湘教版高中数学必修三第6章立体几何初步单元检测.doc

双基达标(限时20分钟)1．如果两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与平面α的位置关系为()．A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交解析∵a和b相交，a∥平面α.∴b与平面α可能平行，也可能相交．故选D.答案 D2．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为()．A．60°B．120°C．30°D．60°或120°解析由定理1可知β＝60°或120°.答案 D3．设AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1平行的棱共有()．A．1条B．2条C．3条D．4条或6条解析A1A∥B1B，A1A∥DD1.又BB1∥CC1.∴A1A∥CC1.与AA1平行的棱共有3条．答案 C4．若点A∈面α，点B∉α，则直线AB与面α内的直线的位置关系可能有________．解析当面α内的直线过点A时，AB与它相交，当面α内的直线不过点A 时，AB与它异面．答案相交或异面5．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是________．解析(1)图；分别与异面直线a，b平行的两条直线c，d是相交关系．(2)图；分别与异面直线a，b平行的两条直线c，d是异面关系．答案异面或相交6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？解∵B1∈平面A1C1，D1∈平面A1C1，∴B1D1⊂平面A1C1.∵B1∈平面BC1，D1∉平面BC1，∴直线B1D1∩平面BC1＝B1.∴直线B1D1与平面BC1相交．同理直线B1D1与平面AB1、平面AD1、平面CD1都相交．在平行四边形B1BDD1中，B1D1∥BD，B1D1与BD无公共点，∴B1D1与平面AC无公共点，∴B1D1∥平面AC.综合提高(限时25分钟)7．若一直线上有两点在已知平面外，则下列命题正确的是()．A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内解析一直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交．相交时有且只有一个点在平面内，故A不对，C不对；直线与平面平行时，直线没有一个点在平面内，故D不对．答案 B8．下列命题：①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面．其中正确的个数为()．A．0 B．1C．2 D．3解析①错．直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点．没有公共点的两条直线除了平行之外，还有可能异面，因此命题①是错误的；②对．③错．过平面外一点有无数条直线与已知平面平行；④错．直线还可以与平面相交．答案 B9．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.解析因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.答案∈10．如图所示的各正方体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．解析①②③中四点共面，④不共面．答案①②③11．求证：两条平行线中的一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交．解已知：直线a∥b，a∩平面α＝P，如图．求证：直线b与平面α相交．证明：∵a∥b，∴a和b确定一平面，设为β.∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过P点的直线，设为l.∵在平面β内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交，∴l必与b相交于Q，即b∩l＝Q.又∵b不在平面α内(若b在α内，由a∥b，得a∥α，与a与α相交矛盾)，∴直线b和平面α相交．12．(创新拓展)空间四边形ABCD中，对角线为AC和BD，点E、F、G、H、M、N分别为AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点．求证：线段EG、FH、MN必交于一点，且被该点平分．证明连接EF、FG、GH、HE.∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥GH，EH∥FG.∴四边形EFGH是平行四边形．设EG∩FH＝O，则O点平分EG、FH；同理四边形MFNH是平行四边形，设MN∩FH＝O′，则O′平分MN、FH，即点O与O′都是FH的中点，从而两点重合，即MN也过EG与FH的交点，∴三条线段相交于一点O，且被O点平分．。

双基达标 (限时20分钟)1．一个正方体的表面积为6，并且正方体的各个顶点都在一个球面上，则此球的体积为( )．A.4π3B.6π8C.6πD.3π2解析 设正方体的边长为a ，球的半径为R ，则6a 2＝6，∴a ＝1， ∴2R ＝3，即R ＝32 V ＝43πR 3＝43π×338＝32π 答案 D2．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为( )．A. 2B. 3C.62D.233解析 设正方体棱长为a ，S正方体全＝6a 2，而正四面体的棱长为2a ，S正四面体全＝4·34(2a )2＝23a 2， ∴S 正方体全S 正四面体全＝6a 223a 2＝ 3. 答案 B3．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是9和15，高是5，则这个棱柱的侧面面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．160解析 如右图，直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝5，BD1＝9，A1C＝15，可求得AC＝152－52＝102，BD＝92－52＝214.所以AB＝BC＝C1B1＝A1B1＝50＋14＝8.所以棱柱侧面积为4×5×8＝160.答案 D4．一个球的表面积扩大为原来的3倍，那么该球的体积扩大为原来的________倍．解析球的表面积扩大为原来的3倍，则球的半径扩大为原来的3倍，所以球的体积扩大为原来的(3)3＝33倍．答案3 35．已知圆锥的高为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为________．解析由题意知圆锥的底面半径r＝52－42＝3.∴S侧＝12×2π×3×5＝15π.答案15π6．在球中有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．解(1)当球心在两截面同侧时，如图甲，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2，设球的半径为R，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm)．同理π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm)设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9) cm在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15.∴R＝25(cm)∴S球＝4πR2＝2 500π(cm2)，∴球的表面积为2 500π cm2.(2)当球心在两个截面之间时，如图乙所示．设OD＝x，则OC＝9－x.由题意得π·AC2＝49π∴AC＝7 cm.同理可得BD＝20 cm.设球半径为R，则由题意得x2＋202＝R2＝(9－x)2＋72即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程无正数解，即此种情况不可能．综上所述，所求球的表面积为2 500π cm2.综合提高(限时25分钟)7．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是()．A．3∶2 B．2∶1C．4∶3 D．5∶3解析设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝l×2π3，∴r＝l3，∴S圆锥表S圆锥侧＝πr·l＋πr2πr·l＝π·l3·l＋π·l29π·l3·l＝43.答案 C8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a . 如图，设O 、O 1分别为下、上底面中心，且球心O 2为O 1O 的中点，又AD ＝32a ，AO ＝33a ，OO 2＝a 2，设球的半径为R ，则R 2＝AO 22＝13a 2＋14a 2＝712a 2. ∴S 球＝4πR 2＝4π×712a 2＝73πa 2.答案 B9．一个棱台的高为20 cm ，体积为1 720 cm 3，两底面对应边的比为5∶8，则这个棱台的两个底面积为________．解析 设这个棱台的两底面面积为S 1，S 2，则S 1∶S 2＝25∶64. ∴V ＝13h (S 1＋S 2＋S 1S 2) ＝13×20(S 2＋2564S 2＋2564S 22)＝13×20(S 2＋2564S 2＋58S 2)＝1 720. ∴S 2＝128 cm 2，S 1＝2564×128＝50 cm 2. 答案 50 cm 2,128 cm 210．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm 3.解析 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为13×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.答案 14411．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解 (1)由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD 是边长为6和8的矩形，高VO ＝4，O 点是AC 与BD 的交点．∴该几何体的体积V ＝13×8×6×4＝64.(2)如图所示，侧面VAB 中，VE ⊥AB ，则VE ＝VO 2＋OE 2＝42＋32＝5， ∴S △VAB ＝12×AB ×VE ＝12×8×5＝20.侧面VBC 中，VF ⊥BC ，则VF ＝VO 2＋OF 2＝42＋42＝4 2. ∴S △VBC ＝12×BC ×VF ＝12×6×42＝122， ∴该几何体的侧面积S ＝2(S △VAB ＋S △VBC )＝40＋24 2.12．(创新拓展)一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．解 如图，设钢球的半径为R ，得钢球的体积为V 球＝43πR 3.钢球被放入水中后，瓶里所装的水由8 cm 上升到8.5 cm ，可得水实际升高0.5 cm.∴升高的水的体积V 水＝πr 2×h ＝π×32×0.5＝4.5π. ∵V 球＝V 水，∴43πR 3＝4.5π， ∴R 3＝4.5×34＝278， ∴R ＝32＝1.5(cm)． 故钢球的半径为1.5 cm.。

2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A B ．C ．132D ． （2013年高考辽宁卷（文））2．设,m n 是平面α内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β内的两条相交直线，则α//β的一个充分而不必要条件是A .m //β且//l αB . 1//m l 且2//n lC .//m β且//n βD . //m β且2//n l (2009福建理)3．已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。

将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直4．空间四点中，有且仅有三点共线是这四点共面的-----------------------------------------------（ ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)以上都不对5．若点E F G H 、、、顺次为空间四边形ABCD 四边AB BC CD DA 、、、的中点，且3,4EG FH ==，则22AC BD +等于---------------------------------------------------------------（ ）(A) 25 (B) 50 (C) 100 (D) 206．下面各图中，P Q R S 、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是------（ ）(A) (B) (C) (D) 二、填空题7．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，90=∠ABC ，1===BC AB PA ，则PC 与底面ABC 所成角的正切值．．．为 ▲ ．8．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长是10，则圆锥的母线长是 ___9．设,M N 是球O 半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O ，作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为__________10． a ，b ，c 是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； 上述命题中正确的是________(只填序号)．11．如图，已知 PA ⊥Rt △ABC 所在的平面，且AB ⊥BC ，连结PB 、PC ，则图中直角三角形的个数是__________个．PABC（第8题）CBAP12．下列说法正确的有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． ①三点确定一个平面； ②四边形一定是平面图形；③梯形一定是平面图形； ④平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点． 13． 正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线AC 与1BC 所成的角为 _____ 14．给出下列命题：(1) 三条平行直线共面；(2) 在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；(3) 有三个公共点的两平面重合；(4) 若直线a b c 、、满足,a b a c ⊥⊥、则//b c . 其中正确命题的个数是 ．15．如图,,测量河对岸的塔高AB 时,选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D,测得120BDC ∠=,10CD =米,并在点C 测得塔顶A 的仰角为60,则塔高AB=_______.16．已知正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此三棱锥的体积为_________.17．正三棱锥S －ABC 中，BC ＝2，SB ＝3，D 、E 分别是棱SA 、SB 上的点，Q 为边AB 的中点，SQ ⊥平面CDE ，则三角形CDE 的面积为________． 解析：由Q 为边AB 的中点得SQ ⊥AB ，又SQ ⊥平面CDE ，得DE ∥AB ，且SQ 交DE 于M 点，另由BC ＝2，SB ＝3可求CQ ＝SC 且SQ ⊥CM ，得M 为SQ 的中点，从而DE ＝1，CM ＝102，则三角形CDE 的面积为104.18．圆台的上、下底面面积分别为4和16，中截面把圆台分成两部分，试求这两部分的体积之比为________．解析：设这两部分的体积分别为V 1，V 2，圆台的高为2h ，上、下底面的面积之比为14，∴上、下底面的半径之比为12，∴截得圆台的大圆锥的高为4h ，设截得圆台的大圆锥被圆台上底面截下的小圆锥的体积为V ，则VV ＋V 1＝⎝⎛⎭⎫2h 3h 3＝827，∴V 1＝198V .又V ＋V 1V ＋V 1＋V 2＝⎝⎛⎭⎫3h 4h 3＝2764.∴V ＋V 1V 2＝2737.∴V 2＝378V .∴V 1V 2＝1937.19．若一个长方体的长、宽、高分别为5米、4米、3米，则其外接球的表面积为 米2.20．若两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为____________三、解答题21．如图，在正四棱锥P ABCD -中，点M 为棱AB 的 中点，点N 为棱PC 上的点.（1）若PN NC =，求证：//MN 平面PAD ； （2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假. 若为真，请证明；若为假，请举反例.22．如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,13,2AB AC AA BC ====,D 是BC 的中点,E 为AB 的中点,F 是1CC 上一点,且2CF =. (1)求证:1//C E 平面ADF ;(2)试在1BB 上找一点G ,使得CG ⊥平面ADF ; (3)求三棱锥1C ADF -的体积.DN（第16题）PABC M Q23．如图，在多面体A B C D E 中，⊥AE 面ABC ，BD ∥AE ，且BD BC AB AC ===2=，1=AE ，F 为CD 中点．（1）求证：EF// 平面ABC ；（2）求证：⊥EF 平面B CD (15分)24．在四面体ABCD 中，,CB CD AD BD =⊥，且,E F 分别是,AB BD 的中点。

立体几何练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（）（A）48 （B）64 （C）96 （D）1922．棱长都是的三棱锥的表面积为（）A. B. C. D.3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．B．C．D．都不对4、在空间四边形中，、、、上分别取、、、四点，如果、交于一点，则（）A．一定在直线上B．一定在直线上C．在直线或上D．既不在直线上，也不在上5、若、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C. 若，则 D．若，则6、已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.07.平面与平面平行的条件可以是（）A.内有无穷多条直线与平行；B.直线a//,a//C.直线a,直线b,且a//,b//D.内的任何直线都与平行8、如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A,B,C对面的字母分别为（）A) D ,E ,F B) F ,D ,EC) E, F ,D D) E, D,F二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角 .10、如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1—BD—C的大小为 .11.已知直线b//平面，平面//平面，则直线b与的位置关系为 . 12．正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿13如图，△ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有个直角三角形14.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：（1）AC⊥BD；（2）△ACD是等边三角形（3）AB与平面BCD所成的角为60°；（4）AB与CD所成的角为60°。

双基达标(限时20分钟)1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()．A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上判断都不对解析可借助长方体模型来判断，两个平面可能平行也可能相交．答案 C2．已知α、β是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定α∥β的是()．A．α、β都平行于直线lB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l、m是两条异面直线，且l∥β，m∥β，l∥α，m∥α解析在α内取一点A，过A作l1∥l，m1∥m，在β内取一点B，过B作l2∥l，m2∥m，则l1∥l2，m1∥m2，用面面平行的判定定理可得．答案 D3．若α∥β，a⊂α，则下列四个命题中正确的是()．①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④α与β无公共点．A．①②B．②④C．②③D．③④解析由性质知①错；由定义知②正确；因为a与β内直线可能异面垂直，故③错；由定义知④正确．故选B.答案 B4．已知直线a与直线b，平面α与平面β满足下列关系，a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则α与β的位置关系是________．解析a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，但是直线a与直线b的关系未确定，如果直线a与直线b平行，那么α与β可能相交或平行，如果直线a与直线b相交，那么α与β平行．答案平行或相交5．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，DEDF＝25，则AC＝________.解析∵α∥β∥γ，∴ABBC＝DEEF.由DEDF＝25，得DEEF＝23，∴ABBC＝23.而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.答案156．如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC的中点．求证：AB1∥平面BEC1.证明取A1C1的中点F，连接AF，B1F，∵E为AC的中点，∴AF∥C1E.∵AF⊄平面BEC1，C1E⊂平面BEC1∴AF∥平面BEC1.由E、F分别是AC、A1C1的中点，EF綊AA1綊BB1，∴BE綊B1F.又∵B1F⊄平面BEC1，BE⊂平面BEC1∴B1F∥平面BEC1.∵B1F∩AF＝F，∴平面BEC1∥平面AB1F.∵AB1⊂平面AB1F，∴AB1∥平面BEC1.综合提高(限时25分钟)7．P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段P A、PB、PC于A′、B′、C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝()．A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5解析由面面平行的性质定理知，A′B′∥AB，A′B′∶AB＝P A′∶P A＝2∶5，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.答案 B8．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()．A．0 B．1C．2 D．3解析设m∩n＝P，则直线m，n可确定一个平面，设为γ，由面面平行的判定定理知，α∥γ，β∥γ，因此，α∥β，即命题①正确；在长方体ABCD-A1B1C1D1中，C1D1∥平面ABCD，C1D1∥平面ABB1A1，但平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，即满足命题②的条件，但平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此命题②不正确；同样可知，命题③也不正确．故选B.答案 B9．已知平面α∥平面β，点A、C∈α，点B、D∈β，直线AB、CD交于点S.已知AS＝8，BS＝9，CD＝34.若点S不在平面α、β之间，则SC＝________.解析如图所示，AB∩CD＝S，则AB、CD确定一个平面，设为γ，α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.因为α∥β，所以AC∥BD，于是SASB＝SCSD，即89＝SCSC＋34，解得SC＝272.答案27210．已知a，b表示两条直线，α，β，表示两个不重合的平面．若a⊂α，a ∥β，α∩β＝b，则a、b的关系是________．答案平行11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.证明如右图所示，连接B1D1，B1C.∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD∴PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD.12．(创新拓展)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，问在棱PC上能否找到一点F，使BF∥平面AEC？试说明你的理由．解如右图所示，当F是PC的中点时，BF∥平面AEC.证明：取PE的中点M，连接MF，BM，则MF∥CE.而MF⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，∴MF∥平面AEC.连接BD交AC于O，连接OE，则由四边形ABCD是菱形知O是BD的中点．由已知PE∶ED＝2∶1，M是PE的中点知E是MD的中点．∴OE∥BM.而BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴BM∥平面AEC.又∵MF∩BM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.而BF⊂平面BMF，∴BF∥平面AEC.。

2019年高中数学单元测试卷立体几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）A B ．C ．132D ． （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））2．设四面体的六条棱的长分别为a ,且长为a ,则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．（2012重庆理）3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 图1A ． 22B ．23 C ．2 D ．3 (2006湖南理)4．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为：（ ）A (2004重庆理)5．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为 ( ) A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或833解析：分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况6．空间两直线平行是指它们--------------------------------------------------（ ）(A)无交点 (B)共面且无交点 (C)和同一直线垂直 (D)以上都不对 二、填空题7．如图，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3， ∠BAA 1＝60︒，E 为棱C 1D 1的中点，则→AB ⋅→AE ＝ ▲ ．8．三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直且长度分别为2cm ，3cm ，1cm ，则该三棱锥的体积是 ▲ cm 3．9． 已知直线⊥a 平面α，直线//b 平面α，则直线b a ,的位置关系是______________； 10．若一条直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是（ ） (A)直线上所有点都在平面外 (B)直线上有无穷多个点在平面外 (C)直线上有有限个点在平面外 (D)平面内至少有一个点在直线 11．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点， 则下列结论正确的是 ▲ （填序号） ①线段A 1M 与B 1C 所在直线为异面直线； ②对角线BD 1⊥平面AB 1C ； ③平面AMC ⊥平面AB 1C ； ④直线A 1M//平面AB 1C.12．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||； ③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4(2005江苏)13．设,αβ为互不重合的平面，,m n 为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,m n m n αα⊥⊂⊥则；CA BDA 1B 1C 1D 1E（第8题A1②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥β，则α∥β； ③若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则； ④若,,//,//m m n n ααββ⊥⊥则． 其中正确命题的序号为14．已知三棱锥S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝AC ＝2，则三棱锥S －ABC 体积的最大值为 ．15．在长方体1111ABCD A B C D -中，若13,4AB BC AA ===，求1A B 和1B C 所成角的余弦值。

双基达标 (限时20分钟)1．直线a 与直线b 垂直，b 平行于平面α，则a 与α的位置关 系是( )．A ．a ⊥αB ．a ∥αC ．a ⊂α或a ∥αD ．不确定解析 当b ∥面α时，可存在直线a ⊂α，a ⊥α，a ∥α，故关系不确定． 答案 D2．已知m 、n 是两条不重合的直线，α是平面，给出以下命题： ①⎩⎨⎧ m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ②⎩⎨⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎩⎨⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α； ④⎩⎨⎧m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. 其中正确命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由线面垂直的性质可知①、②正确．③中n ∥α或n ⊂α，④中n ∥α或n ⊥α或n ⊂α.答案 B3．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点， 则下列直线中不互相垂直的是( )．A ．B 1C 与D 1C 1 B ．D 1B 与B 1C C ．A 1B 与B 1C 1 D ．D 1B 与EF解析 ①⎭⎪⎬⎪⎫D 1C 1⊥面BCC 1B 1又B 1C ⊂面BCC 1B 1⇒D 1C 1⊥B 1C ②连接BC 1，⎭⎪⎬⎪⎫B 1C ⊥BC 1D 1C 1⊥B 1C ⇒⎭⎪⎬⎪⎫B 1C ⊥面BC 1D 1D 1B ⊂面BC 1D 1⇒B 1C ⊥D 1B③⎭⎪⎬⎪⎫B 1C 1⊥面ABB 1A 1A 1B ⊂面ABB 1A 1⇒A 1B ⊥B 1C 1 ④D 1B 与EF 不垂直 答案 D4．如图所示，已知P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上异于A 、B 的点，则△P AB 、△P AC 、△PBC 、△ABC 中，直角三角形的个数是________．解析 显然△P AB 、△P AC 、△ABC 均为直角三角形． 对于△PBC ：∵P A ⊥⊙O ，BC ⊂⊙O ， ∴P A ⊥BC ，又∵AC ⊥BC 且P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ， 又∵PC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥PC .∴△PBC 为直角三角形． 答案 45．若a ，b 表示直线，α表示平面，则下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α.解析由线面垂直的性质定理知①正确．答案 16．如图所示，空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，垂足为E，作AH⊥BE，垂足为H，求证：AH⊥平面BCD.证明如图所示，取AB的中点F，连接CF，DF.由已知AC＝BC，AD＝BD，∴AB⊥CF，AB⊥DF.∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.而CD⊂平面CDF，∴AB⊥CD.又∵BE⊥CD，且AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE，又AH⊂平面ABE，∴AH⊥CD.又∵AH⊥BE，且BE∩CD＝E，BE⊂平面BCD，CD⊂平面BCD.∴AH⊥平面BCD.综合提高(限时25分钟)7．E、F分别是正方形ABCD中AB、BC中点，沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合于一点P，则有()．A．DP⊥平面PEFB．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEFD．DF⊥平面DEF解析易知DP⊥PF，DF⊥PE，又PE∩PF＝P.∴DP⊥面PEF.答案 A8．四棱锥P-ABCD中，侧面最多有______个直角三角形()．A．1 B．2C．3 D．4解析如图，底面为矩形ABCD，P A⊥面ABCD时，由线面垂直可知，四个侧面都是直角三角形．答案 D9．如图所示，在五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的符号是________(写出所有符合要求的图形符号)．解析易判断①④正确．⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此三棱锥A-PMN是正三棱锥，故图⑤中l⊥平面MNP.同理可否定③，因为AM≠AP≠AN，也易否定②.答案①④⑤10．给出下列四个命题：①若直线a⊄平面M，直线b⊂M，且a∩b＝∅，则a∥M；②若a⊄M，直线a平行于平面M内的两条直线，则a∥M；③若直线a垂直于平面M内的无数条直线，则a⊥M；④三个互不重合的平面，把空间分成n个部分，n的所有可能值为4,6,7,8.其中正确命题的序号是________．解析由线面垂直的判定和性质可知①③不正确，②④正确．答案②④11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：P A∥平面EDB；(2)求证：PB⊥平面EFD.证明(1)连接AC，AC交BD于点O.连接EO，如图．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点，又∵E是PC的中点．在△P AC中，EO是中位线，∴P A∥EO.而EO⊂平面EDB且P A⊄平面EDB.所以P A∥平面EDB.(2)∵PD＝DC，又∵E是PC的中点∴DE⊥PC.同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.又BC∩PC＝C.∴DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.12．(创新拓展)在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．求证：AC⊥平面EDB.证明如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB.∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.。

湘教版必修3单元试卷：第6章立体几何初步（2）一、单项选择题（本大题共11小题，共55.0分）1.将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为()A. 8π3B. 2√2πC. 4πD. 8π2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈．问积及为粟几何?”其意思为“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为2丈，问它的体积和堆放的粟各为多少?”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛=2700立方寸，一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人欲卖得银子(单位换算：1立方丈=106立方寸)是()．A. 800两B. 1200两C. 2400两D. 3200两3.已知△ABC中，AB=AC=2，AB⊥AC，将△ABC绕BC所在直线旋转一周，形成几何体K，则几何体K的表面积为()A. 2√2πB. 4√2πC. 2√2π3D. 4√2π34.若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长√3，则此三棱锥的体积为()A. √23B. √33C. √53D. 以上均不对5.长方体的高等于h，底面积等于a，过相对侧棱的截面面积等于b，则此长方体的侧面积等于()A. B. C. D.6.已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为()A. 24B. 80C. 64D. 2407.一个长方体的长、宽、高的比为4:2:1，它的体积为1000cm3，则该长方体的高为()A. 5cmB. 8cmC. 10cmD. 20cm8.设A，B，C，D是半径等于13的球面上的四点，△ABC的三边长度依次等于6，8，10，则四面体ABCD的体积的最大值为()A. 248B. 200C. 144D. 1049.已知球O的直径长为12，当它的内接正四棱锥的体积最大时，该四棱锥的高为()A. 4B. 6C. 8D. 1210.若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是()A. 1B. 1:2C. √3:2D. 3:411.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，AC=BC=√2，其中O，M分别为AB，VA的中点，则三棱锥B−MOC的体积为()A. √33B. √34C. √36D. √312二、填空题（本大题共9小题，共45.0分）12.底面半径为3的圆锥的体积与底面半径为2，高为3的圆柱的体积相等，则该圆锥的侧面积为__________．13.已知三棱锥O−ABC的体积为1，A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥O−A1B1C1的体积为______．14.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m.如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为m15.已知圆锥的底面半径与高都是1，则该圆锥的侧面积为_______________．16.一个圆锥的高和底面半径相等，且这个圆锥和圆柱的底面半径及体积也都相等，则圆锥和圆柱的侧面积的比值为_____．17.三棱锥P−ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D−ABE的体积为V1，P−ABC的体积为V2，则V1：V2=______．18.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60∘，侧面积为4√7，则该棱锥的体积为__________．19.已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是边长为2的正三角形，正视图是矩形，且AA1=4，则此几何体的体积为______ ．20.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V，则三棱锥C1−ABC的体积是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共120.0分）21.如图，在三棱柱ABC−A′B′C′中，点D是BC的中点，欲过点A′作一截面与平面AC′D平行．(1)问应当怎样画线，并说明理由；(2)求所作截面与平面AC′D将三棱柱分成的三部分的体积之比．22.如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A′−BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′−BC′D的体积．23.已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体S−ABC，求它的表面积和体积．24.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2√2，E，F分别是CC1，BC的中点，求：(1)异面直线EF和A1B所成的角；(2)直三棱柱ABC−A1B1C1的体积．25.如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是等边三角形，且AB//CD，AB=AD=2DC=2，AB⊥平面PAD，M是PB的中点．(Ⅰ)求证：CM//平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥P−ACM的体积．26.如图，在空间四边形PABC中，PA⊥AC，PA=AC，PC=2√2，BC=2，∠ACB=90°，且平面PAC⊥平面ABC．(Ⅰ)求证：PA⊥BC；(Ⅱ)若PM=MC，求三棱锥C−ABM的高．27.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1，点E在SD上，且AE⊥SD．(1)证明：AE⊥平面SDC；(2)求三棱锥B−ECD的体积．28.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．(1)求证：BC1//平面CA1D；(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=√3，求三棱锥B1−A1DC的体积．29.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，AC=AB=AA1=4，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．(Ⅰ)求证：A1D⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)求三棱锥C1−ADC的体积．30.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且PC⊥底面ABCD，∠ABC=π，AB=PC=2BC=2．3(1)证明：AD⊥平面PAC．(2)若Q为PD的中点，求三棱锥B−APQ的体积．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，属于基础题．根据题意可知几何体为圆锥，根据圆锥体积公式计算即可．【解答】解：直角边长为2的等腰直角三角形，绕直角边旋转一周所形成几何体是：底面半径为r=2，高ℎ=2，母线长为l=2√2的圆锥，故该几何体的体积，故选A．2.【答案】A【解析】【分析】本题是以数学文化为背影，考查圆锥的体积计算，主要考查学生的空间想象能力与数学计算能力．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，因为2πr=12，圆周率约为3，所以r=2，因为高为2丈，×3×23=8立方丈，所以该堆粟米的体积为13=800两.所以8×106×2702700×1000故选A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查旋转体的定义，圆锥的侧面积计算公式．由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S=πrl计算可得．【解答】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中母线长均为2，底面圆半径为√2，∴S=π×√2×2×2=4√2π故选：B．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三棱锥的体积计算，是基础题．由题意，过S作SO⊥平面ABC，求出三棱锥S−ABC的高SO，即可得解．【解答】解：由题意，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为√3，如图：画出正三棱锥，即为图中的三棱锥S−ABC，过S作SO⊥平面ABC，可知SO即为三棱锥S−ABC的高，∴OC为底面正三角形ABC的高，且OC=23×2×√32=2√33，∴三棱锥S−ABC的高SO=√3−43=√153，∴此三棱锥的体积为13×12×2×√3×√153=√53，故选C．5.【答案】C【解析】设长方体的底面边长分别为x、y，则xy=a,√x2+y2⋅ℎ=b得x2+y2=b2ℎ2，(x+y)2=b2ℎ2+2a.故长方体的侧面积为2(x+y)ℎ=2√b2+2aℎ2．6.【答案】B【解析】解：由已知中的棱锥的俯视图，可得：该四棱锥的体积V=13×6×8×5=80，故选：B根据已知中四棱锥的俯视图，得到底面的长和宽，代入棱锥体积公式，可得答案．本题考查的知识点是棱锥的体积，难度不大，熟练掌握棱锥的体积公式，是解答的关键．7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查长方体的体积公式、列方程求解．【解答】解：设长方体的高为x cm，则长=4x cm，宽=2x cm，由题意得4x×2x×x=1000cm，解得x=5cm．故选A．8.【答案】B【解析】解：∵△ABC的三边长度依次等于6，8，10，∴△ABC是直角三角形，设球心O到平面△ABC的距离等于d，则d2+52=132，解得d=12，球面上的点D到平面△ABC的距离的最大值等于12+13=25，从而四面体ABCD的体积的最大值为(V A−BCD)max=13×(12×6×8)×25=200．故选：B．推导出△ABC是直角三角形，设球心O到平面△ABC的距离等于d，则d2+52=132，解得d=12，从而球面上的点D到平面△ABC的距离的最大值等于12+13=25，由此能求出四面体ABCD的体积的最大值．本题考查四面体的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】C【解析】解：设正四棱锥S−ABCD的底面边长等于a，底面到球心O的距离等于x，则x2+(√22aa)2=36，而正四棱锥的高为ℎ=6+x，故正四棱锥体积为：V(x)=13a2ℎ=13(72−2x2)(6+x)=23(36−x2)(6+x)=13(12−2x)(6+x)(6+x)≤13×(12−2x+6+x+6+x3)3=5123，当且仅当x=2时，等号成立，即正四棱锥体积取得最大值．那么正四棱锥的高为ℎ=8．故选：C．先设正四棱锥S−ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R 之间的关系，又正四棱锥的高为ℎ=R+x，从而得出正四棱锥体积关于x的函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值．本题主要考查了球内接多面体、棱锥的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．10.【答案】D【解析】设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有Rℎ=2rℎ，所以R=2r，=13πR2ℎ=43πr2ℎ，=πr2ℎ，故=3:4．11.【答案】D【解析】解：连接VO，∵△VAB为等边三角形，∴VO⊥AB，又平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC=AB，∴VO ⊥平面ABC ，又M 为VA 的中点，则M 到平面ABC 的距离d =12VO ． ∵AC ⊥BC ，AC =BC =√2，∴AB =2， ∴S △BOC =12×1×1=12，VO =√22−12=√3．∴V B−MOC =V M−BOC =13×S △BOC ×d =13×12×√32=√312． 故选：D ．连接VO ，由△VAB 为等边三角形，可得VO ⊥AB ，再由面面垂直的性质得VO ⊥平面ABC ，又M 为VA 的中点，则M 到平面ABC 的距离d =12VO.然后利用等积法求三棱锥B −MOC 的体积．本题考查利用等积法求多面体体积，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．12.【答案】15π【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，属于基础题．由圆柱的体积，得到圆锥的高，从而得到圆锥的侧面积． 【解答】解：∵圆柱体积为V =π×22×3=12π， ∴圆锥的高为12π13×π×32=4，∴圆锥的母线长为5，∴圆锥的侧面积为12×5×2π×3=15π． 故答案为15π．13.【答案】18【解析】解：如图，∵A 1、B 1、C 1分别为OA 、OB 、OC 的中点， ∴△A 1B 1C 1∽△ABC ，则S △A 1B 1C 1=14S △ABC ，过O 作OG ⊥平面ABC ，交平面A 1B 1C 1于G 1，则OG 1=12OG ．∴V三棱锥O−A1B1C1=13S△A1B1C1⋅OG1=18×13S△ABC⋅OG=18V O−ABC=18．故答案为：18．由A1、B1、C1分别为OA、OB、OC的中点，可得△A1B1C1∽△ABC，则S△A1B1C1=14S△ABC，过O作OG⊥平面ABC，交平面A1B1C1于G1，则OG1=12OG，再由棱锥的体积公式计算得答案．本题考查了棱锥的体积，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】160【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式的实际应用，解题关键是由长方体的容积和深度，求出底面积，设出长方体的长为x m，则宽为1600xm，(x>0)，根本题目列出池的总造价为C(x)=1600×150+2(x+1600x)×3×120，从而基本不等式即可求最值，由等号成立的条件即可求出底部的长和宽．【解答】解：∵长方体的容积为4800m3，深度为3 m∴长方体的底面积是1600m3；设长方体的长为x m，则宽为1600xm，(x>0)那么水池的总造价为C(x)=1600×150+2(x+1600x)×3×120=240000+720(x+1600)≥240000+720×2√x×1600=240000+72600当且仅当x=1600x 即x=40取等号，此时底部长为40m，宽为40m，水池底部的周长为40×4=160m 故答案为160．15.【答案】√2π【解析】【分析】本题考查圆锥侧面积公式，属于基础题．首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为1，∴母线长l为：√12+12=√2，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×1×√2=√2π.故答案为√2π.16.【答案】3√22【解析】【分析】本题考查旋转体的侧面积和体积，根据条件直接计算即可，属基础题．设圆锥的底面半径为r，其母线长√2r，圆柱的高为h，根据圆锥和圆柱的体积相等，可求得ℎ=13r，分别求出圆锥和圆柱的侧面积，即可求出答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，其母线长√2r，圆柱的高为h，则13πr3=πr2ℎ，所以ℎ=13r，圆锥的侧面积为S1=12×2πr×√2r=√2πr2，圆柱的侧面积为，．故答案为3√22．17.【答案】1：4【解析】解：如图，∵D，E为PB，PC的中点，∴S四边形BDEC =34S△PBC，则S△BDE=13S四边形BDEC=13×34S△PBC=14S△PBC，∵V P−ABC=V A−PBC=V2，V D−ABE=V A−BDE=V1，且三棱锥A−PBC与三棱锥A−BDE高相等，∴V1：V2=S△BDE：S△PBC=1：4．故答案为：1：4．由题意画出图形，把两个三棱锥的体积转化，由相似三角形的关系得到S△BDE：S△PBC=1：4，从而得到答案．本题考查了棱锥的体积，考查了相似三角形面积比和相似比的关系，属中档题．18.【答案】43√6【解析】【分析】本题考查直线与平面所成的角，棱锥的体积，是基础的计算题．设正四棱锥底面边长为2a，由侧棱与底面所成角为60°求出棱锥的高，进一步得到斜高，再由侧面积求解a，然后利用棱锥体积公式求解．【解答】解：设正四棱锥底面边长为2a，且侧棱与底面所成角为60°，则四棱锥高为√6a，侧面三角形的高为√7a，∵侧面积为4√7，∴单个侧面三角形面积为√7，∴12×2a×√7a=√7，得a=1．∴正四棱锥的高为√6．则该棱锥的体积为13×2×2×√6=4√63．故答案为：4√63．19.【答案】4√3【解析】解：由已知中的三视图有两个矩形一个三角形，可得该几何体是一个以左视图所示的三角形为底面的正三棱柱，根据左视图是边长为2，AA1=4，∴几何体的底面积S=√3，高ℎ=4，∴所求几何体的体积V=Sℎ=4√3，故答案为：4√3．由已知中的三视图有两个矩形一个三角形，可得该几何体是一个以左视图所示的三角形为底面的正三棱柱，根据左视图是边长为2，AA1=4，我们分别确定出棱柱的底面面积和高，代入棱柱体积公式，即可得到答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状，进而根据正三棱柱的几何特征，得到其中的线面关系是解答本题的关键．V20.【答案】13【解析】解：三棱锥C1−ABC的底面为ABC，高与三棱柱ABC−A1B1C1的高相同，∵三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V，∴三棱锥C1−ABC的体积是13V，故答案为：13V.三棱锥C1−ABC的底面为ABC，高与三棱柱ABC−A1B1C1的高相同，利用三棱锥的体积公式，即可得出结论．本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，比较基础．21.【答案】解：(1)在三棱柱ABC−A′B′C′中，点D是BC的中点，取B′C′的中点E，连接A′E，A′B，BE，则平面A′EB//平面AC′D，A′E，A′B，BE即为应画的线．理由如下：因为D为BC的中点，E为B′C′的中点，所以BD=C′E．又因为BC//B′C′，所以四边形BDC′E为平行四边形，所以DC′//BE．∵DC′⊄平面A′BE.BE⊂平面A′BE.∴DC′//平面A′BE．连接DE，则DE平行等于BB′，所以DE=//AA′，所以四边形AA′ED是平行四边形，从而AD//A′E.AD⊄平面A′BE.AE′⊂平面A′BE．∴AD//平面A′BE.又因为AD∩DC′=D，AD⊂平面AC′D，DC′⊂平面AC′D，所以平面A′EB//平面AC′D．(2)设棱柱的底面积为S，高为h．则V三棱锥C′−ACD =V三棱锥E−A′B′B=13×12Sℎ=16Sℎ．所以三棱柱夹在平面AC′D与平面A′EB间的体积为Sℎ−2×16Sℎ=23Sℎ．∴所作截面与平面AC′D将三棱柱分成的三部分的体积之比为16Sℎ：23Sℎ：16Sℎ=1：4：1.(比的顺序不同，结果就不同)【解析】本题考查直线与平面以及平面与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．(1)取B′C′的中点E，连接A′E，A′B，BE，则平面A′EB//平面AC′D，A′E，A′B，BE即为应画的线．证明DC′//BE.DC′//平面A′BE.连接DE，则DE平行等于BB′，证明四边形AA′ED是平行四边形，然后证明AD//平面A′BE.推出平面A′EB//平面AC′D．(2)设棱柱的底面积为S，高为ℎ.通过V三棱锥C′−ACD=V三棱锥E−A′B′B.然后转化求解所作截面与平面AC′D将三棱柱分成的三部分的体积之比．22.【答案】解：(1)正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为a，则三棱锥A′−BC′D的棱长为√2a，表面积为4×√34×(√2a)2=2√3a2，正方体表面积为6a2，∴三棱锥A′−BC′D的表面积与正方体表面积的比值为√3：3；(2)三棱锥A′−BC′D的体积为a3−4×13×12a3=13a3．【解析】(1)求出三棱锥A′−BC′D的棱长为√2a，即可求出三棱锥A′−BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)利用割补法，即可求出三棱锥A′−BC′D的体积．本题考查三棱锥、正方体表面积、体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.【答案】解：如图所示，由等边三角形的面积计算公式可得：△SAB的面积=√34×22．∴四面体S−ABC的表面积为4×√34×22=4√3．设O为△ABC的中心，延长AO交BC于点D，连接SO，SD，则SO⊥底面ABC，D为BC的中点．∴AD=√32×2=√3=SD，OD=13AD=√36×2=√3，∴AO=√SD2−OD2=2√63．∴V S−ABC=13⋅S△ABC×SO=13×√34×2√63=2√23．【解析】由等边三角形的面积计算公式可得：△SAB的面积=√34×22.即可得出四面体S−ABC的表面积．设O为△ABC的中心，延长AO交BC于点D，连接SO，SD，则SO⊥底面ABC，D为BC的中点．可得AD=√32a=SD，OD=13AD，AO=√SD2−OD2.利用V S−ABC=13⋅S△ABC×SO即可得出．本题考查了等边三角形的性质及其面积计算公式、正三棱锥的性质、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.【答案】解：(1)连接BC1，∵E，F分别是CC1，BC的中点，∴EF是△BC1C的中位线，则EF//BC1，即BC1与A1B所成的角，即为异面直线EF和A1B所成的角；在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1= 2√2，∴△BA1C1为直角三角形，则A1C1=AC=2，A1B=√22+(2√2)2=√4+8=√12=2√3，则tan∠A1BC1=A1C1A1B =2√3=√33，即∠A1BC1=π6，即异面直线EF和A1B所成的角是π6．(2)直三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=12×AB⋅AC⋅AA1=12×2×2×2√2=4√2．【解析】(1)根据异面直线所成角的定义即可求异面直线EF和A1B所成的角；(2)直接利用三棱柱的体积公式即可求直三棱柱ABC−A1B1C1的体积．本题主要考查异面直线所成角的求解以及三棱柱的体积的计算，根据相应的定义进行求解是解决本题的关键．属于基础题．25.【答案】证明：(Ⅰ)取PA的中点N，连接MN，DN∵M，N分别是PB，PA的中点，∴MN//̲̲̲12AB∵CD//̲̲̲12AB，∴MN//̲̲̲CD，∴四边形CMND为平行四边形，∴CM//DN ∵CM不在平面PAD内，DN⊂平面PAD，∴CM//平面PAD；(Ⅱ)∵CD//AB，AB⊂平面PAB，∴CD//平面PAB，∴V C−PAM=V D−PAM=V P−ACM．∵△PAD为正三角形，N为PA中点，∴DN⊥PA，∵AB⊥平面PAD，AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，∵平面PAB∩平面PAD=PA，DN⊂平面PAD，∴DN⊥平面PAB∵AD=PA=PD=2，∴DN=√3，∴S▵PAM=12S▵PAB=12×12×2×2=1，∴V P−ACM=V D−PAM=13×DN×S▵PAM=13×√3×1=√33，∴三棱锥P−ACM的体积为√33．【解析】本题考查直线与平面平行的判定和面面垂直的性质，以及利用等体积法求体积，属于中档题．(Ⅰ)利用直线与平面平行的判定定理即可得证；(Ⅱ)利用三棱锥的特点，转化为面积和高易得的三棱锥的体积．26.【答案】(Ⅰ)证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC，又∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．(Ⅱ)过点M在平面PAC内作MH⊥AC，垂足为H，连接BH，由(Ⅰ)知PA⊥平面ABC，所以MH⊥平面ABC，所以MH⊥BH，由题知PC=2√2，BC=2，∠ACB=90°，所以PA=AC=2，AB=2√2，解得MH=CH=AH=1，AM=12PC=√2，BH=√5，BM=√6，在△AMB中，有AM2+BM2=AB2，即∠AMB=90°，设三棱锥C−ABM的高为h，∵V C−AMB=V M−ABC，∴13×12×AM×BM×ℎ=13×12×AC×BC×MH，∴√2×√6ℎ=2×2×1，解得ℎ=2√33，∴三棱锥C −ABM 的高为2√33．【解析】(Ⅰ)推出PA ⊥平面ABC ，由此能证明PA ⊥BC ．(Ⅱ)过点M 在平面PAC 内作MH ⊥AC ，垂足为H ，连接BH ，推导出MH ⊥平面ABC ，MH ⊥BH ，设三棱锥C −ABM 的高为h ，由V C−AMB =V M−ABC ，能求出三棱锥C −ABM 的高．本题考查线线垂直的证明，考查几三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 27.【答案】(1)证明：∵侧棱SA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴SA ⊥CD.….(1分)∵底面ABCD 直角梯形，AD 垂直于AB 和DC ，∴AD ⊥CD ，又AD ∩SA =A ，∴CD ⊥侧面SAD ，….(3分)∵AE ⊂侧面SAD∴AE ⊥CD ，∵AE ⊥SD ，CD ∩SD =D ，∴AE ⊥平面SDC ….(5分)(Ⅱ)解：∵CD ⊥AD ，CD ⊥AE ，AD ∩AE =A ，∴CD ⊥平面ASD ，∴CD ⊥SD ，∴S △EDC =12ED ⋅DC …(7分) 在Rt △ASD 中，SA =2，AD =1，AE ⊥SD ，∴ED =√5，AE =√5 ∴S △EDC =1，…(9分)又∵AB//CD ，CD ⊂平面SCD ，AB ⊄平面SCD ，∴AB//平面SCD ，∴点B 到平面SCD 的距离等于点A 到平面SCD 的距离AE …(11分) ∴V B−ECD =13⋅S △EDC ⋅AE =2√515…(12分)【解析】(1)证明AE⊥平面SDC，只需证明AE⊥CD，利用证明CD⊥侧面SAD可得；(2)证明CD⊥平面ASD，AB//平面SCD，可得点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE，即可求三棱锥B−ECD的体积．本题考查线面垂直的判断与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力．28.【答案】证明：(1)连接AC1交A1C于点E，连接DE∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又∵D是AB的中点，DE//BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，∴BC1//平面CA1D；(2)AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD⊂面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B(3)则由(2)知CD⊥面ABB1B，∴三棱锥B1−A1DC底面B1A1D上的高就是CD=√3，又∵BD=1，BB1=√3，∴A1D=B1D=A1B1=2，S A1B1D=√3，∴三棱锥B1−A1DC的体积V B1−A1DC =V C−A1B1D=13⋅√3⋅√3=1【解析】本题主要考查了线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，棱锥的体积，推理论证能力和空间想象能力，注意证明过程的严密性．(1)连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE//BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；(2)先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可(3)三棱锥B1−A1DC的体积V B1−A1DC =V C−A1B1D，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．29.【答案】(Ⅰ)证明：∵AA1⊥平面ABC，∴BB1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，∴A1D⊥BB1，又∵A1B1=A1C1，D为B1C1的中点，∴A1D⊥B1C1，又BB1∩B1C1=B1，∴A1D⊥平面BB1C1C.(Ⅱ)解：∵AC=AB=AA1=4，∠BAC=90°，∴B1 C1 =4√2，∴B1 D=A1 D=2√2，∴V C1−ADC =V B1−ADC=V A−CDB1=13S△CDB1⋅A1D=163．【解析】本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面垂直的判定定理是关键．(Ⅰ)证明A1D⊥BB1，A1D⊥B1C1，利用线面垂直的判定定理，即可证明A1D⊥平面BB1C1C；(Ⅱ)转换底面，即可求三棱锥C1−ADC的体积．30.【答案】(1)证明：在△ABC中，由余弦定理得，则AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵AD//BC，∴AD⊥AC．又∵PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PC⊥AD．∵AC∩PC=C，AC，PC⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．(2)解：Q为PD的中点，则S△PAQ=S△DAQ，于是三棱锥B−APQ的体积与三棱锥B−ADQ 的体积相等，而V B−ADQ=V Q−ABD=12V P−ABD=14V P−ABCD=14×13×1×√3×2=√36，所以三棱锥B−APQ的体积V B−APQ=√36．【解析】本题考查直线与平面垂直的判定定理，几何体的体积的求法，属于中档题．(1)根据余弦定理求出AC，即可得到AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC，进而得到AD⊥AC.再根据PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，即可得到PC⊥AD.利用线面垂直的判定定理即可得证AD⊥平面PAC．(2)根据Q为PD的中点，可知S△PAQ=S△DAQ，即三棱锥B−APQ的体积与三棱锥B−ADQ的体积相等，利用三棱锥的体积公式即可得解三棱锥B−APQ的体积．。

双基达标(限时20分钟)1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能答案 D2．已知P A⊥矩形ABCD所在平面(如图)，则图中互相垂直的平面有()．A．1对B．2对C．3对D．5对解析面P AD⊥面ABCD，面P AB⊥面ABCD，面P AB⊥面PBC，面PDC ⊥面P AD，面P AD⊥面P AB.答案 D3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()．A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.答案 D4．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有以下四个说法：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的序号是________．解析①∵l⊥α，α∥β.∴l⊥β又m⊂β，∴l⊥m，故①正确．②l⊥α，α⊥β，m⊂β⇒l∥m或l∩m或l与m异面．故②不正确．③∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α.又∵m⊂平面β，∴α⊥β，故③正确．④l⊥m，l⊥α，m⊂β⇒α∥β或α∩β，故④不正确．答案①③5．三个平面两两垂直且共点于O，点P到三个面的距离分别为3,4,5，则OP＝________.解析以3、4、5为相邻三边构造一个长方体，则OP长即为长方体的体对角线长，所以OP长为32＋42＋52＝5 2.答案5 26．如图所示，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD.点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明(1)在△ABD中，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.综合提高(限时25分钟)7．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是()．A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α解析如图，A中，平面AA1B1B⊥平面A1B1C1D1，平面AA1D1D⊥平面A1B1C1D1，而平面AA1B1B与平面AA1D1D相交；C中，平面AA1B1B∩平面AB1D1＝AB1，平面AA1D1D∩平面AB1D1＝AD1，平面AA1B1B⊥平面AA1D1D，而AB1与AD1不垂直；D中，b不一定在平面β内．答案 B8．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析由面面垂直的性质定理可知D项是正确的．A项中缺少了条件l⊂α，故A错．B项中缺少了条件α⊥β，故B错．C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错．D项具备了面面垂直的性质定理的全部条件，正确．答案 D9．AB是⊙O的直径，P A⊥⊙O所在平面，C是圆周上任一点(不同于A，B)，连接AC，BC，PB，PC，则在四面体P－ABC中，共有________对互相垂直的平面．解析由题意可推得，面P AC⊥面ABC，面P AB⊥面ABC，面P AC⊥面PBC.共有3对．答案 310．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．解析假设①③④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，如图．过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β.设垂足为点B，又设m⊥α，垂足为点A，过P A、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥P A，l⊥PB，∴l⊥平面P AB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角．由m⊥n，显然P A⊥PB，∴∠ACB＝90°.∴α⊥β.由①③④⇒②成立．反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立．答案①③④⇒②或②③④⇒①11．四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为23的菱形，∠ADC为锐角，M为P A的中点．(1)求证：P A⊥CD；(2)求证：平面CDM⊥平面P AB.证明(1)取DC中点E，连接PE、AE，因为△PDC为正三角形，所以PE ⊥DC，PE＝ 3.又因为四边形ABCD为菱形，面积为23，且∠ADC为锐角，所以23＝2×2×sin∠ADC，得sin∠ADC＝32，有∠ADC＝60°.所以△ADC为正三角形所以AE⊥DC.又因为PE⊥CD，AE∩PE＝E，所以CD⊥平面PEA，又P A ⊂平面PEA，所以CD⊥P A.(2)因为AD＝DP，M为P A的中点，所以DM⊥P A，由(1)知P A⊥CD，DM∩CD＝D，所以P A⊥平面CDM，又P A⊂平面P AB所以平面CDM⊥平面P AB.12．(创新拓展)如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E-ABD的侧面积．(1)证明在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，设F为AD边的中点，连接FB，∴△ABF为等边三角形，∠AFB＝60°.又∵DF＝BF＝2，∴△BFD为等腰三角形．∴∠FDB＝30°，故∠ABD＝90°.∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)解由(1)知AB⊥BD，∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝23，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE ＝12DB·DE＝2 3.又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE ＝12AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE ＝12AD·DE＝4.综上，三棱锥E-ABD的侧面积8＋2 3.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学湘教版必修3第6章立体几何初步单元检测(时间60分钟，满分100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1在下列条件中，可判断平面α与β平行的是()．A．α，β都垂直于平面γB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β2若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的()．A．倍B．24倍C．22倍D．2倍3一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是()．A．3π B．33πC．6π D．9π4给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中正确说法的个数是()．A．4 B．3 C．2 D．15如图所示，一个空间几何体的三视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为()．A ．16B ．13C ．12D ．1 6如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BB 1，BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的正投影为( )．7一个直棱柱的体对角线长是10 cm 和206cm ，高是5 cm ，若它的底面是菱形，则这个菱形的边长是( )．A ．8 cmB ．16 cmC ．289cmD ．489cm8一个正方体的8个顶点都在表面积为4π的球面上，则这个正方体的表面积为( )．A ．8B ．82C ．83D ．42二、填空题(每小题6分，共18分)9一个长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则该长方体的体积为__________．10圆台上、下底面积分别为π，4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是__________．11将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，其侧面和底面分别称为“直角面”和“斜面”；过棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为“中面”．请类比直角三角形以下性质：①斜边中线长等于斜边长一半；②两直角边的平方和等于斜边的平方；③斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1.写出直角三棱锥相应性质(至少一条)：__________.三、解答题(共34分)12(10分)如图，P为梯形ABCD所在平面外一点，CD2AB，E为PC的中点．求证：BE∥平面P AD.13(10分)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．(1)证明：平面P AC⊥平面PBD；(2)若AB＝6，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P－ABCD的体积．14(14分)如下图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1，且A1在面BCD内的射影O恰好落在CD上．(1)求证：A1D⊥BC；(2)求证：平面A1BC⊥平面A1BD；(3)求三棱锥A1－BCD的体积．(1)证明：∵O ∈CD ，∴A 1O ⊂面A 1CD . 又A 1O ⊥面BCD ，∴A 1O ⊥BC .∵BC ⊥CD ，CD ∩A 1O ＝O ， ∴BC ⊥面A 1CD ，又A 1D ⊂面A 1CD .∴BC ⊥A 1D .(2)证明：∵ABCD 为矩形，∴A 1D ⊥A 1B . 由(1)BC ⊥A 1D ，∴A 1D ⊥面A 1BC .又∵A 1D ⊂面A 1BD ，∴平面A 1BC ⊥平面A 1BD .(3)解：111113A BCD DA BC A BC V V S A D -∆==⋅ ＝13×1682⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭×6＝48.。