图象关于点（0,１）对称，函数y＝错误!，即y＝１＋错误!的图象关于点（0,１）对称，∴函数y＝错误!与y＝f（x）图象的交点也关于（0,１）对称，关于（0,１）对称的两个点的横坐标和为0，纵坐标和为２．当交点不在对称轴上时，m为偶数，∴错误!（x i＋y i）＝错误!x i＋错误!y i＝0×错误!＋２×错误!＝m；当有交点在对称轴上时，m为奇数，则错误!（x i＋y i）＝错误!x i＋错误!y i＝0×错误!＋0＋２×错误!＋１＝m.综上，错误!（x i＋y i）＝m.]２．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x—４）＝—f（x），且在区间[0,２]上是增函数，则（）Ａ．f（—２５）＜f（１１）＜f（80）Ｂ．f（80）＜f（１１）＜f（—２５）Ｃ．f（１１）＜f（80）＜f（—２５）Ｄ．f（—２５）＜f（80）＜f（１１）D[因为f（x）满足f（x—４）＝—f（x），所以f（x—8）＝f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，则f（—２５）＝f（—１），f （80）＝f（0），f（１１）＝f（３）．由f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x—４）＝—f（x），得f（１１）＝f（３）＝—f（—１）＝f（１）．因为f（x）在区间[0,２]上是增函数，f（x）在R上是奇函数，所以f（x）在区间[—２,２]上是增函数，所以f（—１）＜f（0）＜f（１），即f（—２５）＜f（80）＜f（１１）．]课外素养提升２数学运算——用活函数性质中的三个结论论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．奇函数的最值性质已知函数f（x（x）＋f（—x）＝0．特别地，若奇函数f（x）在D上有最值，则f（x）max＋f（x）min＝0，且若0∈D，则f（0）＝0．【例１】设函数f（x）＝错误!的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.２[显然函数f（x）的定义域为R，f（x）＝错误!＝１＋错误!，设g（x）＝错误!，则g（—x）＝—g（x），∴g（x）为奇函数，由奇函数图象的对称性知g（x）max＋g（x）min＝0，∴M＋m＝[g（x）＋１]max＋[g（x）＋１]min＝２＋g（x）max＋g（x）min＝２．]【素养提升练习】已知函数f（x）＝ln（错误!—３x）＋１，则f（lg ２）＋f错误!＝（）Ａ．—１Ｂ．0 Ｃ．１Ｄ．２D[设g（x）＝ln（错误!—３x），易知函数的定义域为R，关于原点对称，∵g（x）＋g（—x）＝ln（错误!—３x）＋ln（错误!＋３x）＝ln（错误!—３x）（错误!＋３x）＝ln １＝0，∴g（x）为奇函数，∴g（lg ２）＋g错误!＝g（lg ２）＋g（—lg ２）＝0，又∵f（x）＝g（x）＋１，∴f（lg ２）＋f错误!＝g（lg ２）＋１＋g错误!＋１＝２．]抽象函数的周期性（１）如果f（x＋a）＝—f（x）（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中一个周期T＝２a.（２）如果f（x＋a）＝错误!（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝２a.（３）如果f（x＋a）＋f（x）＝c（a≠0），那么f（x）是周期函数，其中的一个周期T＝２a.【例２】已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f（x＋３）＝—f（x），且当x∈（0,３）时，f（x）＝x＋１，则f（—２0１7）＋f（２0１8）＝（）A．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0C[因为函数f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（—２0１7）＝—f（２0１7），因为当x≥0时，有f（x＋３）＝—f（x），所以f（x＋6）＝—f（x＋３）＝f（x），即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x∈（0,３）时，f（x）＝x＋１，∴f（２0１7）＝f（３３6×6＋１）＝f（１）＝２，f（２0１8）＝f（３３6×6＋２）＝f（２）＝３．故f（—２0１7）＋f（２0１8）＝—f（２0１7）＋３＝１．]【素养提升练习】（２0１9·山西八校联考）已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x＋２）＝—错误!，当２≤x≤３时，f（x）＝x，则f错误!＝________.错误![∵f（x＋２）＝—错误!，∴f（x＋４）＝f（x），∴f错误!＝f错误!，又２≤x≤３时，f（x）＝x，∴f错误!＝错误!，∴f错误!＝错误!.]抽象函数的对称性已知函数f（x（１）若f（a＋x）＝f（b—x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝错误!对称，特别地，若f （a＋x）＝f（a—x）恒成立，则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．（２）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（a—x）＝0，即f（x）＝—f（２a—x），则f（x）的图象关于点（a,0）对称．【例３】函数y＝f（x）对任意x∈R都有f（x＋２）＝f（—x）成立，且函数y＝f（x—１）的图象关于点（１,0）对称，f（１）＝４，则f（２0１6）＋f（２0１7）＋f（２0１8）的值为________．４[因为函数y＝f（x—１）的图象关于点（１,0）对称，所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，所以f（x）是R上的奇函数，则f（x＋２）＝f（—x）＝—f（x），所以f（x＋４）＝—f（x＋２）＝f（x），故f（x）的周期为４．所以f（２0１7）＝f（５0４×４＋１）＝f（１）＝４，所以f（２0１6）＋f（２0１8）＝—f（２0１４）＋f（２0１４＋４）＝—f（２0１４）＋f （２0１４）＝0，所以f（２0１6）＋f（２0１7）＋f（２0１8）＝４．]【素养提升练习】已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（２—x），若函数y＝|x２—２x—３|与y＝f（x）图象的交点为（x１，y１），（x２，y２），…，（x m，y m），则错误!x i＝（）Ａ．0 Ｂ．mＣ．２mＤ．４mB[∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（２—x），故函数f（x）的图象关于直线x＝１对称，函数y＝|x２—２x—３|的图象也关于直线x＝１对称，故函数y＝|x２—２x—３|与y＝f（x）图象的交点也关于直线x＝１对称，且相互对称的两点横坐标和为２．当f（x）不过点（１,４）时，错误!x i＝错误!×２＝m，当f（x）过点（１,４）时，错误!x i＝错误!×２＋１＝m.综上，错误!x i＝m.]。

１．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）反比例函数模型f（x）＝错误!＋b（k，b为常数且k≠0）二次函数模型f（x）＝ax２＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）指数函数模型f（x）＝ba x＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠１）对数函数模型f（x）＝b log a x＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠１）幂函数模型f（x）＝ax n＋b（a，b为常数，a≠0）（１）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；（２）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；（３）解模：求解函数模型，得出数学结论；（４）还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]１．（２0１9·徐州诊断）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过１0立方米的，按每立方米３元收费；用水超过１0立方米的，超过的部分按每立方米５元收费．某职工某月的水费为５５元，则该职工这个月实际用水为________立方米．解析：设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝错误!即y＝错误!易知该职工这个月的实际用水量超过１0立方米，所以５x—２0＝５５，解得x＝１５．答案：１５２．用１8 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m２.解析：设隔墙长为x m，则面积S＝x·错误!＝—２x２＋9x＝—２错误!２＋错误!.所以当x＝错误!时，能围成的面积最大，为错误!m２.答案：错误!１．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．２．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．３．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]１．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为４000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0．３元，普通车存车费是每辆一次0．２元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝—0．１x＋１２00（0≤x≤４000）２．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）＝错误!n（n＋１）（２n＋１）吨，但如果年产量超过１５0吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：各年产量为a n＝f（n）—f（n—１）＝错误!n（n＋１）（２n＋１）—错误!n（n—１）（２n—１）＝３n２（n∈N*），令３n２≤１５0，得１≤n≤５错误!.又n∈N*，所以１≤n≤7，故生产期限最长为7年．答案：7错误!错误![典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为２m，跳水板距水面CD的高BC为３m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m（h≥１）时达到距水面最大高度４m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．（１）当h＝１时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（２）若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为（２＋h,４），h≥１．设抛物线方程为y＝a[x—（２＋h）]２＋４．（１）当h＝１时，最高点为（３,４），方程为y＝a（x—３）２＋４．（*）将点A（２,３）代入（*）式得a＝—１．即所求抛物线的方程为y＝—x２＋6x—５．（２）将点A（２,３）代入y＝a[x—（２＋h）]２＋４，得ah２＝—１．由题意，方程a[x—（２＋h）]２＋４＝0在区间[５,6]内有一解．令f（x）＝a[x—（２＋h）]２＋４＝—错误![x—（２＋h）]２＋４，则错误!解得１≤h≤错误!.故达到比较好的训练效果时的h的取值范围是错误!.[由题悟法]二次函数模型问题的３个注意点（１）构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；（２）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；（３）解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]（２0１9·启东中学高三检测）某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润１万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员１人，则留岗员工每人每年可多创收0．0１万元，但每年需付给每个下岗工人0．４万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的错误!，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．（１）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；（２）当１４0＜a≤２80时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？（在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员）解：（１）由题意，y＝（a—x）（１＋0．0１x）—0．４x＝—错误!x２＋错误!x＋a，因为a—x≥错误!，所以x≤错误!.故x的取值范围为0≤x≤错误!且x∈N*.（２）由（１）知y＝—错误!错误!２＋错误!错误!２＋a，当１４0＜a≤２80时，0＜错误!—70≤错误!，当a为偶数时，x＝错误!—70，y取最大值；当a为奇数时，x＝错误!—70或x＝错误!—70，y取最大值，因尽可能少裁员，所以x＝错误!—70，所以当a为偶数时，应裁员错误!人；当a为奇数时，应裁员错误!人．错误!错误![典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用２0年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系C（x）＝错误!（0≤x≤１0），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和．（１）求k的值及f（x）的表达式；（２）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．解：（１）由已知条件得C（0）＝8，则k＝４0，因此f（x）＝6x＋２0C（x）＝6x＋错误!（0≤x≤１0）．（２）f（x）＝6x＋１0＋错误!—１0≥２错误!—１0＝70（万元），当且仅当6x＋１0＝错误!，即x＝５时等号成立．所以当隔热层厚度为５cm时，总费用f（x）达到最小值，最小值为70万元．应用函数y＝x＋错误!模型的关键点（１）明确对勾函数是正比例函数f（x）＝ax与反比例函数f（x）＝错误!叠加而成的．（２）解决实际问题时一般可以直接建立f（x）＝ax＋错误!的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f（x）＝ax＋错误!的形式．（３）利用模型f（x）＝ax＋错误!求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．[即时应用]某隧道长２１５0 m，通过隧道的车速不能超过２0 m/s.一列有５５辆车身长都为１0 m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为４0 m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤１0时，相邻两车之间保持２0 m的距离；当１0＜x≤２0时，相邻两车之间保持错误!m的距离．自第１辆车车头进入隧道至第５５辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（１）将y表示为x的函数；（２）求车队通过隧道的时间y的最小值及此时车队的速度．（错误!≈１．7３）解：（１）当0＜x≤１0时，y＝错误!＝错误!，当１0＜x≤２0时，y＝错误!＝错误!＋9x＋１8，所以y＝错误!（２）当x∈（0,１0]时，在x＝１0时，y min＝错误!＝３78（s）．当x∈（１0,２0]时，y＝错误!＋9x＋１8≥１8＋２× 错误!＝１8＋１80错误!≈３２9．４（s），当且仅当9x＝错误!，即x≈１7．３（m/s）时取等号．因为１7．３∈（１0,２0]，所以当x＝１7．３（m/s）时，y min＝３２9．４（s），因为３78＞３２9．４，所以当车队的速度为１7．３m/s时，车队通过隧道的时间y有最小值３２9．４s.错误!错误!已知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t（单位：分钟）的变化规律是：θ＝m·２t＋２１—t（t≥0，并且m＞0）．（１）如果m＝２，求经过多少时间，物体的温度为５摄氏度；（２）若物体的温度总不低于２摄氏度，求m的取值范围．解：（１）若m＝２，则θ＝２·２t＋２１—t＝２错误!，当θ＝５时，２t＋错误!＝错误!，令２t＝x（x≥１），则x＋错误!＝错误!，即２x２—５x＋２＝0，解得x＝２或x＝错误!（舍去），此时t＝１．所以经过１分钟，物体的温度为５摄氏度．（２）物体的温度总不低于２摄氏度，即θ＝m·２t＋错误!≥２恒成立，亦即m≥２错误!恒成立．令错误!＝x，则0＜x≤１，所以m≥—２x２＋２x，因为—２x２＋２x＝—２错误!２＋错误!∈错误!，所以m≥错误!，因此，当物体的温度总不低于２摄氏度时，m的取值范围是错误!.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧（１）与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于１）的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．（２）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋b log３错误!（其中a，b是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为３0个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为１m/s.（１）求出a，b的值；（２）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于２m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：（１）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为３0个单位，故有a＋b log３错误!＝0，即a＋b＝0．当耗氧量为90个单位时，速度为１m/s，故a＋b log３错误!＝１，整理得a＋２b＝１．解方程组错误!得错误!（２）由（１）知，v＝a＋b log３错误!＝—１＋log３错误!.所以要使飞行速度不低于２m/s，则有v≥２，所以—１＋log３错误!≥２，即log３错误!≥３，解得错误!≥２7，即Q≥２70．所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于２m/s，则其耗氧量至少要２70个单位．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．某种商品进价为４元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售１00件，当单价每增加１元，日均销量减少１0件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为２0元，则预计单价为________元/件时，利润最大．解析：设单价为6＋x，日均销售量为１00—１0x，则日利润y＝（6＋x—４）（１00—１0x）—２0＝—１0x２＋80x＋１80＝—１0（x—４）２＋３４0（0＜x＜１0）．所以当x＝４时，y max＝３４0．即单价为１0元/件，利润最大．答案：１0２．（２0１8·盐城中学检测）“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a错误!（a为常数），广告效应为D ＝R—A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．（用常数a表示）解析：D＝R—A＝a错误!—A，令t＝错误!（t＞0），则A＝t２，所以D＝at—t２＝—错误!２＋错误!a２.所以当t＝错误!a，即A＝错误!a２时，D取得最大值．答案：错误!a２３．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为３km（不超过３km按起步价付费）；超过３km但不超过8 km时，超过部分按每千米２．１５元收费；超过8 km时，超过部分按每千米２．8５元收费，另每次乘坐需付燃油附加费１元．现某人乘坐一次出租车付费２２．6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km时，付费y元，则y＝错误!由y＝２２．6，解得x＝9．答案：9４．（２0１9·盐城调研）一批货物随１7列货车从A市以v km/h匀速直达B市，已知两地铁路线长４00 km，为了安全，两列货车间距离不得小于错误!２km，那么这批物资全部运到B市，最快需要________ h（不计货车的身长）．解析：设这批物资全部运到B市用的时间为y，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为１6×错误!２时，时间最快．则y＝错误!＝错误!＋错误!≥２错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!，即v＝１00时等号成立，y min＝8．答案：8５．（２0１9·南通模拟）用长度为２４的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．解析：设矩形场地的宽（即隔墙的长度）为x，则长为错误!，其面积S＝错误!·x＝１２x—２x２＝—２（x—３）２＋１8，当x＝３时，S有最大值１8，所以隔墙的长度为３．答案：３6．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m分钟的电话费由函数f（m）＝１．06×（0．５[m]＋１）（元）决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数．则从北京到上海通话时间为５．５分钟的电话费为________元．解析：因为m＝５．５，所以[５．５]＝6．代入函数解析式，得f（５．５）＝１．06×（0．５×6＋１）＝４．２４．答案：４．２４二保高考，全练题型做到高考达标１．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租２0元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t（分钟）与电话费s（元）的函数关系如图所示，当通话１５0分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析：依题意可设s A（t）＝２0＋kt，s B（t）＝mt，又s A（１00）＝s B（１00），所以１00k＋２0＝１00m，得k—m＝—0．２，于是s A（１５0）—s B（１５0）＝２0＋１５0k—１５0m＝２0＋１５0×（—0．２）＝—１0，即两种方式电话费相差１0元．答案：１0２．某商店已按每件80元的成本购进某商品１000件，根据市场预测，销售价为每件１00元时可全部售完，定价每提高１元时销售量就减少５件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析：设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝（１000—５x）×（１00＋x）—80×１000＝—５x２＋５00x＋２0 000＝—５（x—５0）２＋３２５00，故当x＝５0时，y max＝３２５00，此时售价为每件１５0元．答案：１５0３．（２0１9·海安中学检测）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司全年投入研发资金１３0万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长１２%，则该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元的年份是________．（参考数据：lg １．１２≈0．0５，lg １．３≈0．１１，lg ２≈0．３0）解析：设后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元，由１３0（１＋１２%）n＞２00，得１．１２n＞错误!，两边取常用对数，得n＞错误!≈错误!＝３．8，所以n≥４，所以从２0２１年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过２00万元．答案：２0２１年４．（２0１9·启东中学检测）某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y１与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y２与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站１0千米处建仓库，这两项费用y１，y２分别是２万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：由题意设仓库在离车站x千米处，则y１＝错误!，y２＝k２x，其中x＞0，由错误!得错误!，即y１＋y２＝错误!＋错误!x≥２错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!x，即x＝５时等号成立．答案：５５．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝a e nt.假设过５分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有错误!，则m＝________.解析：根据题意知错误!＝e５n，令错误!a＝a e nt，即错误!＝e nt，因为错误!＝e５n，故错误!＝e１５n，比较知t＝１５，m＝１５—５＝１0．答案：１06．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为１0海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶１0海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y元，则y＝kv２＋96，又当v＝１0时，k×１0２＝6，解得k＝0．06，所以每小时的总费用y＝0．06v２＋96，匀速行驶１0海里所用的时间为错误!小时，故总费用为W＝错误!y＝错误!（0．06v２＋96）＝0．6v＋错误!≥２错误!＝４8，当且仅当0．6v＝错误!，即v＝４0时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为４0海里/小时．答案：４07．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料（如图），为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图阴影部分）备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：错误!＝错误!，即x＝错误!（２４—y），所以阴影部分的面积S＝xy＝错误!（２４—y）·y＝错误!（—y２＋２４y）＝—错误!（y—１２）２＋１80．所以当y＝１２时，S有最大值为１80．答案：１808．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励１万元．销售额x为6４万元时，奖励４万元．若公司拟定的奖励模型为y＝a log４x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______（万元）．解析：依题意得错误!即错误!解得a＝２，b＝—２．所以y＝２log４x—２，当y＝8时，即２log４x—２＝8．x＝１0２４（万元）．答案：１0２４9．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w（单位：百千克）与肥料费用x（单位：百元）满足如下关系：w＝４—错误!，且投入的肥料费用不超过５百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）２x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为１6元/千克（即１6百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：百元）．（１）求L（x）的函数关系式，并写出定义域；（２）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：（１）L（x）＝１6错误!—x—２x＝6４—错误!—３x，x∈（0,５]．（２）法一：L（x）＝6４—错误!—３x＝67—错误!≤67—２错误!＝４３，当且仅当错误!＝３（x＋１），即x＝３时取等号．故L（x）max＝４３．答：当投入的肥料费用为３00元时，该水密桃树获得的利润最大，为４３00元．法二：L′（x）＝错误!—３，令L′（x）＝0，得x＝３．故当x∈（0,３）时，L′（x）＞0，L（x）在（0,３）上单调递增；当x∈（３,５]时，L′（x）＜0，L（x）在（３,５]上单调递减．故L（x）max＝L（３）＝４３．答：当投入的肥料费用为３00元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为４３00元．１0．（２0１9·镇江调研）如图，政府有一个边长为４00 m的正方形公园ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以１５0 m为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现在中间修建一块长方形的活动广场P Q MN，其中P，Q，M，N四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠Q BC＝α，长方形活动广场的面积为S.（１）请把S表示成关于α的函数关系式；（２）求S的最小值．解：（１）过Q作Q E⊥BC于E，连结B Q（图略）．在Rt△B Q E中，BE＝１５0cos α，Q E＝１５0sin α，0≤α≤错误!，可得矩形P Q MN的P Q＝４00—３00sin α，Q M＝４00—３00cos α，则S＝P Q·Q M＝（４00—３00sin α）（４00—３00cos α）＝１0 000（４—３sin α）（４—３cos α），α∈错误!.（２）由（１）知，S＝１0 000[１6—１２（sin α＋cos α）＋9sin αcos α]，设t＝sin α＋cos α＝错误!sin 错误!，则错误!≤α＋错误!≤错误!，可得１≤t≤错误!，sin αcos α＝错误!，∴S＝１0 000错误!＝５000错误!.∴当t＝错误!时，S取得最小值５000×7＝３５000 m２.三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以x千米/时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤１２0）时，每小时的耗油量（所需要的汽油量）为错误!错误!升，其中k为常数，且60≤k≤１00．（１）若汽车以１２0千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为１１．５升，欲使每小时的耗油量不超过9升，求x的取值范围；（２）求该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值．解：（１）由题意知，当x＝１２0时，错误!错误!＝１１．５，∴k＝１00，由错误!错误!≤9，得x２—１４５x＋４５00≤0，∴４５≤x≤１00．又60≤x≤１２0，∴60≤x≤１00．故x的取值范围为[60,１00]．（２）设该汽车行驶１00千米的耗油量为y升，则y＝错误!·错误!错误!＝２0—错误!＋错误!（60≤x≤１２0）．令t＝错误!，则t∈错误!，∴y＝90 000t２—２0kt＋２0＝90 000错误!２＋２0—错误!，∴该函数图象的对称轴为直线t＝错误!.∵60≤k≤１00，∴错误!∈错误!.１若错误!≥错误!，即7５≤k≤１00，则当t＝错误!，即x＝错误!时，y min＝２0—错误!.２若错误!＜错误!，即60≤k＜7５，则当t＝错误!，即x＝１２0时，y min＝错误!—错误!.答：当7５≤k≤１00时，该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值为错误!升；当60≤k＜7５时，该汽车行驶１00千米的耗油量的最小值为错误!升．命题点一基本初等函数（Ⅰ）１．（２0１7·全国卷Ⅰ改编）设x，y，z为正数，且２x＝３y＝５z，则２x,３y,５z的大小关系为________．解析：设２x＝３y＝５z＝k＞１，所以x＝log２k，y＝log３k，z＝log５k.因为２x—３y＝２log２k—３log３k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＞0，所以２x＞３y；因为３y—５z＝３log３k—５log５k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＜0，所以３y＜５z；因为２x—５z＝２log２k—５log５k＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＜0，所以５z＞２x.所以５z＞２x＞３y.答案：５z＞２x＞３y２．（２0１8·天津高考改编）已知a＝log３错误!，b＝错误!13，c＝log13错误!，则a，b，c的大小关系为________．解析：∵c＝log13错误!＝log３５，a＝log３错误!，又y＝log３x在（0，＋∞）上是增函数，∴log３５＞log３错误!＞log３３＝１，∴c＞a＞１．∵y＝错误!x在（—∞，＋∞）上是减函数，∴错误!13＜错误!0＝１，即b＜１．∴c＞a＞b.答案：c＞a＞b３．（２0１５·江苏高考）不等式２2x x－＜４的解集为________．解析：因为２x２—x＜４，所以２2x x－＜２２，所以x２—x＜２，即x２—x—２＜0，所以—１＜x＜２．答案：（—１,２）４．（２0１５·全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝x ln（x＋错误!）为偶函数，则a＝________.解析：因为f（x）为偶函数，所以f（—x）—f（x）＝0恒成立，所以—x ln（—x＋错误!）—x ln（x＋错误!）＝0恒成立，所以x ln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a ＝１．答案：１５．（２0１8·上海高考）已知常数a＞0，函数f（x）＝错误!的图象经过点P错误!，Q错误!，若２p ＋q＝３6pq，则a＝________.解析：因为函数f（x）的图象经过点P错误!，Q错误!，所以f（p）＋f（q）＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!—错误!＝１，化简得２p＋q＝a２pq.因为２p＋q＝３6pq，所以a２＝３6且a＞0，所以a＝6．答案：66．（２0１6·江苏高考）已知函数f（x）＝a x＋b x（a＞0，b＞0，a≠１，b≠１）．（１）设a＝２，b＝错误!.１求方程f（x）＝２的根；２若对于任意x∈R，不等式f（２x）≥mf（x）—6恒成立，求实数m的最大值．（２）若0＜a＜１，b＞１，函数g（x）＝f（x）—２有且只有１个零点，求ab的值．解：（１）因为a＝２，b＝错误!，所以f（x）＝２x＋２—x.１方程f（x）＝２，即２x＋２—x＝２，亦即（２x）２—２×２x＋１＝0，所以（２x—１）２＝0，即２x＝１，解得x＝0．２由条件知f（２x）＝２２x＋２—２x＝（２x＋２—x）２—２＝（f（x））２—２．因为f（２x）≥mf（x）—6对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，所以m≤错误!对于x∈R恒成立．而错误!＝f（x）＋错误!≥２错误!＝４，且错误!＝４，所以m≤４，故实数m的最大值为４．（２）因为函数g（x）＝f（x）—２＝a x＋b x—２有且只有１个零点，而g（0）＝f（0）—２＝a0＋b0—２＝0，所以0是函数g（x）的唯一零点．因为g′（x）＝a x ln a＋b x ln b，又由0＜a＜１，b＞１知ln a＜0，ln b＞0，所以g′（x）＝0有唯一解x0＝log错误!.ba令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝（a x ln a＋b x ln b）′＝a x（ln a）２＋b x（ln b）２，从而对任意x∈R，h′（x）＞0，所以g′（x）＝h（x）是（—∞，＋∞）上的单调增函数．于是当x∈（—∞，x0）时，g′（x）＜g′（x0）＝0；当x∈（x0，＋∞）时，g′（x）＞g′（x0）＝0．因而函数g（x）在（—∞，x0）上是单调减函数，在（x0，＋∞）上是单调增函数．下证x0＝0．若x0＜0，则x0＜错误!＜0，于是g错误!＜g（0）＝0．又g（log a２）＝a log a２＋b log a２—２＞a log a２—２＝0，且函数g（x）在以错误!和log a２为端点的闭区间上的图象不间断，所以在错误!和log a２之间存在g（x）的零点，记为x１.因为0＜a＜１，所以log a２＜0．又错误!＜0，所以x１＜0，与“0是函数g（x）的唯一零点”矛盾．若x0＞0，同理可得，在错误!和log b２之间存在g（x）的非0的零点，与“0是函数g（x）的唯一零点”矛盾．因此，x0＝0．于是—错误!＝１，故ln a＋ln b＝0，所以ab＝１．7．（２0１6·上海高考）已知a∈R，函数f（x）＝log２错误!.（１）当a＝５时，解不等式f（x）＞0；（２）若关于x的方程f（x）—log２[（a—４）x＋２a—５]＝0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围；（３）设a＞0，若对任意t∈错误!，函数f（x）在区间[t，t＋１]上的最大值与最小值的差不超过１，求a的取值范围．解：（１）由log２错误!＞0，得错误!＋５＞１，解得x∈错误!∪（0，＋∞）．（２）由原方程可得错误!＋a＝（a—４）x＋２a—５，即（a—４）x２＋（a—５）x—１＝0．１当a＝４时，x＝—１，经检验，满足题意．２当a＝３时，x１＝x２＝—１，经检验，满足题意．３当a≠３且a≠４时，x１＝错误!，x２＝—１，x１≠x２.若x１是原方程的解，则错误!＋a＞0，即a＞２；若x２是原方程的解，则错误!＋a＞0，即a＞１．由题意知x１，x２只有一个为方程的解，所以错误!或错误!于是满足题意的a∈（１,２]．综上，a的取值范围为（１,２]∪{３,４}．（３）易知f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）在区间[t，t＋１]上的最大值与最小值分别为f（t），f（t＋１）．f（t）—f（t＋１）＝log２错误!—log２错误!≤１，即at２＋（a＋１）t—１≥0对任意t∈错误!恒成立．因为a＞0，所以函数y＝at２＋（a＋１）t—１在区间错误!上单调递增，当t＝错误!时，y有最小值错误!a—错误!.由错误!a—错误!≥0，得a≥错误!.故a的取值范围为错误!.命题点二函数与方程１．（２0１7·江苏高考）设f（x）是定义在R上且周期为１的函数，在区间[0,１）上，f（x）＝错误!其中集合D＝错误!，则方程f（x）—lg x＝0的解的个数是________．解析：由于f（x）∈[0,１），因此只需考虑１≤x＜１0的情况，在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝错误!，q，p∈N*，p≥２且p，q互质．若lg x∈Q，则由lg x∈（0,１），可设lg x＝错误!，m，n∈N*，m≥２且m，n互质，因此１0错误!＝错误!，则１0n＝错误!m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x∉Q，故lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点．画出函数草图（如图），图中交点除（１,0）外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，且x＝１处（lg x）′＝错误!＝错误!＜１，则在x＝１附近仅有一个交点，因此方程f（x）—lg x＝0的解的个数为8．答案：8２．（２0１５·江苏高考）已知函数f（x）＝|ln x|，g（x）＝错误!则方程|f（x）＋g（x）|＝１实根的个数为________．解析：１当0＜x≤１时，方程为—ln x＝１，解得x＝错误!.２当１＜x＜２时，f（x）＋g（x）＝ln x＋２—x２单调递减，值域为（ln ２—２,１），方程f（x）＋g（x）＝１无解，方程f（x）＋g（x）＝—１恰有一解．３当x≥２时，f（x）＋g（x）＝ln x＋x２—6单调递增，值域为[ln ２—２，＋∞），方程f（x）＋g （x）＝１恰有一解，方程f（x）＋g（x）＝—１恰有一解．综上所述，原方程有４个实根．答案：４３．（２0１8·全国卷Ⅰ改编）已知函数f（x）＝错误!g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在２个零点，则a的取值范围是________．解析：令h（x）＝—x—a，则g（x）＝f（x）—h（x）．在同一坐标系中画出y＝f（x），y＝h（x）的示意图，如图所示．若g（x）存在２个零点，则y＝f（x）的图象与y＝h（x）的图象有２个交点，平移y＝h（x）的图象，可知当直线y＝—x—a过点（0,１）时，有２个交点，此时１＝—0—a，a＝—１．当y＝—x—a在y＝—x＋１上方，即a＜—１时，仅有１个交点，不符合题意．当y＝—x—a在y＝—x＋１下方，即a＞—１时，有２个交点，符合题意．综上，a的取值范围是[—１，＋∞）．答案：[—１，＋∞）４．（２0１8·天津高考）已知a＞0，函数f（x）＝错误!若关于x的方程f（x）＝ax恰有２个互异的实数解，则a的取值范围是________．解析：法一：作出函数f（x）的大致图象如图所示．l１是过原点且与抛物线y＝—x２＋２ax—２a相切的直线，l２是过原点且与抛物线y＝x２＋２ax＋a相切的直线．由图可知，当直线y＝ax在l１，l２之间（不含直线l１，l２）变动时，符合题意．由错误!消去y，整理得x２—ax＋２a＝0．由Δ＝a２—8a＝0，得a＝8（a＝0舍去）．由错误!消去y，整理得x２＋ax＋a＝0．由Δ＝a２—４a＝0，得a＝４（a＝0舍去）．综上可得a的取值范围是（４,8）．法二：当x≤0时，由x２＋２ax＋a＝ax，得a＝—x２—ax；当x＞0时，由—x ２＋２ax—２a＝ax，得２a＝—x２＋ax.令g（x）＝错误!作出直线y＝a，y＝２a，函数g（x）的图象如图所示，g（x）的最大值为—错误!＋错误!＝错误!，由图象可知，若f（x）＝ax恰有２个互异的实数解，则a＜错误!＜２a，解得４＜a＜8．答案：（４,8）命题点三函数模型及其应用１．（２0１8·浙江高考）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则错误!当z＝8１时，x＝______，y＝_______.解析：由题意，得错误!即错误!解得错误!答案：8 １１２．（２0１５·江苏高考）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l１，l２，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l１，l２的距离分别为５千米和４0千米，点N到l１，l２的距离分别为２0千米和２．５千米．以l２，l１所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝错误!（其中a，b为常数）模型．（１）求a，b的值．（２）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.１请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域．２当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解：（１）由题意知，点M，N的坐标分别为（５,４0），（２0，２．５）．将其分别代入y＝错误!，得错误!解得错误!（２）１由（１）知，y＝错误!（５≤x≤２0），则点P的坐标为错误!.设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝—错误!，则l的方程为y—错误!＝—错误!（x—t），由此得A错误!，B错误!.故f（t）＝错误!＝错误!错误!，t∈[５,２0]．２设g（t）＝t２＋错误!，则g′（t）＝２t—错误!.令g′（t）＝0，解得t＝１0错误!.当t∈（５,１0错误!）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；当t∈（１0错误!，２0）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数．从而，当t＝１0错误!时，函数g（t）有极小值，也是最小值，所以g（t）min＝３00，此时f（t）min＝１５错误!.故当t＝１0错误!时，公路l的长度最短，最短长度为１５错误!千米．３．（２0１２·江苏高考）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为１千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx—错误!（１＋k２）x２（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（１）求炮的最大射程；（２）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为３．２千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：（１）令y＝0，得kx—错误!（１＋k２）x２＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝错误!＝错误!≤错误!＝１0，当且仅当k＝１时取等号．所以炮的最大射程为１0千米．（２）因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使３．２＝ka—错误!（１＋k２）a２成立⇔关于k的方程a２k２—２0ak＋a２＋6４＝0有正根⇔判别式Δ＝（—２0a）２—４a２（a２＋6４）≥0⇔a≤6．所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．。

第十节 函数模型及其应用［最新考纲］ 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.1.常见的几种函数模型（1）一次函数模型：y ＝kx ＋b （k ≠0）.（2）反比例函数模型：y ＝k x＋b （k ，b 为常数且k ≠0）. （3）二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）.（4）指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c （a ，b ，c 为常数，b ＞0，b ≠1，a ≠0）. （5）对数函数模型：y ＝m log a x ＋n （m ，n ，a 为常数，a ＞0，a ≠1，m ≠0）. （6）幂函数模型：y ＝a ·x n＋b （a ≠0）. 2.三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y ＝a x （a ＞1） y ＝log a x （a ＞1） y ＝x n （n ＞0）在（0，＋∞）上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 因n 而异 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n＜a x（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题. ［常用结论］形如f （x ）＝x ＋a x（a ＞0）的函数模型称为“对勾”函数模型：（1）该函数在（－∞，－a ］和［a ，＋∞）内单调递增，在［－a ，0）和（0，a ］上单调递减.（2）当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a .一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）函数y ＝2x 与函数y ＝x 2的图象有且只有两个公共点.（ ） （2）幂函数增长比直线增长更快. （ ） （3）不存在x 0，使ax 0＜x n0＜log a x 0.（ ）（4）f （x ）＝x 2，g （x ）＝2x，h （x ）＝log 2x ，当x ∈（4，＋∞）时，恒有h （x ）＜f （x ）＜g （x ）.（ ）［答案］ （1）× （2）× （3）× （4）√ 二、教材改编1.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是（ ）（注：结余＝收入－支出）A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元D ［由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60（万元），故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×（40＋60＋30＋30＋50＋60）＝45（万元），故D 错误.］2.在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00则对x ，y A.y ＝2x B.y ＝x 2－1 C.y ＝2x －2D.y ＝log 2 xD ［根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D.］3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C （x ）＝12x 2＋2x ＋20（万元）.一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件.18 ［利润L （x ）＝20x －C （x ）＝－12（x －18）2＋142，当x ＝18时，L （x ）有最大值.］4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 .3 ［设隔墙的长度为x （0＜x ＜6），矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x2＝2x （6－x ）＝－2（x －3）2＋18，∴当x ＝3时，y 最大.］考点1 用函数图象刻画变化过程判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的2种方法（1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.（2）验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.1.（2019·遵义模拟）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和a m （0＜a ＜12）.不考虑树的粗细，现用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（ ）A B C DB［设AD的长为x m，则CD的长为（16－x）m，则矩形ABCD的面积为x（16－x）m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a（16－a）.画出函数图象可得其形状与B选项接近，故选B.］2.有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是（）A B C DB［由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细.再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，选B.］3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D ［根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对.］准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键. 考点2 应用所给函数模型解决实际问题求解所给函数模型解决实际问题的3个关注点（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. （2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. （3）利用该模型求解实际问题.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W （x ）万元，在年产量不足8万件时，W （x ）＝13x 2＋x （万元）.在年产量不小于8万件时，W （x ）＝6x ＋100x －38（万元）.每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.（1）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ ［解］ （1）因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L （x ）＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L （x ）＝5x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋100x－38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.（2）当0＜x ＜8时，L （x ）＝－13（x －6）2＋9.此时，当x ＝6时，L （x ）取得最大值L （6）＝9万元，当x ≥8时，L （x ）＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝100x，即x ＝10时，L （x ）取得最大值15万元.因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.解决实际问题时，应注意自变量的取值范围，如本例中x ∈（0，＋∞）. 一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt（cm 3），经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.16 ［当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －b t ＝18a ，e －b t ＝18＝（e －8 b ）3＝e－24b，则t ＝24，所以再经过16 min.］ 考点3 构建函数模型解决实际问题 构建函数模型解决实际问题的步骤构造二次函数、分段函数模型国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元.（1）写出每张飞机票的价格关于人数的函数； （2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？［解］ （1）设每团人数为x ，由题意得0＜x ≤75（x ∈N *），每张飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10（x －30），30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.（2）设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，1 200x －10x 2－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10（x －60）2＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间（0,30］上为增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000. 又S ＝－10（x －60）2＋21 000，x ∈（30,75］，所以当x ＝60时，S 取得最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润.解题过程——谨防2种失误（1）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错.（2）求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小得解.构造y ＝x ＋ax （a ＞0）模型某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.［解］ 设该养殖场x （x ∈N *）天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 元. 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6（元），所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6（x －1）＋6（x －2）＋…＋6＝（3x 2－3x ）（元）.从而有y ＝1x （3x 2－3x ＋300）＋200×1.8＝300x＋3x ＋357≥2300x·3x ＋357＝417，当且仅当300x＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值.故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.利用模型f （x ）＝ax ＋bx 求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.构建指数函数、对数函数模型（1）世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017）（ ）A.1.5%B.1.6%C.1.7%D.1.8%（2）十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右.如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为（提示：1.0653≈1.208）（ ）A.93.8万亿元B.99.9万亿元C.97万亿元D.106.39万亿元（1）C （2）B ［（1）设每年人口平均增长率为x ，则（1＋x ）40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg （1＋x ）＝lg 2，所以lg （1＋x ）＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x ，得1＋x ≈1.017，所以x ≈1.7%.故选C.（2）由题意可知，2020年我国国内年生产总值约为：82.7×（1＋6.5%）3≈99.9（万亿元）.故选B.］（1）与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型（底数大于1）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.（2）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.1.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤 次才能达到市场要求.（已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）8 ［设至少过滤n 次才能达到市场要求， 则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.］2.某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）.（1）求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ ［解］ （1）当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115＞0，解得x ＞2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝［50－3（x －6）］x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ），－3x 2＋68x －115（6＜x ≤20，x ∈Z ）.（2）对于y ＝50x －115（3≤x ≤6，x ∈Z ）， 显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113（6＜x ≤20，x ∈Z ），当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.。

第二章基本初等函数、导数的应用第9讲函数模型及其应用教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源t麵谋梳理,常见函数模型⑴直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升3的系数氐＞0),通过图象可以很直观地认识它.(2)指数函数模型：能用指数函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(Q1),常形象地称之为“指数爆炸”. (3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其快(Q1),但随着工的逐渐增大，其函数值的变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(4)幕函数模型：能用幕函数表达的函数模型，其增长情况随T中疣的取值变化而定，常见的有二次函数模型.⑸"对勾”函数模型：形如/(x)=x+|(a>0,兀>0)的函数模型，在现实生活中也有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时利用函数的单调性求解最值.心【做二做〕1.某种储蓄按复利计算利息，若本金为。

元，每期利率为八存期是小本利和(本金加利息)为y元，则本利和丿随存期兀变化的函数关系式是旦匸—_解析：由指数函数模型得y=a(\+r)\2.某物体一天中的温度T（单位：C）是时间/（单位：h）的函数：T（0=^-3/+60, （=0表示中午12： 00,其后/取正值,则下午3时的温度为解析：T(3)=33-3X3+60=78(°C).3. A,〃两城相距100 km,在两城之间距A城兀(km)处建一核电站给A, B两城供电，A、B城与核电站共线，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知A、B城月供电费用分别等于供电距离(km)的平方与月供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城为每月10亿度.(1)求兀的取值范围；⑵把月供电总费用J表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少?解:(l)x的取值范围为[10, 90].(2)j=5X2+|(100一X)Y10 Wx W90).(3)由y=5x2+1(100—X)2=yx2 - 500x+25 00015 100)2 . 50 000 ,得尸罟时，皿=驾叫即核电站建在距A城罟km处，能使供电总费用V最少n要点整台》1.必明辨的1个易错点解决实际问题忽视定义域.2.必会的1种方法解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：產绦二篠［1.据调查，某地铁的自行车存放处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0・3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为兀辆次，存车费总收入为y元，贝!关于兀的函数关系是j = -0.1x+l 200(0^x^4 000, x£N)解析：j = 0.2x + (4 000-x)X0.3=-0.1x + l 200(0WxW4 000, xeN). 2.某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1・8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.解：设该场x(x UN)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为刃・因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200X0.03= 6(元)，所以X天饲料的保管费与其他费用共是6（x—1）+6（兀一2） + •••+6 = （3/—3兀）（兀）.从而有Ji = ~（3x2 - 3x + 300） + 200X1.8 = ^ + 3x +X X357M417,当且仅当響=3兀，即x=10时，儿有最小值. •/V故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.典例剖析▼考点突破*考点一 一次函数、二次函数模型 研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化 碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量 最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量 班吨）之间的函数关系可近似地表示为：j=|x 2-200x + 80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100元.该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润;如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?名师导悟以例说法为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科［解］设该单位每月获利为S,则S=100x-j=100X-^2-200X+80 0001 ?=一尹+300兀_80 000=-|(X-300)2-35 000,因为400^x^600,所以当x=400时，S有最大值一40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.⑴在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0）,构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解.（2）有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决.的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米,CD=6米•为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.EP\⑴设MP=X PN=y米，将y表示成兀的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值. 解:⑴作PQ±AF于。

１．函数的零点（１）函数零点的定义对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．（２）三个等价关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．（３）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１,0），（x２,0）（x１,0）无交点零点个数２１0有关函数零点的３个结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0．（）（３）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）＜0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）（４）二次函数y＝ax２＋bx＋c在b２—４ac＜0时没有零点．（）[答案]（１）×（２）×（３）×（４）√二、教材改编１．已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数yＡ．２个Ｂ．３个Ｃ．４个Ｄ．５个B[∵f（２）·f（３）＜0，f（３）·f（４）＜0，f（４）·f（５）＜0，故函数f（x）在区间[１,6]内至少有３个零点．]２．函数f（x）＝ln x＋２x—6的零点所在的区间是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（２,３）Ｄ．（３,４）C[由题意得f（１）＝ln １＋２—6＝—４＜0，f（２）＝ln ２＋４—6＝ln ２—２＜0，f（３）＝ln ３＋6—6＝ln ３＞0，f（４）＝ln ４＋8—6＝ln ４＋２＞0，∴f（x）的零点所在的区间为（２,３）．]３．函数f（x）＝e x＋３x的零点个数是________．１[由已知得f′（x）＝e x＋３＞0，所以f（x）在R上单调递增，又f（—１）＝错误!—３＜0，f （0）＝１＞0，因此函数f（x）有且只有一个零点．]４．函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为________．１[作函数y１＝x错误!和y２＝错误!错误!的图象如图所示．由图象知函数f（x）有１个零点．]考点１函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法（１）解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程．（２）零点存在性定理．（３）数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．１．函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的区间为（）Ａ．（0,１）Ｂ．（１,２）Ｃ．（２,３）Ｄ．（３,４）B[由题意知函数f（x）是增函数，因为f（１）＜0，f（２）＝ln ２—错误!＝ln ２—ln 错误!＞0，所以函数f（x）的零点所在的区间是（１,２）．故选Ｂ．]２．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x—a）（x—b）＋（x—b）（x—c）＋（x—c）（x—a）的两个零点分别位于区间（）Ａ．（a，b）和（b，c）内Ｂ．（—∞，a）和（a，b）内Ｃ．（b，c）和（c，＋∞）内Ｄ．（—∞，a）和（c，＋∞）内A[∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a—b）（a—c）＞0，f（b）＝（b—c）（b—a）＜0，f（c）＝（c—a）（c—b）＞0，由函数零点存在性判定定理可知：在区间（a，b）（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内，故选Ａ．]３．已知函数f（x）＝ln x＋２x—6的零点在错误!（k∈Z）内，那么k＝________.５[∵f′（x）＝错误!＋２＞0，x∈（0，＋∞），∴f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，且f错误!＝ln 错误!—１＜0，f（３）＝ln ３＞0，∴f（x）的零点在错误!内，则整数k＝５．]（１）f（a）·f（b）＜0是连续函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．（２）若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，且f（x）的图象连续不断，则f（a）·f（b）＜0⇒函数f（x）在区间[a，b]上只有一个零点．考点２函数零点个数的判断函数零点个数的讨论，基本解法有（１）直接法，令f（x）＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点．（２）定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．（３）图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．（１）（２0１9·全国卷Ⅲ）函数f（x）＝２sin x—sin ２x在[0,２π]的零点个数为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５（２）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３（３）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e x＋x—３，则f（x）的零点个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（１）B（２）D（３）C[（１）由f（x）＝２sin x—sin ２x＝２sin x—２sin x cos x＝２sin x·（１—cos x）＝0得sin x＝0或cos x＝１，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,２π]，∴x＝0，π，２π，即零点有３个，故选Ｂ．（２）依题意，在考虑x＞0时可以画出函数y＝ln x与y＝x２—２x的图象（如图），可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f（x）＝２x＋１与x轴只有一个交点，综上，函数f（x）有３个零点．故选Ｄ．（３）因为函数f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝0，即x＝0是函数f（x）的１个零点．当x＞0时，令f（x）＝e x＋x—３＝0，则e x＝—x＋３，分别画出函数y＝e x和y＝—x＋３的图象，如图所示，两函数图象有１个交点，所以函数f（x）有１个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f（x）也有１个零点．综上所述，f（x）的零点个数为３．]（１）利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．（２）图象法求函数零点个数的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．１．函数f（x）＝２x|log0．５x|—１的零点个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４B[令f（x）＝２x|log0．５x|—１＝0，可得|log0．５x|＝错误!错误!.设g（x）＝|log0．５x|，h（x）＝错误!错误!.在同一坐标系下分别画出函数g（x），h（x）的图象，可以发现两个函数图象一定有２个交点，因此函数f（x）有２个零点．故选Ｂ．]２．已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝—２，f（—１）＝１，则函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为________．３[依题意得错误!由此解得错误!由g（x）＝0得f（x）＋x＝0，该方程等价于错误!１或错误!２解１得x＝２，解２得x＝—１或x＝—２．因此，函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为３．]考点３函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的３种常用方法（１）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．（２）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（３）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．根据函数零点个数求参数已知函数f（x）＝|x２＋３x|，x∈R，若方程f（x）—a|x—１|＝0恰有４个互异的实数根，则实数a的取值范围是________．（0,１）∪（9，＋∞）[设y１＝f（x）＝|x２＋３x|，y２＝a|x—１|，在同一直角坐标系中作出y１＝|x２＋３x|，y２＝a|x—１|的图象如图所示．由图可知f（x）—a|x—１|＝0有４个互异的实数根等价于y１＝|x２＋３x|与y２＝a|x—１|的图象有４个不同的交点且４个交点的横坐标都小于１，所以错误!有两组不同解，消去y得x２＋（３—a）x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝（３—a）２—４a＞0，即a２—１0a＋9＞0，解得a＜１或a＞9．又由图象得a＞0，∴0＜a＜１或a＞9．]由函数的零点个数求参数的值或范围的策略已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．根据函数有无零点求参数已知函数f（x）＝错误!则使函数g（x）＝f（x）＋x—m有零点的实数m的取值范围是________．（—∞，0]∪（１，＋∞）[函数g（x）＝f（x）＋x—m的零点就是方程f（x）＋x＝m的根，画出h（x）＝f（x）＋x＝错误!的大致图象（图略）．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞１时，有交点，即函数g（x）＝f（x）＋x—m有零点．]函数有无零点问题⇔函数图象与x轴有无公共点问题．根据零点的范围求参数若函数f（x）＝（m—２）x２＋mx＋（２m＋１）的两个零点分别在区间（—１,0）和区间（１,２）内，则m的取值范围是________．错误![依题意，结合函数f（x）的图象分析可知m需满足错误!即错误!解得错误!＜m＜错误!.]此类问题多转化为讨论区间端点处函数值的符号求解．１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１,２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１,３）Ｂ．（１,２）Ｃ．（0,３）Ｄ．（0,２）C[因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则由题意得f（１）·f（２）＝（0—a）（３—a）＜0，解得0＜a＜３，故选Ｃ．]２．方程log错误!（a—２x）＝２＋x有解，则a的最小值为________．１[若方程log错误!（a—２x）＝２＋x有解，则错误!错误!＝a—２x有解，即错误!错误!错误!＋２x＝a有解，因为错误!错误!错误!＋２x≥１，故a的最小值为１．]３．已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________．（—１,0）[关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实根，等价于函数y１＝f（x）与函数y２＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是（—１,0）．]。

§2.1函数及其表示1．函数2.函数的三要素(1)定义域在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域．(2)值域对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．(3)对应法则f：A→B.3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．概念方法微思考1．分段函数f (x )的对应法则用两个式子表示，那么f (x )是两个函数吗？ 提示 分段函数是一个函数．2．请你概括一下求函数定义域的类型．提示 (1)分式型；(2)根式型；(3)指数式型、对数式型；(4)三角函数型． 3．请思考以下常见函数的值域： (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域：当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a .(3)y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×)(3)已知f (x)＝5(x∈R)，则f (x2)＝25.(×)(4)函数f (x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(√)题组二教材改编2．以下属于函数的有________．(填序号)①y＝±x；②y2＝x－1；③y＝x－2＋1－x；④y＝x2－2(x∈N)．答案④3．函数y＝f (x)的图象如图所示，那么，f (x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]题组三易错自纠4．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()答案 C解析 A 选项中的值域不满足，B 选项中的定义域不满足，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确．5．(多选)(2019·山东省济南市历城第二中学月考)下列各组函数是同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1与g (s )＝s 2－2s －1 B ．f (x )＝－x 3与g (x )＝x －x C ．f (x )＝x x 与g (x )＝1x 0D ．f (x )＝x 与g (x )＝x 2 答案 AC6．函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________． 答案 [2，＋∞)7．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝____________. 答案 x 2－1(x ≥0)解析 令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．8．(2019·湖北黄石一中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x －1，x >0，则f (f (0))的值为________；方程f (－x )＝1的解是________． 答案 1 0或－1解析 ∵f (0)＝1，∴f (f (0))＝f (1)＝1.当－x ≤0时，f (－x )＝－x ＋1＝1，解得x ＝0；当－x >0时，f (－x )＝2－x －1＝1，解得x ＝－1.第1课时函数的概念及表示法函数的概念1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()答案 C2．(2019·武汉模拟)下列五组函数中，表示同一函数的是________．(填序号) ①f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－1x ＋1；②f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x ；③f (x )＝x ＋2，x ∈R 与g (x )＝x ＋2，x ∈Z ； ④f (u )＝1＋u1－u与f (v )＝1＋v1－v； ⑤y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)． 答案 ④3．已知A ＝{x |x ＝n 2，n ∈N }，给出下列关系式：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 4；⑤f (x )＝x 2＋1，其中能够表示函数f ：A →A 的是________． 答案 ①②③④解析 对于⑤，当x ＝1时，x 2＋1∉A ，故⑤错误，由函数定义可知①②③④均正确． 思维升华 (1)函数的定义要求第一个数集A 中的任何一个元素在第二个数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．求函数的解析式例1 求下列函数的解析式：(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x4，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式； (4)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的解析式． 解 (1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]， 则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]． 即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2， ∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)． (3)(待定系数法)因为f (x )是一次函数， 可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17. 即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7. ∴f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7.(4)(消去法)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．①以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．跟踪训练1 (1)(2020·济南月考)若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 答案 B解析 f (x )＝1x1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x －1，求f (x )． 解 已知2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x －1，①以1x 代替①中的x (x ≠0)，得 2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x－1，② ①×2－②，得3f (x )＝6x －3x －1，故f (x )＝2x －1x －13(x ≠0)．分段函数命题点1 求分段函数的函数值例2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x <2，x 2＋ax ，x ≥2，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝－6，则实数a 的值为________，f (2)＝________. 答案 －5 －6解析 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫23＝3·23＋1＝3， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (3)＝9＋3a ＝－6， 所以a ＝－5，f (2)＝4－5×2＝－6.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，则f (2)＝________.答案 3解析 f (2)＝f (1)＋1＝f (0)＋2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2×0＋2＝1＋2＝3.命题点2 分段函数与方程、不等式问题例3 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝122 或x ＝122-.故所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22. 本例中，则使f (x )>12的x 的集合为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪－1<x <22或x >2 解析 当x ≤0时，由2x >12得－1<x ≤0；当x >0时，由|log 2x |>12得0<x <22或x > 2.综上，所求x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪－1<x <22或x >2. 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来． 跟踪训练2 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，12x ，x <0，则f (f (－1))＝________.答案 3解析 ∵f (－1)＝12－1＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝3.(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ， 解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x . 此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )． 此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．第2课时 函数的定义域与值域函数的定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝12－|x |＋x 2－1；(2)y ＝25－x 2＋lg cos x ； (3)y ＝x －12x －log 2(4－x 2)； (4)y ＝1log 0.5(x －2)＋(2x －5)0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |≠0，x 2－1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2，x ≤－1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1且x ≠±2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5. (3)要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，解得－2<x <0或1≤x <2，∴函数的定义域为(－2,0)∪[1,2)．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x －2)>0，2x －5≠0得⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3，x ≠52，∴函数的定义域为⎝⎛⎭⎫2，52∪⎝⎛⎭⎫52，3. 思维升华 (1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．函数的值域例1 (2019·长沙月考)求下列函数的值域： (1)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (2)y ＝2x ＋1x －3；(3)y ＝2x －x －1； (4)y ＝x ＋1＋x －1.解 (1)(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2， 由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．(2)(分离常数法)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，∴y ≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)(换元法)设t ＝x －1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0， ∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158， 由t ≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158，＋∞. (4)函数的定义域为[1，＋∞)，∵y ＝x ＋1与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数， ∴y ＝x ＋1＋x －1在[1，＋∞)上为单调递增函数， ∴当x ＝1时，y min ＝2，即函数的值域为[2，＋∞)．结合本例(4)求函数y ＝x ＋1－x －1的值域．解 函数的定义域为[1，＋∞)， y ＝x ＋1－x －1＝2x ＋1＋x －1，由本例(4)知函数y ＝x ＋1＋x －1的值域为[2，＋∞)， ∴0<1x ＋1＋x －1≤22，∴0<2x ＋1＋x －1≤2，∴函数的值域为(0，2]． 思维升华 求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法．跟踪训练1 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ； (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x >12. 解 (1)方法一 y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2， 因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1,1]．方法二 由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y 1＋y .因为x 2≥0，所以1－y1＋y≥0.所以－1<y ≤1，即函数的值域为(－1,1]． (2)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)， 所以y ≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]． (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x (2x －1)＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x >12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞. 定义域与值域的应用例2 (1)(2020·广州模拟)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ＋ab ＋b ＝0，4a ＋2ab ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.(2)已知函数y ＝x 2＋ax －1＋2a 的值域为[0，＋∞)，求a 的取值范围．解 令t ＝g (x )＝x 2＋ax －1＋2a ，要使函数y ＝t 的值域为[0，＋∞)，则说明[0，＋∞)⊆{y |y ＝g (x )}，即二次函数的判别式Δ≥0，即a 2－4(2a －1)≥0，即a 2－8a ＋4≥0，解得a ≥4＋23或a ≤4－23，∴a 的取值范围是{a |a ≥4＋23或a ≤4－23}．思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题．可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，则实数a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 由于函数f (x )＝ax －2 021在[2 021，＋∞)上有意义，即ax －2 021≥0在[2 021，＋∞)上恒成立，即a ≥2 021x 在[2 021，＋∞)上恒成立，而0<2 021x ≤1，故a ≥1.(2)已知函数f (x )＝12(x －1)2＋1的定义域与值域都是[1，b ](b >1)，则实数b ＝________.答案 3解析 f (x )＝12(x －1)2＋1，x ∈[1，b ]且b >1，则f (1)＝1，f (b )＝12(b －1)2＋1，∵f (x )在[1，b ]上为增函数， ∴函数值域为⎣⎡⎦⎤1，12(b －1)2＋1.由已知得12(b －1)2＋1＝b ，解得b ＝3或b ＝1(舍)．我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．一、抽象函数的函数值例1 (1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则 f (2)＝________.答案 12解析 因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12. (2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22·f ⎝⎛⎭⎫x 1－x 22，f (π)＝－1，则f (0)＝________.答案 1解析 令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.二、抽象函数的定义域例2 (1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x )＝ln(－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析 由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0)．∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12. (2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为________． 答案 [2，4]解析 对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]．。

１．函数的概念（１）定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记为y＝f（x），x∈A.（２）函数的定义域、值域：在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．（３）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．（４）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．（５）函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．２．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]１．（２0１9·无锡一中期中测试）函数f（x）＝ln（x２—x）的定义域为________．解析：由题意知，x２—x＞0，即x＜0或x＞１．则函数的定义域为（—∞，0）∪（１，＋∞）．答案：（—∞，0）∪（１，＋∞）２．已知f（错误!）＝x—１，则f（２）＝________.解析：令错误!＝２，则x＝４，所以f（２）＝３．答案：３３．（２0１9·海头高级中学高三期中）若函数f（x）＝错误!则f（错误!）＋f（—错误!）＝________.答案：５４．已知函数f（x）＝错误!若f（x）＝２，则x＝________.解析：依题意得当x≤１时，３x＝２，所以x＝log３２；当x＞１时，—x＝２，x＝—２（舍去）．故x＝log３２．答案：log３２１．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．２．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]１．（２0１9·常州一中检测）若函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为错误!＞１，所以f错误!＝log２错误!，又因为log２错误!＜１，所以f错误!＝２23log2—２＝—错误!.答案：—错误!２．（２0１8·苏州中学测试）已知f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１，则函数f（x）的解析式为________．解析：用错误!代替３f（x）＋５f错误!＝错误!＋１中的x，得３f错误!＋５f（x）＝３x＋１，所以错误!２×５—１×３得f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）．答案：f（x）＝错误!x—错误!＋错误!（x≠0）错误!错误![题组练透]１．（２0１8·常州期末）函数y＝错误!＋lg（x＋２）的定义域为________．解析：由题意可得错误!解得—２＜x≤１，故所求函数的定义域为（—２,１]．答案：（—２,１]２．（２0１8·南通中学高三测试）函数y＝错误!的定义域为________________．解析：由函数y＝错误!得错误!解得错误!即—１≤x≤１且x≠—错误!，所以所求函数的定义域为错误!∪错误!.答案：错误!∪错误!３．若函数y＝f（x）的定义域是[１,２0１9]，则函数g（x）＝错误!的定义域是________．解析：令t＝x＋１，由已知函数的定义域为[１,２0１9]，可知１≤t≤２0１9．要使函数f（x＋１）有意义，则有１≤x＋１≤２0１9，解得0≤x≤２0１8，故函数f（x＋１）的定义域为[0，２0１8]．所以使函数g（x）有意义的条件是错误!解得0≤x＜１或１＜x≤２0１8．故函数g（x）的定义域为[0,１）∪（１，２0１8]．答案：[0,１）∪（１,２0１8]４．（２0１8·南京师范大学附中模拟）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由题意得log（２x—３）≥0⇒0＜２x—３≤１⇒错误!＜x≤２，即函数f（x）的定义域是错误!.12答案：错误![谨记通法]函数定义域的求解策略（１）已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式（组）求解．（２）实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式（组）求解．（３）抽象函数：１若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，其复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；２若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]时的值域．错误!错误![典例引领]（１）已知f（x）是二次函数，且f（0）＝0，f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，求f（x）；（２）已知f错误!＝x２＋错误!，求f（x）的解析式；（３）已知f错误!＝lg x，求f（x）的解析式；（４）已知函数f（x）满足f（—x）＋２f（x）＝２x，求f（x）的解析式；（５）已知f（0）＝１，对任意的实数x，y都有f（x—y）＝f（x）—y（２x—y＋１），求f（x）的解析式．解：（１）（待定系数法）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝0，知c＝0，f（x）＝ax２＋bx，又由f（x＋１）＝f（x）＋x＋１，得a（x＋１）２＋b（x＋１）＝ax２＋bx＋x＋１，即ax２＋（２a＋b）x＋a＋b＝ax２＋（b＋１）x＋１，所以错误!解得a＝b＝错误!.所以f（x）＝错误!x２＋错误!x，x∈R.（２）（配凑法）由于f错误!＝x２＋错误!＝错误!２—２，所以f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２，故f（x）的解析式是f（x）＝x２—２，x≥２或x≤—２．（３）（换元法）令错误!＋１＝t得x＝错误!，代入得f（t）＝lg错误!，又x＞0，所以t＞１，故f（x）的解析式是f（x）＝lg错误!，x＞１．（４）（解方程组法）由f（—x）＋２f（x）＝２x，１得f（x）＋２f（—x）＝２—x，２１×２—２，得，３f（x）＝２x＋１—２—x.即f（x）＝错误!.所以f（x）的解析式是f（x）＝错误!.（５）（赋值法）令x＝0，得f（—y）＝f（0）—y（—y＋１）＝１＋y２—y，所以f（y）＝y２＋y＋１，即f（x）＝x２＋x＋１．[由题悟法]求函数解析式的５种方法１．（２0１9·如皋测试）已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝x＋２，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝kx＋b，由f（f（x））＝x＋２，可得k（kx＋b）＋b＝x＋２，即k２x＋kb＋b＝x＋２，所以k２＝１，kb＋b＝２，解得k＝１，b＝１，即f（x）＝x＋１．答案：x＋１２．已知f（错误!＋１）＝x＋２错误!，求f（x）的解析式．解：法一：（换元法）设t＝错误!＋１，则x＝（t—１）２，t≥１，代入原式有f（t）＝（t—１）２＋２（t—１）＝t２—２t＋１＋２t—２＝t２—１．故f（x）＝x２—１，x≥１．法二：（配凑法）因为x＋２错误!＝（错误!）２＋２错误!＋１—１＝（错误!＋１）２—１，所以f（错误!＋１）＝（错误!＋１）２—１，错误!＋１≥１，即f（x）＝x２—１，x≥１．错误!错误![锁定考向]分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：（１）分段函数的求值问题；（２）求参数或自变量的值与范围；（３）分段函数与不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的求值问题１．设函数f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为—１＜错误!—１≤0，所以f错误!＝错误!＝错误!，则f错误!＝f错误!＝tan 错误!＝１．答案：１角度二：求参数或自变量的值与范围２．已知f（x）＝错误!若f（a）＝错误!，则a＝________.解析：若a≥0，由f（a）＝错误!得，a 12＝错误!，解得a＝错误!；若a＜0，则|sin a|＝错误!，a∈错误!，解得a＝—错误!.综上可知，a＝错误!或—错误!.答案：错误!或—错误!角度三：分段函数与不等式问题３．（２0１8·如东期末）设函数f（x）＝错误!则使得f（２x＋１）＞f（x—１）成立的x的取值范围是________．解析：当x＞0时，f（—x）＝x２e x＝f（x），且为增函数，同理当x＜0时，f（—x）＝错误!＝f（x），且为减函数，所以f（x）关于y轴对称，且左减右增．要使f（２x＋１）＞f（x—１），则需|２x＋１|＞|x—１|，两边平方化简得x２＋２x＞0，解得x＜—２或x＞0，故所求x的取值范围是（—∞，—２）∪（0，＋∞）．答案：（—∞，—２）∪（0，＋∞）[通法在握]１．分段函数的求值问题的解题思路（１）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．（２）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．２．分段函数与不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]１．（２0１9·姜堰中学测试）已知函数f（x）的定义域为实数集R，∀x∈R，f（x—90）＝错误!则f （１0）—f（—１00）的值为________．解析：因为f（１0）＝f（１00—90）＝lg １00＝２，f（—１00）＝f（—１0—90）＝—（—１0）＝１0，所以f（１0）—f（—１00）＝２—１0＝—8．答案：—8２．（２0１8·无锡高三第一学期期末）已知函数f（x）＝错误!g（x）＝—x２—２x—２．若存在a ∈R，使得f（a）＋g（b）＝0，则实数b的取值范围是________．解析：当x≤—错误!时，f（x）＝１＋错误!＜１，此时f（x）＝１＋错误!＝１＋错误!—错误!在错误!上单调递减，易求得f（x）∈[—7,１）；当x＞—错误!时，f（x）＝log错误!，12此时f（x）在错误!上单调递减，易求得f（x）∈（—∞，２），∴f（x）的值域为（—∞，２）．故存在a∈R，使得f（a）＋g（b）＝0⇒—g（b）＝f（a）∈（—∞，２）⇒b２＋２b＋２＜２⇒b ∈（—２,0）．答案：（—２,0）３．（２0１8·南通期末）已知函数f（x）＝错误!则不等式f（x２—２）＋f（x）＜0的解集为__________．解析：函数f（x）＝错误!的图象如图所示，所以f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，所以不等式f（x２—２）＋f（x）＜0⇔f（x２—２）＜f（—x）⇔x２—２＜—x，解得—２＜x＜１，所以原不等式的解集为（—２,１）．答案：（—２,１）一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·淮安调研）函数f（x）＝错误!的定义域是________．解析：由lg（５—x２）≥0，得５—x２≥１，即x２≤４，解得—２≤x≤２．∴函数f（x）＝错误!的定义域是[—２,２]．答案：[—２,２]２．（２0１8·苏州高三期中调研）函数y＝错误!的定义域为________．解析：由错误!解得x＞１，且x≠２，所以函数的定义域为（１,２）∪（２，＋∞）．答案：（１,２）∪（２，＋∞）３．已知f错误!＝２x—５，且f（a）＝6，则a＝________.解析：令t＝错误!x—１，则x＝２t＋２，f（t）＝２（２t＋２）—５＝４t—１，则４a—１＝6，解得a＝错误!.答案：错误!４．已知f（x）是一次函数，满足３f（x＋１）＝6x＋４，则f（x）＝________.解析：设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（x＋１）＝a（x＋１）＋b＝ax＋a＋b，依题设，３ax＋３a＋３b＝6x＋４，∴错误!∴错误!则f（x）＝２x—错误!.答案：２x—错误!５．（２0１9·盐城模考）已知函数f（x）＝错误!若f（0）＝３，则f（a）＝________.解析：因为f（0）＝３，所以a—２＝３，即a＝５，所以f（a）＝f（５）＝9．答案：96．设函数f（x）＝错误!则f（f（２））＝________，函数f（x）的值域是________．解析：因为f（２）＝错误!，所以f（f（２））＝f错误!＝—错误!.当x＞１时，f（x）∈（0,１），当x≤１时，f（x）∈[—３，＋∞），所以f（x）∈[—３，＋∞）．答案：—错误![—３，＋∞）二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·如东高级中学高三学情调研）设函数f（x）＝错误!则f（—２）＋f（log２１２）＝________.解析：因为f（—２）＝１＋log２４＝３，f（log２１２）＝２log２１２—１＝6，所以f（—２）＋f（log２１２）＝9．答案：9２．（２0１8·苏州期末）函数f（x）＝错误!的值域为________．解析：画出f（x）的图象如图所示，可看出函数的值域为（—∞，１]．答案：（—∞，１]３．（２0１8·南京名校联考）f（x）＝错误!则f错误!＝________.解析：因为f错误!＝log３错误!＝—２，所以f错误!＝f（—２）＝错误!—２＝9．答案：9４．（２0１9·南通调研）函数f（x）＝错误!＋lg（x＋１）的定义域是________．解析：由题意得错误!⇒x＞—１且x≠１，所以函数f（x）的定义域是（—１,１）∪（１，＋∞）．答案：（—１,１）∪（１，＋∞）５．（２0１8·启东中学检测）已知函数y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，则函数y＝f（x）的定义域为________．解析：因为y＝f（x２—１）的定义域为[—错误!，错误!]，所以x∈[—错误!，错误!]，x２—１∈[—１,２]，所以y＝f（x）的定义域为[—１，２]．答案：[—１,２]6．已知具有性质：f错误!＝—f（x）的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：１y＝x—错误!；２y＝x＋错误!；３y＝错误!其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于１，f（x）＝x—错误!，f错误!＝错误!—x＝—f（x），满足；对于２，f错误!＝错误!＋x ＝f（x），不满足；对于３，f错误!＝错误!即f错误!＝错误!故f错误!＝—f（x），满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是１３.答案：１３7．（２0１9·扬州一模）若函数f（x）＝错误!为奇函数，则f（g（２））＝________.解析：因为函数f（x）＝错误!为奇函数，所以当x＞0时，—x＜0，则f（—x）＝２x—２＝—f（x），所以f（x）＝—２x＋２，即g（x）＝—２x＋２．所以g（２）＝—２２＋２＝—２，f（g（２））＝f（—２）＝２２—２＝２．答案：２8．已知函数f（x）＝错误!若f（１）＝错误!，则f（３）＝________.解析：由f（１）＝错误!，可得a＝错误!，所以f（３）＝错误!２＝错误!.答案：错误!9．（２0１9·泰州一调）设函数f（x）＝错误!若f（x）＞２，则x的取值范围是________．解析：不等式f（x）＞２可化为错误!或错误!解得x＞错误!或x＜—１．答案：（—∞，—１）∪错误!１0．（２0１9·无锡一中月考）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝log错误!f（x）的定义域是________．解析：要使函数g（x）有意义，需f（x）＞0，由f（x）的图象可知，当x∈（２,8]时，f（x）＞0．答案：（２,8]１１．（２0１9·南京金陵中学月考）二次函数f（x）满足f（x＋１）—f（x）＝２x，且f（0）＝１．（１）求f（x）的解析式；（２）若在区间[—１,１]上，函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝２x＋m的上方，试确定实数m的取值范围．解：（１）由f（0）＝１，可设f（x）＝ax２＋bx＋１（a≠0），故f（x＋１）—f（x）＝a（x＋１）２＋b（x＋１）＋１—（ax２＋bx＋１）＝２ax＋a＋b，由题意得错误!解得错误!故f（x）＝x２—x＋１．（２）由题意，得x２—x＋１＞２x＋m，即x２—３x＋１＞m，对x∈[—１,１]恒成立．令g（x）＝x２—３x＋１，则问题可转化为g（x）min＞m，又因为g（x）在[—１,１]上递减，所以g（x）min＝g （１）＝—１，故m＜—１，即实数m的取值范围为（—∞，—１）．１２．（２0１8·南京期末）已知二次函数f（x）满足f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点．（１）求二次函数f（x）的解析式；（２）已知集合U＝[１,４]，B＝错误!，求∁U B.解：（１）设f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），因为f（１）＝１，f（—１）＝５，且图象过原点，所以错误!解得a＝３，b＝—２，所以f（x）＝３x２—２x.（２）y＝错误!＝３—错误!，当x∈[１,４]时，函数y＝３—错误!是增函数，当x＝１时，y取得最小值１；当x＝４时，y取得最大值错误!，所以B＝错误!，又集合U＝[１,４]，故∁U B＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知实数a≠0，函数f（x）＝错误!若f（１—a）＝f（１＋a），则a＝________.解析：当a＞0时，１—a＜１,１＋a＞１．由f（１—a）＝f（１＋a）得２—２a＋a＝—１—a—２a，解得a＝—错误!，不合题意；当a＜0时，１—a＞１,１＋a＜１，由f（１—a）＝f（１＋a）得—１＋a—２a＝２＋２a＋a，解得a＝—错误!，所以a的值为—错误!.答案：—错误!２．定义在R上的函数f（x）满足f（x＋２）＝２f（x），若当0≤x≤２时，f（x）＝x（２—x），则当—４≤x≤—２时，f（x）＝________.解析：由题意知f（x＋４）＝２f（x＋２）＝４f（x），当—４≤x≤—２时，0≤x＋４≤２，所以f（x）＝错误!f（x＋４）＝错误!（x＋４）[２—（x＋４）]＝—错误!（x＋４）（x＋２），所以当—４≤x≤—２时，f（x）＝—错误!（x＋４）（x＋２）．答案：—错误!（x＋４）（x＋２）３．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）满足下列关系：y＝错误!＋mx＋n（m，n是常数）．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/时）的关系图．（１）求出y关于x的函数表达式；（２）如果要求刹车距离不超过２５．２米，求行驶的最大速度．解：（１）由题意及函数图象，得错误!解得m＝错误!，n＝0，所以y＝错误!＋错误!（x≥0）．（２）令错误!＋错误!≤２５．２，得—7２≤x≤70．因为x≥0，所以0≤x≤70．故行驶的最大速度是70千米/时．。