函数模型及其应用(教学案)-2015年高考数学(文)一轮复习精品资料(新课标)(精品解析版)

函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[试一试]据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x 的函数关系是____________．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：[练一练]如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN 取最小值时，CN ＝________.考点一一次函数与二次函数模型1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．2．将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二分段函数模型[典例]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．[类题通法]应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．[针对训练]某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．考点三指数函数模型[典例] 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[类题通法]应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．[课堂练通考点]1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费________元．2．(2013·南通调研)甲地与乙地相距250 km.某天小袁从上午7：50由甲地开车前往乙地办事．在上午9：00,10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有 1 h到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有________km.3．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是关于经过年数x(0<x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成_____________________．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·苏锡常镇一调)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.2．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是________层．3.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________．4.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．5．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．6．(2014·连云港模拟)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2ln x＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.3)．2.(2014·苏州一调)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠P AQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠P AB＝θ，tan θ＝t.(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？3．(2013·徐州调研)徐州、苏州两地相距500 km，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比(比例系数都为k1)，与距离的平方成反比(比例系数都为k2)，又知甲油井排出的废气浓度是乙油井的8倍．(1)设乙油井排出的废气浓度为a(a为常数)，度假村P距离甲油井x km，度假村P受到甲、乙两油井的污染程度和记为f(x)，求f(x)的解析式并求其定义域；(2)度假村P距离甲油井多少时，甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？。

高三新数学第一轮复习教案—函数模型及其应用一．课标要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

二．命题走向函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。

高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。

出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。

预测的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。

（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。

三．要点精讲1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。

知识归纳1．求解函数应用问题的思路和方法2．函数建模的基本流程误区警示求解函数应用题时，关键环节是审题，审题时：一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言，用数学表达式加以表示；三是弄清给出什么条件，解决什么问题，通过何种数学模型加以解决；四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算，并对运算结果作出实际解释．3．常见函数模型的理解（1）一次函数模型（其增长特点是直线上升（x 的系数0>k ），通过图象可很直观地认识它）、 二次函数型、正反比例函数型（2）指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快)1(>a ，常形象地称之为“指数爆炸”。

（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快)1(>a ，但随着x 的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。

（4）幂函数模型：能用幂函数表示表达的函数模型，其增长情况随nx 中n 的取值变化而定，常见的有二次函数模型。

（5）分式（“勾”） 函数模型：形如)0,0()(>>+=x a x a x x f 的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。

四．典例解析题型1：正比例、反比例、一次函数型和二次函数型例1．某种商品原来定价为每件a 元时，每天可售出m 件，现在把定价降低x 个百分点（即x ％）后，售出数量增加了y 个百分点，且每天的销售额是原来的k 倍。

（1） 设y=nx ，其中n 是大于1的常数，试将k 写成x 的函数；（2） 求销售额最大时x 的值（结果可用喊n 的式子表示）；（3） 当n ＝2时，要使销售额比原来有所增加，求x 的取值X 围。

解：（1）依题意有a(1-x%)×m(1+y%)=kam，将y=nx 代入，化简得2(1)110000100nx n x k -=-++ （2）由（1）知当50(1)n x n-=时，k 值最大。

3.4.2 函数模型及其应用（2）教学目标：1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解. 教学难点：对图、表的理解.教学方法：讲授法，尝试法.教学过程：一、情境创设已知矩形的长为4，宽为3，如果长增加x ，宽减少0.5x ，所得新矩形的面积为S ． （1）将S 表示成x 的函数；（2）求面积S 的最大值，并求此时x 的值． 二、学生活动 思考并完成上述问题． 三、例题解析例1 有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．例2 一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：A BO C DE要使每天收入最高，每间客房定价为多少元？ 例3 今年5月，荔枝上市．由历年的市场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线ABCD 表示(市场售价的单位为元／500g)．请写出市场售价S (t )(元)与上市时间t (天)的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．练习：1．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )2．一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x (cm)与注入溶液的时间t (s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是( )200个．若这种商品每涨价1元，销售量则减少26个．（1）售价为15元时，销售利润为多少？（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？A CDB hH C D5．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足：f(t)＝111(020)241(2040)t t t Nt t t N⎧+<∈⎪⎨⎪-+∈⎩≤,≤≤,，销售量g(t)与时间t满足：g(t)＝14333t-+(0≤t≤40，t N)，求这种商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业课本P110－10．。

第9课时函数模型及其应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．『梳理自测』一、常见的函数模型1．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A．y＝2x－2 B．y＝12(x2－1)C．y＝log3x D．y＝2x－23．(教材改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．『答案』A 2.B 3.y＝a(1＋r)x，x∈N* 4.2 500◆以上题目主要考查了以下内容：二、三种增长型函数之间增长速度的比较(教材改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)『答案』B◆此题主要考查了以下内容：(1)指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时有a x＞x n．(2)对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)对数函数y＝log a x(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x＞x0时有log a x＜x n．由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时有a x＞x n＞log a x(a＞1，n ＞0)．『指点迷津』1．一个防范特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．二个关键一个关键是正确选择自变量，第二个关键是抓住某些量之间的相等关系列函数式．3．四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论．考向一由函数图象模拟实际问题如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不．正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个『审题视点』等速度注入水，即等容量注入水，当时间t等量变化时，可考虑水面高度h的变化快慢．『典例精讲』①中，平行于底面的横截面处处相等，水面高度h随着时间t的等量增加，h也等量增加，故h是t的一次函数关系，其对应图象是错的．②中，随着时间等量增加，横截面越来越大，水面高度h增加的也越来越小，其图象符合题意．③中，在中截面以下，h随t等量增加，其增加量越来越小，在中截面以上，其增加量越来越大，其图象符合题意．④中，随着t等量增加，h变化先是越来越大后又越来越小，其图象符合题意．『答案』A『类题通法』将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．1．如图所示，向高为H的容器A，B，C，D中同时以等速注水，注满为止：(1)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的(a )，则容器的形状是________；(2)若水量v 与水深h 的函数图象是下图中的(b )，则容器的形状是________；(3)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图中的(c )，则容器的形状是________；(4)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图中的(d )，则容器的形状是________．『解析』(1)若h (t )的图象是(a )，h (t )是t 的正比例函数，h 随t 等比例增，其容器为C.(2)若v (h )的图象是(b )即指数型，v 随h 的变化越来越大，所以容器是A.(3)若h (t )的图象是(c )，h 随t 的变化是先快后缓再快，呈对称变化为容器D.(4)若t (h )的图象是(d )，当同样深度的水所用时间的变化由大到小，即相对于前一次注水的容量越来越少，时间的变化越来越小，容器为B.『答案』(1)C (2)A (3)D (4)B考向二 利用已知函数模型解决实际问题(2014·山东高考命题原创卷)随着全球债务危机的深化，中国某陶瓷厂为了适应发展，制定了以下生产计划，每天生产陶瓷的固定成本为14 000元，每生产一件产品，成本增加210元．已知该产品的日销售量f (x )(单位：件)与产量x (单位：件)之间的关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1625x 2（0≤x ≤400）x －144（400＜x ＜500），每件产品的售价g (x )(单位：元)与产量x 之间的关系式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－58x ＋750（0≤x ≤400）－x ＋900（400＜x ＜500）. (1)写出该陶瓷厂的日销售利润Q (x )(单位：元)与产量x 之间的关系式；(2)若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产多少件产品，并求出最大利润． 『审题视点』 利用f (x )与g (x )及成本函数l (x )之间的关系构造Q (x )，并按分段函数求最值．『典例精讲』 (1)设总成本为c (x )(单位：元)，则c (x )＝14 000＋210x ，所以日销售利润Q (x )＝f (x )g (x )－c (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－11 000x 3＋65x 2－210x －14 000（0≤x ≤400）－x 2＋834x －143 600（400＜x ＜500）. (2)由(1)知，当0≤x ≤400时，Q ′(x )＝－31 000x 2＋125x －210. 令Q ′(x )＝0，解得x ＝100或x ＝700(舍去)．易知当x ∈『0，100)时，Q ′(x )＜0；当x ∈(100，400』时，Q ′(x )＞0.所以Q (x )在区间『0，100)上单调递减，在区间(100，400』上单调递增．因为Q (0)＝－14 000，Q (400)＝30 000，所以Q (x )在x ＝400时取到最大值，且最大值为30 000.当400＜x ＜500时，Q (x )＝－x 2＋834x －143 600.当x ＝－8342×（－1）＝417时，Q (x )取得最大值，最大值为 Q (x )max ＝－4172＋834×417－143 600＝30 289.综上所述，若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产417件产品，其最大利润为30 289元．『类题通法』 若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．2．某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在下图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？『解析』(1)P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0＜t ≤20，－110t ＋8，20＜t ≤30.(t ∈N *) (2)设Q ＝at ＋b (a ，b 为常数)，把(4，36)，(10，30)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30.∴a ＝－1，b ＝40. 所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝－t ＋40，0＜t ≤30，t ∈N *.(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫15t ＋2×（40－t ），0＜t ≤20，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8×（40－t ），20＜t ≤30.即y ＝⎩⎨⎧－15（t －15）2＋125，0＜t ≤20.110（t －60）2－40，20＜t ≤30，(t ∈N *) 当0＜t ≤20时，y 有最大值y max ＝125万元，此时t ＝15；当20＜t ≤30时，y 随t 的增大而减小，y max ＝110(20－60)2－40＝120万元． 所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．考向三 自建函数模型应用题诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：2013年诺贝尔奖金发放后基金总额约为26 136万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(2013年记为f (1)，2014年记为f (2)，……依次类推)(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式计算2023年度诺贝尔奖各项奖金的数目．(参考数据：1.0 3129＝1.32)『审题视点』 当年奖金发放后的总数就是该年的本息之和去掉该年利息的一半．『典例精讲』 由题意知：f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)×6.24%＝f (1)(1＋3.12%) f (3)＝f (2)(1＋6.24%)－12f (2)×6.24% ＝f (2)(1＋3.12%)＝f (1)(1＋3.12%)2∴f (x )＝26 136×(1＋3.12%)x －1(x ∈N *)(2)2022年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝26 136×(1＋3.12%)9＝34 499.52(万美元)故2023年各项奖金为16×12f (10)×6.24%≈179.4(万美元) 2023年诺贝尔奖各项奖金为179.4万美元．『类题通法』 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．3．某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)．试求f (x )和g (x )；(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？『解析』(1)f (x )＝5x ，15≤x ≤40，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤302x ＋30，30＜x ≤40. (2)由f (x )＝g (x )得，⎩⎪⎨⎪⎧15≤x ≤305x ＝90，或⎩⎪⎨⎪⎧30＜x ≤405x ＝2x ＋30， 即x ＝18或x ＝10(舍)．当15≤x ＜18时，f (x )－g (x )＝5x －90＜0，∴f (x )＜g (x )，即选甲家；当x ＝18时，f (x )＝g (x )，既可以选甲家，也可以选乙家；当18＜x ≤30时，f (x )－g (x )＝5x －90＞0，∴f (x )＞g (x )，即选乙家；当30＜x ≤40时，f (x )－g (x )＝5x －(2x ＋30)＝3x －30＞0，∴f (x )＞g (x )，即选乙家．综上所述，当15≤x ＜18时，选甲家，当x ＝18时，可以选甲家，也可以选乙家，当18＜x ≤40时，选乙家．函数实际应用题的解答方法(2014·郑州市高三质检)如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？『方法分析』 ①弄清条件是什么，解题目标是什么：题目条件：汽车行驶方向及速度，人所在位置M 及到公路的垂直距离．解题目标：人至少提前到达公路与汽车会合时所应有的速度．②关于探索：M 到公路的垂直距离隐含了直角三角形，可求角的余弦值．当摩托车行驶的距离到达公路时，恰好与汽车会合，形成三角形，是摩托车的最小速度转化为三角形的余弦定理，研究三角形边的关系．『解答过程』 作MI 垂直公路所在直线于点I ，则MI ＝3，∵OM ＝5，∴OI ＝4，∴cos ∠MOI ＝45. 设骑摩托车的人的速度为v 公里/小时，追上汽车的时间为t 小时，由余弦定理得(vt )2＝52＋(50t )2－2×5×50t ×45， 即v 2＝25t 2－400t ＋2 500＝25(1t－8)2＋900≥900， ∴当t ＝18时，v 取得最小值为30， ∴其行驶距离为vt ＝308＝154公里． 故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了154公里． 『回归反思』 ①此题大胆构造三角形(直角三角形和一般三角形)是解题的入手点，从此可发现速度v 与时间t 的关系．②此题目标是求v 的最小值，故利用二次函数求最小值．1．(2013·高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．『15，20』B．『12，25』C．『10，30』D．『20，30』『解析』选C.利用三角形相似求出矩形的边长，再利用面积关系求解自变量的取值范围．设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，x40＝40－y40，∴y＝40－x.∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是()『解析』选C.距学校的距离应逐渐减小，由于小明先匀速运动，故前段是直线段，途中停留距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.3．(2012·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．『解析』(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立 ⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)『解析』(1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20＜x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13（200－x ）， 20＜x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x （200－x ）， 20＜x ≤200. 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎡⎦⎤x ＋（200－x ）22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间『20，200』上取得最大值10 0003.高三数学一轮复习教案11 综上，当x ＝100时，f (x )在区间『0，200』上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。

高一数学必修教案《函数模型及其应用》自己整理的高一数学必修教案《函数模型及其应用》相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！[第1条]【内容】建立描述现实问题的功能模型【内容分析】功能模型本身来源于现实，用于解决实际问题。

因此，这一节的内容是让学生有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，实现数学在实际问题中的应用价值。

同时，本课题是学生在学习初中函数的形象和性质的基础上，刚刚进入高中的探究式课堂教学。

学生在解决某一具体问题的过程中，可以从理解知识升华到熟练应用知识，从而辩证地看待知识理解与知识应用的关系，这种关系与所学的功能知识是紧密联系、相辅相成的。

另一方面，函数模型本身是与实际问题相结合的，空谈理论只能导致学生无法真正理解函数模型的应用以及在应用过程中建立和解决问题的过程，而从简单、典型、熟悉的函数模型中提取的思想和方法更容易被学生接受。

同时，学生要从简单的例子中学习，感受函数模型的选择和建立。

由于函数模型的建立离不开函数图像和数据表，会有一定量的原始数据处理，可能会用到计算机、计算器和图形工具，我们的教学更应该注重通过对实际问题的分析过程来选择合适的函数模型和函数模型的构建过程。

在这一过程中，学生应注重模型的建立，同时体验模型建立的可操作性和有效性，学习模型建立解决实际问题，培养和发展组织思维和表达能力，提高逻辑思维能力。

[教学目标](1)反映建立功能模型描述实际问题的基本过程。

(2)了解功能模型的广泛应用(3)通过学生的操作和探究，提高学生发现、分析和解决实际问题的能力(4)提高学生探索和学习新知识的兴趣，培养学生勇于探索的科学态度【重点】了解并建立一个功能模型来描述现实问题的基本过程，了解功能模型的广泛应用【难点】建立函数模型描述实际问题中的数据处理【教学目标分析】通过对整堂课抽样样本的分析和处理，学生认识到这门课的重点是用函数建模来刻画实际问题的基本过程，提高解决实际问题的能力。